\documentclass[12pt,draft,reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage{srctex}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}






\tolerance 1550







\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\wa}{\widetilde a}
\newcommand*{\wb}{\widetilde b}
%\newcommand*{\wx}{\widetilde x}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wN}{\widehat N_\delta}
\newcommand*{\Wt}{W_2^1([0,l])}
\newcommand*{\WWt}{\mathcal W_2^1(\mathbb T)}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
%\newcommand*{\wnu}{\widehat\nu}
\newcommand*{\WK}{\mathcal K([-\pi,\pi])}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\ta}{\alpha'}
\newcommand*{\tb}{\widetilde \beta}
\newcommand*{\tx}{x'}
\newcommand*{\tu}{u'}
\newcommand*{\tv}{ v'}
\newcommand*{\thc}{\xi'}
\newcommand*{\wha}{\widehat \alpha}
\newcommand*{\whb}{\widehat b}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
%\newcommand*{\wmu}{\widehat {\mathcal U}}
\newcommand*{\whu}{\widetilde{\overline u}}
\newcommand*{\wou}{\widehat{\overline u}}
\newcommand*{\woa}{\widehat{\overline \alpha}}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ws}{\widehat \sigma}
\newcommand*{\wt}{\widehat\tau}
\newcommand*{\wy}{\widehat y}
\newcommand*{\wc}{\widehat \xi}
\newcommand*{\wo}{\mathcal O}
\newcommand*{\ww}{\widehat w}
\newcommand*{\wF}{\widehat F}
\newcommand*{\wf}{\widehat \Phi}
\newcommand*{\wtx}{\widetilde x}
\newcommand*{\wtc}{\widetilde \xi}
\newcommand*{\wtv}{\widetilde v}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}


\DeclareMathOperator*{\card}{card}

\renewcommand*{\contentsname}{Содержание}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{corollary}{Следствие}
\newtheorem*{proposition}{Предложение}
\newtheorem*{definition}{Определение}




%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}}


\begin{document}


\title[Восстановление температуры трубы]{Оптимальное восстановление температуры трубы по неточным измерениям}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, Е.~О.~Сивкова}



%\address{Институт проблем управления имени В.~А.~Трапезникова РАН}
\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова}
\address{Институт проблем передачи информации
им. А.~А.~Харкевича РАН}
%\address{Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН}

\begin{abstract}
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения уравнения
теплопроводности на многообразии, представляющим собой произведение прямой и окружности,
в данный момент времени по неточным измерениям этого решения в другие моменты времени.
Построено семейство оптимальных методов восстановления.
\end{abstract}

\maketitle


\section*{Введение}


Работа посвящена задаче наилучшего восстановления решения уравнения теплопроводности на
многообразии $\mathbb R\times\mathbb T$ ($\mathbb T$ --- единичная окружность) в данный
момент времени по приближенным измерениям этого решения в другие моменты времени.
Многообразие $\mathbb R\times\mathbb T$ моделирует трубу, и в этом смысле задача состоит
в том, чтобы наилучшим образом восстановить температуру трубы в момент времени $\tau$ по
приближенным ее измерениям в моменты $t_i$, $i=1,\ldots,n$. В работе найдено семейство
линейных оптимальных методов восстановления температуры трубы, и при этом каждый метод
использует не более двух измерений. Следует сказать, что результаты работы переносятся на
случай многообразий вида $\mathbb R^n\times\mathbb T^m$. Но чтобы не загромождать
изложение, мы ограничились случаем, когда $n=m=1$. Статья примыкает к кругу проблем,
связанных с задачами оптимального восстановления значений линейных операторов на классах
множеств, элементы которых известны приближенно. Сама тематика возникла в 60-е годы, и
начало ее было положено в работах\cite{S}--\cite{MM}. Впоследствии основное внимание
уделялось задачам восстановления функций и их производных по неточно заданному спектру и
задачам оптимального восстановления решений уравнений математической физики (см.,
например, \cite{MO1}--\cite{MS1}). Настоящая работа относится ко второму циклу задач.


\section*{Постановка задачи и формулировка основного результата}

Распространение тепла на многообразии $M=\mathbb R\times\mathbb T$ описывается уравнением
теплопроводности
\begin{equation}\label{1}
\frac{\partial u(x,y,t)}{\partial t}=\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial
x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2}\,,
\end{equation}
где $x\in\mathbb R$, $y\in\mathbb T$ и $t\ge0$, с начальной функцией $f\cd$ переменных
$(x,y)$.

Мы предполагаем, что  $f\cd$ принадлежит $L_2(M)$. В этом случае для каждого $t>0$
существует единственное решение $u(\cdot,t)$ уравнения \eqref{1}, принадлежащее $L_2(M)$
и сходящееся к $f\cd$ в метрике $L_2(M)$ при $t\to0$.

Ставится следующая задача. Пусть в моменты времени $0\le t_1<\ldots <t_n$  мы имеем
возможность померить с известной погрешностью температуру трубы. Как по этой информации
восстановить температуру трубы в момент времени $\tau\ne t_i$, $i=1,\ldots,n$?

Точная постановка такова. Пусть известны функции $g_i\cd\in L_2(M)$ и числа $\delta_i>0$,
$i=1,\ldots,n$, такие, что
$$
\|u(\cdot,t_i)-g_i\cd\|_{L_2(M)}\le\delta_i,\quad i=1,\ldots,n.
$$
Под задачей оптимального восстановления функции $u(\cdot,\tau)$ по данной информации
понимается следующее. Всякий метод восстановления является отображением
$\varphi\colon(L_2(M))^n\to L_2(M)$. Погрешностью метода $\varphi$ называется величина
$$
e_\tau(\ov g\cd,\ov\delta,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in L_2(M),\ g_i\cd\in L_2(M),\
i=1,\ldots,n\\\|u(\cdot,\,t_i\!)-g_i\cd\|_{L_2(M)}\le\delta_i,\
i=1,\ldots,n}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(\ov g\cd)\|_{L_2(M)},
$$
где $\ov g=(g_1\cd,\ldots,g_n\cd)$ и $\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$.

%Эта величина есть наибольшее



Нас интересует величина
$$
E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=\inf_{\varphi}e_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta,\varphi),
$$
где нижняя грань берется по всем отображениям $\varphi\colon(L_2(M))^n\to L_2(M)$,
которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и методы $\widehat
\varphi$, на которых нижняя грань достигается, называемые {\it оптимальными методами
восстановления}, т.~е. такие методы, что
$$
E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=e_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta, \widehat\varphi).
$$

Аналогичная задача на прямой была рассмотрена в работе \cite{MOr}, и общая схема
доказательства во многом похожа на используемую здесь. Однако наличие периодической
составляющей существенно меняет отдельные этапы рассуждений.


Для формулировки теоремы понадобятся некоторые определения. Напомним, что преобразование
Фурье $F$ в $L_2(M)$ переводит функции из $L_2(M)$ в функции из $L_2(\widehat M\,)$, где
$\widehat M=\mathbb R\times\mathbb Z$, и является изометрическим изоморфизмом этих
пространств. Квадрат нормы функции $a\cd\in L_2(\widehat M\,)$ определяется по формуле
\begin{equation*}
\frac1{(2\pi)^2}\int_{\widehat M}|a(\xi,k)|^2\,d\xi dk=\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb
Z}\int_{\mathbb R}|a(\xi,k)|^2\,d\xi.
\end{equation*}
Если $g\cd\in L_2(M)$, то $F[g]\cd$ обозначает преобразование Фурье функции $g\cd$.


Далее, на двумерной плоскости $(t,x)$ рассмотрим выпуклое множество
$$
A={\rm conv}\,\{\,(t_i,\ln(1/\delta_i)),\,\,1\le i\le n\,\}+\{\,(t,0) :\,\,t\ge0\,\},
$$
которое представляет собой алгебраическую сумму выпуклой оболочки конечного числа точек
$(t_i,\ln(1/\delta_i))$, $i=1,\ldots,n$, и положительной полупрямой.

Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ равенством: $\theta(t)= \max\{\,x :
(t,x)\in A\,\}$, причем $\theta(t)=-\infty$, если $(t,x)\notin A$ ни для какого $x$.
Ясно, что $\theta\cd$ --- вогнутая неубывающая ломаная на $[t_1,\infty)$. Обозначим через
$t_{s_1}<\ldots<t_{s_k}$ ее точки излома (считая $t_1$ также точкой излома, т.~е.
$t_{s_1}=t_1$). Понятно, что если $k>1$, то на $[t_{s_1},t_{s_k}]$ функция $\theta\cd$
возрастает, а на $[t_{s_k},\infty)$ --- она константа, равная $\ln(1/\delta_{s_k})$.

Если $\tau\in(t_{s_i}, t_{s_{i+1}})$,  $1\le i\le k-1$, то положим
$$
\wl_{s_i}=\wl_{s_i}(\tau)=\frac{t_{s_{i+1}}-\tau}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}\left(\frac
{\delta_{s_i}}{\delta_{s_{i+1}}}\right)^{ \frac{-2 (\tau-t_{s_i})}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}},
$$
$$\wl_{s_{i+1}}=\wl_{s_{i+1}}(\tau)=\frac{\tau-t_{s_i}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}\left(\frac
{\delta_{s_i}}{\delta_{s_{i+1}}}\right)^{ \frac{ 2
(t_{s_{i+1}}-\tau)}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}.
$$
Легко видеть, что это положительные числа, причем $\wl_{s_i}<1$.

Для данного $\tau$ определим еще положительное число
$$
r_i=r_i(\tau)=-\frac{\ln\wl_{s_i}}{\tau-y_{s_i}}
$$
и обозначим $B(r_i)=\{\,(\xi,k)\in \mathbb R\times \mathbb Z : \xi^2+k^2\le r_i\,\}$.




\begin{theorem}\label{T1}
Для любого $\tau>0$ справедливо равенство
$$
E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=e^{-\theta(\tau)}.
$$

Если $\tau\in(t_{s_i}, t_{s_{i+1}})$, $1\le i\le k-1$, то множество  функций $a\cd$ на
$\mathbb R\times \mathbb Z$, измеримых для каждого $k\in\mathbb Z$, и  таких, что
\begin{equation}\label{lgl}
\frac{|b(\xi,k)|^2}{\wl_{s_i}} +\frac{|a(\xi,k)|^2}{\wl_{s_{i+1}}}\le1,
\end{equation}
где
$b(\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)(\tau-y_{s_i})}-a(\xi,k)e^{-(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}$,
если $(\xi,k)\in B(r_i)$ и равных нулю вне $B(r_i)$, не пусто. Для каждой такой функции
$a\cd$ метод $\widehat\varphi_a$, определенный формулой
\begin{equation}\label{met}
\widehat\varphi_a(g_1\cd,\ldots,g_n\cd)=(K_{b}*g_{s_i})\cd+(K_{a}*g_{s_{i+1}})\cd,
\end{equation}
где $F[K_{b}](\xi,k)=b(\xi,k)$ и $F[K_{a}](\xi,k)=a(\xi,k)$, является оптимальным.


Если $\tau>t_{s_k}$, то метод $\widehat\varphi$, определенный формулой
$\widehat\varphi(g_1\cd,\ldots,\\g_n\cd)=(K*g_{s_k})\cd$, где
$F[K](\xi)=e^{-(\xi^2+k^2)t_{s_k}}$, оптимален.
\end{theorem}

Заметим, что определение оптимальных методов корректно. Действительно, функция $a\cd$
ограничена (как следует из \eqref{lgl}) и обращается в ноль за пределами некоторого шара.
Следовательно, она принадлежит $L_2(\widehat M)$ и значит, является образом некоторой
функции $K_a\in L_2(M)$. Аналогично получаем, что $K_{b}\in L_2(M)$ и поэтому свертка
имеет смысл.

Отметим, что если $t_1>0$ и $0<\tau<t_1$, то, по определению,  $\theta(\tau)=-\infty$ и
тем самым $E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=+\infty$, т.~е. ``прошлое нельзя восстановить
по неточному настоящему''.

Отметим еще, что оптимальные методы линейны, ``сглаживают'' наблюдения  и используют
информацию о не более чем двух измерениях.


\section*{Доказательство теоремы}




Общая схема дальнейших рассуждений такова. Мы получим оценку снизу для величины
$E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)$ при любом $\tau>0$, а затем покажем, что погрешность
любого из методов \eqref{met} не превосходит этой оценки. Отсюда, очевидно,  будет
следовать, что данные методы оптимальны. Потом установим, что множество таких методов не
пусто.

Как уже отмечалось, для каждого $t>0$ решение уравнения \eqref{1} однозначно определяется
начальной функцией $f\cd$,  поэтому далее удобно писать $u(\cdot,t,f)$ вместо
$u(\cdot,t)$.

\subsection*{Оценка снизу $E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)$}
Для погрешности оптимального восстановления справедлива следующая оценка
\begin{equation}\label{mest}
E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)\ge\sup_{\substack{f\cd \in L_2(M),\\
        \|u(\cdot,\,t_i,f)\|_{L_2(M)} \le \delta_i, \, i=1,\ldots,n} }
\|u(\cdot,\tau,f)\|_{L_2(M)}.
\end{equation}
Это общий факт, верный в значительно более общей ситуации, чем рассматривается здесь.
Доказательство его не приводим (см., например, \cite{MOr}).

Нас интересует точное значение величины справа в \eqref{mest}. Оно есть значение
следующей экстремальной задачи
\begin{multline}\label{Z1}
\| u(\cdot,\tau,f)\|_{L_2(M)}\to \max, \quad \|u(\cdot,t_i,f)\|_{L_2(M)} \le \delta_i,
\quad  i=1,\ldots,n, \\ f\cd\in L_2(M),
\end{multline}
т.~е. верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях.


Если искать решение уравнения \eqref{1} методом Фурье (см., например, \cite{KF}), то
нетрудно проверить, что
\begin{equation*}
F[u(\cdot,t,f)](\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)t}F[f](\xi,k)
\end{equation*}
для любого $t>0$, п.~в. $\xi\in\mathbb R$ и всех $k\in\mathbb Z$.

Тогда согласно теореме Планшереля
\begin{equation*}
\int_{M}|u(x,y,t,f)|^2\,dx dy=\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb
R}e^{-2(\xi^2+k^2)t}|F[f](\xi,k)|^2\,d\xi.
\end{equation*}
Отсюда следует, что в образах Фурье квадрат значения задачи \eqref{Z1} равен значению
такой задачи:
\begin{multline}\label{Z2}
\frac{1}{(2\pi)^2} \sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}
e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}|F[f](\xi,k)|^2\, d\xi \to \max, \\ \frac{1}{(2\pi)^2}
\sum_{k\in\mathbb Z} \int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}|F[f](\xi,k)|^2\,d\xi \le
\delta_i^2, \quad i=1,\ldots,n,\\ f\cd\in L_2(M).
\end{multline}
При каждом $k\in\mathbb Z$ интегралы можно рассматривать как интегрирование по
положительным мерам $d\mu_k(\xi)=(2\pi)^{-2}|F[f](\xi,k)|^2 d\xi$ на $\mathbb R$,
порожденным функциями $f\cd\in L_2(M)$. Для нахождения значения данной задачи удобно
рассмотреть более общую постановку, а именно, задачу на множестве всех положительных
борелевских мер на $\mathbb R$:
\begin{multline}\label{Z3}
\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}\,d\mu_k(\xi) \to \max,\\
\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}\, d\mu_k(\xi) \le \delta_i^2,
\quad i=1,\ldots,n, \quad d\mu_k \ge 0,\,\, \,k\in\mathbb Z.
\end{multline}
Мы найдем значение этой задачи, которое, очевидно, не меньше значения задачи \eqref{Z2},
а потом покажем, что, на самом деле, значения этих задач совпадают.

Задача \eqref{Z3} относительно переменной $\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ представляет собой
задачу максимизации линейного функционала на выпуклом множестве. Для нахождения ее
решения воспользуемся стандартными приемами.


Сопоставим этой задаче следующую функцию Лагранжа
\begin{multline*}
\mathcal{L}(\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \lambda)=-\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}
 e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}\,d\mu_k(\xi)\\+
 \sum_{i=1}^n\lambda_i\left(\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}\,
 d\mu_k(\xi)-\delta_i^2\right),
\end{multline*}
которая определена на всех наборах $\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$, где $d\mu_k$ ---
борелевские меры на $\mathbb R$, принимающие значения в $\mathbb R$ и всех наборах
$\lambda=(\lambda_1, \ \lambda_2, \ldots, \lambda_n)\in\mathbb R^n$, называемых
множителями Лагранжа.

Согласно достаточным условиям в теореме Каруша--Куна--Так\-кера (см., например,
\cite{MT}), если существует допустимый в задаче \eqref{Z3} набор
$\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и набор множителей Лагранжа
$\widehat{\lambda}=(\widehat{\lambda}_1, \ \widehat{\lambda}_2, \ldots,
\widehat{\lambda}_n)$ такие, что выполняются условия
\begin{enumerate}
\item [$(a)$] $\min\limits _{\{d \mu_k\ge 0\}_{k\in\mathbb Z}} \mathcal{L} (\{d \mu_k\}_{k\in\mathbb
Z},\, \widehat\lambda\,)=\mathcal{L}(\{d \widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},
\,\widehat{\lambda}\,)$;\\[5pt]
\item [$(b)$]$\widehat{\lambda}_i \ge 0, \ 1\le i\le n$;\\[5pt]
\item [$(c)$]$\widehat{\lambda}_i \left(\sum\limits_{k\in\mathbb Z} \int_{\mathbb R}
e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}\, d\widehat{\mu}_k(\xi) - \delta_i^2\right)=0, \quad i=1,\ldots,n$,
\end{enumerate}
то $\{d \widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ --- решение задачи \eqref{Z3}.


Анализируя условия $(a)$, $(b)$ и $(c)$, можно понять какие должны быть
$\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и $\widehat{\lambda}$. Но, не проводя здесь этого
анализа, предъявим сразу допустимый набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и набор
множителей Лагранжа $\widehat{\lambda}=(\widehat{\lambda}_1, \ \widehat{\lambda}_2,
\ldots, \widehat{\lambda}_n)$, удовлетворяющих условиям $(a)$, $(b)$ и $(c)$.

Пусть $\tau>0$ и $\tau\ne t_i$, $i=1,\ldots, n$. Тогда либо $\tau\in(t_{s_i},\,
t_{s_{i+1}})$ для некоторого  $1\le i\le k-1$, либо $\tau>t_{s_k}$, либо $\tau<t_1$, если
$t_1>0$. Рассмотрим первый случай.



Пусть $\tau\in(t_{s_i},\, t_{s_{i+1}})$,  $1\le i\le k-1$. Определим вектор
$\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_n)$ так, что $\wl_{s_i}$ и $\wl_{s_{i+1}}$ --- положительные
числа, определенные перед формулировкой теоремы и $\wl_j=0$, если $j\ne s_i,\,s_{i+1}$,

Набор мер $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ определим следующим образом:
$d\widehat\mu_k=0$, если $k\ne0$ и $d\widehat\mu_0=A\delta_{\xi_0}$, где $\delta_{\xi_0}$
--- мера Дирака в точке $\xi_0$ такой, что
\begin{equation}\label{rr}
\xi^2_0=\frac{\ln (1/\delta_{s_{i+1}})-\ln (1/\delta_{s_i})}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}\,,
\end{equation}
а
\begin{equation}\label{rr1}
A=\delta_{s_i}^{\frac{2 t_{s_{i+1}}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\,\delta_{s_{i+1}}^{-\frac{2
t_{s_i}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\,.
\end{equation}
Так как функция $\theta\cd$, определенная выше, возрастает на $[t_{s_1},t_{s_k}]$, то
числитель в формуле \eqref{rr} положителен.



Нетрудно убедиться, что с такими $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и
$\widehat{\lambda}$ выполнено условие $(c)$, которое в данном случае имеет вид
\begin{equation}\label{DN}
\int_{\mathbb R} e^{-2\xi^2t_{j}}\,d\widehat{\mu}_0(\xi)=Ae^{-2\xi_0^2t_{j}}=\delta_j^2,
\quad j=s_i,\,s_{i+1}.
\end{equation}

Проверим, что набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ допустим в задаче \eqref{Z3}.
Действительно, точки $(t_{i},\ln1/\delta_{i})$, $i=1,\ldots,n$ лежат не выше  графика
$\theta\cd$, а так как эта вогнутая функция, то ее график лежит не выше прямой
$$p(t)=\frac{\ln 1/\delta_{s_{i+1}
}-\ln 1/\delta_{s_{i}}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}(t-t_{s_i})+\ln\frac1{\delta_{s_i}}
=\ln\delta_{s_i}^{-\frac{t_{s_{i+1}
}-t}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\delta_{s_{i+1}}^{-\frac{t-t_{s_i}}{t_{s_{i+1 }}-t_{s_i}}},
$$
соединяющей точки $(t_{s_i},\ln1/\delta_{s_i})$ и $(t_{s_{i+1}},\ln1/\delta_{s_{i+1}})$.
Тогда, учитывая выражения для $\xi_0^2$ и $A$, будем иметь
\begin{multline*}
\id e^{-2\xi^2t_i}\,d\wmu_0(\xi)=Ae^{-2\xi_0^2t_i}= \delta_{s_i}^{2\frac{t_{s_{i+1}
}-t_i}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\delta_{s_{i+1}}^{2\frac{t_i-t_{s_i}}{t_{s_{i+1
}}-t_{s_i}}}=\\=e^{-2p(t_i)}\le e^{-2\ln\frac1{\delta_i}}=\delta_i^2,\quad i=1,\ldots,n,
\end{multline*}
т.~е. набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ допустим в задаче \eqref{Z3}.

Осталось проверить условие $(a)$, т.~е. проверить, что
\begin{multline}\label{L1}
\mathcal{L}(\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)=\sum_{k\in\mathbb
Z}\int_{\mathbb
R}e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}\bigl(-1+\wl_{s_i}e^{-2(\xi^2+k^2)(t_{s_i}-\tau)}\\
+\wl_{s_{i+1}}e^{-2(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-\tau)}\bigr)d\mu_k(\xi)
-\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2\ge
\mathcal{L}(\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)\\=\int_{\mathbb
R}e^{-2\xi^2\tau} \bigl(-1+\wl_{s_i}e^{-2\xi^2(t_{s_i}-\tau)}
+\wl_{s_{i+1}}e^{-2\xi^2(t_{s_{i+1}}-\tau)}\bigr)d\mu_0(\xi)\\
-\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2
\end{multline}
для всех наборов положительных мер $\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$.

Множители Лагранжа $\wl_{s_i}$ и $\wl_{s_{i+1}}$ выбраны так (и в этом нетрудно
убедиться), что выпуклая функция $\omega\mapsto -1+\wl_{s_i}e^{-2\omega(t_{s_i}-\tau)}
+\wl_{s_{i+1}}e^{-2\omega(t_{s_{i+1}}-\tau)}$ на прямой обращается в ноль вместе со своей
производной в точке $\omega_0=\xi_0^2$. Это означает, что данная функция всюду
неотрицательна и тем самым $\mathcal{L}(\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\,
\widehat\lambda\,)\ge-\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2$. Так как
$d\mu_0$ --- мера Дирака в точке $\xi_0$, то интеграл справа в \eqref{L1} равен нулю и
значит, $\mathcal{L}(\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\,
\widehat\lambda\,)=-\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2$. Этим
доказано условие $(a)$.

Итак, $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ --- решение задачи \eqref{Z3}. Подставляя
$\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ в максимизируемый функционал, получаем значение этой
задачи
$$ \id
e^{-2\xi^2\tau}\,d\wmu_0(\xi)\!=\!Ae^{-2\xi_0^2\tau}= \delta_{s_i}^{2\frac{t_{s_{i+1}
}-\tau}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\delta_{s_{i+1}}^{2\frac{\tau-t_{s_i}}{t_{s_{i+1
}}-t_{s_i}}}\!=e^{-2p(\tau)}\!=e^{-2\theta(\tau)}.
$$
С другой стороны, ясно, что величина $\mathcal{L}(\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\,
\widehat\lambda\,)$ (в силу условия $(c)$) равна $-\id e^{-2\xi^2\tau}\,d\wmu_0(\xi)$ и
поэтому
\begin{equation}\label{00}
\id
e^{-2\xi^2\tau}\,d\wmu_0(\xi)=e^{-2\theta(\tau)}=\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2.
\end{equation}

Рассмотрим теперь последовательность функций $\varphi_m\cd\in L_2(M)$, $m\in\mathbb N$,
преобразование Фурье которых имеет вид
$$
F[\varphi_m](\xi,k)\!=\!
\begin{cases}
\sqrt{2\pi m}\,\delta_{s_i}^{\frac{t_{s_{i+1}}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}
\delta_{s_{i+1}}^{\frac{-t_{s_i}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}, \,\, &\xi\in[\xi_0,\xi_0+1/m],\,\, k=0; \\[4pt]
0, \quad & \mbox{в противном случае}.
\end{cases}
$$
Непосредственный подсчет показывает, что эти функции допустимы в задаче \eqref{Z2}, а
максимизируемый функционал на них сходится к $e^{-2\theta(\tau)}$ при $m\to\infty$.

Итак, значения задач \eqref{Z2} и \eqref{Z3} совпадают. Тогда из формулы \eqref{00} и
оценки \eqref{mest} получаем, что
\begin{equation}\label{bl}
E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)\ge
e^{-\theta(\tau)}=\sqrt{\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2}\,.
\end{equation}





\subsection*{Оценка сверху $E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)$ и оптимальные методы}
Пусть $\widehat\varphi_a$ --- метод вида \eqref{met}. Оценим его погрешность, которая, по
определению, есть значение следующей задачи
\begin {multline}\label{gs}
\|u(\cdot,\tau,f)-(K_{b}*g_{s_i})\cd-(K_{a}*g_{s_{i+1}})\cd\|_{L_2(M)}\to\max,
\\ \|u(\cdot, t_{s_j},f)-g_{s_j}\cd\|_{L_2(M)}\le \delta_{s_j},\quad
z_{s_j}\cd\in L_2(M), \quad j=i,\,i+1, \\ f\cd\in L_2(M).
\end {multline}
По теореме Планшереля квадрат  максимизируемого функционал в этой задаче равен такой
величине
\begin{multline}\label{gs1}
\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb
R}|e^{-(\xi^2+k^2)\tau}F[f](\xi,k)-b(\xi,k)F[g_{s_i}](\xi,k)\\
-a(\xi,k)F[g_{s_{i+1}}](\xi,k)|^2\,d\xi\\ =\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb
Z}\int_{\mathbb R}|b(\xi,k)z_{i}(\xi,k)+ a(\xi,k)z_{i+1}(\xi,k)|^2,
\end{multline}
где $z_{{j}}(\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)t_{s_j}}F[f](\xi,k)-F[g_{s_j}](\xi,k),\,\,\,
j=i,\,i+1$.

Выражение под знаком интеграла справа в \eqref{gs1} оценим по неравенству
Коши--Буняков\-ского ($\wl_{s_i}$ и $\wl_{s_{i+1}}$ --- множители Лагранжа, определенные
выше).
\begin{multline*}
\biggl|\frac{b(\xi,k)}{\sqrt{\wl_{s_i}}}\sqrt{\wl_{s_i}}\,z_i(\xi,k)+
\frac{a(\xi,k)}{\sqrt{\wl_{s_{i+1}}}}\sqrt{\wl_{s_{i+1}}}\,
z_{i+1}(\xi,k)\biggr|^2\\
\le\biggl(\frac{|b(\xi,k)|^2}{\wl_{s_i}}+\frac{|a(\xi,k)|^2}{\wl_{s_{i+1}}}\biggr)
(\wl_{s_i}|z_{i}(\xi,k)|^2 +\wl_{s_{i+1}}|z_{{i+1}}(\xi,k)|^2).
\end{multline*}
Первый сомножитель справа не превосходит единицы для п.~в. $\xi\in\mathbb R$ и всех
$k\in\mathbb Z$. Действительно, если $(\xi,k)\in B(r_i)$, то это верно по условию (см.
\eqref{lgl}). Если $(\xi,k)\notin B(r_i)$, то, снова по условию,  $a\cd=0$ и этот
сомножитель равен $c(\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)(\tau-t_{s_i})}/\wl_{s_i}$. Но то, что
$(\xi,k)\notin B(r_i)$ равносильно, согласно определению $r_i$, неравенству
$c(\xi,k)\le1$.

Итак, получаем, что выражение справа в \eqref{gs1} не превосходит величины
\begin{equation*}
\wl_{s_i}\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb
R}|z_{i}(\xi,k)|^2\,d\xi+\wl_{s_{i+1}}\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb
R}|z_{i+1}(\xi,k)|^2\,d\xi.
\end{equation*}
Функция  $z_{j}\cd$ есть преобразование Фурье функции $u(\cdot, t_{s_j},f)-g_{s_j}\cd$,
норма которой в $L_2(M)$ не превосходит $\delta_j$, $j=i, \ i+1$ согласно \eqref{gs}.
Следовательно, по теореме Планшереля, норма последнего выражения не превосходит
$\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2$.

Таким образом, погрешность любого метода вида \eqref{met} не превосходит величины
$\sqrt{\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2}$. Вместе с оценкой
\eqref{bl} это означает, что все такие методы  оптимальны и $E_{\tau}(\ov
g\cd,\ov\delta)= e^{-\theta(\tau)}$.

Нетрудно показать, выделяя полный квадрат, что неравенство \eqref{lgl} равносильно такому
неравенству
\begin{multline*}
\left| a(\xi,k) - \frac
{\wl_{s_{i+1}}e^{-(\xi^2+k^2)(\tau-t_{s_i})}}{\wl_{s_i}e^{(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}+
\wl_{s_{i+1}} e^{-(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}}\right|\\ \le \frac {\sqrt{ \wl_{s_i}
\wl_{s_{i+1}}}\,
e^{(\xi^2+k^2)t_{s_{i+1}}}}{\wl_{s_i}e^{(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}+ \wl_{s_{i+1}}
e^{-(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}} \sqrt{h(\xi,k)}\,,
\end{multline*}
где $h(\xi,k)=-e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}+\wl_{s_i}e^{-2(\xi^2+k^2)t_{s_i}}
+\wl_{s_{i+1}}e^{-2(\xi^2+k^2)t_{s_{i+1}}}$,  и эта функция неотрицательна, как было
установлено выше.

Из  полученного неравенства, очевидно, следует, что множество функций $a\cd$,
удовлетворяющих условию теоремы, не пусто, и тем самым теорема доказана для случая, когда
$\tau\in (t_1, t_{s_k})$. Ситуации $0<\tau<t_1$ или $\tau> t_{s_k}$ рассматриваются
аналогично, но технически значительно проще, и поэтому  останавливаться здесь на этом не
будем.

\begin{thebibliography}{11}



\bibitem{S}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965.


\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli and
T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J. Numer. Anal.}, {\bf16}
(1979) 87--105.



%\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
%Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin: Springer--Verlag,
%1985.



%\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М.} О неравенствах
%для производных колмогоровского типа // Матем. сб. 1997. Т.~187. №12. C~73--106.

\bibitem{MO1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и
неравенства для производных // Функц. анализ и его прил. 2003. Т.~37. С.~51--64.

\bibitem{MO} G.\,G.~Magaril-Il’yaev, K.\,Yu.~Osipenko,  V. M. Tikhomirov, \textit{On Optimal Recovery of
Heat Equation Solutions}. In Approximation Theory: A Volume Dedicated to B.~Bojanov, Ed.
by D.\,K.~Dimitrov, G.~Nikolov, and R.~Uluchev (Marin Drinov Acad. Publ. House, Sofia,
(2004), 163–175.

\bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил. 2010.
Т.~44. C.~76–-79.

\bibitem{MS} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Сивкова~Е.~О.} Наилучшее восстановление оператора Лапласа функции
по ее неточно заданному спектру // Матем. сб., 203:4 (2012),  119–130.


\bibitem{B} {\it Балова~Е.~А.} Об оптимальном восстановлении решений задачи Дирихле по неточным исходным
данным // Матем. заметки, 82:3 (2007),  323–334.

\bibitem{MOr} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление решения уравнения
теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сб., 200:5 (2009),  37–54.

\bibitem{A} {Абрамова~Е.~В.} Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным
данным // Владикавк. матем. журн., 17:1 (2015),  3–13.

\bibitem{MS1} {\it G.\,G.~Magaril-Il'yaev, E.\,O.~Sivkova.} Optimal recovery of the semi-group operators from
inaccurate data // Eurasian Mathematical Journal, 10:4 (2019), 75-84.

\bibitem{KF} {\it А.~Н.~Колмогоров, С.~В.~Фомин.} Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1976.


\bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М.} Выпуклый анализ и его
приложения, изд. 5-е, доп. М.: УРСС, 2020.




\end{thebibliography}






\end{document}
