\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 5800

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\renewcommand{\bibname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}

\begin{document}

\noindent УДК 517.53

\medskip

\title[ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ]{ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ}

\author{К.~Ю.~Осипенко}

\maketitle

Настоящая статья является кратким обзором по оптимальному восстановлению аналитических функций.
В ней излагаются некоторые постановки задач восстановления и их решения на примере восстановления некоторых линейных функционалов (значения функции или ее производной в фиксированной точке, интеграл от функции) на классах аналитических функций. В заключение мы приводим ряд нерешенных задач.

1. Постановки задач восстановления. В большой обзорной статье В.~М.~Тихомиров \cite{1} пишет о нескольких этапах истории развития теории приближений. Первый этап --- приближение индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей, второй --- приближение
классов функций посредством некоторого фиксированного метода (наилучшие полиномы, суммы Фурье, сплайны и т.д.) и, наконец, третий - когда заранее не фиксируется какой-нибудь метод, а среди всевозможных ищется тот, который минимизирует погрешность приближения. Задачи оптимального восстановления являются яркими представителями третьего этапа. Имеется ряд довольно подробных обзорных статей по этим задачам \cite{2,3,4,5,6}, а также монография \cite{7}. Здесь мы приводим ряд новых результатов, полученных в последнее время, ограничиваясь при этом лишь задачами восстановления по точной информации на классах аналитических функций.

Приведем несколько самых распространенных примеров задач восстановления. Пусть задан некоторый класс функций $W$, определенных в области $D$, со значениями в множестве $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$ и точки $t_0,t_1,\ldots,t_n\in D$. Требуется указать приближенное значение функции $f\in W$ в точке $t_0$ по информации о ее значениях $f(t_1),\ldots,f(t_n)$. Эта задача, называемая задачей об интерполяции, допускает много различных подходов. Можно приближать функцию интерполяционными полиномами Лагранжа, интерполяционными сплайнами, рациональными дробями и т.д.

Если подходить к этой задаче с точки зрения оптимального восстановления, то она формализуется следующим образом. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные функции $S\colon D^n\to K$. Ищется величина
$$\infp_{S\colon D^n\to K}\sup_{f\in W}|f(t_0)-S(f(t_1),\ldots,f(t_n))|$$
и оптимальный метод восстановления, на котором достигается нижняя грань.

Другой широко распространенный пример задачи восстановления, когда вместо значения $f(t_0)$ восстанавливается значение $f'(t_0)$. Наконец, можно рассмотреть задачу восстановления величины $\int_a^bf(t)\,dt$, где $[a,b]\subset D$.

Рассмотрим теперь более общую задачу восстановления. Пусть $X$, $Y$ --- линейные пространства над полем $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$, $W\subset X$ --- некоторое множество, $L\in X'$ и $I\colon W\to Y$ --- линейный оператор (в дальнейшем называемый операционным). Требуется восстановить значение линейного функционала $L$ на множестве $W$ по значениям информационного оператора $I$. Удобно воспользоваться следующей диаграммой:

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(210,54)
\put(30,30){$X\supset W$}
\put(75,34){\vector(1,0){63}}
\put(143,30){$K$}
\put(103,42){$L$}
\put(67,25){\vector(1,-1){20}}
\put(100,0){$Y$}
\put(123,4){\vector(1,1){20}}
\put(61,10){$I$}
\put(138,10){$S$}
\end{picture}$$
%\caption{}\label{f5}
\end{figure}

Положим

\begin{equation}\label{1}
E(L,I,W)=\infp_{S\colon Y\to K}\sup_{f\in W}|Lf-S(If)|.
\end{equation}

В рассмотренных ранее примерах $If=(f(t_1),\ldots,f(t_n))$, т.е. $Y=K^n$, а $Lf=f(t_0)$, $f'(t_0)$ или $\int_a^bf(t)\,dt$.

\begin{lemma}
Пусть множество $W$ --- центрально симметрично относительно нуля. Тогда
\begin{equation}\label{2}
E(L,I,W)\ge\sup_{\substack{f\in W\\If=0}}|Lf|.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
При всех $S\colon Y\to K$ и $f\in W$ таких, что $If=0$, имеем
\begin{multline*}
2|Lf|=|Lf-S(0)-(L(-f)-S(0))|\le|Lf-S(0)|+|L(-f)-S(0)|\\
\le2\sup_{f\in W}|Lf-S(If)|.
\end{multline*}
Отсюда при всех $S\colon Y\to K$
$$\sup_{\substack{f\in W\\If=0}}|Lf|\le\sup_{f\in W}|Lf-S(If)|.$$
Остается взять нижнюю грань по всевозможным методам $S$ в правой части неравенства. Лемма доказана.
\end{proof}

Для $If=(l_1f,\ldots,l_nf)$, где $l_i\in X'$, задача оптимального восстановления \eqref{1} была впервые сформулирована в диссертации С.А.~Смоляка \cite{8} в 1965~г. Им же было доказано, что в вещественном случае для выпуклого центрально симметричного относительно нуля множества $W$ всегда существует линейный оптимальный метод восстановления и в \eqref{2} имеет место равенство. Элемент $f_0$, на котором достигается верхняя грань в правой части неравенства \eqref{2} будем называть в дальнейшем экстремальным.

Результат С.А.~Смоляка уточнялся и обобщался многими авторами. В определенном смысле окончательная его форма (в виде критерия существования линейного оптимального метода) была получена в работе \cite{9}.

Рассмотрим теперь частный случай задачи \eqref{1}. Пусть $\Omega$ --- некоторое множество из $\mathbb C$, $\mu$ --- неотрицательная мера на $\Omega$ и $L_p(\Omega,\mu)$ --- пространство Лебега, т.е. множество функций, для которых
\begin{align*}
\|f\|_p&=\biggl(\int_\Omega|f(z)|^p\,d\mu(z)\biggr)^{1/p}<\infty\quad\mbox{ при }1\le p<\infty,\\
\|f\|_\infty&=\vraisup_{z\in\Omega}|f(z)|<\infty\quad\mbox{ при }p=\infty.
\end{align*}

Пусть $X_p$ --- линейное подпространство $L_p(\Omega,\mu)$. Положим $BX_p=\{\,f\in X_p:\|f\|_p\le1\,\}$ и рассмотрим задачу \eqref{1} для $X=X_p$ и $W=BX_p$. Заметим, что в этом случае можно считать информационный оператор $I$ заданным на всем подпространстве $X_p$.

Следующая теорема в некоторых случаях позволяет довольно просто строить оптимальные методы и находить их погрешности.

\begin{theorem}[\!\!\cite{10}]\label{T1}
Пусть $g\in X_p$, $g\ne0$ и $S_0\in Y'$ таковы, что

$1)$ $Ig=0$,

$2)$ при всех $f\in X_p$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{3}
Lf-S_0(If)=\begin{cases}\displaystyle\alpha\int_\Omega\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z),&1\le p<\infty,\\[8pt]
\displaystyle\int_\Omega\ov{g(z)}|\varphi(z)|f(z)\,d\mu(z),&p=\infty,\end{cases}
\end{equation}
где $\alpha\in\mathbb C$, $\varphi\in L_1(\Omega,\mu)$ и при $p=\infty$ \ $g(z)\equiv1$ почти всюду относительно меры $\mu$. Тогда $S_0$ --- оптимальный метод восстановления, $g_0=g/\|g\|_p$ --- экстремальная функция и
$$E(L,I,BX_p)=\sup_{\substack{f\in BX_p\\If=0}}|Lf|=|Lg_0|=\begin{cases}|\alpha|\|g\|_p^{p-2},&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $1\le p<\infty$. Используя \eqref{2}, \eqref{3} и неравенство Гельдера, получим
\begin{multline}\label{4}
|Lg_0|\le\sup_{\substack{f\in BX_p\\If=0}}|Lf|\le E(L,I,BX_p)\le\sup_{f\in BX_p}|Lf-S_0(If)|\\
\le|\alpha|\int_\Omega|g(z)|^{p-1}|f(z)|\,d\mu(z)\le|\alpha|\biggl(\int_\Omega|g(z)|^p\,d\mu(z)
\biggr)^{1/q}\\
=|\alpha|\|g\|_p^{p-1}.
\end{multline}
Но из \eqref{3} $Lg=\alpha\|g\|_p^p$, т.е. $|Lg_0|=|\alpha|\|g\|_p^{p-1}$, что вместе с \eqref{4} доказывает утверждение теоремы для $1\le p<\infty$. Случай $p=\infty$ доказывается по аналогичной схеме. Теорема доказана.
\end{proof}

2. Восстановление значений функций из пространства Харди. Положим $D=\{\,z\in\mathbb C:|z|<1\,\}$. Пространством Харди $H_p$ называется пространство аналитических в $D$ функций, для которых
\begin{align*}
\|f\|_p&=\sup_{0<r<1}\biggl(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r\ei)|^p\,d
\theta\biggr)^{1/p}<\infty,\quad\mbox{ при }1\le p<\infty,\\
\|f\|_\infty&=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty,\quad\mbox{ при }p=\infty.
\end{align*}

Хорошо известно, что функции из $H_p$ имеют почти всюду граничные значения, которые обозначим через $f(\ei)$, причем $f(\ei)\in L_p(\partial D,\mu)$, где $d\mu(\ei)=\dfrac{d\theta}{2\pi}$ и в $|\xi|<1$ имеет место формула Коши
$$f(\xi)=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{f(z)\,dz}{z-\xi}$$
(см., например, \cite[стр.~388]{11}). Тем самым пространство функций из $H_p$ можно рассматривать как подпространство $L_p(\partial D,\mu)$.

Рассмотрим задачу \eqref{1} для $W=BH_p$, $Lf=f(\xi)$, $\xi\in D$ и $If=(f(z_1),\ldots,f(z_n))$, $z_j\in D$. Положим
$$W(z)=\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}.$$
Функция $W(z)$ называется произведением Бляшке. Нетрудно убедиться, что $|W(z)|\equiv1$ при $z\in\partial D$ и, следовательно, $\ov{W(z)}=(W(z))^{-1}$ при всех $|z|=1$. Обозначим через
$$\omega_j(z)=\prod_{\substack{k=1\\k\ne j}}^n\frac{z-z_k}{1-\ov z_kz}.$$

\begin{theorem}\label{T2}
При всех $1\le p\le\infty$ метод
$$f(\xi)\approx\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(\xi)}{\omega_j(z_j)}\frac{1-|z_j|^2}{1-\ov z_j\xi}\left(\frac{1-|\xi|^2}{1-z_j\ov\xi}\right)^{\frac{p-2}p}f(z_j)$$
является оптимальным методом восстановления, $g_0(z)=\dfrac{W(z)(1-|\xi|^2)^{1/p}}{(1-\ov\xi z)^{2/p}}$ --- экстремальная функция и
$$E(L,I,BH_p)=|g_0(z)|=\frac{|W(\xi)|}{(1-|\xi|^2)^{1/p}}$$
$($в случае $p=\infty$ под выражениями с $p$ понимаются их пределы при $p\to\infty)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
$$g(z)=\dfrac{W(z)}{(1-\ov\xi z)^{2/p}}.$$
Пусть $1\le p<\infty$. При всех $f\in H_p$, пользуясь теоремой Коши о вычетах, получаем
\begin{multline}\label{5}
W(\xi)(1-|\xi|^2)^{\frac{p-2}p}\int_{|z|=1}\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z)\\
=W(\xi)(1-|\xi|^2)^{\frac{p-2}p}\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{f(z)\,dz}{W(z)(z-\xi)(1-\ov\xi z)^{\frac{p-2}p}}\\
=f(\xi)-\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(\xi)}{\omega_j(z_j)}\frac{1-|z_j|^2}{1-\ov z_j\xi}\left(\frac{1-|\xi|^2}{1-z_j\ov\xi}\right)^{\frac{p-2}p}f(z_j).
\end{multline}
Подставив в эти равенства $f(z)=g(z)$, будем иметь
$$W(\xi)(1-|\xi|^2)^{\frac{p-2}p}\|g\|_p^p=\frac{W(\xi)}{(1-|\xi|^2)^{1/p}}.$$
Тем самым
$$\|g\|_p=(1-|\xi|^2)^{-1/p}.$$

Теперь утверждение теоремы следует из теоремы~\ref{T1}. При $p=\infty$ схема доказательства остается та же, $p=\infty$а в качестве $\varphi(z)$ рассматривается функция $(1-\ov\xi z)^{-2}$. Теорема доказана.
\end{proof}

Теорема~\ref{T2} была получена в работах \cite{12} ($p=\infty$) и \cite{13} ($1\le p<\infty$).

Мы рассматривали случай различных точек $z_j\in D$. Однако та же схема рассуждений распространяется и на случай, когда точки совпадают с некоторой кратностью. При этом, если $z_j=z_{j+1}=\ldots=z_{j+k}$, считается, что заданы значения $f(z_j),f'(z_j),\ldots,f^{(k)}(z_j)$.

Интересен один частный случай, когда $z_1=\ldots=z_n=0$ (восстановление по тейлоровской информации $f(0),f'(0),\ldots,f^{(n-1)}(0)$). Тогда аналогично равенству \eqref{5} доказывается равенство
$$\xi^n(1-|\xi|^2)^{\frac{p-2}p}\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{f(z)\,dz}{z^n(z-\xi)(1-\ov\xi z)^{\frac{p-2}p}}=f(\xi)-\sum_{j=0}^{n-1}c_j(\xi)f^{(j)}(0),$$
где
$$c_j(\xi)=\frac{\xi^n(1-|\xi|^2)^{\frac{p-2}p}}{j!(n-j-1)!}\frac{\partial^{n-j-1}}{\partial z^{n-j-1}}\left(\frac1{(\xi-z)(1-\ov\xi z)^{\frac{p-2}p}}\right)\bigg|_{z=0}.$$
В частности, оптимальные методы восстановления имеют вид при $p=\infty$
$$f(\xi)\approx\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\xi^j}{j!}(1-|\xi|^{(n-j)})f^{(j)}(0),$$
при $p=2$
$$f(\xi)\approx\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\xi^j}{j!}f^{(j)}(0),$$
при $p=1$
$$f(\xi)\approx\sum_{j=0}^{n-2}\frac{\xi^j}{j!}f^{(j)}(0)+\frac{\xi^{n-1}}{(n-1)!}
\frac1{1-|\xi|^2}f^{(n-1)}(0).$$
При этом для всех $1\le p\le\infty$
$$E(L,I,BH_p)=\frac{|\xi|^n}{(1-|\xi|^2)^{1/p}}.$$
Еще один частный случай --- интерполяция в нуле по системе точек, равномерно распределенных на окружности радиуса $r$. Пусть $z_j=r\exp(i2\pi j/n)$, $j=\ov{0,n-1}$. Тогда оптимальный метод восстановления при $p=\infty$ имеют вид
$$f(0)\approx\frac{1-r^{2n}}n\sum_{j=0}^{n-1}f(z_j),\quad E(L,I,BH_p)=r^n.$$

3. Восстановление значений производной. Пусть теперь $Lf=f'(\xi)$. Введем следующие обозначения:
\begin{gather*}
\beta(\xi)=\frac{1-|\xi|^2}2W'(\xi)+\frac{\ov\xi}pW(\xi),\\
D_1=\left\{\,\xi\in D:|\beta(\xi)|<\frac{p-1}p|W(\xi)|\,\right\},\quad D_0:=D\setminus D_1,\\
b=\begin{cases}\dfrac{p\beta(\xi)}{(p-1)W(\xi)},&\xi\in D_1,\\[10pt]
\dfrac{\ov{W(\xi)}e^{i\arg\beta(\xi)}}{|\beta(\xi)|+\sqrt{|\beta(\xi)|^2-
\dfrac{p-2}p|W(\xi)|^2}},&\xi\in D_0,\end{cases}\\
a=\frac{\xi-\ov b}{1-\ov\xi\ov b},\quad u_\xi(z)=\begin{cases}1,&\xi\in D_1,\\[2pt]
\dfrac{z-a}{1-\ov az},&\xi\in D_0.\end{cases}
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T3}
Метод
$$f'(\xi)\approx\sum_{j=1}^nc_j(\xi)f(z_j),$$
где
\begin{multline*}
c_j(\xi)\\
=\begin{cases}-\dfrac{W(\xi)u_\xi(z_j)(1-|z_j|^2)}{\omega_j(z_j)u_\xi(\xi)(z_j-\xi)^2}
\left(\dfrac{1-|\xi|^2}{1-z_j\ov\xi}\right)^{2(p-2)/p}&\\[8pt]
\hspace{120pt}\times\left(\dfrac{1-\ov az_j}{1-\ov a\xi}\right)
^{2(p-1)/p},&\xi\notin\{z_1,\ldots.z_n\},\\[8pt]
\dfrac{\omega_k(\xi)(1-|z_j|^2)}{\omega_j(z_j)(1-\ov\xi z_j)(\xi-z_j)}\left(\dfrac{1-\ov\xi z_j}
{1-|\xi|^2}\right)^{2/p},&\xi=z_k,\ k\ne j,\\[10pt]
\dfrac{\omega_j'(\xi)}{\omega_j(\xi)}+\dfrac2p\,\dfrac{\ov\xi}{1-|\xi|^2},&\xi=z_j,
\end{cases}
\end{multline*}
является оптимальным методом восстановления. Функция
$$g_0(z)=\frac{(1-|\xi|^2)^{1/p}|1-\xi b|^{2/p}}{(1+|b|^2)^{1/p}}\frac{z-a}{1-\ov az}\frac{W(z)}{u_\xi(z)}\frac{(1-\ov az)^{2/p}}{(1-\ov\xi z)^{4/p}}$$
--- экстремальная, а
\begin{multline*}
E(L,I,BH_p)=\sup_{\substack{f\in H_p\\If=0}}|f'(\xi)|=|g_0'(\xi)|\\
=\begin{cases}\dfrac{|W(\xi)|}{|u_\xi(\xi)|}\dfrac{(1+|b|^2)^{(p-1)/p}}
{(1-|\xi|^2)^{(p+1)/p}},&\xi\notin\{z_1,\ldots,z_n\},\\[12pt]
\dfrac{|\omega_k(\xi)|}{(1-|\xi|^2)^{(p+1)/p}},&\xi=z_k.\end{cases}
\end{multline*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $\xi\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$ и $1\le p<\infty$. Положим
$$g(z)=\frac{z-a}{1-\ov az}\frac{W(z)}{u_\xi(z)}\frac{(1-\ov az)^{2/p}}{(1-\ov\xi z)^{4/p}},
\quad\alpha=\frac{W(\xi)}{u_\xi(\xi)}\frac{(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(1-\ov a\xi)^{2(p-1)/p}}.$$
Тогда по теореме Коши о вычетах имеем
\begin{multline*}
\alpha\int_0^{2\pi}\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z)\\
=\frac\alpha{2\pi i}\int_{|z|=1}
\frac{u_\xi(z)(1-\ov az)^{2(p-1)/p}
f(z)\,dz}{W(z)(z-\xi)^2(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}\\
=f'(\xi)+\lambda(a)f(\xi)-\sum_{j=1}^nc_j(\xi)f(z_j).
\end{multline*}
Причем параметр $a$ выбран как раз так, чтобы $\lambda(a)=0$. Из этих же равенств при $f=g$ получаем
$$\|g\|^p_p=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1-\ov az)(z-a)\,dz}{(z-\xi
)^2(1-\ov\xi z)^2}=\frac{1+|b|^2}{(1-|\xi|^2)|1-\xi b|^2}.$$
Теперь утверждение теоремы в рассматриваемом случае вытекает из теоремы~\ref{T1}. При $\xi=z_k$ рассуждения проводятся по той же схеме для
$$g(z)=\frac{W(z)}{(1-\ov\xi z)^{2/p}},\quad\alpha=\frac{\omega_k(\xi)}{(1-|\xi|^2)^{2/p}}.$$
При $p=\infty$ используется теорема~\ref{T1} для тех же функций $g(z)$ (с учетом предельного перехода при $p\to\infty)$) и
$$\varphi(z)=\frac{(1-\ov az)^2}{(1-\ov\xi z)^4}.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Теорема~\ref{T3} при $p=\infty$ была получена в работе \cite{2}, а в общей ситуации при $1\le p\le\infty$ и $Lf=\lambda_0f(\xi)+\lambda_1f'(\xi)$ в работе \cite{10}. Из теоремы~\ref{T3} вытекает, что единичный диск разбивается на две области $D_0$ и $D_1$, в которых экстремальная функция имеет существенные различия. В области $D_0$ у экстремальной функции нули расположены только в точках $z_1,\ldots,z_n$, а в области $D_1$ кроме нулей в этих точках появляется еще один дополнительный нуль.

Появление двух таких областей впервые, по-видимому, было обнаружено Дьедонне~\cite{14}, которым была найдена величина
$$\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(0)=0}}|f'(\xi)|=\begin{cases}1,&|\xi|\le\sqrt2-1,\\
\dfrac{1+|\xi|^2}{4|\xi|(1-|\xi|^2)},&|\xi|>\sqrt2-1.\end{cases}$$
При этом оказалось, что при $|\xi|\le\sqrt2-1$ экстремальная функция --- $g_0(z)=z$, а при $1>|\xi|>\sqrt2-1$
$$g_0(z)=z\frac{z-a(\xi)}{1-\ov a(\xi)z}.$$
Результаты, полученные в теореме~\ref{T3}, естественным образом распространяются и на случай с кратными точками. Интересен случай восстановления производной по тейлоровской информации $f(0),f'(0),\ldots,f^{(n-1)}(0)$. Погрешность оптимального восстановления при этом будет равна величине
$$\sup_{\substack{f\in BH_p\\f(0)=\ldots=f^{(n-1)}(0)=0}}|f'(\xi)|.$$
При $p=\infty$ результаты относительно этой задачи, обобщающие результат Дьедонне, были получены Мичелли и Ривлиным~\cite{2}. В частности, ими было найдено, что
$$D_0=\{\,\xi\in\mathbb C:|\xi|\le r_n\,\},\quad\mbox{где}\quad r_n=\frac{\sqrt{1+n^2}-1}n.$$
Из работы \cite{10} вытекает, что при $1\le p\le\infty$ \ $D_0=\{\,\xi\in D:|\xi|\le r_{np}\,\}$, где
$$r_{np}=\frac{\sqrt{\left(\dfrac{p-1}p\right)^2+n\left(n-\dfrac2p\right)}-
\dfrac{p-1}p}{n-\dfrac2p}.$$
Тем самым при $1\le p\le2$ \ $D_0=D$, и разбиения на две области нет.

Рассмотрим задачу восстановления производной $f^{(k)}(0)$ по информации в точках $z_j=r\exp(i2\pi j/n)$, $j=0,\ldots,n-1$, $k<n$. Записав для функции
$$g(z)=z^k\frac{r^n-z^n}{1-r^nz^n}$$
равенство \eqref{3} (с $\varphi(z)\equiv1$ при $p=\infty$), получим, что метод
\begin{equation}\label{6}
f^{(k)}(0)\approx\frac{k!(1-r^{2n})}{nr^k}\sum_{j=0}^{n-1}\exp(-i2\pi jk/n)f(z_j)
\end{equation}
является оптимальным, $g(z)$ --- экстремальная функция, а $E(L,I,BH_p)=k!r^n$. В частности, при $k=1$, $n=2$ оптимальный метод при всех $1\le p\le\infty$ имеет вид
$$f'(0)\approx(1-r^2)\frac{f(r)-f(-r)}{2r}.$$
Для $p=\infty$ этот факт вытекает также из результатов работы \cite{2} и отмечался в работе \cite{4}.

Заметим, что экстремальная функция $g(z)$ удовлетворяет равенствам $g(0)=\ldots=g^{(k-1)}(0)=0$. Это означает, что метод \eqref{6} является также оптимальным методом восстановления, использующим информацию $If=(f(0),\ldots,f^{(k-1)}(0),f(z_0,\ldots,f(z_{n-1}))$. Иными словами, дополнительная информация о значениях функции $f$ в нуле вместе со своими производными до порядка $k-1$ не является полезной, т.е. она не уменьшает погрешность восстановления.

По-другому обстоит дело при $k=n$. Рассматривая экстремальную функцию
$$g(z)=z^n\frac{r^n-z^n}{1-r^nz^n},$$
получим, что оптимальный метод восстановления имеет вид
$$f^{(n)}(0)\approx\frac{n!(1-r^{2n})}{r^n}\biggl[\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}f(z_j)-f(0)\biggr],$$
а $E(L,I,BH_p)=n!r^n$. Здесь информация о значении $f(0)$ используется, но по-прежнему является ``лишней'' информация о $f'(0),\ldots,f^{(n-1)}(0)$.

Можно построить  $f^{(n)}(0)$, использующий значения функции лишь в точках $z_0,\ldots,z_{n-1}$. Экстремальная функция в этом случае будет иметь различный вид в зависимости от $r$.

Положим
\begin{gather*}
r_p=\left(\sqrt{\left(\frac{p-1}p\right)^2+1}-\frac{p-1}p\right)^{1/p},\\
a=\begin{cases}\left(\dfrac{1-r^{2n}}{2r^n}+\sqrt{\left(\dfrac{1-r^{2n}}{2r^n}\right)^2-
\dfrac{p-2}p}\right)^{-1/n},&0<r\le r_p,\\
\left(\dfrac p{p-1}\dfrac{1-r^{2n}}{2r^n}\right)^{1/n},&r_p<r<1.\end{cases}
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T4}
Метод
$$f^{(n)}(0)\approx\begin{cases}\dfrac{(n-1)!}{r^na^n}(1-r^{2n})(a^n-r^n)(1-a^nr^n)^{\frac{p-2}p}
\sum_{j=0}^{n-1}f(z_j),&\\
\hspace{230pt}0<r\le r_p,\\
\dfrac{(n-1)!}{r^n}(1-r^{2n})(1-a^nr^n)^{\frac{2(p-1)}p}
\sum_{j=0}^{n-1}f(z_j),&\\
\hspace{230pt}r_p<r<1,
\end{cases}$$
является оптимальным методом восстановления,
$$g_0(z)=\begin{cases}(1+a^{2n})^{-1/p}\dfrac{z^n-r^n}{1-r^nz^n}(1-a^nz^n)^{2/p},&0<r\le r_p,\\
(1+a^{2n})^{-1/p}\dfrac{z^n-r^n}{1-r^nz^n}\dfrac{z^n-a^n}{1-a^nz^n}(1-a^nz^n)^{2/p},&r_p<r<1,
\end{cases}$$
является экстремальной функцией и
$$E(L,I,BH_p)=\begin{cases}\dfrac{n!r^n}{a^n}(1+a^{2n})^{(p-1)/p},&0<r\le r_p,\\
n!r^n(1+a^{2n})^{(p-1)/p},&r_p<r<1,
\end{cases}$$
\end{theorem}

Доказательство этой теоремы проводится по общей схеме, использованной в теоремах~\ref{T2} и \ref{T3}.

При $p=\infty$ из теоремы~\ref{T4} вытекает равенство

$$E(r)=E(L,I,BH_\infty)=\begin{cases}n!(1-r^{2n}),&0<r\le(\sqrt2-1)^{1/n},\\
n!\dfrac{(1+r^{2n})}{4r^n},&(\sqrt2-1)^{1/n}<r<1.\end{cases}$$
Нетрудно убедиться, что
$$\min_{r\in(0,1)}E(r)=E\biggl(\!\!\!\sqrt[2n]{\frac13}\,\biggr)=n!\frac{4\sqrt3}9.$$

Например, для одной точки ($n=1$) оказывается, что минимальная погрешность оптимального приближения	восстановления $f'(0)$ достигается, когда эта точка взята на окружности радиуса $1/\sqrt3$. Этот любопытный факт был обнаружен в работе \cite{15}. Задача минимизации погрешности оптимального восстановления $f'(\xi)$, $\xi\in(-1,0)$ за счет выбора узлов $z_1,\ldots,z_n\in[0,1)$ на классе $BH_\infty$ рассматривалась в работе \cite{16}.

4. Квадратурные формулы на классе $BH_\infty$. Рассмотрим задачу \eqref{1} для $W=BH_\infty$, $Lf=\int_a^bf(x)p(x)\,dx$, $(a,b)\subset(-1,1)$, $p(x)\ge0$ --- весовая функция и $If=(f(x_1),f'(x_1),\ldots,f(x_n),f'(x_n))$, $x_j\in(-1,1)$. Положим
\begin{gather*}
W_j(x)=\frac{x-x_j}{1-x_jx},\quad W(x)=\prod_{j=1}^nW_j(x),\quad\omega_j(x)=\prod_{\substack{k=1\\k\ne j}}W_k(x),\\
a_{j1}(x)=\int_a^b\frac{\omega_j^2(x)W_j(x)}{\omega_j^2(x_j)W_j'(x_j)}\left[1-W_j^2(x)
\right]p(x)\,dx,\\
a_{j0}(x)=\int_a^b\frac{\omega_j^2(x)}{\omega_j^2(x_j)}\left[1-W_j^4(x)
\right]p(x)\,dx-2\frac{\omega_j'(x_j)}{\omega_j(x_j)}a_{j1}.
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T5}
Квадратурная формула
\begin{equation}\label{7}
\int_a^bf(x)p(x)\,dx\approx\sum_{j=1}^n(a_{j0}f(x_j)+a_{j1}f'(x_j))
\end{equation}
является оптимальным методом восстановления на классе $BH_\infty$, $g_0(z)=W^2(x)$ --- экстремальная функция и
$$E(L,I,BH_\infty)=\int_a^bW^2(x)p(x)\,dx.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Из обобщения теоремы~\ref{T2} для восстановления функций по значениям в точках $x_j$, $j=1,\ldots,n$, с кратностью $2$ получим, что метод
$$f(x)\approx\sum_{j=1}^n(D_{j0}(x)f(x_j)+D_{j1}(x)f'(x_j)),\quad x\in(-1,1),$$
где
$$D_{jk}(x)=W^2(x)(1-x^2)\frac{\partial^{1-k}}{\partial\xi^{1-k}}\left[\frac{(1-x_j\xi)^2}
{\omega_j^2(\xi)(1-x\xi)(x-\xi)}\right]\bigg|_{\xi=x_j},\quad k=0,1,$$
является оптимальным методом восстановления для функций из $BH_\infty$ с погрешностью, равной $W^2(x)$. Следовательно, при всех $f\in BH_\infty$
$$\biggl|f(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^1D_{jk}f^{(k)}(x_j)\biggr|\le W^2(x).$$
Поскольку
$$a_{jk}=\int_a^bD_{jk}(x)p(x)\,dx,$$
имеем
$$\biggl|\int_a^bf(x)p(x)\,dx-\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^1a_{jk}f^{(k)}(x_j)\biggr|\le\int_a^b W^2(x)p(x)\,dx.$$
Таким образом,
$$E(L,I,BH_\infty)\le\int_a^bW^2(x)p(x)\,dx.$$
С другой стороны, из леммы
\begin{multline*}
E(L,I,BH_\infty)=\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(x_1)=f'(x_1)=\ldots=f(x_n)=f'(x_n)=0}}
\biggl|\int_a^bf(x)p(x)\,dx\biggr|\\
\ge\int_a^bW^2(x)p(x)\,dx.
\end{multline*}
Теорема доказана.
\end{proof}

Для подмножества функций из $BH_\infty$, вещественных на вещественной оси, теорема~\ref{T5} была  доказана в работе \cite{17}. Общий случай произвольных кратностей был рассмотрен в \cite{18}.

Интересен вопрос о нахождении оптимальных узлов, т.е. таких точек, на которых достигается нижняя грань
$$\inf_{x_j\in(-1,1)}\int_a^bW^2(x)p(x)\,dx.$$
В общем случае эта задача остается открытой. Известно лишь, что оптимальные узлы существуют, удовлетворяют условиям $a<x_j<b$ и для них $a_{j1}=0$, т.е. в квадратурной формуле \eqref{7} по оптимальным узлам информация о значениях производной не используется. Отсюда следует, что  оптимальные квадратурные формулы для оптимальных узлов, использующие информацию $If$ и $If=(f(x_1),\ldots,f(x_n))$, совпадают.

Отметим, что оптимальные узлы не найдены даже для весовой функции $p(x)=1$. Более того, неизвестно, являются ли они единственными. Ряд результатов, касающихся оптимальных узлов можно найти в работе \cite{18}. Там же показано, что в общем случае единственности оптимальных узлов нет.

Порядковые оценки погрешности оптимального восстановления интеграла по оптимальным узлам на классе $BH_p$, $\le p\le\infty$, получены в работе \cite{19} (см. также цитируемую там литературу).

5. Задача восстановления на классах Бергмана. Пространство Бергмана $A_p$ определяется как множество аналитических в $D$ функций, для которых
$$\|f\|_p=\biggl(\frac1\pi\int_D|f(z)|^p\,d\sigma\biggr)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,$$
где $d\sigma$ --- плоская мера Лебега (при $p=\infty$ \ $A_\infty=H_\infty$). Рассмотрим задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$ по тейлоровской информации $f(0),f'(0),\ldots,f^{(n-1)}(0)$ на классе $BA_p$.

\begin{theorem}[\!\!\cite{10}]\label{T6}
Метод 
$$f(\xi)\approx\sum_{j=0}^{n-1}c_j(\xi)f^{(j)}(0),$$
где
\begin{multline*}
c_j(\xi)=\frac{\xi^n(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{j!(n-j-1)!(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}}\\
\times
\frac{\partial^{n-j-1}}{\partial z^{n-j-1}}\left[\frac{(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{(\xi-z)
(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}\right]\bigg|_{z=0},
\end{multline*}
$$\varphi(z)=1+\frac{np}2(1-\ov\xi z),$$
является оптимальным методом восстановления на классе $BA_p$, $1\le p<\infty$,
$$g_0(z)=\frac{(1-|\xi|^2)^{2/p}}{(\varphi(\xi))^{1/p}}z^n\frac{(\varphi(z))^{2/p}}
{(1-\ov\xi z)^{2/p}}$$
--- экстремальная функция, а
$$E(L,I,BA_p)=|\xi|^n\frac{(\varphi(\xi))^{1/p}}{(1-|\xi|^2)^{2/p}}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
$$g(z)=z^n\frac{(\varphi(z))^{2/p}}{(1-\ov\xi z)^{2/p}},\quad\alpha=\frac{(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}}$$
и для $f\in H_\infty$
$$If=\frac\alpha{2\pi i}\int_{|\xi|=1}\frac{(\varphi(z))^{(p-2)/p}f(z)\,dz}{z^n(z-\xi)
(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}.$$
По теореме о вычетах получаем
$$If=f(\xi)-\sum_{j=0}^{n-1}c_j(\xi)f^{(j)}(0).$$
С другой стороны, по формуле Стокса
\begin{multline*}
If=\frac\alpha{2\pi i}\int_{|\xi|=1}|z|^{n(p-2)}\frac{\ov z^{n+1}(\varphi(z))^{(p-2)/p}f(z)\,dz}{z^n(z-\xi)(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}\\
=\frac\alpha\pi\int_D\frac\partial{\partial\ov z}\left(\frac{\ov z^{\frac{np}2+1}}{1-\ov\xi z}\right)\frac{z^{n(p-2)/p}(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,d\sigma\\
=\frac\alpha\pi\int_Dg(z)|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\sigma.
\end{multline*}
Поскольку функции из $H_\infty$ плотны в $A_p$, то это равенство имеет место для всех $f\in A_p$. Остается применить теорему~\ref{T1}. Теорема доказана.
\end{proof}

В частности, из теоремы~\ref{T6} вытекает аналог леммы Шварца для классов $BA_p$
$$\sup_{\substack{f\in BA_p\\f(0)=0}}|f(\xi)|=|\xi|\frac{\left(1+\dfrac p2(1-|\xi|^2)\right)^{1/p}}{(1-|\xi|^2)^{2/p}}.$$

Задачи восстановления на классах Бергмана, по-видимому, являются сложными задачами. В какой-то мере это можно объяснить тесной связью этих задач с задачами восстановления на классах Харди в $\mathbb C^2$ (подробнее см. в \cite{20}).

6. Некоторые дальнейшие результаты и нерешенные задачи. Аналогично пространствам $H_p$ и $A_p$ определяются пространства гармонических в $D$ функций $h_p$ и $a_p$. Ряд результатов по оптимальному восстановлению на классах $Bh_\infty$, $Bh_2$ и $Ba_2$ можно найти в работе \cite{21}. Однако задача восстановления значения $u(\xi)$ по информации $Iu=(u(z_1),\ldots,u(z)_n$ для произвольной системы точек $z_1,\ldots,z_n$ на классе $BH_\infty$ не решена (в \cite{21} приводится решение этой задачи, когда $z_j\in(-1,1)$).

Не решена аналогичная задача и на классе $BA_p$. Соответствующая экстремальная задача для нахождения погрешности оптимального восстановления имеет в этом случае вид:
\begin{equation}\label{8}
\sup_{\substack{f\in BA_p\\f(z_1)=\ldots=f(z_n)=0}}|f(\xi)|.
\end{equation}

Обозначим через $H_p^r$ пространство аналитических в $D$ функций, у которых $f^{(r)}\in H_p$. Некоторые результаты о задаче, аналогичной \eqref{8}, для $H_\infty^r$ получены в работе \cite{22} (см. также \cite{23}). Однако даже аналог леммы Шварца, т.е. задача о нахождении величины
$$\sup_{\substack{f'\in BA_p\\f(0)=0}}|f(\xi)|$$
при $1\le p<\infty$, неизвестен.

Задачи, связанные с оптимальным восстановлением в многомерной ситуации, лишь начинают изучаться. Ряд результатов в этом направлении получен в работе \cite{20}.
Мы не имеем возможности остановиться здесь на задачах, связанных с восстановлением по данным, известным с ошибкой. Задачи эти интересны тем, что эффект ``лишней'' информации, возникающий уже в задачах с точной информацией, оказывается типичным для информации, заданной с погрешностью. Результаты, касающиеся этих задач, можно найти в работах \cite{24,25,26,27}.


\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} Тихомиров В.М. Теория приближений// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). -- Т.~14. -- М. 1987. --С.~103--260.

\bibitem{2} Micchelli C.A., Rivlin T.J.  A survey of optimal recovery. -- N.Y.: Plenum Press, 1977. -- P.~1--54.

\bibitem{3} Rivlin T.J. A survey of recent results on optimal recovery. Polinom and spline approximat. Proc. NATO Adv. Study Inst. Calgary, 1978, Dordrecht e.a. 1979. -- P.~225--245.

\bibitem{4} Rivlin T.J. The optimal recovery of functions// Contemp. Math. -- 1982. -- V.~9. -- P.~121--151.

\bibitem{5} Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures in optimal recovery//
Lect. Notes Math. -- 1985. -- 1129. -- P.~21--93.

\bibitem{6} Wo\'zniakowski H. A survey of information--based complexity// J. Complexity. -- 1985. -- V.~1. -- P.~11--44.

\bibitem{7} Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов. -- М.: Мир, 1983.

\bibitem{8} Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. -- Канд. дисс., МГУ, 1965.

\bibitem{9} Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным// Мат. заметки. -- 1991. -- Т.~50. -- Вып.~6. -- С.~85--93.

\bibitem{10} Осипенко К.Ю., Стесин М.И. О задачах восстановления в пространствах Харди и Бергмана// Мат. заметки. -- 1991. -- Т.~49. -- Вып.~4. -- С.~95--104.

\bibitem{11} Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. -- М.: Наука, 1966.

\bibitem{12} Осипенко К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек// Мат. заметки. -- 1976. -- Т.~19. -- Вып.~1. -- С.~29--40.

\bibitem{13} Fisher S.D., Micchelli C.A. The $n$-width of sets of analytic functions//
Doke Math. J. -- 1980. -- V.~47. -- N.~4. -- P.~789--801.

\bibitem{14} Dieudonn\'e J. Recherches sur quelques problems ralatifs aux polinomes et aux fonctions born\'ees d'une variable
complexe// Ann. Ecole Norm. Sup. -- 1931. -- V.~3. -- N.~48. -- P.~247--358.

\bibitem{15} Rivlin T.J., Shaffer D.B. Optimal estimation of the derivative of bounded analytic functions. IBM Reserch Report, RC 9843. -- 1983.

\bibitem{16} Rivlin T.J., Ruscheweyh St., Shaffer D., Wirths K.J. Optimal recovery of the derivative of bounded analytic functions// IMA J. of Numer. Anal. -- 1983. -- V.~3. -- N.~3. -- P.~327--332.

\bibitem{17} Bojanov B.D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions// Zastos. Mat. -- 1974. -- V.~14. -- P.~441--447.

\bibitem{18} Осипенко К.Ю. О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных аналитических функций// Изв. АН СССР. Сер. мат. -- 1988. -- Т.~52. -- N.~1. -- С.~79--99.

\bibitem{19} Anderson J.-E., Bojanov B.D. A note on the optimal quadrature in $H_p$// Numer. Math. -- 1984. -- V.~44. -- N.~2. -- P.~301--308.

\bibitem{20} Osipenko K.Yu., Stessin M. On optimal recovery of holomorphic n
functions and Schwartz Lemma in the unit ball of $\mathbb C^n$//  Constr.
Approximat. (в печати).

\bibitem{21} Осипенко К.Ю. Наилучшие и оптимальные методы восстановления на классах гармонических функций// Мат. сборник. -- 1991. -- Т.~182. -- N.~5. -- С.~723--745.

\bibitem{22} Horwitz A., Newman D.J. An extremal problem for analytic func-
tions with prescribed zeros and $r$-th derivative in $H^\infty$// Trans. Amer. Math. Soc. -- 1986. -- V.~295. -- N.~2. -- P.~669--713.

\bibitem{23} Fisher S.D. Envelopes, widths, and Landau problems for analytic functions// Constr. Approximat. -- 1989. -- V.~5. -- N.~2. -- P.~171--187.

\bibitem{24} Осипенко К.Ю. Наилучшие методы приближения аналитических функций, заданных с погрешностью// Мат. сборник. -- 1982. -- Т.~118. -- N.~3. -- С.~350--370.

\bibitem{25} Осипенко К.Ю. Задача Хейнса и оптимальная экстраполяция аналитических функций, заданных с ошибкой// Мат. сборник. -- 1985. -- Т.~126. -- N.~4. -- С.~566--575.

\bibitem{26} Osipenko K.Yu. On optimal extrapolation and interpolation of fuzzy analytic functions// Anal. math. -- 1987. -- V.~13. -- N.~3. -- P.~199--210.

\bibitem{27} Osipenko K.Yu., Stessin M.  On some problems of optimal recovery of holomorphic and harmonic functions from inaccurate data// J. Approxim. Theory (в печати).

\end{thebibliography}

\bigskip
\leftline{Московский государственный авиационный}
\leftline{технологический университет им. К.Э. Циолковского}
\end{document}
