\documentclass[12pt,a4paper,draft]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\tolerance 1950
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}


\newcommand*{\wa}{\widehat a}
\newcommand*{\wL}{\widehat {\mathcal L}}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}

\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widetilde x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widehat I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\card}{card}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\mes}{mes}

\begin{document}


\begin{flushleft}
УДК 517.518.8
\end{flushleft}




\title[Наилучшая аппроксимация]{Наилучшая аппроксимация
множества, элементы которого известны приближенно}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, Е.~О.~Сивкова}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No\No 13-01-12447, 14-01-00456, 14-01-00744)} ,
\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова}
\address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\address{Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и
автоматики}



\maketitle

В работе решается задача о наилучшем (в точно определенном смысле) приближении с
фиксированной точностью периодических функций и функций на прямой соответственно по
неточно заданному конечному набору их коэффициентов Фурье и преобразованию Фурье на
произвольном множестве конечной меры.

\vskip10pt

{\bf Ключевые слова}: коэффициенты Фурье, преобразование Фурье, соболевский класс,
экстремальная задача





\section*{Введение}

Начнем с общей постановки задачи о наилучшем  приближении с фиксированной точностью
элементов данного класса при условии, что сами элементы известны приближенно. Пусть $X$
--- векторное пространство, $W$
--- непустое подмножество (класс) элементов в $X$. Пусть, далее,
$Y$ --- нормированное пространство, $I\colon X\to Y$ --- линейный оператор и
$\delta\ge0$.  Элементы из $W$ известны приближенно, а именно, о каждом элементе $x\in W$
известен (мы ``наблюдаем'') элемент $y\in Y$ такой, что $\|Ix-y\|_Y\le\delta$ (если
$\delta=0$, то известен элемент $Ix$). Таким образом, информация об элементах из $W$
определяется тройкой $(Y,I,\delta)$.


%Отображение $x\mapsto I_\delta x$ из $W$ в $Y$ (многозначное, если $\delta>0$ и
%обычное, если $\delta=0$) будем называть {\it информационным оператором} или просто
%{\it информацией} об элементах из $W$ и говорить, при этом, что информация задана
%{\it точно}, если $\delta=0$ и {\it неточно}, если $\delta>0$.

Восстановить по данной информации значения некоторого линейного оператора $T\colon
X\to Z$ на классе $W$ с фиксированной точностью  --- это значит предъявить метод
восстановления $\varphi\colon Y\to Z$, дающий нужную точность (погрешность)
приближения, которая определяется следующим образом
$$
e(\delta,\varphi)=e(T,W,Y,I,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in
Y\\\|Ix-y\|_Y\le\delta}}\|Tx-\varphi(y)\|_Z.
$$

Предположим, что пары $(Y,I)$ можно выбирать из некоторого множества $\mathcal I$ и
при этом каждой такое паре $(Y,I)$ сопоставлено неотрицательное число $v(Y,I)$,
называемое {\it объемом используемой информации}. Нас интересует вопрос: какой
минимальный объем информации нужен, чтобы по ней можно было восстановить значения
оператора $T$ на классе $W$ c погрешностью, не превосходящей заданного числа
$\varepsilon$? Точнее, обозначая через $\Phi(Y)$ множество всех отображений из $Y$ в
$Z$, требуется для данных $\varepsilon>0$ и $\delta\ge0$ найти величину
$$
V(\varepsilon,\delta)=\inf\{\,v(Y,I)\mid \exists\,(\varphi,(Y,I))
\in\Phi(Y)\times\mathcal I :e(\delta,\varphi)\le\varepsilon\,\}
$$
и те наборы $(\widehat \varphi,(\widehat Y,\widehat I))$, на которых нижняя грань
достигается. Такие наборы будем называть {\it оптимальными}.

Если множество тех $(\varphi,(Y,I)) \in\Phi(Y)\times\mathcal I$, для которых
$e(\delta,\varphi)\le\varepsilon$, пусто, то полагаем $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$, и
это означает, что по данной информации нельзя восстановить элементы из $W$ с заданной
точностью.

Истоки данной постановки восходят к понятию $\varepsilon$-энтропии множества, величине,
характеризующей наилучшее с точностью до $\varepsilon$  приближение множества конечным
числом элементов (см., например, \cite{KT}).  Сама постановка является в определенном
смысле обратной к задаче об оптимальном восстановлении функций из данного класса по их
неточно заданному спектру. Подобные задачи рассматривались в ряде работ авторов. Отметим
здесь работы \cite{MOf}--\cite{MS}.





\section{Периодический случай}

Пусть $n$ --- натуральное и $W_2^n(\mathbb T)$ --- соболевский класс
$2\pi$-перио\-ди\-ческих функций $x\cd$, у которых $(n-1)$-ая производная абсолютно
непрерывна и $\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1$, где
$$
\|x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}=\left(\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
T}|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}.
$$
Коэффициенты Фурье $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ задаются формулами
$$
c_j=c_j(x\cd)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}x(t)e^{-ijt}\,dt,\quad j\in\mathbb Z.
$$

Ставится следующая задача. Пусть для любого конечного набора целых чисел имеется
возможность измерить (точно или приближенно) коэффициенты Фурье каждой функции
$x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ с номерами из данного набора. Мы хотим по этой информации
восстановить сами элементы $x\cd$ и их $k$-ую производную ($1\le k\le n-1$) в
метрике $L_2(\mathbb T)$ с фиксированной точностью, выбрав из всех таких наборов
тот, который имеет минимальное число элементов.

Уточним постановку, приведя ее в соответствие с общей схемой. Пусть $X$ --- пространство
$2\pi$-периодических функций, у которых $(n-1)$-ая производная абсолютно непрерывна, а
$n$-ая производная принадлежит $L_2(\mathbb T)$, $W=W_2^n(\mathbb T)$, $Z=L_2(\mathbb
T)$. Каждому конечному набору $\alpha$ целых чисел  сопоставим пару
$(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)$, где $N(\alpha)$ --- число элементов в наборе,
$l^{N(\alpha)}_\infty$ --- пространство $\mathbb C^{N(\alpha)}$ векторов $y=(y_1,\ldots,
y_{N(\alpha)})$ с нормой $\|y\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}=\max_{1\le i\le N(\alpha)}|y_i|$ и
$I_\alpha\colon X\to l^{N(\alpha)}_\infty$ --- линейный оператор, сопоставляющий функции
$x\cd$ ее коэффициенты Фурье с номерами из набора $\alpha$. Итак, в нашем случае
$\mathcal I$
--- это множество пар $(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)$, занумерованное конечными
подмножествами целых чисел, а информация $(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha,\delta)$ о
функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ при $\delta=0$ состоит в том, что мы знаем
коэффициенты Фурье $x\cd$ с номерами из $\alpha$, а если $\delta>0$, то мы
располагаем $N(\alpha)$ числами, каждое из которых отличается от соответствующего
коэффициента Фурье по модулю не более, чем на $\delta$. Полагаем
$v(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)=N(\alpha)$.

Пусть $0\le k\le n-1$, $D^k$ --- оператор $k$-го дифференцирования ($D^0$ ---
тождественный оператор) и $\varphi\colon
l^{N(\alpha)}_\infty\to L_2(\mathbb T)$
--- метод восстановления. Его погрешность, согласно общей схеме, имеет вид
\begin{multline*}
e(\delta,\varphi)=e(D^k,W_2^n(\mathbb
T),l^{N(\alpha)}_\infty,I_\alpha,\delta,\varphi)=\\=\sup_{\substack{x\cd\in
W_2^n(\mathbb T),\ y\in l^{N(\alpha)}_\infty\\\|I_\alpha
x\cd-y\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta}}\|D^kx\cd-\varphi(y)\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}.
\end{multline*}
Интересующая нас величина в данном случае такова
$$
V(\varepsilon,\delta)=\inf\{\,N(\alpha)\mid \exists\,(\varphi,(l^{N(\alpha)}_\infty,
I_\alpha)) \in\Phi(l^{N(\alpha)}_\infty)\times\mathcal I
:e(\delta,\varphi)\le\varepsilon\,\}.
$$
Кроме того, нас интересуют такие $\widehat \alpha$ и $\widehat \varphi$, что на
наборах $(\widehat \varphi,(l^{N(\widehat \alpha)}_\infty, I_{\widehat\alpha}))$
достигается нижняя грань. В этом случае мы говорим, что $\widehat \alpha$ ---
оптимальный набор, а $\widehat \varphi$ --- оптимальный метод.

Положим при $\delta>0$
\begin{equation*}
N_\delta=\max\biggl\{\,N\in\mathbb Z_+\mid2\delta^2\sum_{j=0}^Nj^{2n}<1\,\biggr\},
\end{equation*}
и $N_0=+\infty$, а также для каждого $m\in\mathbb Z_+$ обозначим
\begin{equation*}
\varepsilon_m=\biggr(\frac1{(m+1)^{2(n-k)}}+2\delta^2\sum_{j=0}^mj^{2k}
\left(1-\left(\frac j{m+1}\right)^{2(n-k)}\right)\biggl)^{1/2}.
\end{equation*}
Нетрудно убедиться, что если $\delta>0$, то
$1=\varepsilon_0>\varepsilon_1>\ldots>\varepsilon_{N_\delta}$.


\begin{theorem}
Пусть $n$ --- натуральное, $k$ --- целое, $0\le k\le n-1$ и $\varepsilon>0$. Тогда, если $\varepsilon\ge1$ и $k\ge1$, то $V(\varepsilon,\delta)=0$. Если $\varepsilon\ge1$ и $k=0$, то $V(\varepsilon,\delta)=1$, а оптимальное множество --- $\alpha=\{0\}$. При $\varepsilon_m\le\varepsilon<\varepsilon_{m-1}$, $m=1,2,\ldots,N_\delta$,
$$V(\varepsilon,\delta)=\begin{cases}2m+1,&k=0,\\
2m,&k\ge1.\end{cases}$$
Оптимальное множество ---
$$\alpha=\begin{cases}\{0,\pm1,\ldots,\pm m\},&k=0,\\
\{\pm1,\ldots,\pm m\},&k\ge1.\end{cases}$$
Оптимальный метод имеет вид
$$\widetilde\varphi(y)(t)=\sum_{|j|\le m}(ij)^k\left(1-\left(\frac j{m+1}\right)^{2(n-k)}\right)y_je^{ijt}.$$
Если $\delta>0$ и $\varepsilon<\varepsilon_{N_\delta}$, то
$V(\varepsilon,\delta)=+\infty$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $\alpha$ --- набор целых чисел, $\delta\ge0$ и $\varphi\colon
l^{N(\alpha)}_\infty\to L_2(\mathbb T)$.

1) Оценим снизу величину $e(D^k,W_2^n(\mathbb
T),l^{N(\alpha)}_\infty,I_\alpha,\delta,\varphi)$. Сначала покажем, что она не
меньше значения задачи
\begin{equation}\label{1p}
 \|x^{(k)}\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}\to\max,\quad \|I_\alpha x\cd\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta,\quad
\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le 1,
\end{equation}
т.~е. величины верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях.

Действительно, пусть $x\cd$
--- допустимая функция в \eqref{1p} (т.~е. $x\cd$ удовлетворяет ограничениям задачи),
тогда, очевидно, функция $-x\cd$ также допустима и мы имеем
\begin{multline*}
2\|x^{(k)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}+\|-x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}\le\\
\le 2\sup_{\|I_\alpha
x\cd\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta,\
\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}\le 1}\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}\le\\
\le2\sup_{\substack{\|I_\alpha
x\cd-y\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta\\
y\in l^{N(\alpha)}_\infty,\ \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}\le1}}\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}.
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1p}, получаем
требуемое.

2) Теперь оценим снизу значение задачи \eqref{1p}.  В силу равенства Парсеваля
квадрат ее значения равен значению такой задачи
\begin{equation}\label{2p}
\sum_{j\in\mathbb Z}j^{2k}|c_j|^2\to\max,\quad|c_j|\le\delta,\ j\in\alpha,
\quad\sum_{j\in\mathbb Z}j^{2n}|c_j|^2\le1.
\end{equation}

Далее считаем, что $k\ge1$ (случай $k=0$ рассматривается аналогично и проще). Для
каждого $s\in\mathbb N$ обозначим $\Delta_s=\{\,\pm 1,\ldots,\pm s\,\}$ и положим
$$
\widehat s=\max \{\,s\in\mathbb N\mid {\rm card}\,(\alpha\cap \Delta_s)=2s\,\},
$$
считая, что $\widehat s=0$, если множество в фигурных скобках пусто. Далее, пусть
$$
p_0=\max\biggl\{\,p\mid 2\delta^2\sum_{j=0}^pj^{2n}<1,\,\,\, 0\le p\le\widehat
s\,\biggr\}.
$$

Рассмотрим последовательность $c_j$, $j\in\mathbb Z$, определенную следующим
образом: если $p_0<\widehat s$, то $c_j=\delta$ при $|j|\le p_0$,
$$
c_{p_0+1}=c_{-(p_0+1)}=\frac1{\sqrt{2}}(p_0+1)^{-n}\sqrt{1-2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}}
$$
и  $c_j=0$ для остальных $j$. Если же $p_0=\widehat s$, то ясно, что либо  $p_0+1$,
либо $-(p_0+1)$ не принадлежит $\alpha$. Пусть $m$ --- то из этих чисел, которое не
принадлежит $\alpha$. Положим
$$
c_{m}=(p_0+1)^{-n}\sqrt{1-2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}},
$$
$c_j=\delta$ при $|j|\le p_0$ и  $c_j=0$ для остальных $j$. Определенная
последовательность является допустимой в задаче \eqref{2p}. Действительно, если
$p_0<\widehat s$, то $|c_j|\le\delta$, когда $|j|=p_0+1$, так как иначе
$$
\frac1{\sqrt{2}}(p_0+1)^{-n}\sqrt{1-2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}}>\delta
\,\,\Leftrightarrow\,\, 2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0+1}j^{2n}<1,
$$
что противоречит определению $p_0$. Кроме того, очевидно, что $\sum_{j\in\mathbb
Z}j^{2n}|c_j|^2=1$. Это равенство выполняется и когда $p_0=\widehat s$.


Следовательно, значение задачи \eqref{2p} не меньше, чем значение максимизируемого
функционала на этой последовательности, т.~е. не меньше величины
$$2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2k}+(p_0+1)^{-2(n-k)}\biggl(1-2\delta^2
\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}\biggr)=\varepsilon^2_{p_0}.$$ Отсюда и из предыдущего пункта
вытекает, что
\begin{equation}\label{k2}
e(\delta,\varphi)=e(D^k,W_2^n(\mathbb
T),l^{N(\alpha)}_\infty,I_\alpha,\delta,\varphi)\ge\varepsilon_{p_0}.
\end{equation}

3) Покажем, что эта оценка достигается для метода
$$\widetilde\varphi(y)(t)=\sum_{|j|\le p_0}(ij)^k\omega_jy_je^{ijt},$$
где
$$
\omega_j=1-\left(\frac j{p_0+1}\right)^{2(n-k)},\quad |j|\le p_0.
$$
Квадрат погрешности этого метода равен, по определению, значению следующей
экстремальной задачи
\begin{multline}\label{om}
\sum_{|j|\le p_0}j^{2k}|c_j-\omega_jy_j|^2+\sum_{|j|>p_0}j^{2k}|c_j|^2\to\max,\\
|c_j-y_j|\le\delta_j,\ j\in\alpha,\quad
\sum_{j\in\mathbb Z}j^{2n}|c_j|^2\le1.
\end{multline}
Оценим сверху ее значение. Положим
$$\lambda=(p_0+1)^{-2(n-k)},\quad\lambda_j=j^{2k}\omega_j,\quad |j|\le p_0.
$$
Если $0<|j|\le p_0$, то по неравенству Коши--Буняковского (используя легко
проверяемое равенство
$$
j^{2k}\left(\frac{\omega_j^2}{\lambda_j}+\frac{(1-\omega_j)^2}{j^{2n}\lambda} \right),
$$
будем иметь
\begin{multline*}
j^{2k}|c_j-\omega_jy_j|^2=j^{2k}|\omega_j(c_j-y_j)+c_j(1-\omega_j)|^2\le\\\le
j^{2k}\left(\frac{\omega_j^2}{\lambda_j}+\frac{(1-\omega_j)^2}{j^{2n}\lambda}
\right)\left(|c_j-y_j|^2\lambda_j+|c_j|^2\lambda
j^{2n}\right)=\\=|c_j-y_j|^2\lambda_j+|c_j|^2\lambda j^{2n}.
\end{multline*}
Если $|j|>p_0$, то, очевидно,  $j^{2k}\le\lambda j^{2n}$. Из полученных соотношений
следует, что максимизируемый функционал в \eqref{om} оценивается сверху величиной
$$
\sum_{|j|\le
p_0}|c_j-y_j|^2\lambda_j+\lambda\sum_{|j|>p_0}j^{2n}|c_j|^2\le\delta^2\sum_{|j|\le
p_0}\lambda_j+\lambda=\varepsilon^2_{p_0}.$$ Отсюда и \eqref{k2} вытекает, что
\begin{equation}\label{k1}
e(\delta,\widetilde\varphi)=\varepsilon_{p_0}.
\end{equation}



4) Пусть $\varepsilon_m\le\varepsilon<\varepsilon_{m-1}$ для некоторого $m\ge1$.
Тогда для набора $\alpha=\{\pm1,\ldots,\pm m\}$ из \eqref{k1} следует, что
$$e(0,\widetilde\varphi)=\varepsilon_m\le\varepsilon.$$
Предположим, что существует $\alpha$ и метод $\varphi$ такие, что $N(\alpha)<2m$ и
$e(0,\varphi)\le\varepsilon$. Тогда $\widehat s\le m$ и $p_0\le m-1$. Следовательно, с
учетом \eqref{k2}
$$\varepsilon<\varepsilon_{m-1}\le\varepsilon_{p_0}\le e(0,\varphi)\le\varepsilon.$$
Полученное противоречие доказывает, что $V(\varepsilon,0)=2m$. Случай $\varepsilon\ge1$ рассматривается аналогично.

Пусть $\delta>0$ и $\varepsilon<\varepsilon_{N_\delta}$. В силу того, что для всех $\alpha$ \ $p_0\le N_\delta$, для любого метода
$$e(\delta,\varphi)\ge\varepsilon_{p_0}\ge\varepsilon_{N_\delta}>\varepsilon.$$
Это означает, что в рассматриваемом случае $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$.
\end{proof}


\section{Непериодический случай}
Здесь мы рассматриваем функции на прямой. Пусть $W_2^n(\mathbb R)$
--- соболевский класс функций $x\cd$, у которых $(n-1)$-ая
производная локально абсолютно непрерывна и $\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb R)}\le1$.
Ставится следующая задача. Пусть для любого измеримого подмножества $\mathbb R$ конечной
лебеговой меры имеется возможность измерить (точно или приближенно) преобразование Фурье
каждой функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ на этом множестве. По этой информации мы хотим
восстановить сами элементы $x\cd$ и их $k$-ую производную ($1\le k\le n-1$) в метрике
$L_2(\mathbb R)$ с фиксированной точностью, выбрав из всех этих множеств то, которое
имеет минимальную меру.

Уточним постановку, приведя ее в соответствие с общей схемой. Пусть $X$ ---
пространство функций на $\mathbb R$, у которых $(n-1)$-ая производная локально
абсолютно непрерывна, а $n$-ая производная принадлежит $L_2(\mathbb R)$,
$W=W_2^n(\mathbb R)$, $Z=L_2(\mathbb R)$ и пусть $F\colon \Lt\to\Lt$ ---
преобразование Фурье. Каждому множеству $A\subset\mathbb R$ конечной лебеговой меры
сопоставим пару $(L_2(A), I_A)$, где $I_A\colon X\to L_2(A)$ --- линейный оператор,
сопоставляющий функции $x\cd$ функцию $Fx\cd|_A$ --- сужение $Fx\cd$ на $A$. Таким
образом, в рассматриваемом случае $\mathcal I$
--- это множество пар $(L_2(A), I_A)$, занумерованное
подмножествами $A$ конечной меры, а информация $(L_2(A), I_A,\delta)$ о функции
$x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$ при $\delta=0$ состоит в том, что мы знаем преобразование
Фурье $x\cd$ на $A$, а если $\delta>0$, то мы знаем лишь функцию $y\cd\in L_2(A)$
такую, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta$. Полагаем $v(L_2(A), I_A)={\rm mes}\,
A$.

Пусть, как и раньше, $D^k$ --- оператор $k$-го дифференцирования ($D^0$
--- тождественный оператор), $A$ --- множество конечной меры  и $\varphi\colon
L_2(A)\to L_2(\mathbb R)$
--- метод восстановления. Его погрешность, согласно общей схеме, имеет вид
\begin{multline*}
e(\delta,\varphi)=e(D^k,W_2^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)=\\=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^n(\mathbb R),\ y\cd\in
L_2(A)\\\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta}}\|D^kx\cd-\varphi(y)\cd\|_{L_2(\mathbb R)}
\end{multline*}
и
$$
V(\varepsilon,\delta)=\inf\{\,{\rm mes}\,A\mid \exists\,(\varphi,(L_2(A), I_A))
\in\Phi(L_2(A))\times\mathcal I :e(\delta,\varphi)\le\varepsilon\,\}.
$$

Если для $\widehat A$ и $\widehat\varphi$ на наборе
$(\widehat\varphi,(L_2(\widehat A), I_{\widehat A}))$ достигается минимум, то мы
говорим, что $\widehat A$ --- оптимальное множество, а $\widehat\varphi$ ---
оптимальный метод.

\begin{theorem}
Пусть $n$ --- натуральное, $k$ --- целое, $0\le k\le n-1$ и $\varepsilon>0$. Тогда
$$
V(\varepsilon,0)=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}.
$$
Оптимальное множество --- отрезок $\widehat A=[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$,
где $2\sigma_\varepsilon=V(\varepsilon,0)$. Оптимальный метод имеет вид
$$
\widehat \varphi(Fx\cd|_{\widehat A})(t)=\frac1{2\pi}\int_{\widehat A}(i\xi)^k
Fx(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi.
$$

Пусть $\delta>0$. Если
$$
\varepsilon<\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}},
$$
то $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$, а если
$$
\varepsilon\ge\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}},
$$
то $V(\varepsilon,\delta)=2\sigma_\varepsilon$, где $\sigma_\varepsilon$ ---
единственный корень уравнения
$$
\dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}
\dfrac{\delta^2}{2\pi}\sigma^{2k}+\dfrac
1{\sigma^{2(n-k)}}=\varepsilon^2.\footnote{Чтобы включить случай $k=0$ считаем
здесь, что $0^0=1$ и что $\infty^0=1$ в оптимальном методе ниже.}
$$
Оптимальное множество --- отрезок $\widehat
A=[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$. Оптимальный метод имеет вид
$$
\widehat \varphi(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{\widehat A}(i\xi)^k\left(1+\frac{n}{n-k}
\left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{k}{n-k}}\left(\frac{\xi}{\sigma_\varepsilon}
\right)^{2n}\right)^{-1}y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi.
$$
\end{theorem}

Отметим, что по точной информации ($\delta=0$) о преобразовании Фурье можно восстановить
элементы класса $W_2^n(\mathbb R)$ с любой точностью, и наилучший метод восстановления
$k$-производной ($0\le k\le n-1$) ``естественный'' --- надо взять $k$-ую производную
(если $k\ge1$) от обратного преобразования Фурье на отрезке
$[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$.

Если же $\delta>0$, то уже не для всех $\varepsilon$ можно восстановить функции и их
$k$-ые производные с данной точностью, а для тех $\varepsilon$, для которых это возможно,
оптимальный метод использует информацию только на отрезке
$[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$ и при этом ее предварительно ``сглаживает''.



\begin{proof}
Пусть $A$ --- множество конечной меры в $\mathbb R$, $\delta\ge0$ и $\varphi\colon
L_2(A)\to L_2(\mathbb R)$.

1) Покажем сначала, что величина $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)$ не меньше значения задачи
\begin{equation}\label{1}
 \|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}\to\max,\quad
\|Fx\cd\|_{L_2(A)}\le\delta,\quad \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb R)}\le 1
\end{equation}
(где $\|Fx\cd\|_{L_2(A)}\le\delta$ при $\delta=0$ означает, что $Fx\cd|_A=0$).
Действительно, пусть $x\cd$
--- допустимая функция в \eqref{1} (т.~е. $x\cd$ удовлетворяет ограничениям задачи),
тогда, очевидно, функция $-x\cd$ также допустима и мы имеем
\begin{multline*}
2\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}
\le\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}+\|-x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}\le\\
\le 2\sup_{\|Fx\cd\|_{L_2(A)}\le\delta,\
\|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1}\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}\le\\
\le2\sup_{\substack{\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta\\
y\cd\in L_2(A), \ \|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1}}\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\Lt}.
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1}, получаем
требуемое.

2) Положим $$\wa=\sup\{\,a\ge0 \mid\mes\{A\cap[-a,a]\,\}=2a\}$$ и покажем, что если
$\wa=0$, то значение задачи \eqref{1} равно бесконечности. Действительно, в образах
Фурье квадрат значения этой задачи, согласно теореме Планшереля, равен значению
такой задачи
\begin{multline}\label{2}
\frac1{2\pi}\iR\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\int_{A}|Fx(\xi)|^{2}(\xi)\,d\xi
\le\delta^2,\\\frac1{2\pi}\iR\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.
\end{multline}
Так как $\wa=0$, то $\mes\{M_\sigma\cap[-\varepsilon,\varepsilon]\}<2\varepsilon$
для любого $\varepsilon>0$ и значит, мера множества $\Omega_\varepsilon=\{(\mathbb
R\setminus M_\sigma)\cap[-\varepsilon,\varepsilon]\}$ положительна. Пусть функция
$x_\varepsilon\cd$ такова, что
$$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
\sqrt{2\pi}\biggl(\int_{\Omega_\varepsilon}\tau^{2n}\,d\tau\biggr)^{-1/2},
&\xi\in\Omega_\varepsilon\\
0,&\xi\notin\Omega_\varepsilon.\end{cases}$$ Эта функция допустима в задаче
\eqref{2} и
$$
\frac1{2\pi}\iR\xi^{2k}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=
\frac{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2k}\,d\xi}
{\int_{\Omega_\varepsilon}\tau^{2n}\,d\tau}=
\frac{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2n}\xi^{-2(n-k)}\,d\xi}
{\int_{\Omega_\varepsilon}\tau^{2n}\,d\tau}\ge \varepsilon^{-2(n-k)},$$ откуда, в
силу произвольности $\varepsilon$,  следует, что значение максимизируемого
функционала в \eqref{2} может быть сделано сколь угодно большим.

3) Пусть $\delta=0$. Покажем, что
\begin{equation}\label{3}
e(0,\varphi)=e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A), I_A,0,\varphi)\ge \sigma^{-(n-k)},
\end{equation}
где $2\sigma={\rm mes}\,A$.

Так как  $\delta=0$, то первое ограничение в задаче \eqref{2} означает, что
$Fx(\xi)=0$ для п.~в. $\xi\in A$ и тогда сама задача \eqref{2} переписывается в этом
случае так
\begin{equation}\label{4}
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A} \xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A} \xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le 1.
\end{equation}
Оценим снизу ее значение. Если $\widehat a=0$, то, как показано в п. 2), это
значение равно $+\infty$. Тогда согласно п. 1) $e(0,\varphi)=+\infty$ и \eqref{3}
выполняется очевидным образом. Пусть $\widehat a>0$. Для любого натурального $m$
множество $[-\widehat a-1/m,\widehat a+1/m]\setminus[-\widehat a,\widehat a]$
содержит подмножество положительной меры $E_m$, не принадлежащее $A$ (иначе это
противоречило бы определению $\widehat a$). Рассмотрим последовательность функций
$x_m\cd\in \Lt$, преобразование Фурье которых имеет вид
$$Fx_m(\xi)=\begin{cases}
\sqrt{\frac{2\pi}{{\rm mes}\,E_m}}\left(\widehat a+\frac 1{m}\right)^{-n},
&\xi\in E_m,\\[5pt]
0,&\xi\notin E_m.\end{cases}
$$
Простая проверка показывает, что эти функции допустимы в задаче \eqref{4}. Далее
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\ge\frac1{{\rm
mes}\,E_m}\left(\widehat a+\frac1{m}\right)^{-2n}  \widehat a^{2k}\ {\rm
mes}\,E_m\to\\\to\widehat a^{-2(n-k)}\ge \sigma^{-2(n-k)},
\end{multline*}
так как, очевидно, $\widehat a\le\sigma$ и значит, значение задачи \eqref{4} не
меньше $\sigma^{-2(n-k)}$. Тогда в силу доказанного в  п. 1) и того, что значение
задачи \eqref{4} равно квадрату значения задачи \eqref{1} получаем, что
$e(0,\varphi)\ge \sigma^{-(n-k)}$, а это и есть \eqref{3}.

4) Покажем, что в неравенстве \eqref{3} достигается равенство, когда
$A=[-\sigma,\sigma]$, а метод, что в формулировке теоремы, но с $\sigma$ вместо
$\sigma_\varepsilon$. Обозначим этот метод $\widetilde \varphi$. Действительно, для
любого $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$ имеем по теореме Планшереля
\begin{multline*}
\|x^{(k)}\cd-\widetilde \varphi
(Fx\cd|_{[-\sigma,\sigma]})\cd\|^2_{\Lt}=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus
[-\sigma,\sigma]}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=\\= \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus
[-\sigma,\sigma]}\xi^{-2(n-k)}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\\\le
\sigma^{-2(n-k)}\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le
\sigma^{-2(n-k)},
\end{multline*}
т.~е. $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2([-\sigma,\sigma]),I_{[-\sigma,\sigma]},0,\widetilde
\varphi)\le\sigma^{-(n-k)}$ и значит, неравенство \eqref{3} точное.


5) Теперь мы можем доказать, что $V(\varepsilon,0)=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$ для
любого $\varepsilon>0$. В самом деле, для данного $\varepsilon>0$ положим
$\sigma_\varepsilon=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$. Согласно п. 4) для множества
$A_\varepsilon=[-\sigma_\varepsilon/2,\sigma_\varepsilon/2]$ и соответствующего
метода $\widetilde \varphi$ справедлива оценка $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A_\varepsilon), I_{A_\varepsilon},0,\widetilde \varphi)\le\varepsilon$ и
значит, $V(\varepsilon,0)\le\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$. Предположим, что
неравенство строгое, т.~е. существует множество $A$, ${\rm mes}\,A=2\sigma$, и метод
$\varphi$ такие, что $\sigma<\sigma_\varepsilon$ и $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,0,\varphi)\le\varepsilon$. Тогда с учетом \eqref{3} имеем
$\varepsilon=\sigma_\varepsilon^{-(n-k)}<\sigma^{-(n-k)}\le e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,0,\varphi)\le\varepsilon$. Полученное противоречие доказывает, что
$V(\varepsilon,0)=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$.

Оптимальность множества и метода, указанных в теореме следует из приведенных
рассуждений.

6) Пусть $\delta>0$. Далее считаем, что $k\ge1$ (случай $k=0$ рассматривается
аналогично, но технически значительно проще). Обозначим
$$
\widehat \sigma=\left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{1}{2(n-k)}}
\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{-\frac1{2n}}
$$
и покажем, что для любого метода $\varphi$ и множества $A$, ${\rm mes}\,A=2\sigma$,
справедлива оценка
\begin{multline}\label{0}
e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\ge\\\ge\begin{cases}\sqrt{\dfrac{n-k}{n}
\left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}} \dfrac{\delta^2}{2\pi}\sigma^{2k}+\dfrac
1{\sigma^{2(n-k)}}},&
\sigma\le\widehat \sigma,\\[15pt]
\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}},& \sigma\ge\widehat
\sigma.\end{cases}
\end{multline}
Заметим, что функция справа, переменной $\sigma$, определенная на полуинтервале
$(0,\ws]$, монотонно убывает на этом полуинтервале и в точке $\ws$ ее минимальное
значение равно $(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}$. Ни для каких $A$ и $\varphi$
погрешность не может быть меньше этой величины.




Оценим снизу значение задачи \eqref{2}. Если $\widehat a=0$, то согласно п. 2) оно
равно $+\infty$, а тогда из п. 1) следует, что $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)=+\infty$ и \eqref{0} выполняется тривиальным образом.

Пусть $\widehat a>0$. Рассмотрим случай, когда $\sigma<\widehat \sigma$. Для каждого
натурального $m$ обозначим
$$
C_m=1-\frac1{2\pi}\left(\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac1{2(n-k)}}\widehat
a+\frac1{2m}\right)^{2n}.
$$
Поскольку $\widehat a\le\sigma<\widehat \sigma$, то $C_m>0$ для достаточно больших
$m$. Далее, так как $\gamma=(k/n)^{1/2(n-k)}<1$, то отрезок
$\Delta_m=[\gamma\widehat a-1/2m,\gamma \widehat a+1/2m]$ принадлежит отрезку
$[-\widehat a,\widehat a]$ для достаточно больших $m$. Наконец, пусть $E_m$
--- множество, определенное в п. 3). Для указанных $m$ рассмотрим семейство функций
$x_m\cd$, преобразование Фурье которых имеет вид
\begin{equation*}
Fx_m(\xi)=\begin{cases}
\sqrt{\frac{2\pi}{{\rm mes}\,E_m}}\left(\widehat a+\frac 1{m}\right)^{-n}\sqrt{C_m},
&\xi\in E_m,\\[5pt]
\sqrt{m} \ \delta,&\xi\in \Delta_m,\\[5pt]
0&\xi\notin E_m\cup \Delta_m.\end{cases}
\end{equation*}
Несложная проверка показывает, что $x_m\cd$ --- допустимые функции в задаче
\eqref{2}. Далее
\begin{multline}\label{6}
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\frac1{2\pi}\int_{E_m}
\xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi+\\+\frac1{2\pi}\int_{\Delta_m}
\xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\ge\left(\widehat a+\frac1{m}\right)^{-2n}C_m \ \widehat
a^{2k}+\\+\frac{\delta^2}{2\pi}\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}\widehat
a^{2k}\to\dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}
\dfrac{\delta^2}{2\pi}\widehat a^{2k}+\dfrac 1{\widehat a^{2(n-k)}}.
\end{multline}
Выражение справа, как функция $\widehat a$, монотонно убывает на полуинтервале
$(0,\widehat \sigma]$ и так как $\widehat a\le \sigma<\widehat \sigma$, то значение
задачи \eqref{2} не меньше выражения справа под корнем в \eqref{0}. В силу п. 1 это
доказывает оценку \eqref{0} при $\sigma<\widehat \sigma$.

Пусть $\sigma\ge\widehat \sigma$. Если $\widehat a<\widehat \sigma$, то те же
рассуждения, что и выше приводят к формуле \eqref{6}. Минимальное значение выражения
справа в \eqref{6} равно $\left(\delta^2/2\pi\right)^{\frac{n-k}{n}}$. Это
доказывает \eqref{0} в рассматриваемом случае.

Пусть $\widehat a\ge\widehat \sigma$. Так как
$\gamma_1=\left(\delta^2/2\pi\right)^{-\frac1{2n}}<\widehat \sigma$, то для
достаточно больших $m$ отрезок $\Delta_m=[\gamma_1-1/m,\gamma_1]$ принадлежит
полуинтервалу $(0,\widehat \sigma]$. Для таких $m$ рассмотрим последовательность
функций $x_m\cd$, преобразование Фурье которых имеет вид
$$
Fx_m(\xi)=\begin{cases} \sqrt{m} \ \delta,
&\xi\in \Delta_m,\\[5pt]
0,&\xi\notin \Delta_m.\end{cases}
$$
Снова простая проверка показывает, что это допустимые функции в задаче \eqref{2} и
$$
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\ge\frac{\delta^2}{2\pi}
\left(\left(\frac{\delta^2}{2\pi}\right)^{-\frac1{2n}}-\frac1{m}\right)^{2k}\to
\left(\frac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{n}},
$$
т.~е. оценка \eqref{0} доказана.

Докажем теперь, что эта оценка достигается на множестве $A=[-\sigma,\sigma]$ и
методе из формулировки теоремы с $\sigma$ вместо $\sigma_\varepsilon$. Обозначим
этот метод $\widetilde \varphi$.  Действительно, пусть $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$,
$y\cd\in L_2([-\sigma,\sigma])$ и $\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2([-\sigma,\sigma])}\le\delta$.
Положим $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$ и обозначим
$$
\lambda_1=\frac{n-k}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}\sigma_0^{2k},\qquad
\lambda_2=\sigma_0^{-2(n-k)}.
$$
Тогда нетрудно проверить, что
\begin{equation}\label{f}
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}=\left(1+\frac{n}{n-k}
\left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{k}{n-k}}\left(\frac{\xi}{\sigma_0}
\right)^{2n}\right)^{-1}
\end{equation}
и $-\xi^{2k}+\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}\ge0$ для любого $\xi\in\mathbb R$.

По теореме Планшереля, учитывая \eqref{f},
\begin{multline}\label{7}
\|x^{(k)}\cd-\widetilde \varphi(y\cd)\cd\|^2_{\Lt}=\\=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R}\left|(i\xi)^kFx(\xi)-
(i\xi)^k\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}\chi_{\sigma_0}(\xi)y(\xi)\right|^2d\xi,
\end{multline}
где $\chi_{\sigma_0}\cd$ --- характеристическая функция отрезка
$[-\sigma_0,\sigma_0]$.


Пусть $\xi\in[-\sigma_0,\sigma_0]$. Тогда при таких $\xi$ для выражения под знаком
интеграла в правой части \eqref{7} после несложных преобразований, применяя
неравенство Коши--Буняковского и то, что многочлен
$\xi\mapsto-\xi^{2k}+\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}$ неотрицателен на $\mathbb R$,
будем иметь
\begin{multline*}
\left|(i\xi)^kFx(\xi)-(i\xi)^k
\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}y(\xi)\right|^2=\\=\xi^{2k}\bigg|
\frac{\sqrt{\lambda_1}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}\sqrt{\lambda_1}(Fx(\xi)-y(\xi))
+\frac{\sqrt{\lambda_2} \ \xi^n}{\lambda_1+\lambda_2 \xi^{2n}} \sqrt{\lambda_2} \
\xi^nFx(\xi)\bigg|^2\le\\\le
\xi^{2k}\left(\frac{\lambda_1}{(\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n})^2}+
\frac{\lambda_2\xi^{2n}}{(\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n})^2}\right)
(\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2+\\+\lambda_2\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2)=
\frac{\xi^{2k}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}(\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2+
\lambda_2\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2)\le\\\le\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2+
\lambda_2\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2.
\end{multline*}
Интегрируя это неравенство по отрезку $[-\sigma_0,\sigma_0]$, получаем, что интеграл
справа в \eqref{7} на этом отрезке оценивается величиной
$$
 \lambda_1\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma_0}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi+
\lambda_2\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma_0}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi.
$$

Если $|\xi|>\sigma_0$, то оценка для выражения справа в \eqref{7} для таких $\xi$
такова
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=
\frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2n}\xi^{-2(n-k)}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\\\le
\sigma_0^{-2(n-k)}\frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=
\lambda_2\frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi.
\end{multline*}
Складывая эти неравенства, учитывая выбор $x\cd$, $y\cd$ и выражения для $\lambda_1$
и $\lambda_2$, получим, что
\begin{multline*}
\|x^{(k)}\cd-\widetilde
\varphi(y\cd)\cd\|^2_{\Lt}\le\frac{\lambda_1\delta^2}{2\pi}+\lambda_2\\
=\dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}
\dfrac{\delta^2}{2\pi}\sigma_0^{2k}+\dfrac 1{\sigma_0^{2(n-k)}}.
\end{multline*}
Если $\sigma_0=\ws$, то выражение справа принимает нужное значение. Этим доказана
точность неравенства \eqref{0}.

7) Докажем вторую часть теоремы, когда $\delta>0$. Пусть
$\varepsilon<(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}$. Надо показать, что не существует множества
$A$ конечной меры и метода $\varphi$ таких,  что $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$. Действительно, если такие $A$ и
$\varphi$ нашлись, то в силу \eqref{0} имеем
$\varepsilon<(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}\le e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$ и полученное противоречие доказывает,
что $V(\varepsilon, \delta)=+\infty$.

Пусть $\varepsilon\ge(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}$ и $\sigma_\varepsilon$ --- из
формулировки теоремы.  Согласно предыдущему пункту для множества
$A_\varepsilon=[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$ и метода $\widehat \varphi$
из формулировки теоремы справедлива следующая оценка $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A_\varepsilon), I_{A_\varepsilon},\delta,\widehat \varphi)\le\varepsilon$ и
значит, $V(\varepsilon,\delta)\le 2\sigma_\varepsilon$. Предположим, что неравенство
строгое, т.~е. существует множество $A$, ${\rm mes}\,A=2\sigma$, и $\varphi$ такие,
что $\sigma<\sigma_\varepsilon$ и $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$. Тогда, если через $f\cd$ обозначить
функцию от $\sigma$ в правой части выражения \eqref{0} (она строго монотонно убывает
на $(0,\ws]$), то согласно определению $\sigma_\varepsilon$ и оценке \eqref{0} имеем
$\varepsilon=f(\sigma_\varepsilon)<f(\sigma)\le e(D^k,W_{2}^n(\mathbb
R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$.  Полученное противоречие доказывает
нужное утверждение.

Оптимальность множества и метода, указанных в теореме следует из приведенных
рассуждений.
\end{proof}




\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{KT} {А.~Н.~Колмогоров, В.~М.~Тихомиров.} $\varepsilon$-энтропия и $\varepsilon$-емкость
множеств в функциональных просранствах
// Успехи мат. наук. 1959. Т.~14, №~2. С.~3--86.


\bibitem{MOf}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и
неравенства для производных // Функ. анализ и его прил. 2003. T.~37. С.~51--64.

\bibitem{MO}{\it Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко.} Оптимальное
восстановление значений функций и их производных по неточно заданному преобразованию
Фурье // Матем. сб. 2004. Т.~195, №~10. С.~67--82.

\bibitem{MOTr}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} О восстановлении операторов
сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН, 2010, 269, 181--192.

\bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функ. анализ и его прил. 2010.
T.~44. С.~76--79.

\bibitem{MO6} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Как наилучшим
образом восстановить функцию по неточно заданному спектру? // Мат. заметки, {\bf92}:1
(2012),  59–-67.


\bibitem{MS} {\it Г.~Г.~Магарил-Ильяев, Е.~О.~Сивкова.}  Наилучшее восстановление
оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру // Матем. сб. 2012. Т.~203,
№~4. С.~119-130.


\end{thebibliography}











\end{document}
