\documentclass[12pt,a4paper,oneside,reqno,draft]{amsbook}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm,array,longtable}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphics}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother



%\renewcommand{\thefigure}{\thechapter.\arabic{figure}}

\tolerance 1400


\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\DeclareMathOperator*{\const}{const}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}}
\newcommand*{\Pc}{\mathcal P}
\newcommand*{\Ac}{\mathcal A}
\newcommand*{\Hc}{\mathcal H}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\ov}{\overline}

\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\Erf}{Erf}

\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{theorem}{Теорема}
%\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]

\newtheorem{proposition}{Предложение}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\renewcommand{\thesection}{\S\ \arabic{section}}
\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{section}.\arabic{theorem}}

\newcounter{exam}[section]
\renewcommand{\theexam}{\arabic{section}.\arabic{exam}}
\newcommand*{\ex}{\par\refstepcounter{exam}%
{\bf Пример \theexam.}\ }

\newcounter{prob}[section]
\renewcommand{\theprob}{\arabic{section}.\arabic{prob}}
\newcommand*{\pro}{\par\refstepcounter{prob}%
{\bf Задача \theprob.}\ }



\renewcommand*{\thefigure}{}
\pagestyle{plain}

\begin{document}
\renewcommand*\contentsname{Содержание}

\renewcommand{\thefigure}{\arabic{figure}}

\begin{center} Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

\vskip5pt

Московский авиационный технологический институт\\
им.\ К.Э.~Циолковского

\end{center}

\vskip30pt

Кафедра ``Высшая математика''

\vskip45pt

\centerline{В.М. Асеев, В.В. Горбацевич, К.Ю. Осипенко}

\vskip40pt

\begin{center}
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ\\
``УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ''

\vskip10pt

Часть 1

\vskip 320pt
Москва -- 1983
\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage

%\tableofcontents

\setcounter{page}{1}
\setcounter{figure}{16}


\renewcommand*{\chaptername}{ГЛАВА}

\chapter*{Введение}

Это пособие относится к серии методических пособий, посвященных изложению различных специальных разделов математики, и предназначено для преподавателей и студентов МАТИ. Пособие отличается от имеющихся учебников и других пособий большей доступностью изложения и учетом специфики технического ВУЗа, оно может быть использовано преподавателями при подготовке к лекциям, проведению занятий, а студентами --- при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам.

Данное методическое пособие посвящено изложению вопросов, относящихся к курсу уравнений с частными производными (уравнений математической физики). Рассматриваются основные понятия и определения, связанные с уравнениями с частными производными и вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка. В последующих выпусках предполагается изложить вопросы, относящиеся  к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических, параболических и эллиптических) и численным методам их решений.

Изложение ведется на уровне математической строгости, достаточном для решения прикладных задач в удобном для усвоения материала будущими инженерами-технологами. Иногда оказывается удобным не оговаривать подробно условия дифференцируемости, накладываемые на используемые функции. Обычно считается, что функции имеют столько производных, сколько это необходимо в рассматриваемом случае (в наиболее важных вопросах условия дифференцируемости все же явно указываются). Кроме того, все функции предполагаются заданными в их естественной области определения, которая явно не всегда оговаривается.

\chapter{УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА}

\section{Общие понятия}

Пусть имеется функция $u$ независимых переменных $x_1,x_2,\ldots,\allowbreak x_n$. {\it Уравнением с частными производными\/} называется соотношение, связывающее переменные $x_1,x_2,\ldots,x_n$, функцию $u$ и все ее частные производные до некоторого порядка
\begin{equation}\label{1.1}
F(x_1,\ldots,x_n,u,u_{x_1},\ldots,u_{x_n},u_{x_1x_1},u_{x_1x_2},\ldots)=0.
\end{equation}
{\it Порядком уравнения\/} называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Функция $u=u(x_1,\ldots,x_n)$ называется {\it решением уравнения\/} \eqref{1.1}, если при подстановке ее в это уравнение оно обращается в тождество при допустимых значениях аргументов. Совокупность всех решений уравнения называется {\it общим решением}.

Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными для функции, зависящей от двух переменных $u=u(x,y)$.

\ex Пусть дано уравнение $u_x=0$. Это уравнение фактически означает, что функция $u(x,y)$ не зависит от $x$. Следовательно, решениями являются, например, функции $u(x,y)=y^2+2y$, $u(x,y)=e^y+\sin y$. Общее решение: $u(x,y)=C(y)$, где $C$ --- произвольная функция одной переменной $y$.

\ex Рассмотрим уравнение $u_x=f(x,y)$. Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной $x$
\begin{equation}\label{1.2}
\int u_x\,dx=\int f(x,y)\,dx+C.
\end{equation}
При интегрировании по $x$ мы считаем $y$ постоянным и поэтому произвольная постоянная $C$ в \eqref{1.2} может зависеть от $y$. Тем самым общее решение имеет вид:
$$u(x,y)=\int f(x,y)\,dx+C(y).$$

\ex Пусть дано уравнение $u_{xy}=0$. Из примера~1.1 следует, что $u_y=C(y)$. Решая это уравнение аналогично тому, как решалось уравнение в примере~1.2, будем иметь
$$u(x,y)=\int C(y)\,dy+C_1(x).$$
Обозначим $C_2(y)=\int C(y)\,dy$. Тогда общее решения примет вид
$$u(x,y)=C_1(x)+C_2(y).$$

Заметим, что в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций.

\section{Задача Коши}

Будем рассматривать случай, когда искомая функция $u$ зависит от двух переменных $x,y$. Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид
\begin{equation}\label{2.1}
F(x,y,u,u_x,u_y)=0.
\end{equation}

Всякое решение уравнения \eqref{2.1} $u=u(x,y)$ будем называть {\it интегральной поверхностью\/} (график решения --- поверхность в пространстве с координатами $x,y,u$).

Для того, чтобы из совокупности всех решений уравнений \eqref{2.1} выделить некоторое частное решение, формулируется {\it задача Коши}: найти решение уравнения \eqref{2.1}, удовлетворяющее условию
$$u(x,y)\big|_{x=x_0}=\varphi(y),$$
где $\varphi(y)$ --- некоторая заданная функция.

Обозначим через $l$ кривую в пространстве $x,y,u$, задаваемую уравнениями
\begin{equation}\label{2.2}
x=x_0,\quad u=\varphi(y).
\end{equation}
Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди всех интегральных поверхностей найти ту, которая проходит через заданную кривую $l$.

Можно поставить более общую задачу Коши, не ограничивая кривую $l$ видом \eqref{2.2}, а беря произвольную пространственную кривую. Если обозначить через $\lambda$ проекцию кривой на плоскость $(x,y)$, то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения \eqref{2.1}, удовлетворяющее условию
$$u(x,y)\big|_{(x,y)\in\lambda}=\varphi(x,y).$$

\section{Линейные однородные уравнения первого порядка}\label{p3}

Уравнение с частными производными называется {\it линейным}, если искомая функция $u(x,y)$ и ее частные производные входят в уравнение линейно. Таким образом, линейное уравнение  первого порядка имеет вид
\begin{equation}\label{3.1}
A(x,y)u_x+B(x,y)u_y+C(x,y)u=f(x,y),
\end{equation}
где $A$, $B$, $C$ и $f$ --- заданные функции. Если $f(x,y)=0$, то уравнение называется {\it однородным}.

Отметим, что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Так, например, линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения. Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида
\begin{equation}\label{3.2}
A(x,y)u_x+B(x,y)u_y=0.
\end{equation}
Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений
\begin{equation}\label{3.3}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=A(x,y),\\[6pt]
\dfrac{dy}{dt}=B(x,y),
\end{cases}
\end{equation}
которую будем называть {\it характеристической системой\/} для уравнения \eqref{3.2}, а всякое решение $x(t),y(t)$ этой системы назовем {\it характеристикой}.

Функция $\varphi(x,y)$, не сводящаяся тождественно к постоянной, или равенство $\varphi(x,y)=C$  называется {\it первым интегралом системы\/} \eqref{3.3}, если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина, зависящая лишь от выбора решения.

\begin{theorem}\label{31}
Пусть $\varphi(x,y)=C$ есть первый интеграл системы \eqref{3.3}. Тогда функция $u=\varphi(x,y)$  удовлетворяет уравнению \eqref{3.2}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Подставим в первый интеграл системы \eqref{3.3} какое-либо решение $x(t),y(t)$ этой системы. Получим
$$\varphi(x(t),y(t))=C.$$
Возьмем производную по $t$ от обеих частей этого равенства
$$\frac{d\varphi(x(t),y(t))}{dt}=\varphi_x\frac{dx}{dt}+\varphi_y\frac{dy}{dt}\equiv0.$$
Поскольку $x(t),y(t)$ --- решения характеристической системы \eqref{3.3}, имеем
$$\varphi_xA(x,y)+\varphi_yB(x,y)=0.$$
В силу того, что последнее равенство выполнено для любого решения системы \eqref{3.3}, оно справедливо для любых $x,y$, входящих в область определения. Тем самым функция $\varphi$ удовлетворяет уравнению \eqref{3.2}. Теорема доказана.
\end{proof}

Можно доказать и обратное утверждение.

\begin{theorem}\label{32}
Пусть функция $u=\varphi(x,y)$ удовлетворяет уравнению \eqref{3.2}. Тогда $\varphi(x,y)=C$ есть первый интеграл системы \eqref{3.3}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Подставим в функцию $\varphi(x,y)$ какое-нибудь решение системы \eqref{3.3} и возьмем полную производную по $t$
$$\frac{d\varphi(x(t),y(t))}{dt}=\varphi_x\frac{dx}{dt}+\varphi_y\frac{dy}{dt}=
\varphi_xA(x,y)+\varphi_yB(x,y).$$
Поскольку $\varphi$ --- решение уравнения \eqref{3.2}, имеем
$$\frac{d\varphi(x(t),y(t))}{dt}=0.$$
Следовательно,
$$\varphi(x(t),y(t))=C,$$
а это и означает, что $\varphi(x,y)=C$ есть первый интеграл системы системы \eqref{3.3}. Теорема доказана.
\end{proof}

Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятий первого интеграла системы \eqref{3.3} и решения уравнения \eqref{3.2}.

Если $\varphi(x,y)=C$ --- первый интеграл системы \eqref{3.3}, то произвольная функция $F(\varphi)$ является также первым интегралом этой системы. Следовательно, по теореме~\ref{31}   $F(\varphi)$ удовлетворяет уравнению \eqref{3.2} при произвольной достаточно гладкой функции $F$.

Можно показать, что при выполнении некоторых условий всякое решение уравнения \eqref{3.2} может быть представлено в виде $u=F(\varphi)$. Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение уравнения \eqref{3.2}, надо составить характеристическую систему \eqref{3.3} и найти первый интеграл этой системы. Общее решение уравнения \eqref{3.2} будет
$$u=F(\varphi),$$
где $F$ --- произвольная функция.

\ex Рассмотрим уравнение
\begin{equation}\label{3.4}
xu_x+yu_y=0.
\end{equation}
Характеристическая система для этого уравнения:
\begin{equation}\label{3.5}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=x,\\[6pt]
\dfrac{dy}{dt}=y.
\end{cases}
\end{equation}
Решение этой системы (характеристики) имеет вид
$$\begin{cases}
x=C_1e^t,\\
y=C_2e^t.
\end{cases}$$
Первым интегралом системы \eqref{3.5} является функция $\varphi(x,y)=\dfrac yx$. Следовательно, общее решение уравнения \eqref{3.4} будет
$$u(x,y)=F\left(\frac yx\right),$$
т.е. произвольная однородная функция переменных $x,y$.

Для нахождения первого интеграла характеристической системы \eqref{3.3} можно исключить переменную $t$ и получить обыкновенное дифференциальное уравнение
\begin{equation}\label{3.6}
\frac{dy}{dx}=\frac{B(x,y)}{A(x,y)}.
\end{equation}

Если $y=y(x,C)$ --- общее решение этого уравнения, то выразим произвольную постоянную $C$ через $x,y$ и получим первый интеграл системы \eqref{3.3} $\varphi(x,y)=C$. Аналогично поступим, если будет найден общий интеграл уравнения \eqref{3.6} $F(x,y,C)=0$.

\ex Рассмотрим уравнение
\begin{equation}\label{3.7}
yu_x-xu_y=0.
\end{equation}
Характеристическая система будет иметь вид
\begin{equation}\label{3.8}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=y,\\[6pt]
\dfrac{dy}{dt}=-x.
\end{cases}
\end{equation}
Исключим переменную $t$ из этой системы
$$\frac{dy}{dx}=-\frac xy.$$
Разделяя переменные, получим
$$ydy=-xdx.$$
Проинтегрировав это уравнение, находим его общий интеграл
$$x^2+y^2=C.$$
Это соотношение одновременно является первым интегралом для системы \eqref{3.8}. Заметим, что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат. Итак, общее  решение уравнения \eqref{3.7} имеет вид
\begin{equation}\label{3.9}
u(x,y)=F(x^2+y^2).
\end{equation}

\section{Квазилинейные уравнения первого порядка}

{\it Квазилинейным\/} уравнением первого порядка называется уравнение вида
\begin{equation}\label{4.1}
A(x,y,u)u_x+B(x,y,u)u_y=C(x,y,u).
\end{equation}
Заметим, что линейное уравнение \eqref{3.1} является частным случаем квазилинейного уравнения, в которое функция $u$ может входить и нелинейно.

Будем искать решение уравнения \eqref{4.1} в виде неявной функции
$$\varphi(x,y,u)=C,$$
где $C$ --- произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем
$$u_x=-\frac{\varphi_x}{\varphi_u},\quad u_y=-\frac{\varphi_y}{\varphi_u}.$$
Подставляя эти выражения в \eqref{4.1}, получим для $\varphi$ уравнение
\begin{equation}\label{4.2}
A(x,y,u)\varphi_x+B(x,y,u)\varphi_y+C(x,y,u)\varphi_u=0.
\end{equation}
Это уравнение отличается от уравнения \eqref{3.2} лишь тем, что коэффициенты и искомая функция $\varphi$, входящие в него, зависят от трёх переменных $x,y,u$. Поэтому уравнение \eqref{4.2} решается аналогично уравнению \eqref{3.2}. Для этого рассматривается характеристическая система, состоящая уже из трёх уравнений
\begin{equation}\label{4.3}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=A(x,y,u),\\[6pt]
\dfrac{dy}{dt}=B(x,y,u),\\[6pt]
\dfrac{du}{dt}=C(x,y,u).
\end{cases}
\end{equation}
Если
\begin{equation}\label{4.4}
\varphi_1(x,y,u)=C_1;\quad\varphi_2(x,y,u)=C_2
\end{equation}
--- два {\it независимых\/} (под независимостью понимается разрешимость относительно каких-либо двух из переменных $x,y,u$ равенства \eqref{4.4}) интеграла системы \eqref{4.3}, то общее решение уравнения \eqref{4.2}, а значит, и решение исходного уравнения \eqref{4.1} в виде неявной функции, будет иметь вид
\begin{equation}\label{4.5}
\varphi=F(\varphi_1,\varphi_2),
\end{equation}
где $F$ --- произвольная функция своих аргументов.

\section{Геометрическая интерпретация. Задача Коши}

Пусть в пространстве с координатами $(x,y,u)$ задано поле направлений
$$(A(x,y,u),B(x,y,u),C(x,y,u)),$$
т.е. в каждой точке пространства мы имеем направление, у которого направляющие косинусы пропорциональны $A,B,C$. Это поле направлений определяет семейство линий, таких, что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную, совпадающую с направлением поля в этой точке. Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений
$$\frac{dx}{A(x,y,u)}=\frac{dy}{B(x,y,u)}=\frac{du}{C(x,y,u)},$$
которая, если обозначить через $dt$ общую величину написанных трех отношений, переходит в систему \eqref{4.3}.

Если имеется некоторая поверхность $u=u(x,y)$, то величины $u_x$, $u_y$ и $-1$ пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой поверхности. Таким образом, уравнение \eqref{4.1} выражает условие перпендикулярности нормали и поверхности $u=u(x,y)$ с направлением поля, т.е. уравнение \eqref{4.1} сводится к требованию, чтобы в каждой точке искомой поверхности $u=u(x,y)$ направление, определяемое полем $(A,B,C)$, находилось в касательной плоскости к поверхности.

Пусть некоторая поверхность $u=u(x,y)$ состоит из характеристик системы \eqref{4.3}. Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к характеристике, проходящей через эту точку, лежит в касательной плоскости к поверхности, и следовательно, эта поверхность удовлетворяет уравнению \eqref{4.1}, т.е. является интегральной поверхностью этого уравнения.

Можно показать, что верно и обратное: если некоторая {\it гладкая поверхность\/} (предполагается существование и непрерывность производных $u_x,u_y$) удовлетворяет уравнению \eqref{4.1}, то ее можно полностью заполнить характеристиками.

Из \eqref{4.5} следует, что общее уравнение интегральных поверхностей для уравнения \eqref{4.1} будет иметь вид:
\begin{equation}\label{5.1}
F(\varphi_1,\varphi_2)=0
\end{equation}
(постоянную $C$ можно не писать в силу произвольности $F$).

Если выбрать некоторую функцию $F$, то поверхность \eqref{5.1} будет  геометрическим местом тех характеристик системы \eqref{4.3}, у которых значения постоянных в равенствах \eqref{4.4} связаны соотношением:
\begin{equation}\label{5.2}
F(C_1,C_2)=0.
\end{equation}

Решение уравнения \eqref{4.1} становится, вообще говоря, однозначно определенным, если потребовать, чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую $l$, т.е. если решать задачу Коши. Искомая поверхность будет образована теми характеристиками, которые выходят из точек кривой $l$.

Исключительным является тот случай, когда сама кривая $l$ является характеристикой. В этом случае через линию $l$ проходит, вообще говоря, бесчисленное множество поверхностей.

\ex Рассмотрим уравнение
\begin{equation}\label{5.3}
xuu_x+yuu_y=-(x^2+y^2).
\end{equation}
Соответствующая характеристическая система будет такова:
\begin{equation}\label{5.4}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=xu,\\[6pt]
\dfrac{dy}{dt}=yu,\\[6pt]
\dfrac{du}{dt}=-(x^2+y^2).
\end{cases}
\end{equation}
Из первых двух уравнений имеем
$$\frac{dx}x=\frac{dy}y.$$
Отсюда $\ln|y|=\ln|C_1x|$, что равносильно соотношению
\begin{equation}\label{5.5}
\frac yx=C_1.
\end{equation}
Чтобы найти второй интеграл системы \eqref{5.4}, разделим последнее ее уравнение на второе:
$$\frac{du}{dy}=-\frac{x^2+y^2}{yu}.$$
Пользуясь равенством \eqref{5.5}, получаем
$$\frac{du}{C_1dx}=-\frac{x^2(1+C_1^2)}{C_1xu}.$$
Отсюда
$$udu=-x(1+C_1^2)dx.$$
Интегрируя это равенство, имеем
$$u^2+x^2(1+C_1^2)=C_2.$$
Подставив $C_1$ из \eqref{5.5}, получим второй интеграл
\begin{equation}\label{5.6}
x^2+y^2+u^2=C_2.
\end{equation}
Уравнения \eqref{5.5} определяют плоскости, проходящие через ось $Ou$, а уравнения \eqref{5.6} --- сферы с центром в начале координат. Тем самым характеристики системы \eqref{5.4} --- это семейство окружностей, лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат. Общее решение уравнения \eqref{5.3} будет
\begin{equation}\label{5.7}
F\left(\frac yx,x^2+y^2+u^2\right),
\end{equation}
где $F$ --- произвольная функция двух аргументов.

\ex Решим задачу Коши для уравнения \eqref{5.3}. Среди интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту, которая проходит через прямую
\begin{equation}\label{5.8}
x=1,\quad y=u.
\end{equation}
Исключим $x$, $y$ и $u$ из уравнений \eqref{5.5}, \eqref{5.6} и \eqref{5.8}. Уравнения \eqref{5.5} и \eqref{5.8} дают
$$x=1,\quad y=C_1,\quad u=C_1.$$
Подставляя в уравнение \eqref{5.6}, получаем
$$1+2C_1^2-C_2=0.$$
Таким образом,
$$F(C_1,C_2)=1+2C_1^2-C_2.$$
Отсюда искомая интегральная поверхность имеет вид
$$1+2\left(\frac yx\right)^2-(x^2+y^2+u^2)=0.$$

\ex Будем искать интегральную поверхность для уравнения \eqref{3.7}, проходящую через окружность $x^2+y^2$ в плоскости $(x,y)$. Из общего решения \eqref{3.9} видно что таковой будет любая поверхность
$$u=F(x^2+y^2)-F(1).$$
Например, параболоид
$$u=x^2+y^2-1$$
или конус
$$u=\sqrt{x^2+y^2}-1,$$
наконец, просто плоскость $u=1$. Неоднозначность решения связана здесь с тем, что заданная кривая, через которую должна проходить интегральная поверхность, является характеристикой.



\chapter{ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА}

\setcounter{section}{5}
\section{Классификация линейных уравнений второго порядка}

Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка, линейные относительно старших производных, т.е. имеющие вид
\begin{equation}\label{6.1}
a_{11}u_{xx}+2a_{12}u{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_x,u_y)=0,
\end{equation}
где $a_{11},a_{12},a_{22}$ являются функциями $x$ и $y$.

С помощью преобразования переменных
$$\xi=\varphi(x,y),\quad\eta=\psi(x.y),$$
допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать, чтобы функциональный определитель
$$D=\vmatrix
\varphi_x&\psi_x\\
\varphi_y&\psi_y\endvmatrix$$
был отличен от нуля), можно получить уравнение, эквивалентное исходному. Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные $\xi$ и $\eta$, чтобы относительно них уравнение имело наиболее простой (канонический) вид.

Перейдя к новым переменным, будем иметь
\begin{equation}\label{6.2}
\begin{aligned}
u_x=&u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x,\\
u_y=&u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y,\\
u_{xx}=&(u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x)_\xi\xi_x+(u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x)_\eta\eta_x=
u_{\xi\xi}\xi_x^2+u_\xi(\xi_x)_\xi\xi_x\\
&+u_{\eta\xi}\eta_x\xi_x+u_\eta(\eta_x)_\xi\xi_x+u_{\xi\eta}\xi_x\eta_x+u_\xi(\xi_x)_\eta\eta_x
+u_{\eta\eta}\eta_x^2\\
&+u_\eta(\eta_x)_\eta\eta_x=u_{\xi\xi}\xi_x^2+2u_{\xi\eta}\xi_x\eta_x+u_{\eta\eta}\eta_x^2\\
&+u_\xi((\xi_x)_\xi\xi_x+(\xi_x)_\eta\eta_x)+u_\eta((\eta_x)_\xi\xi_x+(\eta_x)_\eta\eta_x)
=u_{\xi\xi}\xi_x^2\\
&+2u_{\xi\eta}\xi_x\eta_x+u_{\eta\eta}\eta_x^2+u_\xi\xi_{xx}+u_\eta\eta_{xx}.
\end{aligned}
\end{equation}
Аналогично получаем
\begin{equation}\label{6.3}
\begin{aligned}
u_{xy}=&u_{\xi\xi}\xi_x\xi_y+u_{\xi\eta}(\xi_x\eta_x+\xi_y\eta_x)+u_{\eta\eta}\eta_x\eta_y
+u_\xi\xi_{xy}+u_\eta\eta_{xy},\\
u_{yy}=&u_{\xi\xi}\xi_y^2+2u_{\xi\eta}\xi_y\eta_y+u_{\eta\eta}\eta_y^2+u_\xi\xi_{yy}+
u_\eta\eta_{yy}.
\end{aligned}
\end{equation}
После подстановки полученных производных в \eqref{6.1} получим уравнение
\begin{equation}\label{6.4}
\ov a_{11}u_{\xi\xi}+2\ov a_{12}u_{\xi\eta}+\ov a_{22}u_{\eta\eta}+F_1(\xi,\eta,u_\xi,u_\eta,u)=0,
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{6.5}
\begin{aligned}
\ov a_{11}&=a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2,\\
\ov a_{12}&=a_{11}\xi_x\eta_x+a_{12}(\xi_x\eta_y+\eta_x\xi_y)+a_{22}\xi_y\eta_y,\\
\ov a_{22}&=a_{11}\eta_x^2+2a_{12}\eta_x\eta_y+a_{22}\eta_y^2.
\end{aligned}
\end{equation}
Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.
$$F(x,y,u,u_x,u_y)=b_1u_x+b_2u_y+cu+f,$$
то $F_1$ имеет вид
$$F_1(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta)=\beta_1u_\xi+\beta_2u_\eta+\gamma u+\delta.$$
Таким образом, уравнение в этом случае снова получается линейным.

Попытаемся выбрать переменную $\xi=\varphi(x,y)$ так, чтобы коэффициент $\ov a_{11}$  в уравнении \eqref{6.4} был равен нулю. Для этого необходимо, чтобы $\xi=\varphi(x,y)$ было решением уравнения
\begin{equation}\label{6.6}
a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2=0.
\end{equation}

Уравнение \eqref{6.6} можно записать в виде произведения
\begin{multline*}
\left[a_{11}\xi_x-\left(-a_{12}+\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}\right)\xi_y\right]\\
\times
\left[a_{11}\xi_x-\left(-a_{12}-\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}\right)\xi_y\right]=0.
\end{multline*}
Таким образом, решение уравнения \eqref{6.6} свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка
\begin{equation}\label{6.7}
a_{11}\xi_x-\left(-a_{12}\pm\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}\right)\xi_y=0.
\end{equation}
Из \ref{p3} следует, что для решения уравнений \eqref{6.7} надо найти общий интеграл каждого из уравнений
\begin{equation}\label{6.8}
\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}\pm\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}.
\end{equation}

На вид решений уравнений \eqref{6.8} существенно влияет знак подкоренного выражения $a_{12}^2-a_{11}a_{22}$. По знаку этого выражения определяется тип уравнения \eqref{6.1}.

Будем  называть уравнение \eqref{6.1} в точке $M$

\medskip

{\it гиперболического типа}, если $a_{12}^2-a_{11}a_{22}>0$,

\medskip

{\it эллиптического типа}, если $a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0$,

\medskip

{\it параболического типа}, если $a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0$.

Можно убедиться в справедливости равенства
$$\ov a_{12}^2-\ov a_{11}\ov a_{22}=(a_{12}^2-a_{11}a_{22})D^2,$$
из которого следует, что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных.

Следует отметить также, что тип уравнения зависит от точки $M$ и в разных точках может быть разным.

\ex Рассмотрим уравнение
\begin{equation}\label{6.9}
u_{xx}+xu_{yy}=0,
\end{equation}
здесь $a_{11}=1$, $a_{12}=0$ и $a_{22}=x$, следовательно,
$$a_{12}^2-a_{11}a_{22}=-x.$$

Тем самым при $x<0$ уравнение \eqref{6.9} гиперболического типа, при $x=0$ --- параболического типа, а при $x>0$ --- эллиптического типа.

\section[Приведение к канонической форме]{Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме}

Уравнение
\begin{equation}\label{7.1}
a_{11}dy^2-2a_{12}dxdy+a_{22}dx^2=0
\end{equation}
будем называть {\it характеристическим\/} для уравнения \eqref{6.1}, а его интегралы --- {\it характеристиками}. Уравнение \eqref{6.1} распадается на два уравнения \eqref{6.8} и играет основную роль в задаче приведения к каноническому виду уравнения \eqref{6.1}. Заметим, что для уравнения гиперболического типа характеристики действительные и различные, для уравнений эллиптического типа --- комплексные и различные, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают.

Разберем каждый из этих случаев в отдельности.

1. Для уравнений гиперболического типа $a_{12}^2-a_{11}a_{22}>0$ и правые части уравнений \eqref{6.8} действительные и различные. Общие интегралы их $\varphi(x,y)=C$ и $\psi(x,y)=C$  определяют семейства характеристик.

Положим
$$\xi=\varphi(x,y),\quad\eta=\psi(x,y),$$
тогда коэффициенты $\ov a_{11}$ и $\ov a_{22}$ \eqref{6.5} обратятся в нуль и уравнение \eqref{6.4} после деления на коэффициент при $u_{\xi\eta}$ приведется к виду
\begin{equation}\label{7.2}
u_{\xi\eta}=\Phi(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta),
\end{equation}
где $\Phi=-\dfrac{F_1}{2\ov a_{12}}$. Это --- так называемая {\it каноническая\/} форма уравнений гиперболического типа. Часто пользуется другой канонической формой. Положим
$$\alpha=\frac{\xi+\eta}2,\quad\beta=\frac{\xi-\eta}2,$$
где $\alpha$ и $\beta$ --- новые переменные. Тогда
$$u_\xi=\frac12(u_\alpha+u_\beta),\quad u_\eta=\frac12(u_\alpha-u_\beta),\quad u_{\xi\eta}=\frac14(u_{\alpha\alpha}-u_{\beta\beta})$$
и уравнение \eqref{7.2} примет вид
$$u_{\alpha\alpha}-u_{\beta\beta}=\Phi_1,$$
где $\Phi_1=4\Phi$.

2. Для уравнений параболического типа $a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0$, и уравнение \eqref{6.8} дает один общий интеграл $\varphi(x,y)=C$. Положим в этом случае
$$\xi=\varphi(x,y),\quad\eta=\psi(x,y),$$
где $\psi(x,y)$ --- любая функция, допускающая вместе с $\varphi(x,y)$ обратное преобразование переменных. Тогда
\begin{gather*}
\ov a_{11}=a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2
=a_{11}\left[\xi_x+\frac{a_{12}}{a_{11}}\xi_y\right]^2=0,\\
\ov a_{12}=a_{11}\left[\xi_x+\frac{a_{12}}{a_{11}}\xi_y\right]
\left[\eta_x+\frac{a_{12}}{a_{11}}\eta_y\right]=0,
\end{gather*}
т.к. $a_{12}^2=a_{11}a_{22}$. После деления уравнения \eqref{6.4} на коэффициент при $u_{\xi\eta}$ получим каноническую форму для уравнения параболического типа
$$u_{\eta\eta}=\Phi(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta),$$
где $\Phi=-\dfrac{F_{11}}{\ov a_{22}}$.

3. Для уравнения эллиптического типа $a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0$ и правые части уравнения \eqref{6.8} комплексно сопряженные, поэтому общие интегралы этих уравнений будут также комплексно сопряженными
$$\varphi(x,y)=C,\quad\ov\varphi(x,y)=C.$$
Чтобы не иметь дела с комплексными переменными и функциями, введем новые, уже вещественные, переменные $\alpha$ и $\beta$
$$\alpha=\frac{\varphi+\ov\varphi}2,\quad\beta=\frac{\varphi-\ov\varphi}{2i},$$
т.е. $\varphi=\alpha+i\beta$, $\ov\varphi=\alpha-i\beta$. Таким образом,
\begin{multline*}
0=a_{11}\varphi_x^2+2a_{12}\varphi_x\varphi_y+a_{22}\varphi_y^2=a_{11}(\alpha_x+i\beta_x)^2+
2a_{12}(\alpha_x+i\beta_x)(\alpha_y+i\beta_y)\\+a_{22}(\alpha_y+i\beta_y)^2
=(a_{11}\alpha_x^2+2a_{12}\alpha_x\alpha_y+a_{22}\alpha_y^2)-
(a_{11}\beta_x^2+2a_{12}\beta_x\beta_y+a_{22}\beta_y^2)\\
+2i(a_{11}\alpha_x\beta_x+a_{12}(\alpha_x\beta_y+\alpha_y\beta_x)+a_{22}\alpha_y\beta_y).
\end{multline*}
Отсюда следует (см.~\eqref{6.5}), что $\ov a_{11}=\ov a_{22}$ и $\ov a_{12}=0$. Уравнение \eqref{6.4} после деления на коэффициент при $u_{\alpha\alpha}$ принимает вид
$$u_{\alpha\alpha}+u_{\beta\beta}=\Phi(\alpha,\beta,u,u_\alpha,u_\beta),$$
где $\Phi=-\dfrac{F_1}{\ov a_{11}}$.

Итак, в зависимости от знака выражения $a_{12}^2-a_{11}a_{22}$ (т.е. от типа уравнения) получаем следующие канонические формы уравнения \eqref{6.1}:

\begin{enumerate}
\item Гиперболический тип: $u_{\xi\eta}=\Phi$ или $u_{\alpha\alpha}-u_{\beta\beta}=\Phi$.
\item Параболический тип: $u_{\eta\eta}=\Phi$.
\item Эллиптический тип: $u_{\alpha\alpha}+u_{\beta\beta}=\Phi$.
\end{enumerate}

\section[Канонические формы для постоянных коэффициентов]{Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами}

Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
\begin{equation}\label{8.1}
a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu+f(x,y)=0.
\end{equation}
Решая уравнение \eqref{6.8} получаем характеристики, которые будут прямыми линиями
$$y=\lambda_1x+C_1,\quad y=\lambda_2x+C_2,$$
где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ корни уравнения (его удобно в данном случае тоже называть характеристическим)
\begin{equation}\label{8.2}
a_{11}\lambda^2-2a_{12}\lambda+a_{22}=0.
\end{equation}

Теперь с помощью соответствующего преобразования переменных, а именно:

1. Если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ вещественные и различные (гиперболический тип)
$$\xi=y-\lambda_1x,\quad\eta=y-\lambda_2x\quad\mbox{или}\quad\xi=y-\frac{\lambda_1+\lambda_2}2x,
\quad\eta=\frac{\lambda_2-\lambda_2}2x;$$

2. Если $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ (параболический тип)
$$\xi=y-\lambda x,\quad\eta=x;$$

3. Если $\lambda_{1,2}=a\pm ib$ ($b\ne0$) (эллиптический тип)
$$\xi=y-ax,\quad\eta=bx;$$
уравнение \eqref{8.1} приводится к одному из следующих видов:
\begin{enumerate}
\item $u_{\xi\eta}+\Phi=0$ или $u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}+\Phi=0$;
\item $u_{\eta\eta}+\Phi=0$;
\item $u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+\Phi=0$;
\end{enumerate}
здесь $\Phi=\beta_1u_\xi+\beta_2u_\eta+cu+f$.

\ex Привести к каноническому виду уравнение
\begin{equation}\label{8.3}
u_{xx}+3u_{xy}+2u_{yy}=0.
\end{equation}
Напишем характеристическое уравнение \eqref{8.2}
$$\lambda^2-3\lambda+2=0.$$
Следовательно, $\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$. Уравнение --- гиперболического типа, поэтому делаем замену
$$\xi=y-x,\quad\eta=y-2x\quad\mbox{или}\quad\xi=y-\frac32x,\quad\eta=x.$$
После замены переменных уравнение имеет вид $u_{\xi\eta}=0$ или $u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}=0$. Заметим, что решение уравнения $u_{\xi\eta}=0$ рассматривалось в примере~1.3. Тем самым мы можем выписать общее решение уравнения \eqref{8.3}
$$u=\varphi(\xi)+\psi(\eta)=\varphi(y-x)+\psi(y-2x).$$

\ex Привести к каноническому виду уравнение
\begin{equation}\label{8.4}
u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}+u_x+u_y=0.
\end{equation}

Решая характеристическое уравнение
$$\lambda^2-2\lambda+1=0,$$
получаем $\lambda_1=\lambda_2=1$. Следовательно, уравнение \eqref{8.4} параболического типа. Делаем замену $\xi=y-x$, $\eta=x$. Имеем
\begin{align*}
u_x&=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x=u_\eta-u_\xi,\\
u_y&=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y=u_\xi,\\
u_{xx}&=(u_\eta-u_\xi)_\xi\xi_x+(u_\eta-u_\xi)_\eta\eta_x=-(u_{\eta\xi}-u_{\xi\xi})+
(u_{\eta\eta}-u_{\xi\eta})\\
&\hspace{242pt}=u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta},\\
u_{yy}&=(u_\xi)_\xi\xi_y+(u_\xi)_\eta\eta_y=u_{\xi\xi},\\
u_{xy}&=(u_\eta-u_\xi)_\xi\xi_y+(u_\eta-u_\xi)_\eta\eta_y=u_{\eta\eta}-u_{\xi\xi}.
\end{align*}
Подставляя полученные выражения в уравнение \eqref{8.4} и приводя подобные члены, будем иметь
$$u_{\eta\eta}+u_\eta=0.$$
Заметим, что мы получили уравнение, которое можно рассматривать и как обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от параметра $\xi$. Решая его, получаем
$$u=C_1(\xi)+C_2(\xi)e^{-\eta}=C_1(y-x)+C_2(y-x)e^{-x}.$$

\ex Привести к каноническому виду уравнение
\begin{equation}\label{8.5}
u_{xx}-2u_{xy}+2u_{yy}+u_x+u_y=0.
\end{equation}
Для корней характеристического уравнения
$$\lambda^2+2\lambda+2=0$$
имеем $\lambda_{1,2}=-1\pm i$. Уравнение --- эллиптического типа, поэтому делаем замену
$$\xi=x+y,\quad\eta=x.$$
Подставляя выражения
\begin{align*}
u_x&=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x=u_\xi+u_\eta,\\
u_y&=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y=u_\xi,\\
u_{xx}&=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta},\\
u_{xy}&=u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta},\quad u_{yy}=u_{\xi\xi},
\end{align*}
в уравнение \eqref{8.5}, получаем
\begin{equation}\label{8.6}
u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+2u_\xi+u_\eta=0.
\end{equation}

Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами возможны дальнейшие упрощения канонической формы уравнений. Введем для этого вместо $u$ новую функцию $v$:
$$u=e^{\lambda\xi+\mu\eta}v,$$
где $\lambda$ и $\mu$ --- некоторые постоянные. Тогда
\begin{equation}\label{87}
\begin{aligned}
u_\xi&=e^{\lambda\xi+\mu\eta}(v_\xi+\lambda v),\\
u_\eta&=e^{\lambda\xi+\mu\eta}(v_\eta+\mu v),\\
u_{\xi\xi}&=e^{\lambda\xi+\mu\eta}(v_{\xi\xi}+2\lambda v_\xi+
\lambda^2v),\\
u_{\xi\eta}&=e^{\lambda\xi+\mu\eta}(v_{\xi\eta}+2\lambda v_\eta+\mu v_\xi
+\lambda\mu v),\\
u_{\eta\eta}&=e^{\lambda\xi+\mu\eta}(v_{\eta\eta}+2\mu v_\eta+\mu^2v).
\end{aligned}
\end{equation}
Подставляем эти выражения, например, в уравнение
$$u_{\xi\eta}+\beta_1u_\xi+\beta_2u_\eta+cu+f=0$$
и сокращая затем на $e^{\lambda\xi+\mu\eta}$, получим
$$v_{\xi\eta}+(\mu+\beta_1)v_\xi+(\lambda+\beta_2)v_\eta+(\lambda\mu
+\beta_1\lambda+\beta_2\mu+c)v+f_1=0.$$
Выберем параметры $\lambda$ и $\mu$ так, чтобы коэффициенты при первых производных обратились в нуль ($\lambda=-\beta_2$, $\mu=-\beta_1$). В результате получим
$$v_{\xi\eta}+\gamma v+f_1=0,$$
где $\gamma=\lambda\mu+\beta_1\lambda+\beta_2\mu+c=c-\beta_1\beta_2$, $f_1=fe^{\lambda\xi+\mu\eta}$.

Аналогично упрощения проводятся и для других канонических форм. Окончательно приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами:
\begin{enumerate}
\item Гиперболический тип
$$v_{\xi\eta}+\gamma v+f_1=0\quad\mbox{или}\quad v_{\xi\xi}-
v_{\eta\eta}-\gamma v+f_1=0.$$
\item Параболический тип
$$v_{\eta\eta}+\beta_1v_{\xi}+f_1=0.$$
\item Эллиптический тип
$$v_{\xi\xi}+v_{\eta\eta}+\gamma v+f_1=0.$$
\end{enumerate}

\ex Упростим уравнение \eqref{8.6}, полученное в примере~8.3. Подставляя выражения для производных \eqref{87} и сокращая на $e^{\lambda\xi+\mu\eta}$, будем иметь
$$v_{\xi\xi}+v_{\eta\eta}+2(\lambda+1)v_{\xi}+(2\mu+1)
v_{\eta}+(\lambda^2+\mu^2-2\lambda+\mu)v=0.$$
Выберем $\lambda=-1$, $\mu=-\dfrac12$. Тогда уравнение будет иметь вид
$$v_{\xi\xi}+v_{\eta\eta}-\frac54v=0.$$




\tableofcontents

\end{document}
