\documentclass[12pt,oneside,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1200
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}}

\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)}

\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widetilde x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}



\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\card}{card}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}

\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.5
\end{flushleft}


\title[Восстановление решения уравнения теплопроводности]{Оптимальное
восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным
измерениям}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No08-01-00450 и
\No08--01--90001) и Программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ-3233.2008.1)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\maketitle

\section*{Введение}

Первоначальным стимулом для написания данной работы послужил
следующий вопрос: если имеется возможность измерить с известными
погрешностями температуру некоторого тела в моменты времени
$t_1,\ldots,t_n$, то как наилучшим образом воспользоваться этой
информацией, чтобы восстановить его температуру в какой-нибудь
другой  момент времени?

Мы отвечаем на этот вопрос в задаче о распространении тепла в
пространстве $\mathbb R^d$. Точнее говоря, ставится задача об
оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности на
$\mathbb R^d$ в некоторый момент времени по приближенным измерениям
этого решения в другие моменты времени и приводятся явные выражения
для оптимального метода восстановления и его погрешности.

На практике, помимо измерений, имеется обычно еще априорная
информация о распределении температур, заключающаяся в том, что в
какие-то моменты времени известны границы, за которые температура не
может выйти. В данной работе дается точное решение и этой задачи.

Статья организована следующим образом. Первые три параграфа
посвящены постановке и решению задачи оптимального восстановления
решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям. В
четвертом параграфе аналогичная задача решается при наличии априорной
информации. Комментарии исторического и библиографического характера
собраны в пятом параграфе.






\section{Постановка задачи}





%Рассмотрим следующее обобщенное уравнение теплопроводности
%\begin{equation}\label{t}
%\frac{\partial u}{\partial t}+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0
%\end{equation}
%с заданным начальным распределением температуры
%\begin{equation}\label{N}
%u(0,x)=u_0\cd.
%\end{equation}

%Здесь $\alpha>0$, оператор $(-\Delta)^{\alpha/2}$ определен на
%подпространстве в $\ld$
%$$
%L=\left\{\,v\cd\in\ld \mid
%\int_{\ld}|\xi|^{2\alpha}|Fv(\xi)|^2\,d\xi<\infty\,\right\},
%$$
%где $F$ --- преобразование Фурье в $\ld$,
%$\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, $|\xi|=\sqrt{\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2}$, и
%действует из $L$ в $\ld$ по правилу:
%$(-\Delta)^{\alpha/2}v(x)=F^{-1}(|\xi|^\alpha Fv(\xi))(x)$, где
%$F^{-1}$ --- обратное преобразования Фурье в $\ld$.


Распространение тепла в $\mathbb R^d$ описывается, как хорошо известно,  уравнением
\begin{equation}\label{t}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u
\end{equation}
(где $\Delta$ --- оператор Лапласа в $\mathbb R^d$ и
$u(\cdot,\cdot)$ --- функция на $[0,\infty)\times\mathbb R^d$) с
заданным начальным распределением температуры
\begin{equation}\label{Na}
u(0,\cdot)=u_0\cd.
\end{equation}


Мы предполагаем, что $u_0\cd\in \ld$.  Единственным решением задачи \eqref{t}--\eqref{Na}
при $t>0$ является интеграл Пуассона
\begin{equation}\label{P}
u(t,x)=u(t,x;u_0\cd)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{\mathbb
R^d}e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}}u_0(\xi)\,d\xi,
\end{equation}
где $x=(x_1,\ldots,x_d)$, $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)$,
$|x-\xi|^2=\sum_{i=1}^d(x_i-\xi_i)^2$, и при этом $u(t,\cdot)\to
u_0\cd$ при $t\to0$ в метрике $\ld$.

Ставится следующая задача. Пусть в моменты времени $0\le
t_1<\ldots<t_n$  приближенно известны распределения температур
$u(t_1,\cdot),\ldots,u(t_n,\cdot)$. Точнее говоря, известны функции
$y_i\cd\in \ld$ такие, что
$$
\|u(t_i,\cdot)- y_i(\cdot)\|_{\ld}\le\delta_i,\quad i=1,\ldots,n,
$$
где $\delta_i>0$, $i=1,\ldots,n$. Мы хотим каждому такому набору функций сопоставить
функцию из $\ld$, которая бы в некотором смысле наилучшим образом аппроксимировала
истинное распределение температуры в $\mathbb R^d$ в фиксированный момент времени $\tau$.

Под этим понимается следующее. Любое отображение $m$ из
$(L_2(\mathbb R^d))^n=L_2(\mathbb R^d) \times\ldots\times
L_2(\mathbb R^d)$ в $\ld$ объявляется методом восстановления
(температуры в $\mathbb R^d$ в момент времени $\tau$ по данной
информации). Погрешностью этого метода называем величину
$$
e(\tau,\ov\delta,m)=\sup_{\substack{u_0\cd, \ \ov y\cd\in (\ld)^n\\
\|u(t_i,\cdot)-y_i\cd\|_{L_2(\mathbb R^d)}\le\delta_i,\
i=1,\ldots,n}}\|u(\tau,\cdot)-m(\ov y\cd)\cd\|_{L_2(\mathbb R^d)},
$$
где $\ov y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$ и
$\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$.

Нас интересует величина
$$
E(\tau,\ov\delta)=\inf_{m\colon (\ld)^n\to \ld} e(\tau,\ov\delta,m),
$$
которую назовем {\it погрешностью оптимального восстановления} и
метод $\widehat m$, на котором нижняя грань достигается, т.~е. для
которого
$$
E(\tau,\ov\delta)=e(\tau,\ov\delta,\widehat m),
$$
называемый {\it оптимальным методом восстановления} (температуры в
$\mathbb R^d$ в момент времени $\tau$ по данной информации).





\section{Формулировка теоремы}




Перед формулировкой теоремы сделаем некоторые построения. На
двумерной плоскости $(t,x)$ построим множество
$$
M={\rm co}\,\{\,(t_j,\ln(1/\delta_j)),\,\,1\le j\le
n\,\}+\{\,(t,0)\mid\,\,t\ge0\,\},
$$
где ${\rm co}\, A$ обозначает выпуклую оболочку множества $A$.

Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ равенством:
$\theta(t)= \max\{\,x \mid (t,x)\in M\,\}$, причем
$\theta(t)=-\infty$, если $(t,x)\notin M$ для всех $x$. Ясно,
что на $[t_1,\infty)$ функция $\theta\cd$ --- вогнутая ломаная.
Обозначим через $t_{s_1}<\ldots<t_{s_k}$ ее точки излома (считая
$t_1$ также точкой излома, т.~е. $t_{s_1}=t_1$), которые, очевидно,
являются подмножеством точек $\{t_1,\ldots, t_n\}$ (см. рисунок, на
котором изображенные точки имеют координаты $(t_i,\ln(1/\delta_i)$,
жирная кривая --- график функции $\theta\cd$).

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(290,230)
\put(2,30){$0$}
\put(0,40){\vector(1,0){300}}
\put(10,0){\vector(0,1){220}}
\put(290,30){$t$}
\put(-4,200){$\theta$}
{\thicklines
\put(26,52){\line(1,3){16}}}
\put(26,40){\line(0,1){12}}
\put(24,30){$t_1$}
\put(10,52){\line(1,0){16}}
\put(-18,49){$\ln\frac1{\delta_1}$}
\put(42,40){\line(0,1){60}}
\put(40,30){$t_{s_2}$}
\put(-18,97){$\ln\frac1{\delta_{s_2}}$}
\put(10,100){\line(1,0){32}}
{\thicklines
\put(42,100){\line(1,1){42}}}
\put(84,40){\line(0,1){102}}
\put(82,30){$t_{s_3}$}
\put(-18,139){$\ln\frac1{\delta_{s_3}}$}
\put(10,142){\line(1,0){74}}
{\thicklines
\put(84,142){\line(3,1){90}}}
\put(174,30){$t_{s_k}$}
\put(174,40){\line(0,1){132}}
\put(-18,170){$\ln\frac1{\delta_{s_k}}$}
\put(10,172){\line(1,0){164}}
{\thicklines
\put(174,172){\line(1,0){80}}}
\put(26,52){\circle*{2}}
\put(42,100){\circle*{2}}
\put(84,142){\circle*{2}}
\put(174,172){\circle*{2}}
\put(30,56){\circle*{2}}
\put(58,98){\circle*{2}}
\put(68,70){\circle*{2}}
\put(208,108){\circle*{2}}
\put(108,124){\circle*{2}}
\put(146,54){\circle*{2}}
\put(160,154){\circle*{2}}
\put(180,150){\circle*{2}}
\put(190,124){\circle*{2}}
\put(240,160){\circle*{2}}
\put(140,34){\circle*{2}}
\multiput(26,52)(2,-1){34}{\circle*{1}}
\put(94,18){\circle*{2}}
\multiput(94,18)(2,-0.3){14}{\circle*{1}}
\put(122,13.9){\circle*{2}}
\multiput(122,13.9)(2,0){70}{\circle*{1}}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}




Формула \eqref{P} для каждого $t>0$ определяет линейный непрерывный
оператор в $\ld$,\footnote{Это следует, например, из неравенства
Юнга, так как интеграл Пуассона есть свертка ограниченной функции и
функции из $\ld$.} который обозначим $P_t$ и если через $P_0$
обозначить тождественный оператор, то $u(t,\cdot; u_0\cd)=P_tu_0\cd$
для всех $t\ge0$.

%Обозначим через $\mathcal S(\mathbb R^d)$ пространство всех бесконечно дифференцируемых и
%быстро убывающих функций $\varphi\cd$ на $\mathbb R^d$, т.~е. для любого $l\in\mathbb
%Z_+^d$ и любого $m>0$
%$$
%\sup_{x\in\mathbb R^d}(1+|x|^2)^m|D^l\varphi(x)|<\infty.
%$$





%Пусть $\tau\in (t_{s_j},t_{s_{j+1}})$ для некоторого $1\le j\le
%k-1$. Тогда $\tau=(1-\alpha)t_{s_j}+\alpha t_{s_{j+1}}$, где
%$\alpha=(\tau-t_{s_j})/(t_{s_{j+1}}-t_{s_j})$.

\begin{theorem}\label{T1}
Для любого $\tau\ge0$ справедливо равенство
$$
E(\tau,\ov\delta)=e^{-\theta(\tau)}.
$$
\begin{enumerate}
\item Если $t_1>0$ и $0\le\tau<t_1$, то любой метод является
оптимальным;
\item если $\tau=t_{s_j}$, $1\le j\le k$, то метод $\widehat m$,
определенный равенством $\widehat m(\ov y\cd)\cd=y_{s_j}\cd$,
является оптимальным;
\item если $k\ge2$ и $\tau\in
(t_{s_j},t_{s_{j+1}})$, $1\le j\le k-1$, то метод $\widehat m$,
определенный равенством
$$
\widehat m(\ov y\cd)\cd=(K_{s_j}*y_{s_j})\cd+(K_{s_{j+1}}*y_{s_{j+1}})\cd,
$$
где $K_{s_j}\cd$ и $K_{s_{j+1}}\cd$ --- функции из $\ld$,
преобразования Фурье которых имеет вид
\begin{align*}
FK_{s_j}(\xi)&=\frac{(t_{s_{j+1}}-\tau)\delta_{s_{j+1}}^2e^
{-|\xi|^2(\tau-t_{s_{j}})}} {(t_{s_{j+1}}-\tau)\delta_{s_{j+1}}^2+
(\tau-t_{s_j})\delta_{s_j}^2e^{-2|\xi|^2(t_{s_{j+1}}-t_{s_j})}},\\
FK_{s_{j+1}}(\xi)&=\frac{(\tau-t_{s_j})\delta_{s_j}^2e^{-|\xi|^2(\tau+t_{s_{j+1}}-2t_{s_j})}}
{(t_{s_{j+1}}-\tau)\delta_{s_{j+1}}^2+
(\tau-t_{s_j})\delta_{s_j}^2e^{-2|\xi|^2(t_{s_{j+1}}-t_{s_j})}},
\end{align*}
является оптимальным;
\item если $\tau>t_{s_k}$, то метод $\widehat m$,
определенный равенством
$$
\widehat m(\ov y\cd)\cd=P_{\tau-t_{s_k}}y_{s_k}\cd,
$$
является оптимальным.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Сделаем несколько замечаний по поводу сформулированной теоремы.

1. Если $t_1>0$ и $0\le\tau<t_1$, то $\theta(\tau)=-\infty$ и
значит, $E(\tau,\ov\delta)=+\infty$, т.е. прошлое нельзя восстановить
по неточному настоящему. В этом случае любой метод можно считать
оптимальным.

2. Отметим, что оптимальный метод линеен, ``сглаживает'' наблюдения
(свертка --- бесконечно дифференцируемая функция) и использует
информацию не более чем о двух измерениях до и после времени $\tau$,
либо только до времени $\tau$ (если $\tau>t_{s_k}$).

3. Если $\tau=t_i$ и $t_i$ не является точкой излома функции
$\theta\cd$, то оптимальный метод позволяет данное измерение
уточнить.

4. Случай $\tau>t_{s_k}$ означает, что самое точное измерение температуры было
произведено раньше времени $\tau$. В этой ситуации оптимальный метод --- решение
уравнения теплопроводности в момент времени $\tau-t_{s_k}$ с начальным распределением
температуры $y_{s_k}\cd$.



\section{Доказательство теоремы~1}

Доказательство состоит из двух частей: оценка снизу
погрешности оптимального восстановления $E(\tau,\ov\delta)$ и оценка
сверху этой величины с предъявлением оптимального метода.

1. {\it Оценка снизу величины $E(\tau,\ov\delta)$}. Напомним, что $P_t$ --- линейный
непрерывный оператор в $\ld$, который определен формулой \eqref{P} при $t>0$ и $P_0$
--- тождественный оператор.

Пусть $\tau\ge0$. Рассмотрим задачу
\begin{multline}\label{1}
\|P_\tau u_0\cd\|_{\ld}\to\max,\quad\|P_{t_j}u_0\cd
\|_{\ld}\le\delta_j,\quad j=1,\ldots,n,\\ u_0\cd\in\ld.
\end{multline}
Обозначим ее значение (т.~е. величину верхней грани $\|P_\tau u_0\cd\|_{\ld}$ при данных
ограничениях) через $S$ и покажем, что $E(\tau,\ov\delta)\ge S$.

Действительно, пусть $\ov u_0\cd$ --- допустимая функция в \eqref{1}
(т.~е.  $\ov u_0\cd$ удовлетворяет всем ограничениям в задаче).
Тогда $-\ov u_0\cd$ также допустима в \eqref{1} и мы имеем для
любого $m\colon (\ld)^n\to\ld$
\begin{multline*}
2\|P_\tau \ov u_0\cd\|_{\ld}=\|P_\tau \ov
u_0\cd-m(0)\cd+m(0)\cd-P_\tau (-\ov u_0\cd)\|_{\ld}\le\\
2\sup_{\substack{u_0\cd\in\ld\\\|P_{t_j}u_0\cd\|_{\ld}\le\delta_j,\
j=1,\ldots,n,}}\|P_\tau u_0\cd-m(0)\cd\|_{\ld}\le\\
\le2\sup_{\substack{u_0\cd\in\ld, \ \ov y\cd\in (\ld)^n\\
\|P_{t_j}u_0\cd-y_j\cd\|_{\ld}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|P_\tau
u_0\cd-m(\ov y\cd)\cd\|_{\ld}.
\end{multline*}
Переходя справа к нижней грани по всем методам $m$, а слева к
верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1}, получаем, что
$E(\tau,\ov\delta)\ge S$.

Следующий шаг --- доказательство того, что $S=e^{-\theta(\tau)}$. Пусть
$F\colon\ld\to\ld$
--- преобразование Фурье. Хорошо известно (см., например, \cite{Kol}), что для любого
$t\ge0$ справедливо равенство
$$
F(P_t u_0\cd)(\xi)=e^{-|\xi|^2t}Fu_0(\xi), \quad \xi\in\mathbb R^d,
$$
и поэтому по теореме Планшереля квадрат значения задачи \eqref{1}
равен значению такой задачи
\begin{multline}\label{2}
\frac1{(2\pi)^d}\id e^{-2|\xi|^2\tau}|Fu_0(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\\
\frac1{(2\pi)^d}\id
e^{-2|\xi|^2t_j}|Fu_0(\xi)|^2\,d\xi\le\delta_j^2,\quad
j=1,\ldots,n,\quad u_0\cd\in\ld.
\end{multline}

Можно показать, что в этой задаче нет решения, поэтому мы рассмотрим
ее ``расширение'', а именно, следующую задачу (заменяя формально
$(2\pi)^{-d}|Fu_0(\xi)|^2\,d\xi$ на положительную меру):
\begin{multline}\label{3}
\id e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\mu(\xi)\to\max,\\
\id e^{-2|\xi|^2 t_j}\,d\mu(\xi)\le\delta_j^2,\quad
j=1,\ldots,n,\quad d\mu\cd\ge0.
\end{multline}
Это выпуклая задача. Ее функция Лагранжа имеет вид
$$
\mL(d\mu\cd,\lambda)=\lambda_0\id
e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\mu(\xi)+\sum_{j=1}^n\lambda_j\left(\id
e^{-2|\xi|^2 t_j}\,d\mu(\xi)-\delta_j^2\right),
$$
где $\lambda=(\lambda_0,\lambda_1\ldots,\lambda_n)$ --- набор
множителей Лагранжа.

Если мы найдем допустимую в \eqref{3} меру $d\wmu\cd$ и множители Лагранжа $\wl_0<0$,
$\wl_j\ge0$, $1\le j\le n$, такие, что
\begin{equation}\label{a}
\min_{d\mu\cd\ge0}\mL(d\mu\cd,\wl)=\mL(d\wmu\cd,\wl),
\end{equation}
где $\wl=(\wl_0,\wl_1,\ldots,\wl_n)$ и
\begin{equation}\label{b}
\wl_j\left(\id e^{-2|\xi|^2 t_j}\,d\wmu(\xi)-\delta_j^2\right)=0, \quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
то $d\wmu\cd$ будет решением задачи \eqref{3}. Действительно, пусть
$d\mu\cd$ --- допустимая мера в \eqref{3}. Тогда используя это
обстоятельство (и учитывая, что $\wl_j\ge0$, $1\le j\le n$), а затем
\eqref{a} и \eqref{b}, будем иметь
\begin{multline*}
\wl_0\int_{\mathbb R^d}e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\mu(\xi)\ge\wl_0\int_{\mathbb
R^d}e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\mu(\xi)+\\+ \sum_{j=1}^n\wl_j\left(\int_{\mathbb
R^d}e^{-2|\xi|^2t_j}\,d\mu(\xi)-\delta_j^2\right)\ge\wl_0\int_{\mathbb
R^d}e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\wmu(\xi)+\\+\sum_{j=1}^n\wl_j\left(\int_{\mathbb
R^d}e^{-2|\xi|^2t_j}\,d\wmu(\xi)-\delta_j^2\right) =\wl_0\int_{\mathbb
R^d}e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\wmu(\xi).
\end{multline*}
Деля на $\wl_0<0$, получаем требуемое.


Из условий \eqref{a} и \eqref{b} видно, какими должны быть
мера $d\wmu\cd$ и множители Лагранжа. В самом деле, запишем функцию
Лагранжа в виде
\begin{equation}\label{FL}
\mL(d\mu\cd,\lambda)=\id
e^{-2|\xi|^2\tau}f(|\xi|^2)\,d\mu(\xi)-\sum_{j=1}^n
\lambda_j\delta_j^2,
\end{equation}
где
$$f(v)=\lambda_0+\sum_{j=1}^n\lambda_je^{-2v(t_j-\tau)}.$$
Отсюда видно, что если $f(|\xi|^2)\ge0$ для всех $\xi\in\mathbb R^d$
и мера $d\wmu\cd$ сосредоточена в нулях этой функции, то для всех
$d\mu\cd\ge0$ будем иметь: $\mL(d\mu\cd,\lambda)\ge-\sum_{j=1}^n
\lambda_j\delta_j^2=\mL(d\wmu\cd,\lambda)$ т.~е. выполняется условие
\eqref{a}. Но при любых неотрицательных $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
функция $f\cd$ выпукла на $\mathbb R$ и поэтому если точка
$v_0\in\mathbb R$ такова, что $f(v_0)=f'(v_0)=0$, то $f(v)\ge0$ при
всех $v\in\mathbb R$. Будем руководствоваться этими наблюдениями.

Рассмотрим отдельно три случая: $(a)$ $\tau\ge t_1$ и справа от
$\tau$ есть точка излома $\theta\cd$, $(b)$ $\tau\ge t_1$ и справа
от $\tau$ нет точек излома $\theta\cd$, $(c)$ $\tau<t_1$.

$(a)$ Пусть $\tau\in [t_{s_j},t_{s_{j+1}})$. Положим
$d\wmu(\xi)=A\delta(\xi-\xi_0)$, где $\delta(\cdot-\xi_0)$
--- дельта-функция в точке $\xi_0$, а $A$ и $\xi_0$ выберем из
условий
\begin{equation}\label{d}
\id
e^{-2|\xi|^2t_k}\,d\wmu(\xi)=Ae^{-2|\xi_0|^2t_k}=\delta_k^2,\quad
k=s_j,s_{j+1}.
\end{equation}
Отсюда нетрудно вывести, что
$$A=\delta_{s_j}^{\frac{2t_{s_j+1}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{
-\frac{2t_{s_j}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}}
$$
и
$$
|\xi_0|^2=\frac{\ln(\delta_{s_j}/\delta_{s_{j+1}})}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}=\frac{\ln
1/\delta_{s_{j+1}}-\ln 1/\delta_{s_{j}}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}.
$$
Такая точка $\xi_0\in\mathbb R^d$ существует, так как из построения
ломаной $\theta\cd$ следует, что угловой коэффициент прямой,
проходящей через точки $(t_{s_j},\ln 1/\delta_{s_j})$ и
$(t_{s_{j+1}},\ln 1/\delta_{s_{j+1}})$, положителен.

Положим $\wl_0=-1$, $\wl_k=0$, $k\ne s_j,s_{j+1}$, а числа $\wl_{s_j}$ и $\wl_{s_{j+1}}$
выберем так, чтобы $f(|\xi_0|^2)=f'(|\xi_0|^2)=0$, т.~е. как решение линейной системы:
\begin{align*}
\lambda_{s_j}e^{-2|\xi_0|^2(t_{s_j}-\tau)}+
\lambda_{s_{j+1}}e^{-2|\xi_0|^2(t_{s_{j+1}}-\tau)}=1,\\
\lambda_{s_j}(t_{s_j}-\tau)e^{-2|\xi_0|^2(t_{s_j}-\tau)}+
\lambda_{s_{j+1}}(t_{s_{j+1}}-\tau)e^{-2|\xi_0|^2(t_{s_{j+1}}-\tau)}=0.
\end{align*}

 Откуда
\begin{align*}
\wl_{s_j}&=\frac{t_{s_{j+1}}-\tau}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}\left(\frac{\delta_{s_{
j+1}}}{\delta_{s_j}}\right)^{\frac{2(\tau-t_{s_j})}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}},\\
\wl_{s_{j+1}}&=\frac{\tau-t_{s_j}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}\left(\frac{\delta_{s_j}
}{\delta_{s_{j+1}}}\right)^{\frac{2(t_{s_{j+1}}-\tau)}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}
}.
\end{align*}
Таким образом, $f(|\xi|^2)\ge0$ для всех $\xi\in\mathbb R^d$ и
положительная мера $d\wmu\cd$ сосредоточена в точке $\xi_0$, где
$f(|\xi_0|^2)=0$. Следовательно, условие \eqref{a} выполняется.

Если $\tau\in (t_{s_j},t_{s_{j+1}})$, то, очевидно, $\wl_{s_j}>0$ и
$\wl_{s_{j+1}}>0$, а если $\tau=t_{s_j}$, то $\wl_{s_j}=1$ и
$\wl_{s_{j+1}}=0$, так что в силу \eqref{d} условие \eqref{b} также
выполняется. Осталось лишь проверить допустимость меры $d\wmu\cd$ в
задаче \eqref{3}.

По построению ломаной $\theta\cd$ все точки
$(t_{i},\ln1/\delta_{i})$, $i=1,\ldots,n$, лежат не выше ее графика,
а так как эта ломаная вогнута, то ее график лежит не выше прямой
$$p(t)=\frac{\ln 1/\delta_{s_{j+1}
}-\ln
1/\delta_{s_{j}}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}(t-t_{s_j})+\ln\frac1{\delta_{s_j}}
=\ln\delta_{s_j}^{-\frac{t_{s_{j+1}
}-t}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{-\frac{t-t_{s_j}}{t_{s_{j+1
}}-t_{s_j}}},
$$
соединяющей точки $(t_{s_j},\ln1/\delta_{s_j})$ и
$(t_{s_{j+1}},\ln1/\delta_{s_{j+1}})$. Тогда (учитывая выражения для
$A$ и $|\xi_0|^2$) будем иметь
\begin{multline*}
\id e^{-2|\xi|^2t_i}\,d\wmu(\xi)=Ae^{-2|\xi_0|^2t_i}= \delta_{s_j}^{2\frac{t_{s_{j+1}
}-t_i}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{2\frac{t_i-t_{s_j}}{t_{s_{j+1
}}-t_{s_j}}}=\\=e^{-2p(t_i)}\le e^{-2\ln\frac1{\delta_i}}=\delta_i^2,\quad i=1,\ldots,n.
\end{multline*}
т.~е. $\wmu\cd$ --- допустимая мера в задаче \eqref{3} и тем самым является ее решением.

Подставляя $\wmu\cd$ в максимизируемый функционал, получаем значение
задачи \eqref{3}
$$ \id
e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\wmu(\xi)\!=\!Ae^{-2|\xi_0|^2\tau}=
\delta_{s_j}^{2\frac{t_{s_{j+1}
}-\tau}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{2\frac{\tau-t_{s_j}}{t_{s_{j+1
}}-t_{s_j}}}\!=e^{-2p(\tau)}\!=e^{-2\theta(\tau)}.
$$

Аппроксимируя стандартным образом $\delta$-функцию последовательностью $\delta$-образных
функций, получаем, что таково же значение задачи \eqref{2}. Но тогда $e^{-\theta(\tau)}$
--- значение задачи \eqref{1}, т.~е. $S=e^{-\theta(\tau)}$.



$(b)$ Пусть $\tau\ge t_{s_k}$ (в частности, $t_{s_k}=t_1$, если
$\theta\cd$ --- прямая). Положим $\wl_0=-1$, $\wl_{s_k}=1$,
$\wl_{s_j}=0$, $j\ne k$, и $d\wmu\cd=\delta_{s_k}^2\delta\cd$
($\delta\cd$ --- $\delta$-функция в нуле). Тогда, очевидно,
выполняется $\eqref{b}$. Поскольку для всех $\xi\in\mathbb R^d$
справедливо неравенство
$$
f(|\xi|^2)=-1+e^{-2|\xi|^2(t_{s_k}-\tau)}\ge0
$$
и $f(0)=0$, то выполняется \eqref{a}. На участке $[t_{s_k},\infty)$ функция $\theta\cd$
тождественно равна $\ln (1/\delta_{s_k})$ и ясно, что $\ln (1/\delta_{i})\le\ln
(1/\delta_{s_k})$, $1\le i\le n$. Следовательно,
$$
\id e^{-2|\xi|^2t_i}\,d\wmu(\xi)=\delta_{s_k}^2= e^{-2\ln\frac1{\delta_{s_k}}}\le
e^{-2\ln\frac1{\delta_{i}}}=\delta_{i}^2 ,\quad i=1,\ldots,n,
$$
т.~е. мера $d\wmu(\xi)$ допустима в задаче \eqref{3} и значит,
является ее решением.

Значение задачи \eqref{3} таково
$$
\id e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\wmu(\xi)=\delta_{s_k}^2=
e^{-2\ln\frac1{\delta_{s_k}}}=e^{-2\theta(\tau)}
$$
и значит, по тем же соображениям, что и в предыдущем случае, значение задачи \eqref{1}
равно $e^{-\theta(\tau)}$.




$(c)$ Пусть $\tau< t_1$. Покажем, что в этом случае значение задачи \eqref{3} равно
$+\infty$. Пусть $x_0>0$. Существует, очевидно, прямая $x=at+b$, $a>0$, которая разделяет
точку $(\tau,-x_0)$ и множество $M$,  в частности,
$$
-a\tau-x_0\ge b\ge-at_i+\ln\frac1{\delta_i},\quad 1\le i\le n.
$$
Обозначая $A=e^{-2b}$ и подбирая $\xi_0\in\mathbb R^d$ так, чтобы $|\xi_0|^2=a$, получаем
из этих неравенств, что $A\exp(-2|\xi_0|^2t_i)\le\delta_i^2$, $1\le i\le n$, т.~е. мера
$d\mu\cd=\delta(\cdot-\xi_0)$ допустима в задаче \eqref{3} и
$A\exp(-2|\xi_0|^2\tau)\ge\exp(2x_0)$. В силу произвольности $x_0$ значение
задачи \eqref3 равно $+\infty$. Отсюда, как и в предыдущих случаях, следует,
что значение задачи \eqref{1} равно $+\infty$.

Итак, доказано, что для всех
$\tau\ge0$ погрешность оптимального восстановления
$E(\tau,\ov\delta)\ge e^{-\theta(\tau)}$.


2. {\it Оценка сверху величины $E(\tau,\ov\delta)$ и оптимальный
метод}. Пусть $\tau\ge t_1$ и $\wl_j$, $1\le j\le n$, --- множители
Лагранжа, которые были найдены для задачи \eqref{3} при данном
$\tau$. Оценка сверху $E(\tau,\ov\delta)$ и нахождение оптимального
метода будут опираться на следующее утверждение.

\begin{lemma}\label{le1}
Пусть функция $\ov y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)\in (\ld)^n$ такова,
что существует решение $\wu_0\cd=\wu_0(\cdot,\ov y\cd)$ задачи
\begin{equation}\label{l1}
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd-y_j\cd\|^2_{\ld}\to\min,\quad
u_0\cd\in\ld.
\end{equation}
Тогда для любых $\gamma_j>0$, $1\le j\le n$, значение задачи
\begin{multline}\label{l2}
\|P_{\tau}u_0\cd-P_\tau\wu_0\cd\|_{\ld}\to\max,\quad
\|P_{t_j}u_0\cd-y_j\cd\|_{\ld}\le\gamma_j,\\1\le j\le n,\quad
u_0\cd\in\ld
\end{multline}
не больше значения задачи
\begin{multline}\label{l3}
\|P_{\tau}u_0\cd\|_{\ld}\to\max,\quad
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd\|^2_{\ld}\le\sum_{j=1}^n\wl_j\gamma_j^2,\\
u_0\cd\in\ld.
\end{multline}
\end{lemma}

\begin{proof} Минимизируемый функционал в \eqref{l1} является
гладким выпуклым функционалом на $\ld$ и, следовательно, необходимые
и достаточные условия того, что функция $\wu_0\cd$
--- его минимум заключаются в равенстве нулю производной этого функционала в точке
$\wu_0\cd$, т.~е. для любого $u_0\cd\in\ld$ должно выполняться равенство
\begin{equation}\label{pr}
\RE\,\sum_{j=1}^n\wl_j\int_{\ld}(P_{t_j}\wu_0(x)-y_j(x))
\ov{P_{t_j} u_0(x)}\,dx=0.
\end{equation}
Учитывая это, легко проверить, что для всех $u_0\cd\in\ld$
справедливо такое равенство
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd-y_j\cd\|^2_{\ld}=
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd-P_{t_j}\wu_0\cd\|^2_{\ld}+\\+
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}\wu_0\cd-y_j\cd\|^2_{\ld}.
\end{multline*}

Пусть $u_0\cd$ --- допустимая функция в \eqref{l2}. Тогда из
последнего соотношения следует, что
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}(u_0\cd-\wu_0\cd)\|^2_{\ld}\le\\\le
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd-y_j\cd\|^2_{\ld}\le
\sum_{j=1}^n\wl_j\gamma_j^2
\end{multline*}
и тем самым $u_0\cd-\wu_0\cd$ --- допустимая функция в \eqref{l3}.
При этом значения максимизируемых функционалов в \eqref{l2} и
\eqref{l3} соответственно на элементах  $u_0\cd$ и $u_0\cd-\wu_0\cd$
совпадают. Отсюда следует требуемое.
\end{proof}



Схема использования данной леммы состоит в следующем. Мы сначала
докажем, что при $\gamma_j=\delta_j$, $1\le j\le n$, значения задач
\eqref{1} и \eqref{l3} совпадают (т.~е. значение задачи \eqref{l3}
равно $e^{-\theta(\tau)}$). Если предположить, что для каждого $\ov
y\cd\in(\ld)^n$ существует решение задачи \eqref{l1}, то утверждение
леммы означает, что погрешность $e(\tau,\ov\delta,\widehat m)$
метода $\widehat m\colon\ov y\cd\mapsto P_\tau \wu_0(\cdot,\ov
y\cd)$ не превосходит $e^{-\theta(\tau)}$ и тем более
$E(\tau,\ov\delta)\le e^{-\theta(\tau)}$. Вместе с доказанной
оценкой снизу, отсюда будет следовать, что
$e(\tau,\ov\delta,\widehat m)=E(\tau,\ov\delta)$ и значит, $\widehat
m$
--- оптимальный метод.

Однако, решение задачи \eqref{l1} существует не для всех  $\ov
y\cd\in(\ld)^n$, и это потребует некоторой коррекции приведенных
рассуждений.

Итак, докажем совпадение значений задач \eqref{1} и \eqref{l3} при
$\gamma_j=\delta_j$, $1\le j\le n$. Точно так же, как мы перешли от
задачи \eqref{1} к задаче \eqref{3} (используя теорему Планшереля, а
затем заменяя $(2\pi)^{-d}|Fu_0(\xi)|^2\,d\xi$ на положительную
меру), переходим от задачи \eqref{l3} к задаче
\begin{multline}\label{N}
\id e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\mu(\xi)\to\max,\\
\sum_{j=1}^n\wl_j\id e^{-2|\xi|^2 t_j}\,d\mu(\xi)\le\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2,\quad
d\mu\cd\ge0.
\end{multline}
Это выпуклая задача. Ее функция Лагранжа имеет вид
\begin{multline*}
\mL_1(d\mu\cd,\nu)=\nu_0\id e^{-2|\xi|^2\tau}\,d\mu(\xi)+\\+
\nu_1\left(\sum_{j=1}^n\wl_j\id e^{-2|\xi|^2
t_j}\,d\mu(\xi)-\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2\right),
\end{multline*}
где $\nu=(\nu_0,\nu_1)$ --- набор множителей Лагранжа.

Покажем, что решение $d\wmu\cd$ задачи \eqref{3} является решением и этой задачи. Для
этого (аналогично тому как это было сделано для задачи \eqref{3}) достаточно проверить,
что мера $d\wmu\cd$ допустима в \eqref{N} и что для некоторых $\widehat\nu_0<0$ и
$\widehat\nu_1\ge0$ выполняются аналоги условий \eqref{a} и \eqref{b} для данной задачи,
а именно,
\begin{equation*}
\min_{d\mu\cd\ge0}\mL_1(d\mu\cd,\widehat\nu)=\mL_1(d\wmu\cd,\widehat\nu),
\end{equation*}
где $\widehat\nu=(\widehat\nu_0,\widehat\nu_1)$ и
$$
\widehat\nu_1\left(\sum_{j=1}^n\wl_j\id e^{-2|\xi|^2
t_j}\,d\wmu(\xi)-\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2\right)=0.
$$



Из допустимости меры $d\wmu\cd$ в задаче \eqref{3} сразу следует ее допустимость в задаче
\eqref{N}. Положим $\widehat\nu_0=-1$ и $\widehat\nu_1=1$. Тогда
$\mL_1(d\mu\cd,\widehat\nu)=\mL(d\mu\cd,\wl)$ и, следовательно, первое из выписанных
соотношений равносильно \eqref{a} и тем самым выполняется. Второе соотношение сразу
следует из \eqref{b}. Итак, $d\wmu\cd$ --- решение задачи \eqref{N} и значит, ее значение
совпадает со значением задачи \eqref{3}.

Далее, как и раньше, аппроксимируя $\delta$-функцию
$\delta$-образной последовательностью, получаем, что квадрат
значения задачи \eqref{l3} равен значению задачи \eqref{N} и значит,
значения задач \eqref{1} и \eqref{l3} совпадают.

Теперь воспользуемся леммой. Для этого найдем сначала значение задачи \eqref{l1} для
функции $\ov y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)\in(\ld)^n$, для которой функции $Fy_i\cd$, $1\le
i\le n$, финитны.

Пусть  $\tau\in[t_{s_j},t_{s_{j+1}})$. В этом случае, как было
доказано, лишь множители Лагранжа $\wl_{s_j}$ и $\wl_{s_{j+1}}$
могут быть отличны от нуля (и одновременно не равны нулю) и поэтому
задача \eqref{l1} имеет вид
\begin{multline*}
\wl_{s_j}\|P_{t_{s_j}} u_0\cd-y_{s_j}\cd\|_{\ld}^2+\wl_{s_{j+1}}
\|P_{t_{s_{j+1}}}u_0\cd-y_{s_{j+1}}\cd\|_{\ld}^2\to\min,\\
u_0\cd\in\ld.
\end{multline*}

Если $\wu_0\cd=\wu_0(\cdot,\ov y\cd)$ --- решение этой задачи, то
выполняется условие \eqref{pr}, которое в образах Фурье, согласно
теореме Планшереля, запишется в виде
\begin{equation*}
{\rm
Re}\,\sum_{k=j}^{j+1}\wl_{s_k}\int_{\ld}(e^{-|\xi|^2t_{s_k}}F\wu_0(\xi)-Fy_{s_k}(\xi))
e^{-|\xi|^2t_{s_k}}\ov{Fu_0(\xi)}\,d\xi=0.
\end{equation*}
Легко убедиться, что это соотношение будет выполняться для всех
$u_0\cd\in\ld$, если функция $\wu_0\cd\in\ld$ такова, что ее
преобразование Фурье имеет вид
\begin{equation}\label{nu}
F\wu_0(\xi)=\frac{\wl_{s_j}e^{-|\xi|^2 t_{s_j}}Fy_{s_j}(\xi)+\wl_{s_{j+1}} e^{-|\xi|^2
t_{s_{j+1}}}Fy_{s_{j+1}}(\xi)}{\wl_{s_j}e^{-2|\xi|^2 t_{s_j}}+ \wl_{s_{j+1}}e^{-2|\xi|^2
t_{s_{j+1}}}}.
\end{equation}
Но выражение справа принадлежит $\ld$, поскольку функции
$Fy_{s_j}\cd$ и $Fy_{s_{j+1}}\cd$ финитны и поэтому
$\wu_0\cd=\wu_0(\cdot,\ov y\cd)\in\ld$. В силу достаточности условия
\eqref{pr} функция $\wu_0\cd$, определенная соотношением \eqref{nu},
является решением задачи \eqref{l1}.

Отметим, что если $\tau=t_{s_j}$, то $\wl_{s_j}=1$,
$\wl_{s_{j+1}}=0$, и решение уравнения \eqref{l1} в этом случае
очевидно (и, конечно, следует из \eqref{nu}) и имеет вид
\begin{equation}\label{nu1}
F\wu_0(\xi)=e^{|\xi|^2 t_{s_j}}Fy_{s_j}(\xi).
\end{equation}




Как хорошо известно, финитные функции плотны в $\ld$. Тогда из
теоремы Планшереля следует, что и функции, у которых преобразование
Фурье финитно, также плотны в $\ld$.



Пусть теперь ${\widetilde u}_0\cd\in\ld$ и $\ov
y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)\in(\ld)^n$ таковы, что
$\|P_{t_j}{\widetilde u}_0\cd-y_j\cd\|_{\ld}\le\delta_j$, $1\le j\le
n$. Пусть далее $\ov y_k\cd=(y_{1k}\cd,\ldots,y_{nk}\cd)\in(\ld)^n$,
$k\in \mathbb N$, --- последовательность, обладающая тем свойством,
что функции $Fy_{jk}\cd$ финитны и
$\|y_j\cd-y_{jk}\cd\|_{\ld}\le1/k$, $1\le j\le n$, $k\in\mathbb N$.

Фиксируем $k\in\mathbb N$. По доказанному для $\ov y_k\cd$
существует решение $\wu_0(\cdot,\ov y_k\cd)$ задачи \eqref{l1}.
Поскольку $\|P_{t_j}{\widetilde u}_0\cd-y_{jk}\cd\|_{\ld}\le
\|P_{t_j}{\widetilde
u}_0\cd-y_j\cd\|_{\ld}+\|y_j\cd-y_{jk}\cd\|_{\ld}\le\delta_j+1/k$,
$1\le j\le n$, то функция ${\widetilde u}_0\cd$ допустима в задаче
\eqref{l2} с $\gamma_j=\gamma_j(k)=\delta_j+1/k$, $1\le j\le n$.
Согласно утверждению леммы значение этой задачи не превосходит
значения задачи \eqref{l3}, которая после замены
$u_0\cd=a(k)v_0\cd$, где
$a(k)=\sqrt{\sum_{j=1}^n\wl_j\gamma^2_j(k)/\sum_{j=1}^n\wl_j\delta^2_j}$,
примет вид
\begin{multline*}\label{l3}
a(k)\|P_{\tau}v_0\cd\|_{\ld}\to\max,\quad
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}v_0\cd\|^2_{\ld}\le\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2,\\
v_0\cd\in\ld.
\end{multline*}
Значение же этой задачи, как уже доказано, совпадает со значением
задачи \eqref{1}, умноженному на $a(k)$, т.~е. равно
$a(k)e^{-\theta(\tau)}$. В частности (в силу допустимости
${\widetilde u}_0\cd$ в \eqref{l2}), получаем, что
\begin{equation}\label{p}
\|P_\tau{\widetilde u}_0\cd-P_\tau\wu_0(\cdot,\ov y_k\cd)\|_{\ld}\le
a(k)e^{-\theta(\tau)}.
\end{equation}

Пусть $\tau\in(t_{s_j},t_{s_{j+1}}$). Преобразования Фурье функций
$K_{s_j}\cd$ и $K_{s_{j+1}}\cd$ из формулировки теоремы принадлежат
пространству бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций на
$\mathbb R^d$. Преобразование Фурье в этом пространстве является
изоморфизмом и поэтому ему принадлежат и сами функции $K_{s_j}\cd$ и
$K_{s_{j+1}}\cd$. В частности, они ограничены и тогда согласно
неравенству Юнга, метод $\widehat m$ из формулировки теоремы ---
линейный непрерывный оператор из $(\ld)^n$ в $\ld$.


Из вида метода $\widehat m$, выражений для функций $FK_{s_j}\cd$ и
$FK_{s_{j+1}}\cd$ и формулы \eqref{nu} следует, что
\begin{multline*}
F\widehat m(\ov y_k\cd)(\xi)=FK_{s_j}(\xi)
Fy_{s_jk}(\xi)+FK_{s_{j+1}}(\xi)
Fy_{s_{j+1}k}(\xi)=\\=e^{-|\xi|^2\tau}F\wu_0(\cdot,\ov y_k\cd)(\xi),
\end{multline*}
т.~е.
\begin{equation}\label{nf}
\widehat m(\ov y_k\cd)\cd=P_\tau \wu_0(\cdot,\ov y_k\cd).
\end{equation}

Если $\tau=t_{s_j}$, то  из вида метода $\widehat m$ следует, что
\begin{equation*}
F\widehat m(\ov
y_k\cd)(\xi)=Fy_{s_jk}(\xi)=e^{-|\xi|^2\tau}F\wu_0(\cdot,\ov
y_k\cd)(\xi),
\end{equation*}
т.~е. снова справедливо соотношение \eqref{nf}.


Возвращаясь к ${\widetilde u}_0\cd\in\ld$ и $\ov
y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)\in(\ld)^n$ таким, что
$\|P_{t_j}{\widetilde u}_0\cd-y_j\cd\|_{\ld}\le\delta_j$, $1\le j\le
n$, будем иметь согласно \eqref{nf} и \eqref{p}
\begin{multline*}
\|P_\tau{\widetilde u}_0\cd-\widehat m(\ov y\cd)\cd\|_{\ld}\le
\|P_\tau{\widetilde u}_0\cd-P_\tau\wu_0(\cdot,\ov
y_k\cd)\|_{\ld}+\\+\|\widehat m(\ov y_k\cd)\cd-\widehat m(\ov
y\cd)\cd\|_{\ld}\le\\\le a(k)e^{-\theta(\tau)}+\|\widehat m(\ov
y_k\cd-y\cd)\cd\|_{\ld}.
\end{multline*}

Это верно для любого $k\in\mathbb N$. Переходя к пределу при
$k\to\infty$ (учитывая, что $a(k)\to1$ и
что метод $\widehat m$ непрерывен) получаем неравенство
$$
\|P_\tau{\widetilde u}_0\cd-\widehat m(\ov y\cd)\cd\|_{\ld}\le
e^{-\theta(\tau)}.
$$
Переходя здесь к верхней грани по всем ${\widetilde u}_0\cd\in\ld$ и
$\ov y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)\in(\ld)^n$ таким, что
$\|P_{t_j}{\widetilde u}_0\cd-y_j\cd\|_{\ld}\le\delta_j$, $1\le j\le
n$, получаем, что $e(\tau,\ov\delta,\widehat m)\le
e^{-\theta(\tau)}$. Отсюда, вместе с доказанной оценкой снизу,
следует, что
$$
e^{-\theta(\tau)}\le E(\tau,\ov\delta)\le
e(\tau,\ov\delta,\widehat m)\le e^{-\theta(\tau)},
$$
т.~е. $E(\tau,\ov\delta)=e^{-\theta(\tau)}$ и $\widehat m$ ---
оптимальный метод.

Итак, для случая, когда $\tau\in[t_{s_j},t_{s_{j+1}})$ теорема
доказана.

Пусть $\tau\ge t_{s_k}$. Если $\tau=t_{s_k}$, то рассуждая точно так
же как и для случая $\tau=t_{s_j}$, получаем нужную оценку и
оптимальный метод.

Пусть $\tau> t_{s_k}$. Здесь рассуждения так же аналогичны
предыдущим, но несколько проще и поэтому будем кратки. В данном
случае $\wl_{s_k}=1$, а остальные множители Лагранжа равны нулю,
поэтому задача \eqref{l1} принимает вид
\begin{equation*}
\|P_{t_{s_k}} u_0\cd-y_{s_k}\cd\|_{\ld}^2\to\min,\quad u_0\cd\in\ld.
\end{equation*}
Если  $\ov y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$ таково, что функции $Fy_j\cd$, $1\le j\le n$,
финитны, то решение $\wu_0\cd=\wu_0(\cdot,\ov y\cd)$ данной задачи существует и
$F\wu_0(\xi)=e^{|\xi|^2t_{s_k}}Fy_{s_k}(\xi)$.

Далее дословно повторяя предыдущие рассуждения, приходим к неравенству \eqref{p}.

Метод $\widehat m$ из формулировки теоремы, по самому определению, есть линейный
непрерывный оператор из $(\ld)^n$ в $\ld$. Если $\ov y\cd=\ov y_k\cd$, то ясно, что
$F\widehat m(\ov y_k\cd)(\xi)=e^{-|\xi|^2(\tau-t_{s_k})}Fy_{s_k}(\xi)=e^{-|\xi|^2\tau}
F\wu_0(\cdot,\ov y_k\cd)(\xi)$, т.~е. $\widehat m(\ov y_k\cd)\cd=P_\tau \wu_0(\cdot,\ov
y_k\cd)\cd$. Дальнейшие рассуждения ровно те же самые, что и в предыдущем случае. Теорема
доказана.

\section{Оптимальное восстановление при наличии априорной информации}

Мы снова рассматриваем задачу \eqref{t}--\eqref{Na} и моменты
времени $0\le t_1<\ldots<t_n$. Пусть $A$ и $B$ --- подмножества
$\{\,1,\ldots,n\,\}$ (одно из которых может быть пустым) такие, что
$A\cap B=\emptyset$ и $A\cup B=\{\,1,\ldots,n\,\}$. Поставим
следующую задачу. Известна следующая априорная информация: в моменты
времени $t_i$, $i\in A$, температура не может выходить за
определенные пределы, т.~е. известно, что
$\|u(t_i,\cdot)\|_{\ld}\le\delta_i$, где $\delta_i>0$, $i\in A$.

Пусть $B\ne\emptyset$ и в моменты времени $t_i$, $i\in B$,
приближенно известны распределения температур $u(t_i,\cdot)$, т.~е.
известны функции $y_i\cd\in \ld$ такие, что $\|u(t_i,\cdot)-
y_i(\cdot)\|_{\ld}\le\delta_i$, где $\delta_i>0$. Как и раньше, мы
хотим каждому такому набору функций сопоставить функцию из $\ld$,
которая бы в некотором смысле наилучшим образом аппроксимировала
истинное распределение температуры в $\mathbb R^d$ в фиксированный
момент времени $\tau$.

Если $B\ne\emptyset$ и $\card B=l$, то снова любое
отображение $m$ из $(L_2(\mathbb R^d))^l$ в $\ld$ объявляется
методом восстановления. Погрешностью этого метода называем величину
$$
e(\tau,A,B,\ov\delta,m)=\sup_{\substack{u_0\cd, \ \ov y_B\cd\in
(\ld)^l\\\|u(t_i,\cdot)\|_{L_2(\mathbb R^d)}\le\delta_i,\ i\in A\\
\|u(t_i,\cdot)-y_i\cd\|_{L_2(\mathbb R^d)}\le\delta_i,\ i\in
B}}\|u(\tau,\cdot)-m(\ov y_B\cd)\cd\|_{L_2(\mathbb R^d)},
$$
где $\ov y_B\cd=\{y_{i}\cd\}_{i\in B}$ и
$\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$.

Нас интересует величина
$$
E(\tau,A,B,\ov\delta)=\inf_{m\colon (\ld)^l\to \ld}
e(\tau,\ov\delta,m),
$$
которую также назовем {\it погрешностью оптимального восстановления}
и метод $\widehat m$, на котором нижняя грань достигается, т.~е. для
которого
$$
E(\tau,A,B,\ov\delta)=e(\tau,A,B,\ov\delta,\widehat m),
$$
называемый {\it оптимальным методом восстановления} (температуры в
$\mathbb R^d$ в момент времени $\tau$ по данной информации).

Отметим, что если $A=\emptyset$, то мы приходим к прежней
постановке. Если $B=\emptyset$, то никаких измерений не производится
и тем самым нет смысла говорить о каком-либо методе восстановления.
Но можно говорить об оценке температуры в момент времени $\tau$,
т.~е. об определении тех границ, за которые температура заведомо не
может выйти при данной априорной информации. В качестве такой оценки
естественно взять чебышевский радиус множества
$\{\,u(\tau,\cdot)\cd\in\ld\mid \|u(t_i,\cdot)\|_{L_2(\mathbb
R^d)}\le\delta_i, \,\,1\le i\le n\,\}$, т.~е. минимальный из
радиусов шаров, содержащих данное множество. Поскольку множество
центрально симметрично, то легко убедиться, что эта величина такова
$$
E(\tau,A,\emptyset,\ov\delta)=\sup_{\substack{u_0\cd\in\ld \\
\|u(t_i,\cdot)\|_{L_2(\mathbb R^d)}\le\delta_i,\
i=1,\ldots,n}}\|u(\tau,\cdot)\cd\|_{L_2(\mathbb R^d)}.
$$

Приведенная постановка, как уже отмечено, обобщает исходную задачу и
можно было бы с самого начала рассматривать именно задачу с
априорной информацией. Но мы хотели сохранить простоту исходной
постановки, тем более, что доказательство более общего результата
по-существу такое же и мы только укажем те изменения, которые
надлежит сделать в предыдущих рассуждениях.

\begin{theorem}\label{T2}
Для  любых $A$ и $B$ и любого $\tau\ge0$ справедливо равенство
$$
E(\tau,A,B,\ov\delta)=e^{-\theta(\tau)}.
$$
Пусть $B\ne\emptyset$. Тогда
\begin{enumerate}
\item если $t_1>0$, $0\le\tau<t_1$, то любой метод является
оптимальным;
\item если $\tau=t_{s_j}$, $1\le j\le k$, и $s_j\in B$, то метод $\widehat m$,
определенный равенством $\widehat m(\ov y\cd)\cd=y_{s_j}\cd$,
является оптимальным, а если $s_j\notin B$, то нулевое отображение
--- оптимальный метод;
\item если $k\ge2$, $\tau\in (t_{s_j},t_{s_{j+1}})$,
$1\le j\le k-1$, и $s_j,s_{j+1}\in B$, то метод $\widehat m$,
определенный в пункте $(3)$ теоремы $\ref{T1}$, является
оптимальным; если $s_j\in B$, а $s_{j+1}\notin B$, то $\widehat
m(\ov y\cd)\cd=(K_{s_j}*y_{s_j})\cd$ --- оптимальный метод
$(K_{s_j}\cd$ из теоремы $\ref{T1})$; если $s_j\notin B$, а
$s_{j+1}\in B$, то оптимальным является метод $\widehat m(\ov
y\cd)\cd=(K_{s_{j+1}}*y_{s_{j+1}})\cd$ $(K_{s_{j+1}}\cd$ из теоремы
$\ref{T1})$; если, наконец, $s_j,s_{j+1}\notin B$, то нулевое
отображение
--- оптимальный метод;
\item если $\tau>t_{s_k}$ и $s_k\in B$, то метод $\widehat m$,
определенный в пункте $(4)$ теоремы $\ref{T1}$, является
оптимальным, если $s_k\notin B$, то нулевое отображение
--- оптимальный метод.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $B=\emptyset$. Тогда $E(\tau,A,\emptyset,\ov\delta)$ совпадает
со значением задачи \eqref{1} (которое, как доказано, равно
$e^{-\theta(\tau)}$ для всех $\tau\ge0$) и значит,
$E(\tau,A,\emptyset,\ov\delta)=e^{-\theta(\tau)}$.

Пусть $B\ne\emptyset$. Тогда дословно повторяя рассуждения из начала
доказательства теоремы \ref{T1}, получаем, что
$E(\tau,A,B,\ov\delta)$ не меньше значения задачи \eqref{1} и тем
самым справедлива оценка снизу $E(\tau,A,B,\ov\delta)\ge
e^{-\theta(\tau)}$ для любых множеств $A$ и $B$ и всех $\tau\ge0$.

Перейдем к доказательству оценки сверху и предъявлению
соответствующих оптимальных методов. Здесь мы будем опираться на
следующее утверждение, которое формально обобщает лемму \ref{le1},
но доказывается точно так же.
\begin{lemma}\label{le2}
Пусть функция $\ov y_B\cd=\{y_{j}\cd\}_{j\in B}$ такова, что
существует решение $\wu_0\cd=\wu_0(\cdot,\ov y_B\cd)$ задачи
\begin{multline*}
\sum_{j\in A}\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd\|^2_{\ld}+\sum_{j\in B}
\wl_{j}\|P_{t_{j}}u_0\cd-y_{j}\cd\|^2_{\ld}\to\min,\\
u_0\cd\in\ld.
\end{multline*}
Тогда для любых $\gamma_j>0$, $1\le j\le n$, значение задачи
\begin{multline*}
\|P_{\tau}u_0\cd-P_\tau\wu_0\cd\|_{\ld}\to\max,\quad
\|P_{t_j}u_0\cd\|_{\ld}\le\gamma_j,\,\,j\in
A,\\\|P_{t_{j}}u_0\cd-y_{j}\cd\|_{\ld}\le\gamma_{j},\,\, j\in
B,\quad u_0\cd\in\ld,
\end{multline*}
не больше значения задачи
\begin{multline*}
\|P_{\tau}u_0\cd\|_{\ld}\to\max,\quad
\sum_{j=1}^n\wl_j\|P_{t_j}u_0\cd\|^2_{\ld}\le\sum_{j=1}^n\wl_j\gamma_j^2,\\
u_0\cd\in\ld.
\end{multline*}
\end{lemma}






Пусть $\tau\in [t_{s_j},t_{s_{j+1}})$. Если $s_j,s_{j+1}\in B$, то
ровно те же рассуждения, что и в теореме \ref{T1} доказывают
оптимальность соответствующих методов.

Пусть $s_j\in B$ и $s_{j+1}\notin B$. В этом случае аналог задачи
\eqref{l1} согласно лемме \ref{le2} имеет вид
\begin{multline*}
\wl_{s_j}\|P_{t_{s_j}} u_0\cd-y_{s_j}\cd\|_{\ld}^2+\wl_{s_{j+1}}
\|P_{t_{s_{j+1}}}u_0\cd\|_{\ld}^2\to\min,\\
u_0\cd\in\ld.
\end{multline*}
Снова, те же рассуждения, что и в теореме \ref{T1} (с
$y_{s_{j+1}}\cd=0$) приводят к доказательству оптимальности
соответствующих методов.

Если $s_j\notin B$ и $s_{j+1}\notin B$, то аналог задачи \eqref{l1}
имеет вид
\begin{multline*}
\wl_{s_j}\|P_{t_{s_j}} u_0\cd\|_{\ld}^2+\wl_{s_{j+1}}
\|P_{t_{s_{j+1}}}u_0\cd\|_{\ld}^2\to\min,\\
u_0\cd\in\ld
\end{multline*}
и решением здесь является, очевидно, нулевая функция. Оптимальность
нулевого метода следует непосредственно из леммы \ref{le2}.

Остальные случаи разбираются аналогично.
\end{proof}

\section{Комментарии}

Решенные в этой работе задачи оптимального восстановления
укладываются в следующую общую схему. Пусть $X$ --- векторное
пространство, $W$ --- подмножество (класс) в $X$, $Y_1,\ldots,Y_r$ и
$Z$ --- нормированные пространства, $I_i\colon X\to Y_i$, $1\le i\le
r$, --- линейные операторы. Ставится задача об оптимальном
восстановлении линейного оператора $\Lambda\colon X\to Z$ на классе
$W$ по следующей информации об элементах из этого класса: про каждый
элемент $x\in W$ известен вектор $\ov y=(y_1,\ldots,y_r)\in
Y_1\times\ldots\times Y_r$ такой, что
$\|I_ix-y_i\|_{Y_i}\le\delta_i$, $\delta_i\ge0$, $1\le i\le r$.

Под оптимальным восстановлением $\Lambda$ на $W$ по данной
информации понимается следующее. Любое отображение $m$ из
$Y_1\times\ldots\times Y_r$ в $Z$ объявляется методом восстановления
($\Lambda$ на $W$ по данной информации). Погрешностью этого метода
называем величину
$$
e(\Lambda,W,\ov I,\ov\delta,m)=\sup_{\substack{x\in W, \ \ov y\in Y_1\times\ldots\times Y_r\\
\|I_ix-y_i\|_{Y_i}\le\delta_i,\ i=1,\ldots,r}}\|\Lambda x-m(\ov
y)\|_{Z},
$$
где $\ov I=(I_1,\ldots,I_r)$ и
$\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_r)$.

Величину
$$
E(\Lambda,W,\ov I,\ov\delta)=\inf_{m\colon Y_1\times\ldots\times
Y_r\to Z} e(\Lambda,W,\ov I,\ov\delta,m),
$$
назовем {\it погрешностью оптимального восстановления}, а метод
$\widehat m$, на котором нижняя грань достигается, т.~е. для
которого
$$
E(\Lambda,W,\ov I,\ov\delta)=e(\Lambda,W,\ov I,\ov\delta,\widehat
m),
$$
{\it оптимальным методом восстановления} ($\Lambda$ на $W$ по данной
информации).

В соответствии с этими обозначениями, например, в задаче с априорной
информацией и когда $B\ne\emptyset$ ($\card B=l$) имеем:
$r=l$, $X=Y_1=\ldots=Y_l=Z=\ld$,
$$W=\{\,u_0\cd\in\ld\mid
\|P_{t_i}u_0\cd\|_{\ld}\le\delta_i,\,\,i\in A\,\}$$
(если $A=\emptyset$, то полагаем $W=X=\ld$), $I_i=P_{t_i}$, $i\in B$,
$\Lambda=P_\tau$.

Указанный подход к определению оптимального метода (в абстрактной
задаче) идеологически восходит к работам А.~Н.~Колмогорова тридцатых
годов прошлого века, посвященных нахождению наилучшего средства
приближения сразу для всех функций из данного класса. Приведенная
здесь постановка для случая, когда $r=1$, $X$ и $Y$ ---
конечномерные пространства, $Z=\mathbb R$ (задача о восстановлении
линейного функционала) и $\delta_1=0$ (информация задана точно)
впервые была рассмотрена С.~А.~Смоляком \cite{Sm}. Он доказал, что
если $W$ --- выпуклое центрально симметричное множество, то среди
оптимальных методов есть линейный. Распространению этого факта на
более общие ситуации посвящено достаточно много работ (см. \cite{MarO}--\cite{Ar}), но окончательный, в определенном смысле, результат в этом
направлении, а именно, необходимые и достаточные условия
существования оптимального линейного метода, был получен в работе
авторов \cite{MO}. Задачам оптимального восстановления линейных
функционалов посвящена довольно обширная литература. Единый подход к
решению подобных задач, основанный на стандартных методах теории
экстремума, изложен в \cite{MT}. В монографиях \cite{TW}--\cite{MT2} можно
найти множество конкретных результатов и дополнительные ссылки.

Общий результат, касающийся существования линейного метода для
операторов ($Z$ --- гильбертово пространство) был доказан в работе
\cite{MM} и там же получены первые конкретные результаты о
восстановлении линейных операторов. Дальнейшее развитие эта тематика
получила в работах авторов \cite{MO1}--\cite{O1}, где используются
иные подходы, основанные на общих принципах теории экстремума.

Применение теории оптимального восстановления линейных операторов к
задачам математической физики можно найти в работах
\cite{O2}--\cite{OW}.

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Kol} Колмогоров~А.~Н., Фомин~С.~В. {\it Элементы теории функций и
функционального анализа}, М.: Наука, 1972.

\bibitem{Sm} Смоляк~С.~А. {\it Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них}, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

\bibitem{MarO} Марчук~А.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Наилучшее приближение функций,
заданных с погрешностью в конечном числе точек'', {\it Матем.
заметки}, {\bf17}:3 (1975), 359--368.

\bibitem{O} Осипенко~К.~Ю. ``Наилучшее приближение аналитических
функций по информации об их значениях в конечном числе точек'', {\it
Матем. заметки}, {\bf19}:1 (1976), 29--40.

\bibitem{MR} Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J. ``A survey of optimal
recovery''. In: Optimal Estimation in Approximation Theory
(C.~A.~Micchelli and T.~J.~Rivlin, eds.). Plenum Press, New York,
1977, 1--54.

\bibitem{MCH} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Чан Тхи Ле. ``К задаче
оптимального восстановления функционалов'', {\it Успехи мат. наук},
{\bf42}:2(254) (1987), 237--238.

\bibitem{Ar} Арестов~В.~В. ``Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи'', {\it Тр. Мат. ин-та АН СССР}, {\bf189} (1989),
3--20.

\bibitem{MO} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным'', {\it Матем.
заметки}, {\bf50}:6 (1991), 85--93.

\bibitem{MT} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М. ``О неравенствах
для производных колмогоровского типа'' {\it Матем. сб.}, {\bf187}:12
(1997), 73--106.


\bibitem{TW} Traub J.~F., Wo\'zniakowski H. {\it A General Theory of
Optimal Algorithms}, New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{P} Plaskota~L. {\it Noisy Information and Computational Complexity},
Cambridge University Press, 1996.

\bibitem{Os1} Osipenko~K.~Yu. {\it Optimal Recovery of Analytic Functions},
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000.


\bibitem{MT1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М. {\it Выпуклый анализ и
его приложения}, М.: Эдиториал УРСС, 2003.

\bibitem{MT2} Magaril-Il'yaev~G.~G., Tichomirov~V.~M. {\it Convex
Analysis: Theory and Applications}, Translations of Math.
Monographs, vol. 222, AMS, Providence, RI, 2003.


\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J.
Numer. Anal.}, {\bf16} (1979) 87--105.


\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье,
заданным с погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002),
79--100.

\bibitem{MO2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его
прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.

\bibitem{O1} Осипенко~К.~Ю., ``Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа для
аналитических функций из пространств Харди--Соболева'', {\it Матем.
сб.}, {\bf197}:3 (2006), 15--34.

\bibitem{O2} Осипенко~К.~Ю. ``О восстановлении решения задачи Дирихле по
неточным исходным данным'', {\it Владикавказский мат. журн.},
{\bf6}:4 (2004), 55--62.

\bibitem{MOT} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., Тихомиров В.~М. ``On
optimal recovery of heat equation solutions''. In: Approximation
Theory: A volume dedicated to B. Bojanov (D.~K.~Dimitrov,
G.~Nikolov, and R.~Uluchev, Eds.), 163--175, Sofia: Marin Drinov
Academic Publishing House, 2004.

\bibitem{VO} Выск~Н.~Д., Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление
решения волнового уравнения по неточным начальным данным'', {\it
Матем. заметки}, {\bf81}:6 (2007), 803--815.

\bibitem{B} Балова~Е.~А. ``Об оптимальном восстановлении решений задачи
Дирихле по неточным исходным данным'', {\it Матем. заметки},
{\bf82}:3 (2007), 323--334.

\bibitem{OW} Osipenko~K.~Yu., Wedenskaya~E.~V.
``Optimal recovery of solutions of the generalized heat equation in
the unit ball from inaccurate data'', {\it J. Complexity},
{\bf23}:4--6 (2007), 653--661.


\end{thebibliography}









\end{document}
