\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem*{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

\title{О ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССА ХАРДИ $H_2$ В $n$-МЕРНОМ ШАРЕ}


\author{К.~Ю.~Осипенко, М.~И.~Стесин}


\maketitle

Пусть $B_n$ --- единичный шар пространства $\mathbb C^n$: $\displaystyle B_n=\biggl\{\,z=(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n:|z|^2=\sum_{k=1}^n|z_k|^2<1\,\biggr\}$. Целью настоящей работы является вычисление точных значений гельфандовских и линейных $N$-поперечников единичного шара гильбертова пространства $H_2$, который обозначим $BH_2$, в метрике $L_{\infty,r}$, определяемой равенством $\displaystyle\|f\|_{\infty,r}=\sup_{|z|=r}|f(z)|$. Ряд точных значений $N$-поперечников классов Харди $H_p$ в интегральных $q$-метриках можно найти в работах $[1$--$4]$, однако все они относятся к случаю $p\ge q$ и $n=1$, кроме $[5]$, где $n\ge1$, a $p=q$.

Для подмножества $A$ нормированного пространства $X$ обозначим через $d^N(A,X)$ и $\lambda_N(A,X)$ гельфандовский и линейный  $N$-поперечники множества $A$ соответственно. Имеет место очевидное соотношение (см.~$[1]$):
\begin{equation}\label{1}
d^N(A,X)\le\lambda_N(A,X).
\end{equation}

Положим $\displaystyle N_k=\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}$, $N_0=0$. Число $N_k$ равно размерности пространства полиномов от $n$ переменных степени $k-1$.

\begin{theorem}
При всех $k\ge0$ имеют место равенства
\begin{multline*}
d^{N_k}(BH_2(B_n),L_{\infty,r})=\lambda_{N_k}(BH_2(B_n),L_{\infty,r})\\
=\sqrt{\frac1{(1-r^2)^n}-\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}r^{2l}}.
\end{multline*}
\end{theorem}

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть $f\in BH_2(B_n)$, $w\in B_n$ и $f=\displaystyle\sum_{s=0}^\infty F_s$ --- однородное разложение $f$. Тогда
$$\biggl|f(w)-\sum_{s=0}^m F_s(w)\biggr|\le\sqrt{(1-|w|^2)^{-n}-\sum_{l=0}^m\binom{n+l-1}{n-1}|w|^{2l}}.$$
\end{lemma}

Доказательство этой леммы основано на следующем представлении:
$$f(w)-\sum_{s=0}^m F_s(w)=\int_{S^{2n-1}}K_m(w,z)f(z)\,d\sigma_n(z),$$
где
$$K_m(w,z)=(1-\la w,z\ra)^{-n}-\sum_{|p|\le m}\frac{(n+|p|-1)!}{(n-1)!p!}w^p\ov z^p.$$
$\sigma_n$ --- единичная положительная мера на сфере $S^{2n-1}$, инвариантная относительно ортогональной группы $O(2n)$.

\begin{lemma}\label{L2}
Пусть $m\in\mathbb N$, $N_k\le m<N_{k+1}$, $f_1,\ldots,f_s$ --- ортонормированная система в $H_2(B_n)$ и $0<r<1$. Тогда
\begin{equation*}
\int_{S^{2n-1}}\sum_{l=1}^m|f_l(rz)|^2\,d\sigma_n(z)\le
\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}r^{2l}+(m-N_k)r^{2k}.
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Заметим, что для функции $f\in H_2(B_n)$, однородное разложение которой имеет вид $f=\displaystyle\sum_{l=s}^\infty F_l$, справедливо неравенство
\begin{equation}\label{2}
\int_{S^{2n-1}}|f(rz)|^2\,d\sigma_n(z)\le r^{2s}\|f\|_2^2.
\end{equation}
Пусть $U$ --- унитарное преобразование $\mathbb C^m$, задаваемое матрицей $\|u_{kl}\|_{k,l=1}^m$. Положим $g_s=\displaystyle\sum_{l=1}^mu_{sl}f_l$. Система $\{g_1,\ldots,g_m\}$ является ортонормированной в $H_2(B_n)$, и в силу унитарности $U$ для любого $w\in B_n$ \ $\displaystyle\sum_{l=1}^m|g_l(w)|^2=\sum_{l=1}^m|f_l(w)|^2$. Следовательно,
$$\int_{S^{2n-1}}\sum_{l=1}^m|f_l(rz)|^2\,d\sigma_n(z)=
\int_{S^{2n-1}}\sum_{l=1}^m|g_l(rz)|^2\,d\sigma_n(z).$$
Легко проверить, что преобразование $U$ можно подобрать так, что для $N_q<l\le N_{q+1}$
($q\le k$, $l\le m$) в однородном разложении $g_l$ отсутствуют полиномы до порядка $q-1$
включительно. Теперь утверждение леммы следует из \eqref{2}.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы]
Вследствие \eqref{1} достаточно доказать, что
\begin{gather*}
\lambda_{N_k}(BH_2(B_n),L_{\infty,r})\le\sqrt{(1-r^2)^{-n}-
\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}r^{2l}},\\
d^{N_k}(BH_2(B_n),L_{\infty,r})\ge\sqrt{(1-r^2)^{-n}-
\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}r^{2l}}.\label{7}
\end{gather*}
Оценка сверху для $\lambda_{N_k}(BH_2(B_n),L_{\infty,r})$ непосредственно следует из леммы~\ref{L1}. Для доказательства нижней оценки рассмотрим $L^{N_k}$ --- подпространство $H_2(B_n)$ коразмерности $N_k$. Пусть $f_1,\ldots,f_{N_k}$ --- ортонормированный базис в ортогональном дополнении $(L^{N_k})^\perp$. Заметим, что для любого $w\in B_n$ функция $\displaystyle h_w(z)=(1-\la z,w\ra)^{-n}-\sum_{l=1}^{N_k}\ov{f_l(w)}f_l(z)$ принадлежит $L^{N_k}$ и, следовательно,
\begin{multline*}
\sup_{g\in BH_2(B_n)\cap L^{N_k}}\|g\|_{\infty,r}\ge\sup_{|w|=r}\frac{\|h_w\|_{\infty,r}}
{\|h_w\|_2}\ge\sup_{|w|=r}\frac{|h_w(w)|}{\|h_w\|_2}\\
=\sup_{|w|=r}\sqrt{(1-r^2)^{-n}-\sum_{l=1}^{N_k}|f_l(w)|^2}\\
=\sqrt{(1-r^2)^{-n}-\inf_{|w|=r}\sum_{l=1}^{N_k}|f_l(w)|^2}.
\end{multline*}
В силу леммы~\ref{L2} имеем
$$\inf_{|w|=r}\sum_{l=1}^{N_k}|f_l(w)|^2\le\int_{S^{2n-1}}\sum_{l=1}^{N_k}|f_l(rw)|^2\,d\sigma_n(w)
\le\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}r^{2l}.$$
Таким образом, для любого подпространства $L^{N_k}$
$$\sup_{g\in BH_2(B_n)\cap L^{N_k}}\|g\|_{\infty,r}\ge\sqrt{(1-r^2)^{-n}-
\sum_{l=0}^{k-1}\binom{n+l-1}{n-1}r^{2l}}.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Так как при $n=1$ \ $N_k=k$, то имеет место

\begin{corollary}
При $n=1$ для любого $k\ge0$ справедливы равенства
$$d^k(BH_2,L_{infty,r})=\lambda_k(BH_2,L_{infty,r})=\frac{r^k}{\sqrt{1-r^2}}.$$
\end{corollary}

\bigskip

[1] Т и х о м и р о в В. М. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.~14 (Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1987.-- С.~103--260. \selectlanguage{english}[2] P i n k u s A. $n$-widths in approximation theory.-- Berlin: Springer, 1985. \selectlanguage{russian}[3] П a p ф е н о в О. Г. // Мат. заметки.-- 1985.-- Т.~37, \No~2.-- С.~171--175. \selectlanguage{english}[4] F~i~s~h~e~r~S.~D., M~i~c~c~h~e~1~1~i C. A. // Duke Math. J.-- 1980.-- V.~47, \selectlanguage{russian}\No~4,-- P.~789--801. [5] Ф а р к о в Ю. A. // УМН.-- 1990.-- Т.~45, вып.~5-- С.~197--198.

\bigskip

\noindent Московский авиационный\hfill Поступило в Правление общества 
технологический институт\hfill 17 апреля 1990 г.\\
 им. К.~Э.~Циолковского
\end{document}
