\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 3400

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\renewcommand{\bibname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\begin{document}
\title[ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ]{ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ И БЕРГМАНА НА ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ ИЗ $\mathbb C^n$}

\author{К.~Ю.~Осипенко}

\maketitle

\section{Основные определения и постановка задачи}


Пусть $X$ и $Y$ --- линейные пространства. Рассмотрим задачу оптимального
восстановления значений линейного функционала $L\colon X\to\mathbb C$ на
некотором множестве $W\subset X$ по значениям на этом множестве линейного
оператора $I\colon X\to Y$, называемого информационным оператором. {\it
Погрешностью оптимального восстановления\/} назовем величину
\begin{equation}\label{1}
e(L,I,W):=\infp_T\sup_{f\in W}|Lf-T(If)|,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным отображениям $T\colon Y\to\mathbb C$. Отображение $T_0$, на котором достигается нижняя грань в \eqref1, будем
называть {\it оптимальным методом восстановления\/} функционала $L$. Элемент
$f_0\in W$, для которого
$$|Lf-T_0(If)|=e(L,I,W),$$
назовем {\it экстремальным элементом}. Подробные сведения о различных
постановках задач восстановления можно найти в обзорных статьях \cite{1}, \cite{2}
и монографиях \cite{3}, \cite{4}.

Если $W$ --- выпуклое и уравновешенное (т.е.\ $x\in W\Rightarrow\lambda
x\in W\quad\forall|\lambda|=1$) множество, то имеет место равенство
\begin{equation}\label{2}
e(L,I,W)=\sup_{\substack{f\in W\\If=0}}|Lf|.
\end{equation}
Равенство \eqref2 при различных ограничениях доказывалось многими авторами.
Соответствующие ссылки можно найти в работе \cite{5}, где получен наиболее
общий результат в этом направлении.

Пусть $B$ --- единичный шар в $\mathbb C^n$ и $S$ --- его граница:
\begin{align*}
B&:=\biggl\{\,z=(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n:|z|^2:=\sum_{k=1}^n|z_k|^2<1\,\biggr\},\\
S&:=\left\{\,z\in\mathbb C^n:|z|=1\,\right\}.
\end{align*}
{\it Пространством Харди\/} $H_p(B)$ ($H_p$) называется множество голоморфных
в $B$ функций, удовлетворяющих условию
\begin{align*}
\|f\|_{H_p}&:=\sup_{0<r<1}\biggl(\int\limits_S|f(rz)|^p\,d
\sigma(z)\biggr)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_{H_\infty}&:=\sup_{z\in B}|f(z)|<\infty,\quad p=\infty,
\end{align*}
где $\sigma$ --- вероятностная борелевская мера, инвариантная относительно
вращений. Для функций из $H_p$ существуют почти всюду граничные значения,
принадлежащие $L_p(S,\sigma)$ (см. \cite[стр.~95]{6}). Тем самым пространство
$H_p$ можно рассматривать как линейное подпространство $L_p(S,\sigma)$.

{\it Пространством Бергмана\/} $A_p(B)$ ($A_p$) называется множество голоморфных
в $B$ функций, удовлетворяющих условию
$$\|f\|_{A_p}:=\biggl(\int_B|f(z)|^p\,d\nu(z)\biggr)^{1/p}<\infty,
\quad1\le p<\infty,$$
где $\nu$ --- мера Лебега в $\mathbb C^n=\mathbb R^{2n}$, нормированная так,
что $\nu(B)=1$. При $p=\infty$ \ $A_\infty=H_\infty$. Если возникает
необходимость отметить размерность, будем писать $B_n$, $S_n$, $\sigma_n$
или $\nu_n$.

Для линейного нормированного пространства $X$ через $BX$ будем обозначать
зам\-кну\-тый единичный шар:
$$BX:=\{\,x\in X:\|x\|\le1\,\},$$
Пусть $\alpha$ --- {\it мультииндекс}, т.е.\ упорядоченный набор неотрицательных
целых чисел $\alpha_j$, $1\le j\le n$: $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$.
Положим
$$D_j:=\frac\partial{\partial z_j},\quad D^\alpha:=D_1^{\alpha_1}\ldots
D_n^{\alpha_n},\quad|\alpha|:=\alpha_1+\ldots+\alpha_n.$$

В работе рассматривается задача оптимального восстановления значения функции
$f\in BH_p$ или $BA_p$ в точке $a\in B$ по значениям следов функций $D^\alpha f$, $|\alpha|=0,\ldots,r-1$, на некотором множестве $A\subset B$.
Тем самым изучается задача восстановления линейного функционала $Lf=f(a)$
по значениям информационного оператора
$$If=I_A^rf:=\left\{D^\alpha f_{|_A}\right\}_{|\alpha|=0}^{r-1}.$$
Величину погрешности оптимального восстановления будем обозначать в этом
случае через $e\left(a,I_A^r,BX_p\right)$, где $X_p=H_p$ или $A_p$.

Исследование задач оптимального восстановления голоморфных функций многих
переменных было начато в работе \cite{7}, где изучался случай $r=0$.

\section{Предварительные сведения}

Пусть $\Omega$ --- подмножество $\mathbb C^n$, $\mu$ --- неотрицательная мера
на $\Omega$ и $X_p$ --- какое-либо подпространство $L_p(\Omega,\mu)$.
Рассмотрим задачу \eqref1 для $X=X_p$ и $W=BX_p$.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $g\in X_p$, $g\ne0$ и $Ig=0$. Предположим,
что для некоторого линейного оператора $T_0\colon Y\to\mathbb C$ при всех
$f\in X_p$ выполнено равенство
$$Lf-T_0(If)=\begin{cases}\displaystyle\alpha\int_\Omega\overline{g(z)}|g(z)|
^{p-2}f(z)\,d\mu(z),&1\le p<\infty,\\
%\noalign{\vskip3pt}
\displaystyle\int_\Omega\overline{g(z)}|\varphi(z)|f(z)\,d\mu(z),&p=
\infty,\end{cases}$$
где $\alpha\in\mathbb C$, $\varphi\in L_1(\Omega,\mu)$ и если $p=1$, то
$|g(z)|=1$ почти всюду на $\Omega$. Тогда $T_0$ --- оптимальный метод
восстановления, $g_0:=g/\|g\|_p$ --- экстремальная функция и
\begin{equation}\label{3}
E(L,I,BX_p)=|Lg_0|=\begin{cases}|\alpha|\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
%\noalign{\vskip3pt}
\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
При $1\le p<\infty$ по неравенству Гельдера имеем
$$E(L,I,BX_p)\le\sup_{f\in BX_p}|Lf-T_0(If)|\le|\alpha|\|g\|_p^{p-1}.$$
При $p=\infty$ аналогичная оценка дает
$$E(L,I,BX_p)\le\|\varphi\|_1.$$
Для любого метода $T$ справедливо неравенство
$$|Lg_0-T(0)|+|L(-g_0)-T(0)|\ge2|Lg_0|.$$
Отсюда, учитывая \eqref2, получаем
$$E(L,I,BX_p)\ge|Lg_0|=\begin{cases}|\alpha|\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Теорема \ref{T1} в той или иной степени общности доказывалась в работах \cite{8}--\cite{10}.
Несмотря на свою простоту она является довольно эффективным способом
построения оптимальных методов восстановления.

Докажем  ряд  вспомогательных  утверждений, касающихся весовых воспроизводящих ядер для пространств $H_p$.

Пусть $u\in\mathbb C$, $|u|<1$ и $\rho\ge1$. Положим
\begin{equation}\label{4}
\Phi_n(\rho,u):=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma(n+k+\rho/2)}{\Gamma(k+\rho/2+
1)}u^k.
\end{equation}
Для $z=(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n$ и $1\le k\le n$ положим
\begin{gather*}
z_k':=(z_1,\ldots,z_{n-k},0,\ldots,0),\quad z_k'':=z-z_k',\\
\langle z,w\rangle:=\sum_{k=1}^nz_k\overline w_k,\ z,w\in\mathbb C^n,\quad
s_k(z,w):=\frac{\langle z,w_k''\rangle}{1-\langle z,w_k'\rangle},\\
K_{rk}(z,w):=\frac{\langle z,w_k''\rangle^r\Phi_n(rp,s_k(z,w))}{(n-1)!(1-
\langle z,w_k'\rangle)^{n+rp/2}}.
\end{gather*}
Отметим, что $s_k(z,w)=\overline{s_k(w,z)}$ и $K_{rk}(z,w)=\overline{K_{rk}
(w,z)}$.

\begin{proposition}\label{P1}
При всех $1\le p<\infty$ для любой функции $f\in H_p$ и всех $z\in B$ справедливо равенство
\begin{equation}\label{5}
f(z)-\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}\left(D_n^jf\right)(z_1')z_n^j=\int_SK_{r1}(z,w)f(w)
|w_n|^{r(p-2)}\,d\sigma(w).
\end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
Поскольку полиномы плотны в $H_p$, то достаточно доказать, что равенство \eqref5 выполнено для  функций вида $f(z)=g(z')z_n^m$, $m=0,1,\ldots\ $, где $g(z')$ --- полином, зависящий от переменных $z_1,\ldots,z_{n-1}$ ($z':=(z_1,\ldots,z_{n-1})$). Интеграл в \eqref5 можно свести к интегралу
по $B_{n-1}$ (см.\ \cite[стр.~24]{6})
\begin{multline*}
\int_SK_{r1}(z,w)g(w')w_n^m|w_n|^{r(p-2)}\,d\sigma(w)\\
=\frac1{(n-1)!}\int_{B_{n-1}}\frac{(1-|w'|^2)^{r(p-2)/2}g(w')\,d\nu_
{n-1}(w')}{(1-\langle z',w'\rangle)^{n+rp/2}}\\
\times\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi z_n^r\overline w_n^rw_n^me^{i(
m-r)\theta}\sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma(n+k+rp/2)}{\Gamma(k+rp/2+1)}\frac{z_n^k
\overline w_n^ke^{-ik\theta}}{(1-\langle z',w'\rangle)^k}\,d\theta\\
=\begin{cases}0,&m<r,\\
\displaystyle z_n^m\int_{B_{n-1}}K_s(z',w')g(w')\,d\nu_{n-1}(w'),&m\ge r,\end{cases}
\end{multline*}
где
$$K_s(z',w'):=\frac{\Gamma(n+s)}{\Gamma(n)\Gamma(s+1)}\frac{(1-|w'|^2)^s}{(1-
\langle z',w'\rangle)^{n+s}},\quad s:=m+r(p-2)/2.$$
Известно, что при всех $s>-1$ ядро $K_s(z',w')$ является воспроизводящим
для функций из $H_\infty(B_{n-1})$ \cite[стр.~129]{6}, а следовательно, и для
полинома $g$. Таким образом,
$$\int_SK_{r1}(z,w)g(w')w_n^m|w_n|^{r(p-2)}\,d\sigma(w)=\begin{cases}0,&m<r,\\
g(z')z_n^m,&m\ge r.\end{cases}$$
Легко убедиться, что левая часть \eqref5 равна тому же выражению. Предложение
доказано.
\end{proof}

Для $a\in\mathbb C^n$ через $P_az$ обозначим ортогональную проекцию $z\in\mathbb C^n$ на
подпространство, порожденное вектором $a$:
$$P_az:=\begin{cases}\dfrac{\langle z,a\rangle}{\langle a,a\rangle}a,&a\ne0,\\
0,&a=0.\end{cases}$$

\begin{proposition}\label{P2}
При всех $1\le p<\infty$ для любой функции $f\in H_p$ и всех $z\in B$ справедливо равенство
$$f(z)-\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^jf_{\big|z'_k}=\int_SK_{rk}(z,w)f(w)|P_{z_k''}w|^{r(p-2)}
\,d\sigma(w),$$
в котором $dz=z_k''$.
\end{proposition}

\begin{proof}
При $z_k''=0$ утверждение теоремы очевидно. Будем считать, что $z_k''\ne0$. Из предложения~\ref{P1} следует, что при всех $g\in H_p$ и
$v\in B$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{6}
g(v)-\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^jg_{\big|v'_1}=\int_SK_{r1}(v,y)g(y)|y_n|^{r(p-2)}\,d\sigma(y),
\end{equation}
где $dv=v_1''$. Пусть $U$ --- некоторая унитарная матрица порядка $n$ и $f\in H_p$. Положим $g(v)=f(U^{-1}v)$. Тогда $g\in H_p$. Применяя равенство \eqref6,
получаем
\begin{equation}\label{7}
f(U^{-1}v)-\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^jf_{\big|U^{-1}v'_1}=\int_SK_{r1}(v,y)f(U^{-1}y)
|y_n|^{r(p-2)}\,d\sigma(y),
\end{equation}
где $dz=U^{-1}v_1''$. При заданном $z\in B$ таком, что $z_k''\ne0$, рассмотрим
матрицу $U$, имеющую вид
\newcommand*{\E}{\begin{matrix}1\\&\ddots\\&&1\end{matrix}}
\newcommand*{\EE}{\begin{matrix}1\\&1\\&1\end{matrix}}
\begin{equation}\label{8}
U=\begin{pmatrix}\,\E&&0\\&\hbox to0pt{\vtop to0pt{\hrule width50pt\hbox{\vrule
height42pt}\vss}\hss}%
&\hphantom{\E}\\
0\vphantom{\EE}
&&C\end{pmatrix},
\end{equation}
где $C$ --- унитарная матрица порядка $k$, переводящая вектор $(z_{n-k+1},\ldots,z_n)$ в вектор $(0,\ldots,0,|z_k''|)$. Положив $v=Uz$, $y=Uw$ в \eqref7 и воспользовавшись инвариантностью меры $\sigma$ относительно унитарных преобразований, будем иметь для $dz=z_k''$
$$f(z)-\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^jf_{\big|z'_k}=\int_SK_{r1}(Uz,Uw)f(w)|(Uw)_n|^{r(p-2)}
\,d\sigma(w).$$
Имеем
\begin{multline*}
\langle(Uz)_1',(Uw)_1'\rangle=\langle z_k',(Uw)_1'\rangle=
\langle z_k',Uw\rangle=\langle Uz_k',Uw\rangle=\langle z_k',w\rangle\\=\langle
z_k',w_k'\rangle,
\end{multline*}
\begin{multline*}
|z_k''|\overline{(Uw)}_n=(Uz)_n\overline{(Uw)}_n=\langle Uz,Uw\rangle-\langle
(Uz)_1',(Uw)_1'\rangle\\
=\langle z,w\rangle-\langle z_k',w_k'\rangle=\langle z_k'',w_k''\rangle.
\end{multline*}
Отсюда
\begin{gather*}
s_1(Uz,Uw)=s_k(z,w),\quad K_{r1}(Uz,Uw)=K_{rk}(z,w),\\
|(Uw)_n|=\frac{|\langle z_k'',w_k''\rangle|}{|z_k''|}=|P_{z_k''}w|.
\end{gather*}
Предложение доказано.
\end{proof}

\section{Оптимальное восстановление в пространствах Харди}

Нетрудно убедиться (например, по индукции), что для функции $\Phi_n(\rho,u)$,
определенной равенством \eqref4, справедливо соотношение
\begin{equation}\label{9}
\Phi_n(\rho,u)=\frac{\Gamma(n+\rho/2)}{\Gamma(\rho/2)}(1-u)^{-n}
Q_n(\rho,u),
\end{equation}
где
$$Q_n(\rho,u)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+\rho/2}\binom{n-1}{k}u^k.$$

Положим
$$\lambda_n(\rho):=\min\{\,|u|:Q_n(\rho,u)=0\,\}.$$
В работе \cite{7} было доказано, что при всех $1\le p<\infty$ для $1\le n\le5$
\ $\lambda_n(p)>1$, а при любом $n\ge6$ существуют $p\ge1$, для которых $\lambda_n(p)<1$. Обозначим через
$$\Delta_{nk}(p):=\left\{\,z\in B:\frac{|z_k''|^2}{\lambda_n^2(p)}+|z_k'|^2<1
\right\},\quad\Delta_{nk}(\infty):=B.$$
Очевидно, что при $\lambda_n(p)\ge1$ \ $\Delta_{nk}(p)=B$. В частности, при
всех $1\le p\le\infty$ и $1\le n\le5$ \ $\Delta_{nk}(p)=B$.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $1\le p\le\infty$ и $A=A_k:=\{\,z\in B:z_{n-k+1}=\ldots=z_n=0\,\}$, $1\le k\le n$. Для всех $a\in\Delta_{nk}(rp)$ метод
$$f(a)\approx\begin{cases}\displaystyle\chi^{(2-p)/p}(a)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}
d^j\left(\chi^{(p-2)/p}(z)f(z)\right)_{\big|z=a_k'},&1\le p<\infty,\\
\displaystyle(1-|a|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left(\frac{f(z)}{1-
\langle z,a\rangle}\right)_{\big|z=a_k'},&p=\infty,\end{cases}$$
где $dz=a_k''$, а
$$\chi(z):=\frac{\Phi_n(rp,s_k(z,a))}{(n-1)!(1-\langle z,a_k'\rangle)^{n+rp/2}},$$
является оптимальным методом восстановления на классе $BH_p$ по информации
$I^r_{A_k}$. Для погрешности оптимального восстановления имеет место
равенство
$$e(a,I^r_{A_k},BH_p)=\begin{cases}\chi^{1/p}(a)|a_k''|^r,&1\le p<\infty,\\[5pt]
\left(\dfrac{|a_k''|}{\sqrt{1-|a_k'|^2}}\right)^{\!\!r},&p=\infty.\end{cases}$$
При $a\in\Delta_{nk}(rp)\setminus A_k$ экстремальная функция имеет вид
$$g_0(z)=\begin{cases}\chi^{-1/p}(a)|a_k''|^{-r}\chi^{2/p}(z)\langle z,a_k''
\rangle^r,&1\le p<\infty,\\[5pt]
\left(\dfrac{\sqrt{1-|a_k'|^2}}{|a_k''|}\dfrac{\langle z,a_k''\rangle}
{1-\langle z,a_k'\rangle}\right)^{\!\!r},&p=\infty.\end{cases}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Для $a\in A_k$ утверждение теоремы легко проверяется. Будем считать, что $|a_k''|\ne0$. Пусть $1\le p<\infty$. Поскольку
\begin{equation}\label{10}
\sup_{z\in B}|s_k(z,w)|=\frac{|a_k''|}{\sqrt{1-|a_k'|^2}},
\end{equation}
то при $a\in\Delta_{nk}(rp)$ полином $Q_n(rp,s_k(z,a))$ не обращается в нуль при $w\in\overline B$. Тем самым из равенства \eqref9 следует, что $\chi$ --- обратимая функция из $H_\infty$, а следовательно, $\chi^s(z)\in H_\infty$ для любого $s\in\mathbb R$. Положим
$$g(z):=\chi^{2/p}(z)\langle z,a_k''\rangle^r,\quad\gamma:=\chi^{(2-p)/p}(a)|a_k''|^{r(p-2)}.$$
Имеем
\begin{multline*}
\overline{g(z)}|g(z)|^{p-2}=\overline{\chi(z)}\chi^{(p-2)/p}(z)\langle a_k
'',z\rangle^r|\langle a_k'',z\rangle|^{r(p-2)}\\
=K_{rk}(a,z)\chi^{(p-2)/p}(z)|\langle a_k'',z\rangle|^{r(p-2)}.
\end{multline*}
Следовательно, учитывая предложение~\ref{P2} и то, что $\chi^{(p-2)/p}f\in H_p$,
получаем для любой функции $f\in H_p$
\begin{multline}\label{11}
\gamma\int_S\overline{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\sigma(z)\\
=\chi^{(2-p)/p}(a)\int_SK_{rk}(a,z)\chi^{(p-2)/p}(z)f(z)|P_{a_k''}z|^{r(p-2)}\,d\sigma(z)\\
=f(a)-\chi^{(2-p)/p}(a)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left(\chi^{(p-2)
/p}(z)f(z)\right)_{\big|z=a_k'},
\end{multline}
где $dz=a_k''$. Очевидно, что при всех $w\in A_k$ \ $(D^\alpha g)(w)=0$,
$|\alpha|=0,\ldots,r-1$. Таким образом, условия теоремы~\ref{T1} при $1\le p<\infty$
выполнены. Остается лишь найти $\|g\|_{H_p}$. Положив в \eqref{11} f=g, получим
$$\gamma\|g\|^p_{H_p}=g(a).$$
Отсюда
$$\|g\|_{H_p}=\chi^{1/p}(a)|a_k''|^r.$$

Рассмотрим теперь случай $p=\infty$, который сведем к одномерной задаче восстановления. Пусть $f\in H_\infty$ и $b\in B$. Положим $\varphi(u):=f(b_1,\ldots,b_{n-1},\sqrt{1-|b_1'|^2}u)$. Очевидно $\varphi\in BH_\infty(B_1)$. Из работы \cite{8} (см.\ также \cite{11}, где решена более общая задача восстановления в одномерном случае) получаем при всех $|\xi|<1$
$$\biggl|\varphi(\xi)-\sum_{j=0}^{r-1}c_j\varphi^{(j)}(0)\biggr|\le|\xi|^r,$$
где
$$c_j=\frac{\xi^r(1-|\xi|^2)}{j!(r-j-1)!}\left[\frac1{(1-\overline\xi u)(\xi-u)}
\right]^{(r-j-1)}_{\big|u=0}.$$
Имеем
\begin{multline*}
\sum_{j=0}^{r-1}c_j\varphi^{(j)}(0)=\frac{\xi^r(1-|\xi|^2)}{(r-1)!}\left[\frac{
\varphi(u)}{(1-\overline\xi u)(\xi-u)}\right]^{(r-1)}_{\big|u=0}\\
=(1-|\xi|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac{\xi^j}{j!}\left(\frac{\varphi(u)}{1-\overline\xi u}\right
)^{(j)}_{\big|u=0}.
\end{multline*}
Сделав замену $v=\sqrt{1-|b_1'|^2}u$, для $\xi=b_n(1-|b_1'|^2)^{-1/2}$
получаем
\begin{multline*}
\sum_{j=0}^{r-1}c_j\varphi^{(j)}(0)=(1-|b|^2)\sum_{j=0}
^{r-1}\frac{b_n^j}{j!}D_n^j\left(\frac{f(z)}{1-\langle z,b\rangle}\right)_{\big
|z=b_1'}\\
=(1-|b|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left(\frac{f(z)}{1-\langle z,b
\rangle}\right)_{\big|z=b_1'},
\end{multline*}
где $dz=b_n''$. Таким образом, для всех $b\in B$ имеем
$$\bigg|f(b)-(1-|b|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left(\frac{f(z)}{1-\langle
z,b\rangle}\right)_{\big|z=b_1'}\bigg|\le\left(\frac{|b_k''|}{\sqrt{1-|b_k'|^2}
}\right)^{\!\!r}.$$
Предположим, что  $a\in B\setminus A_k$. Рассмотрим матрицу $U$ вида \eqref8, в
которой $C$ --- унитарная матрица порядка $k$, переводящая вектор $(a_{n-k+1},\ldots,a_n)$ в вектор $(0,\ldots,0,|a_k''|)$. Тогда, положив $b=Ua$, для функции $f(U^{-1}z)$ будем иметь
\begin{multline*}
\bigg|f(a)-(1-|Ua|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left
(\frac{f(U^{-1}z)}{1-\langle z,Ua\rangle}\right)_{\big|z=(Ua)_1'}\bigg|\\
=\bigg|f(a)-(1-|a|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left(\frac{f(w)}{1-
\langle w,a\rangle}\right)_{\big|w=a_k'}\bigg|\le\left(\frac{|a_k''|}{\sqrt{1
-|a_k'|^2}}\right)^{\!\!r},
\end{multline*}
где $dz=a_k''$. Тем самым
$$e(a,I^r_{A_k},BH_\infty)=\left(\frac{|a_k''|}{\sqrt{1-|a_k'|^2}}\right)^{\!
\!r}.$$
С другой стороны, в силу \eqref{10} функция
$$g_0(z)=\left(\frac{\sqrt{1-|a_k'|^2}}{|a_k''|}\frac{\langle z,a_k''\rangle}{1-
\langle z,a_k'\rangle}\right)^{\!\!r}$$
принадлежит классу $BH_\infty$ и при всех $w\in A_k$ \ $(D^\alpha g_0)(w)=0$,
$|\alpha|=0,\ldots,r-1$. Следовательно, из равенства \eqref2 вытекает, что
$$e(a,I^r_{A_k},BH_\infty)=\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\I^r_{A_k}f=0}}|f(a)|\ge|g_0(a)|=\left(\frac{|a_k''|}{\sqrt{1-|a_k'|^2}}\right)^
{\!\!r}.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Поскольку величина $e(a,I^r_{A_k},BH_p)$ совпадает с решением экстремальной
задачи
$$\sup_{\substack{f\in BH_p\\I^r_{A_k}f=0}}|f(a)|$$
(см.\ \eqref2), то при $k=n$ и $A_n=\{0\}$ мы получаем следующее обобщение леммы
Шварца.

\begin{corollary}\label{C1}
При всех $1\le p<\infty$ для $a\in B$ таких, что $|a|<\lambda_n(rp)$, имеет место равенство
\begin{multline}\label{12}
\sup_{\substack{f\in BH_p\\(D^\alpha f)(0)=0,\,|\alpha|\le
r-1}}|f(a)|\\
=\frac{|a|^r}{(1-|a|^2)^{n/p}}\left[\frac{\Gamma(n+rp/2)}{\Gamma(n)
\Gamma(rp/2)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+rp/2}\binom{n-1}{k}|a|^{2k}
\right]^{1/p}.
\end{multline}
\end{corollary}

Случай $p=\infty$ безусловно также вытекает из теоремы~\ref{T2}, но мало интересен,
так как не отличается от одномерного случая (правая часть в \eqref{12} равна $|a|
^r$).

Отметим, что решение поставленной задачи восстановления получено при $n\ge6$
лишь в области $\Delta_{nk}(rp)$ (как было отмечено, при $1\le n\le5$
\ $\Delta_{nk}(rp)=B$ для всех $1\le p\le\infty$). Для величины $\lambda_n
(p)$, входящей в определение области $\Delta_{nk}(rp)$, в работе \cite{7} была
получена оценка
$$\lambda_n(p)\ge\frac{p+2}{p+2n}.$$
Тем самым можно указать область простого вида
\begin{equation}\label{13}
\left(\frac{rp+2n}{rp+2}\right)^2|a_k''|^2+|a_k'|^2<1,
\end{equation}
которая лежит в $\Delta_{nk}(rp)$. Кроме того, из \eqref{13} видно, что для любой
точки $a\in B$ можно воспользоваться оптимальным методом восстановления,
полученным в теореме~\ref{T2}, если выбрать $r$ достаточно большим.

Остановимся несколько подробнее на случае $p=2$. При доказательстве теоремы~\ref{T2} условие $a\in\Delta_{nk}(rp)$ использовалось для обратимости $\chi$, что,в свою очередь, необходимо было для того, чтобы функции $\chi^{2/p}$ и $\chi^{(p-2)/p}$ принадлежали пространству $H_\infty$. При $p=2$ последнее условие выполнено при всех $a\in B$. Однако в этом случае легко получить оптимальный метод восстановления непосредственно. Остановимся на задаче оптимального
восстановления значения $f\in BH_2$ в точке $a$ по значениям информационного оператора
$$I_{rm}f:=\bigl\{(D^\alpha f)(0)\bigr\}_{|\alpha|=0}^{r-1}\cup\bigl\{(D^{
\alpha^j} f)(0)\bigr\}_{j=1}^m,$$
где $|\alpha^j|=r$, $j=1,\ldots,m$. Для мультииндекса $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ положим
$$\alpha!:=\alpha_1!\ldots\alpha_n!,\quad a^\alpha:=a_1^{\alpha_1}\ldots
a_n^{\alpha_n},\quad a\in\mathbb C^n.$$

\begin{proposition}\label{P3}
При всех $a\in B$ метод
\begin{equation}\label{14}
f(a)\approx\sum_{|\alpha|\le r-1}\frac1{\alpha!}(D^\alpha f)(0)a^\alpha+
\sum_{j=1}^m\frac1{\alpha^j!}(D^{\alpha^j}f)(0)a^{\alpha^j}
\end{equation}
является оптимальным методом восстановления на классе $BH_2$ по информации
$I_{rm}$. Для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
\begin{multline}\label{15}
e(a,I_{rm},BH_2)\\
=\left(\frac1{(1-|a|^2)^n}-\sum_{j=0}^{r-1}\frac{(n+j-1)!}{(n-1)!j!}|a|^{2j}
-\sum_{j=1}^m\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!\alpha^j!}|a^{2\alpha^j}|\right)^{\!\!1/2}.
\end{multline}
\end{proposition}

\begin{proof}
Положим
\begin{multline*}
k_{rm}(z,a):=(1-\langle z,a\rangle)^{-n}-\sum_{|\alpha|=0}^{r-1}\frac{(n+|
\alpha|-1)!}{(n-1)!\alpha!}z^\alpha\overline a^\alpha\\
-\sum_{j=1}^m\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!\alpha^j!}z^{\alpha^j}\overline a^{\alpha^j}.
\end{multline*}
При любом $a\in B$ \ $k_{rm}\in H_2$. В силу воспроизводящего свойства ядра
Коши, его разложения
\begin{equation}\label{16}
(1-\langle z,a\rangle)^{-n}=\sum_{|\alpha|=0}^\infty\frac{(n+|\alpha|-1)!}{(n-1)!\alpha!}z^\alpha\overline a^\alpha
\end{equation}
и ортогональности мономов
$$\int_Sz^\alpha\overline z^\beta\,d\sigma(z)=\begin{cases}0,&\alpha\ne
\beta,\\
\dfrac{(n-1)!\alpha!}{(n+|\alpha|-1)!},&\alpha=\beta\end{cases}$$
(см.\ \cite[стр.~25]{6}, \cite[стр.~557]{12}), получаем
\begin{multline}\label{17}
\int_S\overline{k_{rm}(z,a)}f(z)\,d\sigma(z)=f(a)-\sum_{|\alpha|\le
r-1}\frac1{\alpha!}(D^\alpha f)(0)a^\alpha\\
-\sum_{j=1}^m\frac1{\alpha^j!}(D^{\alpha^j}f)(0)a^{\alpha^j}.
\end{multline}
Из разложения \eqref{16} видно, что для $g(z):=k_{rm}(z,a)$ выполнены равенства
$$D^\alpha g_{\big|z=0}=0,\quad|\alpha|=1,\ldots,r-1,\quad\alpha=\alpha^j,\
j=1,\ldots,m.$$
Таким образом, функция $g(z)$ удовлетворяет условиям теоремы~\ref{T1} при $p=2$.
Следовательно, рассматриваемый метод восстановления оптимален, а
$$e(a,I_{rm},BH_2)=g(a)\|g\|_{H_2}^{-1}.$$
Подставляя в \eqref{17} $f=g$, получаем
$$g(a)=\|g\|^2_{H_2}.$$
Тем самым
$$e(a,I_{rm},BH_2)=\sqrt{g(a)}.$$
Для того чтобы получить формулу \eqref{15}, остается заметить, что
$$\sum_{|\alpha|=j}\frac{j!}{\alpha!}|a^{2\alpha}|=|a|^{2j}.$$
Предложение доказано.
\end{proof}

Следуя Рудину \cite[стр.~41]{6} будем называть аффинным подмножеством $B$
пересечение произвольного аффинного подмножества из $\mathbb C^n$ с шаром $B$.
Рассмотрим в качестве множества $A$ произвольное аффинное подмножество $B$.
Без ограничения общности можно считать, что $A$ имеет вид
\begin{equation}\label{18}
A=\{\,z\in B:z_{n-k+1}=c_{n-k+1},\ldots,z_n=c_n\,\},
\end{equation}
где $c=(0,\ldots,0,c_{n-k+1},\ldots,c_n)\in B$, $1\le k\le n$, так как любое
аффинное подмножество $B$ с помощью унитарного преобразования может быть
переведено в множество вида \eqref{18}.

Положим
$$\varphi_c(z):=\frac{c-P_cz-\sqrt{1-|c|^2}(z-P_cz)}{1-\langle z,c\rangle}.$$
Отображение $\varphi_c$ является автоморфизмом шара (\cite[стр.~34]{6}). Положим
$$\Delta_{nk}(p,c):=\varphi_c(\Delta_{nk}(p)).$$

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $1\le p\le\infty$ и $A$ определено равенством \eqref{18}. Тогда для всех $a\in\Delta_{nk}(rp,c)$ метод
$$f(a)\approx\begin{cases}\left(\dfrac{1-|c|^2}{1-\langle a,c\rangle}
\right)^{2n/p}\chi_c^{(2-p)/p}(a_c)\\
\displaystyle\qquad\times\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left[\frac{\chi_c^{(p-2)
/p}(z)f(\varphi_c(z))}{(1-\langle z,c\rangle)^{2n/p}}\right]_{\big|z=(a_
c)_k'},&1\le p<\infty,\\
\displaystyle(1-|a_c|^2)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left[\frac{f(\varphi_c(z))}{
(1-\langle z,a_c\rangle)}\right]_{\big|z=(a_c)_k'},&p=\infty,\end{cases}$$
где $a_c=\varphi_c(a)$, $dz=(a_c)_k''$, а
$$\chi_c(z):=\frac{\Phi_n(rp,s_k(z,a_c))}{(n-1)!(1-\langle z,(a_c)_k'\rangle)^{
n+rp/2}},$$
является оптимальным методом восстановления на классе $BH_p$ по информации
$I^r_A$. Для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
$$e(a,I^r_A,BH_p)=\begin{cases}\dfrac{(1-|c|^2)^{n/p}}{|1-\langle
a,c\rangle|^{2n/p}}\chi^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r,&1\le p<\infty,\\
\left(\dfrac{|(a_c)_k''|}{\sqrt{1-|(a_c)_k'|^2}}\right)^{\!\!r},&
p=\infty.\end{cases}$$
При $a\in\Delta_{nk}(rp,c)\setminus A$ экстремальная функция имеет вид
$$g_0(z)=\begin{cases}\dfrac{(1-|c|^2)^{n/p}}{(1-\langle a,c\rangle)^{2n
/p}}\dfrac{\chi_c^{2/p}(\varphi_c(z))\langle\varphi_c(z),(a_c)_k''\rangle^r}
{\chi_c^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r},&1\le p<\infty,\\
\left(\dfrac{\sqrt{1-|(a_c)_k'|^2}}{|(a_c)_k''|}\dfrac{\langle\varphi_c(
z),(a_c)_k''\rangle}{1-\langle\varphi_c(z),(a_c)_k'\rangle}\right)^{\!\!r
},&p=\infty.\end{cases}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Прежде всего отметим ряд свойств автоморфизма $\varphi_c$, которые нам потребуются (см.\ \cite[стр.~34, 161]{6}). Имеют место
следующие равенства
\begin{align}\label{19}
\varphi_c(\varphi_c(z))&=z,\quad z\in B,\\
1-\langle\varphi_c(z),\varphi_c(w)\rangle&=\frac{(1-|c|^2)(1-\langle z,w\rangle)
}{(1-\langle z,c\rangle)(1-\langle c,w\rangle)},\quad z,w\in B.\label{20}
\end{align}
Оператор
$$(Tf)(z):=\frac{(1-|c|^2)^{n/p}}{(1-\langle z,c\rangle)^{2n/p}}f(\varphi_c(z)
)$$
является изометрией пространства $H_p$, т.е.\ при всех $f\in H_p$ \ $\|Tf\|_
{H_p}=\|f\|_{H_p}$.

Пусть $1\le p<\infty$. В силу \eqref{19} имеем
$$a_c=\varphi_c(a)\in\varphi_c(\Delta_{nk}(rp,c))=\Delta_{nk}(rp).$$
Рассмотрим произвольную функцию $f\in BH_p$. Тогда $g:=Tf\in BH_p$. Из
теоремы~\ref{T2} получаем
\begin{equation}\label{21}
 \Bigl|g(a_c)-\chi_c^{(2-p)/p}(a_c)\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left(\chi
_c^{(p-2)/p}(z)g(z)\right)_{\big|z=(a_c)_k'}\Bigr|\le e(a_c,I^r_{A_k},BH_p)
\end{equation}
(здесь и далее $dz=(a_c)_k''$). Из \eqref{19} и \eqref{20}
\begin{multline*}
g(a_c)=\frac{(1-|c|^2)^{n/p}}{(1-\langle a_c,c\rangle)^{2n/p}}f(a)=\frac{(1-|c|^2
)^{n/p}}{(1-\langle\varphi_c(a),\varphi_c(0)\rangle)^{2n/p}}f(a)\\
=\frac{(1-\langle a,c\rangle)^{2n/p}}{(1-|c|^2)^{n/p}}f(a).
\end{multline*}
Таким образом, умножая обе части неравенства \eqref{21} на
$$\frac{(1-|c|^2)^{n/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2n/p}},$$
будем иметь
\begin{multline*}
\biggl|f(a)-\left(\frac{1-|c|^2}{1-\langle a,c\rangle}
\right)^{2n/p}\chi_c^{(2-p)/p}(a_c)\\
\times\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left[\frac{\chi
_c^{(p-2)/p}(z)f(\varphi_c(z))}{(1-\langle z,c\rangle)^{2n/p}}\right]_{
\big|z=(a_c)_k'}\biggr|\\
\le\frac{(1-|c|^2)^{n/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2n/p}}e(a_c,I^r_{A_k},BH_p).
\end{multline*}
Нетрудно убедиться, что $\varphi_c(A)=A_k$, а следовательно, $\varphi_c(A_k)
=A$. В силу произвольности функции $f$ получаем
$$e(a,I^r_A,BH_p)\le\frac{(1-|c|^2)^{n/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2n/p}}e(a_c
,I^r_{A_k},BH_p).$$
Рассмотрим функцию
$$f_0(z)=\chi_c^{-1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^{-r}\chi_c^{2/p}(z)\langle z,(a_c)_k''\rangle^r,$$
являющуюся экстремальной в задаче об оптимальном восстановлении в точке $a_c$ по информации $I^r_{A_k}$. Положим $g_0:=Tf_0$. Тогда $g_0\in BH_p$, $I^r_Ag_0=0$, и, следовательно,
$$e(a,I^r_A,BH_p)\ge|g_0(a)|=\frac{(1-|c|^2)^{n/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2n
/p}}e(a_c,I^r_{A_k},BH_p).$$

При $p=\infty$ доказательство проводится по той же схеме. Теорема
доказана.
\end{proof}

\section{Оптимальное восстановление в пространствах Бергмана}

Рассмотрим теперь аналогичную задачу восстановления в пространствах Бергмана, а именно, задачу оптимального восстановления значения функции $f\in BA_p$, $1\le p<\infty$, в точке $a\in B$ по информации $I^r_A$, где $A$ определено равенством \eqref{18} для $c=(0,\dots,0,c_{n-k+1},\dots,c_n)\in B$, $1\le k\le n$. Мы ограничиваемся случаем $1\le p<\infty$, так как $A_\infty=H_\infty$.

Введем следующие обозначения:
\begin{align*}
\widetilde\Delta_{nk}(p)&:=\left\{\,z\in B:\frac{|z_k''|^2}{\lambda
^2_{n+1}(p)}+|z_k'|^2<1\,\right\},\\
\widetilde\Delta_{nk}(p,c)&:=\varphi_c(\widetilde\Delta_{nk}(p)).
\end{align*}

\begin{theorem}\label{T4}
Пусть $1\le p<\infty$. Тогда при всех $a\in\widetilde
\Delta_{nk}(rp,c)$ метод
\begin{multline*}
f(a)\approx\left(\frac{1-|c|^2}{1-\langle a,c\rangle}
\right)^{2(n+1)/p}\widetilde\chi_c^{(2-p)/p}(a_c)\\
\times\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j\left[\frac{\widetilde\chi
_c^{(p-2)/p}(z)f(\varphi_c(z))}{(1-\langle z,c\rangle)^{2(n+1)/p}}\right]
_{\big|z=(a_c)_k'},
\end{multline*}
где $a_c=\varphi_c(a)$, $dz=(a_c)_k''$, а
$$\widetilde\chi_c(z):=\frac{\Phi_{n+1}(rp,s_k(z,a_c))}{n!(1-\langle z,(a_c)_
k'\rangle)^{n+1+rp/2}},$$
является оптимальным методом восстановления на классе $BA_p$ по информации
$I^r_A$. Для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
$$e(a,I^r_A,BA_p)=\frac{(1-|c|^2)^{(n+1)/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2(n+1)/p}
}\widetilde\chi_c^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r.$$
При $a\in\widetilde\Delta_{nk}(rp,c)\setminus A$ экстремальная функция имеет
вид
\begin{equation}\label{22}
g_0(z)=\frac{(1-|c|^2)^{(n+1)/p}}{(1-\langle z,c\rangle)^{2(n+1)/p}}\frac{
\widetilde\chi_c^{2/p}(\varphi_c(z))\langle\varphi_c(z),(a_c)_k''\rangle^r}{
\widetilde\chi_c^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Определим оператор продолжения $E$ равенством
$$(Eg)(z_0,z):=g(z),$$
где $z\in B_n$, а $(z_0,z)\in B_{n+1}$. Известно (\cite[стр.~135]{6}), что $E$ ---
линейная изометрия пространства $A_p(B_n)$ в $H_p(B_{n+1})$, т.е.\ при всех
$g\in A_p(B_n)$ \ $Eg\in H_p(B_{n+1})$ и $\|g\|_{A_p(B_n)}=\|Eg\|_{H_p(B_{n+
1})}$. Через $e\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^{n+1}$ будем обозначать продолжение,
определенное равенством $ez:=(0,z)$. Рассмотрим задачу оптимального
восстановления значения функции из $BH_p(B_{n+1})$ в точке $ea$ по
информации $I^r_{eA}$. Из легко проверяемых соотношений
$$e(\varphi_c(z))=\varphi_{ec}(ez),\quad e(\widetilde\Delta_{nk}(p))\subset
\widetilde\Delta_{n+1,k}(p)$$
и того, что $a\in\widetilde\Delta_{nk}(rp,c)$, имеем
\begin{multline*}
ea\in e(\widetilde\Delta_{nk}(rp,c))=e\bigl(\varphi_c(
\widetilde\Delta_{nk}(rp))\bigr)\\
=\varphi_{ec}\bigl(e(\widetilde\Delta_{nk}(rp))\bigr)\subset\varphi_{e
c}(\Delta_{n+1,k}(rp))=\Delta_{n+1,k}(rp,ec).
\end{multline*}
Пусть $g$ --- произвольная функция из $BA_p(B_n)$. Тогда $Eg\in BH_p(B_{n+1}
)$. Применяя теорему~\ref{T3}, получаем
$$|(Eg)(ea)-T_0I^r_{eA}Eg|\le e(ea,I^r_{eA},BH_p(B_{n+1})),$$
где через $T_0$ обозначен для краткости соответствующий метод восстановления.
В силу того, что для любого мультииндекса $\alpha=(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$,
любой функции $f\in A_p(B_n)$ и $z\in B_n$
$$D^\alpha(Ef)_{\big|ez}=D^\alpha f_{\big|z},$$
последнее неравенство можно записать в виде
\begin{multline*}
\biggl|f(a)-\left(\frac{1-|c|^2}{1-\langle a,c\rangle}
\right)^{2(n+1)/p}\widetilde\chi_c^{(2-p)/p}(a_c)\\
\times\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}d^j
\left[\frac{\widetilde\chi_c^{(p-2)/p}(z)f(\varphi_c(z))}{(1-\langle z,c
\rangle)^{2(n+1)/p}}\right]_{\big|z=(a_c)_k'}\biggr|\\
\le\frac{(1-|c|^2)^{(n+1)/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2(n+1)/p}}
\widetilde\chi_c^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r,
\end{multline*}
где $dz=(a_c)_k''$. Таким образом,
$$e(a,I^r_A,BA_p)\le\frac{(1-|c|^2)^{(n+1)/p}}{|1-\langle a,c\rangle|^{2(n+1)
/p}}\widetilde\chi^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r.$$

С другой стороны, функция $Eg_0$ для $g_0$, определенной равенством \eqref{22},
совпадает с экстремальной функцией в задаче оптимального восстановления в
точке $ea$ на классе $BH_p(B_{n+1})$ по информации $I^r_{eA}$. Следовательно,
$\|g_0\|_{A_p(B_n)}=\|Eg_0\|_{H_p(B_{n+1})}=1$. Кроме того, $I^r_Ag_0=0$.
Тем самым
$$e(a,I^r_A,BA_p)\ge|g_0(a)|=\frac{(1-|c|^2)^{(n+1)/p}}{|1-\langle a,c\rangle|
^{2(n+1)/p}}\widetilde\chi^{1/p}(a_c)|(a_c)_k''|^r.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Аналогично следствию~\ref{C1} получаем следующее обобщение леммы Шварца для
пространств Бергмана.

\begin{corollary}\label{C2}
При всех $1\le p<\infty$ для $a\in B$ таких, что $|a|<\lambda_{n+1}(rp)$, имеет место равенство
\begin{multline*}
\sup_{\substack{f\in BA_p\\(D^\alpha f)(0)=0,\,|\alpha|\le r-1}}|f(a)|\\
=\frac{|a|^r}{(1-|a|^2)^{(n+1)/p}}\left[\frac{\Gamma(n+1+rp/2)}{\Gamma(n+1
)\Gamma(rp/2)}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k+rp/2}\binom{n}{k}|a|^{2k}\right]^{1
/p}.
\end{multline*}
\end{corollary}

Приведем также аналог предложения~\ref{P3}.

\begin{proposition}\label{P4}
При всех $a\in B$ метод \eqref{14} является оптимальным
методом восстановления на классе $BA_2$ по информации $I_{rm}$. Для
погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
\begin{multline*}
e(a,I_{rm},BA_2)\\
=\left(\frac1{(1-|a|^2)^{n+1}}-\sum_{j=0}^{r-1}\frac{(n+j)!}
{n!j!}|a|^{2j}-\sum_{j=1}^m\frac{(n+r)!}{n!\alpha^j!}|a^{2\alpha^j}|
\right)^{\!\!1/2}.
\end{multline*}
\end{proposition}

При $n=1$, пользуясь легко проверяемыми равенствами
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{r-1}\frac1{j!}g^{(j)}(0)u^j&=\frac{u^r}{(r-1)!}\left(\frac
{g(z)}{u-z}\right)^{\!\!(r-1)}_{\!\big|z=0},\\
F^{(r-1)}(0)&=(-1)^{r-1}(1-|c|^2)\left[(1-\overline ct)^{r-2}F\left(\frac{c-t}{
1-\overline ct}\right)\right]^{(r-1)}_{\big|t=c},
\end{align*}
справедливыми для любых функций $g$ и $F$, голоморфных в окрестности нуля,
из теоремы~\ref{T4} можно получить

\begin{corollary}\label{C3} Пусть  $1\le p<\infty$, $I_c^rf:=\{f(c),\dots,f^{(r-
1)}(c)\}$, $c\in B_1$. При всех $a\in B_1$ метод
\begin{multline*}
f(a)\approx\frac{(a-c)^r(1-|a|^2)^{2-4/p}}{(1-\overline
ca)^{r+1}\omega^{(p-2)/p}(a)}\frac1{(r-1)!}\\
\times\left[\frac{(1-\overline ct)^{r+1}
\omega^{(p-2)/p}(t)f(t)}{(t-a)(1-\overline at)^{2-4/p}}\right]^{(r-1)}_{
\big|t=c},
\end{multline*}
где
$$\omega(t):=1+\frac{rp}2\left(1-\frac{\overline c-\overline a}{1-c\overline
a}\frac{c-t}{1-\overline ct}\right),$$
является оптимальным методом восстановления на классе $BA_p(B_1)$ по
информации $I^r_c$. Для погрешности оптимального восстановления имеет место
равенство
$$e(a,I_c^r,BA_p(B_1))=\Bigl|\frac{c-a}{1-\overline ca}\Bigr|^r\frac{\omega^{1/p}(a)}{
(1-|a|^2)^{2/p}}.$$
\end{corollary}

Утверждение следствия~\ref{C3} другим способом (оставаясь в рамках одномерного
случая) было доказано в работе \cite{8}.



\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{1} Micchelli C.A., Rivlin T.J. A survey of optimal recovery //
Optimal estimation in approximation theory. New York: Plenum Press, 1977.
P.1--54.

\bibitem{2} Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures in optimal recovery //
Lect. Notes Math. 1985. V.1129. P.21--93.

\bibitem{3} Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов.
М.: Мир, 1983.

\bibitem{4} Traub J.F., Wasilkowski G.W., Wo\'zniakowski H. Information-based
complexity. New York: Academic Press, 1988.

\bibitem{5} Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлени
функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.50, N6. С.85--93.

\bibitem{6} Рудин У. Теория функций в единичном шаре из $\mathbb C^n$. М.:
Мир, 1964.

\bibitem{7} Osipenko K.Yu., Stessin M.I. On optimal recovery of a holomorphic
function in the unit ball of ${\bf C}^n$ // Constr. Approx. 1992. V.8.
P.141--159.

\bibitem{8} Осипенко К.Ю., Стесин М.И. О задачах восстановления в
пространствах Харди и Бергмана // Мат. заметки. 1991. Т.49, N4. С.95--104.

\bibitem{9} Осипенко К.Ю. Наилучшие и оптимальные методы восстановления
на классах гармонических функций // Мат. сб. 1991. Т.182, N5. С.723--745.

\bibitem{10} Осипенко К.Ю., Стесин М.И. О некоторых задачах оптимального
восстановления аналитических и гармонических функций по неточным данным
// Сиб. мат. ж. 1993. Т.34, N3. С.144--160.

\bibitem{11} Осипенко К.Ю. Задача Каратеодори--Фейера и оптимальное
восстановление производных в пространствах Харди // Мат. сб. 1994. Т.185,
N1. С.27--42.

\bibitem{12} Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М: Наука, 1969.

\end{thebibliography}

\bigskip
\leftline{Московский государственный авиационный}
\leftline{технологический университет им. К.Э. Циолковского}
\end{document}
