\documentclass[12pt,reqno,oneside,a4paper]{amsbook}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1550

\setcounter{chapter}{0} \setcounter{page}{3}
\pagestyle{plain}

\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\renewcommand{\thesection}{\thechapter.\arabic{section}}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\wa}{\widehat\alpha}
\newcommand*{\wb}{\widetilde b}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wy}{\widehat y}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wt}{\widehat\tau}
\newcommand*{\wv}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\tI}{\widetilde I}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\Wrr}{W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\Ld}{L_2(\Ds)}
\newcommand*{\WR}{\mathcal W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\Lia}{L_\infty(\mathbb R_+)}
\newcommand*{\Li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\WP}{\mathcal W_s^r(T)}
\newcommand*{\WW}{W_2^n([0,\pi])}
\newcommand*{\LLL}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\WT}{W_2^r([-\pi,\pi])}
\newcommand*{\LLT}{L_2(\mathbb T)}
\DeclareMathOperator*{\LAC}{LAC}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem*}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Змечания}
\renewcommand{\theequation}{\thechapter.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}}




\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\begin{document}
\chapter[Оптимальное восстановление функций]{Оптимальное
восстановление функций по неточным данным}

\tableofcontents

\section{Введение}

При решении многих задач математической физики и особенно при их численной
реализации естественным образом возникают задачи, связанные с
дискретизацией функций, восстановлением функций, функционалов или операторов от них по
некоторой ограниченной информации о функции, заданной, вообще говоря,
приближенно. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время
(особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое
направление, получившее название --- оптимальное восстановление. Круг
исследуемых  в этой области проблем содержит такие важные задачи, как
построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или
приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных
формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор
оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее
приближенным коэффициентам Фурье и др.

Если при классическом подходе, как правило, задаются средства приближения
(алгебраические или тригонометрические полиномы, рациональные функции,
сплайны, вейвлеты и др.), то в задачах оптимального восстановления вид
метода восстановления заранее не фиксируется --- он ищется среди
всевозможных методов (алгоритмов), использующих значения аппроксимируемой
функции. Важность такой постановки обусловлена тем, что при фиксированной
информации выбирается наилучший способ приближения функции или функционала
(в последнем случае речь может идти, например, об оптимальных методах
интегрирования).

\section{Задачи оптимального восстановления}

Как правило, существует много способов решения одной и той же задачи. Как
сравнивать различные методы решения и что означает решить задачу
оптимальным образом? Предположим, что у нас имеется множество методов
(алгоритмов) $\mathcal M$ для решения задачи $p$. Каждый метод использует
некоторую информацию $Ip$ о задаче $p$. Для того, чтобы иметь возможность
сравнивать различные методы, сопоставим каждому методу число,
характеризующее погрешность решения рассматриваемой задачи данным методом.
Обозначим это число через $e(p,I,m)$.

Обычно нам требуется решить не одну задачу, а несколько задач одного и того
же типа. Обозначим множество задач, которые мы хотим решить, через $\mathcal
P$. Если требуется найти метод, для которого погрешность решения была бы как
можно меньше сразу для всех задач из множества $P$, то мы приходим к
следующей экстремальной задаче: найти значение
$$e(\mathcal P,I,\mathcal M):=\infp_{m\in\mathcal M}\sup_{p\in\mathcal
P}e(p,I,m)$$
и метод, на котором нижняя грань достигается. Всякий такой метод называется
{\it оптимальным\/} методом.

Если величина $e(\mathcal P,I,\mathcal M)$ не достаточно мала, то можно
попытаться найти другой тип информации, знание которого даст лучшую
погрешность. Иными словами, можно рассмотреть задачу о нахождении величины

$$\inf_{I\in\mathcal I}e(\mathcal P,I,\mathcal M),$$
где $\mathcal I$ --- некоторое множество информационных операторов. Всякий
оператор, на котором достигается нижняя грань, будем называть {\it
оптимальным\/} информационным оператором.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Оптимальная интерполяция. Пусть $W$ --- некоторый класс функций,
определенных в области $D$. Обозначим через $p_f$ задачу нахождения
значения $f(t)$, $t\in D$, для функции $f\in W$. Положим
$$Ip_f=(f(t_1),\ldots,f(t_n)),\quad t_j\in D.$$
Пусть $\mathcal M$ --- множество всех функций $m\colon\mathbb C^n\to\mathbb
C$ (или $m\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ в вещественном случае). Тогда мы
получаем следующую задачу
$$e(t,W,I):=\infp_{m\colon\mathbb C^n\to\mathbb C}\sup_{f\in W}|f(t)-m(Ip_f
)|.$$
Эта задача носит название задачи об {\it оптимальном восстановлении\/}
$f\in W$ в точке $t$ по информации о значениях $f(t_1),\ldots,f(t_n)$.

2. Оптимальное интегрирование. Пусть $p_f$ --- задача о нахождении
интеграла
$$\int_a^bf(t)\,dt$$
для функции $f\in W$, а $Ip_f$ и $\mathcal M$ те же, что и в предыдущей
задаче. Тогда мы получаем задачу об {\it оптимальном интегрировании\/}
функции $f$ на классе $W$ по значениям в фиксированной системе узлов
$$e(W,I):=\infp_{m\colon\mathbb C^n\to\mathbb C}\sup_{f\in W}\left|\int_a^b
f(t)\,dt-m(Ip_f)\right|.$$
Если рассмотреть множество $\mathcal M_0$, содержащее только линейные
функционалы $m$, то придем к задаче об оптимальной квадратурной формуле.
Можно также минимизировать введенную величину по всем узлам из отрезка $[a,
b]$. Тогда получится задача об оптимальных узлах для оптимального метода
интегрирования.

Подобная задача может быть рассмотрена для произвольного линейного
функционала $Lf$. В частности, для $Lf=f'(t)$ мы получаем задачу об
оптимальном численном дифференцировании.

Приведем еще ряд задач подобного типа.

3. Пусть про функцию из некоторого класса приближенно известен ее
спектр (например, какие-то ее коэффициенты Фурье, если функция
периодическая, или ее преобразование Фурье на некотором множестве,
если функция задана на прямой). Как наилучшим образом воспользоваться этой
информацией, чтобы восстановить целиком саму функцию и ее
производные?

4. Пусть приближенно известны состояния динамической системы в
некоторые фиксированные моменты времени. Как наилучшим образом
воспользоваться этой информации, чтобы восстановить состояние
системы в другой момент времени?

5. Пусть про решение дифференциального уравнения, определенного в
некоторой области, приближенно известны его значения на некоторых
подмножествах этой области. Как наилучшим образом использовать эту
информацию, чтобы восстановить решение на другом подмножестве?

Ограничимся этими задачами, хотя список можно продолжить. Все они
укладываются в общую постановку, которую  мы приводим в следующем
параграфе и иллюстрируем примерами, соответствующими приведенным
задачам.

\section{Общая постановка задачи восстановления}

Пусть $X$ --- векторное пространство, $W$ --- непустое множество
(класс элементов) в $X$, $Y_ i$ --- нормированное пространство,
$I_i\colon X\to Y_i$ --- линейный оператор и $\delta_i\ge0$, $1\le
i\le n$. Каждому элементу $x\in W$ сопоставим множество
$I^\delta(x)=\{\,y=(y_1,\ldots,y_n)\in Y_1\times\ldots\times Y_n\mid
\|I_jx-y_j\|_{Y_1}\le\delta_j,\,\,1\le j\le n\,\}$, которое назовем
{\it информацией об элементе $x$}, а отображение $I^\delta\colon
W\to Y_1\times\ldots\times Y_n$ (вообще говоря, многозначное),
сопоставляющее $x$ множество $I^\delta(x)$ --- {\it информационным
отображением} (или {\it оператором}). Если
$\delta_1=\ldots=\delta_n=0$, то говорим, что информация задана
точно (в этом случае $I^\delta$ --- обычное отображение), в
противном случае --- неточно.

Пусть $Z$ --- нормированное пространство. Мы хотим восстановить
линейный оператор $\Lambda\colon X\to Z$ на классе $W$, располагая о
каждом элементе $x\in W$ информацией $I^\delta(x)$. Поступаем
следующим образом. Любое отображение $m\colon
Y_1\times\ldots\times Y_n\to Z$ объявляем {\it методом
восстановления} (оператора $\Lambda$ на $W$ по информации
$I^\delta$) и величину
$$e(\Lambda,W,I^\delta,m)=\sup_{\substack{x\in W,\ y_j\in Y_j\\
\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|\Lambda
x-m(y_1,\ldots,y_n)\|_Z$$
называем {\it погрешностью метода $m$}.

Нас будет интересовать величина
$$E(\Lambda,W,I^\delta)=\inf_me(\Lambda,W,I^\delta,m),$$
где нижняя грань берется по всем отображениям $m$ из
$Y_1\times\ldots\times Y_n$ в $Z$, которую называем {\it
погрешностью оптимального восстановления} и метод $\widehat\varphi$,
на котором нижняя грань достигается, называемый {\it оптимальным
методом восстановления} (т.~е.
$E(\Lambda,W,I^\delta)=e(\Lambda,W,I^\delta,\wm)$).

Сформулированную задачу будем называть {\it задачей об оптимальном
восстановлении оператора $\Lambda$ на классе $W$ по информации
$I^\delta$}.

Приведем теперь несколько иллюстративных примеров, которые в
дальнейшем будут рассмотрены в значительно более общих ситуациях.

$1)$ Рассмотрим задачу об оптимальном восстановлении функции и ее
производных на соболевском классе функций на прямой по приближенной
информации о ее преобразовании Фурье на некотором интервале. Одна из
возможных точных постановок такова. Пусть $X$ --- соболевское пространство $\mathcal W_2^r(\mathbb R)$ функций на прямой $\mathbb R$, т.~е.
$$\WR=\{\,x\cd\in\Lt: x^{(r-1)}\cd\in\LAC(\mathbb R),\ x^{(r)}\cd\in\Lt\,\},$$
где $r$ --- натуральное число и $\LAC(\mathbb R)$ --- совокупность всех локально абсолютно непрерывных функций на $\mathbb R$,
$$W=\Wrr=\{\,x\cd\in\WR:\|x^{(r)}\cd\|_{\Lt}\le1\,\}$$
--- соболевский класс функций на $\mathbb R$, $Y=L_2(\Ds))$, где
$\Ds=(-\sigma,\sigma)$, $0<\sigma\le\infty$
($\Ds=\mathbb R$, если $\sigma=\infty$), $I$ --- сужение
на $\Ds$ преобразования Фурье $F$ функций из $\Lt$, $Z=\Lt$, $\delta>0$ и $\Lambda x\cd=x^{(k)}\cd$, где
$0\le k\le r-1$.

Другими словами, это задача об оптимальном восстановлении $k$-ой
производной (самой функции, если $k=0$) на соболевском классе
функций $\Wrr$ по следующей неточной информации: о каждой функции
$x\cd\in W$ известно ее преобразование Фурье на интервале
$\Ds$ с точностью до $\delta$ в метрике
$L_2(\Ds)$.

$2)$ Рассмотрим задачу об оптимальном восстановлении температуры
бесконечного стержня в некоторый момент времени по ее приближенным
измерениям в другие моменты времени. Одна из возможных точных
постановок такова.

Распространение тепла в бесконечном
стержне (т.~е. на прямой $\mathbb R$) описывается уравнением
\begin{equation}\label{t}
u'_t=u''_{xx}
\end{equation}
с заданным начальным распределением температуры
\begin{equation}\label{N}
u(0,x)=u_0(x).
\end{equation}
Мы предполагаем, что $u_0\cd\in \Lt$.  Единственным решением задачи
\eqref{t}--\eqref{N} при $t>0$ является интеграл Пуассона
$$u(t,x)=u(t,x;u_0\cd)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{\mathbb
R}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4t}}u_0(\xi)\,d\xi$$
и при этом $u(t,\cdot)\to u_0\cd$ при $t\to0$ в метрике $\Lt$.

Пусть в моменты времени $0\le t_1<\ldots<t_n$ приближенно
известны распределения температур $u(t_1,\cdot),\ldots,u(t_n,\cdot)$, т.~е. известны функции $y_i\cd\in \Lt$ такие, что $\|u(t_i,\cdot)-y_i(\cdot)\|_{\Lt}\le\delta_i$, где $\delta_i>0$, $i=1,\ldots,n$. Задача состоит в оптимальном восстановлении температуры
бесконечного стержня в некоторый момент времени $\tau$ (т.~е. в восстановлении функции $u(\tau,\cdot)$ по ее приближенным
измерениям в другие моменты времени $y_1\cd,\ldots,y_n\cd$.

$3)$ Задача о трех сферах. Рассмотрим задачу Дирихле в $d$-мерном единичном шаре
$$\Bd=\{\,x=(x_1,\ldots,x_d)\in\Rd:|x|<1\,\},\quad|x|=x_1^2+\ldots+x_d^2:$$
\begin{gather*}
\Delta u=0,\\
u_{\big|\Sd}=f,
\end{gather*}
$$\Sd=\{\,x\in\Rd:|x|=1\,\}.$$

Предполагается, что $f\cd\in L_2(\Sd)$. Требуется восстановить решение этой задачи на сфере радиуса $r$ по неточно заданным решениям на сферах радиусов $r_i$, $i=1,2$, $r_1<r<r_2\le1$. Иными словами, считается, что известны функции $y_1\cd,y_2\cd\in L_2(\Sd)$ такие, что
$$\|u_{\big||x|=r_i}-y_i\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_i,\quad i=1,2.$$
Используя функции $y_1\cd,y_2\cd$ надо наилучшим образом восстановить функцию $u_{\big||x|=r}$.

\section{Общие результаты}

Рассмотрим теперь ряд общих результатов, позволяющих получать оптимальные методы восстановления в задачах, подобных сформулированным в предыдущем разделе. Пусть $X$ --- векторное пространство, $Y_1,\ldots,Y_n$ --- векторные пространства с полускалярным произведением $(\cdot,\cdot)_{Y_j}$, $j=1,\ldots,n$, и соответствующими полунормами $\|\cdot\|_{Y_j}$ ($\|x\|_{Y_j}=\sqrt{(x,x)_{Y_j}}$), $I_j\colon X\to Y_j$, $j=1,\ldots,n$, --- линейные операторы и $Z$ --- нормированное пространство. Рассматривается задача оптимального восстановления линейного оператора $T\colon X\to Z$ на классе
$$W_k=\{\,x\in X:\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ 1\le j\le k,\ 0\le k<n\,\}$$
(при $k=0$ считаем, что $W_0=X$) по информации о значениях операторов $I_{k+1},\ldots,I_n$, заданных неточно. Предполагается, что для каждого $x\in W_k$ известен вектор $y=(y_{k+1},\ldots,y_n)$ такой, что
$$\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\quad j=k+1,\ldots,n.$$
На основании информации о векторе $y$ требуется наилучшим образом восстановить значение $Tx$.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n\to Z$. В соответствии с общей постановкой задачи восстановления погрешностью метода восстановления $m$ называется величина
$$e(T,W_k,I,\delta,m)=\sup_{x\in W_k}\,\sup_{\substack{y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n\\\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=k+1,\ldots,n}}\|Tx-m(y)\|_Z$$
(здесь $I=(I_1,\ldots,I_n)$, $\delta=(\delta_1,\ldots\delta_n)$).
Величина
%\begin{equation}\label{EEE}
$$
E(T,W_k,I,\delta)=\inf_{m\colon Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n\to Z}e(T,W_k,I,\delta,m)
$$
%\end{equation}
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань (если таковой существует) называется оптимальным.

Сформулированная задача оптимального восстановления тесно связана со следующей экстремальной задачей (будем называть ее {\it двойственной\/} экстремальной задачей)
\begin{equation}\label{D}
\|Tx\|_Z^2\to\max,\quad\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2,\ j=1,\ldots,n,\ x\in X.
\end{equation}

Одним из основных результатов, на котором базируются построения оптимальных методов восстановления является следующая теорема.

\begin{theorem}\label{MT}
Предположим, что существуют $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, такие, что значение экстремальной задачи
\begin{equation}\label{D1}
\|Tx\|_Z^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\sum_{j=1}^n\wl_j
\delta_j^2,\quad x\in X
\end{equation}
совпадает со значением задачи \eqref{D}. Предположим, кроме того, что для всех $y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n$ существует $x_y$, являющийся решением экстремальной задачи
\begin{equation}\label{M}
\sum_{j=1}^k\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{j=k+1}^n\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\to\min,
\quad x\in X.
\end{equation}
Тогда
$$E(T,W_k,I,\delta)=\sup_{\substack{x\in X\\\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|Tx\|_Z$$
и метод
\begin{equation}\label{m1}
\wm(y)=Tx_y
\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

Приведем теперь достаточные условия, при выполнении которых, значения задач \eqref{D} и \eqref{D1} совпадают. Введем функцию Лагранжа для экстремальной задачи \eqref{D}
$$\LL(x,\lambda)=-\|Tx\|^2_Z+\sum_{j=1}^n\lambda_j\|I_jx\|_{Y_j}^2$$
(здесь $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n$). Назовем $\wx\in X$ экстремальным элементом, если он является допустимым в \eqref{D} (т.е. $\|I_j\wx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2$) и
$$\|T\wx\|_Z^2=\sup_{\substack{x\in X\\\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2,\ j=1,\ldots,n}}\|Tx\|_Z^2.$$

\begin{theorem}[достаточные условия]\label{sc}
Предположим, что существуют $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, and $\wx\in X$ допустимый в \eqref{D} такие, что
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{x\in X}\LL(x,\wl)=\LL(\wx,\wl),\quad\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_n),\\
(b)&\quad\sum_{j=1}^n\wl_j(\|I_j\wx\|_{Y_j}^2-\delta_j^2)=0.
\end{align*}
Тогда $\wx$ --- экстремальный элемент и
$$\sup_{\substack{x\in X\\\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2,\ j=1,\ldots,n}}\|Tx\|_Z^2=\sup_{\substack{x\in X\\\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2\le
\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2}}\|Tx\|_Z^2=\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2.$$
\end{theorem}

Отметим, что в двойственной задаче операторы $I_j$, задающие класс ($j=1,\ldots,k$) и информационные ($j=k+1,\ldots,n$), равноправны. Иными словами, двойственная экстремальная задача ``не различает'' априорную и апостериорную информацию. В связи с этим рассмотрим следующую задачу оптимального восстановления. Пусть $A\subset\{1,\ldots,n\}$ и $B=\{1,\ldots,n\}\setminus A$. Положим
$$W_A=\{\,x\in X:\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j\in A\,\},\quad Y_B=\prod_{j\in B}Y_j.$$
Рассмотрим задачу оптимального восстановления линейного оператора $T\colon X\to Z$ на классе $W_A$ по информации о неточно заданных значениях операторов $I_j$, $j\in B$. Погрешностью оптимального восстановления назовем величину
$$E(T,W_A,I,\delta)=\infp_{m\colon Y_B\to Z}\sup_{x\in W_A}\,\sup_{\substack{y=\{y_j\}\in Y_B\\\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j\in B}}\|Tx-m(y)\|_Z.$$

Из теоремы~\ref{MT} вытекает

\begin{theorem}\label{MT1}
Предположим, что существуют $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, такие, что значение экстремальной задачи \eqref{D1} совпадает со значением задачи \eqref{D}. Предположим, кроме того, что для всех $y=(y_1,\ldots,y_n)\in Y_1\times\ldots\times Y_n$ существует $x_y$, являющийся решением экстремальной задачи
$$\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\to\min,\quad x\in X.$$
Тогда для любого $A\subset\{1,\ldots,n\}$
$$E(T,W_A,I,\delta)=\sup_{\substack{x\in X\\\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|Tx\|_Z$$
и метод $Tx_{y_A}$, где
$$\{y_A\}_j=\begin{cases}0,&j\in A,\\
y_j,&j\notin A,\end{cases}$$
является оптимальным.
\end{theorem}

Двойственная экстремальная задача здесь имеет вид
$$\|x^{(k)}\|_{\Lt}^2\to\max,\quad\|x^{(r)}\|_{\Lt}^2\le1,\quad\|Fx\|_{\Ld}^2\le
\delta^2,\ x\in\WR.$$
Для того чтобы иметь возможность строить оптимальные методы использующие не только информацию о приближенном преобразовании Фурье, но и о приближенной $r$-ой производной, будем рассматривать двойственную задачу
\begin{equation}\label{DP}
\|x^{(k)}\|_{\Lt}^2\to\max,\quad\|x^{(r)}\|_{\Lt}^2\le\delta_1^2,
\quad\|Fx\|_{\Ld}^2\le\delta_2^2,\ x\in\WR.
\end{equation}

Для ее решения перейдем к преобразованию Фурье и запишем ее в виде
\begin{multline}\label{mnk}
\iR\tau^{2k}u(\tau)\,d\tau\to\max,\quad\iR\tau^{2r}u(\tau)\,d\tau\le\delta_1^2,\quad
2\pi\int_{\Ds}u(\tau)\,d\tau\le\delta_2^2,\\
u\in L_1(\mathbb R),\quad
u(\tau)\ge0\text{ почти всюду на }\mathbb R,
\end{multline}
где $u(\tau)=(2\pi)^{-1}|Fx(\tau)|^2$. Поскольку в этой задаче нет существования, мы будем рассматривать следующее ее расширение, в котором участвуют меры
\begin{equation}\label{K11}
\iR\tau^{2k}\,d\mu(\tau)\to\max,\quad\iR\tau^{2r}\,d\mu(\tau)\le\delta_1^2,
\quad2\pi\int_{\Ds}\,d\mu(\tau)\le\delta_2^2.
\end{equation}

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
$$\LL(\mu,\lambda_1,\lambda_2)=\iR(-\tau^{2k}+\lambda_1\tau^{2r}+
2\pi\lambda_2\chi_\sigma(t))\,d\mu(\tau),$$
где
$$\chi_\sigma(t)=\begin{cases}1,&t\in(-\sigma,\sigma),\\
0,&t\notin(-\sigma,\sigma).\end{cases}$$
Пусть $0<k<r$. Рассмотрим функцию
$$\left\{
\begin{aligned}y&=\tau^{2k},\\
x&=\tau^{2r}.\end{aligned}\right.$$
Тем самым $y=x^{k/r}$, $0<k/r<1$. Рассмотрим касательную к кривой, задаваемой этой функцией в некоторой точке $(\tau_0^{2r},\tau_0^{2k})$, $\tau_0>0$,
$$y-\tau_0^{2k}=\dfrac kr\tau_0^{2k-2r}(x-\tau_0^{2r}).$$
Поскольку функция $y=x^{k/r}$ вогнутая, для всех точек на этой кривой имеет место неравенство
$$-y+\dfrac kr\tau_0^{2k-2r}x+\tau_0^{2k}\frac{r-k}r\ge0.$$
Положим
$$\wl_1=\dfrac kr\tau_0^{2k-2r},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}\tau_0^{2k}\frac{r-k}r.$$
Тогда для всех $\tau$
$$-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}+2\pi\wl_2\ge0.$$
Найдем теперь $\ws$ такое, что при всех $|\tau|\ge\ws$
$$-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}\ge0.$$
Легко убедиться, что
$$\ws=\wl_1^{-\frac1{2(r-k)}}=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\tau_0.$$

Предположим, что $\sigma\ge\ws$. Тогда для всех $\mu$
\begin{multline*}
\LL(\mu,\wl_1,\wl_2)=\int_{\Ds}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}+
2\pi\wl_2)\,d\mu(\tau)\\
+\int_{\mathbb R\setminus\Ds}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r})\,d\mu(\tau)\ge0.
\end{multline*}
Рассмотрим меру, сосредоточенную в точке $\tau_0$
$$d\wmu(\tau)=A\delta(\tau-\tau_0).$$
Выберем $A$ и $\tau_0$ из условий
\begin{equation}\label{con}
\iR\tau^{2r}\,d\wmu(\tau)=\delta_1^2,\quad2\pi\int_{\Ds}\,d\wmu(\tau)=\delta_2^2.
\end{equation}
Имеем
$$A=\frac{\delta_2^2}{2\pi},\quad\tau_0=\left(\frac{2\pi\delta_1^2}{\delta_2^2}
\right)^{\frac1{2r}}.$$
Кроме того, $\LL(\wmu,\wl_1,\wl_2)=0$.
Из теоремы~\ref{sc} вытекает, что для случая, когда
$$\sigma\ge\ws=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\tau_0=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\left(\frac{2\pi\delta_1^2}{\delta_2^2}\right)^{\frac1{2r}},$$
экстремальная задача \eqref{K11} решена и ее значение $\wl_1\delta_1^2+\wl_2\delta_2^2$ совпадает со значением задачи
\begin{equation}\label{sm}
\iR\tau^{2k}\,d\mu(\tau)\to\max,\quad\wl_1\iR\tau^{2r}\,d\mu(\tau)+\wl_22\pi
\int_{\Ds}\,d\mu(\tau)\le\wl_1\delta_1^2+\wl_2\delta_2^2.
\end{equation}

Рассмотрим теперь случай, когда $\sigma<\ws$. Прямая $y=\sigma^{2(k-r)}x$ проходит через точки $(0,0)$ и $(\sigma^{2k},\sigma^{2r})$. Найдем точку $\wt$ такую, что касательная к кривой $y=x^{k/r}$ в точке $x=\wt^{2r}$ параллельна прямой $y=\sigma^{2(k-r)}x$. Имеем
$$\frac kr(\wt^{2r})^{k/r-1}=\sigma^{2(k-r)}.$$
Отсюда
$$\wt=\left(\frac kr\right)^{\frac1{2(r-k)}}\sigma.$$
Тем самым уравнение касательной имеет вид
\begin{equation}\label{line}
y=\wl_1x+2\pi\wl_2,
\end{equation}
где
$$\wl_1=\sigma^{2(k-r)},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}\frac{r-k}r\left(\frac kr\right)^{\frac k{r-k}}\sigma^{2k}.$$
Так как функция $y=x^{k/r}$ вогнута, а прямая \eqref{line} --- касательная, то для всех точек кривой
$$-y+\wl_1x+2\pi\wl_2\ge0.$$
Кроме того, при всех $t\ge\sigma$, \ $-t^{2k}+\wl_1t^{2r}\ge0$. Таким образом, при всех $\mu$
\begin{multline*}
\LL(\mu,\wl_1,\wl_2)=\int_{\Ds}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}+
2\pi\wl_2)\,d\mu(\tau)\\
+\int_{\mathbb R\setminus\Ds}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r})\,d\mu(\tau)\ge0.
\end{multline*}
Положим теперь
$$d\wmu(t)=A\delta(t-\wt)+B\delta(t-\sigma),$$
где $A>0$ и $B>0$ определим из тех же условий \eqref{con}. Имеем
$$A\wt^{2r}+B\sigma^{2r}=\delta_1^2,\quad A=\frac{\delta_2^2}{2\pi}.$$
Отсюда
$$B=\frac1{\sigma^{2r}}-\frac{\delta^2}{2\pi}\left(\frac kr\right)^{\frac r{r-k}}.$$
Легко убедиться, что из условия $\sigma<\ws$ вытекает, что $B>0$. Остается заметить, что $\LL(\wmu,\wl_1,\wl_2)=0$. Тем самым задача \eqref{K11} решена при всех $\sigma>0$. И, кроме того, доказано, что ее значение для всех $\sigma>0$ совпадает со значением задачи \eqref{sm}.

Аппроксимируя точечные меры ступенчатыми функциями, можно показать, что значения задач \eqref{mnk} и
\begin{multline*}
\iR\tau^{2k}u(\tau)\,d\tau\to\max,\quad\iR(\wl_1\tau^{2r}+2\pi\wl_2\chi_\sigma(\tau)u(\tau)\,d\tau
\le\wl_1+\wl_2\delta^2,\\
u\in L_1(\mathbb R),\quad u(\tau)\ge0\text{ почти всюду на }\mathbb R,
\end{multline*}
совпадают и равны тому же выражению $\wl_1\delta_1^2+\wl_2\delta_2^2$.

Для построения оптимальных методов восстановления рассмотрим экстремальную задачу
$$\wl_1\|x^{(r)}-y_1\|_{\Lt}^2+\wl_2\|Fx-y_2\|^2_{\Ld}\to\min,\quad x\in\WR.$$
Переходя к преобразованию Фурье и используя теорему Планшереля, получаем
\begin{multline*}
\frac{\wl_1}{2\pi}\iR|(i\tau)^rFx(\tau)-Fy_1(\tau)|^2+\wl_2\int_{\Ds}|Fx(\tau)-
y_2(\tau)|^2\,d\tau\to\min,\\
x\in\WR.
\end{multline*}
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция $x_0$, для которой
$$Fx_0(\tau)=\begin{cases}\dfrac{\wl_1(-i\tau)^rFy_1(\tau)+2\pi\wl_2y_2(\tau)}
{\wl_1\tau^{2r}+2\pi\wl_2},&\tau\in\Ds,\\[10pt]
(i\tau)^{-r}Fy_1(\tau),&\tau\notin\Ds.\end{cases}$$


Из теоремы~\ref{MT1}, положив $\delta_1=1$, $\delta_2=\delta$ и $y_1=0$, получаем, что метод
$$\wm(y)=\frac1{2\pi}\int_{\Ds}(i\tau)^k\left(1+\dfrac{\tau^{2r}\wl_1}
{2\pi\wl_2}\right)^{-1}y(\tau)e^{it\tau}\,d\tau$$
является оптимальным. Для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
$$E_\sigma(D^k,\Wrr,\delta)=\sqrt{\wl_1+\wl_2\delta^2}.$$

Если $\sigma\ge\ws$, то
$$\wl_1=\frac kr\left(\frac{\delta^2}{2\pi}\right)^{1-k/r},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}\frac{r-k}r
\left(\frac{2\pi}{\delta^2}\right)^{k/r}.$$
Следовательно, в этом случае
$$E_\sigma(D^k,\Wrr,\delta)=\left(\frac\delta{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/r}$$
и метод
$$\wm(y)=\int_{-\sigma}^\sigma(i\tau)^k\left(1+\frac{\delta^2}{2\pi}
\frac k{r-k}\tau^{2r}\right)^{-1}y(\tau)e^{it\tau}\,d\tau$$
является оптимальным.

Покажем, что при $\sigma\ge\ws$ метод
$$\wm(y)=\int_{-\ws}^{\ws}(i\tau)^k\left(1+\frac{\delta^2}{2\pi}
\frac k{r-k}\tau^{2r}\right)^{-1}y(\tau)e^{it\tau}\,d\tau$$
--- тоже оптимальный. Прежде всего отметим, что для всех $\sigma>\ws$
$$E_2^\sigma(D^k,\Wrr,\delta)=E_2^{\ws}(D^k,\Wrr,\delta).$$
Поскольку $\Ld\subset L_2(\Delta_{\ws})$ и для всех $y\in\Ld$ таких, что $\|Fx-y\|_{\Ld}\le\delta$, аналогичное неравенство выполнено в $L_2(\Delta_{\ws})$ норме, то
\begin{multline*}
\sup_{\substack{x\in\Wrr,\ y\in\Ld\\
\|Fx-y\|_{\Ld}\le\delta}}\|x^{(k)}-\wm(y)\|_{\Lt}\le\\
\sup_{\substack{x\in\Wrr,\ y\in L_2(\Delta_{\ws})\\
\|Fx-y\|_{L_2(\Delta_{\ws})}\le\delta}}\|x^{(k)}-\wm(y)\|_{\Lt}=
E_2^{\ws}(D^k,\Wrr,\delta)\\
=E_2^\sigma(D^k,\Wrr,\delta).
\end{multline*}
Это и означает, что метод $\wm$ - оптимальный.

Рассмотрим теперь случай, когда $k=0$. Тогда расширенная двойственная экстремальная задача имеет вид
\begin{multline*}
\LL(\mu,\wl_1,\wl_2)=\int_{\Ds}(-1+\wl_1\tau^{2r}+
2\pi\wl_2)\,d\mu(\tau)\\
+\int_{\mathbb R\setminus\Ds}(-1+\wl_1\tau^{2r})\,d\mu(\tau).
\end{multline*}
Положим
$$\wl_1=\frac1{\sigma^{2r}},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}.$$
Для всех $\mu$ справедливо неравенство
$$\LL(\mu,\wl_1,\wl_2)=\wl_1\int_{\Ds}\tau^{2r}\,d\mu(\tau)
+\int_{\mathbb R\setminus\Ds}\left(-1+\left(\frac\tau\sigma\right)^{2r}\right)\,d\mu(\tau)\ge0.$$
Для
$$d\wmu(t)=\frac{\delta^2}{2\pi}\delta(t)+\frac1{\sigma^{2r}}\delta(t-\sigma)$$
выполняются условия
$$\iR\tau^{2r}\,d\wmu(\tau)=1,\quad2\pi\int_{\Ds}\,d\wmu(\tau)=\delta^2,$$
а кроме того, $\LL(\wmu,\wl_1,\wl_2)=0$. Аналогично рассуждениям проведенным выше получаем, что
\begin{equation}\label{Ek0}
E_\sigma(D^0,\Wrr,\delta)=\sqrt{\frac{\delta^2}{2\pi}+\frac1{
\sigma^{2r}}},
\end{equation}
а метод
\begin{equation}\label{Meth}
\wm(y)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma\left(1+\left(\frac\tau\sigma
\right)^{2r}\right)^{-1}y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau
\end{equation}
является оптимальным.

Тем самым доказана

\begin{theorem}\label{T11}
Пусть $r\in\mathbb N$, $0<k<r$, $0<\sigma\le\infty$, $\delta>0$ и
$$\ws=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\left(\frac{2\pi}{\delta^2}
\right)^{\frac1{2r}}.$$
Тогда
$$E_2^\sigma(D^k,\Wrr,\delta)=\begin{cases}\sigma^k\sqrt{\dfrac{r-k}{2
\pi r}\left(\dfrac kr\right)^{\frac k{r-k}}\delta^2+\dfrac1{\sigma^{2r}}},&
\sigma<\ws,\\[15pt]
\left(\dfrac\delta{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/r},&\sigma\ge\ws,\end{cases}
$$
а метод
$$\wm(y)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}(i\tau)^k\left(1+\dfrac r{r-k}
\left(\dfrac rk\right)^{\frac k{r-k}}\left(\dfrac\tau{\sigma_0}\right)^{2r}
\right)^{-1}y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau,$$
где $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$, является оптимальным.

Если $k=0$ и $0<\sigma<\infty$, то для погрешность оптимального восстановления справедливо равенство \eqref{Ek0}, а метод \eqref{Meth} --- оптимальный.
\end{theorem}

Из теоремы \ref{T11} вытекает, что для заданного $\delta$, начиная с $\ws$, дальнейшее увеличение интервала, на котором преобразование Фурье функции из $\Wrr$ задано с погрешностью $\delta$ в $\Ld$-норме, не приводит к уменьшению погрешности восстановления. Иными словами, при нарушении соотношения
\begin{equation}\label{Unc}
\delta^2\sigma^{2r}\le2\pi\left(\frac rk\right)^{\frac r{r-k}}
\end{equation}
между погрешностью задания исходных данных и размером интервала, на котором эти данные измеряются, доступная информация оказывается излишней. Соотношение \eqref{Unc} может рассматриваться как некоторый принцип неопределенности.

Предположим теперь, что имеется возможность приближенно измерять не только преобразование Фурье функции, но и ее $r$-ую производную. Рассмотрим тогда следующую задачу оптимального восстановления
\begin{multline*}
E_\sigma(D^k,\WR,\delta_1,\delta_2)\\
=\infp_{m}\,\sup_{\substack{x\in\WR,\ y_1\in\Lt,\ y_2\in\Ld\\
\|x^{(r)}-y_1\|_{\Lt}\le\delta_1\\
\|Fx-y_2\|_{\Ld}\le\delta_2}}\|x^{(k)}-m(y_1,y_2)\|_{\Lt},
\end{multline*}
где нижняя грань берется по всем методам $m\colon\Lt\times\Ld\to\Lt$.

Аналогично теореме \ref{T11} получаем
\begin{theorem}\label{T12}
Пусть $r\in\mathbb N$, $0<k<r$, $0<\sigma\le\infty$, $\delta_1,\delta_2>0$ и
$$\ws=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\left(\frac{2\pi\delta_1^2}{\delta_2^2}
\right)^{\frac1{2r}}.$$
Тогда
$$E_\sigma(D^k,\WR,\delta_1,\delta_2)=\begin{cases}\sigma^k\sqrt{\dfrac{r-k}{2
\pi r}\left(\dfrac kr\right)^{\frac k{r-k}}\delta_2^2+\dfrac{\delta_1^2}{\sigma^{2r}}},&
\sigma<\ws,\\[15pt]
\delta_1^{k/r}\left(\dfrac{\delta_2}{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/r},&\sigma\ge\ws,
\end{cases}$$
а метод
\begin{multline*}
\wm(y)=\frac1{2\pi}\int_{\Ds}(i\tau)^k\frac{y_2(\tau)
+\gamma(-i\tau)^rFy_1(\tau)}{1+\gamma\tau^{2r}}e^{i\tau t}\,d\tau\\
+\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus\Ds}(i\tau)^{k-r}Fy_1(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau,
\end{multline*}
где
$$\gamma=\frac r{r-k}\left(\frac rk\right)^{\frac k{r-k}}\frac1{\sigma_0^{2r}},$$
а $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$, является оптимальным.

Если $k=0$ и $0<\sigma<\infty$, то для погрешность оптимального восстановления справедливо равенство
$$E_\sigma(D^0,\WR,\delta_1,\delta_2)=\sqrt{\frac{\delta_2^2}{2\pi}
+\frac{\delta_1^2}{\sigma^{2r}}},$$
а метод
\begin{multline*}
\wm(y)=\frac1{2\pi}\int_{\Ds}\frac{y_2(\tau)
+\sigma^{-2r}(-i\tau)^rFy_1(\tau)}{1+\sigma^{-2r}\tau^{2r}}e^{i\tau t}\,d\tau\\
+\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus\Ds}(i\tau)^{-r}Fy_1(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau,
\end{multline*}
--- оптимальный.
\end{theorem}

Из решения двойственной задачи \eqref{DP} вытекает равенство
$$\sup_{\substack{x\in\WR\\
\|x^{(r)}\|_{\Lt}\le\delta_1\\
\|Fx\|_{\Lt}\le\delta_2}}\|x^{(k)}\|_{\Lt}=\delta_1^{k/r}\left(\dfrac{\delta_2}
{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/r}.$$
Тем самым для любой функции $x\in\WR$ имеет место неравенство
\begin{equation}\label{IH1}
\|x^{(k)}\|_{\Lt}\le\left(\frac1{2\pi}\right)^{\frac{r-k}{2r}}
\|Fx\|_{\Lt}^{1-k/r}\|x^{(r)}\|_{\Lt}^{k/r}.
\end{equation}
Это неравенство является точным в том смысле, что число $(2\pi)^{-(r-k)/(2r)}$ нельзя заменить меньшим.

В силу равенства Парсеваля
$$\|Fx\|_{\Lt}^2=2\pi\|x\|_{\Lt}^2$$
из неравенства \eqref{IH1} следует, что
\begin{equation}\label{IH2}
\|x^{(k)}\|_{\Lt}\le\|x\|_{\Lt}^{1-k/r}\|x^{(r)}\|_{\Lt}^{k/r}.
\end{equation}
Это неравенство известно как неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа. Оно является одним из большой серии, так называемых, неравенств для производных типа Ландау--Колмогорова.

\section{Общая задача оптимального восстановления для обобщенного уравнения Пуассона}
 Пусть $Q$---некоторая область в пространстве
$\ \mathbb{R}^d,$ $\partial Q$---граница области, $\
x=(x_1,\ldots,x_d)\in Q,$  $f(x)\in L_2(Q),\ a(x)\in
C(\overline{Q}),\ k(x)\in C^1(Q).$ Рассмотрим уравнение Пуассона
\begin{equation}\label{1}
-(\Div (k(x)\nabla u(x))-a(x)u(x))=f(x),
\end{equation}
с нулевым граничным условием
\begin{equation}\label{2}
u\mid_{\partial Q}=0.
\end{equation}
Известно (см.\cite{MIH}), что если $k(x)\geq k_0>0,\ a(x)\geq0,$ то
в $L_2(Q)$ существует полная ортонормированная система
$\{\varphi_s(x)\}_1^\infty$ из собственных функций первой краевой
задачи для оператора $\mathfrak{L}=-(\Div(k(x)\nabla-a(x))$.
Собственные значения этой задачи обладают следующими свойствами:
$\lambda_l>0,l=1,2,\ldots,\ \lambda_l\to\infty,l\to\infty$. При этом
различным собственным значениям соответствует конечное (равное
кратности собственного значения) число функций из системы
$\{\varphi_s(x)\}_1^\infty.$

Если
$$f(x)=\sum_{l=1}^\infty a_s\varphi_s(x),$$
где
$$a_s=\int_Q f(x)\varphi_s(x)dx$$---коэффициенты Фурье функции $f(x),$ то решение задачи
\eqref1,\eqref2 может быть записано в виде
$$u(x)=\sum_{s=1}^\infty \lambda_s^{-1}
a_s\varphi_l(x).$$
Пусть функция $g(x)\in L_2(Q),$
$$g(x)=\sum_{s=1}^\infty g_s\varphi_s(x).$$
Положим по определению
$$\mathfrak{L}^{\alpha/2}g(x)=\sum_{s=1}^\infty\lambda_s^{\alpha/2}g_s\varphi_s(x).$$
Рассмотрим, так называемое, обобщённое уравнение Пуассона
\begin{equation}\label{3}
\mathfrak{L}^{\alpha/2}u(x)=f(x)
\end{equation}
с нулевым граничным условием
\begin{equation}\label{4}
u\mid_{\partial Q}=0.
\end{equation}
Нетрудно увидеть, что решение задачи $(3),(4)$ можно записать в виде
$$u(x)=\sum_{s=1}^\infty\lambda_s^{-\alpha/2} a_s\varphi_s(x).$$
В связи с тем, что среди собственных значений оператора
$\mathfrak{L}$ есть кратные, введем новые обозначения. Обозначим
через $\widetilde{\lambda}_k$ различные значения
$\lambda_l,0<\widetilde{\lambda}_1<\widetilde{\lambda}_2<\ldots<\widetilde{\lambda}_k\ldots.$

Положим
$$t_k=\sum_{i=1}^k r_i,$$
где $r_i$---кратность $\widetilde{\lambda}_i.$ Перенумеруем функции
$\varphi_{t_{k-1}+1}(x),\ldots,\varphi_{t_k}(x),$ относящиеся к
$\widetilde{\lambda}_k,$ следующим образом:
$$\varphi_{t_{k-1}+1}=\widetilde{\varphi}_{k1},\ \varphi_{t_{k-1}+2}=\widetilde{\varphi}_{k2},\ \ldots,
\ \varphi_{t_{k-1}+r_k}=\widetilde{\varphi}_{kr_k},$$ где
$r_k$---кратность $\widetilde{\lambda}_k.$ Аналогично проводится
перенумерация коэффициентов Фурье $a_l$ функции $f(x):$
$$a_{t_{k-1}+j}=\widetilde{a}_{kj},\ j=1,\ldots,r_k.$$
Теперь выражение для $f(x)$ принимает вид
\begin{equation}\label{nf}
f(x)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^{r_k}\widetilde{a}_{kj}\widetilde{\varphi}_{kj}(x),
\end{equation}
а решение задачи $(3),(4)$ можно записать в виде
\begin{equation}\label{u}
u(x)=\sum_{k=1}^\infty\widetilde{\lambda}_k^{-\alpha/2}\sum_{j=1}^{r_k}\widetilde{a}_{kj}\widetilde{\varphi}_{kj}(x).
\end{equation}
Перейдем к задаче восстановления. Рассмотрим задачу $(3),(4).$
Требуется наилучшим образом восстановить функцию $\ u(x)$, когда
правая часть уравнения \eqref{3} задана с погрешностью. Предположим,
что для любой функции $f(x)\in\L_2(Q)$ известен вектор
$\widetilde{f}^N\in l_p^N,$ задаваемый следующим образом. Пусть дано
некоторое фиксированное натуральное число $k_0\geq1$ и имеется набор
множеств $J_k$ и $A_k,$ где $J_k=\{1,\ldots,r_k\},\ k=1,\ldots,k_0,$
 $\ A_k\subseteq J_k,\ k=1,\ldots,k_0$---произвольные подмножества $J_k,$ и
$$N=\sum_{k=1}^{k_0}q_k,$$ где
 $q_k$---число
элементов множества $A_k.$ Предполагается, что для произвольного
вектора
$$\widetilde{f}^N=\{y_{kj}\},k=1,\ldots,k_0,j\in A_k\ $$ и для
фиксированного $\delta>0$ выполняется неравенство

$$\|\widetilde{f}^N-f^N\|_{l_p^N}\leq \delta\ ,$$ где
$$f^N=\{\widetilde{a}_{kj}\}\ ,\quad k=1,...,k_0,\quad j\in A_k.$$
Здесь для $b=(b_1,...,b_N)$ норма определяется равенством

\begin{equation}\label{b}
\begin{aligned}
 \|b\|_{l_p^N}&=\begin{cases}(\displaystyle\sum_{k=1}^N b_k^p)^{1/p},&
 1\leq p<\infty\\[10pt]
\displaystyle\max_{k=1,...,N}|b_k|,& p=\infty.\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}
 Задача оптимального восстановления заключается в том, чтобы по информации о векторе $\
\widetilde{f}^N\ $восстановить решение задачи \eqref3 в метрике
$L_2(Q).$  Будем предполагать, что функция $\ f(x)\ $принад\-лежит
обобщённому соболевскому классу
$$\ W_2^\beta(Q)=\left\{f(x)\in L_2(Q):\
\|\mathfrak{L}^{\beta/2}f\|_{L_2(Q)}\leq 1\right\}.$$

В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможные операторы
$\psi:l_p^N\to L_2(Q).$

 Назовем погрешностью восстановления метода
$\psi$ величину
$$e_{N,p}{(W_2^\beta(Q),\alpha,\delta,\psi)}=$$
$$=\sup_{f\in W_2^\beta(Q)}\ \sup_{{\substack{\widetilde{f}^N\in\ l_p^N:\\
\|f^N-\widetilde{f}^N\|_{l_p^N}\leq\delta}}}\|u(x)-\psi(\widetilde{f}_N)(x)\|_{L_2(Q)}.$$

 Погрешностью оптимального восстановления называется
вели\-чина
$$E_{N,p}(W_2^\beta(Q),\alpha,\delta)=\inf_{\psi:\
l_p^N\to L_2(Q)} e_{N,p}(W_2^\beta(Q),\alpha,\delta,\psi),$$ а
метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным.

Используя результаты, полученные Г.Г.Магарил-Ильяевым и К.Ю.Осипенко
в работах \cite{MO} и \cite{MO1}, получаем, что имеют место
следующие теоремы:

\begin{theorem}
 $(p=2)$Пусть $\delta,\alpha$ и $\beta$---произвольные положительные числа. Положим
$$A=\{k:A_k=J_k,\ 1\leq k\leq k_0\},$$
$$J=\{1,2,\ldots,k_0\},$$
\begin{equation*}
\begin{aligned}
 k^{*}&=\begin{cases}
\min\bigr(k:\ k\in \mathbb{N}\backslash A\bigl),\quad\quad&
\delta^2<\widetilde{\lambda}_1^{-\beta},
\\1,&\delta^2\geq\widetilde{\lambda}_1^{-\beta},
\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation*}
где $\mathbb{N}$---множество натуральных чисел.

 Тогда
$$E_{N,\ 2}(W_2^\beta(Q),\alpha,\delta)
=\sqrt{\frac{1}{\widetilde{\lambda}_{{k^{*}}}^{\alpha+\beta}}+
\frac{\delta^2}{\widetilde{\lambda}_1^{\alpha}}\left[1-\left(\frac{\widetilde{\lambda}_1}{\widetilde{\lambda}_{k^{*}}}\right)^{(\alpha+\beta)}\right]}\quad,$$
а метод
\begin{equation*}
\begin{aligned}
 u(x)\approx\begin{cases}0,&
 k^{*}=1,\\
 \displaystyle\sum_{k=1}^{k^{*}-1}\frac{1}{\widetilde{\lambda}_k^{\alpha/2}}\left[1+\frac{\widetilde{\lambda}_k^\beta\widetilde{\lambda}_1^\alpha}{\widetilde{\lambda}_{k^{*}}^{\alpha+\beta}-\widetilde{\lambda}_1^{\alpha+\beta}}\right]^{-1}\sum_{j=1}^{r_k}y_{kj}\widetilde{\varphi}_{kj}(x)$$
,&k^{*}>1
\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation*}
является оптимальным.
\end{theorem}


В случае, когда $p=\infty,$ верна

\begin{theorem}
$(p=\infty)$Пусть $\alpha,\beta$ и $\delta$---произвольные
положительные числа. Положим
$$A_{k_0+1}=\emptyset,\ J_{k_0+1}=\{1,\ldots,r_k\},$$
$$k^*=\min(k:\ J_k\neq A_k,\ 1\leq k\leq k_0+1),$$
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\widetilde{k}=\begin{cases}0, & \delta^2\geq(\widetilde{\lambda}_1^\beta r_1)^{-1},\\
\max(k:\delta^2\displaystyle\sum_{l=1}^k\widetilde{\lambda}_l^\beta
r_k<1,1\leq k),&\delta^2<(\widetilde{\lambda}_1^\beta r_1)^{-1},
\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
m=\begin{cases}\widetilde{k}+1,&
\widetilde{k}+1<k^{*},\\
k^*,&\widetilde{k}+1\geq k^*.
\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation*}
Тогда

$1)$ если $m=1,$ то
$$E_{N,\infty}(W_2^\beta(Q),\alpha,\delta)=\frac{1}{\widetilde{\lambda}_1^{(\alpha+\beta)/2}}$$
и оптимальным является метод
$$u(x)\approx \widehat{\psi}(\widetilde{f^N})(x)\equiv0;$$

$2)$ если $m>1,$ то
$$E_{N,\infty}(W_2^\beta(Q),\alpha,\delta)=
\sqrt{\delta^2\sum_{j=1}^{m-1}(\widetilde{\lambda}_k^{-\alpha}-\widetilde{\lambda}_k^{-\beta}
\widetilde{\lambda}_m^{-(\alpha+\beta)})r_k+\widetilde{\lambda}_m^{-(\alpha+\beta)}}\
,$$
а метод
$$u(x)\approx\widehat{\psi}(\widetilde{f}^N)(x)=
\sum_{k=1}^{m-1}\sum_{j=1}^{r_k}\biggl[1-\biggl(\frac{\widetilde{\lambda}_k}
{\widetilde{\lambda}_m}\biggr)^{\alpha+\beta}\biggr]
y_{kj}\widetilde{\varphi}_{kj}(x)$$
 является оптимальным.
\end{theorem}
Пусть
$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^{r_k}\widetilde{a}_{kj}\widetilde{\varphi}_{kj}(x).$$
Назовем $k$---пачкой группу коэффициентов $\widetilde{a}_{kj},\
j=1,\ldots,r_k$ где $r_k$---размерность подпространства $\Phi_k\in
L_2(Q),$ базисом которого являются функции
$\widetilde{\varphi}_{k1}(x),\ldots,\widetilde{\varphi}_{kr_k}(x),$
соответствующие собственному значению $\widetilde{\lambda}_k.$


Пусть  $\widetilde{f}^N=\{y_{kj}\},\ k=1,\ldots,k_0$---вектор,
приближенно описывающий функцию $f(x)$ из правой части уравнения
\eqref{3}. Из результатов, полученных в теоремах 1 и 2, можно
сделать следующие выводы:

 $1)$ Если в $k$-пачке среди коэффициентов $y_{kj},\ 1\leq k\leq
 k_0,$ отсутствует хотя бы один коэффициент
 $y_{kj},$ (что соответствует выполнению условия $A_k\neq J_k),$ то ни один из коэффициентов этой пачки, равно как
 и ни один из коэффициентов всех следующих пачек (по возрастанию
 $k$), входящих в вектор $\widetilde{f}^N,$ при построении
 оптимального метода не используются.

$2)$ В случае $(p=\infty)$ количество коэффициентов, необходимых для
построения оптимального метода, может быть еще уменьшено, если
 $\widetilde{k}<k^*-1,$ где $k^*$---номер
первой по порядку неполной пачки. Тогда в построении оптимального
метода участвуют только $k$-пачки с номерами от 1 до $\widetilde{k}$
включительно.

При постановке задачи и при доказательстве теорем использо\-ваны
результаты, полученные в работах \cite{MO}, \cite{MO1}.

\section{Оптимальное восстановление решения волнового уравнения}

Поставим задачу оптимального восстановления решения волнового
уравнения. Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными
условиями и нулевой начальной скоростью
\begin{equation}\label{1}
\begin{aligned}
u_{tt}&=u_{xx},\\
u(0,t)&=u(\pi,t)=0,\\
u(x,0)&=f(x),\\
u_t(x,0)&=0.
\end{aligned}
\end{equation}
Точное решение этой задачи имеет вид
\begin{equation}\label{sol1}
u(x,t)=\sum_{j=1}^\infty a_j(f)\cos jt\sin jx,
\end{equation}
где
$$a_j(f)=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin jx\,dx$$
--- коэффициенты Фурье функции $f(x)$.

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых $N$
коэффициентов Фурье функции $f\cd$ \ $y_1,\ldots,y_N$, причем
\begin{equation}\label{d}
\sum_{j=1}^N|a_j(f)-y_j|^2\le\delta^2,\quad\delta>0.
\end{equation}
Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения
задачи \eqref1 в момент времени $T$ на классе $\WW$ по
информационному оператору $ F_\delta^N$, который каждой функции
$f\cd\in\WW$ сопоставляет множество векторов $y=(y_1,\ldots,y_N)$,
удовлетворяющих условию \eqref d.

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные
операторы $\varphi\colon\mathbb R^N\to L_2[0,\pi]$. {\it
Погрешностью восстановления\/} для данного метода $\varphi$ назовем
величину
\begin{multline*}
e(T,\WW,F_\delta^N,\varphi)\\
=\sup_{\substack{f\cd\in\WW,\ y=(y_1,\ldots,y)\in\mathbb
R^N\\\sum_{j=1}^N|a_j(f)-y_j|^2\le\delta^2}}\|u(\cdot,T)-\varphi(y)\cd\|_{
\LLL}.
\end{multline*}
Величина
$$E(T,\WW,F_\delta^N)=\inf_{\varphi\colon\mathbb R^N\to\LLL}e(T,\WW,F_\delta
^N,\varphi)$$ называется {\it погрешностью оптимального
восстановления}, а метод, на котором достигается нижняя грань,
называется {\it оптимальным методом восстановления}. Рассмотрим
теперь более общую задачу оптимального восстановления, к которой
сводится поставленная задача. Пусть оператор $Q\colon X\to l_2$
задан равенством
$$Qx=(\eta_1x_1,\eta_2x_2,\ldots),\ j\in\mathbb N,$$
где $x=(x_1,x_2,\ldots)\in X$, а
$$X=\biggl\{\,x=(x_1,x_2,\ldots):\|x\|_X=\biggl(\sum_{j=1}^\infty\nu_j|x_j|^
2\biggr)^{1/2}<\infty\,\biggr\},$$ $\nu_j>0$, $j\in\mathbb N$.
Положим $\mu _j=\eta_j^2$ и будем предполагать, что
$\mu_j/\nu_j\to0$ при $ j\to\infty $. Тогда при всех $x\in X$ \
$Qx\in l_2$. Нас интересует задача восстановления оператора $Q$ по
приближенным значениям первых $N$ компонент $x_1,\ldots,x_N$.

Перейдем к точной постановке задачи. Положим
$$W=\{\,x\in X:\|x\|_X\le1\,\}.$$
Будем считать, что для каждого $x\in W$ нам известен вектор
$y=(y_1,\ldots, y_N)$ такой, что
$$\|I_Nx-y\|_{l_2^N}=\biggl(\sum_{j=1}^N|x_j-y_j|^2\biggr)^{1/2}\le\delta$$
(здесь $I_Nx=(x_1,\ldots,x_N)$). В качестве методов восстановления
рассматриваются всевозможные отображения $\varphi\colon l_2^N\to
l_2$. Погрешность восстановления для данного метода $\varphi$
определяется равенством
$$e(Q,W,I_N,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in l_2^N\\\|I_Nx-y\|
_{l_2^N}\le\delta}}\|Qx-\varphi(y)\|_{l_2}.$$ Погрешностью
оптимального восстановления называется величина
$$E(Q,W,I_N,\delta)=\inf_{\varphi\colon l_2^N\to l_2}e(Q,W,I_N,\delta,
\varphi),$$ а метод, на котором достигается нижняя грань, называется
оптимальным методом восстановления оператора $Q$ на классе $W$ по
информации $I_N$, заданной с погрешностью в норме $l_2^N$.

Предположим, что $\nu_1<\ldots<\nu_N$, $\nu_{N+1}<\nu_{N+2}<\ldots$
и $ \lim_{j\to+\infty}\mu_j/\nu_j=0$. Обозначим через $e_j$,
$j=1,2,\ldots$,
--- стандартный базис в $l_2$
$$(e_j)_k=\begin{cases}1,&k=j,\\
0,&k\ne j,\end{cases}\quad k=1,2,\ldots\,.$$ Введем следующие
обозначения
$$A=\max_{1\le j\le N}\frac{\mu_j}{\nu_j},\quad B=\max_{j>N}\frac{\mu_j}{
\nu_j}.$$ Пусть $1\le p\le N$, $q>N$ и $p\le r\le N$ таковы, что
$$\frac{\mu_p}{\nu_p}=A,\quad\frac{\mu_q}{\nu_q}=B,\quad\mu_r-B\nu_r=\max_{
p\le j\le N}(\mu_j-B\nu_j)$$ (для однозначности будем считать, что
$p$ --- наибольшее, а $q$ и $r$ --- наименьшие из чисел, обладающих
соответствующим свойством). Пусть, кроме того, $s_{k+1}$ ---
наибольшее из чисел таких, что $s_k<s_{k+1}\le r$ и
$$\frac{\mu_{s_{k+1}}-\mu_{s_k}}{\nu_{s_{k+1}}-\nu_{s_k}}=\max_{s_k<j\le r}
\frac{\mu_{j}-\mu_{s_k}}{\nu_{j}-\nu_{s_k}},\quad
k=0,1,\ldots,m-1,$$ где $s_0=p$, $s_m=r$. Положим
\begin{gather*}
J_k=\left\{\,j\in\mathbb
N\cap[1,N]:\frac{\mu_j}{\nu_j}>\frac{\mu_{s_{k+1}}
-\mu_{s_k}}{\nu_{s_{k+1}}-\nu_{s_k}}\,\right\},\quad k=0,\ldots,m-1,\\
J_m=\left\{\,j\in\mathbb N\cap[1,N]:\frac{\mu_j}{\nu_j}>B\,\right\}.
\end{gather*}

Если нанести на плоскость точки $(\nu_j,\mu_j)$, то геометрический
смысл введенных величин виден из рис.~$\ref{ris}$, на котором $m=3$,
а $D_1$ --- область, в которую попадают точки из множества $J_1$.

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(350,200)
\put(0,10){\vector(1,0){300}} \put(10,0){\vector(0,1){200}}
\put(0,192){$\mu$} \put(294,0){$\nu$} \put(10,10){\line(1,3){20}}
\put(30,70){\circle*{4}} \put(30,70){\line(1,2){20}}
\put(50,110){\circle*{4}} \put(50,110){\line(1,1){40}}
\put(90,150){\circle*{4}} \put(90,150){\line(3,1){60}}
\put(150,170){\circle*{4}} \put(150,170){\line(6,1){100}}
\put(10,10){\line(1,1){170}} \put(10,10){\line(6,1){260}}
\put(30,10){\circle*{2}} \put(26,0){$\nu_{s_0}$}
\put(46,0){$\nu_{s_1}$} \put(50,10){\circle*{2}}
\put(90,10){\circle*{2}} \put(86,0){$\nu_{s_2}$}
\put(150,10){\circle*{2}} \put(146,0){$\nu_{s_3}$}
\put(190,40){\circle{4}} \put(186,0){$\nu_q$}
\put(190,10){\circle*{2}} \put(70,100){$D_1$}
\put(120,100){\circle*{4}} \put(96,120){\circle*{4}}
\put(35,50){\circle*{4}} \put(60,40){\circle*{4}}
\put(140,160){\circle*{4}} \put(190,170){\circle*{4}}
\put(180,70){\circle*{4}} \put(180,70){\circle*{4}}
\put(100,15){\circle{4}} \put(130,25){\circle{4}}
\put(200,15){\circle{4}} \put(260,40){\circle{4}}
\put(240,142){\circle*{4}} \put(250,140){--- $(\nu_j,\mu_j),\ j\le
N$} \put(240,122){\circle{4}} \put(250,120){--- $(\nu_j,\mu_j),\
j>N$} \put(78,15){\circle*{4}} \put(156,25){\circle*{4}}
\multiput(30,10)(0,4){16}{\circle*{1}}
\multiput(50,10)(0,4){26}{\circle*{1}}
\multiput(90,10)(0,4){36}{\circle*{1}}
\multiput(150,10)(0,4){40}{\circle*{1}}
\multiput(190,10)(0,4){8}{\circle*{1}} \put(60,120){\circle*{4}}
\end{picture}$$
\caption{\ }\label{ris}
\end{figure}

\begin{theorem}\label{T1}
При $B\ge A$ для всех $\delta>0$
$$E(Q,W,I_N,\delta)=\sqrt{\frac{\mu_q}{\nu_q}},$$
а метод $\wv(y)=0$ --- оптимальный. Если $B<A$, то
\begin{itemize}
\item[$(i)$] при $\delta\ge\dfrac1{\sqrt{\nu_p}}$
$$E(Q,W,I_N,\delta)=\sqrt{\frac{\mu_p}{\nu_p}},$$
а метод $\wv(y)=0$ --- оптимальный;
\item[$(ii)$] при $\dfrac1{\sqrt{\nu_{s_{k+1}}}}\le\delta<\dfrac1{\sqrt{\nu
_{s_k}}}$, $k=0,1,\ldots,m-1$,
$$E(Q,W,I_N,\delta)=\sqrt{\mu_{s_k}\frac{\nu_{s_{k+1}}\delta^2-1}{\nu_{s_{k
+1}}-\nu_{s_k}}+\mu_{s_{k+1}}\frac{1-\delta^2\nu_{s_k}}{\nu_{s_{k+1}}-\nu_{
s_k}}},$$ а метод
$$\wv(y)=\sum_{j\in J_k}\eta_j\left(1+\frac{\mu_{s_{k+1}}-\mu_{s_k}}{\mu
_{s_k}\nu_{s_{k+1}}-\mu_{s_{k+1}}\nu_{s_k}}\nu_j\right)^{-1}y_je_j$$
--- оптимальный;
\item[$(iii)$] при $\delta<\dfrac1{\sqrt{\nu_r}}$
$$E(Q,W,I_N,\delta)=\sqrt{\mu_r\delta^2+\mu_q\frac{1-\delta^2\nu_r}{\nu_q}}
,$$ а метод
$$\wv(y)=\sum_{j\in J_m}\eta_j\left(1+\frac{\mu_q}{\mu_r\nu_q-\mu_q\nu_r
}\nu_j\right)^{-1}y_je_j$$
--- оптимальный.
\end{itemize}
\end{theorem}

Вернемся к задаче оптимального восстановления решения волнового
уравнения. Если $f\cd\in\WW$, то
$$f(x)=\sum_{j=1}^\infty a_j(f)\sin jx,$$
где
$$\sum_{j=1}^\infty j^{2n}a_j^2(f)\le1,$$
т.е.\ $\nu_j=j^{2n}$. Соответственно $\mu_j=\cos^2jT$. В
соответствии с введенными обозначениями
$$A=\max_{1\le j\le N}\frac{\cos^2jT}{j^{2n}}=\frac{\cos^2pT}{p^{2n}},
\quad B=\max_{j>N}\frac{\cos^2jT}{j^{2n}}=\frac{\cos^2qT}{q^{2n}},$$
$r$ определяется из условия
$$\cos^2rT-Br^{2n}=\max_{p\le j\le N}(\cos^2jT-Bj^{2n}),$$
последовательность $s_{k+1}$ определяется равенствами
\begin{multline*}
\frac{\cos^2s_{k+1}T-\cos^2s_kT}{s_{k+1}^{2n}-s_k^{2n}}=\max_{s_k<j\le
r}
\frac{\cos^2jT-\cos^2s_kT}{j^{2n}-s_k^{2n}},\\
k=0,1,\ldots,m-1,
\end{multline*}
где $s_0=p$, $s_m=r$, а
\begin{multline*}
J_k=\left\{\,j\in\mathbb
N\cap[1,N]:\frac{\cos^2jT}{j^{2n}}>\frac{\cos^2s_{
k+1}T-\cos^2s_kT}{s_{k+1}^{2n}-s_k^{2n}}
\,\right\},\\
k=0,\ldots,m-1,
\end{multline*}
$$J_m=\left\{\,j\in\mathbb N\cap[1,N]:\frac{\cos^2jT}{j^{2n}}>B\,\right\}.$$

Из теоремы~\ref{T1} вытекает
\begin{corollary}
При $B\ge A$ для всех $\delta>0$ оптимальный метод восстановления
волнового уравнения
$$u(x,T)\approx0,$$
a для его погрешности справедливо равенство
$$E(T,\WW,F_\delta^N)=\frac{|\cos qT|}{q^n}.$$
Если $B<A$, то
\begin{itemize}
\item[$(i)$] при $\delta\ge p^{-n}$
$$E(T,\WW,F_\delta^N)=\frac{|\cos pT|}{p^n},$$
а метод $u(x,T)\approx0$ --- оптимальный;
\item[$(ii)$] при $s_{k+1}^{-n}\le\delta<s_k^{-n}$, $k=0,1,\ldots,m-1$,
$$E(T,\WW,F_\delta^N)=\sqrt{\frac{s_{k+1}^{2n}\delta^2-1}{s_{k+1}^{2n}-s_k^
{2n}}\cos^2s_kT+\frac{1-\delta^2s_k^{2n}}{s_{k+1}^{2n}-s_k^{2n}}\cos^2s_{k+
1}T},$$ а метод
\begin{multline*}
u(x,T)\\
\approx\sum_{j\in
J_k}\left(1+\frac{\cos^2s_{k+1}T-\cos^2{s_k}T}{s_{k+1}^{2n}
\cos^2s_kT-s_k^{2n}\cos^2s_{k+1}T}j^{2n}\right)^{-1}y_j\cos jT\sin
jx
\end{multline*}
--- оптимальный;
\item[$(iii)$] при $\delta<r^{-n}$
$$E(T,\WW,F_\delta^N)=\sqrt{\delta^2\cos^2rT+\frac{1-\delta^2r^{2n}}{q^{2n}
}\cos^2qT},$$ а метод
$$u(x,T)\approx\sum_{j\in J_m}\left(1+\frac{\cos^2qT}{q^{2n}\cos^2rT-r^{2n}
\cos^2qT}j^{2n}\right)^{-1}y_j\cos jT\sin jx$$
--- оптимальный.
\end{itemize}
\end{corollary}




В процессе доказательства показано, что метод, в котором
суммирование берется не по всем $1\le j\le N$, а лишь из множества
$J_k$, тоже будет оптимальным. При этом погрешность оптимального
восстановления не увеличивается, а число используемых исходных
данных, вообще говоря, сократится.

\section{Об оптимальном восстановлении решения системы линейных
однородных дифференциальных уравнений}

Рассмотрим задачу Коши для системы линейных однородных
дифференциальных уравнений
\begin{equation}\label{a}
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}=Ax,\\
x(0)=x_0,
\end{aligned}
\end{equation}
где $x(t)\in\mathbb R^n$, $t\ge0$ и
$$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} &\ldots & a_{1n}\\\notag \vdots & \vdots &\ldots &
\vdots\\\notag a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{nn}
\end{pmatrix},\quad a_{ij}\in\mathbb R.$$

Предположим, что решение задачи \eqref{a} известно с некоторыми
погрешностями в моменты $t=0$ и $t=T$. Требуется восстановить
решение в момент $\tau$, $0<\tau<T.$ При этом
\begin{align*}
\|x_0-\wx_0\|&\le\delta_0,\\
\|x(T)-\wx_T\|&\le\delta_T.\\
\end{align*}
Здесь и далее $\|\cdot\|$ --- евклидова норма в $\mathbb R^n$,
$\delta_0,\delta_T>0$. Зная векторы $\wx_0$ и $\wx_T$, надо по
возможности точнее определить приближенное значение вектора
$x(\tau)$.

В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные
отображения
$$\varphi\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n.$$
Отметим, что заранее мы не требуем каких-либо дополнительных свойств
этих отображений, например, непрерывности или линейности.

Погрешностью метода $\varphi$ назовем величину
$$e_\tau(\delta_0,\delta_T,\varphi)=\sup_{\substack{x_0,\wx_0,\wx_T\in\mathbb R^n\\
\|x_0-\wx_0\|\le\delta_0\\
\|x(T)-\wx_T\|\le\delta_T}}\|x(\tau)-\varphi(\wx_0,\wx_T)\|.$$
Погрешностью оптимального восстановления будем называть величину
$$E_\tau(\delta_0,\delta_T)=\inf_{\varphi\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n}
e_\tau(\delta_0,\delta_T,\varphi),$$
а метод, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным
методом восстановления. Задача состоит в нахождении погрешности
оптимального восстановления и оптимального метода восстановления.

В основе решения сформулированной задачи лежит метод оптимального
восстановления линейных операторов, изложенный в работах \cite{MO} и
\cite{MO1} (см.\ также \cite{Os}). Центральным моментом в этом
методе является сведение исходной задачи к некоторой экстремальной
задаче с ограничениями, сводящейся в рассматриваемом случае к задаче
линейного программирования, которую удается точно решить с помощью
принципа Лагранжа снятия ограничений. Для задач оптимального
восстановления решений уравнений в частных производных этот метод
применялся в работах \cite{MOT}---\cite{VO}.

Предположим, что матрица $A$ является самосопряженной,
$$\mu_1<\mu_2<\ldots<\mu_m$$
--- собственные числа матрицы $A$ и $r_k$ --- кратность собственного числа $\mu_k$,
 $k=1,\ldots,m$. Обозначим через $\{e_{k,j}\}_{j=1}^{r_k}$ ортонормированную систему векторов, соответствующую собственному значению $\mu_k$. Тогда система векторов
$$e_{11},\ldots,e_{1r_1},\ldots,e_{m1},\ldots,e_{mr_m}$$
является ортонормированным базисом в $\mathbb R^n$.

Положим
\begin{equation}\label{L}
\begin{aligned}
\wl_1&=\begin{cases}\dfrac{e^{2\mu_{i+1}(T-\tau)}-{e^{2\mu_i(T-\tau)}}}
{e^{-2\tau(\mu_i+\mu_{i+1})}(e^{2\mu_{i+1}T}-e^{2\mu_{i}T})},&
\delta_0e^{\mu_iT}\le\delta_T<\delta_0e^{\mu_{i+1}T},\\
&\hspace{45pt}i=1,\ldots,m-1,\\
e^{2\mu_m\tau},&
\delta_T\ge\delta_0e^{\mu_mT},\\
0,& \delta_T<\delta_0e^{\mu_1T}.
\end{cases}\\[10pt]
\wl_2&=\begin{cases}\dfrac{e^{-2\mu_i\tau}-e^{-2\mu_{i+1}\tau}}
{e^{-2\tau(\mu_i+\mu_{i+1})} (e^{2\mu_{i+1}T}-e^{2\mu_{i}T})},
&\delta_0e^{\mu_iT}\le\delta_T<\delta_0e^{\mu_{i+1}T},\\
&\hspace{45pt}i=1,\ldots,m-1,\\
0,&\delta_T\ge\delta_0e^{\mu_mT},\\
e^{-2\mu_1(T-\tau)},&\delta_T<\delta_0e^{\mu_1T}.\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}


\begin{theorem}
Для погрешности оптимального восстановления решения задачи \eqref{a}
в момент $\tau$ справедливо равенство
$$E_\tau(\delta_0,\delta_T)=\sqrt{\wl_1\delta_0^2+\wl_2\delta_T^2},$$
при этом метод
\begin{equation}\label{m}
\wm(\wx_0,\wx_T)=\sum_{k=1}^me^{\mu_k\tau}\sum_{j=1}^{r_k}\frac{\wl_1\wx_{0kj}+\wl_2
\wx_{Tkj}e^{\mu_k T}} {\wl_1+\wl_2e^{2\mu_k T}}e_{kj},
\end{equation}
где $\wx_{0kj}$ и $\wx_{Tkj}$ --- координаты векторов $\wx_0$ и
$\wx_T$
\begin{align*}
\wx_0&=\sum_{k=1}^m\sum_{j=1}^{r_k}\wx_{0kj}e_{kj},\\
\wx_T&=\sum_{k=1}^m\sum_{j=1}^{r_k}\wx_{Tkj}e_{kj},
\end{align*}
является оптимальным.
\end{theorem}

Предположим теперь, что нам известны лишь приближенные данные
$\wx_T$ с погрешностью $\delta_T$ о решении в момент времени $T$, а
о начальном значении решения известна априорная информация в виде
ограничения $\|x_0\|\le\delta_0$. Требуется восстановить значение
решения в момент времени $\tau$, $0<\tau<T$ Погрешностью
оптимального восстановления в этой задаче будем называть величину
\begin{equation} \label{ET}
E^T_\tau(\delta_0,\delta_T)=\inf_{\varphi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n}
\sup_{\substack{x_0,\wx_T\in\mathbb R^n\\
\|x_0\|\le\delta_0\\
\|x(T)-\wx_T\|\le\delta_T}}\|x(\tau)-\varphi(0,\wx_T)\|.
\end{equation}
Можно рассмотреть также задачу об оптимальном восстановлении в
момент времени $\tau$ решения задачи \eqref{a} по приближенным
значениям в начальный момент времени $\wx_0$, заданным с
погрешностью $\delta_0$, и априорной информации в виде ограничения в
правом конце $\|x(T)\|\le\delta_T$. Здесь погрешностью оптимального
восстановления называется величина
\begin{equation}\label{E0}
E^0_\tau(\delta_0,\delta_T)=\inf_{\varphi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n}
\sup_{\substack{x_0,\wx_0\in\mathbb R^n\\
\|x_0-\wx_0\|\le\delta_0\\
\|x(T)\|\le\delta_T}}\|x(\tau)-\varphi(\wx_0,0)\|.
\end{equation}
Методы, на которых достигается нижняя грань в задачах \eqref{ET} и
\eqref{E0}, называются оптимальными для соответствующих задач.

\begin{theorem}
Имеют место равенства
$$E^T_\tau(\delta_0,\delta_T)=E^0_\tau(\delta_0,\delta_T)=
\sqrt{\wl_1\delta_0^2+\wl_2\delta_T^2},$$ где $\wl_1$ и $\wl_2$
определены равенствами \eqref{L}, при этом метод $\wm(0,\wx_T)$
является оптимальным для задачи \eqref{ET}, а метод $\wm(\wx_0,0)$
--- оптимальным для задачи \eqref{E0} $(\wm$ определяется равенством
\eqref{m}$)$.
\end{theorem}

В заключении выпишем в более подробном виде оптимальный метод
восстановления для задачи $\eqref{ET}$. При
$\delta_T\ge\delta_0e^{\mu_mT}$ $$\wm(0,\wx_T)=0.$$ Этот случай
соответствует слишком большой погрешности в наблюдаемых данных,
которая не дает возможности воспользоваться этими данными. При
$\delta_T<\delta_0e^{\mu_1T}$
$$\wm(0,\wx_T)=\sum_{k=1}^me^{\mu_k(\tau-T)}\sum_{j=1}^{r_k}\wx_{Tkj}e_{kj}.$$
Этот случай соответствует слишком большой погрешности в априорных
данных. Наконец, в промежуточных случаях, когда
$\delta_0e^{\mu_iT}\le\delta_T<\delta_0e^{\mu_{i+1}T}$,
$i=1,\ldots,m-1$, имеем
$$\wm(0,\wx_T)=\sum_{k=1}^me^{\mu_k(\tau-T)}\sum_{j=1}^{r_k}(\wl_1/\wl_2+e^{2\mu_k T})^{-1}\wx_{Tkj}e_{kj}.$$


\section{Об оптимальном восстановлении последовательности, заданной неточно}

Пусть $\{x_k\}_{k\in \mathbb{Z}}-$ числовая последовательность,
принадлежащая классу
\begin{gather*}
l_2^1=\{\{x_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l_2,
\sum_{k\in\mathbb{Z}}(x_{k+1}-x_k)^2 \leq 1\}.
\end{gather*}
Предположим, что вместо $\{x_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$ известна
последовательность
$$\{\widetilde{x}_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l_2,$$
такая, что
$$\sum_{k\in\mathbb{Z}}(x_{k}-\widetilde{x}_k)^2 \leq
\delta ^2.$$ Рассматривается задача восстановления значения $x_0$ по
информации о $\{\widetilde{x}_k\}_{k\in\mathbb{Z}}.$
 Под методами восстановления будем понимать всевозможные отображения
$$\varphi:l_2\rightarrow \mathbb{R}. $$
Погрешностью метода $\varphi$ назовем величину
\begin{equation}
e(\delta,\varphi)\notag\\
=\sup_{\substack{\{x_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l_2^1,\\
\{\widetilde{x}_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l_2,\\
\sum_{k\in\mathbb{Z}}{(x_{k}-\widetilde{x}_k)^2}\leq \delta ^2}}
|x_0-\varphi(\{\widetilde{x}_k\}_{k\in\mathbb{Z}})|,
\end{equation}
 а погрешностью оптимального восстановления
--- величину
$$E(\delta)=
\inf_{\varphi:l_2^1\rightarrow\mathbb{R}}e(\delta,\varphi).$$
 Метод, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.
Согласно общей теории (см.\cite{MO}, \cite{MO1}) вычисление погрешности оптимального
восстановления сводится к решению следующей экстремальной задачи
\begin{equation}
E(\delta)=\sup_{\substack{\{x_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in
l_2^1,\notag\\\sum_{k\in\mathbb{Z}}{x_{k}}^2 \leq \delta ^2} }|x_0|.
\end{equation}
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
\begin{equation}
L(\{x_k\}_{k\in\mathbb{Z}},\lambda_1,\lambda_2)=-x_0+
\lambda_1\sum_{k\in\mathbb{Z}}{x_{k}}^2+\lambda_2\sum_{k\in\mathbb{Z}}(x_{k+1}-x_k)^2.\notag
\end{equation}
 Необходимые условия экстремума функции Лагранжа
приводят к уравнениям
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial x_0}=0 \Rightarrow
2\lambda_2x_1-2(\lambda_1+2\lambda_2)x_0+2\lambda_2x_{-1}=-1\label{vvedenskaya
1.1}
\end{equation}

\begin{equation}
 \frac{\partial L}{\partial x_j}=0 \Rightarrow
x_{j+1}-\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}+2\right)
x_j+x_{j-1}=0\label{vvedenskaya 1.2}
\end{equation}

Будем искать решение (\ref{vvedenskaya 1.1}) и (\ref{vvedenskaya
1.2}) в виде
\begin{equation}
x_j=x_0\mu^{|j|}, j\in\mathbb{Z}.\label{vvedenskaya 1.3}
\end{equation}
При этом из (\ref{vvedenskaya 1.1}) следует
\begin{multline}
\mu_1=\mu=\frac{\lambda_1}{2\lambda_2}+1-\sqrt{{\left(
\frac{\lambda_1}{2\lambda_2}+1\right)}^2-1}<1,\\
\mu_2=\frac{1}{\mu}=\frac{\lambda_1}{2\lambda_2}+1+\sqrt{{\left(
\frac{\lambda_1}{2\lambda_2}+1\right)}^2-1}>1 \label{vvedenskaya
1.4}
\end{multline}
Из (\ref{vvedenskaya 1.4}) видно, что $\mu>0.$ Из (\ref{vvedenskaya
1.3}) и из равенства $\sum_{k\in\mathbb{Z}}{x_{k}}^2=\delta ^2$
получим ${x_0}^2\left(1+\frac{2\mu^2}{1-\mu^2}\right)=\delta^2$,
откуда
\begin{equation}
{x_0}^2=\delta^2\frac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\label{vvedenskaya 1.5}
\end{equation}
Из того, что
$$\sum_{k\in\mathbb{Z}}{(x_{k+1}-x_{k})^2}=1,$$
 вытекает равенство
$\sum_{k\in\mathbb{Z}}{{x_0}^2(\mu^{|k+1|}-\mu^{|k|})^2}=1$, из
которого следует
\begin{equation}
{x_0}^2=\frac{1+\mu}{2(1-\mu)}.\label{vvedenskaya 1.6}
\end{equation}
 Из (\ref{vvedenskaya 1.5}) и (\ref{vvedenskaya 1.6}) получим
\begin{equation}
\mu=\frac{2\delta^2-\sqrt{4\delta^2-1}}{2\delta^2-1}\label{vvedenskaya
1.7},\quad \delta>\frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation}
Из (\ref{vvedenskaya 1.6}) и (\ref{vvedenskaya 1.7}) следует, что
\begin{equation}
\widehat{x}_0=\frac{\sqrt[4]{4\delta^2-1}}{\sqrt{2}}.\label{vvedenskaya
1.8}
\end{equation}
Здесь $\{\widehat{x}_k\},\widehat{\lambda}_1,\widehat{\lambda}_2-$
это последовательность из $l_2$ и множители Лагранжа, для которых
выполняются необходимые условия (\ref{vvedenskaya 1.1}) и
(\ref{vvedenskaya 1.2}). Из равенства (\ref{vvedenskaya 1.1})
учитывая, что $\widehat{x}_1=\widehat{x}_0\mu=\widehat{x}_{-1},$
получим, используя (\ref{vvedenskaya 1.2}), (\ref{vvedenskaya 1.3}),
(\ref{vvedenskaya 1.4}), а также легко проверяемое равенство
$\widehat{\lambda}_1=\frac{2\widehat{\lambda}_2}{2\delta^2-1},$
\begin{equation}
\widehat{\lambda}_1=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{{(4\delta^2-1)}^3}},\quad\notag
\widehat{\lambda}_2=\frac{2\delta^2-1}{2\sqrt{2}\sqrt[4]{{(4\delta^2-1)}^3}}.
\end{equation}
Итак, справедливы следующие теоремы

\begin{theorem}\label{T1}
Для любой последовательности $\{x_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l_2^1$
\\при $\delta>\frac{1}{\sqrt{2}}$ имеет место тождество
\begin{equation}
x_0=2\widehat{\lambda}_1\sum_{k\in\mathbb{Z}}x_k
\widehat{x}_k+2\widehat{\lambda}_2\sum_{k\in\mathbb{Z}}(x_{k+1}-x_k)
(\widehat{x}_{k+1}-\widehat{x}_k),\label{vvedenskaya 1.9}
\end{equation}
где
\begin{equation}
\widehat{\lambda}_1=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{{(4\delta^2-1)}^3}},\quad\notag
\widehat{\lambda}_2=\frac{2\delta^2-1}{2\sqrt{2}\sqrt[4]{{(4\delta^2-1)}^3}},
\end{equation}
а $\widehat{x}_k=\widehat{x}_0\mu^{|k|},$ где
$\widehat{x}_0=\frac{\sqrt[4]{4\delta^2-1}}{\sqrt{2}},$ а
$\mu=\frac{2\delta^2-\sqrt{4\delta^2-1}}{2\delta^2-1}.$
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{T2}
При $\delta>\frac{1}{\sqrt{2}}$
$$E(\delta)=2\widehat{\lambda}_1
 {\delta}^2+2\widehat{\lambda}_2$$
а метод
\begin{equation}
\widehat{\varphi}(\{\widetilde{x}_k\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l_2)=
2\widehat{\lambda}_1\sum_{k\in\mathbb{Z}}\widehat{x}_k\widetilde{x}_k
\label{vvedenskaya 1.10}
\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

\section{Оптимальное восстановление решения интегрального уравнения Фредгольма по неточной информации}

Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода с ядром, зависящим от модуля разности аргументов:
\begin{equation}\label{agareva_1.1}
f(t) + \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\left| {t - x} \right|\;} f(x)\;d\,x = g(t).
\end{equation}
Считаем, что функция $g(t)$ --- четная, тогда ее ряд Фурье:
\begin{equation}\label{agareva_1.2}
g(t) = \frac{{{\rm a}_0 \left( g \right)}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{\rm a}_n \left( g \right)} \cos \;nt,
\end{equation}
где коэффициенты Фурье
\[
{\rm a}\,_n \left( g \right) = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi  {g\left( x \right)\cos \;nx} \;dx.
\]
Ряд Фурье для ядра уравнения (\ref{agareva_1.1}) имеет вид:
\begin{equation}\label{agareva_1.3}
\left| {t - x} \right| = \frac{\pi }{2} - \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{\cos \left( {\left( {2n + 1} \right)\left( {t - x} \right)} \right)}}{{\left( {2n + 1} \right)^2 }}} .
\end{equation}
Решение уравнения (\ref{agareva_1.1}) ищем в виде ряда:
\begin{equation}\label{agareva_1.4}
f(t) = \frac{{{\rm c}_0 }}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{\rm c}_n } \cos \;nt.
\end{equation}
Подставляем (\ref{agareva_1.2}), (\ref{agareva_1.3}), (\ref{agareva_1.4}) в (\ref{agareva_1.1}), получаем коэффициенты Фурье:
\[
{\rm c}_0  = \frac{{{\rm a}_0 \left( g \right)}}{{1 + \pi ^2 }};\quad {\rm c}_{2n}  = {\rm a}_{2n} \left( g \right);\quad {\rm c}_{2n + 1}  = \frac{{{\rm a}_{2n + 1} \left( g \right)}}{{1 - \frac{4}{{\left( {2n + 1} \right)^2 }}}}.
\]

Тогда точное решение (\ref{agareva_1.4}) задачи (\ref{agareva_1.1}) запишется в виде:
\begin{equation}\label{agareva_1.5}
f(t) = \frac{{{\rm a}_0 \left( g \right)}}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{\rm a}_{2n} \left( g \right)} \cos \;2nt + \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{\;{\rm a}_{2n + 1} \left( g \right)\cos \;\left( {2n + 1} \right)t}}{{1 - \frac{4}{{\left( {2n + 1} \right)^2 }}}}} .
\end{equation}


Предположим, что $g(t)\in\WT$, где
\begin{multline*}
\WT=\{\,f\cd\in\LLT:f^{(r-1)}\cd\mbox{ абс. непр. на }[-\pi,\pi],\\
\|f^{(r)}\cd\|_{\LLT}\le1\,\},
\end{multline*}
а
\[
\left\| {g\left(  \cdot  \right)} \right\|_{\;L_2 \left( {\left[ { - \pi ;\pi } \right]} \right)}  = \sqrt {\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi  {\left| {g\left( t \right)} \right|^2 dt} } .
\]


Будем считать, что нам известны приближенные значения первых  $N+1$
коэффициентов Фурье функции $g\cd$, $y_0,y_1,\ldots,y_N$, причем
\begin{equation}\label{agareva_1.6}
\sum\limits_{i = 0}^N {\left| {{\rm a}_i \left( g \right) - y_i } \right|^2  \le \delta ^2 } ,\quad \delta  > 0.
\end{equation}

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения
задачи (\ref{agareva_1.1}) на классе $W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi }
\right]} \right)$
 по информационному оператору
$F_\delta ^{N + 1}$, который каждой функции $g(t) \in {\rm  }W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]}
\right)$
 сопоставляет множество векторов $y = (y_0, y_1,\ldots,y_N)$, удовлетворяющих
 условию (\ref{agareva_1.6}).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные
операторы ${\rm \varphi }:\;\;R^{N + 1}  \to {\rm  }L_2 \;\left(
{\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right).$ \ Погрешностью
восстановления для данного метода $\varphi$ назовем величину


\[
\begin{array}{l}
 e\left( {W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right),\;F_\delta ^{N + 1} ,\;{\rm \varphi }} \right){\rm  = } \\
 \quad \quad {\rm  = }\mathop {\sup }\limits_{\scriptstyle g(t) \in {\rm  }W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right),\;y = \left( {y_0 ,...,y_N } \right) \in R^{N + \,1}  \hfill \atop
  {\scriptstyle \quad \quad \quad \;\; \hfill \atop
  \scriptstyle \quad \quad \quad \quad \;\;\sum\limits_{i = 0}^N {\left| {\;{\rm a}_i \left( g \right) - y_i } \right|^2  \le \delta ^2 }  \hfill}} \left\| {f\left(  \cdot  \right) - {\rm \varphi }\left( y \right)\left(  \cdot  \right)} \right\|_{\;L_2 \left( {\left[ { - \pi ,\pi } \right]} \right)} . \\
 \end{array}
\]
Величина

\begin{multline*}
E(W_2^r,\WT,F_\delta ^{N + 1})\\
=\inf\limits_{{\rm \varphi :}\;\;{\rm R}^{N + \,1}  \to {\rm  }L_2 \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right)} e\left( {W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right),\;F_\delta ^{N + 1} ,\;{\rm \varphi }} \right)
\end{multline*}
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.

Из общих результатов о задачах восстановления вытекает следующая оценка снизу
\[
E\left( {W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right),\;F_\delta ^{N + 1} } \right) \ge \mathop {\sup }\limits_{\scriptstyle g(t) \in W_2^r \;\left( {\left[ { - \pi ;\,\pi } \right]} \right) \hfill \atop
  \scriptstyle \left\| {\,{\rm a}\left( g \right) - y{\kern 1pt} } \right\|\;_{L^{N + 1} }  \le \delta  \hfill} \left\| {\quad \left\| {f\left(  \cdot  \right)} \right\|_{\;L_2 \left( {\left[ { - \pi ;\pi } \right]} \right)} } \right\|
\]
Экстремальная задача, стоящая в правой части этого неравенства  может быть переписана в виде (для удобства переходим к квадрату ее значения):

\[
\frac{{{\rm a}_0^2 \left( g \right)}}{{4\left( {1 + \pi ^2 } \right)^2 }} + \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{\rm a}_{2n}^2 \left( g \right)}  + \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\;{\rm a}_{2n + 1}^2 \left( g \right)}}{{\left( {1 - \frac{4}{{\left( {2n + 1} \right)^2 }}} \right)^2 }}}  \to \max
\]
\[
\sum\limits_{n = 0}^N {{\rm a}_n^2 \left( g \right)}  \le \delta ^2 ;\quad \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{\rm a}_n^2 \left( g \right)} \;n^{2r}  \le 1.
\]
Положим
\[
\begin{array}{l}
 {\rm a}_n^2 \left( g \right) = u_n ;\quad \mu _0  = \frac{1}{{4\left( {1 + \pi ^2 } \right)^2 }};\;\;\;\mu _{2n}  = \pi ;\quad n = 1,2,..;\; \\
 \;\mu _{2n + 1}  = \frac{\pi }{{\left( {1 - \frac{4}{{\left( {2n + 1} \right)^2 }}} \right)^2 }};\quad \nu _n  = \pi n^{2r} ;\quad n = 0,\;1,\;2,\,... \\
 \end{array}
\]

Тогда экстремальная задача  примет вид:
\[
\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\mu _n u_n }  \to \max ,\quad u_n  \ge 0;\quad \sum\limits_{n = 0}^N {u_n }  \le \delta ^2 ;\quad \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\nu _n u_n } \; \le 1.
\]
Введем функцию Лагранжа для этой задачи

\[
L\left( {\left\{ {u_n } \right\}_0^\infty  ,\;\lambda _1 ,\;\lambda _2 } \right) = \sum\limits_{n = 0}^N {\left( { - \mu _n  + \lambda _1  + \lambda _2 \nu _n } \right)u_n }  + \sum\limits_{n = N + 1}^\infty  {\left( { - \mu _n  + \lambda _2 \nu _n } \right)u_n } .
\]

Используя работы \cite{MO}, \cite{MO1} и \cite{VO}, получаем следующие результаты.

\medskip

\bf{ Случай 1.} $r=1$.

\medskip

 \it {I).При $\delta  \ge \frac{1}{{3\sqrt \pi}}$ $E = \frac{3}{5}$, $\
\text{а метод}\; f(t)\approx{0} \text{ --- оптимальный}. $

\medskip

II). При $\delta  < \frac{1}{{3\sqrt \pi}}.$



a) Если $N$--- четное, то  \ $E = \sqrt {\frac{{81}}{{25}}\pi \delta ^2  + \frac{{1 - 9\pi \delta ^2 }}{{\left( {N - 3} \right)^2 }}} $, а оптимальный метод
$$
\begin{array}{l}
 {\rm  f(t)} \approx \frac{{y_0 }}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}}{\rm  + }\; \\
  + \sum\limits_{n = 1}^{\frac{N}{2}} {\left( {\left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n} \,{\rm cos2nt + }\frac{{\left( {2n - 1} \right)^2 \left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n - 1} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n - 1} \,{\rm cos}\left( {{\rm 2n - 1}} \right){\rm t}}}{{\left( {2n - 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}} \right)} ,\;\; \\
 b\left( N \right) = \frac{1}{{9\pi \left( {\left[ {\frac{{3\left( {N - 1} \right)\left( {N + 3} \right)}}{{5\left( {N + 1} \right)}}} \right]^2  - 1} \right)}},$ $ \nu _k  = \pi k^{2}. \\

 \end{array}
$$


б) Если $N$--- нечетное, то  \ $E = \sqrt {\frac{{81}}{{25}}\pi \delta ^2  + \frac{{1 - 9\pi \delta ^2 }}{{\left( {N + 1} \right)^2 }}}$ , а оптимальный метод

\[
\begin{array}{l}
 {\rm f(t)} \approx \frac{{y_0 }}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}}{\rm  + } \\
 {\rm  + }\sum\limits_{n = 1}^{\frac{{N - 1}}{2}} {\left( {\left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n} \,{\rm cos2nt}\;{\rm  + }\frac{{\left( {2n - 1} \right)^2 \left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n - 1} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n - 1} \,{\rm cos}\left( {{\rm 2n - 1}} \right){\rm t}}}{{\left( {2n - 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}} \right),} \; \\
 b\left( N \right) = \frac{1}{{9\pi \left( {\left[ {\frac{{3\left( {N + 1} \right)}}{5}} \right]^2  - 1} \right)}},$ $ \nu _k  = \pi k^{2}. \\
 \end{array}
\]
}

\medskip

\bf{ Случай 2.} \it {$r\geq2 (r\neq\infty)$.
\medskip

I). При $\delta  \ge \frac{1}{{\sqrt \pi  }}$\  $E = \frac{1}{3}$, $\text{а метод}\; f(t)\approx{0} \text{ --- оптимальный}$.


II).
а) При $\frac{1}{{2\sqrt \pi  }} \le \delta  < \frac{1}{{\sqrt \pi  }}$\ \ $E = \sqrt {\frac{{\pi \delta ^2 \left( {2^{2r}  - 9} \right) + 8}}{{2^{2r}  - 1}}} \;$, а оптимальный метод

\[
\begin{array}{l}
 {\rm  f(t)} \approx \frac{{y_0 }}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}}{\rm  + }\left( {1 + b} \right)^{ - 1} {\rm y}_1 \,{\rm cos}\;{\rm t  + }\;\left( {1 + b2^{2r} } \right)^{ - 1} {\rm y}_2 \,{\rm cos}\;{\rm 2t}{\rm ,} \\
 b = \frac{8}{{\left( {2^{2r}  - 9} \right)}}. \\
 \end{array}
\]


б) При $\frac{1}{{3\sqrt \pi  }} \le \delta  < \frac{1}{{2\sqrt \pi  }}$\ \ $E = \sqrt {\frac{{\pi \delta ^2 \left( {25 \cdot 3^{2r}  - 81 \cdot 2^{2r} } \right) + 56}}{{25\left( {3^{2r}  - 2^{2r} } \right)}}} \;\;$, а оптимальный метод
\[
\begin{array}{l}
 {\rm f(t)} \approx \frac{{y_0 }}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}}{\rm  - }\frac{1}{3}\left( {1 + b} \right)^{ - 1} {\rm y}_1 \,{\rm cos}\;{\rm t}\;{\rm  + }\left( {1 + b2^{2r} } \right)^{ - 1} {\rm y}_2 \,{\rm cos}\;2{\rm t}\;{\rm  + } \\
 {\rm  + }\frac{9}{5}\left( {1 + b3^{2r} } \right)^{ - 1} {\rm y}_3 \,{\rm cos}\;3{\rm t}{\rm ,} \\

b = \frac{{56}}{{\left( {25 \cdot 3^{2r}  - 81 \cdot 2^{2r} } \right)}}. \\
 \end{array}
\]


III). При\ \ $\delta  < \frac{1}{{3\sqrt \pi  }}$

a) Если $N$--- четное, то \  $E = \sqrt {\frac{{81}}{{25}}\pi \delta ^2  + \frac{{1 - 3^{2r} \pi \delta ^2 }}{{\left( {N - 1} \right)^2 \left( {N + 3} \right)^2 \left( {N + 1} \right)^{2r - 4} }}} $, а оптимальный метод
\[
\begin{array}{l}
 {\rm f(t)} \approx \frac{{y_0 }}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}}{\rm  + } \\
 {\rm  + }\;\sum\limits_{n = 1}^{\frac{N}{2}} {\left( {\left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n} \,{\rm cos2nt}\;{\rm  + }\frac{{\left( {2n - 1} \right)^2 \left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n - 1} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n - 1} \,{\rm cos}\left( {{\rm 2n - 1}} \right){\rm t}}}{{\left( {2n - 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}} \right)}  \\
 b\left( N \right) = \frac{1}{{\pi \left( {\left[ {\frac{{9\left( {N - 1} \right)\left( {N + 3} \right)\left( {N + 1} \right)^{r - 2} }}{5}} \right]^2  - 3^{2r} } \right)}}\rm ,$ $ \nu _k  = \pi k^{2r}. \\
 \end{array}
\]


б) Если $N$--- нечетное, то \ $E = \sqrt {\frac{{81}}{{25}}\pi \delta ^2  + \frac{{1 - 3^{2r} \pi \delta ^2 }}{{\left( {N + 1} \right)^{2r} }}} $,
а оптимальный метод

\[
\begin{array}{l}
 {\rm f(t)} \approx \frac{{y_0 }}{{2\left( {1 + \pi ^2 } \right)}}{\rm  + } \\
 {\rm  + }\;\sum\limits_{n = 1}^{\frac{{N + 1}}{2}} {\left( {\left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n} \,{\rm cos2nt}\;{\rm  + }\frac{{\left( {2n - 1} \right)^2 \left( {1 + b\left( N \right)\nu _{2n - 1} } \right)^{ - 1} {\rm y}_{2n - 1} \,{\rm cos}\left( {{\rm 2n - 1}} \right){\rm t}}}{{\left( {2n - 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}} \right),}  \\
 \\ b\left( N \right) = \frac{1}{{\pi \left( {\frac{{81\left( {N + 1} \right)^{2r} }}{{25}} - 3^{2r} } \right)}}{\rm },$ $ \nu _k  = \pi k^{2r}. \\
 \end{array}
\]

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{MIH} Михайлов~В.~П. Дифференциальные уравнения в частных
производных. М: Наука, 1983.

\bibitem{MOT} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., Тихомиров В.~М. On optimal recovery of heat equation solutions. In: Approximation
Theory: A volume dedicated to B. Bojanov (D.~K.~Dimitrov,
G.~Nikolov, and R.~Uluchev, Eds.), 163--175, Sofia: Marin Drinov
Academic Publishing House, 2004.

\bibitem{O} Осипенко~К.~Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по
неточным исходным данным // Владикавказский мат. журн. 2004. Т.~6,
вып.~4. С.~55--62.

\bibitem{V} Введенская~Е.~В. Об оптимальном восстановлении решения
уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в
различные моменты времени // Владикавказский мат. журн. 2006. Т.~8,
вып.~1. С.

\bibitem{B} Балова~Е.~А. Об оптимальном восстановлении решения
задачи Дирихле в кольце // Владикавказский мат. журн. 2006. Т.~8,
вып.~2. С.

\bibitem{VO} Выск Н.~Д., Осипенко~К.~Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным // Матем. заметки. 2006.

\bibitem{MO} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье,
заданным с погрешностью // Матем. сб. 2002. Т.~193. \No3.
С.~79--100.

\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных // Функ. анализ и его прил.
2003. T.~37. С.~51--64.

\bibitem{St} Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на
евклидовых пространствах. М: Мир, 1974.

\bibitem{Os} Осипенко~К.~Ю. Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа для аналитических функций из пространств Харди--Соболева // Матем. сб. 2006. Т.~197. \No3. С.~

\end{thebibliography}
\end{document}
