\documentclass[12pt,oneside,draft]{amsbook}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance1700
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
%\renewcommand*{\chaptername}{Глава}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}
\makeatletter \@addtoreset{equation}{section}
\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0pt}{-3.5ex plus -1ex
minus -.2ex}{2.3ex plus.2ex}{\bf\S}}
\makeatother
{\theoremstyle{remark}\newtheorem{example}{\bf Пример}[section]}
{\theoremstyle{remark}\newtheorem{problem}{\bf Задача}[section]}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\begin{document}

\begin{center}\large
МИНОБРНАУКИ РОССИИ\\
\vspace{15pt} \large
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования\\[3pt]
\bf ``МАТИ --- Российский государственный\\[3pt]
технологический университет\\[3pt]
имени К.~Э.~Циолковского''\\[25pt]
\large
Кафедра ``Высшая математика''\\[60pt]

\bf Е.~В.~Введенская, В.~В.~Горбацевич, К.~Ю.~Осипенко\\[50pt]

\bf\Large УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА\\[25PT]

\large Методическое пособие по курсу\\[3pt]
``УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ''\\[3pt]
Часть 2\\[100pt]
Москва 2013
\thispagestyle{empty}
\end{center}

\setcounter{chapter}2
\chapter{Уравнения гиперболического типа}

Уравнения с частными производными второго порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа
$$u_{xx}-u_{yy}=0$$
обычно называют {\it уравнением колебаний струны}.

\setcounter{section}8
\section{Уравнения малых поперечных колебаний струны}

Рассмотрим струну длины $l$, расположенную на оси $Ox$. Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
\begin{enumerate}
\item Колебания струны происходят в плоскости $(x,u)$.
\item Вектор смещения перпендикулярен в любой момент к оси $Ox$. В силу этого процесс можно описать функцией $u(x,t)$, равной отклонению от положения равновесия точки с абсциссой $x$ в момент времени $t$.
\item Струна рассматривается как гибкая, абсолютно упругая нить. Это означает, что, во-первых, напряжения, возникающие в струне, направлены по касательным к ее мгновенному профилю (струна не сопротивляется изгибу) (рис. \ref{P1}). Во-вторых, абсолютная упругость означает справедливость закона Гука, т.е. натяжение струны пропорционально ее удлинению.
\item Струна является однородной, т.е. имеет постоянную линейную плотность $\rho$.
\item Рассматриваются только малые колебания, т.е. величины порядка $u_x^2$ и выше отбрасываются.
\item Предполагается, что на струну действует некоторая внешняя сила, направленная перпендикулярно оси $Ox$, с плотностью
$$g(x,t)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta F}{\Delta x},$$
где $\Delta F$ --- сила, действующая на участок струны длиной $\Delta x$. Например, такова сила тяжести, для нее $\Delta F=g\Delta m=g\rho\Delta x$ и $g(x,t)\equiv g\rho$,
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,100)
\put(20,10){\vector(1,0){190}}
\put(40,0){\vector(0,1){100}}
\put(200,2){$x$}
\put(77,2){$x_1$}
\put(93,2){$x_2$}
\put(30,96){$u$}
\put(26,24){$T_1$}
\put(136,50){$T_2$}
\put(90,58){$F$}
\put(40,10){\circle*{2}}
\put(180,10){\circle*{2}}
\put(80,30,5){\circle*{2}}
\put(95,34){\vector(4,1){60}}
\put(80,10){\circle*{2}}
\put(87,32,5){\circle*{2}}
\put(87,32,5){\vector(0,1){40}}
\put(80,10){\line(0,1){20,5}}
\put(95,34){\line(1,0){60}}
\put(126,36){$\alpha$}
\qbezier(115,34)(117,39)(112,38)
\put(95,10){\circle*{2}}
\put(95,10){\line(0,1){24}}
\put(95,34){\circle*{2}}
\put(80,30,5){\vector(-4,-1){60}}
\put(28,0){$O$}
\qbezier(40,10)(110,60)(180,10)
\end{picture}$$
\caption{}\label{P1}
\end{figure}

При сделанных предположениях можно пренебречь удлинением струны. Действительно, т.к.
$$\sqrt{1+u_x^2}\approx1+\frac12u_x^2,$$
а величиной $u_x^2$ можно пренебречь, то для длины струны имеем
$$L(t)=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+u_x^2}\,dx\approx x_2-x_1.$$
Отсюда (закон Гука) следует, что натяжение струны не зависит от времени. Покажем, что натяжение во всех точках струны можно считать постоянным.

Выделим участок струны $[x_1,x_2]$. На него действуют силы натяжения, внешняя сила $F$ и силы инерции. Сумма сил натяжения и внешней силы должна равняться силе инерции
\begin{equation}\label{E1}
T_1+T_2+F=ma.
\end{equation}
Сумма проекций всех сил на ось $Ox$ должна быть равна нулю, т.к. рассматриваются поперечные колебания,
$$(T_1)_x+(T_2)_x=0.$$
Для проекций сил натяжения на ось $Ox$ имеем
\begin{gather*}
(T_1)_x=-T(x_1)\cos\alpha_1=-\frac{T(x_1)}{\sqrt{1+u_x^2}}\approx-T(x_1),\\
(T_2)_x=-T(x_2)\cos\alpha_2=\frac{T(x_2)}{\sqrt{1+u_x^2}}\approx T(x_2).
\end{gather*}
Следовательно, $T(x_1)=T(x_2)=T_0$, т.е. сила натяжения одинакова при всех $x$.

Рассмотрим теперь проекцию равенства \eqref{E1} на ось $Ou$
\begin{equation}\label{E2}
-T_0\sin\alpha_1+T_0\sin\alpha_2+F=ma.
\end{equation}
Учтем, что из предположения 5 следует
$$\sin\alpha\approx\tg\alpha=u_x.$$
Кроме того, $F\approx g(x,t)(x_2-x_1)$, $m=\rho(x_2-x_1)$ и $a=u_{tt}$. Положим $x_1=x$, а $x_2=x+\Delta x$. Тогда равенство \eqref{E2} можно записать в виде
\begin{equation}\label{E3}
-T_0u_x(x,t)+T_ou_x(x+\Delta x,t)+g(x,t)\Delta x=\rho\Delta xu_{tt}.
\end{equation}
По теореме Лагранжа
$$u_x(x+\Delta x,t)-u_x(x,t)=u_{xx}(x+\theta\Delta x,t)\Delta x,\quad0<\theta<1.$$
Учитывая последнее равенство и переходя к пределу при $\Delta x\to0$ в равенстве \eqref{E3}, будем иметь
$$T_0u_{xx}+g(x,t)=\rho u_{tt}.$$
Введя обозначения
$$a=\sqrt{\frac{T_0}\rho},\quad f(x,t)=\frac1\rho g(x,t),$$
получаем уравнение
\begin{equation}\label{E4}
u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t).
\end{equation}
При отсутствии внешней силы получим однородное уравнение
\begin{equation}\label{E5}
u_{tt}=a^2u_{xx}.
\end{equation}

Если для плоской пленки (мембраны) считать выполненными условия, аналогичные условиям 1.--6., то уравнение поперечных колебаний мембраны запишется в виде
\begin{equation}\label{E6}
u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f(x,y,t),
\end{equation}
здесь $u(x,y,t)$ --- отклонение точек мембраны.

Уравнения \eqref{E4}--\eqref{E6} называются волновыми уравнениями. В трехмерном случае однородное волновое уравнение имеет вид
$$u_{tt}=a^2((u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$$
или, используя трехмерный оператор Лапласа
$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},$$
$$u_{tt}=a^2\Delta u.$$
Это уравнение описывает колебание газа, распространение звуковых волн (уравнение акустики).

\section{Начальные и граничные условия. Краевые задачи}

Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому для однозначной характеристики процесса, описываемого уравнением с частными производными, необходимо наложить еще некоторые дополнительные условия.

Рассмотрим задачу о поперечных колебаниях струны. Этот процесс, описываемый, как было показано, уравнением \eqref{E4}, зависит от начальной формы струны и распределения скоростей вдоль нее. Условия начальной формы и распределения скоростей носят название {\it начальных условий}:
$$\begin{cases}u(x,t_0)=\varphi(x),&\\
u_t(x,t_0)=\psi(x).\end{cases}$$
Эти условия аналогичны условиям, задаваемым в задаче Коши (см.~\S2).

Процесс колебания зависит также от поведения струны на ее концах. Поэтому, кроме начальных условий, задают еще {\it граничные условия}. Типы граничных условий довольно разнообразны. Здесь будут рассмотрены  три типа таких условий.

{\bf 1. Граничное условие 1-го рода.} Задан закон движения конца струны (например, левого):
$$u(0,t)=\mu(t).$$
В частности, при $\mu(t)\equiv0$ конец закреплен.

{\bf 2. Граничное условие 2-го рода.} Предположим, что левый конец струны свободен. Тогда для участка струны от $0$ до $\Delta x$ (рис. \ref{P2}) уравнение \eqref{E1} запишется в виде
$$T_0+F=ma.$$

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,100)
\put(70,10){\vector(1,0){190}}
\put(80,0){\vector(0,1){100}}
\put(256,0){$x$}
\put(180,0){$l$}
\put(70,0){$O$}
\put(86,0){$\Delta x$}
\put(86,96){$u$}
\put(136,50){$T_0$}
\put(90,58){$F$}
\put(180,10){\circle*{2}}
\put(95,34){\vector(4,1){60}}
\put(80,10){\circle*{2}}
\put(87,32,5){\circle*{2}}
\put(87,32,5){\vector(0,1){40}}
\put(80,10){\line(0,1){20,5}}
\put(95,34){\line(1,0){60}}
\put(126,36){$\alpha$}
\qbezier(115,34)(117,39)(112,38)
\put(95,10){\circle*{2}}
\put(95,10){\line(0,1){24}}
\put(95,34){\circle*{2}}
\qbezier(80,30.5)(118,45)(180,10)
\end{picture}$$
\caption{}\label{P2}
\end{figure}

Рассмотрим проекцию этого равенства на ось $Ou$
$$T_0\sin\alpha+F=ma.$$
В силу того, что $\sin\alpha\approx\tg\alpha=u_x$, $F\approx g(0,t)\Delta x$, $m=\rho\Delta x$ и $a=u_{tt}$, имеем
$$T_0u_x+g(0,t)\Delta x=\rho\Delta xu_{tt}.$$
Отсюда при $\Delta x\to0$ получаем
$$u_x(0,t)=0.$$
В общем случае, когда на конец действует некоторая сила, граничное условие 2-го рода будет иметь вид
$$u_x(0,t)=\nu(t).$$

{\bf 3. Граничное условие 3-го рода.} Если на конец струны действует упругая сила, то она, согласно закону Гука, пропорциональна смещению $u(0,t)$. Граничное условие в этом случае имеет вид
$$u_x(0,t)=h_1u(0,t),\quad h_1>0.$$
В случае правого конца
$$u_x(l,t)=-h_2u(l,t),\quad h_2>0.$$
Если концы струны перемещаются и их отклонения от начального положения задаются функциями $\theta_1(t)$ на левом конце и $\theta_2(t)$ на правом конце, то граничные условия принимают вид
\begin{gather*}
u_x(0,t)=h_1(u(0,t)-\theta_1(t)),\\
u_x(l,t)=-h_2(u(l,t)-\theta_2(t)).
\end{gather*}

Возможны различные комбинации перечисленных типов граничных условий.

Если функции $\mu(t)$, $\nu(t)$, $\theta_1(t)$ или $\theta_2(t)$ равны нулю, то соответствующие граничные условия называются {\it однородными}.

Сформулируем теперь {\it первую краевую задачу}. Требуется найти функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую для $0\le x\le l$, $t\ge0$ уравнению
\begin{equation}\label{E11}
u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t),
\end{equation}
начальным условиям
\begin{equation}\label{E12}
\begin{aligned}
u(x,0)&=\varphi(x),\\
u_t(x,0)&=\psi(x),
\end{aligned}
\end{equation}
и граничным условиям
\begin{align*}
u(0,t)&=\mu_1(t),\\
u(l,t)&=\mu_2(t).
\end{align*}

Если вместо граничных значений 1-го рода рассматриваются граничные условия 2-го или 3-го рода, то соответствующие задачи называются {\it второй} или {\it третьей краевой задачами}. Краевая задача называется {\it смешанной}, если граничные условия при $x=0$ и $x=l$ имеют различные типы.

Вопрос о существовании решений краевых задач решается, как правило, указанием метода нахождения решений, что и будет сделано ниже. Что касается единственности решения, то имеет место следующая теорема, которую приведем без доказательства.

\begin{theorem}
Существует только одна функция, являющаяся решением первой, второй или третьей краевых задач, среди всех функций $u(x,t)$, непрерывных вместе с производными $u_{xx}$, $u_{tt}$, $u_{xt}$ на отрезке $0\le x\le l$ при $t\ge0$.
\end{theorem}

Если влияние границ несущественно, струну считают неограниченной, и можно рассмотреть {\it задачу с начальными условиями для неограниченной струны}, которая формулируется так: найти решение уравнения \eqref{E11} для $-\infty<x<\infty$, $t\ge0$, с начальными условиями \eqref{E12}.

Если же влияние лишь одного из концов несущественно, то рассматривается {\it задача для полуограниченной струны}. В случае, когда влияние правого конца несущественно, она формулируется так: найти решение уравнения \eqref{E11} для $0\le x<\infty$, $t\ge0$, с начальными условиями \eqref{E12} и граничным условием
$$u(0,t)=\mu(t).$$

\section{Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера}\label{S11}

Рассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной струны:
\begin{gather}\label{E21}
u_{tt}-a^2u_{xx}=0,\\
\begin{aligned}\label{E22}
\begin{cases}u(x,0)=\varphi(x),&\\
u_t(x,0)=\psi(x).\end{cases}
\end{aligned}
\end{gather}
Приведем уравнение \eqref{E21} к каноническому виду (см.~\S\S7,8). Характеристическое уравнение $(8.2)$ имеет в этом случае вид
$$\lambda^2-a^2=0.$$
Следовательно, прямые
$$x=at+C_1,\quad x=-at+C_2,$$
являются характеристиками. Вводя новые переменные
$$\xi=x-at,\quad\eta=x+at,$$
уравнение \eqref{E21} преобразуется к виду
$$u_{\xi\eta}=0.$$

Общее решение этого уравнения записывается в виде (см.~пример 1.3)
$$u(\xi,\eta)=f_1(\xi)+f_2(\eta).$$
Таким образом, функция
\begin{equation}\label{E23}
u(x,t)=f_1(x-at)+f_2(x+at)
\end{equation}
является общим решением уравнения \eqref{E21}.

Определим функции $f_1$ и $f_2$ так, чтобы удовлетворялись начальные условия \eqref{E22}
\begin{equation}\label{E24}
\begin{aligned}
u(x,0)&=f_1(x)+f_2(x)=\varphi(x),\\
u_t(x,0)&=-af_1'(x)+af_2'(x)=\psi(x).
\end{aligned}
\end{equation}
Интегрируя второе равенство, получаем
$$f_1(x)-f_2(x)=-\frac1a\int_{x_0}^x\psi(y)\,dy,$$
где $x_0$ --- некоторая постоянная. Учитывая первое равенство в \eqref{E24}, находим
\begin{gather*}
f_1(x)=\frac12\varphi(x)-\frac1{2a}\int_{x_0}^x\psi(y)\,dy,\\
f_2(x)=\frac12\varphi(x)+\frac1{2a}\int_{x_0}^x\psi(y)\,dy.
\end{gather*}

Подставляя найденные функции в \eqref{E23}, имеем
\begin{equation}\label{E25}
u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}2+\frac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(y)\,dy.
\end{equation}
Полученная формула носит название {\it формулы Даламбера}. Нетрудно проверить, что функция $u(x,t)$, определенная формулой Даламбера, удовлетворяет (если потребовать от функции $\varphi$ двукратной, а от функции $\psi$ однократной дифференцируемости) уравнению \eqref{E21} и начальным условиям \eqref{E22}. Тем самым решен вопрос о существовании решения. Единственность решения следует в данном случае, например, из того, что, как было доказано, всякое решение задачи должно удовлетворять равенству \eqref{E25}.

Рассмотрим физическую (волновую) интерпретацию общего решения \eqref{E23}. Функцию $f(x-at)$ можно интерпретировать как волну, распространяющуюся вправо со скоростью $a$. Действительно, при $t=1$ график функции $f(x-a)$ получается из графика функции $f(x)$, соответствующего $t=0$, сдвигом на $a$ единиц вправо (рис.~\ref{P3}).

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,100)
\put(20,10){\vector(1,0){260}}
\put(40,0){\vector(0,1){100}}
\put(276,0){$x$}
\put(30,96){$y$}
\put(40,10){\circle*{2}}
\put(28,0){$O$}
\qbezier(80,30)(110,150)(140,30)
\qbezier(60,10)(74,10)(80,30)
\qbezier(140,30)(146,10)(160,10)
\qbezier(125,10)(139,10)(145,30)
\qbezier(145,30)(175,150)(205,30)
\qbezier(205,30)(211,10)(225,10)
\put(100,96){$f(x)$}
\put(154,96){$f(x\!-\!a)$}
\put(54,0){$x_1$}
\put(112,0){$x_1\!+\!a$}
\put(150,0){$x_2$}
\put(204,0){$x_2\!+\!a$}
\end{picture}$$
\caption{}\label{P3}
\end{figure}

Аналогично, функция $f(x+at)$ представляет волну, распространяющуюся влево со скоростью $a$. Таким образом, общее решение \eqref{E23} есть суперпозиция (наложение) двух волн, одна из которых распространяется направо со скоростью $a$, а другая --- налево с той же скоростью.

Рассмотрим фазовую плоскость --- плоскость переменных $(x,t)$ и некоторую точку $M(x_0,t_0)$ на ней. Проведем из этой точки характеристики $x-at=x_0-at_0$, $x+at=x_0+at_0$, которые пересекут ось $Ox$ в точках $P(x_0-at_0,0)$ и $Q(x_0+at_0,0)$ (рис.~\ref{P4}).

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,100)
\put(20,10){\vector(1,0){260}}
\put(100,0){\vector(0,1){100}}
\put(276,0){$x$}
\put(90,96){$t$}
\put(100,10){\circle*{2}}
\put(88,0){$O$}
\put(50,10){\line(3,2){100}}
\put(220,10){\line(-3,2){100}}
\put(50,10){\circle*{2}}
\put(220,10){\circle*{2}}
\put(135,66.7){\circle*{2}}
\put(15,0){$P(x_0\!-\!at_0,0)$}
\put(185,0){$Q(x_0\!+\!at_0,0)$}
\put(152,70){$M(x_0,t_0)$}
\end{picture}$$
\caption{}\label{P4}
\end{figure}

Запишем теперь формулу Даламбера \eqref{E25} в виде
$$u(M)=\frac{\varphi(P)+\varphi(Q)}2+\frac1{2a}\int_{PQ}\psi(y)\,dy.$$
Отсюда видно, что начальные данные, заданные вне отрезка $PQ$ не оказывают влияния на значения функции $u$ в точке $M$. Это значение зависит лишь от значений функции $\varphi$ в точках $P$ и $Q$ и значений функции $\psi$ на отрезке $PQ$.

Решение \eqref{E25} можно представить в виде $u(x,t)=u_1(x,t)+u_2(x,t)$, где
\begin{align*}
u_1(x,t)&=\frac12(\varphi(x-at)+\varphi(x+at)),\\
u_2(x,t)&=\Phi(x+at)-\Phi(x-at),\\
\Phi(x)&=\frac1{2a}\int_{x_0}^x\psi(y)\,dy.
\end{align*}
Функция $u_1(x,t)$ представляет возмущение струны, создаваемое начальным отклонением, а $u_2(x,t)$ --- начальной скоростью точек струны.

\begin{example}\label{Ex11_1}
Пусть начальная скорость равна нулю ($\psi(x)=0$), а график начального отклонения $\varphi(x)$ задается в виде равнобедренного треугольника на отрезке $[x_1,x_2]$. Тогда
$$u(x,t)=u_1(x,t)=\frac12(\varphi(x-at)+\varphi(x+at)),$$
т.е. отклонение $u(x,t)$ есть сумма ``левой'' и ``правой'' бегущих волн, начальная форма каждой из которых определяется функцией $\dfrac12\varphi(x)$. На рис.~\ref{P5} даны последовательные положения струны через промежутки времени $\Delta t=\dfrac{x_2-x_1}{8a}$.

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,450)
\put(-10,10){\vector(1,0){340}}
\put(150,0){\vector(0,1){430}}
\put(156,422){$u$}
\put(10,354){$t=0$}
{\thicklines
\put(37.5,10){\line(2,1){50}}
\put(137.5,10){\line(-2,1){50}}
\put(162.5,10){\line(2,1){50}}
\put(262.5,10){\line(-2,1){50}}}
\put(-10,70){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(50,70){\line(2,1){50}}
\put(150,70){\line(-2,1){50}}
\put(150,70){\line(2,1){50}}
\put(250,70){\line(-2,1){50}}}
\put(-10,140){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(62.5,140){\line(2,1){50}}
\put(112.5,165){\line(2,-1){25}}}
\put(137.5,152.5){\line(2,-1){25}}
\put(162.5,152.5){\line(-2,-1){25}}
{\thicklines
\put(162.5,152.5){\line(2,1){25}}
\put(137.5,152.5){\line(1,0){25}}
\put(187.5,165){\line(2,-1){50}}}
\put(-10,210){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(75,210){\line(2,1){50}}}
\put(125,235){\line(2,-1){50}}
\put(125,210){\line(2,1){50}}
{\thicklines
\put(175,235){\line(2,-1){50}}
\put(125,235){\line(1,0){50}}}
\put(-10,280){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(87.5,280){\line(2,1){25}}}
\put(112.5,292.5){\line(2,1){25}}
\put(137.5,305){\line(2,-1){50}}
\put(112.5,280){\line(2,1){50}}
\put(162.5,305){\line(2,-1){25}}
{\thicklines
\put(187.5,292.5){\line(2,-1){25}}
\put(112.5,292.5){\line(1,1){25}}
\put(137.5,317.5){\line(1,0){25}}
\put(162.5,317.5){\line(1,-1){25}}}
\put(-10,350){\vector(1,0){340}}
\put(100,350){\line(2,1){50}}
\put(150,375){\line(2,-1){50}}
{\thicklines
\put(100,350){\line(1,1){50}}
\put(150,400){\line(1,-1){50}}}
\put(96,342){$x_1$}
\put(196,342){$x_2$}
\put(324,342){$x$}
\end{picture}$$
\caption{}\label{P5}
\end{figure}
\end{example}

\begin{example}
Пусть начальное отклонение $\varphi(x)=0$, а начальная скорость отлична от нуля только на отрезке $[x_1,x_2]$, где равна постоянному значению $\psi_0$ (т.е. к участку $[x_1,x_2]$ прикладывается импульс, например, с помощью быстрого удара по струне молоточком). В этом случае
$$u(x,t)=u_2(x,t)=\Phi(x+at)-\Phi(x-at).$$
Положим $x_0=0$, тогда
$$\Phi(x)=\frac1{2a}\int_0^x\psi(y)\,dy=\begin{cases}0,&x<x_1,\\
\dfrac{x-x_1}{2a}\psi_0,&x_1\le x\le x_2,\\[6pt]
\dfrac{x_2-x_1}{2a}\psi_0,&x>x_2.\end{cases}$$
Уклонение точек струны $u(x,t)$ есть разность ``левой'' и ``правой'' волн с профилем $\Phi(x)$ в начальный момент. Последовательные положения струны через промежутки времени $\Delta t=\dfrac{x_2-x_1}{8a}$ даны на рис.~\ref{P6}

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,410)
\put(-10,10){\vector(1,0){340}}
\put(150,0){\vector(0,1){405}}
\put(156,397){$u$}
\put(10,354){$t=0$}
{\thicklines
\put(37.5,10){\line(4,1){100}}
\put(137.5,35){\line(1,0){25}}
\put(162.5,35){\line(4,-1){100}}}
\put(162.5,35){\line(1,0){160}}
\put(-10,70){\vector(1,0){340}}
\put(162.5,10){\line(4,-1){100}}
\put(262.5,-15){\line(1,0){60}}
{\thicklines
\put(50,70){\line(4,1){100}}
\put(150,95){\line(4,-1){100}}}
\put(-10,140){\vector(1,0){340}}
\put(150,95){\line(1,0){172.5}}
\put(150,70){\line(4,-1){100}}
\put(250,45){\line(1,0){72.5}}
{\thicklines
\put(62.5,140){\line(4,1){75}}
\put(137.5,158.75){\line(1,0){25}}
\put(162.5,158.75){\line(4,-1){75}}}
\put(137.5,158.75){\line(4,1){25}}
\put(162.5,165){\line(1,0){160}}
\put(137.5,140){\line(4,-1){100}}
\put(237.5,115){\line(1,0){85}}
{\thicklines
\put(75,210){\line(4,1){50}}
\put(125,222.5){\line(1,0){50}}
\put(175,222.5){\line(4,-1){50}}
}
\put(125,222.5){\line(4,1){50}}
\put(175,235){\line(1,0){147.5}}
\put(125,210){\line(4,-1){100}}
\put(225,185){\line(1,0){97.5}}
\put(-10,210){\vector(1,0){340}}
\put(-10,280){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(87.5,280){\line(4,1){25}}
\put(112.5,286.25){\line(1,0){75}}
\put(187.5,286.25){\line(4,-1){25}}
}
\put(112.5,286.25){\line(4,1){75}}
\put(187.5,305){\line(1,0){135}}
\put(112.5,280){\line(4,-1){100}}
\put(212.5,255){\line(1,0){110}}
\put(-10,350){\vector(1,0){340}}
\put(100,350){\line(4,1){100}}
\put(200,375){\line(1,0){122.5}}
\put(100,350){\line(4,-1){100}}
\put(200,325){\line(1,0){122.5}}
{\thicklines
\put(100,350){\line(1,0){100}}
}
\put(96,342){$x_1$}
\put(196,342){$x_2$}
\put(324,342){$x$}
\end{picture}$$
\vspace{2pt}
\caption{}\label{P6}
\end{figure}

\end{example}

Профиль струны при $t>4\Delta t$ имеет форму трапеции, расширяющейся равномерно с течением времени.

Заметим, что функции $u(x,t)$, изображенные на рис.~\ref{P5}, \ref{P6} не могут являться решением в обычном смысле уравнения \eqref{E21}, т.к. они не везде являются дважды дифференцируемыми. Строго говоря, надо было рассматривать функции, у которых ``сглажены углы''. Однако мы пренебрегли этим обстоятельством для упрощения рисунков.

\section{Полуограниченная струна. Метод продолжений}

Рассмотрим следующую задачу для полуограниченной струны: найти решение уравнения \eqref{E21} при $x\ge0$, $t\ge0$, удовлетворяющее начальным условиям \eqref{E22} и граничному условию
\begin{equation}\label{E31}
u(0,t)=0.
\end{equation}

Функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ в начальных условиях \eqref{E22} заданы теперь лишь при $x\ge0$. Продолжим их нечетным образом, положим
\begin{align*}
\Phi(x)&=\begin{cases}\varphi(x),&x\ge0,\\
-\varphi(-x),&x<0,\end{cases}\\
\Psi(x)&=\begin{cases}\psi(x),&x\ge0,\\
-\psi(-x),&x<0.\end{cases}
\end{align*}
Будем считать, что полученная после этого продолжения функция $\Phi(x)$ является двукратно дифференцируемой, а функция $\Psi(x)$ --- однократно дифференцируемой на всей числовой оси. Для этого, кроме соответствующих свойств функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, достаточно потребовать выполнения равенств $\varphi(0)=\psi(0)=0$, $\varphi''(0)=0$ (заметим, что условие $\varphi(0)=\psi(0)=0$ вытекает из \eqref{E31}).

Рассмотрим функцию
\begin{equation}\label{E32}
u(x,t)=\frac{\Phi(x-at)+\Phi(x+at)}2+\frac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\Psi(y)\,dy.
\end{equation}
В силу того, что функция $u(x,t)$ представлена формулой Даламбера, она удовлетворяет уравнению \eqref{E21} при $-\infty<x<\infty$, $t\ge0$, а поэтому, в частности, и при $x\ge0$, $t\ge0$. Нетрудно убедиться, что при $x=0$ выполнены начальные условия \eqref{E32}.

При $x=0$ имеем
$$u(0,t)=\frac{\Phi(-at)+\Phi(at)}2+\frac1{2a}\int_{-at}^{at}\Psi(y)\,dy.$$
Из того, что $\Phi(x)$ --- нечетная функция, следует равенство $\Phi(-at)=-\Phi(at)$. Поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, равен нулю, имеем
$$\int_{-at}^{at}\Psi(y)\,dy=0.$$
Отсюда следует, что для функции $u(x,t)$, определенной равенством \eqref{E32}, выполняется граничное условие \eqref{E31}. Тем самым доказано, что функция $u(x,t)$ является решением поставленной задачи.

Рассмотрим аналогичную задачу для свободного конца струны, расположенного в точке $x=0$, т.е. граничное условие \eqref{E31} заменим на условие
\begin{equation}\label{E33}
u_x(0,t)=0.
\end{equation}
В этом случае продолжим на всю прямую функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ четным образом
\begin{align*}
\Phi(x)&=\begin{cases}\varphi(x),&x\ge0,\\
\varphi(-x),&x<0,\end{cases}\\
\Psi(x)&=\begin{cases}\psi(x),&x\ge0,\\
\psi(-x),&x<0.\end{cases}
\end{align*}
Функция $u(x,t)$, определенная формулой Даламбера \eqref{E32}, будет решением поставленной задачи, если доказать выполнение граничного условия \eqref{E33}.

Действительно,
$$u_x(0,t)=\frac{\Phi'(-at)+\Phi'(at)}2+\frac1{2a}(\Psi(at)-\Psi(-at)).$$
Из четности $\Psi(x)$ следует, что $\Psi(at)=\Psi(-at)$. Кроме того, геометрически очевидно, что производная четной функции является нечетной функцией (это также видно из равенств $\Phi'(x)=(\Phi(-x))'=-\Phi'(-x)$), и следовательно, $\Phi'(at)=-\Phi'(-at)$. Тем самым функция $u(x,t)$ удовлетворяет граничному условию \eqref{E33}.

Итак, для решения задачи о колебании полуограниченной струны с граничными условиями \eqref{E32} или \eqref{E33} надо продолжить начальные данные на всю прямую нечетным или четным образом, соответственно, и воспользоваться формулой Даламбера.

\begin{example}\label{Ex12_1}
Рассмотрим задачу о колебании полуограниченной струны с граничным условием $u(0,t)=0$ (т.е. закрепленной в точке $x=0$) и начальными условиями: $\psi(x)=0$, а $\varphi(x)$ отлична от нуля в промежутке $[x_1,x_2]$, $x_2>x_1>0$, и ее график имеет там вид равнобедренного треугольника (см. замечание в конце \S~11). Для решения этой задачи надо начальные данные продолжить нечетно на всю прямую. Процесс распространения волн вначале происходит так же , как и на неограниченной прямой. Заданное отклонение разбивается на две волны, движущиеся в противоположные стороны с постоянной скоростью (см. пример~\ref{Ex11_1}). Но это происходит лишь до тех пор, пока полуволна, идущая налево, не дойдет до точки $x=0$. В этот момент с левой стороны, на которой происходили аналогичные процессы, к точке $x=0$ подходит полуволна с ``обратной фазой''. Дальнейший процесс  изображен на рис.~\ref{P7} с $\Delta t=\dfrac{x_2-x_1}{8a}$.

\begin{figure}
$$\begin{picture}(300,500)
\put(-10,10){\vector(1,0){340}}
\put(90,0){\vector(0,1){500}}
\put(96,492){$u$}
\put(0,10){\line(2,1){40}}
\put(40,30){\line(2,-1){40}}
{\thicklines
\put(100,10){\line(2,-1){40}}
\put(140,-10){\line(2,1){40}}
\put(280,10){\line(2,1){40}}}
\put(-10,60){\vector(1,0){340}}
\put(10,60){\line(2,1){40}}
\put(50,80){\line(2,-1){40}}
{\thicklines
\put(90,60){\line(2,-1){40}}
\put(130,40){\line(2,1){40}}
\put(270,60){\line(2,1){40}}
\put(310,80){\line(2,-1){10}}}
\put(-10,110){\vector(1,0){340}}
\put(20,110){\line(2,1){40}}
\put(60,130){\line(2,-1){40}}
\put(80,110){\line(2,-1){20}}
{\thicklines
\put(90,110){\line(1,-1){10}}
\put(100,100){\line(2,-1){20}}
\put(120,90){\line(2,1){40}}
\put(260,110){\line(2,1){40}}
\put(300,130){\line(2,-1){20}}}
\put(30,160){\line(2,1){40}}
\put(70,180){\line(2,-1){40}}
\put(70,160){\line(2,-1){40}}
{\thicklines
\put(90,160){\line(1,-1){20}}
\put(110,140){\line(2,1){40}}
\put(250,160){\line(2,1){40}}
\put(290,180){\line(2,-1){30}}
}
\put(-10,160){\vector(1,0){340}}
\put(-10,210){\vector(1,0){340}}
\put(40,210){\line(2,1){40}}
\put(80,230){\line(2,-1){40}}
\put(60,210){\line(2,-1){40}}
\put(100,190){\line(2,1){20}}
{\thicklines
\put(120,200){\line(2,1){20}}
\put(90,210){\line(1,-1){10}}
\put(100,200){\line(1,0){20}}
\put(240,210){\line(2,1){40}}
\put(280,230){\line(2,-1){40}}}
\put(50,260){\line(2,1){40}}
\put(90,280){\line(2,-1){40}}
\put(50,260){\line(2,-1){40}}
\put(90,240){\line(2,1){40}}
\put(-10,260){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(90,260){\line(1,0){40}}
\put(230,260){\line(2,1){40}}
\put(270,280){\line(2,-1){40}}}
\put(-10,310){\vector(1,0){340}}
\put(60,310){\line(2,1){40}}
\put(100,330){\line(2,-1){40}}
\put(40,310){\line(2,-1){40}}
\put(80,290){\line(2,1){40}}
{\thicklines
\put(120,320){\line(2,-1){20}}
\put(90,310){\line(1,1){10}}
\put(100,320){\line(1,0){20}}
\put(220,310){\line(2,1){40}}
\put(260,330){\line(2,-1){40}}}
\put(-10,360){\vector(1,0){340}}
\put(70,360){\line(2,1){40}}
\put(30,360){\line(2,-1){40}}
\put(70,340){\line(2,1){40}}
{\thicklines
\put(110,380){\line(2,-1){40}}
\put(90,360){\line(1,1){20}}
\put(210,360){\line(2,1){40}}
\put(250,380){\line(2,-1){40}}}
\put(-10,410){\vector(1,0){340}}
\put(80,410){\line(2,1){40}}
\put(20,410){\line(2,-1){40}}
\put(60,390){\line(2,1){40}}
{\thicklines
\put(120,430){\line(2,-1){40}}
\put(200,410){\line(2,1){40}}
\put(240,430){\line(2,-1){40}}
\put(90,410){\line(1,1){10}}
\put(100,420){\line(2,1){20}}}
\put(-10,460){\vector(1,0){340}}
\put(10,460){\line(2,-1){40}}
\put(50,440){\line(2,1){40}}
{\thicklines
\put(190,460){\line(2,1){40}}
\put(230,480){\line(2,-1){40}}
\put(90,460){\line(2,1){40}}
\put(130,480){\line(2,-1){40}}
}
\put(322,450){$x$}
\end{picture}$$
\vspace{2pt}
\caption{}\label{P7}
\end{figure}
\end{example}

\begin{example}
Пусть в примере \ref{Ex12_1} в точке $x=0$ свободный конец, т.е. задано другое граничное условие: $u_x(0,t)=0$. Тогда начальные данные надо продолжить четным образом на всю прямую. До момента времени, начиная с которого даны изображения на рис.~\ref{P7}, процессы в рассматриваемых примерах будут проходить одинаково. Затем картина для случая свободного конца будет отличаться от поведения струны с закрепленным концом. Эти отличия можно проследить на рис.~\ref{P8}, где по-прежнему $\Delta t=\dfrac{x_2-x_1}{8a}$.

\begin{figure}
$$\begin{picture}(300,260)
\put(90,0){\vector(0,1){250}}
\put(96,242){$u$}
\put(50,10){\line(2,1){40}}
\put(90,30){\line(2,-1){40}}
\put(-10,10){\vector(1,0){340}}
{\thicklines
\put(230,10){\line(2,1){40}}
\put(270,30){\line(2,-1){40}}
\put(90,50){\line(1,-1){40}}}
\put(-10,60){\vector(1,0){340}}
\put(40,60){\line(2,1){40}}
\put(80,80){\line(2,-1){40}}
\put(60,60){\line(2,1){40}}
\put(100,80){\line(2,-1){40}}
{\thicklines
\put(220,60){\line(2,1){40}}
\put(260,80){\line(2,-1){40}}
\put(90,90){\line(1,0){10}}
\put(100,90){\line(1,-1){20}}
\put(120,70){\line(2,-1){20}}}
\put(-10,110){\vector(1,0){340}}
\put(30,110){\line(2,1){40}}
\put(70,130){\line(2,-1){40}}
\put(70,110){\line(2,1){40}}
{\thicklines
\put(110,130){\line(2,-1){40}}
\put(90,130){\line(1,0){20}}
\put(210,110){\line(2,1){40}}
\put(250,130){\line(2,-1){40}}}
\put(-10,160){\vector(1,0){340}}
\put(20,160){\line(2,1){40}}
\put(60,180){\line(2,-1){40}}
\put(80,160){\line(2,1){40}}
{\thicklines
\put(90,170){\line(1,0){10}}
\put(100,170){\line(2,1){20}}
\put(120,180){\line(2,-1){40}}
\put(200,160){\line(2,1){40}}
\put(240,180){\line(2,-1){40}}}
\put(-10,210){\vector(1,0){340}}
\put(10,210){\line(2,1){40}}
\put(50,230){\line(2,-1){40}}
{\thicklines
\put(90,210){\line(2,1){40}}
\put(130,230){\line(2,-1){40}}
\put(190,210){\line(2,1){40}}
\put(230,230){\line(2,-1){40}}}
\put(322,200){$x$}
\put(-4,218){$t_1$}
\put(-4,168){$t_2$}
\put(-4,118){$t_3$}
\put(-4,68){$t_4$}
\put(-4,18){$t_5$}
\end{picture}$$
\vspace{2pt}
\caption{}\label{P8}
\end{figure}

После момента времени $t_5$ правая полуволна продолжает движение вправо, а левая полуволна принимает те же последовательные  положения, что и в моменты $t_4$, $t_3$, $t_2$, $t_1$, а затем начинает движение вправо.
\end{example}

\begin{problem}[для самостоятельного решения]
Нарисовать рисунки, аналогичные рисункам~\ref{P7}, \ref{P8}, для полуограниченной струны с начальными условиями: $\varphi(x)=0$,
$$\psi(x)=\begin{cases}\psi_0,&x\in[x_1,x_2],\\
0,&x\notin[x_1,x_2],\end{cases}\quad0<x_1<x_2.$$
Рассмотреть случаи свободного и закрепленного концов.
\end{problem}

\section{Ограниченная струна. Метод Фурье}

Одним из наиболее распространенных точных методов решения уравнений с частными производными является {\it метод разделения переменных\/} или {\it метод Фурье}. Мы рассмотрим этот метод на примере решения задачи о колебании струны, закрепленной на обоих концах.

Будем искать решение уравнения
\begin{equation}\label{E41}
u_{tt}=a^2u_{xx},
\end{equation}
удовлетворяющее начальным условиям
\begin{equation}\label{E42}
\begin{cases}u(x,0)=\varphi(x),&\\
u_t(x,0)=\psi(x),\end{cases}
\end{equation}
и однородным граничным условиям
\begin{equation}\label{E43}
\begin{cases}u(0,t)=0,&\\
u(l,t)=0.\end{cases}
\end{equation}

Попытаемся сначала найти решение уравнения \eqref{E41}, не равное тождественно нулю, удовлетворяющее граничным условиям \eqref{E43} и представимое в виде
\begin{equation}\label{E44}
u(x,t)=X(x)T(t).
\end{equation}
Подставляя функцию $u(x,t)$, представимую в виде \eqref{E44}, в уравнение \eqref{E41}, имеем для функций $X(x)$ и $T(t)$ уравнение
$$X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t).$$
Разделив на $a^2X(x)T(t)$, получаем
\begin{equation}\label{E45}
\frac1{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
\end{equation}

Фиксируя некоторое значение $x$ и меняя $t$ (или наоборот), получим, что правые и левые части равенства \eqref{E45} сохраняют постоянное значение, которое обозначим для удобства через $-\lambda$ (относительно знака $\lambda$ пока ничего не предполагается)
$$\frac1{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.$$

Таким образом, для $X(x)$ и $T(t)$ получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
\begin{gather}
X''(x)+\lambda X(x)=0,\label{E46}\\
T''(t)+a^2\lambda T(t)=0.\label{E47}
\end{gather}
Граничные условия \eqref{E43} дают
\begin{gather*}
u(0,t)=X(0)T(t)=0,\\
u(l,t)=X(l)T(t)=0.
\end{gather*}
Отсюда следует, что функция $X(x)$ должна удовлетворять условиям
\begin{equation}\label{E48}
X(0)=X(l)=0,
\end{equation}
т.к. иначе $T(t)\equiv0$, и, значит, $u(x,t)\equiv0$, а мы ищем решение, отличное от тождественного нуля.

Тем самым мы приходим к следующей задаче (краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения):
\begin{equation}\label{E49}
\begin{cases}
X''(x)+\lambda X(x)=0,&\\
X(0)=X(l)=0.&
\end{cases}
\end{equation}
Значения параметра $\lambda$, при которых задача имеет нетривиальное решение, называются {\it собственными значениями}, а сами решения --- {\it собственными функциями}. Задача \eqref{E49} носит название {\it задачи Штурма--Лиувилля}.

Рассмотрим теперь следующие три случая:

1. Пусть $\lambda<0$. Тогда общее решение уравнения \eqref{E46} имеет вид
$$X(x)=C_1e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}x}.$$
Условие \eqref{E48} дает
\begin{gather*}
C_1+C_2=0,\\
C_1e^{\sqrt{-\lambda}l}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}l}=0,
\end{gather*}
или
\begin{gather*}
C_1=-C_2,\\
C_1\left(e^{\sqrt{-\lambda}l}-e^{-\sqrt{-\lambda}l}\right)=0.
\end{gather*}
Поскольку $e^{\sqrt{-\lambda}l}\ne e^{-\sqrt{-\lambda}l}$, то $C_1=C_2=0$ и $X(x)\equiv0$. Тем самым в этом случае не существует нетривиальных решений задачи \eqref{E49}.

2. Пусть $\lambda=0$. Тогда общее решение уравнения \eqref{E46} имеет вид
$$X(x)=C_1x+C_2.$$
Граничные условия дают
\begin{gather*}
X(0)=C_2=0,\\
X(l)=C_1l=0.
\end{gather*}
Таким образом, и в этом случае решения лишь тривиальные.

3. Пусть теперь $\lambda>0$. Общее решение уравнения \eqref{E46} тогда имеет вид
$$X(x)=C_1\cos\sqrt\lambda x+C_2\sin\sqrt\lambda x.$$
Граничные условия дают
\begin{gather*}
X(0)=C_1=0,\\
X(l)=C_2\sin\sqrt\lambda l=0.
\end{gather*}
Если функция $X(x)$ не равна тождественно нулю, то $C_2\ne0$, поэтому $\sin\sqrt\lambda l=0$, откуда $\sqrt\lambda l=\pi n$, где $n=1,2,\ldots\,\,$. Итак, нетривиальные решения задачи \eqref{E49} возможны лишь при
$$\lambda=\lambda_n=\left(\frac{\pi n}l\right)^2.$$
Причем соответствующие решения имеют вид
$$X_n(x)=\sin\frac{\pi n}lx$$
и определяются с точностью до постоянного множителя, который возьмем равным единице. Решая для этих же значений $\lambda_n$ уравнение \eqref{E47}, получим
$$T_n(t)=A_n\cos\frac{\pi n}lat+B_n\sin\frac{\pi n}lat,$$
где $A_n$ и $B_n$ --- произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили, что функции
$$u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=\left(A_n\cos\frac{\pi n}lat+B_n\sin\frac{\pi n}lat\right)\sin\frac{\pi n}lx$$
удовлетворяют уравнению \eqref{E41} и граничным условиям \eqref{E43}. В силу линейности и однородности уравнения \eqref{E41} ряд
\begin{equation}\label{E410}
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(A_n\cos\frac{\pi n}lat+B_n\sin\frac{\pi n}lat\right)\sin\frac{\pi n}lx,
\end{equation}
если он допускает двукратное почленное дифференцирование, также удовлетворяют уравнению \eqref{E41} (условиям \eqref{E43} он удовлетворяет всегда). Для двукратной дифференцируемости ряда \eqref{E410} достаточно потребовать равномерную сходимость продифференцированных рядов, а для этого по признаку Вейерштрасса достаточно требовать сходимость ряда
\begin{equation}\label{E411}
\sum_{n=1}^\infty n^2(|A_n|+|B_n|).
\end{equation}

В выражении для функции $u(x,t)$, определенной равенством \eqref{E410}, мы еще не определили величины $A_n$ и $B_n$. Подберем эти значения так, чтобы удовлетворялись начальные условия \eqref{E42}
\begin{equation}\label{E412}
\begin{aligned}
u(x,0)&=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\frac{\pi n}lx=\varphi(x),\\
u_t(x,0)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{\pi n}laB_n\sin\frac{\pi n}lx=\psi(x).
\end{aligned}
\end{equation}
Пусть функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ могут быть разложены в ряды Фурье на отрезке $[0,l]$
\begin{equation}\label{E413}
\begin{aligned}
\varphi(x)&=\sum_{n=1}^\infty\varphi_n\sin\frac{\pi n}lx,\quad\varphi_n=\frac2l\int_0^l\varphi(x)\sin\frac{\pi n}lx\,dx,\\
\psi(x)&=\sum_{n=1}^\infty\psi_n\sin\frac{\pi n}lx,\quad\psi_n=\frac2l\int_0^l\psi(x)\sin\frac{\pi n}lx\,dx.
\end{aligned}
\end{equation}
Из равенств \eqref{E413} следует, что если положить $A_n=\varphi_n$, а $B_n=\dfrac l{\pi na}\psi_n$, то будут выполнены равенства \eqref{E412}.

Условие \eqref{E411}, гарантирующее возможность почленного дифференцирования ряда \eqref{E410}, переходит при таком выборе $A_n$ и $B_n$  в условие сходимости рядов
$$\sum_{n=1}^\infty n^2|\varphi_n|,\quad\sum_{n=1}^\infty n|\psi_n|.$$
Для сходимости этих рядов, как можно показать, достаточно потребовать от функции $\varphi(x)$ непрерывности второй производной, кусочной непрерывности третьей производной и выполнения равенств
$$\varphi(0)=\varphi(l)=\varphi''(0)=\varphi''(l)=0,$$
а от функции $\psi(x)$ непрерывности первой производной, кусочной непрерывности второй производной и выполнения равенства
$$\psi(0)=\psi(l)=0.$$

Итак, решением задачи \eqref{E41}--\eqref{E43} является функция
\begin{equation}\label{E414}
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(\varphi_n\cos\frac{\pi n}lat+\frac l{\pi na}\sin\frac{\pi n}lat\right)\sin\frac{\pi n}lx,
\end{equation}
где $\varphi_n$ и $\psi_n$ определены равенствами \eqref{E413}.

Используя другой метод построения решения, можно показать, что функция $u(x,t)$, определенная равенством \eqref{E414}, будет решением рассматриваемой задачи и в случае , если отбросить условия кусочной непрерывности соответствующих производных функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$.

Более того, мы можем построить функцию $u(x,t)$, определенную равенством \eqref{E414}, по функциям $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, не обладающим требуемой гладкостью. В этом случае функция $u(x,t)$, не являясь обычным решением уравнения \eqref{E41}, является предельной для решений этого уравнения с немного сглаженными начальными условиями. Полученные таким предельным переходом функции называются {\it обобщенными решениями}.  В дальнейшем мы не будем принимать во внимание разницу между этими решениями и решениями в обычном смысле.

\begin{example}
Определить отклонение $u(x,t)$ струны, закрепленной на концах $x=0$ и $x=l$, имеющей в начальный момент времени форму параболы $\varphi(x)=\alpha x(l-x)$ и нулевую начальную скорость $\psi(x)=0$.

Отклонение $u(x,t)$ является решением задачи \eqref{E41}--\eqref{E43} и дается, как было показано, формулой \eqref{E414}. Остается найти коэффициенты Фурье $\varphi_n$ и $\psi_n$. Поскольку $\psi(x)\equiv0$, то $\psi_n=0$. Для $\varphi_n$ имеем
\begin{multline*}
\varphi_n=\frac2l\int_0^l\alpha x(l-x)\sin\frac{\pi n}lx\,dx=-\frac{2\alpha}{\pi n}\int_0^lx(l-x)\,d\cos\frac{\pi n}lx\\
=-\frac{2\alpha}{\pi n}\biggl(x(l-x)\cos\frac{\pi n}lx\biggl|^l_0-\int_0^l(l-2x)\cos\frac{\pi n}lx\,dx\biggr)\\
=\frac{2\alpha l}{(\pi n)^2}\int_0^l(l-2x)\,d\sin\frac{\pi n}lx=\frac{2\alpha l}{(\pi n)^2}\biggl((l-2x)\sin\frac{\pi n}lx\biggl|^l_0\\
+2\int_0^l\sin\frac{\pi n}lx\,dx\biggr)=-\frac{4\alpha l^2}{(\pi n)^3}\cos\frac{\pi n}lx\biggl|^l_0=\frac{4\alpha l^2}{(\pi n)^3}(1-(-1)^n)\\
=\begin{cases}
0,&n=2k,\\
\dfrac{8\alpha l^2}{(\pi n)^3},&n=2k+1.
\end{cases}
\end{multline*}
Подставляя это выражение для $\varphi_n$ в формулу \eqref{E414}, получаем
$$u(x,t)=\frac{8\alpha l^2}{\pi^3}\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^3}\cos\frac{\pi(2k+1)}lat
\sin\frac{\pi(2k+1)}lx.$$
\end{example}

\begin{example}
Струна, закрепленная на концах $x=0$ и $x=l$, находится в начальный момент времени в положении равновесия и приводится в движение воздействием, дающим ей начальную скорость
$$\psi(x)=\begin{cases}
\psi_0,&0\le x\le h,\\
0,&h<x\le l.
\end{cases}$$
Определить отклонение $u(x,t)$.

Из условия задачи и формулы \eqref{E414} следует, что необходимо найти лишь коэффициенты Фурье $\psi_n$ для функции $\psi(x)$. Имеем
\begin{multline*}
\psi_n=\frac2l\int_0^l\psi(x)\sin\frac{\pi n}lx\,dx=\frac2l\int_0^h\psi_0\sin\frac{\pi n}lx\,dx=-\frac{2\psi_0}{\pi n}\cos\frac{\pi n}lx\biggl|^h_0\\
=\frac{2\psi_0}{\pi n}\left(1-\cos\frac{\pi n}lh\right)=\frac{4\psi_0}{\pi n}\sin^2\frac{2\pi nh}{2l}.
\end{multline*}
Тем самым
$$u(x,t)=\frac{4\psi_0 l}{\pi^2a}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2\dfrac{2\pi nh}{2l}}{n^2}\sin\frac{\pi n}lat
\sin\frac{\pi n}lx.$$
\end{example}

\begin{problem}[для самостоятельного решения]
Применить метод Фурье к задаче о колебании струны со свободными концами.
\end{problem}

\section{Стоячие волны}

Функции $u_n(x,t)$, из которых состоит решение $u(x,t)$ \eqref{E410}, можно представить в виде
\begin{multline*}
u_n(x,t)=\left(A_n\cos\frac{\pi n}lat+B_n\sin\frac{\pi n}lat\right)\sin\frac{\pi n}lx\\
=\alpha_n\sin\left(\frac{\pi n}lat+\varphi_n\right)\sin\frac{\pi n}lx,
\end{multline*}
где
$$\alpha_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},\quad\varphi_n=\arctg\frac{A_n}{B_n}.$$

Решение $u_n(x,t)$ описывает движение струны, при котором каждая точка струны $x_0$ совершает гармонические колебания с частотой $\omega_n=\dfrac{\pi n}la$ и амплитудой
$$\alpha_n\sin\frac{\pi n}lx_0.$$
Движение струны такого типа называется {\it стоячей волной}. При таком колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебания $\omega_n$, а сила от наибольшей амплитуды $\alpha_n$.

Точки $x=\dfrac lnm$, $m=1,2,\ldots, n-1$, в которых $\sin\dfrac{\pi n}lx=0$, называются {\it узлами\/} стоячей волны $u_n(x,t)$, а точки $x=\dfrac l{2n}(2m+1)$, $m=0,1,\ldots, n-1$, в которых $\sin\dfrac{\pi n}lx=\pm1$, совершают колебания с максимальной амплитудой $\alpha_n$ и называются {\it пучностями\/} стоячей волны.

Из формулы для решения $u(x,t)$ \eqref{E410} следует, что звук, издаваемый струной, является наложением простых тонов, соответствующих стоячим волнам. Самый низкий тон, задаваемый струной, определяется самой низкой частотой $\omega_1=\dfrac\pi la$ (при условии $\alpha_1\ne0$) и называется {\it основным тоном\/} струны. Остальные тона соответствуют частотам, кратным $\omega_1$, и называются {\it обертонами}. Они влияют на тембр звука.

Основной тон струны и ее тембр зависит от способа возбуждения колебаний. Если функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ в начальных условиях таковы, что $A_1=B_1=0$, а $A_2^2+B_2^2\ne0$, то основной тон будет соответствовать частоте $\omega_2$.

\tableofcontents

\end{document}
