\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1200

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

\title{О некоторых задачах оптимального восстановления аналитических и гармонических
функций по неточным данным}


\author{К.Ю.~Осипенко, М.И.~Стесин}


\maketitle

Введение. Пусть $X$ --- линейное пространство и $Y,Z$ --- линейные нормированные пространства. Рассмотрим задачу оптимального восстановления оператора $L\colon W\to Z$, $W\subset X$, по значениям информационного оператора $I\colon W\to Y$, заданным с погрешностью. Точнее, рассмотрим следующую экстремальную задачу:
\begin{equation}\label{1}
E(L,I,\delta)=\infp_S\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-Sy\|,
\end{equation}
где $S\colon Y\to Z$ --- произвольные отображения (методы). Величина $E(L,I,\delta)$ называется {\it оптимальной погрешностью восстановления}. Метод $S_0$ называется {\it оптимальным}, если
$$\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|=E(L,I,\delta).$$
Если $S_0$ --- оптимальный метод, $x_0\in W$ и
$$\sup_{\|Ix_0-y\|\le\delta}\|Lx_0-S_0y\|=E(L,I,\delta),$$
то $x_0$ называется {\it экстремальным элементом}.

Исследования задачи \eqref{1} были начаты в работе \cite{1} для случая $\dim Y<\infty$. Случай $\dim Y=\infty$ изучался в \cite{2} (см.\ также \cite{3}). В данной статье мы рассматриваем некоторые задачи оптимального восстановления аналитических функций из пространств Харди $H_p$ и Бергмана $A_p$, $1\le p\le\infty$, и гармонических функций из аналогичных классов $h_p$ и $a_p$. Некоторые результаты, относящиеся к $H_\infty$, см.\ в \cite{4,5,6,7}.

В п.~1 мы доказываем общие теоремы о восстановлении по неточным данным, близкие к результатам работ \cite{2, 3, 8, 9}. В п.~2 с помощью этих теорем мы находим оптимальный метод восстановления для функций из $H_p$, $A_p$, $h_p$ и $a_2$ в произвольной точке из единичного круга $\mathbb C$ в случае, когда известна информация о приближенных значениях указанных функций в некоторой другой точке. В частности, получено обобщение леммы Шварца. В п.~3 находятся оптимальные методы восстановления $f'(0)$ по приближенным значениям $f(-h)$, $f(h)$, где $h\in(0,1)$, в пространствах $H_p$. Для $H_\infty$ находится также оптимальное значение $h$, при котором погрешность оптимального восстановления минимальна.

{\bf1. Общие теоремы о восстановлении по неточным данным.} Нашей целью является доказательство достаточности некоторых условий для оптимальности метода $S_0$ и экстремальности элемента $x_0$.
Эти условия были, по существу, получены в \cite{2}. Теорема, которая нам потребуется, хотя и близка к одному из результатов работы \cite{2}, тем не менее имеет некоторые отличия.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $x_0\in W$, $-x_0\in W$, $L(-x_0)=-Lx_0$, $\|Ix_0\|\le\delta$, $\|I(-x_0)\|\le\delta$ и
$$\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|=\|Lx_0\|.$$
Тогда
\begin{itemize}
\item[1)]$S_0$ --- оптимальный метод,
\item[2)]$x_0$ --- экстремальный элемент,
\item[3)]имеет место равенство $E(L,I,\delta)=\|Lx_0\|$.
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{proof}
Из \eqref{1} следует, что
$$E(L,I,\delta)\le\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|=\|Lx_0\|.$$
С другой стороны, для любого метода $S$ имеем
\begin{equation}\label{2}
\|Lx_0-S0\|+\|L(-x_0)-S0\|\ge2\|Lx_0\|,
\end{equation}
поэтому
$$\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-Sy\|\ge\max\{\|Lx_0-S0\|,\|L(-x_0)-S0\|\}\ge\|Lx_0\|.$$
Таким образом, $E(L,I,\delta)=\|Lx_0\|$ и $S_0$ --- оптимальный метод. Предположим теперь, что $x_0$ не является экстремальным элементом, т.\ е.\
$$\sup_{\|Ix_0-y\|\le\delta}\|Lx_0-S_0y\|<\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|=\|Lx_0\|.$$
Тогда
$$\|Lx_0-S_00\|<\|Lx_0\|,\quad\|L(-x_0)-S_00\|\le\|Lx_0\|,$$
что противоречит \eqref{2}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{C1}
Пусть $x_0\in W$, $-x_0\in W$, $L(-x_0)=-Lx_0$, $\|Ix_0\|\le\delta$, $\|I(-x_0)\|\le\delta$, $S_0$ --- линейный оператор и
$$\sup_{x\in W}\|Lx-S_0Ix\|=\|Lx_0\|-\delta\|S_0\|.$$
Тогда
\begin{itemize}
\item[1)]$S_0$ --- оптимальный метод,
\item[2)]$x_0$ --- экстремальный элемент,
\item[3)]справедливо равенство $\displaystyle E(L,I,\delta)=\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix\|\le\delta}}\|Lx\|=\|Lx_0\|$.
\end{itemize}
\end{corollary}

\begin{proof}
Заметим, что
\begin{multline*}
\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|=\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0Ix+S_0(Ix-y)\|\\
\le\sup_{x\in W}\|Lx-S_0Ix\|+\delta\|S_0\|=\|Lx_0\|.
\end{multline*}
Поскольку $\|Ix_0\|\le\delta$, имеем
$$\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix\|\le\delta}}\|Lx\|\ge\|Lx_0\|\ge\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|\ge\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix\|\le\delta}}\|Lx\|.$$
Таким образом,
$$\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix-y\|\le\delta}}\|Lx-S_0y\|=\|Lx_0\|=\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix\|\le\delta}}\|Lx\|$$
и следствие вытекает из теоремы~\ref{T1}.
\end{proof}

Пусть $\Omega$ --- подмножество $\mathbb C^n$ и $\mu$ --- неотрицательная мера на $\Omega$. Обозначим через $L_p(\Omega,\mu)$ пространство Лебега комплексных (или вещественных) функций с обычной нормой
\begin{gather*}
\|f\|_p=\biggl(\int_\Omega|f(z)|^p\,d\mu(z)\biggr)^{1/p},\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_\infty=\vraisup_{z\in\Omega}|f(z)|.
\end{gather*}
Пусть $X_p$ --- какое-либо подпространство $L_p(\Omega,\mu)$ и $BX_p=\{f\in X_p:\|f\|_p\le1\}$. Рассмотрим задачу \eqref{1} для $X=X_p$, $W=BX_p$ и $Z=\mathbb C(\mathbb R)$.

Следующая теорема является обобщением соответствующих результатов из работ \cite{8,9}, полученных в случае $\delta=0$.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $g\in X_p$, $\|g\|_p\ne0$, $g_0=g/\|g\|_p$, $L$ --- функционал на $X_p$, $L(-g_0)=-Lg_0$, $\|Ig_0\|\le\delta$, $\|I(-g_0)\|\le\delta$, $S_0$ --- линейный функционал, $S_0Ig_0=\delta\|S_0\|$ и при всех $f\in BX_p$
\begin{equation}\label{3}
Lf-S_0If=\begin{cases}\displaystyle\alpha\int_\Omega\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z),\quad1\le p<\infty,\\[10pt]
\displaystyle\int_\Omega\ov{g(z)}|\varphi(z)|f(z)\,d\mu(z),\quad p=\infty,\end{cases}
\end{equation}
где $\alpha>0$, $\varphi\in L_1(\Omega,\mu)$, и если $p=\infty$, то $|g(z)|=1$ почти всюду на $\Omega$ относительно меры $\mu$. Тогда
\begin{itemize}
\item[1)]$S_0$ --- оптимальный метод,
\item[2)]$g_0$ --- экстремальная функция,
\item[3)]выполнены соотношения
$$E(L,I,\delta)=\sup_{\substack{f\in BX_p\\\|If\|\le\delta}}|Lf|=Lg_0=\begin{cases}\alpha\|g\|_p^{p-1}+\delta
\|S_0\|,&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1+\delta\|S_0\|,&p=\infty.\end{cases}$$
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{proof}
При всех $f\in BX_p$ из \eqref{3} и неравенства Гёльдера имеем
$$|Lf-S_0If|\le\begin{cases}\alpha\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
С другой стороны,
$$Lg_0-\delta\|S_0\|=Lg_0-S_0Ig_0=\begin{cases}\alpha\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
Тем самым
$$\sup_{f\in BX_p}|Lf-S_0If|=Lg_0-\delta\|S_0\|,$$
и теорема вытекает из следствия~\ref{C1}.
\end{proof}

Пусть $l_q^m$ --- пространство $\mathbb C^m$ с нормой
$$\|a\|_q=\|(a_1,\ldots,a_m)\|_q=\begin{cases}\displaystyle\biggl(\sum_{j=1}^m|a_j|^q\biggr)
^{1/q},&1\le q<\infty,\\
\displaystyle\max_{1\le j\le m}|a_j|,&q=\infty.\end{cases}$$
Через $(a,b)$ обозначим эрмитово скалярное произведение
$$(a,b)=\sum_{j=1}^ma_j\ov b_j.$$
Пусть $a\ne0$, $a^*\in Bl_q^m$, $(a,a^*)=\|a\|_{q'}$, $1/q+1/q'=1$. Легко видеть, что
$$a_j^*=\frac{a_j|a_j|^{q'-2}}{\|a\|_{q'}^{q'-1}},\quad1\le q'<\infty,$$
и для $q'=\infty$
$$a_j^*=\begin{cases}0,&j\ne j_0,\\
\dfrac{a_{j_0}}{|a_{j_0}|},&j=j_0,\end{cases}$$
где $j_0$ таково, что $|a_{j_0}|=\max_{1\le j\le m}|a_j|$.

\begin{corollary}\label{C2}
Пусть $I\colon BX_p\to l_q^m$, $S_0y=(y,a)$, $a\in\mathbb C^m$, $g\in X_p$, $\|g\|_p\ne0$, $g_0=g/\|g\|_p$, $L$ --- функционал, $L(-g_0)=-Lg_0$ и $\|I(-g_0)\|_q\le\delta$. Предположим, что при всех $f\in BX_p$ выполнено равенство \eqref{3} и $Ig_0=\delta a^*$, если $a\ne0$, или $\|Ig_0\|_q\le\delta$, если $a=0$. Тогда
\begin{itemize}
\item[1)]$S_0$ --- оптимальный метод,
\item[2)]$g_0$ --- экстремальная функция,
\item[3)]выполнены соотношения
$$E(L,I,\delta)=\sup_{\substack{f\in BX_p\\\|If\|_q\le\delta}}|Lf|=Lg_0=\begin{cases}\alpha\|g\|_p^{p-1}+\delta
\|a\|_{q'},&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1+\delta\|a\|_{q'},&p=\infty.\end{cases}$$
\end{itemize}
\end{corollary}

{\bf2. Оптимальное восстановление аналитических и гармонических функций.} Пусть $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ и $H_p$ --- пространство Харди , т.\ е.\ пространство аналитических в $D$ функций, для которых
\begin{equation}\label{4}
\begin{gathered}
\|f\|_{H_p}=\sup_{0<r<1}\left(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r\ei)|^p\,d
\theta\right)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_{H_\infty}=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty.
\end{gathered}
\end{equation}
Хорошо известно, что функции из $H_p$ имеют почти всюду граничные значения. Поэтому $H_p$ можно рассматривать как подпространство $L_p(\Omega,\mu)$ для $\Omega=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ и $d\mu(\ei)=\dfrac1{2\pi}d\theta$.

Напомним, что {\it пространством Бергмана} $A_p$ называется пространство аналитических в $D$ функций, для которых
\begin{equation}\label{5}
\|f\|_{A_p}=\left(\frac1\pi\int_D|f(z)|^p\,d\sigma(z)\right)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,
\end{equation}
где $\sigma(z)$ --- мера Лебега на $D$ (для $p=\infty$  \ $A_\infty=H_\infty$). Таким образом,
пространство $A_p$ есть подпространство $L_p(D,\mu)$ для $d\mu(z)=\dfrac1\pi d\sigma(z)$.

Обозначим через $h_p$ и $a_p$ пространства гармонических в $D$ функций, удовлетворяющих \eqref{4} и \eqref{5}.

Рассмотрим задачу \eqref{1}, когда $X$ является одним из пространств $H_p$, $A_p$, $h_p$ или $a_p$, $W=BX$, $Lf=f(\xi)$, $If=f(z_1)$, $\xi$ и $z_1$ --- различные точки из $D$. Соответствующую погрешность оптимального восстановления обозначим через $E(\xi,z_1,\delta,X)$. Положим
\begin{equation}\label{6}
\rho=\left|\frac{\xi-z_1}{1-\ov z_1\xi}\right|,\quad W(z)=e^{i\varphi}\frac{z-z_1}{1-\ov z_1z},
\end{equation}
где $\varphi$ определено из условия $W(\xi)=\rho$,
\begin{gather*}
\delta_1=\left(\frac{1-\rho}{2(1-|z_1|^2)}\right)^{1/p},\quad\delta_2=
\left(\frac{1-\rho^2}{1-|z_1|^2}\right)^{1/p},\\
h(z)=\begin{cases}1,&0\le\delta\le\delta_1,\\
\dfrac{W(z)+a}{1+aW(z)},&\delta_1<\delta<\delta_2,\\
W(z),&\delta\ge\delta_2,\end{cases}
\end{gather*}
где $a\in[0,1]$ удовлетворяет уравнению
\begin{equation}\label{7}
\frac{a\delta_2}{h(z_1)(1+a\rho+a^2)^{1/p}}=\delta,\quad0\le\delta<\delta_2
\end{equation}
(существование решения уравнения следует из непрерывности функции, стоящей в левой части \eqref{7}). Для $\delta\ge\delta_2$ положим $a=0$.

\begin{proposition}\label{P1}
Пусть $X=H_p$. Тогда для всех $1\le p<\infty$ и $\delta\ge0$

$1)$ метод
$$S_0y=\frac{h(z_1)(1-\rho^2)}{h(\xi)(1+a\rho)^{2(p-1)/p}}\left(\frac{1-\ov\xi z_1}{1-|\xi|^2}
\right)^{2/p}y$$
оптимален;

$2)$ функция
\begin{equation}\label{8}
g_0(z)=\left(\frac{1-|\xi|^2}{1+2a\rho+a^2}\right)^{1/p}\frac{(W(z)+a)(1+aW(z))^{(2-p)/p}}
{h(z)(1-\ov\xi z)^{2/p}}
\end{equation}
экстремальна;

$3)$ имеет место равенство
$$E(\xi,z_1,\delta,H_p)=\frac{(\rho+a)(1+a\rho)^{(2-p)/p}}{h(\xi)(1+2a\rho+a^2)^{1/p}(1-|\xi|^2)
^{1/p}}.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Положим
$$g(z)=\frac{(W(z)+a)(1+aW(z))^{(2-p)/p}}{h(z)(1-\ov\xi z)^{2/p}},\quad\alpha=\frac{\rho(1-|\xi|^2)^{(p-2)/p}}{h(\xi)(1+a\rho)^{2(p-1)/p}}.$$
По теореме о вычетах для всех $f\in H_p$
\begin{multline*}
\alpha\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}|g(\ei)|^{p-2}f(\ei)\,d\theta\\
=\alpha\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1+aW(z))^{2(p-1)/p}h(z)}{W(z)(z-\xi)(1-\ov\xi z)^{(p-2)/p}}f(z)\,dz=f(\xi)-S_0f(z_1).
\end{multline*}
Кроме того,
\begin{multline*}
\|g\|_{H_p}^p=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|\frac{1+aW(\ei)}{1-\ov\xi\ei}\right|^2\,d\theta\\
=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1+aW(z))(W(z)+a)}{W(z)(1-\ov\xi z)(z-\xi)}\,dz=\frac{1+2a\rho+a^2}{1-|\xi|^2}.
\end{multline*}
Из \eqref{7} следует, что $|g_0(z_1)|=\delta$ для $0\le\delta<\delta_2$; $|g_0(z_1)|=\delta_2\le\delta$ для $\delta\ge\delta_2$ и $S_0y\equiv0$. Так как $S_0g_0(z_1)\ge0$, то $S_0g_0(z_1)=\delta\|S_0\|$ при всех $\delta\ge0$. Теперь предложение~\ref{P1} вытекает из теоремы~\ref{T2}.
\end{proof}

Заметим, что в силу теоремы~\ref{T2} из предложения~\ref{P1} может быть получено следующее обобщение леммы Шварца:
\begin{multline}\label{9}
\sup_{\substack{f\in BH_p\\|f(0)|\le\delta}}|f(z)|\\
=\begin{cases}\dfrac{(|z|+a)(1+a|z|)^{(2-p)/p}}{(1-|z|^2)^{1/p}(1+2a|z|+a^2)^{1/p}},
&0\le\delta\le\left(\dfrac{1-|z|}2\right)^{1/p},\\
\dfrac{(1+a|z|)^{2/p}}{(1-|z|^2)^{1/p}(1+2a|z|+a^2)^{1/p}},&\left(\dfrac{1-|z|}2\right)^{1/p}\le
(1-|z|^2)^{1/p},\\
(1-|z|^2)^{-1/p},&\delta\ge(1-|z|^2)^{1/p},\end{cases}
\end{multline}
где $a$ определено равенством \eqref{7} для $z_1=0$.

Рассмотрим ту же задачу для $X=A_p$. Положим
\begin{gather*}
\delta_1=\frac{(2+\rho)^{2/p}(1-\rho)^{2/p}}{2^{1/p}(3-\rho^2)^{1/p}(1-|z_1|^2)^{2/p}},\quad
\delta_2=\left(\frac{1-\rho^2}{1-|z_1|^2}\right)^{2/p},\\
b=\begin{cases}(1+a\rho)^{-1},&0\le\delta<\delta_1,\\
\dfrac a{a+\rho},&\delta\ge\delta_1,\end{cases}
\end{gather*}
где $a\in[0,1]$ удовлетворяет уравнению
\begin{equation}\label{10}
\frac{a\rho^{2/p}[(p/2-1)(1-a^2)b^2+b+b^2]^{2/p}(1-|z_1|^2)^{-2/p}}
{\left[\dfrac{(p/2-1)(1-a^2)(1+2a\rho+a^2)\rho^2b^4}{1-\rho^2}+\dfrac{\rho^2(2-\rho^2)}{
(1-\rho^2)^2}+(1-b^2)^2\right]^{1/p}}
=\delta
\end{equation}
для $0\le\delta<\delta_1$ и
$$\frac{(1-b^2)^{2/p}(1-\rho^2)^{2/p}}{[1-2(1-\rho^2)^2b^2+(1-\rho^2)^2b^4]^{1/p}
(1-|z_1|^2)^{2/p}}=\delta$$
для $\delta_1\le\delta<\delta_2$ (решение последнего уравнения может быть записано в явном виде, а существование решения уравнения \eqref{10} будет доказано ниже). При $\delta\ge\delta_2$ положим $a=0$. Введем следующие обозначения:
\begin{gather*}
\varphi(z)=\begin{cases}(p/2-1)(1-a^2)(1-\rho W(z))&\\
\hspace{75pt}+(1+aW(z))(2+a\rho-\rho W(z)),&0\le\delta<\delta_1,\\
(1+aW(z))(2a+\rho-a\rho W(z)),&\delta\ge\delta_1,\end{cases}\\
g(z)=\begin{cases}\dfrac{(W(z)+a)(\varphi(z))^{2/p}}{(1+aW(z))(1-\ov\xi z)^{4/p}},&0\le\delta<\delta_1,\\
\dfrac{(\varphi(z))^{2/p}}{(1-\ov\xi z)^{4/p}},&\delta\ge\delta_1.\end{cases}
\end{gather*}

\begin{proposition}\label{P2}
Пусть $X=A_p$. Тогда для всех $1\le p<\infty$ и $\delta\ge0$

$1)$ метод
$$S_0y=b^2(1-\rho^2)^2\left(\frac{1-\ov\xi z_1}{1-|\xi|^2}\right)^{4/p}\left(\frac{\varphi(z_1)}{\varphi(\xi)}
\right)^{(p-2)/p}y$$
оптимален;

$2)$ $g_0=g/\|g\|_{A_p}$ --- экстремальная функция;

$3)$ имеет место равенство
$$E(\xi,z_1,\delta,A_p)=\begin{cases}\dfrac{\rho((p/2)(1-\rho^2)+1)^{1/p}}{(1-|\xi|^2)^{2/p}}
,&\hspace{-9pt}\delta=0,\\
\delta b\dfrac{a+\rho}a\left(\dfrac{1-|z_1|^2}{(1-|\xi|^2)(1-\rho^2)}\right)^{2/p}
\left(\dfrac{\varphi(\xi)}{\varphi(z_1)}\right)^{2/p},&\\
&\hspace{-34pt}0<\delta<\delta_2,\\
(1-|\xi|^2)^{-2/p},&\hspace{-13pt}\delta\ge\delta_2.\end{cases}$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Заметим, что функции
$$(p/2-1)(1-a^2)(1-\rho w)+(1+aw)(2+a\rho-\rho w),\quad(1+aw)(2a+\rho-a\rho w)$$
как функции от $w$ имеют вещественные нули, лежащие вне интервала $(-1,1)$. Поэтому $\varphi(z)$ не имеет нулей в $D$. Пусть $0\le\delta<\delta_1$. Для $f\in H_\infty$ положим
$$If=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1+aW(z))^2(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{W(z)(W(z)-\rho)(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,dz.$$
Поскольку
$$W(z)-\rho=e^{i\varphi}\frac{(z-\xi)(1-|z_1|^2)}{(1-\ov z_1z)(1-\ov z_1\xi)},$$
по теореме о вычетах получаем
$$e^{i\varphi}\frac{\rho(1-|z_1|^2)(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(1+a\rho)^2(1-\ov z_1\xi)(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}}If=f(\xi)-S_0f(z_1).$$
С другой стороны, в силу равенства $\ov{W(\ei)}=W^{-1}(\ei)$, используя формулу Стокса, имеем
\begin{multline*}
If=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\left(\frac{\ov{W(z)}+a}{1+a\ov{W(z)}}\right)^2\frac{(1+a\ov{W(z)})^2
(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{(1-\rho\ov{W(z)})(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,dz\\
=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\left(\frac{\ov{W(z)}+a}{1+a\ov{W(z)}}\right)^{p/2+1}\frac{(1+a\ov{W(z)})^2}
{1-\rho\ov{W(z)}}\left(\frac{W(z)+a}{1+aW(z)}\right)^{p/2-1}\\
\times\frac{(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,dz=e^{-i\varphi}\frac{(1-\ov z_1\xi)^2}{1-|z_1|^2}\frac1\pi\int_D\left(\frac{\ov{W(z)}+a}{1+a\ov{W(z)}}\right)^{p/2}\\
\times\frac{\ov{\varphi(z)}}{(1-\xi\ov z)^2}\left(\frac{W(z)+a}{1+aW(z)}\right)^{p/2-1}\frac{(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,d\sigma(z)\\
=e^{-i\varphi}\frac{(1-\ov z_1\xi)^2}{1-|z_1|^2}\frac1\pi\int_D\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\sigma(z).
\end{multline*}
Таким образом, при всех $f\in H_\infty$
\begin{equation}\label{11}
\frac{\rho(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(1+a\rho)^2(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}}\frac1\pi\int_D
\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\sigma(z)=f(\xi)-S_0f(z_1).
\end{equation}
Так как функции из $H_\infty$ плотны в $A_p$ для любого $1\le p<\infty$, равенство \eqref{11} выполняется для любой функции из $A_p$. Легко убедиться, что $S_0g(z_1)\ge0$. Поэтому из теоремы~\ref{T2} следует, что если $a\in[0,1]$ удовлетворяет условию $|g(z_1)|/\|g\|_{A_p}=\delta$, то $S_0$ --- оптимальный метод. Для $f=g$ из \eqref{11} имеем
\begin{multline*}
\frac{\rho(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(1+a\rho)^2(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}}\|g\|_{A_p}^p\\
=\frac{(\rho+a)(\varphi(\xi))^{2/p}}{(1+a\rho)(1-|\xi|^2)^{4/p}}-\left(\frac{1-\rho^2}{1+a\rho}
\right)^2\frac{a\varphi(z_1)}{(1-|\xi|^2)^{4/p}(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}}.
\end{multline*}
Тем самым
$$\|g\|_{A_p}^p=\frac{(\rho+a)(1+a\rho)}{\rho(1-|\xi|^2)^2}\varphi(\xi)-
\frac{a(1-\rho^2)^2}{\rho(1-|\xi|^2)^2}\varphi(z_1).$$
Непосредственным вычислением находим
\begin{multline*}
\|g\|_{A_p}^p=\frac1{b^4\rho^2(1-|\xi|^2)^2}[(p/2-1)(1-a^2)(1-\rho^2)(1+2a\rho+a^2b^4\\
+1-2(1-\rho^2)^2b^2+(1-\rho^2)^2b^4].
\end{multline*}
Поскольку $\|g\|_{A_p}>0$ при всех $a\in[0,1]$, функция, стоящая в левой части \eqref{10}, непрерывна как функция $a$, и поэтому уравнение \eqref{10} имеет решение для любого $\delta\in[0,\delta_1)$. Кроме того,
\begin{multline*}
|g(z_1)|=a\frac{|\varphi(z_1)|^{2/p}}{|1-\ov\xi z_1|^{4/p}}=a\frac{[(p/2-1)(1-a^2)+2+a\rho]^{2/p}}{|1-\ov\xi z_1|^{4/p}}\\
=\frac{a[(p/2-1)(1-a^2)+1+b^{-1}]^{2/p}(1-\rho^2)^{2/p}}{(1-|\xi|^2)^{2/p}(1-|z_1|^2)^{2/p}},
\end{multline*}
и, следовательно, уравнение \eqref{10} означает, что $|g(z_1)|/\|g\|_{A_p}=\delta$. Случай $\delta_1\le\delta<\delta_2$ рассматривается аналогично, если положить
\begin{multline*}
If=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(W(z)+a)^2(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{W(z)(W(z)-\rho)(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,dz\\
=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1+a\ov{W(z)})^2(\varphi(z))^{(p-2)/p}}{(1-\rho\ov{W(z)})(1-\ov\xi z)^{2(p-2)/p}}f(z)\,dz.
\end{multline*}

Пусть $\delta\ge\delta_2$. Тогда $a=0$, $g(z)=\rho^{2/p}(1-\ov\xi z)^{-4/p}$ и
\begin{multline*}
\frac1\pi\int_D\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\sigma\\
=\rho^{2(p-1)/p}\frac1\pi\int_D(1-\xi\ov z)^{-2}(1-\ov\xi z)^{-2(p-2)/p}f(z)\,d\sigma(z)\\
=\rho^{2(p-1)/p}(1-|\xi|^2)^{-2(p-2)/p}f(\xi)
\end{multline*}
(здесь мы пользуемся тем, что ядро Бергмана $(1-\ov\xi z)^{-2}$ является воспроизводящим ядром для $A_p$. Таким образом,
\begin{equation}\label{12}
\frac{(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{\rho^{2(p-1)/p}}\frac1\pi\int_D\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\sigma
=f(\xi)-S_0f(z_1).
\end{equation}
Покажем, что $|g(z_1)|/\|g\|_{A_p}\le\delta$. Подставляя $f=g$ в \eqref{12}, получаем
$$(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}\|g\|_{A_p}^p=\frac{\rho^{2/p}}{(1-|\xi|^2)^{4/p}},$$
что дает
$$\frac{|g(z_1)|}{\|g\|_{A_p}}=\left(\frac{1-\rho^2}{1-|z_1|^2}\right)^{2/p}=\delta_2\le\delta.$$
Предложение доказано.
\end{proof}

Рассмотрим аналогичную задачу для $X=h_p$, $p>1$. Положим
$$\alpha(\lambda)=\frac{\displaystyle\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(z_1,\ei)(P(\xi,\ei)-\lambda P(z_1,\ei))_{(q)}\,d\theta}{\|P(\xi,\cdot)-\lambda P(z_1,\cdot)\|_q^{q-1}},\quad\delta_1=\alpha(0),$$
где $P(\xi,z)=(1-|\xi|^2)/|1-\ov\xi z|^2$ --- ядро Пуассона, $1/p+1/q=1$, $(x)_{(q)}=|x|^{q-1}\sign x$ и
$$\|f\|_q=\left(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(\ei)|^q\,d\theta\right)^{1/q}.$$
Покажем, что при любом $0\le\delta\le\delta_1$ уравнение
\begin{equation}\label{13}
\alpha(\lambda)=\delta
\end{equation}
имеет решение $\lambda\in[0,(1+\rho)/(1-\rho))$. При $z=\ei$ и $\zeta=W(z)=e^{i\varphi}(z-z_1)/(1-\ov z_1z)$
\begin{equation}\label{14}
\frac{P(\xi,z)}{P(z_1,z)}=P(\rho,\zeta)=\frac{1-\rho^2}{|1-\rho\zeta|^2}\le\frac{1-\rho}{1+\rho}
\end{equation}
($\rho$ и $\varphi$ те же, что и в \eqref{6}). Тем самым при всех $z=\ei$
$$P(\xi,z)-\frac{1+\rho}{1-\rho}P(z_1,z)\le0.$$
Поэтому $\alpha((1+\rho)/(1-\rho))<0$. Поскольку $\alpha(\lambda)$ непрерывна при $\lambda\in[0,(1+\rho)/(1-\rho)]$ и $\alpha(0)=\delta_1$, уравнение \eqref{13} имеет решение в указанном промежутке при всех $0\le\delta\le\delta_1$. Обозначим это решение через $C_p(\xi,z_1,\delta)$. При $\delta>\delta_1$ положим $C_p(\xi,z_1,\delta)=0$.

\begin{proposition}\label{P3}
Пусть $X=h_p$, $p>1$. Тогда при всех $\delta\ge0$

$1)$ $S_0y=C_p(\xi,z_1,\delta)y$ --- оптимальный метод,

$2)$ функция
$$u_0(\zeta)=\frac{\displaystyle\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(\zeta,\ei)(P(\xi,\ei)-
C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\ei))_{(q)}\,d\theta}{\|P(\xi,\cdot)-C_p(\xi,z_1,\delta)
P(z_1,\cdot)\|_q^{q-1}}$$
экстремальна,

$3)$ имеет место равенство
$$E(\xi,z_1,\delta,h_p)=u_0(\xi)=\|P(\xi,\cdot)-C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\cdot)\|_q+\delta
C_p(\xi,z_1,\delta).$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Известно (см.\ \cite{10}), что всякая функция из $h_p$, $p>1$, имеет почти всюду граничные значения, по которым она может быть однозначно восстановлена с помощью преобразования Пуассона. Таким образом, для любой $u\in Bh_p$, $p>1$,
\begin{multline*}
|u(\xi)-C_p(\xi,z_1,\delta)u(z_1)|=\biggl|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}(P(\xi,\ei)-
C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\ei))\\
\times u(\ei)\,d\theta\biggr|
\le\|P(\xi,\cdot)-C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\cdot)\|_q.
\end{multline*}
С другой стороны,
$$f(\theta)=\frac{(P(\xi,\ei)-C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\ei))_{(q)}}
{\|P(\xi,\cdot)-C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\cdot)\|_q^{q-1}}\in BL_p(0,2\pi),$$
и поэтому (см.\ \cite{10}) функция $u_0$ принадлежит $Bh_p$, а ее граничные значения почти всюду совпадают с $f(\theta)$. Тем самым
$$u_0(\xi)-C_p(\xi,z_1,\delta)u_0(z_1)=\|P(\xi,\cdot)-C_p(\xi,z_1,\delta)P(z_1,\cdot)\|_q.$$
Следовательно,
\begin{equation}\label{15}
\sup_{u\in Bh_p}|u(\xi)-C_p(\xi,z_1,\delta)u(z_1)|=u_0(\xi)-C_p(\xi,z_1,\delta)u_0(z_1).
\end{equation}
Пусть $0\le\delta\le\delta_1$. Из определения $C_p(\xi,z_1,\delta)$ следует, что $u_0(z_1)=\delta$. Так как $C_p(\xi,z_1,\delta)\ge0$, с учетом \eqref{15} $u_0(\xi)\ge0$ и
$$\sup_{u\in Bh_p}|u(\xi)-C_p(\xi,z_1,\delta)u(z_1)|=|u_0(\xi)|-\delta C_p(\xi,z_1,\delta).$$
Для $\delta>\delta_1$ последнее равенство выполняется ввиду того, что $C_p(\xi,z_1,\delta)=0$. Ссылка на следствие~\ref{C1} завершает доказательство предложения.
\end{proof}

Найдем величину $C_p(\xi,z_1,\delta)$ при $p=\infty$. В этом случае $q=1$ и
$$\alpha(\lambda)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(z_1,\ei)\sign(P(\xi,\ei)-\lambda P(z_1,\ei))\,d\theta.$$
В силу \eqref{14} после замены переменной
$$z=\frac{e^{-i\varphi}\zeta+z_1}{1+\ov z_1e^{-i\varphi}\zeta}$$
получаем
\begin{multline*}
\alpha(\lambda)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sign(P(\rho,\ei)-\lambda)\,d\theta\\
=
\frac1\pi\int_0^\pi\sign\left(\frac{1-\rho^2}{1-2\rho\cos\theta+\rho^2}-\lambda\right)\,d\theta\\
=\begin{cases}1,&\lambda\le\dfrac{1-\rho}{1+\rho},\\
\dfrac2\pi\arccos\dfrac{\lambda(1+\rho^2)-(1-\rho^2)}{2\rho\lambda}-1,&\dfrac{1-\rho}{1+\rho}
\le\lambda\le\dfrac{1+\rho}{1-\rho},\\
-1,&\lambda\ge\dfrac{1+\rho}{1-\rho}.\end{cases}
\end{multline*}
Тем самым при $0\le\delta<1$ решением уравнения \eqref{13} является
$$C_\infty(\xi,z_1,\delta)=\frac{1-\rho^2}{1+2\rho\sin\dfrac\pi2\delta+\rho^2}.$$
Если $\delta=1$, то любое $\lambda\in[0,(1-\rho)/(1+\rho)]$ будет решением \eqref{13}.

При $0\le\delta<1$ и $z=\ei$ имеем
\begin{multline*}
\sign(P(\xi,z)-C_\infty(\xi,z_1,\delta)P(z_1,z))\\=\sign\left(\frac{1-\rho^2}{|1-\rho W(z)|^2}-
C_\infty(\xi,z_1,\delta)\right)
=\sign\left(\RE W(z)+\sin\frac\pi2\delta\right)\\=\sign\RE\frac{W(z)+\tg\dfrac\pi4\delta}{1+
W(z)\tg\dfrac\pi4\delta}
=\frac4\pi\RE\arctg\frac{W(z)+\tg\dfrac\pi4\delta}{1+
W(z)\tg\dfrac\pi4\delta}.
\end{multline*}
Мы получили, что при $p=\infty$ и $0\le\delta<1$
$$u_0(\zeta)=\frac4\pi\RE\arctg\frac{W(\zeta)+\tg\dfrac\pi4\delta}{1+
W(\zeta)\tg\dfrac\pi4\delta}.$$
Таким образом, из предложения~\ref{P3} вытекает

\begin{corollary}\label{C3}
Для $X=h_\infty$

$1)$ метод
$$S_0y=\begin{cases}\dfrac{1-\rho^2}{1+2\rho\sin\dfrac\pi2\delta+\rho^2}y,&0\le\delta<1,\\
c\dfrac{1-\rho}{1+\rho}y,&\delta=1,\ c\in[0,1],\\
0,&\delta>1,\end{cases}$$
оптимален $($при $\delta=1$ \ $c$ --- произвольное число из отрезка $[0,1]$$)$,

$2)$ функция
$$u_0(z)=\frac4\pi\RE\arctg\frac{W(z)+\Delta}{1+\Delta W(z)},$$
где
$$\Delta=\begin{cases}\tg\dfrac\pi4\delta,&0\le\delta<1,\\
1,&\delta\ge1,\end{cases}$$
экстремальна,

$3)$ имеют место равенства
$$E(\xi,z_1,\delta,h_\infty)=u_0(\xi)=\frac4\pi\arctg\frac{\rho+\Delta}{1+\Delta\rho}.$$
\end{corollary}

Решение уравнения \eqref{13} при $p=2$ также может быть получено в явном виде. Тем не менее мы установим более общий результат для гильбертова пространства.

Пусть $X$ --- комплексное (или вещественное) гильбертово пространство. Рассмотрим задачу \eqref{1} для случая, когда $W=BX$, $Y=Z=\mathbb C\ (\mathbb R)$, $Lx=(x,x_1)$, $Ix=(x,x_2)$, $x_1,x_2\in X$. Погрешность оптимального восстановления в этом случае будем обозначать через $E(x_1,x_2,\delta,X)$.

\begin{proposition}\label{P4}
Пусть $x_1$ и $x_2$ --- линейно независимые элементы
гильбертова пространства $X$. Положим
$$\varepsilon=\min\left\{\delta,\frac{|(x_1,x_2)|}{\|x_1\|}\right\}.$$
Тогда

$1)$ метод
$$S_0y=\lambda\frac{(x_2,x_1)}{\|x_2\|^2}y,$$
где
$$\lambda=1-\frac\varepsilon{|(x_1,x_2)|}\sqrt{\frac{\|x_1\|^2\|x_2\|^2-|(x_1,x_2)|^2}{\|x_2\|^2
-\varepsilon^2}},$$
оптимален,

$2)$ элемент
$$x_0=\sqrt{\frac{\|x_2\|^2-\varepsilon^2}{\|x_1\|^2\|x_2\|^2-|(x_1,x_2)|^2}}\left(x_1-\lambda
\frac{(x_1,x_2)}{\|x_2\|^2}x_2\right)$$
экстремален,

$3)$ выполняется равенство
$$E(x_1,x_2,\delta,X)=\sqrt{1-\frac{\varepsilon^2}{\|x_2\|^2}}\sqrt{\|x_1\|^2-
\frac{|(x_1,x_2)|^2}{\|x_2\|^2}}+\varepsilon\frac{|(x_1,x_2)|}{\|x_2\|^2}.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Имеем
\begin{multline*}
\sup_{\|x\|\le1}|(x,x_1)-S_0(x,x_2)|=\sup_{\|x\|\le1}\left|\left(x,x_1-\lambda
\frac{(x_1,x_2)}{\|x_2\|^2}x_2\right)\right|\\
=\left\|x_1-\lambda\frac{(x_1,x_2)}{\|x_2\|^2}x_2\right\|=\sqrt{\frac{\|x_1\|^2\|x_2\|^2-|(x_1,x_2)|^2}{\|x_2\|^2
-\varepsilon^2}}.
\end{multline*}
Более того,
$$(x_0,x_1)-S_0(x_0,x_2)=\left(x_0,x_1-\lambda
\frac{(x_1,x_2)}{\|x_2\|^2}x_2\right)=\left\|x_1-\lambda\frac{(x_1,x_2)}{\|x_2\|^2}x_2\right\|.$$
Следовательно, $\|x_0\|=1$ и
$$\sup_{\|x\|\le1}|(x,x_1)-S_0(x,x_2)|=(x_0,x_1)-S_0(x_0,x_2).$$
Поскольку
\begin{gather*}
S_0(x_0,x_2)=\frac{\lambda(1-\lambda)|(x_1,x_2)|^2}{\|x_2\|^2
\left\|x_1-\lambda\dfrac{(x_1,x_2)}{\|x_2\|^2}x_2\right\|}\ge0,\\
|(x_0,x_2)|=\sqrt{\frac{\|x_2\|^2-\varepsilon^2}{\|x_1\|^2\|x_2\|^2-|(x_1,x_2)|^2}}|(x_1,x_2)|
(1-\lambda)=\varepsilon,
\end{gather*}
получаем $S_0(x_0,x_2)=\delta\|S_0\|$. Для завершения доказательства предложения остается применить следствие~\ref{C1}.
\end{proof}

Задачи оптимального восстановления по неточным данным в гильбертовых пространствах для более общей ситуации рассматривались в работе \cite{11} (см.\ также \cite{2}).

Пусть $X$ --- гильбертово пространство функций $f\colon\Omega\to\mathbb C\ (\mathbb R)$ с воспроизводящим ядром $K\colon\Omega\times\Omega\to\mathbb C\ (\mathbb R)$, т.~е.
$$f(z)=(f\cd,K(\cdot,z))$$
для любых $f\in X$ и $z\in\Omega$. Рассмотрим задачу \eqref{1} для $W=BX$, $Lf=f(\xi)$, $If=f(z_1)$. Если $K(\cdot,\xi)$ и $K(\cdot,z_1)$ линейно независимы (т.~е. класс $BX$ разделяет точки $\xi$ и $z_1$), то из предложения~\ref{P4} получаем

\begin{corollary}\label{C4}
Пусть
$$\varepsilon=\min\left\{\delta,\frac{|K(z_1,\xi)|}{\sqrt{K(\xi,\xi)}}\right\}.$$
Тогда

$1)$ метод
$$S_0y=\lambda\frac{K(\xi,z_1)}{K(z_1,z_1)}y,$$
где
$$\lambda=1-\frac\varepsilon{|K(z_1,\xi)|}\sqrt{\frac{K(\xi,\xi)K(z_1,z_1)-|K(z_1,\xi)|^2}
{K(z_1,z_1)-\varepsilon^2}},$$
оптимален,

$2)$ функция
\begin{multline*}
f_0(z)=\sqrt{\frac{K(z_1,z_1)-\varepsilon^2}{K(\xi,\xi)K(z_1,z_1)-|K(z_1,\xi)|^2}}\\
\times\left(K(z,\xi)-\lambda\frac{K(z_1,\xi)}{K(z_1,z_1)}K(z,z_1)\right)
\end{multline*}
экстремальна,

$3)$ имеет место равенство
$$E(\xi,z_1,\delta,X)=\sqrt{1-\frac{\varepsilon^2}{K(z_1,z_1)}}\sqrt{K(\xi,\xi)-
\frac{|K(z_1,\xi)|^2}{K(z_1,z_1)}}+\varepsilon\frac{|K(z_1,\xi)|}{K(z_1,z_1)}.$$
\end{corollary}

Перечислим некоторые примеры гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами:

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
\item $H_2$, $\quad K(\xi,z)=(1-\xi\ov z)^{-1}$, $\displaystyle\quad(f,g)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\ei)\ov{g(\ei)}\,d\theta$,
\item $A_2$, $\quad K(\xi,z)=(1-\xi\ov z)^{-2}$, $\displaystyle\quad (f,g)=\dfrac1\pi\int_Df(z)\ov{g(z)}\,d\sigma(z)$,
\item $h_2$, $\quad K(\xi,z)=2\RE(1-\xi\ov z)^{-1}-1$,
\item[]\hspace{152pt}$\displaystyle\quad(u,v)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(\ei)v(\ei)\,d\theta$,
\item $a_2$, $\quad K(\xi,z)=2\RE(1-\xi\ov z)^{-2}-1$,
\item[]\hspace{163pt}$\displaystyle\quad (u,v)=\dfrac1\pi\int_Du(z)v(z)\,d\sigma(z)$.
\end{enumerate}

Отметим, что можно получить обобщение леммы Шварца, аналогичное \eqref{9}:
$$\sup_{\substack{f\in BX\\|f(z_1)|\le\delta}}|f(\xi)|=E(\xi,z_1,\delta,X),$$
где $E(\xi,z_1,\delta,X)$ находится из соответствующего предложения для $X=H_p,A_p,h_p$ и $a_2$.

Положим $D(\xi,z_1,\delta,X)=\{z\in D:|g_0(z)|\le\delta\}$, где $X=H_p,A_p,h_p$ или $a_2$, a $g_0(z)$ --- экстремальная функция для соответствующей задачи восстановления. Если взять информационный оператор $\widetilde If=f_{|D(\xi,z_1,\delta,X)}$ вместо оператора $If=f(z_1)$ и в качестве пространства $Y$ --- пространство непрерывных в $D(\xi,z_1,\delta,X)$ функций с нормой
$$\|y\|=\sup_{z\in D(\xi,z_1,\delta,X)}|y(z)|,$$
то из следствия~\ref{C1} получим, что оптимальный метод, экстремальная функция и погрешность оптимального восстановления остаются прежними. Таким образом, дополнительная информация (с той же погрешностью) о поведении функции на множестве $D(\xi,z_1,\delta,X)$ не уменьшает погрешности оптимального восстановления. Иными словами, точка $z_1$ образует некоторое ``теневое'' множество, любая дополнительная информация в котором бесполезна.

{\bf3. Оптимальное восстановление производной по неточным данным.} Вернемся к задаче \eqref{1} для $X=H_p$, $Z=\mathbb C$, $Y=l_q^2$, $Lf=f'(0)$, $If=(f(-h),f(h))$, $h\in(0,1)$. Погрешность оптимального восстановления обозначим через $E'_q(h,\delta,H_p)$.

Существует хорошо известный метод
$$f'(0)\approx\frac{f(h)-f(-h)}{2h},$$
который не оптимален даже при $\delta=0$ (см.\ \cite{12}). В работе \cite{2} было показано, что метод
$$f'(0)\approx(1-h^4)\frac{f(h)-f(-h)}{2h}$$
оптимален для $\delta=0$ и $p=\infty$. Из работы \cite{8} следует, что этот же метод оптимален для $\delta=0$ и всех $1\le p\le\infty$. Более того, он же оптимален для $\delta=0$ и $X=h_\infty$ (см.\ \cite{9}).

Теперь рассмотрим случай, когда значения функций в точках $-h$ и $h$ известны с погрешностью, не превышающей $\delta$, в норме $l_q^2$, т.~е. известны $y_1$ и $y_2$ такие, что
\begin{gather*}
|f(-h)-y_1|^q+|f(h)-y_2|^q\le\delta^q,\quad1\le q<\infty,\\
\max\{|f(-h)-y_1|,|f(h)-y_2|\}\le\delta,\quad q=\infty.
\end{gather*}
Положим
\begin{gather*}
\varepsilon_p=\begin{cases}1/p,&1\le p<\infty,\\
0,&p=\infty,\end{cases}\quad\delta_1=h2^{\varepsilon_q-\varepsilon_p}(1+h^2)^{-\varepsilon_p},
\quad\delta_2=h2^{\varepsilon_q},\\
\alpha(z)=\begin{cases}1,&0\le\delta<\delta_1,\\
\dfrac{a^2-z^2}{1-a^2z^2},&\delta\ge\delta_1\end{cases}
\end{gather*}
Пусть $a\in[h,1]$ является решением уравнения
\begin{equation}\label{16}
\frac{h(a^2-h^2)(1-a^2h^2)^{2\varepsilon_p-1}}{\alpha(h)(1-h^4)^{\varepsilon_p}
(1-2a^2h^2+a^4)^{\varepsilon_p}}=\delta2^{-\varepsilon_q},
\end{equation}
где $0\le\delta\le\delta_2$ (существование решения следует из непрерывности функции, стоящей в левой части уравнения). Для $\delta>\delta_2$ положим $a=h$.

\begin{proposition}\label{P5}
При всех $\delta\ge0$ и $1\le p,q\le\infty$

$1)$ метод
$$f'(0)\approx S_0y=\frac{\alpha(h)(1-a^2h^2)^{2(1-\varepsilon_p)}}{\alpha(0)(1-h^4)^{1-2\varepsilon_p}}
\cdot\frac{y_2-y_1}{2h}$$
оптимален,

$2)$ функция
$$g_0(z)=\left(\frac{1-h^4}{1-2a^2h^2+a^4}\right)^{\varepsilon_p}\frac{z(a^2-z^2)
(1-a^2z^2)^{2\varepsilon_p-1}}{\alpha(z)(1-h^2z^2)^{2\varepsilon_p}}$$
экстремальна,

$3)$ имеет место равенство
$$E'_q(h,\delta,H_p)=\frac{a^2}{\alpha(0)}\left(\frac{1-h^4}{1-2a^2h^2+a^4}\right)^{\varepsilon_p}
.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Положим
$$g(z)=\frac{z(a^2-z^2)(1-a^2z^2)^{2\varepsilon_p-1}}{\alpha(z)(1-h^2z^2)^{2\varepsilon_p}},
\quad\varphi(z)=\left(\frac{1-a^2z^2}{1-h^2z^2}\right)^2.$$
Для всех $f\in H_p$ из теоремы о вычетах имеем
\begin{multline*}
f'(0)-S_0If=-\frac{h^2}{\alpha(0)}\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{\alpha(z)
(1-a^2z^2)^{2(1-\varepsilon_p)}}{z^2(z^2-h^2)(1-h^2z^2)^{1-2\varepsilon_p}}f(z)\,dz\\
=\begin{cases}\displaystyle\frac{h^2}{\alpha(0)}\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}
|g(\ei)|^{p-2}f(\ei)\,d\theta,&1\le p<\infty,\\
\displaystyle\frac{h^2}{\alpha(0)}\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}
|\varphi(\ei)|f(\ei)\,d\theta,&p=\infty.\end{cases}
\end{multline*}
При $f=g$ из этих равенств получаем
$$\|g\|_{H_p}^p=\|\varphi\|_{H_1}=\frac{1-2a^2h^2+a^4}{1-h^4}.$$
Если $p=\infty$, то $|g(\ei)|\equiv1$. Для применения следствия~\ref{2} остается доказать, что
$$Ig_0=\delta a^*=\frac\delta{2^{\varepsilon_q}}(-1,1).$$
Так как $g_0(-h)=-g_0(h)$, требуемое следует из равенства $g_0(h)=\delta2^{-\varepsilon_q}$,
которое совпадает с \eqref{16}. Предложение доказано.
\end{proof}

Заметим, что $S_0y\equiv0$ для $\delta\ge2^{\varepsilon_q}$. Если $\delta<2^{\varepsilon_q}$, то можно рассмотреть задачу о нахождении оптимального значения $h_0$, т.~е. такого значения, что
$$E'_q(h_0,\delta,H_p)=\min_{h\in(0,1)}E'_q(h,\delta,H_p).$$
Приведем решение этой задачи для $p=\infty$.

\begin{proposition}\label{P6}
Пусть $p=\infty$, $1\le q\le\infty$ и $0\le\delta<2^{\varepsilon_q}$. Тогда оптимальное значение $h_0$ удовлетворяет уравнению
\begin{equation}\label{17}
\delta h_0^4+2^{1+\varepsilon_q}h_0^3-\delta^22^{1-\varepsilon_q}h_0-\delta=0.
\end{equation}
При этом $E'_q(h_0,\delta,H_\infty)=h_0^2$.

Для $h_0$ справедливо равенство
$$h_0=\sqrt k\sn(K/3,k),$$
в котором $k$ определяется из соотношений
\begin{equation}\label{18}
\sqrt k=2h_1^{1/4}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty h_ 1^{m(m+1)}}{\displaystyle1+
2\sum_{m=1}^\infty h_1^{m^2}},\quad h_1=e^{-\frac\pi3\frac{\Lambda'}\Lambda},
\end{equation}
или
\begin{equation}\label{19}
\frac{K'}K=\frac{\Lambda'}{3\Lambda},
\end{equation}
где $K$, $\Lambda$ --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $k$, $\lambda=\delta^24^{-\varepsilon_q}$, а $K'$, $\Lambda'$ --- для дополнительных модулей.
\end{proposition}

\begin{proof}
Из предложения~\ref{P5} имеем
$$E'_q(h_0,\delta,H_\infty)=\begin{cases}a^2,&0\le\delta<h2^{\varepsilon_q},\\
1,&\delta\ge h2^{\varepsilon_q},\end{cases}$$
где $a\in[h,1]$ определяется из уравнения
\begin{equation}\label{20}
h\frac{a^2-h^2}{1-a^2h^2}=\frac\delta{2^{\varepsilon_q}}.
\end{equation}
Нетрудно убедиться, что минимальное значение $a^2$, удовлетворяющее равенству \eqref{20}, достигается для единственного значения $h_0\in(0,1)$, определяемого уравнением \eqref{17}.

Дифференцируя равенство \eqref{20}, имеем
$$\frac{a^2-h^2}{1-a^2h^2}-2h^2\frac{1-a^4}{(1-a^2h^2)^2}+2aa'h\frac{1-h^4}{(1-a^2h^2)^2}=0.$$
Таким образом, если $h_0$ --- минимум, то $g_0'(h_0)=0$, где
\begin{equation}\label{21}
g_0(z)=z\frac{a^2-z^2}{1-a^2z^2}.
\end{equation}
Теперь достаточно найти функцию $g_0(z)$ вида \eqref{21} такую, что $g_0(h_0)=\delta2^{-\varepsilon_q}$ и $g_0'(h_0)=0$ для некоторого $h_0\in(0,1)$. Из леммы 2.2 работы \cite{7} следует, что она является произведением Бляшке порядка $3$ с минимальной нормой, равной
$$\|g_0\|=\max_{z\in[-\sqrt k,\sqrt k]}|g_0(z)|=\delta2^{-\varepsilon_q},$$
где $k$ определяется из условий $|g_0(-\sqrt k)|=|g_0(\sqrt k)|=\delta2^{-\varepsilon_q}$. Из \cite{13} получаем
$$g_0(z)=z\frac{k\sn^2(2K/3,k)-z^2}{1-k\sn^2(2K/3,k)z^2}.$$
Используя первое главное преобразование порядка $3$ (см.\ \cite{14}), запишем эту функцию в виде
$$g_0(z)=\sqrt\lambda\sn\left(\frac{3\Lambda}Ku,\lambda\right),\quad z=\sqrt k\sn(u,k),$$
где $\lambda=\delta^24^{-\varepsilon_q}$, а $k$ удовлетворяет \eqref{18}, \eqref{19}. Если положить $h_0=\sqrt k\sn(K/3,k)$, то $g_0(h_0)=\delta2^{-\varepsilon_q}$ и $g_0'(h_0)=0$. Предложение доказано.
\end{proof}

С помощью \eqref{17} легко показать, что
$$h_0=2^{-(1+\varepsilon_q)/3}\delta^{1/3}+O\left(\delta^{5/3}\right)$$
и, следовательно,
$$\min_{h\in(0,1)}E'_q(h_0,\delta,H_\infty)=4^{-(1+\varepsilon_q)/3}\delta^{2/3}+
O\left(\delta^2\right).$$

\bigskip

\renewcommand{\refname}{ЛИТЕРАТУРА}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} {\sc Марчук А. Г., Осипенко К. Ю.} Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Мат. заметки. 1975. Т.~17, вып.~3. С.~359--368.
\selectlanguage{english}
\bibitem{2} {\sc Micchelli C. A., Rivlin T. J.} A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory. N.Y.: Plenum Press, 1977. P.~1--53.

\bibitem{3} {\sc Micchelli C. A., Rivlin T. J.} Lectures on optimal recovery // Lectures Notes in Math. 1985. V.~1129. P.~21-93.
\bibitem{4} {\sc Rivlin T. J.} A survey of recent results in optimal recovery // Polynomial and Spline Approximation: Proc. NATO Adv. Study Inst. Calgary, 1978. P.~225--245. (Dordrecht etc., 1979).
\selectlanguage{russian}
\bibitem{5} {\sc Осипенко К. Ю.} Наилучшее методы приближения аналитических функций, заданных с погрешностью // Мат. сб. 1982. Т.~118, \No~3. С.~350--370.

\bibitem{6} {\sc Осипенко К. Ю.} Задача Хейнса и оптимальная экстраполяция аналитических функций, заданных с ошибкой // Мат. сб. 1985. Т.~126, \No~4. С.~566--575.
\selectlanguage{english}
\bibitem{7} {\sc Osipenko K. Yu.} On optimal extrapolation and interpolation of fuzzy analytic functions // Anal. Math. 1987. V.~13, \selectlanguage{russian}\No~3. P.~199--210.
\bibitem{8} {\sc Осипенко К. Ю., Стесин М. И.} О задачах восстановления в пространствах Харди
и Бергмана // Мат. заметки. 1991. Т.~49, вып.~4. С.~95--104.
\bibitem{9} {\sc Осипенко К. Ю.} Наилучшие и оптимальные методы восстановления на классах
гармонических функций // Мат. сб. 1991. Т.~182, \No~5. С.~723--745.
\bibitem{10} {\sc Голузин Г. М.} Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.:
Наука, 1966.
\selectlanguage{english}
\bibitem{11} {\sc Melkman A. A., Micchelli C. A.} Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V.~16, \selectlanguage{russian}\No~1. \selectlanguage{english}P.~87--105.

\bibitem{12} {\sc Rivlin T. J.} The optimal recovery of functions // Contemp. Math. 1982. V.~9. P.~121--151.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{13} {\sc Осипенко К. Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций // Мат. заметки. 1972. Т.~12, вып.~4. С.~465--476.
\bibitem{14} {\sc Ахиезер Н. И.} Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.
\end{thebibliography}
\end{document}
