\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}

\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother

\tolerance 1900

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem*{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}
\DeclareMathOperator{\In}{In}
\DeclareMathOperator{\card}{card}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}
\newcommand*{\wl}{\widetilde l}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
Факультет вычислительной математики и кибернетики
\end{center}
\vspace{50pt}
\begin{flushright}
На правах рукописи\\
\bigskip
\end{flushright}
\vspace{60pt}
\begin{center}
Константин Юрьевич ОСИПЕНКО \\

\vspace{50pt}
         НАИЛУЧШИЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ
         ИНФОРМАЦИЮ О КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ\\

\vspace{50pt}
                 (01.01.07. --- вычислительная математика)\\
\vspace{100pt}
                       АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ\\
              на соискание ученой степени\\
                кандидата физико-математических наук\\
\vspace{150pt}
                           ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА $\cdot$ 1976
\end{center}
\newpage
\thispagestyle{empty}
Работа выполнена на кафедре вычислительной математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.~Ломоносова.

\bigskip

\begin{tabular}{ll}
Научный руководитель ---&доктор физико-математических\\
&наук, профессор\\
&Н.С.~БАХВАЛОВ.\\[28pt]
Официальные оппоненты:&доктор физико-математических\\
&наук, профессор С.Б.~СТЕЧКИН,\\
&кандидат физико-математических\\
&наук Т.А.~ЛЕОНТЬЕВА.\\
\end{tabular}

\bigskip

Ведущее предприятие --- Московский физико-технический институт.

\bigskip

Автореферат разослан "\rule{8mm}{0,25pt}"\rule{3cm}{0,25pt} 1976 г.

Защита диссертации состоится "\rule{8mm}{0,25pt}"\rule{3cm}{0,25pt} 1976 г. в 15 часов на заседании Ученого Совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (Москва, 117234, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.~205).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

\vspace{260pt}


Ученый секретарь Совета

доктор физ.-мат. наук,

профессор\hfill  Н.Н.~КУЗНЕЦОВ

\newpage
\setcounter{page}{1}

Диссертация посвящена исследованию задач, связанных с построением наилучших методов приближения функций из некоторых классов, использующих информацию о конечном числе значений функций. В более общем виде рассматриваемые задачи можно сформулировать, как задачу приближения линейного функционала $L(x)$ на некотором множестве $W$ из линейного пространства $X$ по значениям линейных функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$.

Последняя задача часто формулируется, как задача нахождения таких чисел $C_1^0,\ldots,C_n^0$, для которых величина
$$r_n(C_1,\ldots,C_n)=\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nC_jl_j(x)\biggr|$$
минимальна. Большинство задач о построении наилучшей квадратурной формулы на классе можно сформулировать именно в таком виде.

Желание наиболее полно использовать информацию о значениях функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$ приводит к следующей постановке. Среди всевозможных методов приближения $S(l_1(x),\ldots,l_n(x))$ (не обязательно линейных относительно $l_1(x),\ldots,l_n(x)$) найти метод, называемый наилучшим, который минимизирует величину
$$r_n(S)=\sup_{x\in W}|L(x)-S(l_1(x),\ldots,l_n(x))|.$$
Такая постановка задачи была предложена С.А.~Смоляком \cite{10} и рассматривалась также в работах Н.С.~Бахвалова \cite{2} и Б.Д.~Боянова \cite{3,4}. В частности, было доказано (\cite{10}, см.\ также \cite{2}), что если множество $W$ из линейного вещественного пространства является выпуклым и центрально-симметричным, то среди наилучших методов приближения найдется линейный относительно функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$, и имеет место равенство
$$\inf_{\{C_j\}}r_n(C_1,\ldots,C_n)=\inf_Sr_n(S)=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|.$$

Тот факт, что реально значения функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$ во многих задачах бывают известны приближенно, приводит к следующей постановке. Приблизить линейный функционал $L(x)$ на множестве $W$ из линейного пространства $X$ (вещественного или комплексного) по значениям $\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x)$, где $\wl_j(x)=l_j(x)+\rho_j(x)$, $j=1,\ldots,n$, а вектор $\rho(x)=(\rho_1(x),\ldots,\rho_n(x))$ при всех $x\in W$ удовлетворяет неравенству $\|\rho(x)\|\le\delta$; здесь $\|\cdot\|$ --- какая-либо норма в пространстве $n$-мерных вещественных или комплексных векторов, а $\delta$ --- неотрицательное число, характеризующее погрешность задания линейных функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$.

Погрешностью данного метода приближения $S(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))$ линейного функционала $L(x)$ назовем величину
$$r_n(\delta,S)=\sup_{x\in W}\sup_{\|\rho(x)\|\le\delta}|L(x)-S(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))|.$$
В работе рассматриваются задачи, связанные с нахождением такого метода $S_0(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))$, называемого наилучшим методом приближения при данном $\delta$, для которого справедливо равенство
$$r_n(\delta,S_0)=\inf_Sr_n(\delta,S).$$
Заметим, что в случае $\delta=0$ рассматриваемая постановка задачи совпадает с постановкой С.А.~Смоляка.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе исследуются вопросы, связанные с существованием и единственностью линейного наилучшего метода приближения. В \S~1 устанавливается, что для комплексного линейного пространства $X$ в случае, если множество $W$ выпуклое и круговое, при всех $\delta\ge0$ среди наилучших методов приближения найдется линейный и для его погрешности будет справедливо равенство
$$r_n(\delta,S_0)=\sup_{\substack{x\in W\\\|l(x)\|\le\delta}}|L(x)|,\quad l(x)=(l_1(x),\ldots,l_n(x)).$$
Далее, при условии дифференцируемости в нуле по $\varepsilon$ функций
$$\varphi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{x\in A_j(\varepsilon,\delta)}\RE L(x),\ \psi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{x\in A_j(i\varepsilon,\delta)}\RE L(x),\ j=1,\ldots,n,$$
где $A_j(\varepsilon,\delta)=\{x\in W|\IM L(x)=0,\ \|l(x)-\varepsilon e_j\|\le\delta\}$, $\{e_j\}=\delta_{kj}$, доказывается, что метод приближения
$$L(x)\approx\sum_{j=1}^n\left[\frac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}-
i\frac{\partial\psi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}\right]\wl_j(x)$$
будет единственным линейным наилучшим методом приближения функционала $L(x)$ по значениям функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$, заданных с погрешностью $\delta$.

B \S~2 устанавливаются аналогичные результаты для случая, когда линейные функционалы $L(x),l_1(x),\ldots,l_n(x)$ определены на вещественном линейном пространстве $X$.

Глава~2 посвящена вопросам, связанным с построением наилучших методов приближения аналитических функций, использующих информацию о конечном числе точных значений функций. Обозначим через $A_d(G)$ класс аналитических в односвязной области $G$ функций $f(z)$, представимых в виде $f(z)=d(z)g(z)$, где $d(z)$ фиксированная аналитическая в области G функция, не обращающаяся в нуль, а $g(z)$ принадлежит классу аналитических и не превосходящих по модулю единицы в области $G$ функций. Простейшим примером класса типа $A_d(G)$ является класс функций $A_M(G)$, аналитических и не превосходящих по модулю константы $M$. B \S~3 строится наилучший на классе $A_d(G)$ метод приближения величины $f(z)$, $z\in G$ по значениям
$$f(z_1),\ldots,f^{(k_1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(k_n)}(z_n),\mbox{ где }z_1,\ldots,z_n$$
различные точки из области $G$, и доказывается единственность построенного метода среди линейных наилучших методов. Для погрешности наилучшего метода $r(z,\underbrace{z_1,\ldots,z_1}_{k_1+1},\ldots,\underbrace{z_n,\ldots,z_n}_{k_n+1})$ доказывается равенство
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=|d(z)|\prod_{j=1}^n\left|\frac{W(z)-W(z_j)}{1-\ov{W(z_j)}W(z)}
\right|^{k_j+1},$$
где $W(z)$ --- какое-либо конформное отображение области $G$ на внутренность единичного круга (область $G$ считается не совпадающей со всей расширенной плоскостью или с расширенной плоскостью с одной выколотой точкой, т.к. в противном случае класс $A_d(G)$ состоит из функций, с точностью до постоянного множителя равных $d(z)$, и задача приближения решается точно).

Обозначим через $H_p$, $p>0$, класс аналитических в $|z|<1$ функций $f(z)$ таких, что для каждой из них интеграл $\displaystyle\int_0^{2\pi}|f(re^{i\varphi})|^p\,d\varphi$ ограничен при $0<r<1$.
Известно (см.\ \cite{9}, \cite{5}), что каждая функция из класса $H_p$ имеет почти всюду на $|z|=1$ определенные предельные значения по некасательным путям, которые обозначаются через $f(e^{i\varphi})$. Пусть $\rho(\varphi)$ неотрицательная с периодом $2\pi$ функция такая, что $\ln\rho(\varphi)$ и $[\ln\rho(\varphi)]^p$, $p>0$, суммируемы на $[0,2\pi]$. Через $H_p^\rho$ обозначим класс функций $f(z)\in H_p$, для которых почти всюду выполняется неравенство $|f(e^{i\varphi})|\le\rho(\varphi)$. B \S~4 показано, что класс $H_p^\rho$ является классом типа $A_d(G)$, где $G=\{z:|z|<1\}$, а $d(z)=e^{\textstyle\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln\rho(\varphi)\frac{e^{i\varphi}+z}
{e^{i\varphi}-z}\,d\varphi}$, и с помощью результатов, полученных в \S~3, строится единственный
линейный наилучший метод приближения для функций из класса $H_p^\rho$. Для симметричной относительно вещественной оси области $G$ и аналитической функции $d(z)$, вещественной и положительной на вещественной оси, обозначим через $A_d^0(G)$ множество функций из $A_d(G)$, вещественных на вещественной оси. Для приближенного вычисления интеграла $\displaystyle\int_a^bf(x)p(x)\,dx$ на функциях из класса $A_d^0(G)$ в § 3 строится квадратурная формула, использующая значения $f(z_1),\ldots,f^{(k_1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(k_n)}(z_n)$. Для погрешности построенной квадратурной формулы доказана оценка
\begin{multline}\label{1}
r(\underbrace{z_1,\ldots,z_1}_{k_1+1},\ldots,\underbrace{z_n,\ldots,z_n}_{k_n+1})\le
\int_a^bd(x)\prod_{j=1}^l\left|\frac{W(z)-W(z_j)}{1-W(z_j)W(z)}\right|^{k_j+1}\\
\times
\prod_{j=l+1}^n\left|\frac{W(z)-W(z_j)}{1-\ov{W(z_j)}W(z)}\right|^{2(k_j+1)}p(x)\,dx,
\end{multline}
где $W(z)$ --- какое-либо конформное отображение области $G$ на внутренность единичного круга, переводящее точки вещественной оси в точки вещественной оси, а точки $z_1,\ldots,z_n$ таковы, что
$$\IM z_j=0,\quad j=1,\ldots,l,\quad z_i\ne z_j,\quad l+1\le i,j\le n.$$
В случае, когда $k_j=2k_j'+1$, $j=1,\ldots,l$, доказано, что построенная квадратурная формула является наилучшим методом интегрирования на классе $A_d^0(G)$ и неравенство \eqref{1} обращается в равенство. Задачи, связанные с исследованием квадратурных формул на классе $A_M^0(G)$, рассматривались ранее Н.С.~Бахваловым в работе \cite{1}.

В \S~5 исследуется задача минимизации погрешности наилучшего на классе $A_d(G)$ метода приближения $r(z_1,\ldots,z_n)$ на некотором замкнутом множестве $E\subset G$ со связным дополнением за счет выбора узлов $z_1,\ldots,z_n$. Положим
\begin{gather}\label{2}
R_n(G,E)=\inf_{\{z_j\}\in G}\max_{z\in E}r(z_1,\ldots,z_n),\\
R_n^*(G,E)=\inf_{\{z_j\}\in E}\max_{z\in E}r(z_1,\ldots,z_n).\label{3}
\end{gather}
Точки $z_1^0,\ldots,z_n^0$, на которых достигается нижняя грань в равенствах \eqref{2} или \eqref{3}, будем называть оптимальными узлами для соответствующей задачи. Для величин $R_n(G,E)$ и $R_n^*(G,E)$ доказываются следующие соотношения:
\begin{gather*}
R_n^*(G,E)\ge R_n(G,E)\ge\min_{z\in E}|d(z)|e^{-nh(E,CG)},\quad n\ge1,\\
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{R_n^*(G,E)}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{R_n(G,E)}=e^{-h(E,CG)};
\end{gather*}
здесь $h(E,CG)$ --- модуль конденсатора, образованного множеством $E$ и дополнением множества $G$.

В некоторых случаях для класса $A_M(G)$ задача нахождения величин $R_n(G,E)$, $R_n^*(G,E)$ и соответствующих оптимальных узлов может быть решена точно. Рассмотрению таких случаев посвящен \S~6. В частности, в этом параграфе доказывается, что для эллипса $\mbox{Э}_c$ с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c$ справедливы равенства
$$R_n^*(\mbox{Э}_c,[-1,1])=R_n(\mbox{Э}_c,[-1,1])=2Mc^{-n}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty c^{-4nm(m+1)}}{1+\displaystyle\sum_{m=1}^\infty c^{-4nm^2}},$$
а оптимальными узлами являются узлы Чебышева $z_j^0=\linebreak\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi$, $j=1,\ldots,n$.

В главе 3 исследуются задачи, связанные с построением наилучших методов приближения, использующих информацию о значениях функций, заданных с погрешностью. Одним из простейших методов приближения функции по ее значениям $f(x_1),\ldots,f^{(k-1)}(x_1),\linebreak\ldots,f(x_n),\ldots,f^{(k-1)}(x_n)$ является интерполяционная формула Эрмита $f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{k-1}P_{ij}(x)f^{(j)}(x_i)$, погрешность которой обычно оценивается на классе функций, имеющих непрерывную производную $f^{(nk)}(x)$, удовлетворяющую на некотором отрезке $[a,b]$ условию $\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f^{(nk)}(x)|\le M$ (будем обозначать такой класс через $W^{(nk)}(M;a,b)$). В \S~7 доказывается, что интерполяционная формула Эрмита, в которой вместо точных значений используются приближенные значения $\widetilde f^{(j)}(x_i)=f^{(j)}(x_i)+\rho_{ij}(f)$, $i=1,\ldots,n$, $j=0,\ldots,k-1$, где векторы $\rho^j(f)=(\rho_{1j}(f),\ldots,\rho_{nj}(f))$ при всех $f\in W^{(nk)}(M;a,b)$ удовлетворяют неравенству
\begin{multline*}
\|\rho^j(f)\|_{p_j}\le\delta_j\quad\biggl(\|\rho\|_p=\biggl(\sum_{i=1}^n|\rho_i|^p\biggr)
^{1/p},\quad1\le p<\infty,\\
\|\rho\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|\rho_i|\biggr),
\end{multline*}
для любых $\delta_1,\ldots,\delta_{k-1}\ge0$ будет единственным линейным наилучшим методом приближения величины $f(x)$ на классе $W^{(nk)}(M;a,b)$. Для погрешности наилучшего метода приближения в точке $x$ доказывается равенство
\begin{multline*}
r(x,\delta_1,\ldots,\delta_{k-1}\underbrace{x_1,\ldots,x_1}_k,\ldots,
\underbrace{x_n,\ldots,x_n}_k)=\frac M{(nk)!}\prod_{i=1}^n|x-x_i|^k\\
+\sum_{j=0}^{k-1}\delta_j\|\ov{P_j(x)}\|_{q_j},
\end{multline*}
где $\ov{P_j(x)}=(P_{1j}(x),\ldots,P_{nj}(x))$, $\dfrac1{p_j}+\dfrac1{q_j}=1$.

Через $r(\delta,x_1,\ldots,x_n)$ обозначим погрешность наилучшего метода интегрирования для задачи приближенного вычисления интеграла $\displaystyle\int_a^bf(x)p(x)\,dx$ на классе $W^{(2n)}(M;a,b)$ по значениям $\widetilde f(x_i)=f(x_i)+\rho_i(f)$, $i=1,\ldots,n$, где при всех $f\in W^{(2n)}(M;a,b)$ выполняется неравенство $\displaystyle\max_{1\le i\le n}|\rho_i(f)|\le\delta$. Наилучший метод интегрирования, использующий значения $\widetilde f(x_1^0),\ldots,\widetilde f(x_n^0)$, будем называть оптимальным, если имеет место равенство
$$r(\delta,x_1^0,\ldots,x_n^0)=\inf_{\{x_i\}}r(\delta,x_1,\ldots,x_n).$$
В \S~3 доказывается, что единственным линейным методом интегрирования на классе $W^{(2n)}(M;a,b)$ является квадратурная формула Гаусса, в которой вместо точных значений используются значения $\widetilde f(x_1^0),\ldots,\widetilde f(x_n^0)$, а для погрешности оптимального метода интегрирования справедливо равенство
$$r(\delta,x_1^0,\ldots,x_n^0)=\frac M{(2n)!}\int_a^b\prod_{i=1}^n(x-x_i)^2p(x)\,dx+\delta\int_a^bp(x)\,dx;$$
здесь $x_1^0,\ldots,x_n^0$ --- узлы квадратуры Гаусса для веса $p(x)$ на отрезке $[a,b]$.

Задаче построения наилучшего метода приближения на классе $A_d^0(G)$, использующего значения $\widetilde f(x_i)=f(x_i)+\rho_i(f)$, $i=1,\ldots,n$, где при всех $f\in A_d^0(G)$ выполнено неравенство $\displaystyle\max_{1\le i\le n}|\rho_i(f)|\le\delta$, посвящен \S~8. При некоторых условиях на малость $\delta$ в этом параграфе строится наилучший метод приближения величины $f(x)$ по значениям $\widetilde f(x_1),\ldots,\widetilde f(x_n)$, $x,x_1,\ldots,x_n\in G\cap\mathbb R$, и доказывается единственность построенного метода среди линейных наилучших методов приближения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах \cite{6,7,8} и докладывались на семинарах факультета ВМК МГУ и механико-математического факультета МГУ.

В заключение автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору Н.С.~БАХВАЛОВУ за постоянное внимание к работе.

\newpage
\renewcommand{\refname}{\bf Л И Т Е Р А Т У Р А}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} Бахвалов~Н.С. Об оптимальной скорости интегрирования аналитических функций. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 7, \No~5 (1967), IOII--1020.

\bibitem{2} Бахвалов~Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 11, \No~4 (1971), І014--I018.

\bibitem{3} Боянов~Б.Д. Оптимальная скорость интегрирования и $\varepsilon$-энтропия одного класса аналитических функций. Матем. заметки, 14, \No~1 (1973), 3--10.

\bibitem{4} Боянов~Б.Д. Найлучшие методы интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций. Матем. заметки, I7, \No~4 (1975), 511--524.

\bibitem{5} Голузин~Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, М., 1966.

\bibitem{6} Марчук~А.Г., Осипенко~К.Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек. Матем. заметки, I7, \No~3 (1975), 359--368.

\bibitem{7} Осипенко~К.Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций. Матем. заметки, 12, \No~4 (1972), 465--476.

\bibitem{8} Осипенко~К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек. Матем. заметки, 19, \No~1 (1976) 29--40.

\bibitem{9} Привалов~И.И. Граничные свойства аналитических функций, М.-Л., 1950.

\bibitem{10} Смоляк~С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них, Кандид. дисс., МГУ, 1965.

\end{thebibliography}
\end{document}
