\documentclass[12pt,draft,oneside,reqno, a4paper]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1850

\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\inT}{\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}}
\newcommand*{\iT}{\int_{\mathbb T}}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wz}{\widehat z}
\newcommand*{\wA}{\widetilde A}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\sj}{\sum_{j=0}^{m-1}}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\tB}{\widetilde B}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
%\newtheorem{theorem*}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Змечания}
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}}




\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}





\title[Оптимальное восстановление разностных уравнений]{Об оптимальном
восстановлении решений разностных уравнений по неточным измерениям}


\author{\large Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No11-01-00529, \No12-01-90014)}

\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова, г.~Москва; Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича, г.~Москва; Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, г.~Владикавказ}\email{magaril@mech.math.msu.su}
\address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича, г.~Москва; Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, г.~Владикавказ}\email{kosipenko@yahoo.com}


\maketitle


Задачи оптимального восстановления решений разностных уравнений по неточным
измерениям часто сводятся к следующей общей постановке: приближенно известны
некоторые степени конечномерного оператора, и по этой информации надо наилучшим
образом восстановить любую его промежуточную степень. В данной работе доказывается
теорема об оптимальном восстановлении степеней нормального оператора, и в качестве
иллюстрации доказываются утверждения относительно оптимального восстановления
температуры тела в разностной модели уравнения теплопроводности и оптимального
восстановления решения в разностной модели системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.

\section{Формулировка и доказательство основного результата}


%евклидовой нормой $\|\cdot\|$.
Пусть $T\colon \mathbb C^d\to \mathbb C^d$
--- линейный оператор. Предположим, что $x\in\mathbb C^d$ и $T^nx$ ($T^n$ --- $n$-ая степень оператора $T$) известны неточно, а именно, известны векторы $y_0,y_n\in\mathbb C^d$ такие, что $\|x-y_0\|\le\delta_0$ и $\|T^nx-y_n\|\le\delta_n$, где $\|\cdot\|$ --- евклидова норма, $\delta_0,\delta_n>0$. По этой информации мы хотим восстановить (по возможности, наилучшим образом) значение $T^kx$, $0<k<n$. В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные отображения
$\varphi\colon\mathbb C^d\times\mathbb C^d\to\mathbb C^d$. Погрешностью метода $\varphi$ назовем величину
$$e(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n,\varphi)=\sup_{\substack{x,y_0,y_n\in \mathbb C^d\\
\|x-y_0\|\le\delta_0,\ \|T^nx-y_n\|\le\delta_n}}\|T^kx-\varphi(y_0,y_n)\|.
$$
Нас интересует величина
\begin{equation}\label{P}
E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)=\inf_{\varphi\colon \mathbb C^d\times \mathbb C^d\to
\mathbb C^d}e(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n,\varphi),
\end{equation}
которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и те методы, на
которых  нижняя грань достигается, называемые {\it оптимальными методами
восстановления}.




Перед формулировкой основной теоремы введем некоторые обозначения. Пусть $T\colon
\mathbb C^d\to \mathbb C^d$ --- ненулевой нормальный оператор, т.~е. $TT^*=T^*T$.
Тогда существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого
оператора. Пусть $\lambda_1,\ldots,\lambda_d$ --- соответствующие собственные числа.
Можно считать, что их модули упорядочены по возрастанию и тем самым
$|\lambda_1|=\ldots=|\lambda_{s_1}|<\ldots<|\lambda_{s_{r-1}+1}|=\ldots=|\lambda_{s_r}|$.
Общее значение модулей собственных чисел в $j$-ой группе обозначим через $\mu_j$,
$1\le j\le r$.  Разобьем полупрямую $(0,\infty)$ на промежутки:
$\Delta_0=(0,\mu_1^n]$,
$\Delta_1=(\mu_1^n,\mu_2^n],\ldots,\Delta_{r-1}=(\mu_{r-1}^n,\mu_r^n]$,
$\Delta_r=(\mu_r^n,\infty)$, причем полуинтервал $\Delta_0$ отсутствует, если
$\mu_1=0$. Каждому промежутку $\Delta_j$ сопоставим пару чисел $u_j$ и $v_j$, $0\le
j\le r$ (если $\mu_1=0$, то $1\le j\le r$)  по правилу: $u_0=0$,
$$
u_j=\frac{\mu_j^{2k}\mu_{j+1}^{2n}-\mu_j^{2n}\mu_{j+1}^{2k}}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_j^{2n}},
\quad 1\le j\le r-1,
$$
$u_r=\mu_r^{2k}$ и $v_0=\mu_1^{-2(n-k)}$,
$$
v_j=\frac{\mu_{j+1}^{2k}-\mu_j^{2k}}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_j^{2n}}, \quad 1\le j\le
r-1,
$$
$v_r=0$.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $T\colon \mathbb C^d\to \mathbb C^d$ --- ненулевой нормальный оператор и
$\lambda_1,\ldots,\lambda_d$ --- его собственные числа в ортонормированном базисе из
его собственных векторов. Если $\delta_n/\delta_0\in \Delta_j$, $0\le j\le r$, то
$$
E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)=\sqrt{\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j},
$$
и для любого $\theta\in\mathbb C$ такого, что $|\theta|\le1$, и любого линейного
оператора $B\colon\mathbb C^d\to\mathbb C^d$, для которого тот же базис является
базисом из его собственных векторов с собственными числами
$$
\beta_i=\frac{v_j\ov\lambda_i^n\lambda_i^k}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}+\theta
\frac{\sqrt{u_jv_j}}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}
\sqrt{-|\lambda_i|^{2k}+u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j},\,\,1\le i\le d,
$$
линейный оператор $\widehat\varphi\colon\mathbb C^d\times\mathbb C^d\to\mathbb C^d$,
действующий по правилу
$$
\widehat \varphi(\xi,\eta)=(T^k-BT^n)\xi+B\eta,
$$
является оптимальным методом восстановления.
\end{theorem}

Перед доказательством теоремы отметим ее некоторые частные случаи. Пусть $\mu_1>0$ и
$\delta_n/\delta_0\in\Delta_0$. Тогда $u_0=0$ и тем самым
$\beta_i=\lambda_i^{-(n-k)}$, $1\le i\le d$, т.~е. $B=T^{-(n-k)}$. Следовательно,
действие оптимального метода $\widehat \varphi$ таково
$$
\widehat \varphi(\xi,\eta)=T^k(T^{-n}\eta).
$$
Метод использует только измерение $\eta$, а именно, находится элемент $x$ из условия
$T^nx=\eta$ и берется от него $k$-ая степень оператора $T$.

Пусть теперь $\delta_n/\delta_0\in\Delta_r$. Тогда $v_0=0$ и значит,
$\beta_i=0$, $1\le i\le d$, т.~е. $B$ --- нулевой оператор. В этом случае метод
использует только измерение $\xi$:
$$
\widehat \varphi(\xi,\eta)=T^k\xi.
$$





\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T1}$]
Оценим снизу погрешность оптима\-льного восстановления
$E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)$. Покажем, что она не меньше значения (т.~е. величины
верхней грани максимизируемого функционала) следующей задачи
\begin{equation}\label{1}
\|T^kx\|\to \max, \quad \|x\|\le\delta_0,\quad \|T^nx\|\le\delta_n,\quad x\in\mathbb
C^d.
\end{equation}

Действительно, пусть $x_0$
--- допустимый вектор в \eqref{1}.  Тогда, очевидно,  вектор $-x_0$ также допустим и
мы имеем для любого $\varphi\colon \mathbb C^d\times\mathbb C^d\to\mathbb C^d$
\begin{multline*}
2\|T^kx_0\|=\|T^kx_0-\varphi(0,0)-(T^k(-x_0)-\varphi(0,0))\|
\\\le\|T^kx_0-\varphi(0,0)\|+
\|T^k(-x_0)-\varphi(0,0)\|\\
\le 2\sup_{\substack{x\in \mathbb C^d\\
\|x\|\le\delta_0, \ \|T^nx\|\le\delta_n}}\|T^kx-\varphi(0,0)\|\\\le2
\sup_{\substack{x,y_0,y_n\in \mathbb C^d\\
\|x-y_0\|\le\delta_0,\ \|T^nx-y_n\|\le\delta_n}}\|T^kx-\varphi(y_0,y_n)\|.
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1}, а справа к
нижней грани по всем методам $\varphi$, получаем требуемое.

Пусть $e_1,\ldots,e_d$ --- ортонормированный базис в $\mathbb C^d$ из собственных
векторов оператора $T$ и $x=x_1e_1+\ldots+x_de_d$. Тогда квадрат значения задачи
\eqref{1} равен значению такой задачи
\begin{equation}\label{2}
\sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|x_j|^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^d|x_j|^2\le\delta_0^2,\quad
\sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2n}|x_j|^2\le\delta_n^2.
\end{equation}





Оценим снизу ее значение. Рассмотрим отдельно несколько случаев.

1) $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in \Delta_0$. Определим $\wx=(\wx_1,\ldots,\wx_d)$
по правилу: $\wx_1=\delta_n/\mu_1^n$ и $\wx_j=0$, $2\le j\le d$. Так как
$\delta_n/\delta_0\le\mu_1^n$, то $\wx_1^2\le\delta_0^2$ и значит, элемент $\wx$
допустим в задаче \eqref{2}. Следовательно, ее значение не меньше величины
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|\wx_j|^2=\mu_1^{2k}\frac{\delta_n^2}{\mu_1^{2n}}=
\delta_n^2\mu_1^{-(n-k)}=\delta_0^2u_0+\delta_n^2v_0.
\end{equation*}

2) $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in \Delta_j$, $1\le j\le r-1$. Пусть $k_1$ и $k_2$
такие числа,  что $|\lambda_{k_1}|=\mu_j$, а $|\lambda_{k_2}|=\mu_{j+1}$. Выберем
$\wx_{k_1}$ и $\wx_{k_2}$ из условий
$$\wx_{k_1}^2+\wx_{k_2}^2=\delta_0^2,\quad
\mu_{j}^{2n}\wx_{k_1}^2+\mu_{j+1}^{2n}\wx_{k_2}^2=\delta_n^2,$$ т.~е.
$$
\wx_{k_1}=\sqrt{\frac{\delta_0^2\mu_{j+1}^{2n}-\delta_n^2}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}},\quad
\wx_{k_2}=\sqrt{\frac{\delta_n^2-\delta_0^2\mu_{j}^{2n}}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}}.
$$
Положим $\wx=(\wx_1,\ldots,\wx_d)$, где $\wx_{k_1}$ и $\wx_{k_2}$ только что
определены, а остальные компоненты нулевые. Тогда легко видеть, что $\wx$
--- допустимый элемент в задаче \eqref{2} и поэтому ее значение не
меньше величины
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|\wx_j|^2=\mu_{j}^{2k}\wx_{k_1}^2+\mu_{j+1}^{2k}\wx_{k_2}^2=\\=
\mu_{j}^{2k}
\frac{\delta_0^2\mu_{j+1}^{2n}-\delta_n^2}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}+
\mu_{j+1}^{2k}\frac{\delta_n^2-\delta_0^2\mu_{j}^{2n}}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}=
\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j.
\end{multline*}

3)  $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in \Delta_r$.  Положим
$\wx=(\wx_1,\ldots,\wx_d)$, где $\wx_d=\delta_0$ и $\wx_j=0$, $1\le j\le d-1$. Так
как $\mu_r^{2n}|\wx_d|^2=\mu_r^{2n}\delta_0^2<\delta_n^2$, то вектор $\wx$ допустим
в задаче \eqref{2} и следовательно, ее значение не меньше величины
$$
\sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|\wx_j|^2=\mu_r^{2k}\delta_0^2=\delta_0^2u_r+\delta_n^2v_r.
$$

4) Если $\mu_1=0$, то фактически дословно повторяя предыдущие рассуждения, получаем,
что если $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, $1\le j\le r$, то значение задачи \eqref{2}
не меньше величины $\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j$.

Согласно установленному выше, погрешность оптимального восстановления не меньше
значения задачи \eqref{1} и значит, если $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$,
$j=0,1,\ldots,r$, то доказано, что
\begin{equation}\label{3}
E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)\ge\sqrt{\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j}.
\end{equation}

Перейдем теперь к оценке сверху величины $E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)$ и построению
оптимальных методов восстановления. Оптимальные методы будем искать среди линейных
операторов из $\mathbb C^d\times\mathbb C^d$ в $\mathbb C^d$, т.~е. среди
операторов, действующих по правилу: $(\xi,\eta)\mapsto A\xi+B\eta$, где $A$ и $B$
--- линейные операторы из $\mathbb C^d$ в $\mathbb C^d$. Оптимальность такого метода
означает, что его погрешность, т.~е. значение задачи
\begin{multline}\label{4}
\|T^kx-Ay_0-By_n\|\to\max,\quad \|x-y_0\|\le\delta_0,\quad
\|T^nx-y_n\|\le\delta_n,\\ x, \ y_0, \ y_n\in\mathbb C^d
\end{multline}
равно $E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)$.

Обозначим $\xi=x-y_0$ и $\eta=T^nx-y_n$. Тогда данная задача перепишется
так
\begin{multline*}
\|T^kx-Ax-BT^nx+A\xi+B\eta\|\to\max,\quad \|\xi\|\le\delta_0,\quad
\|\eta\|\le\delta_n,\\ x, \ \xi, \ \eta\in\mathbb C^d.
\end{multline*}
Заметим, что если $T^k-A-BT^n$ --- ненулевой оператор, то значение этой задачи равно
бесконечности. В самом деле, если существует такое $x_0\in\mathbb C^d$, что
$T^kx_0-Ax_0-BT^nx_0\ne0$, то за счет выбора константы $C>0$ на допустимых элементах
$Cx_0$, $\xi=0$ и $\eta=0$ максимизируемый функционал может быть сделан сколь угодно
большим.

Далее считаем, что $A=T^k-BT^n$ и, кроме того, будем предполагать, что собственные
векторы $e_1,\ldots,e_d$ оператора $T$ являются и собственными векторами оператора
$B$. Но тогда они являются собственными векторами и оператора $A$. Если $\alpha_i$ и
$\beta_i$, $1\le i\le d$,
--- соответствующие собственные числа операторов $A$ и $B$, то ясно, что
\begin{equation}\label{s}
\alpha_i=\lambda_i^k-\beta_i\lambda_i^n,\quad 1\le i\le d.
\end{equation}

Учитывая сделанные предположения и разложения $\xi=\xi_1e_1+\ldots+\xi_de_d$ и
$\eta=\eta_1e_1+\ldots+\eta_de_d$, ясно, что квадрат значения задачи \eqref{4} равен
значению такой задачи
\begin{equation}\label{5}
\sum_{i=1}^d|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2\to\max,\quad \sum_{i=1}^d|\xi_i|^2\le
\delta_0^2,\quad\sum_{i=1}^d|\eta_i|^2\le \delta_n^2.
\end{equation}

Пусть $\delta_n/\delta_0\in \Delta_j$ и при этом $\mu_1>0$ и  $1\le j\le r-1$ или
$\mu_1=0$ и $2\le j\le r-1$, В этом случае числа $u_j$ и $v_j$ положительны. Оценим
в данной ситуации слагаемые под знаком суммы в максимизируемом функционале в
\eqref{5} по неравенству Коши--Буняковского
\begin{equation}\label{6}
|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2\le\left(\frac{|\alpha_i|^2}{u_j}+
\frac{|\beta_i|^2}{v_j}\right)(|\xi_i|^2u_j+|\eta_i|^2v_j),\quad 1\le i\le d.
\end{equation}
Если (см. \eqref{s})
\begin{equation}\label{7}
\frac{|\alpha_i|^2}{u_j}+
\frac{|\beta_i|^2}{v_j}=\frac{|\lambda_i^k-\beta_i\lambda_i^n|^2}{u_j}+
\frac{|\beta_i|^2}{v_j}\le1,\quad 1\le i\le d,
\end{equation}
то складывая неравенства \eqref{6}, получаем, что значение задачи \eqref{5} не
превосходит величины $\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j$ и значит, согласно \eqref{3},
совпадает с ней, а метод из теоремы с оператором $B$, определяемым данными
$\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, оптимален.

Перепишем левые части неравенств \eqref{7} в другой форме (выделяя полный квадрат)
\begin{multline*}
\frac{|\lambda_i^k-\beta_i\lambda_i^n|^2}{u_j}+
\frac{|\beta_i|^2}{v_j}=\\
%\\=\frac{|\lambda_i|^{2n}|\lambda_i|^{-2(n-k)}}{u_j}-
%\frac{|\lambda_i|^{2n}}{u_j} 2\,{\rm
%Re}\,\lambda_i^{-(n-k)}\beta_i+\frac{|\lambda_i|^{2n}|\beta_i|^2}{u_j}+
%\frac{|\beta_i|^2}{v_j}=\\=\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}{u_jv_j}\bigg(|\beta_i|^2-
%\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}}{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}2\,{\rm
%Re}\,\lambda_i^{-(n-k)}\beta_i\bigg)+\frac{|\lambda_i|^{2k}}{u_j}=\\=
%\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}{u_jv_j}\bigg(\bigg|\beta_i-
%\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}\lambda_i^{-(n-k)}}{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}\bigg|^2-
%\frac{v^2_j|\lambda_i|^{2(n+k)}}{(v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j)^2}\bigg)+\\
%+\frac{|\lambda_i|^{2k}}{u_j}=
=\frac{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}{u_jv_j}\bigg|\beta_i-
\frac{v_j\ov\lambda_i^n\lambda_i^k}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}\bigg|^2+
\frac{|\lambda_i|^{2k}}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}.
\end{multline*}

Требование, чтобы эти выражения не превосходили единицы равносильно неравенствам
\begin{equation}\label{8}
\left|\beta_i-\frac{v_j\ov\lambda_i^n\lambda_i^k}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}\right|\le
\frac{\sqrt{u_jv_j}}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}
\sqrt{-|\lambda_i|^{2k}+u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j},
\end{equation}
$1\le i\le d$, которые, в свою очередь, эквивалентны выражениям для $\beta_i$,
$i=1,\ldots,d$, из формулировки теоремы (для рассматриваемых сейчас случаев, когда
$\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, а $j$ таково, что $u_j$ и $v_j$ одновременно отличны
от нуля). При этом, выражения под знаком корня в \eqref{8} неотрицательны.
Действительно, точки $(\mu_j^{2n},\mu_j^{2k})$ и $(\mu_{j+1}^{2n},\mu_{j+1}^{2k})$
лежат на вогнутой кривой $y=x^{k/n}$ и через них проходит прямая $y=u_j+v_jx$.
Следовательно, для всех $\mu_i$ справедливо неравенство $\mu_i^{2k}\le
u_j+v_j\mu_i^{2n}$ и значит $-|\lambda_i|^{2k}+u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j\ge0$. Из
\eqref{8}, в частности, следует, что числа $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$,
удовлетворяющие \eqref{7} существуют.

Итак, если $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, а $j$ такое, что $u_j$ и $v_j$
одновременно отличны от нуля, то  числа $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, удовлетворяющие
условиям теоремы, дают нужное выражение для погрешности оптимального восстановления
и оптимальность указанного в теореме метода.

Докажем, что и в остальных случаях, найденные из \eqref{8} выражения для $\beta_i$,
$i=1,\ldots,d$, обладают тем же свойством. Действительно, пусть $\mu_1>0$ и
$\delta_n/\delta_0\in\Delta_0$. Тогда, по определению, $u_0=0$ и
$v_0=\mu_1^{-2(n-k)}$. Из \eqref{8} следует, что $\beta_i=\lambda_i^{-(n-k)}$ и
значит, согласно \eqref{s}, $\alpha_i=0$, $i=1,\ldots,d$, и мы получаем (учитывая,
что $\mu_1\le|\lambda_i|$, $i=1,\ldots,d$) оценку  сверху для значения задачи
\eqref{5}
\begin{multline*}
\sum_{i=1}^d|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2=\sum_{i=1}^d|\lambda_i|^{-2(n-k)}|\eta_i|^2\le
\mu_1^{-2(n-k)}\sum_{i=1}^d|\eta_i|^2\le\\\le\delta_n^2v_0=\delta_0^2u_0+\delta_n^2v_0.
\end{multline*}
Отсюда вытекает, что утверждения теоремы справедливы, когда $\mu_1>0$, а
$\delta_n/\delta_0\in\Delta_0$.

Пусть теперь $\delta_n/\delta_0\in\Delta_r$. Тогда, по определению, $u_r=\mu_r^{2k}$
и $v_r=0$. Из \eqref{8} получаем, что $\beta_i=0$ и вследствие \eqref{s}
$\alpha_i=\lambda_i^k$, $i=1,\ldots,d$. Следовательно (учитывая, что
$|\lambda_i|\le\mu_r$, $i=1,\ldots,d$)
\begin{multline*}
\sum_{i=1}^d|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2=\sum_{i=1}^d|\lambda_i|^{2k}|\xi_i|^2\le
\mu_r^{2k}\sum_{i=1}^d|\xi_i|^2\le\delta_0^2u_r=\\=\delta_0^2u_r+\delta_n^2v_r,
\end{multline*}
т.~е. и в этом случае утверждения теоремы справедливы.
\end{proof}

\section{Оптимальное восстановление температуры по неточным дискретным данным}

Рассмотрим уравнение теплопроводности на окружности, задаваемое неявной разностной
схемой
\begin{equation}\label{tp}
\frac{u_{s+1,j}-u_{sj}}\tau=\frac{u_{s+1,j+1}-2u_{s+1,j}+u_{s+1,j-1}}{h^2}.
\end{equation}
Здесь $\tau$ и $h$ --- положительные числа, $(s,j)\in\mathbb Z_+\times\mathbb
Z_{m}$, где $\mathbb Z_m$ --- группа вычетов по модулю $m\ge1$, которую будем
реализовывать как набор чисел $\{0,1,\ldots,m-1\}$ со сложение по модулю $m$,
$u_{s,j}$ --- температура тела в момент времени $s\tau$ в точке $jh$.

Обозначим через $l_2^m$ пространство функций (векторов) $x=(x_0,x_1,\ldots,x_{m-1})$
на $\mathbb Z_m$ с нормой
$$
\|x\|_{l_2^m}=\left(\sum_{j=0}^{m-1}|x_j|^2\right)^{1/2}.
$$

Предположим, что приближенно измерена температура тела в нулевой момент времени и в
момент времени $n\tau$, т.~е. приближенно известны векторы
$u_{0}=(u_{0,0},\ldots,u_{0,m-1})$ и $u_{n}=(u_{n,0},\ldots,u_{n,m-1})$, или, точнее
говоря, нам известны векторы $y_{0}=(y_{0,0},\ldots,y_{0,m-1})$ и
$y_{n}=(y_{n,0},\ldots,y_{n,m-1})$ такие, что
$$
\|u_q-y_q\|_{l_2^m}\le\delta_q,\ q=0,n,
$$
где $\delta_q>0$, $q=0,n$. По этой информации требуется восстановить вектор
$u_{k}=(u_{k,0},\ldots,u_{k,m-1})$,  где $0<k<n$, т.~е. восстановить значение
температуры тела в момент времени $k\tau$. В качестве методов восстановления будем
рассматривать всевозможные отображения $\varphi\colon l_2^m\times l_2^m\to l_2^m$.
Для данного метода $\varphi$ его погрешностью назовем величину
$$
e_{kn}(\delta_0,\delta_n,\varphi)= \sup_{\substack{u_0,y_0,y_n\in
l_2^m\\\|u_q-y_q\|_{l_2^m}\le\delta_q,\ q=0,n}} \|u_k-\varphi(y_0,y_n)\|_{l_2^m}.$$
Величина
$$E_{kn}(\delta_0,\delta_n)=\inf_{\varphi\colon l_2^m\times l_2^m\to l_2^m}
e_{kn}(\delta_0,\delta_n,\varphi)$$ называется погрешностью оптимального
восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется
оптимальным.

На $\mathbb Z_m$ определено преобразование Фурье --- линейное отображение,
переводящее $\mathbb Z_m$ в себя,  задаваемое матрицей
$$
F=\frac 1{\sqrt{m}}\left(e^{-\frac{2\pi ip}{m}j}\right)_{p,j=0}^{m-1},
$$
которая, как нетрудно видеть, является унитарной.



Применим преобразование Фурье по переменной $j$ к обеим частям уравнения \eqref{tp},
учитывая, что оно переводит сдвиг на $\pm 1$ в умножение на $\exp(\pm 2\pi i p/m)$.
После несложных преобразований получим, что $Fu_{s+1}=\Lambda Fu_s$ для всех
$s\in\mathbb Z_+$, где $\Lambda$ --- диагональная матрица с диагональными элементами
\begin{equation}\label{sn}
\lambda_p= \left(1+\frac{4\tau}{h^2}\sin^2\frac{\pi p}{m}\right)^{-1},\quad
p=0,1,\ldots,m-1.
\end{equation}
Из соотношения $Fu_{s+1}=\Lambda Fu_s$ следует, что
$$
u_{s+1}=Tu_s,\quad s\in\mathbb Z_+,
$$
где $T=F^{-1}\Lambda F$.

Таким образом, мы приходим к предыдущей задаче, и ясно, что
$$E_{kn}(\delta_0,\delta_n)=E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n).$$

Сформулируем соответствующий результат, вытекающий из теоремы \ref{T1}. Положим
$$\mu_j=\left(1+\frac{4\tau}{h^2}\sin^2\frac\pi m(r-j)\right)^{-1},\quad j=1,\ldots r,$$
где $r=[m/2]+1$.

Определим $\Delta_j$, $v_j$ и $u_j$, $j=1,\ldots,r$, по тем же формулам, что и в
теореме \ref{T1}. Тогда из нее вытекает

\begin{theorem}\label{T2}
Если $\delta_n/\delta_0\in \Delta_j$, $0\le j\le r$, то
$$
E_{kn}(\delta_0,\delta_n)=\sqrt{\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j},
$$
и для любого $\theta\in\mathbb C$ такого, что $|\theta|\le1$, и любой диагональной матрицы  $B$ с диагональными элементами
$$\beta_p=\frac{v_j\lambda_p^{n+k}}{u_j+\lambda_p^{2n}v_j}+\theta
\frac{\sqrt{u_jv_j}}{u_j+\lambda_p^{2n}v_j}
\sqrt{-\lambda_p^{2k}+u_j+\lambda_p^{2n}v_j},\quad p=0,1\ldots m-1,$$
метод
$$\widehat \varphi(y_0,y_n)=(T^k-T^n\tB)y_0+\tB y_n,$$
где $\tB=F^{-1}BF$, является оптимальным.
\end{theorem}

Аналоги рассматриваемой задачи для непрерывных моделей рассматривались в работах \cite{W}, \cite{W1}, \cite{O2}--\cite{Os}. В работе \cite{MO3} изучалась также дискретная модель для непериодического случая.

\section{Дискретный аналог системы линейных дифференциальных уравнений}

Рассмотрим дискретную модель перемещения $d$-мерного вектора, задаваемую равенствами
$$\frac{x_{s+1}-x_s}\tau=Ax_s,\quad s=0,1,\ldots,$$
где $x_s\in\mathbb C^d$, $\tau>0$ и $A$ --- квадратная матрица порядка $d$ с постоянными коэффициентами.

Предположим, что известны векторы $y_0,y_n\in\mathbb C^d$ такие, что $\|x_0-y_0\|\le\delta_0$ и $\|x_n-y_n\|\le\delta_n$, где $\|\cdot\|$ --- евклидова норма, $\delta_0,\delta_n>0$. По этой информации мы хотим восстановить значение $x_k$, $0<k<n$. В качестве методов восстановления рассматриваются произвольные отображения
$\varphi\colon\mathbb C^d\times\mathbb C^d\to\mathbb C^d$. Погрешностью метода $\varphi$ назовем величину
$$e(k,n,\delta_0,\delta_n,\varphi)=\sup_{\substack{x_0,y_0,y_n\in \mathbb C^d\\
\|x_0-y_0\|\le\delta_0,\ \|x_n-y_n\|\le\delta_n}}\|x_k-\varphi(y_0,y_n)\|.
$$
Нас интересует величина
\begin{equation*}
E(k,n,\delta_0,\delta_n)=\inf_{\varphi\colon\mathbb C^d\times\mathbb C^d\to \mathbb
C^d}e(k,n,\delta_0,\delta_n,\varphi).
\end{equation*}

В силу равенств
$$x_s=T^sx_0,\quad T=E+\tau A,$$
рассматриваемая задача сводится к задаче \eqref{P}. Предположим, что $A$ ---
нормальная матрица с собственными значениями $\mu_1,\dots,\mu_d$. Тогда $T$ ---
также нормальная матрица с собственными значениями $\lambda_j=1+\tau\mu_j$,
$j=1,\ldots,d$. Непосредственное применение теоремы \ref{T1} дает решение
поставленной задачи для данного случая.

Аналог этой задачи для непрерывной модели рассматривался в работе \cite{W2}.

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{W} Введенская~Е.~В. ``Об оптимальном восстановлении решения
уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные
моменты времени'', {\it Владикавказский мат. журн.}, {\bf8}:1 (2006), 16-21.

\bibitem{W1} Osipenko~K.~Yu., Wedenskaya~E.~W. ``Optimal recovery of solutions
of the generalized heat equation in the unit ball from inaccurate data'',
{\it J. Complexity}, {\bf23}:4--6 (2007), 653-661.

\bibitem{W2} Введенская~Е.~В. ``Об оптимальном восстановлении решения системы
линейных однородных дифференциальных уравнений'', {\it Дифференциальные уравнения},
 {\bf45}:2 (2009), 255-259.

\bibitem{O2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление
решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям'', {\it Матем.
сб.}, {\bf200}:5 (2009), 37--54.

\bibitem{MO3} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``О восстановлении
операторов сверточного типа по неточной информации'', {\it Тр. МИАН},
{\bf269} (2010), 181--192.

\bibitem{Os} Osipenko~K.~Yu. ``Extremal problems for the generalized
heat equation and optimal recovery of its solution from inaccurate data'',
{\it Optimization}, {\bf60}:6, (2011), 755--767.

\end{thebibliography}
\end{document}
