\documentclass[12pt,a4paper,oneside,reqno,draft]{amsbook}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm,array,longtable}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphics}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother



%\renewcommand{\thefigure}{\thechapter.\arabic{figure}}

\tolerance 4700


\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\DeclareMathOperator*{\const}{const}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}}
\newcommand*{\Pc}{\mathcal P}
\newcommand*{\Ac}{\mathcal A}
\newcommand*{\Hc}{\mathcal H}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\ov}{\overline}

\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\Erf}{Erf}

\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
%\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]

\newtheorem{proposition}{Предложение}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\renewcommand{\thesection}{\S\ \arabic{section}}

\newcounter{exam}[section]
\renewcommand{\theexam}{\arabic{section}.\arabic{exam}}
\newcommand*{\ex}{\par\refstepcounter{exam}%
{\bf Пример \theexam.}\ }

\newcounter{prob}[section]
\renewcommand{\theprob}{\arabic{section}.\arabic{prob}}
\newcommand*{\pro}{\par\refstepcounter{prob}%
{\bf Задача \theprob.}\ }



\renewcommand*{\thefigure}{}
\pagestyle{plain}

\begin{document}
\renewcommand*\contentsname{Содержание}

\renewcommand{\thefigure}{\arabic{figure}}

\begin{center} Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

\vskip5pt

Московский авиационный технологический институт\\
им.\ К.Э.~Циолковского

\end{center}

\vskip30pt

Кафедра ``Высшая математика''

\vskip45pt

\centerline{В.М. Асеев, В.В. Горбацевич, К.Ю. Осипенко}

\vskip40pt

\begin{center}
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ\\
``УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ''

\vskip10pt

Часть 3

\vskip10pt

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

\vskip 300pt
Москва -- 1983
\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage

%\tableofcontents

\setcounter{page}{1}
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{figure}{16}


\renewcommand*{\chaptername}{ГЛАВА}



\chapter{Уравнения гиперболического типа (продолжение)}

\setcounter{section}{14}

\section{Неоднородные уравнения}

Процесс колебания струны, на которую действует внешняя сила, описывается неоднородным уравнением
\begin{equation}\label{151}
u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t).
\end{equation}
Рассмотрим решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
\begin{equation}\label{152}
\begin{cases}u(x,0)=\varphi(x),&\\
u_t(x,0)=\psi(x),&\end{cases}
\end{equation}
и однородным граничным условиям (случай закрепленных концов)
\begin{equation}\label{153}
\begin{cases}u(0,t)=0,&\\
u(l,t)=0.&\end{cases}
\end{equation}

Пусть функция $w(x,t)$ является решением однородного уравнения
$$w_{tt}=a^2w_{xx}$$
с начальными условиями
$$\begin{cases}w(x,0)=\varphi(x),&\\
w_t(x,0)=\psi(x),&\end{cases}$$
и однородными граничными значениями
$$\begin{cases}w(0,t)=0,&\\
w(l,t)=0.&\end{cases}$$
Решение такой задачи было получено в \S~13.

Если найти функцию $v(x,t)$, удовлетворяющую неоднородному уравнению
\begin{equation}\label{154}
v_{tt}=a^2v_{xx}+f(x,t)
\end{equation}
с начальными условиями
\begin{equation}\label{155}
\begin{cases}v(x,0)=0,&\\
v_t(x,0)=0,&\end{cases}
\end{equation}
и граничными значениям
\begin{equation}\label{156}
\begin{cases}v(0,t)=0,&\\
v(l,t)=0,&\end{cases}
\end{equation}
то функция $u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)$ будет являться ременном задачи (15.1--15.3). Таким образом, задача свелась к нахождению функции $v(x,t)$.

Будем искать функцию $v(x,t)$ в виде ряда Фурье по $x$
\begin{equation}\label{157}
v(x,t)=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)\sin\frac{\pi n}lx,
\end{equation}
рассматривая $t$ как параметр. Представим функцию $f(x,t)$ также в виде ряда Фурье
$$f(x,t)=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)\sin\frac{\pi n}lx,\quad f_n(t)=\frac2l\int_0^lf(x,t)\sin\frac{\pi n}lx\,dx.$$
Подставив функцию $v(x,t)$ в виде \eqref{157} в уравнение \eqref{154}, будем иметь
$$\sum_{n=1}^\infty\left\{v_n''(t)+a^2\left(\frac{\pi n}l\right)^2v_n(t)-f_n(t)\right\}\sin\frac{\pi n}lx=0$$
(мы здесь не останавливаемся на условиях, при которых законно почленное дифференцирование).

Все коэффициенты полученного ряда Фурье должны равняться нулю. Тем самым для определения $v_n(t)$ получены обыкновенные дифференциальные уравнения
\begin{equation}\label{158}
v_n''(t)+a^2\left(\frac{\pi n}l\right)^2v_n(t)=f_n(t).
\end{equation}
Начальные условия \eqref{155} дают
$$\sum_{n=1}^\infty v_n(0)\sin\frac{\pi n}lx=0;\quad\sum_{n=1}^\infty v_n'(0)\sin\frac{\pi n}lx=0.$$
Отсюда получаем начальные условия для решения \eqref{158}
\begin{equation}\label{159}
v_n(0)=v_n'(0)=0,
\end{equation}
которые однозначно определяют решение этого уравнения.

Уравнение \eqref{158} с начальными условиями \eqref{159} может быть решено, например, операционным методом. Переходя при преобразовании Лапласа к изображениям, имеем
\begin{gather*}
v_n(t)\doteqdot V_n(p),\quad f_n(t)\doteqdot F_n(p),\\
v_n'(t)\doteqdot pV_n(p),\quad v_n''(t)\doteqdot p^2V_n(p).
\end{gather*}
Уравнение \eqref{158} после преобразования Лапласа запишется в виде
$$p^2V_n(p)+a^2\left(\frac{\pi n}l\right)^2V_n(p)=F_n(p).$$
Отсюда
$$V_n(p)=\frac{F_n(p)}{p^2+a^2\left(\dfrac{\pi n}l\right)^2}=\frac l{\pi an}F_n(p)\frac{\dfrac{\pi an}l}{p^2+a^2\left(\dfrac{\pi n}l\right)^2}.$$
Применяя теорему о свертке, получаем
$$v_n(t)=\frac l{\pi an}f_n(t)*\sin\frac{\pi n}lat=\frac l{\pi an}\int_0^tf_n(\tau)\sin\frac{\pi n}la(t-\tau)\,d\tau.$$

Таким образом, учитывая вид решения $w(x,t)$, окончательно будем иметь
\begin{multline}\label{1510}
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(\varphi_n\cos\frac{\pi n}lat+\frac l{\pi an}\psi_n\sin\frac{\pi n}lat\right)\sin\frac{\pi n}lx\\
+\sum_{n=1}^\infty\frac l{\pi an}\int_0^tf_n(\tau)\sin\frac{\pi n}la(t-\tau)\,d\tau\sin\frac{\pi n}lx;
\end{multline}
здесь $\varphi_n$ и $\psi_n$ --- коэффициенты Фурье для функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$.

\ex Найти решение уравнения
\begin{equation}\label{1511}
u_{tt}=a^2u_{xx}+t\sin\frac{2\pi}lx,
\end{equation}
удовлетворяющее начальным условиям
\begin{equation}\label{1512}
\begin{cases}u(x,0)=\alpha x(l-x),&\\
u_t(x,0)=0,&\end{cases}
\end{equation}
и граничным условиям
\begin{equation}\label{1513}
\begin{cases}u(0,t)=0,&\\
u(l,t)=0.&\end{cases}
\end{equation}
Решение этой задачи, как было показано выше, представляется в виде
$$u(x,t)=w(x,t)+v(x,t),$$
где $w(x,t)$ --- решение однородного уравнения
$$u_{tt}=a^2u_{xx}$$
с теми же начальными и граничными условиями \eqref{1512}, \eqref{1513}, a
$v(x,t)$ --- решение уравнения \eqref{1511} с нулевыми начальными и граничными условиями. Решение $w(x,t)$ было получено в примере 13.1 Для нахождения решения $v(x,t)$ надо функцию $t\sin\dfrac{2\pi}lx$ разложить в ряд Фурье по $x$ на отрезке $[0,l]$ по синусам
$$t\sin\frac{2\pi}lx=\sum_{n=1}^\infty f_n(t)\sin\frac{\pi n}lx.$$

Очевидно, что
$$f_n(t)=\begin{cases}0,&n\ne2,\\
t,&n=2.\end{cases}$$
Таким образом, уравнения \eqref{158} с начальными условиями \eqref{159} при $n\ne2$ дают $v_n(t)\equiv0$. При $n=2$ имеем уравнение
\begin{equation}\label{1514}
v_2''(t)+a^2\left(\frac{2\pi}l\right)^2v_2(t)=t
\end{equation}
с начальными условиями $v_2(0)=v_2'(0)=0$.

Общее решение однородного уравнения
$$v_2''(t)+a^2\left(\frac{2\pi}l\right)^2v_2(t)=0$$
имеет вид
$$v_2(t)=C_1\cos\frac{2\pi}lat+C_2\sin\frac{2\pi}lat.$$
Частное решение уравнения \eqref{1514} будем искать в виде
$$v_2^*(t)=At+B.$$
После подстановки $v_2^*(t)$ в уравнение \eqref{1514} получим
$$a^2\left(\frac{2\pi}l\right)^2(At+B)=t.$$
Отсюда $A=\dfrac{l^2}{a^2(2\pi)^2}$, $B=0$, а общее решение уравнения \eqref{1514} имеет вид
$$v_2(t)=C_1\cos\frac{2\pi}lat+C_2\sin\frac{2\pi}lat+\frac{l^2}{a^2(2\pi)^2}t.$$
Из условий $v_2(0)=v_2'(0)=0$ получаем $C_1=0$,
$$C_2\frac{2\pi}la+\frac{l^2}{a^2(2\pi)^2}=0.$$

Итак,
$$v_2(t)=-\left(\frac l{2\pi a}\right)^3\sin\frac{2\pi}lat+\left(\frac l{2\pi a}\right)^2t.$$
Тем самым из \eqref{157} будем иметь
$$v(x,t)=v_2(t)\sin\frac{2\pi}lx.$$
Окончательно получаем
\begin{multline*}
u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)=\frac{8\alpha l^2}{\pi^3}\sum_{k=0}^\infty\frac{\cos\dfrac{\pi(2k+1)}lat
\sin\dfrac{\pi(2k+1)}lx}{(2k+1)^3}\\
+\left[-\left(\frac l{2\pi a}\right)^3\sin\frac{2\pi}lat+\left(\frac l{2\pi a}\right)^2t\right]
\sin\frac{2\pi}lx.
\end{multline*}
Заметим, что при нахождения $v_2(t)$ можно было бы воспользоваться операционным методом, о котором уже говорилось, или же непосредственно применить формулу \eqref{1510}.

\section{Общая первая краевая задача}

Рассмотрим общую первую краевую задачу для уравнения колебаний струны: найти решение уравнения
\begin{equation}\label{161}
u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t),
\end{equation}
удовлетворяющее начальным условиям
$$\begin{cases}u(x,0)=\varphi(x),&\\
u_t(x,0)=\psi(x),&\end{cases}$$
и граничным условиям
$$\begin{cases}u(0,t)=\mu_1(t),&\\
u(l,t)=\mu_2(t).&\end{cases}$$

Положим
$$U(x,t)=\mu_1(t)+\frac xl[\mu_2(t)-\mu_1(t)]$$
и рассмотрим функцию $v(x,t)$, определенную равенством
$$u(x,t)=U(x,t)+v(x,t).$$
Если функция $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению \eqref{161}, то функция $v(x,t)$ будет удовлетворять уравнению 
$$v_{tt}=a^2v_{xx}+f(x,t)-(U_{tt}-a^2U_{xx}).$$
Таким образом, функция $v(x,t)$ является решением уравнения
$$v_{tt}=a^2v_{xx}+\ov f(x,t),$$
где
$$\ov f(x,t)=f(x,t)-\mu_1''(t)-\frac xl[\mu_2''(t)-\mu_1''(t)],$$
удовлетворяющим начальным условиям
\begin{gather*}
v(x,0)=u(x,0)-U(x,0)=\varphi(x)-\mu_1(0)-\frac xl[\mu_2(0)-\mu_1(0)],\\
v_t(x,0)=u_t(x,0)-U_t(x,0)=\psi(x)-\mu_1'(0)-\frac xl[\mu_2'(0)-\mu_1'(0)],
\end{gather*}
и граничным условиям
$$\begin{cases}
v(0,t)=u(0,t)-U(0,t)=0,&\\
v(l,t)=u(l,t)-U(l,t)=0.&\end{cases}$$
Тем самым мы свели задачу к решению неоднородного уравнения с уже однородными граничными условиями. Решение таких задач было рассмотрено в \S~15.

\section{Метод Фурье решения двумерного волнового уравнения для прямоугольной мембраны}

Процесс колебаний мембраны может быть описан уравнением
$$u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f(x,y,t)$$
(см.\ \S~9). Если мембрана занимает некоторую ограниченную область $D$ в плоскости $(x,y)$, то для определения закона ее движения необходимо задать начальные условия
\begin{equation}\label{171}
\begin{cases}u|_{t=0}=\varphi(x,y),&\\
u_t|_{t=0}=\psi(x,y),&\end{cases}
\end{equation}
а также граничные условия
$$u|_{(x,y)\in\Gamma}=\alpha(x,y,t);$$
здесь кривая $\Gamma$ --- граница области $D$. Граничные условия могут быть и других типов.

Решение краевых задач на плоскости представляется более трудным, чем в случае прямой. Мы рассмотрим решение этих задач в двух частных случаях, когда мембрана является прямоугольной или круглой.

Рассмотрим решение однородного двумерного волнового уравнения для прямоугольника со сторонами $l$, $m$
\begin{equation}\label{172}
u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})
\end{equation}
с начальными условиями \eqref{171} и граничными условиями
\begin{equation}\label{173}
u|_{x=0}=u|_{x=l}=u|_{y=0}=u|_{y=m}=0.
\end{equation}

Для решения этой задачи применим метод Фурье (метод разделения переменных). Будем искать решение уравнения \eqref{172} в виде
$$u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t).$$
Получим следующее уравнение
$$X(x)Y(y)T''(t)=a^2[X''(x)Y(y)T(t)+X(x)Y''(y)T(t)].$$
Разделив обе части на $a^2X(x)Y(y)T(t)$, будем иметь
$$\frac{T''(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}.$$
Фиксируя переменные $t$ и $y$, получаем, что выражение $\dfrac{X''(x)}{X(x)}$ сохраняет постоянное значение. Обозначим его для удобства через $-\lambda$. Таким образом, для $X(x)$ имеем обыкновенное дифференциальное уравнение
\begin{equation}\label{174}
X''(x)+\lambda X(x)=0.
\end{equation}
Аналогично получаем
\begin{gather}\label{175}
Y''(y)+\mu Y(y)=0,\\
T''(t)+a^2\omega T(t)=0,\label{176}
\end{gather}
где $\omega=\lambda+\mu$.

Используя граничные условия \eqref{173}, к уравнениям \eqref{174}, \eqref{175} присоединяются условия
\begin{gather*}
X(0)=X(l)=0,\\
Y(0)=Y(m)=0.
\end{gather*}
Подобные краевые задачи подробно были рассмотрены в \S~13. Здесь получаем следующие решения
\begin{gather*}
X_n(x)=\sin\frac{\pi n}lx,\\
Y_k(y)=\sin\frac{\pi k}my,
\end{gather*}
при $\lambda=\lambda_n=\left(\dfrac{\pi n}l\right)^2$, $\mu=\mu_k=\left(\dfrac{\pi k}m\right)^2$.

Таким образом, имеем
$$\omega=\omega_{n,k}^2=\lambda_n+\mu_k=\left(\dfrac{\pi n}l\right)^2+\left(\dfrac{\pi k}m\right)^2,$$
а общее решение уравнения \eqref{176} имеет вид
$$T_{n,k}(t)=A_{n,k}\cos\omega_{n,k}at+B_{n,k}\sin\omega_{n,k}at.$$

Рассмотрим функцию
\begin{equation}\label{177}
u(x,y,t)=\sum_{n,k=1}^\infty(A_{n,k}\cos\omega_{n,k}at+B_{n,k}\sin\omega_{n,k}at)\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my.
\end{equation}

Эта функция является решением уравнения \eqref{172} с граничными условиями \eqref{172} (мы не останавливается на условиях возможности почленного дифференцирования ряда \eqref{177}). Для удовлетворения условий \eqref{171} получим равенства
\begin{equation}\label{178}
\begin{gathered}
\sum_{n,k=1}^\infty A_{n,k}\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my=\varphi(x,y),\\
\sum_{n,k=1}^\infty\omega_{n,k}B_{n,k}\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my=\psi(x,y).
\end{gathered}
\end{equation}

Разложим функции $\varphi(x,y)$ и $\psi(x,y)$ в двойной ряд Фурье, т.е. в ряды вида
\begin{gather*}
\varphi(x,y)=\sum_{n,k=1}^\infty\varphi_{n,k}\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my,\\
\psi(x,y)=\sum_{n,k=1}^\infty\psi_{n,k}\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my,
\end{gather*}
где коэффициенты Фурье $\varphi_{n,k}$ и $\psi_{n,k}$ вычисляются по формулам
\begin{gather*}
\varphi_{n,k}=\frac4{lm}\iint_D\varphi(x,y)\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my\,dxdy,\\
\psi_{n,k}=\frac4{lm}\iint_D\psi(x,y)\sin\frac{\pi n}lx\sin\frac{\pi k}my\,dxdy;
\end{gather*}
здесь область $D$ задается условиями $0\le x\le l$, $0\le y\le m$.

Отсюда следует, что условия \eqref{178} будут удовлетворяться, если положить в \eqref{177} $A_{n,k}=\varphi_{n,k}$, $B_{n,k}=\psi_{n,k}$.

\section{Функции Бесселя}

При решении задачи о круглой мембране (как и в других важных случаях) возникает необходимость решать дифференциальное уравнение вида
\begin{equation}\label{181}
x^2y''+xy'+(x^2-p^2)y=0,
\end{equation}
где $p$ --- некоторый параметр. Уравнение \eqref{181} называется {\it уравнением Бесселя  $p$-го порядка\/} или {\it уравнением цилиндрических функций $p$-го порядка}.

Будем искать решение уравнения \eqref{181} в виде ряда
$$y(x)=x^\sigma\sum_{k=0}^\infty a_kx^k,$$
где $\sigma$ --- некоторый вещественный параметр. Подставляя $y(x)$, $y'(x)$ и $y''(x)$ в \eqref{181} и приравнивая коэффициенты при $x^\sigma,x^{\sigma+1},\ldots$ нулю, получим систему уравнений для определения $a_0,a_1,\ldots$
\begin{equation}\label{182}
\begin{cases}
a_0(\sigma^2-p^2)=0,&\\
a_1[(\sigma+1)^2-p^2]=0,&\\
a_2[(\sigma+2)^2-p^2]+a_0=0,&\\
\dotfill&\\
a_k[(\sigma+k)^2-p^2]+a_{k-2}=0,&\\
\dotfill&\end{cases}
\end{equation}
Можно считать, что $a_0\ne0$ (иначе можно просто изменить $\sigma$), поэтому $\sigma=\pm p$. Рассмотрим сначала случай $\sigma=p$. Из уравнений \eqref{182} получаем, что все нечетные коэффициенты равны нулю, а для четных справедливо равенство
\begin{equation}\label{183}
a_{2m}=\frac{(-1)^ma_0}{2^{2m}m!(p+1)(p+2)\ldots(p+m)}.
\end{equation}

Далее нам удобно будет использовать гамма-функцию
$$\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx.$$
Легко убедиться, что $\Gamma(1)=1$. Одно из основных свойств гамма-функции:
$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).$$
Отсюда следует, что при целых $n$
$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\ldots=n!.$$
Тем самым гамма-функция распространяет понятие факториала на нецелые значения аргумента. С помощью равенства
$$\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}s$$
гамма-функция может быть распространена и на отрицательные нецелые значения $s$.

Положив (для удобства записи последующих формул)
$$a_0=\frac1{2^p\Gamma(p+1)},$$
из формулы \eqref{183} получим
$$a_{2m}=(-1)^m\frac1{2^{2m+p}\Gamma(m+1)\Gamma(p+m+1)}.$$
Поэтому ряд
$$J_p(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+1)\Gamma(k+p+1)}\left(\frac x2\right)^{2k+p}$$
является решением уравнения \eqref{181}. Функция $J_p(x)$ называется {\it функцией Бесселя (или цилиндрической) первого рода $p$-го порядка}.

Ряд
\begin{equation}\label{184}
J_{-p}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+1)\Gamma(k-p+1)}\left(\frac x2\right)^{2k-p}
\end{equation}
соответствующий $\sigma=-p$, если $p$ --- нецелое, является вторым решением уравнения \eqref{181}, причем линейно независимым от $J_p(x)$.

Тем самым, если $p$ --- нецелое, то общее решение уравнения \eqref{181} имеет вид
$$y(x)=C_1J_p(x)+C_2J_{-p}(x).$$
Заметим, что функция $J_{-p}(x)$ неограничена в окрестности нуля (т.е. $\displaystyle\lim_{x\to0}J_{-p}(x)=\infty$), поэтому общий вид ограниченных решений уравнения \eqref{181} будет таков:
$$y(x)=C_1J_p(x).$$

При целых $p=n$ функция $J_{-n}(x)$ может быть определена равенством \eqref{184}, если считать, что суммирование начинается со значения $k=n$ (ибо $\Gamma(k-n+1)=\infty$ для $k\le n-1$). В этом случае легко показать, что $J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)$, т.е. эти функции являются линейно зависимыми.

Положим при нецелом $p$
$$N_p(x)=\frac{J_p(x)\cos\pi p-J_{-p}(x)}{\sin\pi p}.$$
Функция $N_p(x)$ носит название {\it функции Неймана\/} или {\it функции Бесселя второго рода 2-го порядка}. При целых $p=n$ функция Неймана определяется предельным переходом:
$$N_n(x)=\lim_{p\to n}N_p(x).$$
Функция Неймана является линейно независимой с функцией Бесселя первого рода $J_n(x)$, следовательно, общее решение уравнения \eqref{181} при целых $p=n$ имеет вид
\begin{equation}\label{185}
y(x)=C_1J_n(x)+C_2N_n(x).
\end{equation}
Функция $N_n(x)$ неограничена в окрестности нуля и для нахождения ограниченных решений в \eqref{185} следует положить $C_2=0$.

Выпишем в качестве примера ряды для функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков
\begin{gather*}
J_0(x)=1-\left(\frac x2\right)^2+\frac1{(2!)^2}\left(\frac x2\right)^4-\frac1{(3!)^2}\left(\frac x2\right)^6+\ldots,\\
J_1(x)=\frac x2-\frac1{2!}\left(\frac x2\right)^3+\frac1{2!3!}\left(\frac x2\right)^5-\ldots.
\end{gather*}
Функция Бесселя часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы.

Отметим следующие свойства функций Бесселя:

1. Уравнение
$$J_n(\mu)=0$$
имеет бесконечное множество положительных корней
$$0<\mu_1^{(n)}<\mu_2^{(n)}<\ldots<\mu_m^{(n)}<\ldots.$$
Для чисел $\mu_m^{(n)}$ составлены таблицы. При больших $m$ корни могут быть приближенно вычислены по формуле
$$\mu_m^{(n)}\approx\frac\pi4(2n-1+4m)-\frac{4n^2-1}{\pi(2n-1+4m)}.$$

2. Функции $J_n\left(\dfrac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)$ ортогональны с весом $r$ на отрезке $[0,r_0]$, т.е. при $m_1\ne m_2$
$$\int_0^{r_0}rJ_n\left(\dfrac{\mu_{m_1}^{(n)}}{r_0}r\right)
J_n\left(\dfrac{\mu_{m_2}^{(n)}}{r_0}r\right)\,dr=0.$$

3. Нормы этих функций равны
\begin{equation}\label{186}
\|J_n\|_m^2=\int_0^{r_0}rJ_n^2\left(\dfrac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)\,dr=
\frac{r_0^2}2\left[J_n'(\mu_m^{(n)})\right]^2.
\end{equation}

4. Имеют место рекуррентные формулы
\begin{equation}\label{187}
\begin{cases}
\dfrac{nJ_n(x)}x-J_n'(x)=J_{n+1}(x),&\\[8pt]
\dfrac{nJ_n(x)}x+J_n'(x)=J_{n-1}(x).&\end{cases}
\end{equation}
Кроме того, из равенств \eqref{187} вытекают соотношения
\begin{gather*}
\left[J_n'(\mu_m^{(n)})\right]^2=\left[J_{n-1}(\mu_m^{(n)})\right]^2=
\left[J_{n+1}(\mu_m^{(n)})\right]^2,\\
J_{n+1}(x)=-J_{n-1}(x)+\frac{2nJ_n(x)}x.
\end{gather*}
Из последнего равенства следует, что, зная значения функций $J_0(x)$ и $J_1(x)$, можно получить значения $J_n(x)$ при любом $n$.

5. Всякая непрерывная в интервале $(0,r_0)$ функция $f(r)$, имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные, ограниченная в окрестности точки $r=0$ и обращающаяся в нуль при $r=r_0$ может быть разложена в равномерно сходящийся ряд
\begin{equation}\label{188}
f(r)=\sum_{m=1}^\infty f_mJ_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right),
\end{equation}
где
$$f_m=\frac{\displaystyle\int_0^{r_0}rf(r)J_n\left(\dfrac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)\,dr}
{\|J_n\|_m^2}.$$

\section{Колебания круглой мембраны}

При изучении свободных колебаний круглой мембраны в уравнении \eqref{172} полезно перейти к полярным координатам
$$\begin{cases}x=r\cos\varphi,&\\
y=r\sin\varphi.&\end{cases}$$
В силу того, что
$$\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2},&\\
\varphi=\arctg\dfrac yx,&\end{cases}$$
имеем
\begin{gather*}
r_x=\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\varphi,\quad r_y=\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\varphi,\\
\varphi_x=-\frac y{x^2+y^2}=-\frac{\sin\varphi}r,\quad\varphi_y=\frac x{x^2+y^2}=\frac{\cos\varphi}r.
\end{gather*}
Отсюда
\begin{gather*}
r_{xx}=\frac{\sin^2\varphi}r,\quad r_{yy}=\frac{\cos^2\varphi}r,\\
\varphi_{xx}=\frac{\sin2\varphi}{r^2},\quad\varphi_{yy}=-\frac{\sin2\varphi}{r^2}.
\end{gather*}
Подставляя эти выражения в (6.2), (6.3), получим (роль переменных $\xi$, $\eta$ здесь играют переменные $r$, $\varphi$)
\begin{gather*}
u_{xx}=u_{rr}\cos^2\varphi-u_{r\varphi}\frac{\sin2\varphi}r+u_{\varphi\varphi}
\frac{\sin^2\varphi}{r^2}+u_r\frac{\sin^2\varphi}r+u_\varphi\frac{\sin2\varphi}{r^2},\\
u_{yy}=u_{rr}\sin^2\varphi+u_{r\varphi}\frac{\sin2\varphi}r+u_{\varphi\varphi}
\frac{\cos^2\varphi}{r^2}+u_r\frac{\cos^2\varphi}r-u_\varphi\frac{\sin2\varphi}{r^2}.
\end{gather*}

Таким образом, двумерный оператор Лапласа в полярных координатах имеет вид
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac1{r^2}u_{\varphi\varphi}+\frac1ru_r.$$
Тем самым уравнение \eqref{172} в полярных координатах будет иметь следующий вид
\begin{equation}\label{191}
u_{tt}=a^2\left(u_{rr}+\frac1{r^2}u_{\varphi\varphi}+\frac1ru_r\right).
\end{equation}
Начальные условия \eqref{171} при переходе к полярным координатам запишутся следующим образом
\begin{equation}\label{192}
\begin{cases}u(r,\varphi,0)=\Phi(r,\varphi),&\\
u_t(r,\varphi,0)=\Psi(r,\varphi).&\end{cases}
\end{equation}
Пусть мембрана представляет собой круг радиуса $r_0$ и края мембраны закреплены. Это означает, что мы имеем граничные условия
\begin{equation}\label{193}
u(r_0,\varphi,t)=0.
\end{equation}

Для решения задачи (\ref{191}--\ref{193}) воспользуемся методом Фурье, т.е. будем искать решение уравнения \eqref{191}, удовлетворяющее граничному условию \eqref{193}, в виде произведения
$$u(r,\varphi,t)=R(r)\Theta(\varphi)T(t).$$
Подставив это выражение в уравнение \eqref{191} и поделив на $a^2R(r)\Theta(\varphi)T(t)$, будем иметь (см.\ \S~17)
$$\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{R''(r)}{R(r)}+\frac1r\frac{R'(r)}{R(r)}+
\frac1{r^2}\frac{\Theta''(\varphi)}{\Theta(\varphi)}=-\lambda.$$
Отсюда вытекают следующие уравнения
\begin{gather}\label{194}
T''(t)+\lambda a^2T(t)=0,\\
r^2\frac{R''(r)}{R(r)}+r\frac{R'(r)}{R(r)}+\lambda r^2=-\frac{\Theta''(\varphi)}{\Theta(\varphi)}=\mu.\notag
\end{gather}
Из последнего равенства в свою очередь вытекают уравнения
\begin{gather}\label{195}
\Theta''(\varphi)+\mu\Theta(\varphi)=0,\\
r^2R''(r)+rR'(r)+(\lambda r^2-\mu)R(r)=0.\label{196}
\end{gather}

Будем считать, что $\lambda>0$, тогда общее решение уравнения \eqref{194}
\begin{equation}\label{197}
T(t)=C_1\cos a\sqrt\lambda t+C_2\sin a\sqrt\lambda t.
\end{equation}
В силу периодичности функции $\Theta(\varphi)$ нетривиальные решения уравнения \eqref{195} существуют лишь при $\mu=n^2$ и имеют вид
\begin{equation}\label{198}
\Theta_n(\varphi)=D_{1n}\cos n\varphi+D_{2n}\sin n\varphi.
\end{equation}

Займемся решением уравнения \eqref{196}. Граничное условие \eqref{193} дает условие
\begin{equation}\label{199}
R(r_0)= 0.
\end{equation}
Кроме того, из физического смысла задачи величина $R(0)$ должна быть ограничена, т.е.
\begin{equation}\label{1910}
|R(0)|<\infty.
\end{equation}

Введем новую переменную $x=\sqrt\lambda r$ и обозначим
$$y(x)=R(r)=R\left(\frac x{\sqrt\lambda}\right).$$
Тогда
$$y'(x)=\frac1{\sqrt\lambda}R'\left(\frac x{\sqrt\lambda}\right),\quad y''(x)=\frac1\lambda R''\left(\frac x{\sqrt\lambda}\right),$$
и уравнение \eqref{196} преобразуется к виду
$$x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0.$$
Последнее уравнение является уравнением Бесселя и в силу требования \eqref{1910} его решение с точностью до множителя, который можно положить равным единице, совпадает с функцией Бесселя первого рода $n$-го порядка $J_n(x)$.

Условие \eqref{199} дает $J_n(\sqrt\lambda r_0)=0$. Отсюда
$$\lambda=\lambda_{n,m}=\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}\right)^2,$$
где $\mu_m^{(n)}$ --- нули функции Бесселя $J_n(x)$. Итак, найдены решения уравнения \eqref{196}
\begin{equation}\label{1911}
R_{n,m}(r)=J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right).
\end{equation}

Приняв во внимание полученные частные решения \eqref{197}, \eqref{198} и \eqref{1911}, будем искать, решение задачи (\ref{191}--\ref{193}) в виде
\begin{multline*}
u(r,\varphi,t)=\sum_{\substack{n=0\\m=1}}^\infty\left(\alpha_{n,m}^{(1)}
\cos\frac{a\mu_m^{(n)}}{r_0}t+\alpha_{n,m}^{(2)}\sin\frac{a\mu_m^{(n)}}{r_0}t\right)\cos n\varphi\\
\times J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)+\sum_{\substack{n=0\\m=1}}^\infty\left(\beta_{n,m}^{(1)}
\cos\frac{a\mu_m^{(n)}}{r_0}t+\beta_{n,m}^{(2)}\sin\frac{a\mu_m^{(n)}}{r_0}t\right)\sin n\varphi\\
\times J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right).
\end{multline*}
Для удовлетворения начальных условий \eqref{192} необходимо выполнение равенств
\begin{equation}\label{1912}
\begin{gathered}
\sum_{\substack{n=0\\m=1}}^\infty\left(\alpha_{n,m}^{(1)}\cos n\varphi+\beta_{n,m}^{(1)}\sin n\varphi\right)J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)=\Phi(r,\varphi),\\
\frac a{r_0}\sum_{\substack{n=0\\m=1}}^\infty\mu_m^{(n)}\left(\alpha_{n,m}^{(2)}\cos n\varphi+\beta_{n,m}^{(2)}\sin n\varphi\right)J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)=\Psi(r,\varphi).
\end{gathered}
\end{equation}

Разложим функцию $\Phi(r,\varphi)$ в ряд Фурье на отрезке $[-\pi,\pi]$ при фиксированном $r$
\begin{gather*}
\Phi(r,\varphi)=\frac{c_0(r)}2+\sum_{n=1}^\infty\left(c_n(r)\cos n\varphi+d_n(r)\sin n\varphi\right),\\
c_n(r)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi\Phi(r,\varphi)\cos n\varphi\,d\varphi,\\
d_n(r)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi\Phi(r,\varphi)\sin n\varphi\,d\varphi.
\end{gather*}
Разлагая в ряд \eqref{188} каждую из функций $c_n(r)$, $d_n(r)$ и сравнивая полученное разложение функции $\Phi(r,\varphi)$ с разложением \eqref{1912}, находим коэффициенты
\begin{gather}\label{1913}
\alpha_{n,m}^{(1)}=\frac{\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\int_0^{r_0}\Phi(r,\varphi)
J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)\cos n\varphi\,rdrd\varphi}{\pi\varepsilon_n\|J_n\|_m^2},\\
\beta_{n,m}^{(1)}=\frac{\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\int_0^{r_0}\Phi(r,\varphi)
J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)\sin n\varphi\,rdrd\varphi}{\pi\varepsilon_n\|J_n\|_m^2}.
\label{1914}
\end{gather}
Совершенно аналогично получаем
\begin{gather*}
\alpha_{n,m}^{(2)}=\frac{\displaystyle r_0\int_{-\pi}^\pi\int_0^{r_0}\Psi(r,\varphi)
J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)\cos n\varphi\,rdrd\varphi}{\pi a\mu_m^{(n)}\varepsilon_n\|J_n\|_m^2},\\
\beta_{n,m}^{(2)}=\frac{\displaystyle r_0\int_{-\pi}^\pi\int_0^{r_0}\Psi(r,\varphi)
J_n\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{r_0}r\right)\sin n\varphi\,rdrd\varphi}{\pi a\mu_m^{(n)}\varepsilon_n\|J_n\|_m^2};
\end{gather*}
здесь $\displaystyle\varepsilon_n=\begin{cases}2,&n=0,\\
1,&n\ne0,\end{cases}$ а $\|J_n\|_m^2$ определена равенством \eqref{186}.

Для случая радиальных колебаний (т.е. в случае, когда начальные условия и, соответственно, решение не зависит от угла $\varphi$, а зависит лишь от $r$) задача значительно упрощается. В этом случае решение может быть представлено в виде
$$u(r,t)=\sum_{m=1}^\infty\left(\alpha_m\cos\frac{a\mu_m^{(0)}}{r_0}t+
\beta_m\sin\frac{a\mu_m^{(0)}}{r_0}t\right)J_0\left(\frac{\mu_m^{(0)}}{r_0}r\right),$$
где
\begin{gather*}
\alpha_m=\frac{\displaystyle\int_0^{r_0}\Phi(r)J_0\left(\frac{\mu_m^{(0)}}{r_0}r\right)r\,dr}
{\dfrac{r_0^2}2J_1^2(\mu_m^{(0)})},\\
\beta_m=\frac{\displaystyle\int_0^{r_0}\Psi(r)J_0\left(\frac{\mu_m^{(0)}}{r_0}r\right)r\,dr}
{\dfrac{a\mu_m^{(0)}r_0^2}2J_1^2(\mu_m^{(0)})}.
\end{gather*}

\tableofcontents

\end{document}
 