\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\tolerance 750
\makeatletter
\def\ssection{\@startsection{section}{1}%
  \z@{.7\linespacing\@plus\linespacing}{.5\linespacing}%
  {\normalfont\scshape\centering\S}}
\makeatother

\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{pro}{Предложение}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
%\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\renewcommand*{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\renewcommand*{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\hR}{H_\infty^{r,\mathbb R}}
\newcommand*{\ef}{\Phi_{n,r}^\beta}
\newcommand*{\vp}{\varphi_{n,r}^\beta}

\begin{document}
\title[О наилучших квадратурных формулах]{О наилучших квадратурных формулах
на классах Харди--Соболева}
\author{К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 99-01-01181 и
00--15--96109)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
%\date{}

\begin{abstract}
Для функций из класса Харди--Соболева $H_\infty^r$, определяемого
как множество функций, аналитических в единичном круге и удовлетворяющих в
нем условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, строятся наилучшие квадратурные формулы,
использующие значения функций и их производных в фиксированной системе
узлов из интервала $(-1,1)$. Для периодического класса Харди--Соболева $H_{
\infty,\beta}^r$, определяемого как множество $2\pi$-периодичес\-ких
функций, аналитических в полосе $|\Im z|<\beta$ и удовлетворяющих в ней
условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, доказано, что для равномерной системы узлов
формула прямоугольников является наилучшей, и найдена ее погрешность.
Построены наилучшие квадратурные формулы на классе $H_{p,\beta}$,
определение которого аналогично классу $H_{\infty,\beta}$, но ограничения
на функцию задаются в $L_p$-норме по границе. Построен также оптимальный
метод восстановления функций из класса $H_p^r$ по тейлоровской информации $
f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0)$.
\end{abstract}
\maketitle

\section*{Введение}

Пусть $X$ --- линейное пространство над полем $K=\mathbb R$ или $\mathbb C
$, $W$ --- некоторое подмножество $X$ и $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные
функционалы на $X$. Под задачей оптимального восстановления функционала $L$
на множестве $W$ по значениям информационного оператора $Ix=(l_1x,\ldots,l_
nx)$, $x\in W$, понимается задача о нахождении величины
\begin{equation}\label{1}
e(L,W,I):=\infp_{S\colon K^n\to K}\,\sup_{x\in W}|Lx-S(Ix)|,
\end{equation}
а также метода $S$, на котором достигается нижняя грань в \eqref1 (если
таковой существует), называемом оптимальным методом восстановления.

Задачи оптимального восстановления, начиная с работы \cite{Sm}, изучались
многими авторами (см. \cite{MiR}--\cite{MOs} и цитируемую там литературу).
Отметим здесь лишь один результат, доказанный в \cite{Sm} для вещественного
пространства и в \cite{Os} --- для комплексного: для выпуклого
уравновешенного множества $W$ среди оптимальных методов восстановления
существует линейный и имеет место равенство
\begin{equation}\label{2}
e(L,W,I)=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|.
\end{equation}
Всякий элемент $x_0$, на котором достигается верхняя грань в \eqref2, будем
называть экстремальным.

Задача \eqref2 часто оказывается проще, чем задача нахождения оптимального
метода. В связи с этим в работе \cite{Os1} был предложен метод, позволяющий
при наличии некоторой параметризации экстремального элемента в задаче
\eqref2 находить оптимальный метод восстановления. Здесь этот метод
используется для нахождения наилучших квадратурных формул и оптимального
восстановления по тейлоровской информации на классах Харди--Соболева.

Классом Харди--Соболева $H_p^r$ будем называть множество функций $f$,
аналитических в единичном круге $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ и
удовлетворяющих условию
\begin{gather*}
\sup_{0<\rho<1}\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f^{(r)}(\rho e^{i\theta})|^p\,d
\theta\le1,\quad1\le p<\infty,\\
\sup_{z\in D}|f^{(r)}(z)|\le1,\quad p=\infty.
\end{gather*}
Периодическим классом Харди--Соболева $H_{p,\beta}^r$ будем называть
множество $2\pi$-периодических функций $f$, аналитических в полосе $S_\beta
:=\{z\in\mathbb C:|\Im z|<\beta\}$ и удовлетворяющих условию
\begin{gather*}
\sup_{0\le\eta<\beta}\left(\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi}\left(|f^{(r)}(t+i\eta)
|^p+|f^{(r)}(t-i\eta)|^p\right)\,dt\right)^{1/p}\le1,\\
\sup_{z\in S_\beta}|f^{(r)}(z)|\le1.
\end{gather*}
При $r=0$ соответствующие классы будем обозначать через $H_p$ и $H_{p,\beta
}$.

B \S1 для класса $H_\infty^r$ и информационного оператора
\begin{equation}\label{3}
If=(f(x_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,f(x_n),\ldots,f^{(\nu_n-1)}(x_n
)),
\end{equation}
где $x_1,\ldots,x_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$, а $\nu_1,
\ldots,\nu_n$ --- четные числа, строится линейный оптимальный метод
интегрирования (наилучшая квадратурная формула) для интеграла
$$\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx,$$
в котором $p(x)$ --- неотрицательная весовая функция.

В \S2 строится наилучшая квадратурная формула на классе $H_{\infty,\beta}^r
$ для равноотстоящих узлов. Доказано, что таковой является формула
прямоугольников, и найдена ее погрешность. При $r=0$ для классов $H_\infty$
и $H_{\infty,\beta}$ наилучшие квадратурные формулы исследовались в работах
\cite{Bo}--\cite{Os3}.

В \S3 построены наилучшие квадратурные формулы для класса $H_{p,\beta}$ по
информационному оператору \eqref3, в котором $x_1,\ldots,x_n$ --- различные
точки из $\mathbb T:=[0,2\pi)$. Аналогичная задача в непериодическом случае
решена в \cite[стр.~175]{Os4}. В \S4 построен оптимальный метод
восстановления функций из класса $H_p^r$ по информационному оператору $If=(
f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0))$. Оптимальные методы в этой задаче
исследовались ранее в работах \cite{Os5} ($p=\infty$, $r=2$), \cite{MiR} ($
p=\infty$, $r=1$), \cite{FM} ($1\le p\le\infty$, $r=0$), \cite{Fa} ($p=
\infty$, $r\in\mathbb Z_+$, многомерный случай), \cite[стр.~69]{Os4} ($1\le
p\le\infty$, $r=0$, многомерный случай).

Нам потребуется следующий результат из работы \cite{Os1}.

\begin{thm}\label{T1}
Пусть $X$ --- вещественное линейное пространство, $W$ --- выпуклое
центрально-симметричное множество из $X$ и $x_0$ --- экстремальный элемент
в задаче оптимального восстановления линейного функционала $L$ на множестве
$W$ по значениям линейных функционалов $l_1x,\ldots,l_nx$. Пусть каждому $M
=(t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb R^n$ из некоторой окрестности точки $M_0\in
\mathbb R^n$ поставлен в соответствие элемент $x(M)\in W$, причем $x(M_0)=x
_0$. Тогда, если функции $\varphi(M):=Lx(M)$, $\varphi_j(M):=l_jx(M)$, $j=1
,\ldots,n$, имеют в окрестности $M_0$ непрерывные частные производные по
всем аргументам и определитель матрицы
$$J(M)=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_1}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n}{
\partial t_1}\\
\hdotsfor{3}\\
\dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_n}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n}{
\partial t_n}
\end{pmatrix}$$
отличен от нуля в точке $M_0$, то единственным линейным оптимальным методом
восстановления является метод
$$Lx\approx\sum_{j=1}^nC_jl_jx,$$
где $C_1,\ldots,C_n$ --- решения системы
$$J(M_0)\mathbf C=\grad\varphi_{\big|M_0},$$
в которой $\mathbf C=(C_1,\ldots,C_n)$.
\end{thm}

\ssection{Наилучшие квадратурные формулы на классе $H_\infty^r$}

Рассмотрим задачу оптимального восстановления \eqref1 для $W=H_\infty^r$,
\begin{equation}\label{In}
Lf=\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx,
\end{equation}
где $p(x)$ --- неотрицательная весовая функция, и информационного оператора
$I$, определенного равенством \eqref3. Положим
\begin{equation}\label{N}
N:=\sum_{j=1}^n\nu_j.
\end{equation}

Докажем сначала несколько вспомогательных утверждений. Напомним, что
система вещественных функций $\{u_k(t)\}_{k=0}^m$, $m$ раз непрерывно
дифференцируемых на интервале $(c,d)$, называется $ET$-системой, если
каждый обобщенный полином
$$P(t)=\sum_{k=0}^mC_ku_k(t),\quad\sum_{k=0}^mC_k^2\ne0,$$
имеет на $(c,d)$ не более $m$ корней с учетом алгебраической кратности.

Произведением Бляшке порядка $n$ называется функция вида
$$B(z)=\lambda\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz},$$
где $|\lambda|=1$, а $z_j\in D$, $j=1,\ldots,n$. Для $\mu_j\in\mathbb N$, $
j=1,\ldots,n$, и $\alpha_j\in(-1,1)$ положим
$$W_j(x):=\frac{x-\alpha_j}{1-\alpha_jx},\quad W(x):=\prod_{j=1}^m\left(
\frac{x-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right)^{\mu_j}.$$

\begin{lem}\label{L1}
Система функций
\begin{multline}\label{gjk}
g_{jk}(x):=W(x)\left(W_j^{-k}(x)-W_j^k(x)\right),\\
k=1,\ldots\mu_j,\ j=1,\ldots,m,
\end{multline}
является $ET$-системой на $(-1,1)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Рассмотрим обобщенный полином
$$P(x)=\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^{\mu_j}C_{jk}g_{jk}(x),\quad\sum_{j=1}^m\sum_
{k=1}^{\mu_j}C_{jk}^2\ne0.$$
В силу того, что $W_j(\pm1)=\pm1$, этот обобщенный полином можно записать в
виде
$$P(x)=a_0\frac{(1-x^2)x^l\prod_{j=1}^s(x-a_j)}{\prod_{j=1}^m(1-\alpha_jx)^
{2\mu_j}},$$
где $a_0,a_1,\ldots,a_s\ne0$. Поскольку $W_j(x^{-1})=W_j^{-1}(x)$, имеем
$$P(x^{-1})=\frac1{W(x)}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^{\mu_j}C_{jk}\left(W_j^k(x)-
W_j^{-k}(x)\right)=-W^2(x)P(x).$$
Из последнего равенства легко получить, что с каждым нулем $a_j\ne0$
функции $P$ связан нуль этой функции $a_j^{-1}$ той же кратности, а кроме
того, что $l+s/2=\sum_{j=1}^m\mu_j-1$. Тем самым обобщенный полином $P$ в
интервале $(-1,1)$ имеет не более $\sum_{j=1}^m\mu_j-1$ нулей с учетом
алгебраической кратности.
\end{proof}

Для функций $f$, аналитических в единичном круге, положим $T_0f:=f$ и
\begin{equation}\label{Tr}
(T_rf)(z):=\int_0^z\frac{(z-\zeta)^{r-1}}{(r-1)!}f(\zeta)\,d\zeta,\quad r
\in\mathbb N.
\end{equation}
Очевидно, что $(T_rf)^{(r)}=f$, и следовательно, $T_rf\in H_\infty^r$ при
всех $f\in H_\infty$.

Пусть
$$\sum_{j=1}^m\mu_j+r=N.$$
Определим функции $\omega_1,\ldots,\omega_N$ равенством
\begin{multline}\label{phi}
(\omega_1(z),\ldots,\omega_N(z)):=(1,z,\ldots,z^{r-1},\\
(T_rg_{11})(z),\ldots,(T_rg_{1\mu_1})(z),\ldots,(T_rg_{m1})(z),\ldots,(T_rg
_{m\mu_m})(z)).
\end{multline}
Положим
\begin{equation}\label{A}
(a_{j1},\ldots,a_{jN}):=I\omega_j,\quad j=1,\ldots,N,\quad A:=\{a_{jk}\}_{j
,k=1}^N.
\end{equation}

\begin{lem}\label{L}
$\det A\ne0$.
\end{lem}

\begin{proof}
Если $\det A=0$, то найдутся $C_1,\ldots,C_N$, не все равные нулю, для
которых функция
$$F(z):=\sum_{j=1}^NC_j\omega_j(z)$$
в интервале $(-1,1)$ будет иметь по крайней мере $N$ нулей с учетом
кратности. В этом случае по теореме Ролля $F^{(r)}$ должна иметь в том же
интервале не менее $N-r$ нулей. Поскольку
$$F^{(r)}(z)=C_{r+1}g_{11}(z)+\ldots+C_Ng_{m\mu_m}(z),$$
то из леммы~\ref{L1} вытекает, что $C_{r+1}=\ldots=C_N=0$, но тогда и $C_1=
\ldots=C_r=0$. Полученное противоречие доказывает, что $\det A\ne0$.
\end{proof}

Обозначим через $\hR$ множество функций из $H_\infty^r$, вещественных в
интервале $(-1,1)$.

\begin{pro}\label{Fi}
Пусть $-1<x_1<x_2<\ldots<x_n<1$. Тогда при всех четных $\nu_1,\ldots,\nu_n$
существует функция $F\in\hR$, имеющая вид
$$F=P_{r-1}+T_rW,$$
где $P_{r-1}$ --- полином степени $r-1$, а $W$ --- произведение Бляшке
порядка $N-r$
$$W(z)=\prod_{j=1}^m\left(\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right)^{\mu_j},
\quad\sum_{j=1}^m\mu_j=N-r,$$
$x_1\le\alpha_1<\ldots<\alpha_m\le x_n$, для которой $IF=0$ и
$$\sup_{\substack{f\in\hR\\If=0}}\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx=\int_{-1}^1F(x)p(x
)\,dx.$$
\end{pro}

\begin{proof}
Из работы \cite{Fish} вытекает существование функции $F\in\hR$,
нормированной условием $F(1)>0$, для которой $IF=0$ и такой, что $F^{(r)}$
является произведением Бляшке порядка $N-r$. Кроме того, в той же работе
доказано, что при всех $x\in(-1,1)$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{sup}
\sup_{\substack{f\in\hR\\If=0}}|f(x)|=|F(x)|.
\end{equation}
Из теоремы Ролля вытекает, что функция $F$ не имеет других нулей в
интервале $(-1,1)$ кроме нулей в точках $x_1,\ldots,x_n$ с четными
кратностями $\nu_1,\ldots,\nu_n$. Поэтому в силу нормировки $F(1)>0$ для
всех $x\in(-1,1)$ \ $F(x)\ge0$. Учитывая равенство \eqref{sup}, получаем
утверждение предложения.
\end{proof}

\begin{thm}\label{T2}
Пусть $-1<x_1<x_2<\ldots<x_n<1$, $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа, $W$
--- произведение Бляшке из предложения~$\ref{Fi}$, а $g_{jk}$, $\omega_j$
и матрица $A$ определены равенствами \eqref{gjk}, \eqref{phi} и \eqref{A},
соответственно. Тогда метод
\begin{equation}\label{m1}
\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx\approx\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}c_{jk}f^{(k)}
(x_j),
\end{equation}
в котором $c_{jk}$ определяются из системы
\begin{equation}\label{Sys}
A\mathbf c=\mathbf d,
\end{equation}
где $\mathbf
c=(c_{10},\ldots,c_{1,\nu_1-1},\ldots,c_{n0},\ldots,c_{n,\nu_n-1})$, $
\mathbf d=(d_1,\ldots,d_N)$,
$$d_j=\int_{-1}^1\omega_j(x)p(x)\,dx,\quad j=1,\ldots,N,$$
является оптимальным на классе $H_\infty^r$.
\end{thm}

\begin{proof}
Докажем сначала, что метод \eqref{m1} является оптимальным на классе $\hR$.
Положим $W_{j0}(z):=1$, $j=1,\ldots,m$, и
$$W_{j,k+1}(z):=\frac{W_j(z)W_{jk}(z)+\varepsilon_{j,k+1}}{1+\varepsilon_{j
,k+1}W_j(z)W_{jk}(z)},\quad j=1,\ldots,m,\ k=0,\ldots,\mu_j-1.$$
При всех $\varepsilon_{j1},\ldots,\varepsilon_{j,\mu_j}\in(-1,1)$ функции $
W_{j,\mu_j}\in H_\infty$. Положим для $P=(a_0,\ldots,a_{r-1},\varepsilon_{1
1},\ldots,\varepsilon_{1,\mu_1},\ldots,\varepsilon_{m1},\ldots,\varepsilon_
{m,\mu_m})\in\mathbb R^N$
$$f_P(z):=\sum_{j=0}^{r-1}a_jz^j+(T_rW_P)(z),$$
где
$$W_P(z)=\prod_{j=1}^mW_{j,\mu_j}(z).$$
Пусть полином $P_{r-1}$ из предложения~\ref{Fi} имеет вид
$$P_{r-1}(z)=\sum_{j=0}^{r-1}a_j^0z^j.$$
Тогда в силу предложения~\ref{Fi} при $P=P_0:=(a_0^0,\ldots,a_{r-1}^0,0,
\ldots,0)$ функция $f_{P_0}$ является экстремальной в задаче оптимального
восстановления интеграла \eqref{In} на классе $\hR$ по информации \eqref3.
Определим функции $\varphi_1,\ldots,\varphi_N$ равенством
$$(\varphi_1(A),\ldots,\varphi_N(P)):=If_P.$$
Нетрудно убедиться, что в точке $P_0$
\begin{align*}
\left(\frac{\partial\varphi_1}{\partial a_j},\ldots,\frac{\partial\varphi_N
}{\partial a_j}\right)&=I\omega_{j+1},\quad0\le j\le r-1,\\
\left(\frac{\partial\varphi_1}{\partial\varepsilon_{jk}},\ldots,\frac{
\partial\varphi_N}{\partial\varepsilon_{jk}}\right)&=I(T_rg_{jk}),\quad1\le
j\le m,\ 1\le k\le\mu_j.
\end{align*}
Положив
$$\varphi(P)=\int_{-1}^1f_P(x)p(x)\,dx,$$
легко проверить, что в точке $P_0$
\begin{align*}
\frac{\partial\varphi}{\partial a_j}&=\int_{-1}^1x^jp(x)\,dx,\quad0\le j\le
r-1,\\
\frac{\partial\varphi}{\partial\varepsilon_{jk}}&=\int_{-1}^1(T_rg_{jk})(x)
p(x)\,dx,\quad1\le j\le m,\ 1\le k\le\mu_j.
\end{align*}
Из теоремы~\ref{T1}, учитывая лемму~\ref L, вытекает теперь, что
коэффициенты оптимального метода на классе $\hR$ определяются из системы
\eqref{Sys}.

Докажем теперь, что построенный метод (обозначим его через $S$) является
оптимальным и для класса $H_\infty^r$. Предположим, что найдется функция $f
_0\in H_\infty^r$, для которой
$$|Lf_0-S(If_0)|>e(L,H_\infty^r,I).$$
Тогда для функции $\ov{f_0(\ov z)}\in H_\infty^r$ также выполнено это
неравенство. В силу уравновешенности класса $H_\infty^r$ без ограничения
общности можно считать, что $Lf_0-S(If_0)>0$. Следовательно, для функции
$$g(z):=\frac{f_0(z)+\ov{f_0(\ov z)}}2\in\hR$$
имеем
$$Lg-S(Ig)>e(L,H_\infty^r,I)\ge e(L,\hR,I),$$
что невозможно в силу оптимальности метода $S$ на классе $\hR$.
\end{proof}

\ssection{Периодический случай}

Построим теперь оптимальный метод интегрирования для интеграла
$$Lf=\int_\mathbb Tf(x)\,dx$$
на классе $H_{\infty,\beta}^r$ по информационному оператору
\begin{equation}\label{If}
If=\left(f(0),f\left(\frac{2\pi}n\right),\ldots,f\left(\frac{2(n-1)\pi}n
\right)\right).
\end{equation}

При достаточно общих условиях на класс функций можно доказать, что формула
прямоугольников является оптимальным методом интегрирования, использующим
информационный оператор \eqref{If}. Пусть $\mathcal H$ --- выпуклый и
уравновешенный класс непрерывных на всей вещественной оси $2\pi
$-периодических функций $f$ таких, что для любых вещественных констант $C$
и $a$ \ $f(x)+C\in\mathcal H$ и $f(x+a)\in\mathcal H$.

\begin{lem}\label{LP}
Формула прямоугольников
\begin{equation}\label{PP}
\int_\mathbb Tf(x)\,dx\approx\frac{2\pi}n\sum_{j=0}^{n-1}f\left(\frac{2j\pi
}n\right)
\end{equation}
является оптимальным методом интегрирования на классе $\mathcal H$, а для
ее погрешности справедливо равенство
$$e(L,\mathcal H,I)=2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|,$$
где $\mathcal H_n$ --- множество функций из $\mathcal H$ периода $2\pi/n$,
для которых
\begin{equation}\label{a0}
\int_0^{2\pi/n}f(x)\,dx=0.
\end{equation}
Если функции из класса $\mathcal H$ дифференцируемы, то формула
прямоугольников является оптимальным методом интегрирования и для
информационного оператора
\begin{multline*}
I_1f=\left(f(0),f'(0),f\left(\frac{2\pi}n\right),f'\left(\frac{2\pi}n
\right),\right.\\
\ldots,\left.f\left(\frac{2(n-1)\pi}n\right)f'\left(\frac{2(n-1)\pi}n\right)
\right).
\end{multline*}
\end{lem}

\begin{proof}
В работе \cite{Mo} (см. также \cite[стр.~208]{Ni}) было доказано, что
$$\sup_{f\in\mathcal H}\left|\int_\mathbb Tf(x)\,dx-\frac{2\pi}n\sum_{j=0}^
{n-1}f\left(\frac{2j\pi}n\right)\right|=2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|.
$$
Тем самым
$$e(L,\mathcal H,I)\le2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|.$$
С другой стороны, для любого $\varepsilon>0$ найдется функция $g\in\mathcal
H_n$, для которой
$$|g(0)|>\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|-\varepsilon.$$
В силу свойств класса $\mathcal H_n$ можно считать, что
$$g(0)=-\max_{x\in[0,2\pi/n)}|g(x)|.$$
Рассмотрим функцию
$$f_0(x):=g(x)-g(0).$$
Поскольку $f_0\in\mathcal H$ и $If_0=0$, то из \eqref2 имеем
$$e(L,\mathcal H,I)\ge\left|\int_\mathbb Tf_0(x)\,dx\right|=2\pi|g(0)|>2\pi
\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|-2\pi\varepsilon.$$
Таким образом,
$$e(L,\mathcal H,I)=2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|,$$
а формула прямоугольников --- оптимальный метод для информационного
оператора $I$.

В случае дифференцируемости функций из класса $\mathcal H$ для
доказательства оптимальности формулы прямоугольников для информационного
оператора $I_1$ достаточно заметить, что $I_1f_0=0$ и в силу \eqref2
$$e(L,\mathcal H,I)\ge e(L,\mathcal H,I_1).$$
\end{proof}

\begin{thm}
При всех $r\ge1$ формула прямоугольников \eqref{PP} является оптимальным
методом интегрирования на классе $H_{\infty,\beta}^r$ для информационных
операторов $I$ и $I_1$, а для ее погрешности справедливы равенства
\begin{multline*}
e(L,H_{\infty,\beta}^r,I)=e(L,H_{\infty,\beta}^r,I_1)\\
=\frac{2\pi^2}{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m(r+1)}
}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)}=\frac{4\pi}{n^r}e^{-\beta n}+O\left(\frac{e^{
-5\beta n}}{n^r}\right),
\end{multline*}
где
$$\lambda=4e^{-2\beta n}\left(\frac{\sum_{m=0}^\infty e^{-4\beta nm(m+1)}}{
1+2\sum_{m=1}^\infty e^{-4\beta nm^2}}\right)^2,$$
а
$$\Lambda=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}$$
--- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $\lambda$.
\end{thm}

\begin{proof}
Оптимальность формулы прямоугольников на классе $H_{\infty,\beta}^r$ для
информационных операторов $I$ и $I_1$ вытекает непосредственно из
леммы~\ref{LP}. Остается найти величину
$$\sup_{f\in H_{\infty,\beta,n}^r}|f(0)|,$$
где $H_{\infty,\beta,n}^r$ --- множество функций $f$ из $H_{\infty,\beta}^r
$, имеющих период $2\pi/n$ и удовлетворяющих условию \eqref{a0}. Положим
\begin{align*}
a_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\cos jx\,dx,\quad j=0,1,\ldots\,\,,\\
b_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\sin jx\,dx,\quad j=1,2,\ldots\,\,.
\end{align*}
Очевидно, что
\begin{equation}\label{Fu}
\sup_{f\in H_{\infty,\beta,n}^r}|f(0)|\le\sup_{\substack{f\in H_{\infty,
\beta}^r\\a_0(f)=a_1(f)=b_1(f)=\ldots=a_{n-1}(f)=b_{n-1}(f)=0}}|f(0)|.
\end{equation}
Величина, стоящая в правой части неравенства \eqref{Fu} была вычислена в
работе \cite{OW}. Она достигается на функции
$$\vp(z):=\begin{cases}\ef\left(z+\dfrac\pi{2n}\right),&r=2l,\\
\ef(z),&r=2l+1,\end{cases}$$
где
$$\ef:=D_r*\Phi_{n,0},\quad r\ge1,\quad\Phi_{n,0}^\beta(z):=\sqrt\lambda\sn
\left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda\right),$$
$$D_r(t)=2\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos(mt-\pi r/2)}{m^r},\quad r=1,2,\ldots
\,\,,$$
--- ядро Бернулли, а
$$(f*g)(z):=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tf(z-t)g(t)\,dt.$$
В работе \cite{OsCo} было показано, что
$$\ef(z)=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{\sin((2m+1)
nz-\pi r/2)}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)}.$$
Тем самым $\vp\in H_{\infty,\beta,n}^r$, а следовательно,
$$\sup_{f\in H_{\infty,\beta,n}^r}|f(0)|\ge|\vp(0)|=\frac\pi{\sqrt\lambda
\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m(r+1)}}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta
)}.$$
Для получения асимптотики погрешности остается воспользоваться хорошо
известным равенством (см., например, \cite{Akh})
$$\Lambda=\frac\pi2\left(1+2\sum_{m=1}^\infty e^{-4\beta nm^2}\right)^2.$$
\end{proof}

\ssection{Наилучшие квадратурные формулы на классах $H_{p,\beta}$}

Рассмотрим теперь задачу построения оптимального метода интегрирования для
интеграла
$$Lf=\int_\mathbb Tf(t)p(t)\,dt,$$
где $p(t)$ --- неотрицательная весовая функция, на классе $H_{p,\beta}$ по
информационному оператору \eqref3, в котором $x_1,\ldots,x_n$ --- различные
точки из $\mathbb T$.

Положим
\begin{equation}\label{k}
k=4e^{-\beta}\left(\frac{\sum_{m=0}^\infty e^{-2\beta m(m+1)}}{1+2\sum_{m=1
}^\infty e^{-2\beta m^2}}\right)^2.
\end{equation}
Обозначим через $K$ и $K'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода
для модулей $k$ и $k'=\sqrt{1-k^2}$, соответственно (равенство \eqref k
эквивалентно тому, что $\pi K'/K=2\beta$). Для полосы $S_\beta$ $2\pi
$-периодическим произведением Бляшке с нулями в точках $x_j$ c четными
кратности $\nu_j$ является функция (см. \cite{Os3})
$$B(t)=k^{N/2}\prod_{j=1}^n\sn^{\nu_j}\left(\frac K\pi(t-x_j),k\right),$$
где $N$ определено равенством \eqref N.

Через $H_{p,\beta}^\mathbb R$ будем обозначать множество функций из класса
$H_{p,\beta}$, вещественных на вещественной оси.

\begin{lem}
Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа и $1\le p\le\infty$. Тогда
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{$\arabic{enumi})$}
\item существует единственная функция $g_{B,p}\in H_{p,\beta}^\mathbb R$,
для которой
$$e(L,H_{p,\beta},I)=\int_\mathbb Tg_{B,p}(t)B(t)p(t)\,dt,$$
\item$g_{B,p}$ не имеет нулей в полосе $S_\beta$ и $g_{B,p}(t)>0$ при $t\in
\mathbb T$,
\item при $1\le p<\infty$ для почти всех $t\in\mathbb T$ имеет место
равенство
\begin{equation}\label{var}
e(L,H_{p,\beta},I)|g_{B,p}(t+i\beta)|^p=\int_\mathbb Tg_{B,p}(\tau)B(\tau)K
_\beta(t-\tau)p(\tau)\,d\tau,
\end{equation}
где
$$K_\beta(t)=\frac{2\Lambda}\pi\dn\left(\frac\Lambda\pi t,\lambda\right),$$
а $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $
\lambda$, определяемого из условия $\pi\Lambda'/\Lambda=\beta$.
\end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
Из работы \cite{Wi} вытекает, что в задаче
$$P_1:=\sup_{f\in H_{p,\beta}^\mathbb R}\int_\mathbb T|f(t)|B(t)p(t)\,dt$$
существует единственная функция $g_{B,p}\in H_{p,\beta}^\mathbb R$,
нормированная условием $g_{B,p}(0)>0$, на которой эта верхняя грань
достигается. Кроме того, из той же работы вытекает, что эта функция не
имеет нулей в полосе $S_\beta$ (а следовательно, $g_{B,p}(t)>0$ при $t\in
\mathbb T$) и при всех $1\le p<\infty$
$$P_1|g_{B,p}(t\pm i\beta|^p=\int_\mathbb T|g_{B,p}(\tau)|B(\tau)K_\beta(t-
\tau)p(\tau)\,d\tau.$$
Поскольку всякая функция $f\in H_{p,\beta}$, для которой $If=0$, может быть
представлена в виде
$$f(z)=B(z)g(z),\quad g\in H_{p,\beta},$$
то в силу \eqref2
$$e(L,H_{p,\beta},I)=\sup_{f\in H_{p,\beta}}\left|\int_\mathbb Tf(t)B(t)p(t
)\,dt\right|=:P_2.$$
Приемом, аналогичным тому, который использовался при доказательстве
теоремы~\ref{T2}, легко показать, что
$$e(L,H_{p,\beta},I)=e(L,H_{p,\beta}^\mathbb R,I).$$
Поскольку
$$P_1\ge e(L,H_{p,\beta}^\mathbb R,I)\ge\int_\mathbb Tg_{B,p}(t)B(t)p(t)\,d
t=P_1,$$
то
$$P_1=e(L,H_{p,\beta}^\mathbb R,I)=P_2.$$
\end{proof}

При $p=\infty$ и четных $\nu_1,\ldots,\nu_n$ очевидно, что $g_{B,p}(z)
\equiv1$.

Пусть $p=2$. Пространство $2\pi$-периодических функций $\mathcal H_{2,\beta
}$, аналитических в полосе $S_\beta$ и удовлетворяющих условию
$$\sup_{0\le\eta<\beta}\frac1{4\pi}\int_\mathbb T\left(|f(t+i\eta)|^2+|f(t-
i\eta)|^2\right)\,dt<\infty,$$
является гильбертовым пространством со скалярным произведением
$$(f,g)_{\mathcal H_{2,\beta}}=\frac1{4\pi}\int_\Gamma f(\xi)\ov{g(\xi)}\,d
\xi,$$
где $\Gamma=[i\beta,2\pi+i\beta]\cup[-i\beta,2\pi-i\beta]$. Из работы \cite
{OW} вытекает, что при всех $f\in\mathcal H_{2,\beta}$ и любом $t\in\mathbb
T$ имеет место равенство
$$f(t)=(f,g_t)_{\mathcal H_{2,\beta}},$$
где
$$g_t(z)=\frac{2K}\pi\dn\left(\frac K\pi(t-z),k\right),$$
а $K$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $k$,
определяемого из условия $K'/K=2\beta/\pi$.

Имеем
\begin{multline*}
e(L,H_{2,\beta},I)=\sup_{f\in H_{2,\beta}}\left|\int_\mathbb Tf(t)B(t)p(t)
\,dt\right|\\
=\sup_{f\in H_{2,\beta}}\left|\int_\mathbb T\frac1{4\pi}\int_\Gamma f(\xi)
\ov{g_t(\xi)}\,d\xi B(t)p(t)\,dt\right|\\
=\sup_{f\in H_{2,\beta}}\left|\frac1{4\pi}\int_\Gamma f(\xi)\int_\mathbb T
\ov{g_t(\xi)}B(t)p(t)\,dt\,d\xi\right|=\sup_{\|f\|_{\mathcal H_{2,\beta}}
\le1}(f,G)_{\mathcal H_{2,\beta}},
\end{multline*}
где
$$G(\xi)=\frac{2K}\pi\int_\mathbb T\dn\left(\frac K\pi(t-\xi)\right)B(t)p(t
)\,dt.$$
Отсюда следует, что
$$g_{B,2}(z)=\frac{G(z)}{\|G\|_{\mathcal H_{2,\beta}}}.$$

\begin{thm}
Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа и $1\le p\le\infty$. Тогда
квадратурная формула
\begin{equation}\label{Qu}
\int_\mathbb Tf(t)p(t)\,dt\approx\sum_{j=1}^n\sum_{\nu=0}^{\nu_j-1}a_{j\nu}
f^{(\nu)}(x_j),
\end{equation}
где
$$a_{j\nu}=\int_\mathbb Tc_{j\nu}(t)p(t)\,dt,$$
\begin{multline*}
c_{j\nu}(t)=\frac K\pi\frac{B(t)g_{B,p}(t)}{\nu!(\nu_j-\nu-1)!}\\
\times\lim_{z\to x
_j}\left(\frac{(z-x_j)^{\nu_j}}{B(z)g_{B,p}(z)}\ctn\left(\frac K\pi(t-z),k
\right)\right)^{(\nu_j-\nu-1)},
\end{multline*}
$$\ctn(z,k)=\frac{\cn(z,k)\dn(z,k)}{\sn(z,k)},$$
является оптимальным методом интегрирования на классе $H_{p,\beta}$.
\end{thm}

\begin{proof}
Рассмотрим интеграл
\begin{equation}\label{Int}
Jf:=\frac K\pi B(t)g_{B,p}(t)\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_\varepsilon}\frac
{f(z)}{B(z)g_{B,p}(z)}\ctn\left(\frac K\pi(z-t),k\right)\,dz,
\end{equation}
где $\Gamma_\varepsilon$ --- граница прямоугольника $-\varepsilon\le\Re z
\le2\pi-\varepsilon$, $|\Im z|\le\beta$, а $\varepsilon$ выбрано из
условия, чтобы точки $x_1,\ldots,x_n$ лежали внутри этого прямоугольника. В
силу того, что функция $g_{B,p}(z)$ не имеет нулей в полосе $S_\beta$, по
теореме о вычетах получаем
$$Jf=f(t)-\sum_{j=1}^n\sum_{\nu=0}^{\nu_j-1}c_{j\nu}(t)f^{(\nu)}(x_j).$$
Из свойств эллиптических функций (см., например, \cite{Akh}) вытекают
равенства
\begin{multline*}
\ctn\left(\frac K\pi(t\pm i\beta),k\right)=\ctn\left(\frac K\pi t\pm i\frac
{K'}2,k\right)\\
=\pm i(1+k)\frac{1-k\sn^2\left(\dfrac K\pi t,k\right)}{1+k\sn^2\left(\dfrac
K\pi t,k\right)}=\pm i\frac\Lambda K\dn\left(\frac\Lambda\pi t,\lambda
\right),
\end{multline*}
где $\lambda=2\sqrt k/(1+k)$, а $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл
первого рода для модуля $\lambda$ (иначе говоря, $\lambda$ определяется из
условия $\Lambda'/\Lambda=K'/(2K)$). Тем самым интеграл \eqref{Int} может
быть записан в виде
$$Jf:=B(t)g_{B,p}(t)\frac1{4\pi}\int_\Gamma\frac{f(z)}{B(z)g_{B,p}(z)}K_
\beta(\Re z-t)\,dz,$$
где $\Gamma=[i\beta,2\pi+i\beta]\cup[-i\beta,2\pi-i\beta]$. Пусть $1\le p<
\infty$. Тогда для погрешности квадратурной формулы \eqref{Qu} имеем оценку
\begin{multline*}
R_f:=\left|\int_\mathbb Tf(t)p(t)\,dt-\sum_{j=1}^n\sum_{\nu=0}^{\nu_j-1}a_{
j\nu}f^{(\nu)}(x_j)\right|\\
\le\int_\mathbb TB(t)g_{B,p}(t)p(t)\frac1{4\pi}\int_\Gamma\frac{|f(z)|}{|g_
{B,p}(z)|}K_\beta(\Re z-t)\,dz\,dt\\
=\frac1{4\pi}\int_\Gamma\frac{|f(z)|}{|g_{B,p}(z)|}\int_\mathbb TB(t)g_{B,p
}(t)K_\beta(\Re z-t)p(t)\,dt\,dz.
\end{multline*}
Пользуясь равенством \eqref{var}, получаем
$$R_f\le e(L,H_{p,\beta},I)\frac1{4\pi}\int_\Gamma|f(z)||g_{B,p}(z)|^{p-1}
\,dz.$$
По неравенству Гельдера
\begin{multline*}
R_f\le e(L,H_{p,\beta},I)\left(\frac1{4\pi}\int_\Gamma|f(z)|^p\,dz\right)^{
1/p}\left(\frac1{4\pi}\int_\Gamma|g_{B,p}(z)|^p\,dz\right)^{(p-1)/p}\\
\le e(L,H_{p,\beta},I).
\end{multline*}

Если $p=\infty$, то $g_{B,p}(z)\equiv1$ и
$$|Jf|\le B(t)\frac1{4\pi}\int_\Gamma|f(z)|K_\beta(\Re z-t)\,dz\le B(t),$$
поскольку
$$\frac1{4\pi}\int_\Gamma K_\beta(\Re z-t)\,dz\equiv1.$$
Следовательно,
$$R_f\le\int_\mathbb TB(t)p(t)\,dt=e(L,H_{\infty,\beta},I).$$
\end{proof}

\ssection{Восстановление функций из $H_p^r$ по тейлоровской информации}

Рассмотрим задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in D
$, на классе $H_p^r$ по значениям информационного оператора
$$If=(f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0)).$$
Погрешность оптимального метода восстановления обозначим в этом случае
через $e(\xi,H_p^r,I)$.

Нетрудно убедиться, что если $f\in H_p^r$ и $If=0$, то $f^{(r)}(z)=z^n
\varphi(z)$, где $\varphi\in H_p$. Следовательно, $f(z)=T_r(t^n\varphi(t))(
z)$, где оператор $T_r$ определен равенством \eqref{Tr}. Очевидно, что и
при всех $\varphi\in H_p$ функция $f(z)=T_r(t^n\varphi(t))(z)\in H_p^r$,
причем $If=0$. Тем самым, учитывая соотношение двойственности \eqref2,
\begin{equation}\label{**}
e(\xi,H_p^r,I)=\sup_{\substack{f\in H_p^r\\If=0}}|f(\xi)|=\sup_{\varphi\in
H_p}\left|\int_0^\xi\frac{(\xi-t)^{r-1}}{(r-1)!}t^n\varphi(t)\,dt\right|.
\end{equation}

Пусть $\xi\in(0,1)$. Тогда из \cite[стр.~176]{Os4} следует, что существует
единственная функция $\varphi_\xi\in H_p$ такая, что $\varphi_\xi(t)>0$ при
$t\in(-1,1)$ и
\begin{equation}\label{11}
e(\xi,H_p^r,I)=\int_0^\xi\frac{(\xi-t)^{r-1}}{(r-1)!}t^n\varphi_\xi(t)\,dt.
\end{equation}

\begin{thm}
При всех $\xi\in D$ и $1\le p\le\infty$ метод
\begin{equation}\label{Meth}
f(\xi)\approx\sum_{j=0}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}f^{(j)}(0),
\end{equation}
где $a_0=\ldots=a_{r-1}=1$,
\begin{gather}\label{*}
\begin{gathered}
a_{n+r-1}=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!\varphi_{|\xi|}(0)}h_{n+r-1},\\
a_k=\frac{k!}{(k-r)!\varphi_{|\xi|}(0)}\left(h_k-\sum_{j=k+1}^{n+r-1}a_j
\frac{(j-r)!}{j!(j-k)!}|\xi|^{j-k}\varphi_{|\xi|}^{(j-k)}(0)\right),\\
\hspace{215pt}k=n+r-2,\ldots,r,
\end{gathered}\\
h_k=\int_0^1\frac{(1-\tau)^{r-1}}{(r-1)!}\tau^{k-r}\left(1-(|\xi|\tau)^{2(n
+r-k)}\right)\varphi_{|\xi|}(|\xi|\tau)\,d\tau,\notag\\
\hspace{240pt}k=r,\ldots,n+r-1,\notag
\end{gather}
является оптимальным методом восстановления на классе $H_p^r$.
\end{thm}

\begin{proof}
Обозначим через $H_p^{r,\mathbb R}$ класс всех функций из $H_p^r$,
вещественных на интервале $(-1,1)$. Покажем сначала, что метод \eqref{Meth}
является оптимальным на классе $H_p^{r,\mathbb R}$ при $\xi\in(0,1)$. Так
как $\varphi_\xi\in H_p^\mathbb R$, то равенство \eqref{11} справедливо и
для класса $H_p^{r,\mathbb R}$, то есть функция
\begin{equation}\label{f0}
f_0(z):=\int_0^z\frac{(z-t)^{r-1}}{(r-1)!}t^n\varphi_\xi(t)\,dt
\end{equation}
является экстремальной в задаче восстановления значения $f(\xi)$ на классе
$H_p^{r,\mathbb R}$ по тейлоровской информации $If$.

Положим $\omega_0(z):=1$,
$$\omega_j(z):=\frac{z\omega_{j-1}(z)+\varepsilon_{n+r-j}}{1+\varepsilon_{n
+r-j}z\omega_{j-1}(z)},\quad j=1,\ldots,n.$$
При всех $\varepsilon_r,\ldots,\varepsilon_{n+r-1}\in(-1,1)$ функция
$\omega_n\varphi_\xi\in H_p^\mathbb R$. Рассмотрим для точек $P=(
\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n+r-1})\in\mathbb R^{n+r}$
функцию
$$f_P(z):=\sum_{j=0}^{r-1}\varepsilon_jz^j+T_r(\omega_n\varphi_\xi)(z).$$
При всех $P\in(-1,1)^{n+r}$ \ $f_P\in H_p^r$, а при $P=0$ эта функция
совпадает с экстремальной функцией \eqref{f0}. Из теоремы~\ref{T1} следует,
что коэффициенты $a_j$ оптимального метода восстановления на классе $H_p^{r
,\mathbb R}$, находятся из системы
$$\sum_{j=0}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}\frac{\partial f_P^{(j)}(0)}{
\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=\frac{\partial f_P(\xi)}{\partial
\varepsilon_k}_{\Big|P=0},\quad k=0,1,\ldots,n+r-1.$$
Имеем при $0\le k\le r-1$
$$\frac{\partial f_P^{(j)}(0)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=\begin{cases}0,&k
\ne j,\\
j!,&k=j,\end{cases}\quad\frac{\partial f_P(\xi)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big
|P=0}=\xi^k,$$
а при $r\le k\le n+r-1$
\begin{gather*}
\frac{\partial f_P^{(j)}(0)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=\begin{cases}0,&0
\le j\le k-1,\\
C_{j-r}^{k-r}(k-r)!\varphi_\xi^{(j-k)}(0),&k\le j\le n+r-1,\end{cases}\\
\frac{\partial f_P(\xi)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=(T_rg_k)(\xi),
\end{gather*}
где
$$g_k(z)=z^{k-r}(1-z^{2(n+r-k)})\varphi_\xi(z).$$
Отсюда $a_0=\ldots=a_{r-1}=1$, а для определения остальных коэффициентов
получаем систему
$$\sum_{j=k}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}C_{j-r}^{k-r}(k-r)!\varphi_\xi^{(j-k
)}(0)=(T_rg_k)(\xi),\quad k=r,\ldots,n+r-1.$$
Таким образом,
$$a_{n+r-1}=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!\varphi_\xi(0)}\frac{(T_rg_{n+r-1})(\xi)}
{\xi^{n+r-1}},$$
\begin{multline*}
a_k=\frac{k!}{(k-r)!\varphi_{\xi}(0)}\left(\frac{(T_rg_k)(\xi)}{\xi^k}-\sum
_{j=k+1}^{n+r-1}a_j\frac{(j-r)!}{j!(j-k)!}\xi^{j-k}\varphi_\xi^{(j-k)}(0)
\right),\\
k=n+r-2,\ldots,r.
\end{multline*}
Сделав замену $t=\xi\tau$, получим, что $(T_rg_k)(\xi)=\xi^kh_k$, и
следовательно, имеют место равенства \eqref*.

Оптимальность построенного метода на классе $H_p^r$ доказывается приемом,
аналогичным тому, который использовался при доказательстве теоремы~\ref2.

Пусть теперь $\xi$ --- произвольная точка диска $D$. Если $\xi=|\xi|e^{i
\theta}$ и $f\in H_p^r$, то функция $F(z)=f(ze^{i\theta})$ принадлежит
классу $H_p^r$, $F(|\xi|)=f(\xi)$ и
$$IF=(f(0),e^{i\theta}f'(0),\ldots,e^{i(n+r-1)\theta}f^{(n+r-1)}(0)).$$
Применяя построенный метод к функции $F$ в точке $|\xi|$, получим, что
$$\left|f(\xi)-\sum_{j=0}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}f^{(j)}(0)\right|\le e(
|\xi|,H_p^r,I).$$
Используя первое из равенств \eqref{**}, легко убедиться, что
$$e(|\xi|,H_p^r,I)=e(\xi,H_p^r,I).$$
Тем самым построенный метод является оптимальным при всех $\xi\in D$.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Sm}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

\bibitem{MiR}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli
and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{MiR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin:
Springer--Verlag, 1985.

\bibitem{Ar}{\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.

\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.~50
\No6. С.~85--93.

\bibitem{Os}{\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических
функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат.
заметки. 1976. Т.~19. \No1. С.~29--40.

\bibitem{Os1}{\it Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальных методах восстановления в
пространствах Харди--Соболева // Мат. сб. 2001. Т.~192. С.~67--86.

\bibitem{Bo}{\it Bojanov~B.~D.} Best quadrature formula for a certain class
of analytic functions. Zastos. Mat. 1974. V.~14, P.~441--447.

\bibitem{Os2}{\it Осипенко~К.~Ю.} О наилучших и оптимальных квадратурных
формулах на классах ограниченных аналитических функций // Изв. АН СССР.
Сер. мат. 1988. Т.~52, \No1. С.~79--99.

\bibitem{Os3}{\it Осипенко~К.~Ю.} Об $n$-поперечниках, оптимальных
квадратурных формулах и оптимальном восстановлении функций, аналитических в
полосе // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т.~58, \No4. С.~55--79.

\bibitem{Os4}{\it Osipenko~K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions.
Huntington, New York: Nova Science Publ., Inc., 2000.

\bibitem{Os5}{\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических
функций // Мат. заметки. 1972. Т.~12. \No4. С.~465--476.

\bibitem{FM}{\it Fisher~S.~D., Micchelli~C.~A.} The $n$-width of sets of
analytic functions // Duke Math. 1980. V.~47. \No4. P.~789--801.

\bibitem{Fa}{\it Farkov~Yu.~A.} The $N$-widths of Hardy--Sobolev spaces of
several complex variables // J. Approx. Theory. 1993. V.~75. \No2.
P.~183--197.

\bibitem{Fish}{\it Fisher~S.~D.} Envelopes, widths, and Landau problems for
analytic functions // Constr. Approx. 1989. V.~5. \No2. P.~171--187.

\bibitem{Mo}{\it Моторный~В.~П.} О наилучшей квадратурной формуле вида $
\sum_{i=1}^np_if(x_i)$ для некоторых классов периодических дифференцируемых
функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974. Т.~38, \No3. С.~583--614.

\bibitem{Ni}{\it Никольский~С.~М.} Квадратурные формулы. М: Наука, 1979.

\bibitem{OW}{\it Osipenko~K.~Yu., Wilderotter~K.} Optimal information for
approximating periodic functions // Math. Comput. 1997 V.~66. \No220.
P.~1579--1592.

\bibitem{OsCo}{\it Osipenko~K.~Yu.} Exact values of $n$-widths of
Hardy-Sobolev classes // Constr. Approx. 1997. V.~13. P.~17--27.

\bibitem{Akh}{\it Ахиезер~Н.~И.} Элементы теории эллиптических функций. М.:
Наука, 1970.

\bibitem{Wi}{\it Wilderotter~K.} Optimal approximation of periodic analytic
functions with integrable boundary values // J. Approx. Theory. 1996 V.~84.
\No2. P.~236--246.
\end{thebibliography}
\end{document}
