\documentclass[12pt,a4paper,draft,reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 5200
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\mes}{mes}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\intt}{int}


\newcommand*{\bbbone}{{\mathchoice {\rm 1\mskip-4mu l} {\rm 1\mskip-4mu l}
{\rm 1\mskip-4.5mu l} {\rm 1\mskip-5mu l}}}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\lo}{L_2(\Omega)}
\newcommand*{\Hr}{\mathcal H_2^r(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\hr}{H_2^r(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\Wi}{W_\infty^{\mathcal A}(\mathbb R^d,\gamma)}
\newcommand*{\wa}{\widehat a}
\newcommand*{\wA}{\widehat A}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wxi}{\widehat\xi}
\newcommand*{\sk}{\sum_{k=1}^s}
\newcommand*{\sj}{\sum_{j=1}^N}
\newcommand*{\wta}{\widehat\tau}
\newcommand*{\IR}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}

\newcommand*{\sgn}{\rm sgn}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wt}{\widehat \xi}
\newcommand*{\ww}{\widetilde t}
\newcommand*{\ws}{\widehat s}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\wc}{\widehat c}
\newcommand*{\Cp}{C_p^n}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}


\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.984.64
\end{flushleft}


\title[О наилучших методах восстановления]{О наилучших методах восстановления
производных на соболевских классах}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (грант \No13-01-12447)}
\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова}
\address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\maketitle


Работа посвящена построению наилучших (оптимальных) методов восстановления
производных функций из обобщенного соболевского класса функций на $\mathbb R^d$ при
условии, что о каждой такой функции известно точно или приближенно ее преобразование
Фурье на произвольном измеримом множестве $A\subset\mathbb R^d$. В обоих случаях
построены семейства оптимальных методов. Эти методы используют не весь объем
информации о преобразовании Фурье, а тот, который используют, подвергают некоторой
фильтрации. Рассмотрена также задача о нахождении наилучшего множества для
восстановления данной производной среди всех множеств фиксированной меры.

Библиография: 19 названий.

\vskip7pt

{\bf Ключевые слова:} оптимальное восстановление, соболевский класс,
экстремальная задача, преобразование Фурье


\section{Постановки задач и формулировки результатов}

Пусть $d$ --- натуральное число и $F$ --- преобразование Фурье в
$\lt$. Если $x\cd\in \lt$, то удобно считать, что функция $Fx\cd$
определена на $\mathbb R^d$ с мерой Лебега, деленной на $(2\pi)^d$.
Норму $y\cd$ в пространстве суммируемых с квадратом функций на
$\mathbb R^d$ с такой мерой обозначаем $\|y\cd\|_{{\widehat
L}_2(\mathbb R^d)}$, т.~е.
$$
\|y\cd\|_{{\widehat L}_2(\mathbb R^d)}=\left(\frac
1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|y(\xi)|^2\,d\xi\right)^{1/2}.
$$





Для каждого $r>0$ обобщенное соболевское пространство (или
пространство бесселевых потенциалов) $\Hr$ определяется как
совокупность функций $x\cd\in\lt$, для которых
$$\|x\cd\|_{\Hr}=\left(\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|(Fx)(\xi)|^2
\,d\xi\right)^{1/2}<\infty,$$ где $\|\xi\|^2=\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2$.
Соответствующим обобщенным соболевским классом назовем множество
$$\hr=\{\,x\cd\in\Hr\mid\|x\cd\|_{\Hr}\le1\,\}.$$

Если $r$ --- натуральное, то функция $x\cd$ (переменных $t_1,\ldots t_d$)
принадлежит $\Hr$ тогда и только тогда, когда все ее обобщенные производные
$\partial^{\alpha_1+\ldots+\alpha_d}x/\partial t_1^{\alpha_1}\ldots\partial
t_d^{\alpha_d}$, где $(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in \mathbb Z_+^d$ и
$\alpha_1+\ldots+\alpha_d\le r$, принадлежат $\ld$, и в этом случае норма
$$
\sum_{\alpha_1+\ldots+\alpha_d\le
r}\left\|\frac{\partial^{\alpha_1+\ldots+\alpha_d}x\cd}{\partial
t_1^{\alpha_1}\ldots\partial t_d^{\alpha_d}}\right\|_{\ld}
$$
эквивалентна норме в $\Hr$. Таким образом, если $r$ натурально, то $\Hr$ ---
классическое соболевское пространство функций на $\mathbb R^d$.

Дадим теперь определение дробной производной. Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,
\alpha_d)\in\mathbb R^d_+$, $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d$,
$(i\xi)^\alpha=(i\xi_1)^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot(i\xi_d)^{\alpha_d}$, где
$(i\xi_j)^{\alpha_j}=|\xi_j|^{\alpha_j}\exp{\{\frac12\pi i \ \sgn \xi_j\}}$,
$j=1,\ldots,d$ ($\sgn 0=0$, $0^0=1$) и $\mathcal E^\alpha$
--- оператор умножения на функцию $\xi\mapsto (i\xi)^{\alpha}$ в ${\widehat L}_2(\mathbb R^d)$.
Если функция $x\cd\in\lt$ такова, что $(\mathcal E^\alpha\circ
F)x\cd\in{\widehat L}_2(\mathbb R^d)$, то определена функция
$D^\alpha x\cd=(F^{-1}\circ\mathcal E^\alpha\circ F)x\cd\in\lt$, где
$F^{-1}$ --- обратное преобразования Фурье, которая называется {\it
$\alpha$-ой производной} (по Вейлю) функции $x\cd$. Ясно, что если
$x\cd$ достаточно гладкая и быстро убывающая функция на $\mathbb
R^d$ и $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in\mathbb Z^d_+$, то
$D^\alpha x(t)=\partial x^{\alpha_1+\ldots+\alpha_d}(t)/\partial
t_1^{\alpha_1}\ldots\partial t_d^{\alpha_d}$.

Нас интересуют следующие вопросы, которые на содержательном уровне звучат так.

1) Пусть о каждой функции $x\cd\in\hr$ известно (точно или
приближенно) ее преобразование Фурье на некотором подмножестве
$\mathbb R^d$. Как по этой информации наилучшим образом восстановить
$D^\alpha x\cd$?


2) Пусть имеется возможность измерить (точно или приближенно) преобразование Фурье
функций $x\cd\in\hr$ на любом множестве, мера которого не превосходит некоторого
числа $\sigma>0$, т.~е. имеется возможность измерить фиксированное ``число
гармоник''.  Какие гармоники лучше всего взять для восстановления $D^\alpha x\cd$?

Приведем точные постановки сформулированных задач. Пусть $A$ --- произвольное
измеримое подмножество $\mathbb R^d$ и про каждую функцию $x\cd\in\hr$ известно ее
преобразование Фурье на  $A$ либо точно, либо с точностью до $\delta>0$ в метрике
${\widehat L}_2(A)$, т.~е. известна функция $y\cd\in {\widehat L}_2(A)$ такая, что
$\|(Fx)\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta$. По этой информации мы хотим
восстановить $D^\alpha x\cd$, $\alpha\in\mathbb R^d_+$, в метрике $\ld$. Понимается
это следующим образом.

Пусть $I^\delta(A)\colon \hr\to {\widehat L}_2(A)$ --- отображение, сопоставляющее
$x\cd\in\hr$ множество $I^\delta(A) x\cd=\{\,y\cd\in {\widehat L}_2(A)\mid
\|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta\,\}$ ($I^0(A)$ --- обычное отображение,
которое сопоставляет $x\cd$ функцию $Fx\cd|_A$ --- сужение $Fx\cd$ на $A$).
Обозначим через ${\rm Im}\,I^\delta(A)$ образ этого отображения.

Всякий метод восстановления должен по функции (наблюдению) $y\cd\in {\rm
Im}\,I^\delta(A)$ указать функцию из $\ld$, которая является приближением к
$\alpha$-ой производной функции из $\hr$. Таким образом, всякий метод есть некоторое
отображение $\varphi\colon {\rm Im}\,I^\delta(A)\to\ld$. Погрешностью этого метода
назовем величину
\begin{equation*}
e(D^\alpha,\hr, A,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in \hr
\\[3pt]y\cd\in \,{\rm Im}\,I^\delta(A)}}
 \|D^\alpha x\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\ld}.
\end{equation*}
При $\delta=0$ это можно записать короче
$$e(D^\alpha,\hr, A,0,\varphi)=\sup_{x\cd\in \hr}
\|D^\alpha x\cd-\varphi(Fx\cd|_A)\cd\|_{\ld}.$$

Нас интересует величина
$$
E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=\inf_{\varphi} e(D^\alpha,\hr,
A,\delta,\varphi),
$$
где нижняя грань берется по всем методам $\varphi\colon {\rm
Im}\,I^\delta(A)\to\ld$,  называемая {\it погрешностью оптимального
восстановления} и те методы $\widehat \varphi$, на которых нижняя
грань достигается, т.~е.
$$
E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=e(D^\alpha,\hr, A,\delta,\widehat\varphi).
$$
Такие методы будем называть {\it оптимальными методами восстановления}.

Вопрос о нахождении погрешности оптимального восстановления и оптимальных методов
восстановления и составляет точную постановку первого из сформулированных выше
вопросов.

Пусть теперь $\sigma>0$ и $\mathcal A_\sigma$
--- совокупность всех измеримых подмножеств $\mathbb R^d$, мера Лебега которых
не больше $\sigma$. Нас будет интересовать также величина
\begin{equation}\label{Em}
E_\sigma(D^\alpha,\hr,\delta)=\inf_{A_\sigma\in\mathcal A_\sigma}E(D^\alpha,\hr,
A_\sigma,\delta)
\end{equation}
и те множества, на которых нижняя грань достигается, которые мы называем {\it
оптимальными множествами}.

Задача о нахождении величины \eqref{Em}  и оптимальных множеств есть точная
постановка второго из сформулированных выше вопросов.

Первоначальные идеи, связанные с данными постановками, принадлежат А.Н.Колмогорову,
который в работе \cite{K} ввел понятие поперечника --- величину, характеризующую
наилучшее приближение класса функций подпространствами фиксированной размерности.
Затем в пятидесятые годы стали изучать наилучшие квадратуры на классах функций
(первые исследования здесь принадлежат  А.~Сарду \cite{Sa} и С.~М.~Никольскому
\cite{Nik}). В 1965 г С.А.Смоляк \cite{S} поставил общую задачу об оптимальном
восстановлении линейного функционала на классе элементов по неточной информации о
самих элементах и доказал, что если класс
--- выпуклое центрально симметричное множество, то среди оптимальных методов есть
линейный. Впоследствии была поставлена более общая задача о восстановлении линейных
операторов и тематика оптимального восстановления получила достаточно интенсивное
развитие. Определенное представление об этом можно получить из обзоров и монографий
\cite{MR}--\cite{MT2}. В работах \cite{MOf}--\cite{TS} изучались задачи оптимального
восстановления, по духу близкие к тому, что рассматривается в данной статье.
Отдельно отметим работу авторов \cite{MOV}, в которой исследуется та же задача, что
и здесь, но множество $A$ есть все пространство $\mathbb R^d$.



Перед формулировкой основных утверждений приведем некоторые определения и
обозначения.


Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in \mathbb Z^d_+$ и
$\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d$. Положим
$$
\ov\alpha=\sum_{j=1}^d\alpha_j,\qquad
\alpha^\alpha=\prod_{j=1}^d\alpha_j^{\alpha_j},\qquad
|\xi|^\alpha=\prod_{j=1}^d|\xi_j|^{\alpha_j}.$$

Пусть $0<\ov\alpha<r$. Рассмотрим функцию $f\cd$ на $\mathbb R^d$,
определенную формулой
$$
f(\xi)=\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r},\quad \xi\in\mathbb
R^d.
$$
Эта функция, очевидно, ограничена и стремится к нулю при $\|\xi\|\to\infty$.
Несложный подсчет показывает, что ее максимальное значение равно
$$
\widehat\lambda=\frac{\alpha^{\alpha}(r-\ov\alpha)^{r-\ov\alpha}}{r^r}
$$
и достигается только в точках
$$
\left(\pm\sqrt{\frac{\alpha_1}{r-\ov\alpha}},\ldots,\pm\sqrt{\frac{\alpha_d}{r-\ov\alpha}}\,\right).
$$

Обозначим
$$
\widehat\delta=\left(\frac{r-\ov\alpha}{r}\right)^{r/2}
$$
и на полупрямой $[0,\infty]$ рассмотрим функцию $h$, определенную
формулой
$$
h(t)=\begin{cases}\dfrac{\alpha^\alpha}{r{\ov\alpha}^{\ov\alpha-1}}
\left(1-t^{2/r}\right)^{\ov\alpha-1}t^{2(1-\ov\alpha/r)},&
0\le t\le\widehat\delta\,,\\[15pt]
\wl\,,& t\ge\widehat\delta\,.
\end{cases}
$$
Нетрудно убедиться, что эта функция строго монотонно возрастает на
$[0,\widehat\delta\,]$, $h(0)=0$ и $h(\widehat\delta\,)=\wl$.



Определим для каждого $\lambda\ge0$  множество
$$
\Omega_\lambda=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid f(\xi)\ge\lambda\,\}
$$
и сопоставим любому измеримому подмножеству $A$ в $\mathbb R^d$ число
$$
\lambda(A)=\inf\{\,\lambda>0\mid\mes(A\cap \Omega_\lambda)=\mes\Omega_\lambda\,\}.
$$
Равенство $\mes(A\cap \Omega_{\wl})=\mes\Omega_{\wl}$ тривиальным образом
выполняется, поскольку $\mes\Omega_{\wl}=0$, а если $A$ совпадает п.~в. с $\mathbb
R^d$, то $\lambda(A)=0$. Таким образом,  $0\le\lambda(A)\le\wl$.



Если $\delta=0$ и $\lambda(A)=0$, то мы располагаем полной информацией о функции и
задача восстановления становится тривиальной. По этой причине  случай
$\delta+\lambda(A)=0$ далее исключен из рассмотрения.


Для каждого $\delta\ge0$ и каждого измеримого подмножества $A$ в $\mathbb R^d$
таких, что $\delta+\lambda(A)\ne0$ положим
$$
\Delta=\Delta(\delta,A)=\begin{cases}
\delta,&0<\delta<\widehat\delta,\,\,\,\,\lambda(A)\le
h(\delta),\\[12pt]
h^{-1}(\lambda(A)),&0\le\delta<\widehat\delta,\,\,\,\,\lambda(A)>
h(\delta),\\[12pt]
\widehat\delta,&\delta\ge\widehat\delta
\end{cases}
$$
и определим числа
$$
\lambda_1=\lambda_1(\delta,A)=\frac
{r}{\ov\alpha\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right)
h(\Delta)\quad\text{и}\quad \lambda_2=\lambda_2(\delta,A)=h(\Delta).
$$

Заметим, что $h(\Delta)=\max\{\lambda(A),h(\delta)\}$.



Наконец, через $\la\cdot,\cdot\ra$ обозначим скалярное произведение в $\mathbb R^d$.



\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $\alpha\in\mathbb R^d_+$, \ $0<\ov\alpha<r$, \ $\delta\ge0$, \ $A$ ---
измеримое подмножество $\mathbb R^d$ и $\delta+\lambda(A)\ne0$. Тогда $D^\alpha
x\cd\in\ld$ для любого $x\cd\in\Hr$ и

$$E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=\sqrt{\left(\dfrac
{r\delta^2}{\ov\alpha\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right)
+1\right)h(\Delta)}\,.$$


Если $\delta=0$, то для каждой измеримой функции $a\cd$ на $A$ такой, что для п.~в.
$\xi\in\mathbb R^d$
\begin{equation}\label{*}
|a(\xi)-1|\le\sqrt{\lambda(A)}\,\frac{(1+\|\xi\|^2)^{r/2}}{|\xi|^\alpha}\,,
\end{equation}
метод $\widehat\varphi_a$, действующий для п.~в. $t\in\mathbb R^d$ по правилу
$$
\widehat\varphi_{a}(Fx\cd|_{A})(t)=\frac
1{(2\pi)^d}\int_{A}(i\xi)^\alpha a(\xi)Fx(\xi)e^{
\la\xi,t\ra}\,d\xi,
$$
является оптимальным.


Если $\delta>0$, то для каждой измеримой функции $a\cd$ на $A$ такой, что для п.~в.
$\xi\in\mathbb R^d$
\begin{multline}\label{**}
\left|a(\xi)-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}\right|\\
\le\frac{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}\left(1+\|\xi\|^2\right)^{r/2}}
{|\xi|^\alpha(\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|\xi\|^2\right)^r)}\sqrt{-|\xi|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}\,,
\end{multline}
метод $\widehat\varphi_a$, действующий для п.~в. $t\in\mathbb R^d$
по правилу
$$
\widehat\varphi_a(y\cd)(t)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A} (i\xi)^\alpha
a(\xi)y(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}\,d\xi,
$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\vskip20pt


\noindent{\bf Комментарии}

\vskip5pt

\noindent 1. Если $\delta=0$, то из выражения для оптимальной
погрешности восстановления следует, что
$$
E(D^\alpha,\hr, A,0)=\sqrt{\lambda(A)}\,,
$$
т.~е. преобразование Фурье функций из $\hr$ достаточно знать только на множестве
$A'\subset A$ (включение понимается с точностью до множества меры нуль), для
которого $\lambda(A')=\lambda(A)$. Минимальным среди них является множество
$\Omega_{\lambda(A)}$.

Оптимальный метод представляет собой $\alpha$-ую производную функции, преобразование
Фурье которой вне $A$ равно нулю, а на $A$ есть наше наблюдение, ``сглаженное'' с
помощью функции $a\cd$. В силу \eqref{*} функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha
a(\xi)Fx(\xi)$ принадлежит ${\widehat L}_2(A)$, и если она принадлежит еще и
$L_1(A)$ (например, мера $A$ конечна), то выражение для оптимального метода есть
формула обращения преобразования Фурье. Если нет, то интеграл в выражении для
оптимального метода при каждом $t\in \mathbb R^d$ надо понимать в смысле главного
значения.

На множестве $A\setminus \Omega_{\lambda(A)}$ функция $f\cd$ не
превосходит $\lambda(A)$. Поэтому согласно \eqref* на этом множестве
можно положить $a\cd=0$ и значит, достаточно брать интеграл только
по множеству $\Omega_{\lambda(A)}$.

Если положить $a\cd=1$ на $A$, то формула \eqref* тривиальным образом
выполняется, т.~е. наблюдаемое преобразование Фурье можно совсем не
сглаживать.

Наконец, если $\lambda(A)=\wl$, то $f(\xi)\le\wl$ для всех
$\xi\in\mathbb R^d$. Неравенство \eqref* выполняется при $a\cd=0$ на
$A$ и поэтому в данном случае нулевой метод является оптимальным.

Суммируя сказанное, можно утверждать, что наиболее ``разумным''
является следующий оптимальный метод
$$
\widehat\varphi(Fx\cd|_{A})(t)=\frac
1{(2\pi)^d}\int_{\Omega_{\lambda(A)}}(i\xi)^\alpha Fx(\xi)e^{
\la\xi,t\ra}\,d\xi,
$$
так как он использует минимальный объем информации о преобразовании Фурье и не
требует его обработки (кроме того, в случае $\lambda(A)=\wl$ интеграл берется по
множеству меры нуль и тем самым $\widehat\varphi=0$).


\noindent 2. Если $\delta>0$, то непосредственные (но довольно рутинные) вычисления
показывают, что погрешность оптимального восстановления, как функция от
$\lambda(A)$, убывает при убывании $\lambda(A)$ от $\wl$ до $h(\delta)$, а затем
(что уже легко следует из определения $\Delta$) стабилизируется на уровне
$$\sqrt{\left(\dfrac
{r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right)
+1\right)h(\delta)}\,.
$$
Таким образом, информация о преобразовании Фурье за
пределами множества, для которого $\lambda(A)\le h(\delta)$ оказывается лишней.
Минимальным из таких множеств является множество $\Omega_{h(\delta)}$.


В теореме представлено семейство оптимальных методов, каждый из
которых есть $\alpha$-ая производная функции, преобразование Фурье
которой вне $A$ равно нулю, а на $A$ есть наблюдения $y\cd$,
``сглаженное'' с помощью функции $a\cd$.

На множестве $A\setminus \Omega_{h(\Delta)}$ (напомним
$h(\Delta)=\max\{\lambda(A),h(\delta)\}$) можно положить $a\cd=0$. Действительно, в
этом случае из неравенства \eqref{in}, равносильного соотношению \eqref{**}, следует,
что на этом множестве должно выполняться условие $f(\xi)\le\lambda_2$, которое
верно, поскольку $\lambda_2=h(\Delta)$. Таким образом, для каждого $a\cd$,
удовлетворяющего \eqref{**}, наиболее экономный оптимальный метод имеет вид
$$
\widehat\varphi_a(y\cd)(t)=\frac
1{(2\pi)^d}\int_{\Omega_{h(\Delta)}} (i\xi)^\alpha a(\xi)y(\xi)e^{
\la\xi,t\ra}\,d\xi.
$$

Приведем в конце еще явное выражение для оптимального метода, соответствующего
функции $a\cd$, обращающей левую часть \eqref{**} в ноль:
\begin{multline*}
\widehat\varphi(y\cd)(t)\\=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\Omega_{h(\Delta)}}\!\!
(i\xi)^\alpha
\left(1+\frac{\ov\alpha\Delta^2}{r}\,\frac{1}{\widehat\delta^{2/r}-\Delta^{2/r}}
(1+\|\xi\|^2)^r\right)^{-1}\!y(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}d\xi.
\end{multline*}

\vskip10pt

Перед формулировкой второй теоремы приведем еще некоторые определения. Понятно, что
функция $m\colon \lambda\mapsto \mes\Omega_\lambda$ монотонно убывает на
$(0,\wl\,]$, $m(\lambda)\to\infty$ при $\lambda\to0$ и $m(\wl)=0$. Для любого
$\sigma>0$ обозначим через $\lambda(\sigma)$ единственное решение уравнения
$m(\lambda)=\sigma$.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $\alpha\in\mathbb R^d_+$, \ $0<\ov\alpha<r$, \ $\delta\ge0$, \ $\sigma>0$ и
$\lambda(\sigma,\delta)=\max(\lambda(\sigma),h(\delta))$. Тогда любое множество,
совпадающее с $\Omega_{\lambda(\sigma,\delta)}$ с точностью до множества меры нуль,
является оптимальным.
\end{theorem}

Отметим, что если $\delta=0$, то $\lambda(\sigma,\delta)=\lambda(\sigma)$, поскольку
$h(0)=0$ и тем самым $\Omega_{\lambda(\sigma)}$ --- оптимальное множество, и чем
больше $\sigma$, тем меньше погрешность оптимального восстановления, равная
$\sqrt{\lambda(\sigma)}$.

Если же $\delta>0$ и $\sigma>0$ таковы, что $\lambda(\sigma)\le h(\delta)$, то
информация о преобразовании Фурье за пределами множества $\Omega_{h(\delta)}$
оказывается лишней --- погрешность оптимального восстановления не уменьшается.



\section{Доказательства}


\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T1}$]
Покажем прежде всего, что если $x\cd\in\Hr$, то $D^\alpha x\cd\in\lt$.
Действительно, согласно определениям $\wl$ и пространства $\Hr$
\begin{multline*}
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac
1{(2\pi)^d}\IR\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\\le\wl\frac 1{(2\pi)^d}\IR(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi<\infty.
\end{multline*}
Далее, по определению $\alpha$-ой производной и теореме Планшереля
$$
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=\IR|D^\alpha x(t)|^2\,dt,
$$
т.~е. $D^\alpha x\cd\in\lt$.


Теперь оценим снизу величину погрешности оптимального восстановления $E(
D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)$. Покажем, что она не меньше значения
экстремальной задачи
\begin{equation}\label{*11}
\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}\to\max,\quad\|Fx\cd\|_{{\widehat
L}_2(A)}\le\delta,\quad\|x\cd \|_{\Hr}\le1,
\end{equation}
т.~е. верхней грани максимизируемого функционала при данных
ограничениях (при этом, если $\delta=0$, то первое ограничение
задачи имеет вид $Fx\cd=0$ для п.~в. $\xi\in A$).

Пусть $x_0\cd$
--- допустимая функция в \eqref{*11} (т.~е. $x_0\cd$ удовлетворяет
ограничениям задачи), тогда, очевидно, функция $-x_0\cd$ также
допустима и мы имеем для любого $\varphi\colon {\widehat
L}_2(A)\to\ld$ ($\varphi(0)\cd$
--- значение отображения $\varphi$ на нулевой функции)
\begin{multline*}
2\|D^{\alpha}x_0\cd\|_{\ld} \le\|D^\alpha x_0\cd-\varphi(0)\cd\|_{\ld}\\+
\|D^\alpha (-x_0)\cd-\varphi(0)\cd\|_{\ld}\\
\le 2\sup_{\substack{x\cd\in H_2^r(\mathbb R^d)\\\|Fx\cd\|_{{\widehat
L}_2(A)}\le\delta }}\|D^\alpha x\cd-\varphi(0)\cd\|_{\ld}\\\le2
\sup_{\substack{x\cd\in H_2^r(\mathbb R^d), \ y\cd\in {\widehat
L}_2(A)\\\|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta }}\|D^\alpha
x\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\ld}.
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в
\eqref{*11}, а справа к нижней грани по всем методам $\varphi$,
получаем требуемое.

Теперь оценим снизу значение задачи \eqref{*11}. Для этого удобно переписать задачу
в образах Фурье. Согласно теореме Планшереля квадрат значения задачи \eqref{*11}
равен значению такой задачи
\begin{multline}\label{u1}
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\frac 1{(2\pi)^d}
\int_{A}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\\
\quad\frac 1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.
\end{multline}
Если $\delta=0$, то первое ограничение в этой задаче имеет вид
$Fx\cd=0$ для п.~в. $\xi\in A$.

Рассмотрим отдельно несколько случаев.






1) $\delta\ge\widehat\delta$. Положим
$$
\wxi=\left(\sqrt{\frac{\alpha_1}{r-\ov\alpha}},\ldots,
\sqrt{\frac{\alpha_d}{r-\ov\alpha}}\,\right),
$$
где, напомним, $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$. Для каждого
$\varepsilon>0$ обозначим
$$
\wxi_\varepsilon=\left(1+\frac\varepsilon{\|\widehat \xi\|}\right)\wt,
$$
рассмотрим шар $B_\varepsilon=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid
\|\xi-\wxi_\varepsilon\|\le\varepsilon\,\}$ и определим на $\mathbb R^d$ функции
$$z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
(2\pi)^{d/2}\biggl(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1/2},&\xi\in
B_\varepsilon,\\[15pt]
0,&\xi\notin B_\varepsilon.
\end{cases}$$
Очевидно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим
$x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$ и покажем, что функции $x_\varepsilon\cd$
допустимы в задаче \eqref{u1}.

Второе ограничение в этой задаче, очевидно, выполнено. Если $A\cap
B_\varepsilon=\emptyset$, то первое ограничение тривиальным образом
верно. Пусть $A\cap B_\varepsilon\ne\emptyset$. Легко проверить, что
$(1+\|\wxi\,\|^2)^{-r}=\widehat\delta^2$ и что $\|\xi\|\ge\|\wxi\|$
для всех $\xi\in B_\varepsilon$. Учитывая это, будем иметь
\begin{multline*}
\frac 1{(2\pi)^d} \int_{A}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi= \frac 1{(2\pi)^d}
\int_{A\cap B_\varepsilon}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi\\\le
\left(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}\mes
B_\varepsilon\le\left(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\wxi\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}\mes
B_\varepsilon\\=(1+\|\wxi\,\|^2)^{-r}=\widehat\delta^2\le\delta^2.
\end{multline*}

Итак, для любого $\varepsilon>0$ функция $x_\varepsilon\cd$ допустима в задаче
\eqref{*11} и значит, значение этой задачи не меньше
$$
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=
\left(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}\int_{B_\varepsilon}
|\xi|^{2\alpha}\,d\xi.
$$
При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится (по теореме о среднем)
к величине
$$
f(\wxi\,)=\frac{|\wxi\,|^{2\alpha}}{(1+\|\wxi\,\|^2)^r}\,,
$$
которая равна $\wl$, поскольку в точке $\wxi$ достигается максимум
функции $f$ (что отмечено перед формулировкой теоремы).

Поскольку квадрат погрешности оптимального восстановления не меньше значения задачи
\eqref{*11}, то при $\delta\ge\widehat\delta$ получена оценка
\begin{equation}\label{otc}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\wl}\,.
\end{equation}
Величина справа совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления,
указанной в теореме, так как в рассматриваемом случае $\Delta=\widehat\delta$ и
$h(\widehat\delta\,)=\wl$.


2) $0<\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)\le h(\delta)$. Пусть
$$
\widetilde
\xi=\left(\sqrt{\frac{\alpha_1(1-\delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\delta^{2/r}}},\ldots,
\sqrt{\frac{\alpha_d(1-\delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\delta^{2/r}}}\,\right).
$$
Для каждого $\varepsilon>0$ обозначим
$$
\widetilde\xi_\varepsilon=\left(1-\frac\varepsilon{\|\widetilde
\xi\,\|}\right)\widetilde\xi
$$
и рассмотрим шар $\widetilde B_\varepsilon=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid
\|\xi-\widetilde\xi_\varepsilon\|\le\varepsilon\,\}$.

Поскольку $\delta<\widehat\delta$ и тем самым $r (1-\delta^{2/r})/\ov\alpha>1$, то
\begin{multline*}
f(\widetilde\xi\,)=\frac{|\widetilde\xi\,|^{2\alpha}}{(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r}=
\frac{\alpha^\alpha}{r{\ov\alpha}^{\ov\alpha-1}}
\left(1-\delta^{2/r}\right)^{\ov\alpha-1}\delta^{2(1-\ov\alpha/r)}\\=\frac{r}{\ov\alpha}
(1-\delta^{2/r})h(\delta)>h(\delta)\ge\lambda(A).
\end{multline*}
Следовательно, $\widetilde\xi\in\intt\Omega_{\lambda(A)}$, поэтому
$B_\varepsilon\subset \intt\Omega_{\lambda(A)}$ для достаточно малых $\varepsilon$ и
значит, $\mes (A\cap \widetilde B_\varepsilon)=\mes \widetilde B_\varepsilon$ для
таких $\varepsilon$. Определим на $\mathbb R^d$ функции
$$z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
(2\pi)^{d/2}\dfrac{\delta}{\sqrt{\mes \widetilde B_\varepsilon}},&\xi\in
\widetilde B_\varepsilon,\\[18pt]
0,&\xi\notin \widetilde B_\varepsilon.
\end{cases}$$
Ясно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим
$x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$ и покажем, что функции $x_\varepsilon\cd$
допустимы в задаче \eqref{u1}. Первое ограничение в задаче выполняется очевидным
образом. Далее элементарно проверяется, что $\|\xi\|\le\|\widetilde\xi\,\|$, если
$\xi\in\widetilde B_\varepsilon$, а $\delta^2(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r=1$ и
поэтому
\begin{multline*}
\frac
1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=\frac{\delta^2}{\mes
\widetilde B_\varepsilon}\int_{\widetilde B_\varepsilon}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi\\
\le\frac{\delta^2}{\mes \widetilde B_\varepsilon}(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r\mes
\widetilde B_\varepsilon=\delta^2(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r=1.
\end{multline*}

Итак, функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{*11} и
значит, для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ значение этой
задачи не меньше
\begin{multline*}
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=
\frac{\delta^2}{\mes \widetilde B_\varepsilon}\int_{\widetilde B_\varepsilon}
|\xi|^{2\alpha}\,d\xi\\=\frac 1{(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^{r}\mes \widetilde
B_\varepsilon}\int_{\widetilde B_\varepsilon} |\xi|^{2\alpha}\,d\xi.
\end{multline*}
При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится (по теореме о среднем) к числу
$$
\frac{|\widetilde\xi\,|^{2\alpha}}{(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r}=\dfrac{\alpha^\alpha}
{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\dfrac{(1-\delta^{2/r})^{\ov\alpha}}{\delta^{2\ov\alpha/r}}\,
\delta^2=\left(\dfrac
{r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right)+1\right)h(\delta).
$$
Тогда, по тем же соображениям, что и выше,  для рассматриваемого случая доказана
оценка
\begin{equation}\label{otc2}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\left(\dfrac
{r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right)+1\right)h(\delta)}\,,
\end{equation}
правая часть которой совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления,
указанной в теореме, поскольку в рассматриваемом случае $\Delta=\delta$.




3) $0\le\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)>h(\delta)$. Пусть
сначала $\lambda(A)=\wl$. Тогда для каждого $0<\lambda<\wl$
справедливо неравенство
$\mes(A\cap\Omega_\lambda)<\mes\Omega_\lambda$ и значит, для таких
$\lambda$
\begin{equation*}
\mes(\Omega_\lambda\cap(\mathbb R^d\setminus
A))=\mes(\Omega_\lambda\setminus A)=
\mes\Omega_\lambda-\mes(A\cap\Omega_\lambda)>0.
\end{equation*}
Обозначим $G_\lambda=\Omega_\lambda\cap(\mathbb R^d\setminus A)$ и
определим функции на $\mathbb R^d$ по правилу
$$z_\lambda(\xi)=\begin{cases}(2\pi)^{d/2}\biggl
(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1/2},
&\xi\in G_\lambda,\\[10pt]
0,&\xi\notin G_\lambda.\end{cases}
$$
Ясно, что $z_\lambda\cd\in{\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим
$x_\lambda\cd=F^{-1}z_\lambda\cd$. Элементарно проверяется, что функции
$x_\lambda\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Тогда для всех указанных $\lambda$
(учитывая, что $f(\xi)\ge\lambda$, если $\xi\in\Omega_\lambda$) имеем
\begin{multline*}
\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb
R^d}|\xi|^{2\alpha}|Fx_\lambda(\xi)|^2\,d\xi=
\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1}
\int_{G_\lambda}|\xi|^{2\alpha}\,d\xi\\
=\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1}
\int_{G_\lambda}\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi\\
\ge\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1}\lambda
\int_{G_\lambda}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi=\lambda
\end{multline*}
и тем самым значение задачи \eqref{u1} не меньше $\lambda$. Переходя
к пределу при $\lambda\to\wl$, получаем, что значение этой задачи не
меньше $\wl$.

Снова, поскольку квадрат погрешности оптимального восстановления не
меньше значения задачи \eqref{u1}, то для случая $\lambda(A)=\wl$
доказана оценка
\begin{equation}\label{otc0}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\wl}\,,
\end{equation}
где, снова величина справа совпадает с величиной погрешности оптимального
восстановления из формулировки теоремы, так как в рассматриваемой ситуации
$\Delta=\widehat\delta$.

Пусть теперь $\lambda(A)<\wl$. Покажем сначала, что для всех
$0<\varepsilon<\lambda(A)$ мера множества
$$
F_\varepsilon=(\mathbb R^d\setminus A)\cap(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus
\Omega_{\lambda(A)})
$$
положительна.
%Заметим сначала, что $\mes(\mathbb R^d\setminus A)\ne0$, так как
%$\lambda(A)>h(\delta)>0$ и значит, $A$ не совпадает с $\mathbb R^d$ п.~в.
Предположим, что $\mes F_\varepsilon=0$ для некоторого $\varepsilon$. Тогда отсюда,
учитывая, что $\Omega_{\lambda(A)}\subset\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}$, получим
\begin{multline*} \mes(A\cap(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus
\Omega_{\lambda(A)}))=\mes(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus
\Omega_{\lambda})=\mes
\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\\-\mes(\Omega_{\lambda(A)}\cap
\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})=\mes\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}-
\mes\Omega_{\lambda(A)}.
\end{multline*}
С другой стороны,
\begin{multline*}
\mes (A\cap(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus
\Omega_{\lambda(A)}))=
\mes((A\cap\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})\setminus\Omega_{\lambda(A)})\\
=\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})-\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)}).
\end{multline*}
Из определения $\lambda(A)$ легко вытекает, что
$\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)})=\mes\Omega_{\lambda(A)}$. Тогда из
полученных выражений следует равенство
$\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})=\mes\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}$,
которое противоречит определению $\lambda(A)$. Итак, $\mes
F_\varepsilon\ne0$ для всех $0<\varepsilon<\lambda(A)$.

Пусть сначала $\delta=0$. Для указанных $\varepsilon$ определим
функции на $\mathbb R^d$ по правилу
$$
z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
(2\pi)^{d/2}\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1/2},
&\xi\in F_\varepsilon,\\[15pt]
0,&\xi\notin  F_\varepsilon.
\end{cases}
$$
Ясно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим
$x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$. Элементарно проверяется,
что функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Те же
рассуждения, что и в начале этого пункта показывают, что
$$
\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb
R^d}|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi\ge\lambda(A)-\varepsilon,
$$
откуда, как и раньше, следует, что
\begin{equation}\label{otc00}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,0)\ge\sqrt{\lambda(A)}\,.
\end{equation}
Величина справа совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления из
формулировки теоремы, так как в рассматриваемом случае $\delta=0$ и
$h(\Delta)=\lambda(A)$.



Пусть теперь $\delta>0$. Положим
$$
\xi'=\left(\sqrt{\frac{\alpha_1(1-\Delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\Delta^{2/r}}},\ldots,
\sqrt{\frac{\alpha_d(1-\Delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\Delta^{2/r}}}\,\right).
$$
Для каждого $\varepsilon>0$ обозначим
$$
\xi'_\varepsilon=\left(1-\frac\varepsilon{\|\xi'\|}\right)\xi'
$$
и рассмотрим шар $B'_\varepsilon=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid
\|\xi-\xi'_\varepsilon\|\le\varepsilon\,\}$.




Так как $\lambda(A)<\widehat\lambda$, то
$\Delta=h^{-1}(\lambda(A))<h^{-1}(\wl)=\widehat\delta$ и тогда
аналогично предыдущему случаю имеем
\begin{multline*}
f(\xi')=\frac{|\xi'|^{2\alpha}}{(1+\|\xi'\|^2)^r}=\frac{\alpha^\alpha}
{r{\ov\alpha}^{\ov\alpha-1}}
\left(1-\Delta^{2/r}\right)^{\ov\alpha-1}\Delta^{2(1-\ov\alpha/r)}\\=\frac{r}{\ov\alpha}
(1-\Delta^{2/r})h(\Delta)>h(\Delta)=\lambda(A).
\end{multline*}
Это означает, что  $\xi'\in\intt \Omega_{\lambda(A)}$. Следовательно, для достаточно
малых $\varepsilon>0$ шар $B'_\varepsilon$ принадлежит $\Omega_{\lambda(A)}$ и тем
самым $B'_\varepsilon\cap F_\varepsilon=\emptyset$.

Простая проверка показывает, что $\|\xi\|\le\|\xi'\|$, если $\xi\in B'_\varepsilon$
и $(1+\|\xi'\|^2)^r=1/\Delta^2$. Далее, поскольку $\lambda(A)>h(\delta)$, то
$\Delta=h^{-1}(\lambda(A))>\delta$ и поэтому
\begin{multline*}
\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon}
\left(1+\|\xi\|^2\right)^r\,d\xi\le\frac{\delta^2}{\mes
B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon}
\left(1+\|\xi'\|^2\right)^r\,d\xi\\=\delta^2\left(1+\|\xi'\|^2\right)^r=
\frac{\delta^2}{\Delta^2}<1.
\end{multline*}
Обозначим через $C_\varepsilon$ левую часть этого неравенства и для
указанных выше $\varepsilon$ определим функции на $\mathbb R^d$ по
правилу
$$
z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
(2\pi)^{d/2}\dfrac{\delta}{\sqrt{\mes B'_\varepsilon}},&\xi\in
B'_\varepsilon,\\[18pt]
(2\pi)^{d/2}\sqrt{1-C_\varepsilon}\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1/2},
&\xi\in F_\varepsilon,\\[15pt]
0,&\xi\notin  B'_\varepsilon\cup F_\varepsilon.
\end{cases}$$
Ясно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим
$x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$ и покажем, что функции
$x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}.

Действительно, так как $B'_\varepsilon\subset\Omega_{\lambda(A)}$,
то $\mes B'_\varepsilon=\mes(A\cap B'_\varepsilon)$ и следовательно,
\begin{equation*}
\frac 1{(2\pi)^d}\int_A|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=
\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{A\cap B'_\varepsilon}
d\xi=\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\mes(A\cap
B'_\varepsilon)=\delta^2.
\end{equation*}
Далее
\begin{multline*}
\frac
1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=\frac{\delta^2}{\mes
B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi\\
+(1-C_\varepsilon)\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}
\int_{F_\varepsilon}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi=C_\varepsilon+1-C_\varepsilon=1
\end{multline*}
и таким образом, функции $x_\varepsilon\cd$ для достаточно малых
$\varepsilon$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Тогда для всех таких
$\varepsilon$ ее значение не меньше
\begin{multline}\label{ps}
\frac
1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=\frac{\delta^2}{\mes
B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon}|\xi|^{2\alpha}\,d\xi\\
+(1-C_\varepsilon)\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}
\int_{F_\varepsilon}|\xi|^{2\alpha}\,d\xi.
\end{multline}
Поступая также как и выше, получаем, что произведение двух последних
сомножителей во втором слагаемом справа не меньше
$\lambda(A)-\varepsilon$. Оценивая первое слагаемое и
$C_\varepsilon$ по теореме о среднем, получаем, что при
$\varepsilon\to0$ все выражение справа в \eqref{ps} стремится к
величине
\begin{multline*}
\delta^2|\xi'|^{2\alpha}+(1-\delta^2(1+\|\xi'\|^{2})^r)\lambda(A)=\dfrac{\alpha^\alpha}
{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\dfrac{(1-\Delta^{2/r})^{\ov\alpha}}{\Delta^{2\ov\alpha/r}}\,
\delta^2\,\\+\left(1-\frac{\delta^2}{\Delta^2}\right)\lambda(A)=\left(\frac
{r\delta^2}{{\ov\alpha}\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right)
+1\right)\lambda(A).
\end{multline*}
Следовательно, для случая $0\le\delta<\widehat\delta$, \
$\lambda(A)>h(\delta)$ получена оценка
\begin{equation}\label{otc3}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\left(\frac
{r\delta^2}{{\ov\alpha}\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right)
+1\right)\lambda(A)}\,
\end{equation}
правая часть которой совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления
из формулировки теоремы, так как в рассматриваемом случае $h(\Delta)=\lambda(A)$.


\vskip10pt


Итак, для всех  $\delta\ge0$ и измеримых множеств $A\subset\mathbb R^d$ таких, что
$\delta+\lambda(A)\ne0$ получена оценка снизу для погрешности оптимального
восстановления (см. \eqref{otc} -- \eqref{otc00} и \eqref{otc3}), которая совпадает
с величиной погрешности оптимального восстановления приведенной в формулировке
теоремы. Займемся теперь оценкой сверху этой величины и построением оптимальных
методов.

Пусть  $\delta\ge0$ и $A\subset\mathbb R^d$ фиксированы и
$\delta+\lambda(A)\ne0$. Оптимальность метода $\varphi\colon {\rm
Im}\,I^\alpha(A)\to\ld$ означает, что его погрешность, т.~е.
значение задачи
\begin{multline}\label{bb2}
\|D^\alpha x\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\ld}\to\max,\quad x\cd\in\hr,\\
\|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta,\quad y\cd\in {\widehat L}_2(A),
\end{multline}
совпадает с $E(D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)$.

Если $\delta=0$, то задача переписывается так
\begin{equation}\label{bb0}
\|D^\alpha x\cd-\varphi(Fx\cd|_A)\cd\|_{\ld}\to\max,\quad x\cd\in\hr.
\end{equation}

Рассмотрим отдельно несколько случаев.



$(a)$ $\delta=0$. Поскольку отображение $x\cd\mapsto D^\alpha x\cd$ в образах Фурье
есть умножение функции $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha$ на $Fx\cd$, то и оптимальные
методы естественно искать среди подобных отображений.  Каждой измеримой функции
$a\cd$ на $A$ такой, что $a\cd\sqrt{f\cd}\in L_\infty(A)$ сопоставим отображение
$\varphi_a\colon {\rm Im}\,I^0(A)\to\ld$, действующее в образах Фурье по правилу:
$F\varphi_a(y\cd)(\xi)=(i\xi)^\alpha \widetilde a(\xi)\widetilde y(\xi)$ для п.~в.
$\xi\in\mathbb R^d$, где $\widetilde a\cd=a\cd$, $\widetilde y\cd=y\cd$ на $A$ и
$\widetilde a\cd=0$, $\widetilde y\cd=0$ вне $A$. Определение корректно, так как
если $y\cd\in {\rm Im}\,I^0(A)$, то $y\cd=Fx\cd|_A$ для некоторого $x\cd\in \Hr$ и
тогда
\begin{multline*}
\frac 1{(2\pi)^d}\int_A|F\varphi_a(y\cd)(\xi)|^2\,d\xi=
\frac1{(2\pi)^d}\int_A|\xi|^{2\alpha}|a(\xi)|^2|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=
\frac
1{(2\pi)^d}\int_A|a(\xi)|^2\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\\\||a\cd|^2 f\cd\|_{L_\infty(A)}\,\frac
1{(2\pi)^d}\int_A(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi<\infty.
\end{multline*}
Таким образом, согласно теореме Планшереля, $\varphi_a(y\cd)\cd\in\ld$.


Пусть $\varphi_a$ --- такое отображение. Оценим квадрат максимизируемого функционала
в \eqref{bb0} с $\varphi=\varphi_a$, переходя по теореме Планшереля к образам Фурье
($f(\xi)\le\lambda(A)$, если $\xi\in\mathbb R^d\setminus A$)
\begin{multline}\label{nn}
\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|(i\xi)^\alpha
Fx(\xi)-\varphi_a(Fx\cd|_A)(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}|(i\xi)^\alpha
Fx(\xi)-(i\xi)^\alpha a(\xi)Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+ \frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb
R^d\setminus A}|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac
1{(2\pi)^d}\int_{A}|1-a(\xi)|^2\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus
A}\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\
\le\vraisup_{\xi\in A}|1-a(\xi)|^2f(\xi)\,\frac1{(2\pi)^d}\int_{A}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+\lambda(A)\,\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus
A}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi.
\end{multline}
Отсюда видно, что если
\begin{equation}\label{vr}
|1-a(\xi)|^2f(\xi)\le\lambda(A)
\end{equation}
для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$, то величина справа в \eqref{nn} не
превосходит $\lambda(A)$ и значит,  погрешность метода $\varphi_a$
не превосходит $\sqrt{\lambda(A)}$. Тогда, с учетом \eqref{otc00}
имеем
$$
\sqrt{\lambda(A)}\le E(D^\alpha,\hr, A,0)\le e(D^\alpha,\hr,
A,0,\varphi_a)\le\sqrt{\lambda(A)},
$$
т.~е. $E(D^\alpha,\hr, A,0)=\sqrt{\lambda(A)}$, а $\varphi_a$
--- оптимальный метод.

Существование таких функций $a\cd$ очевидно. Например, подходит
функция, равная тождественно единице.

Если $\lambda(A)=\wl$, то $f(\xi)\le\wl$ для любого $\xi\in\mathbb R^d$ и \eqref{vr}
выполняется с $a\cd=0$, т.~е. нулевой метод оптимален в данном случае.





Если функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi) Fx(\xi)$ принадлежит
$L_1(A)$ (например, если мера $A$ конечна), то выражение для
оптимального метода, приведенное в теореме есть формула обращения
преобразования Фурье.  В противном случае интеграл для каждого $t
\in\mathbb R^d$ надо понимать в смысле главного значения.

$b)$ $\delta>0$, \ $\lambda(A)=\wl$. Покажем, что в этой ситуации нулевой метод
является оптимальным.

В самом деле,
\begin{multline}\label{d0}
E(D^\alpha,\hr, A,\delta)\le e(D^\alpha,\hr, A,\delta,0)\\=\sup_{\substack{x\cd\in
\hr, \ y\cd\in{\widehat L}_2(A)
\\[3pt]\|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta}}
\|D^\alpha x\cd\|_{\ld}\le\sup_{x\cd\in \hr}\|D^\alpha x\cd\|_{\ld}.
\end{multline}
Согласно теореме Планшереля квадрат величины справа равен значению такой задачи
\begin{multline}\label{d1}
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\\\frac
1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.
\end{multline}
Отсюда, в силу определения $\wl$,
\begin{multline*}
\frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac
1{(2\pi)^d}\IR\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\wl,
\end{multline*}
т.~е. значение задачи \eqref{d1} не превосходит $\wl$. Следовательно, для случаев
$\delta\ge\widehat\delta$ и  $0\le\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)=\wl$ (см.
\eqref{otc} и \eqref{otc0}) имеем
$$
\sqrt{\wl}\le E(D^\alpha,\hr, A,\delta)\le e(D^\alpha,\hr,
A,\delta,0)\le\sqrt{\wl}\,,
$$
т.~е. $E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=\sqrt{\wl}$ и $\widehat\varphi=0$ --- оптимальный
метод.



$c)$ $0<\delta<\widehat\delta$, \ $0\le\lambda(A)<\wl$. Для этих случаев выше были
получены оценки снизу для погрешности оптимального восстановления (см. \eqref{otc2}
и \eqref{otc3}), которые, как нетрудно проверить, можно записать в виде одной
формулы:
\begin{equation}\label{otc4}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d),
A,\delta)\ge\sqrt{\lambda_1\delta^2+\lambda_2}\,,
\end{equation}
причем $\lambda_i>0$, $i=1,2$.

Пусть $a\cd$ --- измеримая функция на $A$ такая, что функция
$\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi)$ принадлежит $L_\infty(A)$.
Оптимальные методы, как и выше, будем искать среди таких отображений
$\varphi_a\colon {\rm Im}\,I^\delta(A)\to\ld$, которые в образах
Фурье действуют по правилу $F\varphi_a(y\cd)(\xi)=(i\xi)^\alpha
\widetilde a(\xi)\widetilde y(\xi)$ для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$,
где $\widetilde a\cd=a\cd$, $\widetilde y\cd=y\cd$ на $A$ и
$\widetilde a\cd=0$, $\widetilde y\cd=0$ вне $A$. Ясно, что
$\varphi_a\cd\in\ld$.

Пусть $\varphi_a$ --- такой метод. Оценим значение задачи
\eqref{bb2} в этой ситуации. Переходя по теореме Планшереля к
образам Фурье, получаем, что квадрат ее значения равен значению
следующей задачи
\begin{multline}\label{bbg}
\frac1{(2\pi)^d}\int_{A}|(i\xi)^\alpha Fx(\xi)-(i\xi)^\alpha
a(\xi)y(\xi)|^2\,d\xi\\+ \frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb
R^d\setminus A}|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\\
\frac1{(2\pi)^d}\int_{A}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\\
\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2 \,d\xi\le1,
\,\,\, x\cd\in\Hr,\,\,\, y\cd \in{\widehat L}_2(A).
\end{multline}

Теперь оценим по неравенству Коши--Буняковского для каждого $\xi\in
A$ выражение под знаком первого интеграла в максимизируемом
функционале:
\begin{multline*}
|(i\xi)^\alpha
Fx(\xi)-(i\xi)^\alpha a(\xi)y(\xi)|^2\\=|\xi|^{2\alpha}|(1-a(\xi))Fx(\xi)+
a(\xi)(Fx(\xi)-y(\xi))|^2\\
\le|\xi|^{2\alpha}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}+\frac{|a(\xi)|^2}{\lambda_1}\right)
\left(\lambda_2(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2\\+\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2).
\end{multline*}

Обозначим
$$
S_a=\vraisup_{\xi\in A}|\xi|^{2\alpha}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}+\frac{|\alpha(\xi)|^2}
{\lambda_1}\right).
$$
Если предположить, что $S_a\le1$, то интегрируя по $A$ последнее
неравенство и учитывая, что $f(\xi)\le\lambda(A)$ за пределами $A$,
получаем следующую оценку для максимизируемого функционала в
\eqref{bbg}
\begin{multline*}
\lambda_2\frac
1{(2\pi)^d}\int_{A}(1+\|\xi\|^2)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi+\lambda_1\frac
1{(2\pi)^d}\int_{A}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\\+\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb
R^d\setminus
A}\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\\le\lambda_2\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}
(1+\|\xi\|^2)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi+\lambda_1\frac
1{(2\pi)^d}\int_{A}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\\+\lambda(A)\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb
R^d\setminus A}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi.
\end{multline*}
Если $\lambda(A)\le h(\delta)$, то $\Delta=\delta$ и тем самым
$\lambda(A)\le h(\Delta)=\lambda_2$. Если же $\lambda(A)\ge
h(\delta)$, то $\lambda_2=h(\Delta)=\lambda(A)$. Итак, всегда
$\lambda(A)\le\lambda_2$, и поэтому из последней оценки, учитывая
ограничения в задаче \eqref{bbg}, получаем, что максимизируемый
функционал в этой задаче не превосходит величины
$\lambda_2+\lambda_1\delta^2$, т.~е. погрешность метода $\varphi_a$
не превосходит $\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\delta^2}$. Вместе с
\eqref{otc4} это означает, что метод $\varphi_a$ оптимален.


Теперь покажем, что указанные функции $a\cd$, для которых $S_a\le1$,
существуют.


Если для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$ выполняется неравенство
\begin{equation}\label{in}
|\xi|^{2\alpha}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}+\frac{|\alpha(\xi)|^2}
{\lambda_1}\right)\le1,
\end{equation}
то $S_a\le1$. Далее, если
\begin{equation}\label{ineq}
-|\xi|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|\xi\|^2\right)^r\ge0,\,\,\,\forall\,\xi\in\mathbb R^d,
\end{equation}
то нетрудно проверить (выделяя полный квадрат), что \eqref{in} равносильно
соотношению, приведенному в теореме. Из него следует, что для любой измеримой
функция $a\cd$ ему удовлетворяющей, функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi)$
принадлежит $L_\infty(A)$ и таким образом оптимальных методов ``достаточно много''.

Осталось доказать неравенство \eqref{ineq}. Для этого рассмотрим
функцию $g\cd$ на полупрямой $[0,\infty)$, определенную формулой
$$
g(x)=\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\left(x^{1/r}-1\right)^{\ov\alpha}.
$$
Простая проверка показывает, что эта функция вогнута на $[x_0,\infty)$, где
$x_0=(r/(r-\ov\alpha))^r$.

В нашем случае $\Delta<\widehat\delta$, или равносильно, $\Delta^{-2}>x_0$.
Непосредственный подсчет показывает, что прямая $x\mapsto \lambda_1+\lambda_2x$
является касательной к графику функции $g\cd$ в точке $\Delta^{-2}$ и поэтому в силу
вогнутости $g\cd$
$$
g(x)\le\lambda_1+\lambda_2x,\quad \forall\,x\ge x_0.
$$

Пусть $\xi\in\mathbb R^d$. Положим $x_\xi=(1+\|\xi\|^2)^{r}$. Тогда
$$
g(x_\xi)=\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,\|\xi\|^{2\ov\alpha}.
$$
Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. \cite{H}, стр. 29)
легко следует, что
$$
|\xi|^{2\alpha}\le\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,\|\xi\|^{2\ov\alpha}.
$$
Объединяя последние соотношения, учитывая, что $x_\varepsilon>x_0$, получаем
$$
|\xi|^{2\alpha}\le\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,\|\xi\|^{2\ov\alpha}=
g(x_\xi)\le\lambda_1+\lambda_2x_\xi=\lambda_1+\lambda_2(1+\|\xi\|^2)^r,
$$
что и доказывает \eqref{ineq}, а значит, и выражение для функций $a\cd$ из
формулировки теоремы.


Как и в случае $\delta=0$, если функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi) Fx(\xi)$
принадлежит $L_1(A)$ (например, если мера $A$ конечна), то выражение для
оптимального метода, приведенное в теореме есть формула обращения преобразования
Фурье.  В противном случае интеграл для каждого $t \in\mathbb R^d$ надо понимать в
смысле главного значения.
\end{proof}


\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T2}$]
Пусть $A_\sigma\in\mathcal A_\sigma$. Покажем, что
$\lambda(A_\sigma)\ge\lambda(\sigma)$. Действительно, если
$\lambda(A_\sigma)<\lambda(\sigma)$, то существует такое $\lambda<\lambda(\sigma)$,
что $\mes(A_\sigma\cap\Omega_\lambda)=\mes\Omega_\lambda$ и так как
$\mes\Omega_\lambda>\mes\Omega_{\lambda(\sigma)}=\sigma$, то $\mes A_\sigma>\sigma$,
что абсурдно.

Пусть $\delta=0$. Из теоремы \ref{T1} вытекает, что
\begin{equation*}
E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d),
A_\sigma,0)=\sqrt{\lambda(A_\sigma)}\ge\sqrt{\lambda(\sigma)}\,.
\end{equation*}
Но поскольку $\mes\Omega_{\lambda(\sigma)}=\sigma$ и
$\lambda(\Omega_{\lambda(\sigma)})=\lambda(\sigma)$, то $\Omega_{\lambda(\sigma)}$
--- оптимальное множество и, очевидно, что любое множество, отличающееся от
$\Omega_{\lambda(\sigma)}$ лишь на множестве меры нуль, также оптимально.

Если $\delta\ge\widehat\delta$, то для любого множества и, в частности, для любого $A_\sigma$
$$E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d),
A_\sigma,0)=\sqrt{\widehat\lambda}.$$
Следовательно, в этом случае любое множество является оптимальным.

Пусть теперь $0<\delta<\widehat\delta$ и $A_\sigma\in\mathcal A_\sigma$. Если
$\lambda(\sigma)\ge h(\delta)$, то $\lambda(\sigma,\delta)=\lambda(\sigma)$. Чуть
выше показано, что $\lambda(A_\sigma)\ge\lambda(\sigma)$ и тем самым
$\lambda(A_\sigma)\ge h(\delta)$. В этом случае погрешность оптимального
восстановления, как отмечено в комментарии к теореме \ref{T1}, убывает с убыванием
$\lambda(A)$, и поскольку
$\lambda(A_\sigma)\ge\lambda(\sigma)=\lambda(\Omega_{\lambda(\sigma)})$, то
$$
E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta)\ge E(D^\alpha,\hr,\Omega_{\lambda(\sigma)},\delta).
$$
Следовательно, $\Omega_{\lambda(\sigma)}$ --- оптимальное множество.

Пусть $\lambda(\sigma)\le h(\delta)$, тогда $\lambda(\sigma,\delta)=h(\delta)$. Если
$\lambda(A_\sigma)\ge h(\delta)$, то по тем же соображениям, что и а предыдущем
случае, получаем
$$
E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta)\ge E(D^\alpha,\hr,\Omega_{h(\delta)},\delta).
$$
Если же $\lambda(A_\sigma)\le h(\delta)$, то согласно теореме \ref{T1}
\begin{multline*}
E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta)=\sqrt{\left(\dfrac
{r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right)
+1\right)h(\delta)}\\=E(D^\alpha,\hr,\Omega_{h(\delta)},\delta),
\end{multline*}
т.~е. $\Omega_{h(\delta)}$ --- оптимальное множество.

Итак, при $\delta>0$ множество $\Omega_{\lambda(\sigma,\delta)}$ и любое множество,
отличающееся от $\Omega_{\lambda(\sigma,\delta)}$ на множестве меры нуль,
оптимальны.
\end{proof}

Рассмотрим теперь один пример. Пусть $\alpha=(1,0,\ldots,0)$ и $r=2$. Иными словами,
рассматривается задача восстановления частной производной $x_{t_1}(\cdot)$ на классе
$H_2^2(\mathbb R^d)$. В этом случае $$\wl=\frac14\,,\quad\widehat\delta=\frac12\,,$$
а
$$
\Omega_\lambda=\left\{\,(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d
\mid\frac{\xi_1^2}{(1+\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2)^2}\ge\lambda\,\right\}.$$ Нетрудно
убедиться, что $\Omega_\lambda$ при $\lambda<1/4$ представляет собой два шара:
$$\Omega_\lambda=\left\{\,(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d\mid\left(|\xi_1|-\frac1{2\sqrt\lambda}\right)^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_d^2\le
\frac1{4\lambda}-1\,\right\}.$$

Из теоремы \ref{T1} получаем, что $E(D^\alpha,H_2^2(\mathbb R^d), A,\delta)=1/2$ при
$\delta\ge1/2$, а при $\delta<1/2$
$$E(D^\alpha,H_2^2(\mathbb R^d), A,\delta)=\begin{cases}
\sqrt{(1-\delta)\delta},&\lambda(A)\le\delta/2,\\[12pt]
\sqrt{\left(\dfrac{1-4\lambda(A)}
{4\lambda(A)}\right)\delta^2+\lambda(A)},&\lambda(A)>\delta/2.
\end{cases}$$
Семейство оптимальных методов для рассматриваемого случая также может быть легко получено из теоремы \ref{T1}. В частности, при $0<\delta<1/2$ метод
$$
\widehat\varphi(Fx\cd|_{A})(t)=\frac
1{(2\pi)^d}\int_{A}\frac{i\xi_1}{1+\dfrac{\Delta^2}
{1-2\Delta}(1+\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2)^2}Fx(\xi)e^{
\la\xi,t\ra}\,d\xi,$$
где
$$\Delta=\begin{cases}
\delta,&\lambda(A)\le\delta/2,\\
2\lambda(A),&\lambda(A)>\delta/2,\end{cases}$$
является оптимальным.


В силу известной формулы для объема $d$-мерного шара имеем
$$\mes\Omega_\lambda=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}\left(\frac1{4\lambda}
-1\right)^{d/2}$$ и тем самым
$$\lambda(\sigma)=\frac14\left(1+\frac1\pi\left(\frac\sigma2\Gamma(d/2+1)\right)^{2/d}
\right)^{-1}.$$

Как отмечалось в доказательстве теоремы \ref{T2}, при $\delta\ge1/2$ любое множество
оптимально. При $\delta<1/2$ из той же теоремы вытекает, что шары
$$\left\{\,(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d\mid\left(|\xi_1|-\sqrt{R^2+1}\right)^2
+\xi_2^2+\ldots+\xi_d^2\le R^2
\,\right\},$$
где
$$R=\begin{cases}\dfrac1{\sqrt\pi}\left(\dfrac\sigma2\Gamma(d/2+1)\right)^{1/d},&
\sigma<\dfrac2{\pi^{d/2}\Gamma(d/2+1)}\left(\dfrac1{2\delta}-1\right)^{d/2},\\[12pt]
\sqrt{\dfrac1{2\delta}-1},&
\sigma\ge\dfrac2{\pi^{d/2}\Gamma(d/2+1)}\left(\dfrac1{2\delta}-1\right)^{d/2},
\end{cases}$$
являются оптимальным множеством.






\begin{thebibliography}{11}
\bibitem{K}{\it Kolmogorov~A.~N.} \"Uber die beste Ann\"aherung von
Functionen einer gegebenen Functionenklasse // Ann. of Math. 1936, 37, 107--110.

\bibitem{Sa}{\it Sard~A.} Best approximate integration formulas: best
approximation formulas // Amer. J. Math. 1949, 71, 80--91.

\bibitem{Nik}{\it Никольский~С.~М.} К вопросу об оценках приближений квадратурными
формулами // УМН, 1950, 5, № 2, 165--177.


\bibitem{S}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965.

\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli and
T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{TW}{\it Traub J.~F., Wo\'zniakowski H.} A General Theory of
Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin:
Springer--Verlag, 1985.

\bibitem{Ar}{\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.

\bibitem{Os1}{\it  Osipenko~K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions,
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000.


\bibitem{MT1}{\it  Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и его
приложения, М.: Эдиториал УРСС, 2011 (3-е изд).

\bibitem{MT2}{\it  Magaril-Il'yaev~G.~G., Tichomirov~V.~M.} Convex
Analysis: Theory and Applications, Translations of Math.
Monographs, vol. 222, AMS, Providence, RI, 2003.

%\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
%восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.~50. \No6.
%С.~85--93.

\bibitem{MOf}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и
неравенства для производных // Функ. анализ и его прил. 2003. T.~37. С.~51--64.

\bibitem{MOTr}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} О восстановлении операторов
сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН, 2010, 269, 181--192.

\bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функ. анализ и его прил. 2010.
T.~44. С.~76--79.

\bibitem{MOv}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.}
О наилучшем выборе информации в задаче восстановления функции по спектру,
Математический форум. Т.1. Исследования по математическому анализу. Владикавказ: ВНЦ
РАН, 2008, 142--150.  

\bibitem{MO6} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Как наилучшим
образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?, {\it Мат. заметки},
{\bf92}:1 (2012),  59–-67.

\bibitem{TS} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Сивкова~Е.~О.}  Наилучшее восстановление
оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру, {\it Матем. сб.}
{\bf203}:4 (2012),  119--130.

\bibitem{MOV} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление
производных на соболевских классах // {\it Владикавказский мат. журнал}, {\bf5}:1
(2003), 39–-47.

\bibitem{H} {\it Харди~Г.~Г., Литтльвуд~Д.~Е., Полиа.~Г.} Неравенства. М.:
Иностранная литература, 1948.

\end{thebibliography}







\end{document}

%Для этого сначала найдем  значение следующей экстремальной задачи
%\begin{equation}\label{z}
%|\xi|^{2\alpha}\to\max, \quad \|\xi\|=1,\quad
%\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d.
%\end{equation}
%Обозначим через $\xi^*=(\xi_1^*,\ldots,\xi_d^*)$ ее решение,
%которое, очевидно, существует.

%Согласно правилу множителей Лагранжа найдутся такие множители
%Лагранжа $\mu_0$ и $\mu_1$, не равные одновременно нулю, что функция
%Лагранжа задачи \eqref{z}
%$$
%\mathcal L(\xi,\mu_0,\mu_1)=\mu_0|\xi|^{2\alpha}+\mu_1(\|\xi\|^2-1)
%$$
%удовлетворяет необходимому условию экстремума в точке $\xi^*$, т.~е.
%\begin{equation}\label{L}
%\mu_02\alpha_j{\xi^*_j}^{2\alpha_j-1}\prod_{\substack{k=1\\k\ne
%j}}^d {\xi^*_k}^{2\alpha_k}+\mu_12\xi^*_j=0,\quad 1\le j\le d,
%\end{equation}
%где первое слагаемое отсутствует, если $\alpha_j=0$. Если же
%$\alpha_j\ne0$, то $\xi_j^*\ne0$, поскольку ясно, что значение
%задачи \eqref{z} отлично от нуля. Отсюда следует, что $\mu_0$ и
%$\mu_1$ отличны от нуля, откуда, в свою очередь, следует, что
%$\xi_j^*=0$, если $\alpha_j=0$ и
%$$
%{\xi_j^*}^2=-\alpha_j\,\frac{\mu_0}{\mu_1}\,\prod_{k=1}^d
%{\xi^*_k}^{2\alpha_k},
%$$
%если $\alpha_j\ne0$. Из соотношения $\|\xi^*\|=1$, находим выражение
%для $\mu_0/\mu_1$, из которого и предыдущей формулы вытекает, что
%$$
%{\xi_j^*}^2=\frac{\alpha_j}{\ov\alpha},\quad j=1,\ldots,d.
%$$
%Следовательно, значение задачи \eqref{z} таково
%$$
%|\xi^*|^{2\alpha}=\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,.
%$$





\vskip50pt

в силу того, что $\mes(\mathbb R^d\setminus
M_\mu)\cap\Omega_{\ov\lambda}=0$, а при $t\in\mathbb
R^d\setminus\Omega_{\ov\lambda}$
$$\frac{|t|^{2\alpha}}{(1+\|t\|^2)^r}\le\ov\lambda\le\lambda_2,$$
значение задачи \eqref{bb1} оценивается величиной
\begin{multline*}
S_\gamma\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}\left(\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2+
\lambda_1|z(t)|^2\right)\,dt\\+\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt\\
\le\frac{\lambda_2}{(2\pi)^d}
\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt+\frac{\lambda_1}{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}
|z(t)|^2\,dt\le\lambda_2+\lambda_1\Delta^2.
\end{multline*}
Таким образом, в этом случае
$$e(\alpha,\mu,\delta,m)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$
Следовательно,
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$
Нетрудно убедиться, что эта оценка совпадает с оценками снизу
\eqref{E1} и \eqref{E2}.

Остается доказать непустоту множества функций $\gamma\cd$, для
которых при почти всех $t\in M_\mu$ выполнено неравенство
$$\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2}
{\lambda_1}\le1.$$ Это неравенство может быть переписано в виде
\begin{multline*}
\left|\gamma(t)-\frac{\lambda_1(it)^\alpha}{\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r}\right|^2\\
\le\frac{\lambda_1\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}
{(\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r)^2}(-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r).
\end{multline*}
Теперь достаточно доказать, что при всех $t\in\mathbb R^d$
$$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$ Множество точек вида \eqref{gr}
лежит под кривой \eqref{kr}. Эта кривая вогнута при $x\ge x_0$.
Поэтому для любой касательной к кривой \eqref{kr} $y=c_1+c_2x$,
проведенной в точке, принадлежащей множеству $[x_0,+\infty)$,
выполняется неравенство
$$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$ Остается только заметить, что
$y=\lambda_1+\lambda_2x$ --- касательная к кривой \eqref{kr} в точке
$x=\omega^{-2}$ при $\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\ov\lambda)$ и в
точке $x=\Delta^{-2}$ при $\ov\lambda\in(0,\lambda_\Delta)$.






\end{proof}

%\end{document}

\vskip70pt



На плоскости $(x,y)$ рассмотрим множество точек вида
\begin{equation}\label{gr}
\begin{cases}y=|t|^{
2\alpha},&\\
x=(1+\|t\|^2)^r,&\end{cases}
\end{equation}
при всех $t\in\mathbb R^d$. Найдем значение следующей экстремальной задачи
$$|t|^{2\alpha}\to\max,\quad\|t\|^2\le R^2.$$
Положив $u_j=|t_j|^2$, эта задача перепишется в виде
$$\prod_{j=1}^du_j^{\alpha_j}\to\max,\quad u_1+\ldots+u_d\le R^2\quad u_j\ge0,\ j=1,\ldots,d.$$
Если при некотором $j$ \ $\alpha_j=0$, то соответствующую переменную можно отбросить.
Поэтому без ограничения общности можно считать, что $\alpha_j>0$ для всех $j$.
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
$$\LL(u,\lambda_0,\lambda_1)=-\lambda_0\prod_{j=1}^du_j^{\alpha_j}
+\lambda_1(u_1+\ldots+u_d-R^2).$$
Применяя необходимые условия для экстремума, получаем равенства
$$-\lambda_0\alpha_ju_j^{\alpha_j-1}\prod_{\substack{k=1\\k\ne j}}^du_k^{\alpha_k}+\lambda_1=0.$$
Очевидно, что $\lambda_0\ne0$. Поэтому $u_j=c\alpha_j$, $j=1,\ldots,d$, где положительная
константа $c$ находится из условия дополняющей нежесткости
$u_1+\ldots+u_d=R^2$. Тем самым значение рассматриваемой задачи равно
$pR^{2\sigma}\sigma^{-\sigma}$,
где
$$p=\prod_{j=1}^d\alpha_j^{\alpha_j},\quad\sigma=\sum_{j=1}^d\alpha_j.$$
Достигается это значение на точках
$$t_j=\pm R\sqrt{\frac{\alpha_j}\sigma},\quad j=1,\ldots,d.$$
В случае, если какие-то из чисел $\alpha_j$ равны нулю, полученное
выражение для значения экстремальной задачи остается верным, считая,
что соответствующие величины $\alpha_j^{\alpha_j}$ равны 1.


Таким образом, множество точек \eqref{gr} лежит в первом квадранте
под кривой, задаваемой равенствами
\begin{equation}\label{kr}
\begin{cases}y=pR^{2\sigma}\sigma^{-\sigma},&\\
x=(1+R^2)^r,&\end{cases}.
\end{equation}


Пусть $r>1$ и $\sigma<r$. Соединим начало координат с точкой на
кривой \eqref{kr}. Нетрудно убедиться, что максимальное значение
углового коэффициента этой прямой (т.е. максимальное значение
отношения $y/x$) достигается при
$$x=x_0=\left(\frac r{r-\sigma}\right)^r.$$
При этом для самого значения этого углового коэффициента справедливо равенство
$$\frac{y(x_0)}{x_0}=\wl,\quad\wl=\frac p{r^r}(r-\sigma)^{r-\sigma}.$$
Таким образом, при всех $t\in\mathbb R^d$ имеет место неравенство
\begin{equation}\label{ll}
|t|^{2\alpha}\le\wl(1+\|t\|^2)^r.
\end{equation}

Рассмотрим множество
$$\Omega_\lambda=\left\{\,t\in\mathbb R^d:\frac{|t|^{2\alpha}}{(1+\|t\|^2)^r}\ge\lambda\,\right\}.$$
Положим
$$\ov\lambda=\inf\{\,0<\lambda\le\wl:\mes(M_\mu\cap \Omega_\lambda)=\mes\Omega_\lambda\,\}.$$



Положим
$$\Delta=\frac\delta{(2\pi)^{d/2}},\quad\Delta_0=\left(\frac{r-\sigma}r
\right)^{r/2}.$$

Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac p{r\sigma^{\sigma-1}}(1-x^{2/r})^{\sigma-1}x^{2(1-\sigma/r)}.$$
Нетрудно убедиться, что эта функция монотонно возрастает при $x\in[0,\Delta_0]$, а $f(\Delta_0)=\wl$. При $\Delta<\Delta_0$ положим $\lambda_\Delta=f(\Delta)$. Тогда, если $\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\wl]$, то найдется единственное число $\omega\in(\Delta,\Delta_0]$, для которого $f(\omega)=\ov\lambda$.

При $\Delta<\Delta_0$ положим
\begin{align*}
\lambda_1&=\begin{cases}
\dfrac p{\sigma^\sigma}\dfrac{(1-\Delta^{2/r})^\sigma}{\Delta^{2\sigma/r}}-
\dfrac{\lambda_\Delta}{\Delta^2},&\ov\lambda\in(0,\lambda_\Delta),\\[12pt]
\dfrac p{\sigma^\sigma}\dfrac{(1-\omega^{2/r})^\sigma}{\omega^{2\sigma/r}}-
\dfrac{\ov\lambda}{\omega^2},&\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\wl],
\end{cases}\\[8pt]
\lambda_2&=\begin{cases}\lambda_\Delta,&\ov\lambda\in(0,\lambda_\Delta),\\[8pt]
\ov\lambda,&\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\wl].
\end{cases}
\end{align*}

\begin{theorem}\label{T1}
При $0<\Delta<\Delta_0$
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\sqrt{\lambda_1\Delta^2+\lambda_2},$$
а все методы
$$\wm(y\cd)(t)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}(i\tau)^\alpha\gamma(\tau) y(\tau)e^{i\la\tau,t\ra}\,d\tau,$$
где $\gamma(t)$ для почти всех $t\in M_\mu$ удовлетворяет условию
\begin{multline*}
\left|\gamma(t)-\frac{\lambda_1(it)^\alpha}{\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r}\right|^2\\
\le\frac{\lambda_1\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}
{(\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r)^2}(-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r).
\end{multline*}
являются оптимальными. Если $\Delta\ge\Delta_0$, то
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\sqrt{\wl},$$
а метод $\wm(y\cd)(t)=0$ --- оптимальный.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из общих результатов о восстановлении линейных операторов вытекает оценка снизу
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\sup_{\substack{x\cd\in \hr
\\\|Fx\cd\|_{L_2(M_\mu)}\
\le\delta}} \|D^\alpha x\cd\|_{\ld}.$$

Экстремальная задача в правой части этого неравенства может быть
записана в виде (для удобства мы ищем квадрат значения этой задачи)
\begin{equation}\label{*1}
\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}^2\to\max,\quad\|Fx\cd\|^2_{L_2(M_\mu)}\le\delta^2,\quad\|x\cd
\|_{\Hr}^2\le1.
\end{equation}
В силу равенства Парсеваля
$$\|x\cd\|^2_{\lt}=(2\pi)^{-d}\|Fx\cd\|^2_{\lt},$$
полагая
$$u\cd=(2\pi)^{-d}|Fx\cd|^2,$$
задача \eqref{*1} в образах Фурье запишется в виде
\begin{multline}\label{u}
\IR|t|^{2\alpha}u(t)\,dt\to\max,\quad\int_{M_\mu} u(t)\,dt\le\Delta^2,\\
\quad\IR\left(1+\|t\|^2\right)^ru(t)\,dt\le1,\ u(t)\ge0\ \mbox{п.\ в.},
\end{multline}
где $|t|^{2\alpha}=|t_1|^{2\alpha_1}\ldots|t_d|^{2\alpha_d}$, $\Delta=\delta(2\pi)^{-d/2}$.


Покажем, что для всех $\delta>0$ и $M_\mu$
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\wl}.$$
Имеем
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le e(\alpha,M_\mu,\delta,0)=\sup_{x\cd\in \hr}
\|D^\alpha x\cd\|_{\ld}.$$
В образах Фурье последняя задача записывается в виде (мы снова переходим к квадратам значений)
\begin{multline*}
\IR|t|^{2\alpha}u(t)\,dt\to\max,\\
\IR\left(1+\|t\|^2\right)^ru(t)\,dt\le1,\ u(t)\ge0\ \mbox{п.\ в.},
\end{multline*}
В силу \eqref{ll} получаем
$$\IR|t|^{2\alpha}u(t)\,dt\le\wl
\IR\left(1+\|t\|^2\right)^ru(t)\,dt\le\wl.$$
Следовательно,
\begin{equation}\label{lm}
E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\wl}.
\end{equation}

Пусть $\Delta\ge\Delta_0$. Рассмотрим шар
$$B_\varepsilon=\{\,t\in\mathbb R^d:\|t-\ww\|\le\varepsilon\,\},$$
где $\varepsilon>0$,
$$\ww=\left(1+\frac\varepsilon{\|\wt\|}\right)\wt,\quad\wt=(\wt_1,\ldots,\wt_d),
\quad\wt_j=\sqrt{\frac{\alpha_j}{r-\sigma}},\ j=1,\ldots,d.$$
Положим в задаче \eqref{u}
$$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in B_\varepsilon,\\
0,&t\notin B_\varepsilon,\end{cases}$$
где
$$A=\biggl(\int_{B_\varepsilon}(1+\|t\|^2)^r\,dt\biggr)^{-1}.$$
Тогда при достаточно малых $\varepsilon$ \ $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция. Действительно,
$$\int_{B_\varepsilon\cap M_\mu}\wu(t)\,dt\le A\mes(B_\varepsilon).$$
В силу того, что при всех $t\in B_\varepsilon$ \ $\|t\|\ge\|\wt\|$, имеем
$$A\mes(B_\varepsilon)\le(1+\|\wt\|^2)^{-r}=\Delta_0^2
\le\Delta^2.$$
Тем самым значение задачи \eqref{u} не менее, чем
$$A\int_{B_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt.$$
При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится к
$$\frac{|\wt|^{2\alpha}}{(1+\|\wt\|^2)^r}=\wl.$$

Отсюда вытекает, что при $\Delta\ge\Delta_0$
\begin{equation}\label{lo}
E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\sqrt{\wl}.
\end{equation}

Учитывая \eqref{lm}, получаем, что
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\sqrt{\wl},$$
а метод $\wm(y\cd)\cd=0$ является оптимальным.


Покажем, что если $\ov\lambda=\wl$, то
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\sqrt{\wl}.$$
Действительно, если $\ov\lambda=\wl$, то для каждого $0<\lambda<\wl$ имеем $\mes(M_\mu\cap\Omega_\lambda)<\mes\Omega_\lambda$ и значит, мера множества $G_\lambda=(\mathbb R^d\setminus
M_\mu)\cap\Omega_\lambda$ положительна.
Положим в задаче \eqref{u}
$$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in G_\lambda,\\
0,&t\notin G_\lambda,\end{cases}$$
где
$$A=\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|t\|^2)^r\,dt\biggr)^{-1}.$$
Тогда очевидно $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция и
тем самым значение задачи \eqref{u} не менее, чем
$$A\int_{G_\lambda}|t|^{2\alpha}\,dt.$$
При $\lambda\to\wl$ эта величина стремится к
$$\frac{|\wt|^{2\alpha}}{(1+\|\wt\|^2)^r}=\wl.$$
Учитывая \eqref{lm}, получаем доказываемое равенство.

Пусть теперь $\ov\lambda<\wl$ и $\Delta<\Delta_0$. Рассмотрим сначала случай, когда $\ov\lambda\le\lambda_\Delta$. Положим
$$s=(s_1,\ldots,s_d),\quad s_j=\sqrt{\frac{\alpha_j(1-\Delta^{2/r})}
{\sigma\Delta^{2/r}}},\ j=1,\ldots,d.$$
Для $0<\varepsilon<\|s\|$ рассмотрим множество
$$C_\varepsilon=\{\,t\in\mathbb R^d:\|t-\ws\|\le\varepsilon\,\},$$
где
$$\ws=\left(1-\frac\varepsilon{\|s\|}\right)s.$$
Так как
\begin{equation}\label{s}
\frac{|s|^{2\alpha}}{(1+\|s\|^2)^r}=\frac p{\sigma^\sigma}(1-\Delta^{2/r})^\sigma\Delta^{2(1-\sigma/r)}>\lambda_\Delta\ge\ov\lambda,
\end{equation}
то при всех достаточно малых $\varepsilon$ \ $\mes(M_\mu\cap C_\varepsilon)=\mes(C_\varepsilon)$.
Положим в задаче \eqref{u}
$$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in C_\varepsilon,\\
0,&t\notin C_\varepsilon,\end{cases}$$
где
$$A=\frac{\Delta^2}{\mes(C_\varepsilon)}.$$
В силу того, что
$$A\int_{C_\varepsilon}(1+\|t\|^2)^r\,dt\le A(1+\|s\|^2)^r\mes(C_\varepsilon)=\Delta^2(1+\|s\|^2)^r=1,$$
$\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция и
тем самым значение задачи \eqref{u} не менее, чем
$$A\int_{C_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt.$$
При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится к
$$\frac{|s|^{2\alpha}}{(1+\|s\|^2)^r}=\frac p{\sigma^\sigma}(1-\Delta^{2/r})^\sigma\Delta^{2(1-\sigma/r)}.$$
Тем самым доказано, что при $\ov\lambda\le\lambda_\Delta$
\begin{equation}\label{E1}
E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}(1-\Delta^{2/r})^{\sigma/2}\Delta^{1-\sigma/r}.
\end{equation}

Пусть теперь по-прежнему $\Delta<\Delta_0$, но $\wl>\ov\lambda>\lambda_\Delta$. Положим
$$c=(c_1,\ldots,c_d),\quad c_j=\sqrt{\frac{\alpha_j(1-\omega^{2/r})}
{\sigma\omega^{2/r}}},\ j=1,\ldots,d.$$
Для $0<\varepsilon<\|c\|$ рассмотрим множество
$$D_\varepsilon=\{\,t\in\mathbb R^d:\|t-\wc\|\le\varepsilon\,\},$$
где
$$\wc=\left(1-\frac\varepsilon{\|c\|}\right)c.$$
В силу определения величины $\ov\lambda$, для любого $\varepsilon>0$
\ $\mes(M_\mu\cap \Omega_{\ov\lambda-\varepsilon})<\mes\Omega_{\ov\lambda-\varepsilon}$. Поэтому мера множества
$$F_{\varepsilon}=(\mathbb R^d\setminus M_\mu)\cap(\Omega_{\ov\lambda-\varepsilon}\setminus\Omega_{\ov\lambda})$$
положительна при всех $\varepsilon>0$. Выберем $\varepsilon$ достаточно малым так, чтобы $D_\varepsilon\subset\Omega_{\ov\lambda}$. Тогда $D_\varepsilon\cap F_\varepsilon=\emptyset$. Положим в задаче \eqref{u}
$$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in D_\varepsilon,\\
B,&t\in F_\varepsilon,\\
0,&t\notin C_\varepsilon\cup F_\varepsilon,\end{cases}$$
где
$$A=\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)},$$
а $B$ определено из условия
$$\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r\wu(t)\,dt=1.$$
Покажем, что такое $B$ всегда найдется. Имеем
\begin{multline*}
\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r\wu(t)\,dt=
\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)}\int_{D_\varepsilon}
\left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt\\
+B\int_{F_\varepsilon}
\left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt.
\end{multline*}
Так как
$$\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)}\int_{D_\varepsilon}
\left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt\le\Delta^2\left(1+\|c\|^2\right)^r=
\frac{\Delta^2}{\omega^2}<1,$$
то
$$B=\biggl(1-\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)}\int_{D_\varepsilon}
\left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt\biggr)\biggl(\int_{F_\varepsilon}(1+\|t\|^2)^r
\,dt\biggr)^{-1}.$$

Следовательно, $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция и
значение задачи \eqref{u} не менее, чем
$$A\int_{D_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt+B\int_{F_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt.$$
При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится к
\begin{multline*}
\Delta^2|c|^{2\alpha}+(1-\Delta^2(1+\|c\|^2)^r)\ov\lambda\\
=\frac p{\sigma^\sigma}\frac{(1-\omega^{2/r})^{\sigma-1}}{\omega^{2\sigma/r}}
\left(\Delta^2(1-\omega^{2/r})+\frac\sigma r(\omega^2-\Delta^2)\right).
\end{multline*}
Тем самым доказано, что при $\ov\lambda>\lambda_\Delta$
\begin{equation}\label{E2}
E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}\frac{(1-\omega^{2/r})^{(\sigma-1)/2}}{\omega^{\sigma/r}}
\sqrt{\Delta^2(1-\omega^{2/r})+\frac\sigma r(\omega^2-\Delta^2)}.
\end{equation}

Займемся теперь оценкой сверху. Будем считать, что $\Delta<\Delta_0$, а $\ov\lambda\in(0,\wl)$. Для оценки сверху погрешности метода $m(y\cd)\cd$ надо оценить значение экстремальной задачи
\begin{multline}\label{bb}
\|D^\alpha x\cd-m(y\cd)\cd\|_{\ld}\to\max,\quad x\cd\in\hr,\\
\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(M_\mu)}\le\delta,\quad y\cd\in L_2(M_\mu).
\end{multline}
Будем искать оптимальные методы среди методов, для которых $Fm(y\cd)(t)=\gamma(t)y(t)$, где $\gamma\cd$ --- некоторая ограниченная функция. Тогда переходя в задаче \eqref{bb} к образам Фурье и рассматривая для удобства квадраты, получаем следующую задачу
\begin{multline*}
\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}|(it)^\alpha Fx(t)-\gamma(t)y(t)|^2\,dt\\+
\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}|t|^{2\alpha}|Fx(t)|^2\,dt\to\max,\\
\int_{M_\mu}|Fx(t)-y(t)|^2\,dt\le\delta^2,\quad
\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2
\,dt\le1.
\end{multline*}
Положив $z\cd=Fx\cd-y\cd$, приходим к задаче
\begin{multline}\label{bb1}
\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}|((it)^\alpha-\gamma(t))Fx(t)+
\gamma(t)z(t)|^2\,dt\\+
\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}|t|^{2\alpha}|Fx(t)|^2\,dt\to\max,\\
\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}|z(t)|^2\,dt\le\Delta^2,\quad
\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2
\,dt\le1.
\end{multline}
Используя неравенство Коши--Буняковского, получаем
\begin{multline*}
|((it)^\alpha-\gamma(t))Fx(t)+\gamma(t)z(t)|^2\\
\le\left(\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2}{\lambda_1}\right)
\left(\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2+\lambda_1|z(t)|^2\right).
\end{multline*}
Положим
$$S_\gamma=\vraisup_{t\in M_\mu}\left(\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2}
{\lambda_1}\right).$$
Предположим, что нашлась функция $\gamma\cd$, для которой $S_\gamma\le1$. Тогда в силу того, что $\mes(\mathbb R^d\setminus M_\mu)\cap\Omega_{\ov\lambda}=0$, а при $t\in\mathbb R^d\setminus\Omega_{\ov\lambda}$
$$\frac{|t|^{2\alpha}}{(1+\|t\|^2)^r}\le\ov\lambda\le\lambda_2,$$
значение задачи \eqref{bb1} оценивается величиной
\begin{multline*}
S_\gamma\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}\left(\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2+
\lambda_1|z(t)|^2\right)\,dt\\+\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt\\
\le\frac{\lambda_2}{(2\pi)^d}
\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt+\frac{\lambda_1}{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}
|z(t)|^2\,dt\le\lambda_2+\lambda_1\Delta^2.
\end{multline*}
Таким образом, в этом случае
$$e(\alpha,\mu,\delta,m)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$
Следовательно,
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$
Нетрудно убедиться, что эта оценка совпадает с оценками снизу \eqref{E1} и \eqref{E2}.

Остается доказать непустоту множества функций $\gamma\cd$, для которых при почти всех $t\in M_\mu$ выполнено неравенство
$$\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2}
{\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2}
{\lambda_1}\le1.$$
Это неравенство может быть переписано в виде
\begin{multline*}
\left|\gamma(t)-\frac{\lambda_1(it)^\alpha}{\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r}\right|^2\\
\le\frac{\lambda_1\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}
{(\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r)^2}(-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r).
\end{multline*}
Теперь достаточно доказать, что при всех $t\in\mathbb R^d$
$$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$
Множество точек вида \eqref{gr} лежит под кривой \eqref{kr}. Эта кривая вогнута при $x\ge x_0$. Поэтому для любой касательной к кривой \eqref{kr} $y=c_1+c_2x$, проведенной в точке, принадлежащей множеству $[x_0,+\infty)$, выполняется неравенство
$$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2
\left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$
Остается только заметить, что $y=\lambda_1+\lambda_2x$ --- касательная к кривой \eqref{kr} в точке $x=\omega^{-2}$ при $\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\ov\lambda)$ и в точке $x=\Delta^{-2}$ при
$\ov\lambda\in(0,\lambda_\Delta)$.
\end{proof}

Если $\Delta\ge\Delta_0$, то из доказанной теоремы вытекает, что
$$E_\mu(\alpha,\delta)=\sqrt{\wl},$$
а оптимальным является любое множество (в этом случае никакая информация не влияет на погрешность оптимального восстановления).

Будем рассматривать задачу \eqref{Em} при $\Delta<\Delta_0$. Положим
$$g(\lambda)=\mes(\Omega_\lambda).$$
Функция $g(\lambda)$ при $\lambda\in(0,\wl]$ является непрерывной и монотонно убывает, изменяясь от $+\infty$ до $0$. Поэтому для любого $\mu>0$ уравнение $g(\lambda)=\mu$ имеет единственное решение, которое обозначим через $\lambda_\mu$. Положим $\wl_\mu=\max\{\lambda_\Delta,\lambda_\mu\}$, а через $\omega_\mu$ обозначим решение уравнения $f(\omega_\mu)=\wl_\mu$.
Положим
$$\lambda_1=\frac p{\sigma^\sigma}\frac{(1-\omega_\mu^{2/r})^\sigma}{\omega_\mu^{2\sigma/r}}-
\frac{\lambda_\mu}{\omega_\mu^2},\quad\lambda_2=\lambda_\mu.$$

\begin{theorem}\label{T2}
При $\Delta<\Delta_0$
$$E_\mu(\alpha,\delta)=\sqrt{\lambda_1\Delta^2+\lambda_2},$$
а $\Omega_{\wl_\mu}$ --- оптимальное множество.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы \ref{T1} вытекает, что
\begin{multline*}
E(\alpha,M_\mu,\delta)=E(\alpha,\Omega_{\ov\lambda},\delta)=\\
\frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}\frac{(1-\omega^{2/r})^{(\sigma-1)/2}}{\omega^{\sigma/r}}
\sqrt{\Delta^2(1-\omega^{2/r})+\frac\sigma r(\omega^2-\Delta^2)},
\end{multline*}
если $\ov\lambda>\lambda_\Delta$. Нетрудно показать, что эта величина как функция $\omega$
монотонно возрастает при $\omega\in[\Delta,\Delta_0]$. Тем самым, если $\lambda_\mu>\lambda_\Delta$, то
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge E(\alpha,\Omega_{\lambda_\mu},\delta).$$
Если же $\lambda_\mu\le\lambda_\Delta$, то $\mes(\Omega_{\lambda_\Delta})\le\mu$ и
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge E(\alpha,\Omega_{\lambda_\Delta},\delta).$$

\end{proof}

Рассмотрим теперь один пример для случая $d=2$. Пусть $\alpha=(1,0)$ и $r=2$. Иными словами, рассматривается задача
восстановления частной производной $x_{t_1}(\cdot,\cdot)$ на классе $H_2^2(\mathbb R^2)$. В этом случае
$$\Delta=\frac\delta{2\pi},\quad\Delta_0=\frac12,\quad\wl=\frac14,\quad
\lambda_\Delta=\frac\Delta2,\quad\omega=2\ov\lambda,$$
а
$$\Omega_\lambda=\left\{\,(t_1,t_2)\in\mathbb R^2:\frac{t_1^2}{(1+t_1^2+t_2^2)^2}\ge\lambda\,\right\}.$$
Нетрудно убедиться, что $\Omega_\lambda$ представляет из себя два круга
$$\Omega_\lambda=\left\{\,(t_1,t_2)\in\mathbb R^2:\left(|t_1|-\frac1{2\sqrt\lambda}\right)^2+t_2^2\le
\frac1{4\lambda}-1\,\right\}.$$

Из теоремы \ref{T1} получаем, что при $\delta\ge1/2$ \
$E(D^\alpha,H_2^2(\mathbb R^d), A,\delta)=\dfrac12$, а при $\Delta<\dfrac12$
$$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\begin{cases}\sqrt{\left(\dfrac{1-4\ov\lambda}
{4\ov\lambda}\right)\Delta^2+\ov\lambda},&\ov\lambda\in
\left(\dfrac\Delta2,\dfrac14\right),\\[12pt]
\sqrt{(1-\Delta)\Delta},&\ov\lambda\in\left(0,\dfrac\Delta2\right).\end{cases}$$
Семейство оптимальных методов для рассматриваемого случая также может быть легко получено из теоремы \ref{T1}. В частности, метод
$$\wm(y\cd)(t)=\frac1{4\pi^2}\int_{M_\mu}\frac{i\tau_1}{1+\dfrac{4\ov\lambda^2}
{1-4\ov\lambda}(1+\tau_1^2+\tau_2^2)^2} y(\tau)e^{i\la\tau,t\ra}\,d\tau$$
является оптимальным.

Из того, что
$$\mes(\Omega_\lambda)=2\pi\left(\frac1{4\lambda}-1\right),$$
получаем
$$\lambda_\mu=\frac\pi{2\mu+4\pi}.$$
Из теоремы \ref{T2} находим, что при $\Delta<\dfrac12$
$$E_\mu(\alpha,\delta)=\begin{cases}
\sqrt{\dfrac\mu{4\pi}\Delta^2+\dfrac\pi{2\mu+4\pi}},&
0<\mu<\dfrac{\pi(1-2\Delta)}\Delta,\\
\sqrt{(1-\Delta)\Delta},&\mu\ge\dfrac{\pi(1-2\Delta)}\Delta.\end{cases}$$
При этом, если $0<\mu<\dfrac{\pi(1-2\Delta)}\Delta$, то оптимальное множество имеет вид
$$\Omega_{\lambda_\mu}=\left\{\,(t_1,t_2)\in\mathbb R^2:\left(|t_1|-\sqrt{\frac\mu{2\pi}+1}\right)^2+t_2^2\le
\frac\mu{2\pi}\,\right\}.$$


\end{document}
