
\documentclass[draft]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}


%\usepackage[hyper]{msb-a}
%\JournalName{МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК}

\numberwithin{equation}{section}

%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{propos}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
%-------------------------------------------------
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}
%\newtheorem{proof}{Доказательство}\def\theproof{}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\tolerance 1000



\newcommand*{\lp}{L_p(T,\mu)}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\lr}{L_r(T,\mu)}
\newcommand*{\lpn}{L_p(T_0,\mu)}
\newcommand*{\lqq}{L_q(T,\mu)}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\iT}{\int_T}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wps}{\widetilde\psi}
\newcommand*{\wva}{\widetilde\varphi}
\newcommand*{\wC}{\widetilde C}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\Lp}{L_p(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\wL}{\widetilde\Lambda}
\newcommand*{\wg}{\widetilde\gamma}
\newcommand*{\wq}{\widetilde q}
\newcommand*{\iRd}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\wxi}{\widehat\xi}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\mes}{mes}

\begin{document}

\title{Оптимальное восстановление в весовых пространствах с однородными весами}
\author[K.\,Yu.~Osipenko]{К.\,Ю.~Осипенко}
\address{Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова\\
Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН\\
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)}
\email{kosipenko@yahoo.com}

\date{28.06.2020}
%\udk{517.98}

\begin{abstract}
В работе рассматриваются задачи восстановления операторов по неточно заданной информации в весовых пространствах $L_q$ с однородными весами. Доказан ряд общих теорем, которые применяются к задачам восстановления дифференциальных операторов по неточно заданному преобразованию Фурье. В частности, получены оптимальные методы восстановления степеней оператора Лапласа по неточно заданному преобразованию Фурье в $L_p$-метрике.

Библиография: 30 названий.
\end{abstract}

\maketitle

%\begin{fulltext}




%\begin{keywords}
%оптимальное восстановление, линейные операторы, преобразование Фурье, неравенство Карлсона.
%\end{keywords}

\markright{Оптимальное восстановление в весовых пространствах}


\section{Общая постановка}

Пусть $T$ --- некоторое непустое множество, $\Sigma$ --- $\sigma$-алгебра подмножеств $T$ и $\mu$ --- неотрицательная $\sigma$-аддитивная мера на $\Sigma$. Через $\lp$ обозначим совокупность всех $\Sigma$-измеримых функций со значениями в $\mathbb R$ или $\mathbb C$, для которых
$$\|x\cd\|_{\lp}=\begin{cases}\displaystyle\biggl(\int_T|x(t)|^p\,d\mu\biggr)^{1/p}
<\infty,&1\le p<\infty,\\[10pt]
\displaystyle\vraisup_{t\in T}|x(t)|<\infty,&p=\infty.\end{cases}$$

Положим
\begin{gather*}
\mathcal W=\{\,x\cd\in\lp:\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}<\infty\,\},\\
W=\{\,x\cd\in\mathcal W:\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}\le1\,\},
\end{gather*}
где $1\le p,r\le\infty$, а $\varphi\cd$ --- некоторая функция на $T$.

Рассмотрим задачу восстановления оператора $\Lambda\colon\mathcal W\to\lqq$, $1\le q\le\infty$, задаваемого равенством $\Lambda x\cd=\psi\cd x\cd$, где $\psi\cd$ --- некоторая функция на $T$, на классе $W$ по функции $x\cd\in W$, известной с погрешностью на $T$ (будем считать, что функции $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ таковы, что оператор $\Lambda$ отображает пространство $\mathcal W$ в $\lqq$).

Предполагается, что для каждой функции $x\cd\in W$ известна функция $y\cd\in\lp$ такая, что $\|x\cd-y\cd\|_{\lp}\le\delta$, $\delta>0$. Требуется по функции $y\cd$ восстановить функцию $\Lambda x\cd$. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon\lp\to\lqq$. Погрешностью метода $m$ называется величина
$$e_{pqr}(m)=\sup_{\substack{x\cd\in W,\ y\cd\in\lp\\\|x\cd-y\cd\|_{\lp}\le\delta}}\|\Lambda x\cd-m(y)\cd\|_{\lqq}.$$

Величина
\begin{equation}\label{Ep}
E_{pqr}=\inf_{m\colon\lp\to\lqq}e_{pqr}(m)
\end{equation}
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным.

Рассматриваемая задача является частным случаем общей задачи восстановления линейного оператора $\Lambda$, действующего из линейного пространства $X$ в линейное нормированное пространство $Z$, на множестве $W\subset X$ по значениям линейного оператора $I$, действующего из $X$ в линейное нормированное пространство $Y$ и заданного с некоторой погрешностью $\delta$. В задаче \eqref{Ep} $X=\mathcal W$, $Z=\lqq$, $Y=\lp$, а оператор $I\colon\mathcal W\to\lp$ определен равенством $Ix\cd=x\cd$.

Первоначальная постановка общей задачи восстановления возникла как обобщение задачи А.~Н.~Колмогорова о наилучшей квадратурной формуле \cite{N} и была поставлена С.~А.~Смоляком \cite{Sm}. В этой постановке $\Lambda$ --- линейный функционал, оператор $I$ состоит из конечного набора линейных функционалов, заданных точно ($\delta=0$), а в качестве методов восстановления, в отличие от задачи о наилучших квадратурных формулах, рассматривались всевозможные методы приближения (не обязательно линейные). С.~А.~Смоляк доказал, что для выпуклых и центрально-симметричных множеств $W$ среди оптимальных методов существует линейный.

Н.~С.~Бахвалов предложил обобщить эту постановку на случай, когда информация о линейных функционалах известна не точно, а с некоторой погрешностью. Оказалось, что и в этом случае имеет  место аналогичный результат \cite{MOs}.

Наиболее общий вид задача восстановления получила в работе \cite{MR}, где уже речь шла о восстановлении линейного оператора в бесконечномерном случае. Вопросы существования линейного оптимального метода в случае восстановления линейного функционала рассматривались в работах \cite{MR}--\cite{MCh}. Наиболее общий результат в этом направлении был получен в работе \cite{Ar}, а окончательный, в определенном смысле (критерий существования линейного оптимального метода), --- в работе \cite{MO91}.

В отличие от восстановления линейных функционалов, в задаче восстановления линейных операторов может не существовать линейного оптимального метода. Соответствующий пример можно найти в работе \cite{MM}. В этой работе были сформулированы условия, при которых среди оптимальных методов существуют линейные и имеет место равенство погрешности оптимального восстановления значению двойственной экстремальной задачи
\begin{equation}\label{dv}
\sup\{\,\|\Lambda x\|_Z:x\in W,\quad\|Ix\|_Y\le\delta\,\}.
\end{equation}
Величину \eqref{dv} часто называют модулем непрерывности оператора $\Lambda$ на классе $W$ (относительно оператора $I$). Исследование этой величины играет важную роль при получении ряда точных неравенств типа неравенств Карлсона, неравенств для производных типа Ландау--Колмогорова, в задаче Стечкина и других. Само неравенство Карлсона оказалось тесно связанным с неравенствами для производных, например, неравенство Тайкова \cite{Ta} может быть легко получено из обобщенного неравенства Карлсона (см. \cite{Osc}), полученного В.~И.~Левиным \cite{Le} еще в 1948 году. Более подробные сведения о связи величины \eqref{dv} с задачей Стечкина и с задачами восстановления можно найти в работах \cite{Ar21}, \cite{Ar2}.

Отметим еще цикл работ В.~В.~Арестова \cite{Ar3}--\cite{Ar6} для операторов дифференцирования на числовой оси, которые весьма близки к рассматриваемым в данной работе, а также подобные задачи с несколькими переменными \cite{NP}, \cite{NP1}.

Способ построения оптимального метода восстановления для линейных операторов, предложенный в работе \cite{MM}, применим только для случая, когда все метрики в задаче \eqref{Ep} евклидовы. Для неевклидовых метрик при условии совпадения любых двух из них в работе \cite{Osn} был предложен метод, который используется и в данной работе. Он состоит из двух этапов. На первом этапе используется оценка снизу погрешности оптимального восстановления через значение экстремальной задачи \eqref{dv}. При этом для сокращения доказательств само решение задачи \eqref{dv} нет необходимости приводить, так как поскольку оценка дается снизу, достаточно предъявить ``правильно'' выбранную допустимую функцию (хотя, как правило, эта ``правильно'' выбранная функцию находится в результате решения самой экстремальной задачи \eqref{dv}). На втором этапе происходит оценка сверху. Для этого рассматривается метод, представляющий из себя оператор восстановления, который применялся бы  при точной информации, и содержащий некоторый сглаживающий множитель. Далее, погрешность этого метод оценивается с помощью неравенства Коши--Буняковского или Гельдера с некоторыми весами. Затем подбираются веса и сглаживающий множитель так, чтобы оценка сверху совпала с оценкой снизу.

Ситуация, когда в задаче \eqref{Ep} все три параметра $p$, $q$ и $r$ различны, рассматривалась в работе \cite{Osc}. Здесь схема построения оптимального метода восстановления тоже состоит из оценок снизу и сверху, но предварительно требуется более тонкое исследование функций Лагранжа для экстремальной задачи \eqref{dv} и для экстремальной задачи, возникающей при нахождении погрешности оцениваемого метода восстановления. Этот подход, реализованный в работе \cite{Osc}, позволил не только найти оптимальный метод восстановления, но и получить точное неравенство типа Карлсона в достаточно общем виде. В случае однородных весов из полученного неравенства вытекает неравенство, найденное ранее в работе \cite{Bur}.

В данной работе решена задача \eqref{Ep} для однородных весов $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ при $(p,q,r)\in P_1\cup P_2$, где
$$P_1=\{\,(p,q,r):1\le q=r<p<\infty\,\},\quad P_2=\{\,(p,q,r):1\le q=p<r<\infty\,\}.$$
Случай, когда $(p,q,r)\in P=\{\,(p,q,r):1\le q<p,r<\infty\,\}$, был рассмотрен ранее в работе \cite{Osn}. Основные результаты работы, опирающиеся на решение задачи \eqref{dv}, состоят в получении оптимальных методов восстановления в многомерном случае для линейных операторов, задаваемых в образах Фурье умножение на однородные веса, на классах функций, определяемых через операторы подобного типа, в метриках $\ld$ и $L_\infty(\mathbb R^d)$ по информации о неточно заданном преобразовании Фурье в $\Lp$ (теоремы~\ref{S1}, \ref{SS1}). На основе этих общих результатов получены методы оптимального восстановления степеней оператора Лапласа $(-\Delta)^{k/2}$ и производных $D^\alpha$ порядка $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in\mathbb R^d_+$. Ранее подобные результаты были известны только для степеней оператора Лапласа при значениях $p=2,\infty$ в случае метрики $\ld$ (\cite{Si1}, \cite{Si}) и $p=\infty$ в случае метрики $L_\infty(\mathbb R^d)$ (\cite{Si2}). В данной работе в первом случае получены результаты для $2<p<\infty$, а во втором --- для $1\le p<\infty$.

\section{Оптимальное восстановление с однородными весами при совпадении двух метрик}

Будем использовать обозначение
$$a_+=\begin{cases}a,&a\ge0,\\
0,&a<0.\end{cases}$$
Нам потребуется следующий результат, доказанный в работе \cite{Osn}.

\begin{theorem}
$1$. Пусть $(p,q,r)\in P_1$. Если $\wl_2$ является решением уравнения
\begin{multline}\label{aaa}
\biggl(\iT\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}\\
=\delta\biggl(\iT|\varphi(t)|^q\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\right)_+^{\frac q{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/q}>0,
\end{multline}
а
$$\wl_1=\frac qp\delta^{q-p}\biggl(\iT\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q
\right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p},$$
то
$$E_{pqq}=\left(\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2\right)^{1/q},$$
а метод
\begin{equation}\label{met}
\wm(y)(t)=\left(1-\wl_2\dfrac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q}
\right)_+\psi(t)y(t)
\end{equation}
является оптимальным.

$2$. Пусть $(p,q,r)\in P_2$. Если $\wl_1$ является решением уравнения
\begin{multline}\label{bbb}
\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}\\
=\delta\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac r{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/r}>0,
\end{multline}
а
$$\wl_2=\frac pr\delta^{p-r}\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{r-p}p},$$
то
$$E_{ppr}=\left(\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\right)^{1/p},$$
а метод
$$\wm(y)(t)=\alpha(t)\psi(t)y(t),$$
где
$$\alpha(t)=\min\biggl\{1,\dfrac{\wl_1}{|\psi(t)|^p}\biggr\},$$
является оптимальным.
\end{theorem}

Применим этот результат к случаю, когда $T$ --- конус в линейном пространстве, $|\psi\cd|$ и $|\varphi\cd|$ --- однородные функции порядков $k\ge0$ и $n>0$ ($k$ и $n$ --- не обязательно целые), а $\mu\cd$ --- однородная мера порядка $d>0$.

\begin{corollary}\label{T1}
$1$. Пусть $(p,q,r)\in P_1$, $k\ge0$, $n>k$ и
\begin{align*}
I_1&=\iT(|\psi(\xi)|^q-|\varphi(\xi)|^q)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(\xi)<\infty,\\
I_2&=\iT|\varphi(\xi)|^q(|\psi(\xi)|^q-|\varphi(\xi)|^q)_+^{\frac q{p-q}}\,d\mu(\xi)<\infty.
\end{align*}
Тогда
$$E_{pqq}=I_1^{-\frac1p\frac{n-k}{n+d(1/q-1/p)}}I_2^{-\frac1q\frac{k+d(1/q-1/p)}
{n+d(1/q-1/p)}}(I_1+I_2)^{1/q}\delta^{\frac{n-k}{n+d(1/q-1/p)}},$$
а метод
\begin{equation}\label{m1}
\wm(y)(t)=\left(1-\left(\delta\frac{I_2^{1/q}}{ I_1^{1/p}}\right)^{\frac{(n-k)q}{n+d(1/q-1/p)}}\dfrac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q}
\right)_+\psi(t)y(t)
\end{equation}
является оптимальным.

$2$. Пусть $(p,q,r)\in P_2$, $k>0$, $n>k+d(1/p-1/r)$ и
\begin{align*}
J_1&=\iT|\varphi(\xi)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(\xi)|^p-1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(\xi)<\infty,\\
J_2&=\iT|\varphi(\xi)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(\xi)|^p-1\right)_+^{\frac r{r-p}}\,d\mu(\xi)<\infty.
\end{align*}
Тогда
$$E_{ppr}=J_1^{-\frac1p\frac{n-k-d(1/p-1/r)}{n-d(1/p-1/r)}}J_2^{-\frac1r\frac{k}
{n-d(1/p-1/r)}}(J_1+J_2)^{1/p}\delta^{\frac{n-k-d(1/p-1/r)}{n-d(1/p-1/r)}},$$
а метод
\begin{equation}\label{met2}
\wm(y)(t)=\min\biggl\{1,\left(\frac{J_1^{1/p}}{\delta J_2^{1/r}}\right)^{\frac{kp}{n-d(1/p-1/r)}}\dfrac1{|\psi(t)|^p}\biggr\}\psi(t)y(t)
\end{equation}
является оптимальным.
\end{corollary}

\begin{proof}
1. Рассмотрим уравнение \eqref{aaa}. Будем искать $\wl_2$ в виде
$\wl_2=a^{(k-n)q}$, $a>0$. Сделав в уравнении \eqref{aaa} замену $t=a\xi$, получаем
$$a^{\frac{kq}{p-q}+\frac dp}I_1^{1/p}=\delta a^{n+\frac{kq}{p-q}+\frac dq}I_2^{1/q}.$$
Отсюда
$$a=\left(\frac{I_1^{1/p}}{\delta I_2^{1/q}}\right)^{\frac1{n+d(1/q-1/p)}}.$$
После той же замены имеем
$$\wl_1=\frac qp\delta^{q-p}a^{q(k+d(1/q-1/p))}I_1^{\frac{p-q}p}.$$
Остается подставить полученные величины в выражения для погрешности оптимального восстановления и для оптимального метода.

2. Рассмотрим уравнение \eqref{bbb}. Будем искать $\wl_1$ в виде $\wl_1=a^{kp}$, $a>0$. Сделав в уравнении \eqref{bbb} замену $t=a\xi$, получаем
$$a^{\frac{nr}{p-r}+\frac dp}J_1^{1/p}=\delta a^{\frac{np}{p-r}+\frac dr}J_2^{1/r}.$$
Отсюда
$$a=\left(\frac{J_1^{1/p}}{\delta J_2^{1/r}}\right)^{\frac1{n+d(1/r-1/p)}}.$$
После той же замены имеем
$$\wl_2=\frac pr\delta^{p-r}a^{r(-n+kp/r+d(1/p-1/r))}J_1^{\frac{r-p}p}.$$
Подставляя полученные величины в выражения для погрешности оптимального восстановления и для оптимального метода, получаем доказываемое утверждение.
\end{proof}

\section{Однородные веса в $\mathbb R^d$}

Пусть $T$ --- конус в $\mathbb R^d$, $d\mu(t)=dt$, $|\psi\cd|$ и $|\varphi\cd|$ --- однородные функции порядков $k\ge0$ и $n>0$, $\varphi(t)\ne0$ и $\psi(t)\ne0$ для почти всех $t\in T$.
Рассмотрим сферическую систему координат
$$\arraycolsep=0.08em
\begin{array}{rcl}
t_1&=&\rho\cos\omega_1,\\
t_2&=&\rho\sin\omega_1\cos\omega_2,\\
\hdotsfor{3}\\
t_{d-1}&=&\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\cos\omega_{d-1},\\
t_d&=&\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}.
\end{array}$$
Положим $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_{d-1})$,
\begin{equation}\label{wtw}
\begin{aligned}
\wps(\omega)&=\rho^{-k}|\psi(\rho\cos\omega_1,\ldots,
\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1})|,\\
\wva(\omega)&=\rho^{-n}|\varphi(\rho\cos\omega_1,\ldots,
\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1})|.
\end{aligned}
\end{equation}
Обозначим через $\Omega$ область изменения $\omega$, когда $t\in T$. Из того, что $T$ --- конус, следует, что $\Omega$ не зависит от $\rho$. Положим
$$J(\omega)=\sin^{d-2}\omega_1\sin^{d-3}\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}.$$

Если $1\le q<p,r$ функция $\kappa^{r-q}(1-\kappa)^{-(p-q)}$ при $\kappa\in[0,1)$ монотонно возрастает от $0$ до $+\infty$. Поэтому для всех $t\in T$ можно определить функцию $\kappa(t)$ равенством
$$\frac{\kappa^{r-q}(t)}{(1-\kappa(t))^{p-q}}=\frac{|\psi(t)|^{q(p-r)}}
{|\varphi(t)|^{r(p-q)}}.$$
При $q=r$ положим
$$\kappa(t)=\left(1-\frac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q}\right)_+,$$
а при $q=p$
$$\kappa(t)=\min\left\{1,|\psi(t)|^{-p}\right\}.$$

Введем величину
$$\gamma=\frac{n-k-d(1/q-1/r)}{n+d(1/r-1/p)}.$$
Пусть $k>d(1/p-1/q)$ и $n>k+d(1/q-1/r)$. Тогда легко показать, что $\gamma\in(0,1)$. Определим число $q^*$ в этом случае равенством
$$\frac1{q^*}=\frac1q-\frac\gamma p-\frac{1-\gamma}r.$$

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $k>d(1/p-1/q)$, $n>k+d(1/q-1/r)$ и $(p,q,r)\in P\cup P_1\cup P_2$. Предположим, что
$$I=\int_\Omega\frac{\wps^{q^*}(\omega)}{\wva^{q^*(1-\gamma)}(\omega)}
J(\omega)\,d\omega<\infty.$$
Тогда $E_{pqr}=C\delta^\gamma$, где
$$C=\gamma^{-\frac\gamma p}
(1-\gamma)^{-\frac{1-\gamma}r}\Biggl(\frac{B\left(q^*\gamma /p+1,q^*(1-\gamma)/r\right)I}{r(n-k-d(1/q-1/r))}\Biggr)^{1/q^*},$$
а $B(\cdot,\cdot)$ --- $B$-функция Эйлера. Кроме того, метод
$$\wm(y)(t)=\kappa\left(\xi_1^{\frac1{n+d(1/r-1/p)}}t\right)\psi(t)y(t),$$
где
$$\xi_1=\delta\left(\gamma^{q-r}(1-\gamma)^{p-q}C^{(p-r)q}\right)^{\frac
{q^*}{pqr}}$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Случай, когда $(p,q,r)\in P$ доказан в работе \cite[теорема~3]{Osc} (в этой работе ответ дается в терминах $B$-функции с аргументами $q^*\gamma/p$ и $q^*(1-\gamma)/r$, но нам удобнее перейти к аргументам $q^*\gamma /p+1$ и $q^*(1-\gamma)/r$, что легко сделать, пользуясь свойствами $B$-функции). Остается рассмотреть два случая: $(p,q,r)\in P_1$ и $(p,q,r)\in P_2$.

1. Пусть $(p,q,r)\in P_1$. Воспользуемся следствием~\ref{T1}. Перейдем в интеграле $I_1$ к сферической системе координат
\begin{multline*}
I_1=\int_0^{+\infty}\rho^{d-1}\,d\rho\int_\Omega(\rho^{kq}\wps^q(\omega)-
\rho^{nq}\wva^q(\omega))_+^{\frac p{p-q}}J(\omega)\,d\omega\\
=\int_\Omega\wps^{\frac{qp}{p-q}}(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{kqp}{p-q}
+d-1}\left(1-\rho^{(n-k)q}\frac{\wva^q(\omega)}{\wps^q(\omega)}\right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\rho.
\end{multline*}
Зафиксируем $\omega$ и сделаем во втором интеграле замену
\begin{equation}\label{zam}
t=\rho^{(n-k)q}\frac{\wva^q(\omega)}{\wps^q(\omega)}.
\end{equation}
Тогда
\begin{multline*}
I_1=\frac1{(n-k)q}\int_\Omega\wps^{\frac{qp}{p-q}}(\omega)\left(\frac{\wps(\omega)}
{\wva(\omega)}\right)
^{\frac{kqp}{(p-q)(n-k)}+\frac d{n-k}}J(\omega)\,d\omega\\
\times\int_0^1t^{\frac{kp}{(p-q)(n-k)}+\frac d{(n-k)q}-1}(1-t)^{\frac p{p-q}}\,dt
=\frac I{(n-k)q}B\left(q^*\gamma/p+2,q^*(1-\gamma)/q\right).
\end{multline*}

Проведем аналогичные вычисления для $I_2$
\begin{multline*}
I_2=\int_0^{+\infty}\rho^{nq+d-1}\,d\rho\int_\Omega\wva^q(\omega)(\rho^{kq}\wps^q(\omega)-
\rho^{nq}\wva^q(\omega))_+^{\frac q{p-q}}J(\omega)\,d\omega\\
=\int_\Omega\wva^q(\omega)\wps^{\frac{q^2}{p-q}}(\omega)J(\omega)\,d\omega
\int_0^{+\infty}\rho^{nq+\frac{kq^2}{p-q}
+d-1}\left(1-\rho^{(n-k)q}\frac{\wva^q(\omega)}{\wps^q(\omega)}\right)_+^{\frac q{p-q}}\,d\rho.
\end{multline*}
Сделав ту же замену \eqref{zam}, получим
\begin{multline*}
I_2=\frac1{(n-k)q}\int_\Omega\wva^q(\omega)\wps^{\frac{q^2}{p-q}}(\omega)\left(\frac{\wps(\omega)}
{\wva(\omega)}\right)
^{\frac{nq}{n-k}+\frac{kq^2}{(p-q)(n-k)}+\frac d{n-k}}J(\omega)\,d\omega\\
\times\int_0^1t^{\frac n{n-k}+\frac{kq}{(p-q)(n-k)}+\frac d{(n-k)q}-1}(1-t)^{\frac q{p-q}}\,dt\\
=\frac I{(n-k)q}B\left(q^*\gamma/p+1,q^*(1-\gamma)/q+1\right).
\end{multline*}
Положим
$$B_1=B\left(q^*\gamma /p+1,q^*(1-\gamma)/r\right).$$
Тогда, пользуясь свойствами $B$-функции, будем иметь
\begin{align*}
I_1&=\frac{q^*\gamma/p+1}{q(n-k)(q^*\gamma/p+1+q^*(1-\gamma)/q)}B_1I,\\
I_2&=\frac{q^*(1-\gamma)/q}{q(n-k)(q^*\gamma/p+1+q^*(1-\gamma)/q)}B_1I.
\end{align*}
В рассматриваемом случае (когда $r=q$)
$$\frac1{q^*}=\gamma\left(\frac1q-\frac1p\right),\quad\gamma=\frac{n-k}{n+d(1/q-1/p)}.$$
Поэтому $q^*\gamma/p+1=q^*\gamma/q$. Отсюда
$$I_1=\gamma\frac{B_1I}{q(n-k)},\quad I_2=(1-\gamma)\frac{B_1I}{q(n-k)}.$$
Из следствия~\ref{T1} получаем
\begin{multline*}
E_{pqq}=I_1^{-\frac\gamma p}I_2^{-\frac{1-\gamma}q}(I_1+I_2)^{1/q}\delta^\gamma\\
=\gamma^{-\frac\gamma p}
(1-\gamma)^{-\frac{1-\gamma}q}\left(\frac{B_1I}{q(n-k)}\right)^{\gamma(1/q-1/p)}\delta^\gamma
=C\delta^\gamma.
\end{multline*}

Метод \eqref{m1} может быть записан в виде
$$\wm(y)(t)=\kappa\left(b^{\frac1{n+d(1/r-1/p)}}t\right)\psi(t)y(t),$$
где
\begin{multline*}
b=\delta\frac{I_2^{1/q}}{ I_1^{1/p}}=\delta\gamma^{-\frac1p}(1-\gamma)^{\frac1q}
\left(\frac{B_1I}{q(n-k)}\right)^{\frac1q-\frac1p}
=\delta\gamma^{-\frac1p}(1-\gamma)^{\frac1q}
C^{\frac1\gamma}\gamma^{\frac1p}(1-\gamma)^{\frac{1-\gamma}{q\gamma}}\\=
\delta(1-\gamma)^{\frac1{q\gamma}}C^{\frac1\gamma}
=\delta\left((1-\gamma)C^q\right)^{\frac1{q\gamma}}=\delta\left((1-\gamma)C^q\right)^{\frac{q^*}q
\left(\frac1q-\frac1p\right)}\\
=\delta\left((1-\gamma)C^q\right)^{\frac{q^*(p-q)}{pq^2}}=\xi_1.
\end{multline*}

2. Пусть $(p,q,r)\in P_2$. Воспользуемся снова следствием~\ref{T1}. Перейдем в интеграле $J_1$ к сферической системе координат
\begin{multline*}
J_1=\int_0^{+\infty}\rho^{d-1}\,d\rho\int_\Omega\rho^{\frac{npr}{p-r}}\wva^{\frac{pr}{p-r}}(\omega)
\left(\rho^{kp}\wps^p(\omega)-1\right)_+^{\frac p{r-p}}J(\omega)\,d\omega\\
=\int_\Omega\wva^{\frac{pr}{p-r}}(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{npr}{p-r}
+d-1}\left(\rho^{kp}\wps^p(\omega)-1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\rho.
\end{multline*}
Зафиксируем $\omega$ и сделаем во втором интеграле замену
\begin{equation}\label{zam1}
t=\rho^{kp}\wps^p(\omega).
\end{equation}
Тогда
\begin{multline*}
J_1=\frac1{kp}\int_\Omega\wva^{\frac{pr}{p-r}}(\omega)\wps^{-\frac{npr}{(p-r)k}-\frac dk}(\omega)J(\omega)\,d\omega
\int_1^{+\infty}t^{\frac{nr}{(p-r)k}+\frac d{kp}-1}(t-1)^{\frac p{r-p}}\,dt\\
=\frac I{kp}\int_0^1s^{\frac{nr}{(r-p)k}-\frac p{r-p}-\frac d{kp}-1}(1-s)^{\frac p{r-p}}\,ds
=\frac I{kp}B\left(q^*\gamma/p+1,q^*(1-\gamma)/r+1\right).
\end{multline*}
Проведем аналогичные вычисления для $J_2$
\begin{multline*}
J_2=\int_0^{+\infty}\rho^{d-1}\,d\rho\int_\Omega\rho^{\frac{npr}{p-r}}\wva^{\frac{pr}{p-r}}(\omega)
\left(\rho^{kp}\wps^p(\omega)-1\right)_+^{\frac r{r-p}}J(\omega)\,d\omega\\
=\int_\Omega\wva^{\frac{pr}{p-r}}(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{npr}{p-r}
+d-1}\left(\rho^{kp}\wps^p(\omega)-1\right)_+^{\frac r{r-p}}\,d\rho.
\end{multline*}
Сделав ту же замену \eqref{zam1}, получим
\begin{multline*}
J_2=\frac1{kp}\int_\Omega\wva^{\frac{pr}{p-r}}(\omega)\wps^{-\frac{npr}{(p-r)k}-\frac dk}(\omega)J(\omega)\,d\omega
\int_1^{+\infty}t^{\frac{nr}{(p-r)k}+\frac d{kp}-1}(t-1)^{\frac r{r-p}}\,dt\\
=\frac I{kp}\int_0^1s^{\frac{nr}{(r-p)k}-\frac r{r-p}-\frac d{kp}-1}(1-s)^{\frac r{r-p}}\,ds
=\frac I{kp}B\left(q^*\gamma/p,q^*(1-\gamma)/r+2\right).
\end{multline*}
Положим
$$B_2=B\left(q^*\gamma /p,q^*(1-\gamma)/r+1\right).$$
Тогда, пользуясь свойствами $B$-функции, будем иметь
\begin{align*}
J_1&=\frac{q^*\gamma/p}{kp(q^*\gamma/p+q^*(1-\gamma)/r+1)}B_2I,\\
J_2&=\frac{q^*(1-\gamma)/r+1}{kp(q^*\gamma/p+q^*(1-\gamma)/r+1)}B_2I.
\end{align*}
В рассматриваемом случае (когда $q=p$)
$$\frac1{q^*}=(1-\gamma)\left(\frac1p-\frac1r\right),\quad
\gamma=\frac{n-k-d(1/p-1/r)}{n-d(1/p-1/r)}.$$
Поэтому $q^*(1-\gamma)/r+1=q^*(1-\gamma)/p$. Отсюда
$$J_1=\gamma\frac{B_2I}{kp},\quad J_2=(1-\gamma)\frac{B_2I}{kp}.$$
Из следствия~\ref{T1} получаем
$$E_{ppr}=J_1^{-\frac\gamma p}J_2^{-\frac{1-\gamma}r}(J_1+J_2)^{1/p}\delta^\gamma\\
=\gamma^{-\frac\gamma p}
(1-\gamma)^{-\frac{1-\gamma}r}\left(\frac{B_2I}{kp}\right)^{(1-\gamma)(1/p-1/r)}\delta^\gamma.$$
Из свойств $B$-функции вытекает, что
$$B_2=\frac{q^*(1-\gamma)/r}{q^*\gamma /p}B_1=\frac{kpB_1}{r(n-k-d(1/q-1/r))}.$$
Следовательно,
$$E_{ppr}=\gamma^{-\frac\gamma p}(1-\gamma)^{-\frac{1-\gamma}r}\Biggl(\frac{B_1I}{r(n-k-d(1/q-1/r))}\Biggr)^{1/q^*}\delta^\gamma
=C\delta^\gamma.$$

Метод \eqref{met2} может быть записан в виде
$$\wm(y)(t)=\kappa\left(c^{\frac1{n-d(1/p-1/r)}}t\right)\psi(t)y(t),$$
где
\begin{multline*}
c=\delta\frac{J_2^{1/r}}{J_1^{1/p}}=\delta\gamma^{-\frac1p}(1-\gamma)^{\frac1r}
\left(\frac{B_2I}{kp}\right)^{\frac1r-\frac1p}
=\delta\gamma^{-\frac1p}(1-\gamma)^{\frac1r}
C^{-\frac1{1-\gamma}}\gamma^{-\frac\gamma{p(1-\gamma)}}(1-\gamma)^{-\frac1r}\\=
\delta\gamma^{-\frac1{p(1-\gamma)}}C^{-\frac1{1-\gamma}}
=\delta\left(\gamma C^p\right)^{-\frac1{p(1-\gamma)}}=\delta\left(\gamma C^p\right)^{(p-r)\frac{q^*}{p^2r}}=\xi_1.
\end{multline*}
\end{proof}

Из работ \cite{Osn}, \cite{Osc} вытекает, что во всех рассмотренных случаях справедливо равенство
\begin{equation}\label{os}
E_{pqr}=\sup_{\substack{x\cd\in W\\\|x\cd\|_{\lp}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}.
\end{equation}

Отсюда легко получить, что имеет место точное неравенство
%\begin{equation}\label{tn}
$$\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}\le C\|x\cd\|_{\lp}^\gamma\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}^{1-\gamma}.$$
%\end{equation}

\section{Восстановление дифференциальных операторов по неточно заданному преобразованию Фурье}

Пусть $T=\mathbb R^d$, $d\mu(t)=dt$, $|\psi\cd|$ и $|\varphi\cd|$, как и ранее, --- однородные функции порядков $k\ge0$ и $n>0$, $\varphi(t)\ne0$ и $\psi(t)\ne0$ для почти всех $t\in\mathbb R^d$. Положим
$$X_p=\{\,x\cd\in\ld:\varphi\cd Fx\cd\in\ld,\ Fx\cd\in\Lp\,\},$$
где $Fx\cd$ --- преобразование Фурье $x\cd$
$$Fx(\xi)=\iRd x(t)e^{-i\la\xi,t\ra}\,dt,\quad\la\xi,t\ra=\xi_1t_1+\ldots\xi_dt_d.$$
Определим оператор $D$ следующим образом
$$Dx\cd=F^{-1}(\varphi\cd Fx\cd)\cd.$$
Предположим, что $\psi\cd x\cd\in\ld$ для всех $x\cd\in X_p$. Положим
$$\Lambda x\cd=F^{-1}(\psi\cd Fx\cd)\cd.$$

Рассмотрим задачу об оптимальном восстановлении значений оператора $\Lambda$ по неточно заданному преобразованию Фурье функции $x\cd$ на классе
$$W_p=\{\,x\cd\in X_p:\|Dx\cd\|_{\ld}\le1\,\}.$$
Будем считать, что для каждой функции $x\cd\in W_p$ известна функция $y\cd\in\Lp$ такая, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lp}\le\delta$, $\delta>0$. Требуется по функции $y\cd$ восстановить функцию $\Lambda x\cd$. Предположим, что $\Lambda x\cd\in L_q(\mathbb R^d)$ для всех $x\cd\in X_p$. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon\Lp\to L_q(\mathbb R^d)$. Погрешностью метода $m$ называется величина
$$e_{pq}(\Lambda,D,m)=\sup_{\substack{x\cd\in W_p,\ y\cd\in\Lp\\\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lp}\le\delta}}\|\Lambda x\cd-m(y)\cd\|_{L_q(\mathbb R^d)}.$$
Величина
\begin{equation}\label{ED}
E_{pq}(\Lambda,D)=\inf_{m\colon\Lp\to L_q(\mathbb R^d)}e_{pq}(\Lambda,D,m)
\end{equation}
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным.

\subsection{Восстановление в метрике $\ld$}

В силу теоремы Планшереля
$$\|\Lambda x\cd-m(y)\cd\|_{\ld}=\frac1{(2\pi)^{d/2}}\|\wL x\cd-F(m(y))\cd\|_{\ld},$$
где
$$\wL x\cd=\psi\cd Fx\cd.$$
Кроме того,
$$\|Dx\cd\|_{\ld}=\frac1{(2\pi)^{d/2}}\|\varphi\cd Fx\cd\|_{\ld}.$$

Таким образом, рассматриваемая задача с точностью до множителя $(2\pi)^{-d/2}$ совпадает с задачей \eqref{Ep} при $q=r=2$ с заменой $\varphi\cd$ на $(2\pi)^{-d/2}\varphi\cd$.

Положим
\begin{gather*}
\wg=\frac{n-k}{n+d(1/2-1/p)},\quad\wq=\frac1{\wg(1/2-1/p)},\\
C_p(n,k)=\wg^{-\frac\wg p}
(1-\wg)^{-\frac{1-\wg}2}\Biggl(\frac{B\left(\wq\wg/p+1,\wq(1-\wg)/2\right)}{2(n-k)}\Biggr)^{1/\wq}.
\end{gather*}


\begin{theorem}\label{S1}
Пусть $k\ge0$, $n>k$, $2<p\le\infty$,
$$I=\int_{\Pi_{d-1}}\frac{\wps^{\wq}(\omega)}{\wva^{\wq(1-\wg)}
(\omega)}J(\omega)\,d\omega<\infty,\quad\Pi_{d-1}=[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi].$$
Тогда
$$E_{p2}(\Lambda,D)=\frac1{(2\pi)^{d\wg/2}}C_p(n,k)I^{1/\wq}\delta^{\wg}.$$
Метод
\begin{equation}\label{mbe}
\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\left(1-\beta\left|\frac{\varphi(\xi)}{\psi(\xi)}\right|^2\right)_+
\psi(\xi)y(\xi)\right)\cd,
\end{equation}
где
$$\beta=\frac{k+d(1/2-1/p)}{n+d(1/2-1/p)}C_p^2(n,k)\left(\frac{\delta I^{1/2-1/p}}{(2\pi)^{d/2}}\right)^{\frac{2(n-k)}{n+d(1/2-1/p)}},$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Случай $2<p<\infty$ вытекает из теоремы~\ref{T3}. Рассмотрим случай $p=\infty$. Из хорошо известной оценки снизу (см., например, \cite{Osn}) имеем
\begin{equation}\label{EDD}
E_{\infty2}(\Lambda,D)\ge\sup_{\substack{x\cd\in W_\infty\\\|Fx\cd\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{L_2(\mathbb R^d)}
\end{equation}
Определим $\wx\cd$ так, чтобы
$$F\wx(\xi)=\begin{cases}
\delta,&|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|,\\
0,&|\psi(\xi)|\le\lambda|\varphi(\xi)|,\end{cases}$$
где $\lambda>0$ выбрано из условия
$$\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\varphi(\xi)|^2|F\wx(\xi)|^2\,d\xi=1.$$
Тем самым $\lambda>0$ надо выбрать из условия
$$\delta^2\int_{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\varphi(\xi)|^2\,d\xi=(2\pi)^d.$$
Переходя к сферической системе координат, получаем
$$\delta^2\int_{\Pi_{d-1}}\wva^2(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{\Phi_1(\omega)}
\rho^{2n+d-1}\,d\rho=(2\pi)^d,$$
где
$$\Phi_1(\omega)=\left(\frac{\wps(\omega)}{\lambda\wva(\omega)}\right)^{\frac1{n-k}}.$$
Отсюда
$$\frac{\delta^2}{2n+d}\lambda^{-\frac{2n+d}{n-k}}I=(2\pi)^d.$$
Следовательно,
$$\lambda=\left(\frac{\delta^2I}{(2\pi)^d(2n+d)}\right)^{\frac{n-k}{2n+d}}.$$
Нетрудно убедиться, что
$$C_\infty^2(n,k)=\frac1{2k+d}(2n+d)^{\frac{k+d/2}{n+d/2}}.$$
Поэтому $\lambda^2=\beta$. Итак, в силу \eqref{EDD}
\begin{multline}\label{Es}
E^2_{\infty2}(\Lambda,D)\ge\|\Lambda\wx\cd\|^2_{\ld}=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_
{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi\\
=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\wps^2(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{\Phi_1(\omega)}
\rho^{2k+d-1}\,d\rho\\
=\frac{\delta^2}{(2k+d)(2\pi)^d}\lambda^{-\frac{2k+d}{n-k}}I=\frac1{(2\pi)^{d\wg}}
C^2_\infty(n,k)I^{2/\wq}\delta^{2\wg}.
\end{multline}

Оценим погрешность метода \eqref{mbe}. Положим
$$a(\xi)=\left(1-\beta\frac{|\varphi(\xi)|^2}{|\psi(\xi)|^2}\right)_+.$$
Переходя к преобразованию Фурье, получаем
$$\|\Lambda x\cd-\wm(y)\cd\|^2_{\ld}\\
=\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\psi(\xi)|^2\left|Fx(\xi)-
a(\xi)y(\xi)\right|^2\,d\xi.$$
Положим $z\cd=Fx\cd-y\cd$ и будем учитывать, что
$$\|z\cd\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\le\delta,\quad\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\varphi(\xi)|^2|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.$$
Тогда
$$\|\Lambda x\cd-\wm(y)\cd\|^2_{\ld}
=\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\psi(\xi)|^2\left|\left(1-a(\xi)\right)Fx(\xi)+
a(\xi)z(\xi)\right|^2\,d\xi.$$
Запишем подынтегральное выражение в виде
$$\left|\frac{|\psi(\xi)|(1-a(\xi))\sqrt\beta|\varphi(\xi)|Fx(\xi)}{\sqrt\beta|\varphi(\xi)|}
+\sqrt{a(\xi)}\sqrt{a(\xi)}|\psi(\xi)|z(\xi)\right|^2.$$
Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского
$$|ab+cd|^2\le(|a|^2+|c|^2)(|b|^2+|d|^2).$$
Получаем следующую оценку
\begin{multline*}
\|\Lambda x\cd-\wm(y)\cd\|^2_{\ld}\\
\le\vraisup_{\xi\in\mathbb R^d}S(\xi)\frac1{(2\pi)^d}\iRd\left(\beta|\varphi(\xi)|^2|Fx(\xi)|^2+
a(\xi)|\psi(\xi)|^2|z(\xi)|^2\right)\,d\xi,
\end{multline*}
где
$$S(\xi)=\frac{|\psi(\xi)|^2|(1-a(\xi))^2}{\beta|\varphi(\xi)|^2}+a(\xi).$$
Если $|\psi(\xi)|^2\le\beta|\varphi(\xi)|^2$, то $a(\xi)=0$ и $S(\xi)\le1$. Если $|\psi(\xi)|^2>\beta|\varphi(\xi)|^2$, то $S(\xi)=1$. Таким образом,
\begin{multline*}
e^2_{\infty2}(\Lambda,D,\wm)
\le\frac1{(2\pi)^d}\iRd\left(\beta|\varphi(\xi)|^2|Fx(\xi)|^2+
a(\xi)|\psi(\xi)|^2|z(\xi)|^2\right)\,d\xi\\
\le\beta+\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}\left(|\psi(\xi)|^2-
\beta|\varphi(\xi)|^2\right)\,d\xi\\
=\beta+\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi-
\beta\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\varphi(\xi)|^2|F\wx(\xi)|^2\,d\xi\\
=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_
{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi\le
E^2_{\infty2}(\Lambda,D).
\end{multline*}
Отсюда следует, что метод $\wm(y)\cd$ является оптимальным и (с учетом \eqref{Es})
$$E^2_{\infty2}(\Lambda,D)=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_
{|\psi(\xi)|>\lambda|\varphi(\xi)|}|\psi(\xi)|^2\,d\xi
=\frac1{(2\pi)^{d\wg}}C^2_\infty(n,k)I^{2/\wq}
\delta^{2\wg}.$$
\end{proof}

При $d=1$ (в этом случае $I=2$), $D=\dfrac{d^n}{dt^n}$ и $\Lambda=\dfrac{d^k}{dt^k}$ утверждение теоремы~\ref{S1} было получено в работе \cite{MO}.

Определим оператор $(-\Delta)^{n/2}$, $n\ge0$, следующим образом
$$(-\Delta)^{n/2}x\cd=F^{-1}(|\xi|^n Fx(\xi))\cd,\quad|\xi|=\sqrt{\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2}.$$
Положим
\begin{equation}\label{I0}
I_0=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}.
\end{equation}

\begin{corollary}
Пусть $k\ge0$, $n>k$, $2<p\le\infty$. Тогда
$$E_{p2}((-\Delta)^{k/2},(-\Delta)^{n/2})=\frac1{(2\pi)^{d\wg/2}}C_p(n,k)I_0^{1/\wq}\delta^{\wg}.$$
Метод
\begin{equation}\label{metD}
\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\left(1-\beta|\xi|^{2(n-k)}\right)_+|\xi|^ky(\xi)\right)\cd,
\end{equation}
где
$$\beta=\frac{k+d(1/2-1/p)}{n+d(1/2-1/p)}C_p^2(n,k)\left(\frac{\delta I_0^{1/2-1/p}}{(2\pi)^{d/2}}\right)^{\frac{2(n-k)}{n+d(1/2-1/p)}},$$
является оптимальным.
\end{corollary}

\begin{proof}
В силу того, что в рассматриваемом случае $\wps(\omega)=\wva(\omega)=1$, имеем
$$I=\int_{\Pi_{d-1}}J(\omega)\,d\omega=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}=I_0.$$
Далее, применяется теорема~\ref{S1}.
\end{proof}

При $p=\infty$ утверждение следствия было получено в работе \cite{Si}.

Выражение для $E_{22}((-\Delta)^{k/2},(-\Delta)^{n/2})$ и соответствующий оптимальный метод были получены в работе \cite{Si1}.

Отметим, что оптимальный метод \eqref{metD} использует информацию о неточном преобразовании Фурье функции $x\cd$, измеренном только в шаре
$$|\xi|<\beta^{-\frac1{2(n-k)}}.$$
Причем, чем с большей погрешностью $\delta$ известна исходная информация, тем меньше шар, где содержится ``полезная'' информация.

Рассмотрим еще один пример. Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in\mathbb R_+^d$. Определим оператор $D^\alpha$ (производная порядка $\alpha$) следующим образом
$$D^\alpha x\cd=F^{-1}((i\xi)^\alpha Fx(\xi))\cd,$$
где $(i\xi)^\alpha=(i\xi_1)^{\alpha_1}\ldots(i\xi_d)^{\alpha_d}$. Функция $|(i\xi)^\alpha|$ является однородной функцией порядка $k=\alpha_1+\ldots+\alpha_d$. Рассмотрим задачу \eqref{ED} при $\Lambda=D^\alpha$ и $D=(-\Delta)^{n/2}$.

\begin{corollary}
Пусть $n>k$, $2<p\le\infty$. Тогда
$$E_{p2}(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2})=\frac1{(2\pi)^{d\wg/2}}C_p(n,k)I^{1/\wq}\delta^{\wg},$$
где
$$I=2\frac{\Gamma((\alpha_1\wq+1)/2)
\ldots\Gamma((\alpha_d\wq+1)/2)}{\Gamma((k\wq+d)/2)}.$$
Метод
\begin{equation}\label{metDD}
\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\left(1-\beta\frac{|\xi|^{2n}}{|\xi^{2\alpha}|}\right)_+(i\xi)^\alpha y(\xi)\right)\cd,
\end{equation}
где
$$\beta=\frac{k+d(1/2-1/p)}{n+d(1/2-1/p)}C_p^2(n,k)\left(\frac{\delta I^{1/2-1/p}}{(2\pi)^{d/2}}\right)^{\frac{2(n-k)}{n+d(1/2-1/p)}},$$
является оптимальным.
\end{corollary}

\begin{proof}
По известной формуле Дирихле
$$\int_{\substack{\xi_1\ge0,\ldots,\xi_d\ge0\\
\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2\le1}}\xi_1^{p_1-1}\ldots\xi_d^{p_d-1}\,d\xi_1\ldots d\xi_d
=\frac{\Gamma(p_1/2)\ldots\Gamma(p_d/2)}
{2^d\Gamma(p_1/2+\ldots+p_d/2+1)},$$
$p_1,\ldots,p_d>0$. Следовательно,
$$\int_{\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2\le1}|\xi_1|^{p_1-1}\ldots|\xi_d|^{p_d-1}\,d\xi_1\ldots d\xi_d
=\frac{\Gamma(p_1/2)\ldots\Gamma(p_d/2)}
{\Gamma(p_1/2+\ldots+p_d/2+1)}.$$
Перейдем к сферическим координатам
$$\int_{\Pi_{d-1}}\Phi(\omega,p_1,\ldots,p_d)J(\omega)\,d\omega\int_0^1\rho^{p_1+\ldots+p_d-1}\,
d\rho
=\frac{\Gamma(p_1/2)
\ldots\Gamma(p_d/2)}{\Gamma(p_1/2+\ldots+p_d/2+1)},$$
где
$$\Phi(\omega,p_1,\ldots,p_d)=|\cos\omega_1|^{p_1-1}\ldots
|\sin\omega_1\sin\omega_2\cdots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}|^{p_d-1}.$$
Отсюда
$$\int_{\Pi_{d-1}}\Phi(\omega,p_1,\ldots,p_d)J(\omega)\,d\omega=2\frac{\Gamma(p_1/2)
\ldots\Gamma(p_d/2)}{\Gamma(p_1/2+\ldots+p_d/2)}.$$
Таким образом, для величины $I$ из теоремы~\ref{S1} имеем
\begin{multline}\label{II}
I=\int_{\Pi_{d-1}}|\cos\omega_1|^{\alpha_1\wq}\ldots|
\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}|^{\alpha_d\wq}J(\omega)\,d\omega\\
=\int_{\Pi_{d-1}}\Phi(\omega,\alpha_1\wq+1,\ldots,\alpha_d\wq+1)J(\omega)\,d\omega
=2\frac{\Gamma((\alpha_1\wq+1)/2)
\ldots\Gamma((\alpha_d\wq+1)/2)}{\Gamma((k\wq+d)/2)}.
\end{multline}
Теперь утверждение следствия вытекает из теоремы~\ref{S1}.

\end{proof}

Рассмотрим случай $p=2$. Он довольно близок к исследованиям, проведенным в работах \cite{MO1}, \cite{MO2}, хотя класс, на котором восстанавливался оператор $D^\alpha$, здесь другой.

\begin{theorem}
Пусть $n>k>0$. Тогда
\begin{equation}\label{E}
E_{22}(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2})=\frac{\alpha^{\alpha/2}}
{k^{k/2}}\left(\frac{\delta}{(2\pi)^{d/2}}\right)^{1-k/n},
\end{equation}
а все методы
\begin{equation}\label{mma}
\wm(y)\cd=F^{-1}(a(\xi)(i\xi)^\alpha y(\xi))\cd,
\end{equation}
где $a\cd$ --- измеримые функции, удовлетворяющие условию
\begin{equation}\label{aa}
|\xi^{2\alpha}|\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}{\lambda_2|\xi|^{2n}}+\frac{|a(\xi)|^2}
{(2\pi)^d\lambda_1}\right)\le1,
\end{equation}
в котором
$$\lambda_1=\frac{\alpha^\alpha(n-k)}{(2\pi)^dk^kn}\left(\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\right)^{-k/n},
\quad\lambda_2=\lambda_1\frac k{n-k}\delta^2,$$
являются оптимальными.
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим для $\varepsilon>0$
\begin{gather*}
\wxi=\frac1{\sqrt k}\left(\frac{(2\pi)^d}{\delta^2}\right)^{\frac1{2n}}(\sqrt{\alpha_1},
\ldots,\sqrt{\alpha_d}),\quad\wxi_\varepsilon=\wxi\left(1-\frac\varepsilon{|\wxi|}\right),\\
B_\varepsilon=\{\xi\in\mathbb R^d:|\xi-\wxi_\varepsilon|<\varepsilon\,\}.
\end{gather*}
Определим функцию $x_\varepsilon\cd$ так, чтобы
$$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}\dfrac\delta{\sqrt{\mes B_\varepsilon}},&\xi\in B_\varepsilon,\\
0,&\xi\notin B_\varepsilon.\end{cases}$$
Тогда $\|Fx_\varepsilon\cd\|^2_{\ld}=\delta^2$,
$$\|(-\Delta)^{n/2}x_\varepsilon\cd\|^2_{\ld}\\
=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d\mes B_\varepsilon}\int_{B_\varepsilon}|\xi|^{2n}\,d\xi
\le\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}|\wxi|^{2n}=1.$$
Пользуясь оценкой, аналогичной \eqref{EDD}, получаем
\begin{multline*}
E_{22}^2(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2})\ge\sup_{\substack{\|(-\Delta)^{n/2}x\cd\|_{\ld}\le1
\\\|Fx\cd\|_{\ld}\le\delta}}\|D^\alpha x\cd\|^2_{\ld}\\
\ge\|D^\alpha x_\varepsilon\cd\|^2_{\ld}=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d\mes B_\varepsilon}\int_{B_\varepsilon}|\xi^{2\alpha}|\,d\xi=\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}|\xi_0^{2\alpha}|,
\end{multline*}
где $\xi_0$ --- некоторая точка из $B_\varepsilon$. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем оценку
\begin{equation}\label{EE}
E_{22}^2(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2})\ge\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}|\wxi^{2\alpha}|=\frac{\alpha^\alpha}
{k^k}\left(\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\right)^{1-k/n}.
\end{equation}

Будем искать оптимальные методы среди методов, имеющих вид \eqref{mma}.
Переходя к преобразованию Фурье, получаем
$$\|D^{\alpha}x\cd-\wm(y)\cd\|^2_{\ld}\\
=\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\xi^{2\alpha}|\left|Fx(\xi)-
a(\xi)y(\xi)\right|^2\,d\xi.$$
Положим $z\cd=Fx\cd-y\cd$ и будем учитывать, что
$$\iRd|z(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\quad\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\xi|^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.$$
Тогда
%\begin{multline*}
$$\|D^{\alpha}x\cd-\wm(y)\cd\|^2_{\ld}\\
=\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\xi^{2\alpha}|\left|\left(1-a(\xi)\right)Fx(\xi)+
a(\xi)z(\xi)\right|^2\,d\xi.$$
%\end{multline*}
Запишем подынтегральное выражение в виде
$$|\xi^{2\alpha}|\left|\frac{(1-a(\xi))\sqrt{\lambda_2}|\xi|^nFx(\xi)}{\sqrt{\lambda_2}|\xi|^n}+
\frac{a(\xi)}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\lambda_1}}(2\pi)^{d/2}\sqrt{\lambda_1}z(\xi)\right|^2.$$
Применяя неравенство Коши--Буняковского, получим следующую оценку
\begin{multline*}
\|D^{\alpha}x\cd-\wm(y)\cd\|^2_{\ld}\\
\le\vraisup_{\xi\in\mathbb R^d}S(\xi)\frac1{(2\pi)^d}\iRd\left(\lambda_2|\xi|^{2n}|Fx(\xi)|^2+
(2\pi)^d\lambda_1|z(\xi)|^2\right)\,d\xi,
\end{multline*}
где
$$S(\xi)=|\xi^{2\alpha}|\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}{\lambda_2|\xi|^{2n}}+\frac{|a(\xi)|^2}
{(2\pi)^d\lambda_1}\right).$$
Если предположить, что $S(\xi)\le1$ для почти всех $\xi$, то, учитывая \eqref{EE}, получаем
\begin{multline}\label{ee}
e^2_{22}(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2},\wm)
\le\frac1{(2\pi)^d}\iRd\left(\lambda_2|\xi|^{2n}|Fx(\xi)|^2+
(2\pi)^d\lambda_1|z(\xi)|^2\right)\,d\xi\\
\le\lambda_2+\lambda_1\delta^2=\frac{\alpha^\alpha}
{k^k}\left(\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\right)^{1-k/n}\le E_{22}^2(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2}).
\end{multline}
Отсюда вытекает оптимальность рассматриваемых методов и равенство \eqref{E}.

Остается доказать, что множество функций $a\cd$, удовлетворяющих условию \eqref{aa} не пусто. Условие \eqref{aa} можно переписать в эквивалентной форме
\begin{multline*}
\left|a(\xi)-\frac{(2\pi)^d\lambda_1}{(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n}}\right|^2\\
\le\frac{(2\pi)^d\lambda_1\lambda_2|\xi|^{2n}}{|\xi^{2\alpha}|((2\pi)^d\lambda_1+
\lambda_2|\xi|^{2n})^2}(-|\xi^{2\alpha}|+(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n}).
\end{multline*}
Поэтому достаточно показать, что при всех $\xi\in\mathbb R^d$
\begin{equation}\label{ner}
-|\xi^{2\alpha}|+(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n}\ge0.
\end{equation}

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. \cite[стр.~29]{Ha}) следует, что
$$|\xi^{2\alpha}|\le\frac{\alpha^\alpha}{k^k}|\xi|^{2k}.$$
Рассмотрим функцию $y(s)=s^{k/n}$, $s\ge0$. Касательная к этой функции в любой точке $s_0>0$ имеет вид
$$y=\frac kns_0^{k/n-1}s+\frac{n-k}ns_0^{k/n}.$$
Функция $y\cd$ --- вогнутая, поэтому при всех $s\ge0$
$$s^{k/n}\le\frac kns_0^{k/n-1}s+\frac{n-k}ns_0^{k/n}.$$
Положив $s_0=|\wxi|^{2n}$, $s=|\xi|^{2n}$, получаем
$$|\xi^{2\alpha}|\le\frac{\alpha^\alpha}{k^k}|\xi|^{2k}\le\frac{\alpha^\alpha}{k^k}\left(\frac kn|\wxi|^{2(k-n)}|\xi|^{2n}+\frac{n-k}n|\wxi|^{2k}\right).$$
Легко проверить, что
$$\lambda_1=\frac{\alpha^\alpha(n-k)}{(2\pi)^dk^kn}|\wxi|^{2k},\quad\lambda_2=
\frac{\alpha^\alpha}{k^{k-1}n}|\wxi|^{2(k-n)}.$$
Тогда получаем
$$|\xi^{2\alpha}|\le(2\pi)^d\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{2n},$$
что эквивалентно неравенству \eqref{ner}.
\end{proof}

\subsection{Восстановление в метрике $L_\infty(\mathbb R^d)$}

Положим
\begin{equation}\label{g1}
\begin{gathered}
\gamma_1=\frac{n-k-d/2}{n+d(1/2-1/p)},\quad q_1=\frac1{1/2+\gamma_1(1/2-1/p)},\\
\wC_p(n,k)=\gamma_1^{-\frac{\gamma_1}p}
(1-\gamma_1)^{-\frac{1-\gamma_1}2}\Biggl(\frac{B\left(q_1\gamma_1/p+1,q_1(1-\gamma_1)/2\right)}
{2(n-k-d/2)}\Biggr)^{1/q_1}.
\end{gathered}
\end{equation}
Пусть функция $\kappa_1\cd$ при $1<p<\infty$ определена равенством
$$\frac{\kappa_1(t)}{(1-\kappa_1(t))^{p-1}}=\frac{|\psi(t)|^{p-2}}{|\varphi(t)|^{2(p-1)}},$$
при $p=1$
$$\kappa_1(t)=\min\{1,|\psi(t)|^{-1}\},$$
а при $p=\infty$
$$\kappa_1(t)=\left(1-\frac{|\varphi(t)|^2}{|\psi(t)|}\right)_+.$$

\begin{theorem}\label{SS1}
Пусть $k\ge0$, $n>k+d/2$, $1\le p\le\infty$, $k+p>1$,
$$I=\int_{\Pi_{d-1}}\frac{\wps^{q_1}(\omega)}{\wva^{q_1(1-\gamma_1)}
(\omega)}J(\omega)\,d\omega<\infty,\quad\Pi_{d-1}=[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi].$$
Тогда
$$E_{p\infty}(\Lambda,D)=\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\wC_p(n,k)I^{1/q_1}\delta^{\gamma_1}.$$
Метод
$$\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\kappa_1\left(\xi_1^{\frac1{n+d(1/2-1/p)}}\xi\right)\psi(\xi)y(\xi)
\right)\cd,$$
где
$$\xi_1=\delta\left(\frac{(1-\gamma_1)^{p-1}}{\gamma_1}\right)^{\frac{q_1}{2p}}\left(\frac{
\wC_p(n,k)I^{1/q_1}}{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\right)^{q_1(1/2-1/p)},$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу оценки, аналогичной \eqref{EDD}, имеем
$$E_{p\infty}(\Lambda,D)\ge\sup_{\substack{x\cd\in W_p\\\|Fx\cd\|_{\Lp}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}.$$
Предположим, что $x\cd\in W_p$ и $\|Fx\cd\|_{\Lp}\le\delta$. Если взять $\wx\cd$ так, чтобы
$$F\wx(\xi)=\varepsilon(\xi)e^{-i\la t,\xi\ra}Fx(\xi),$$
где
$$\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
\dfrac{\ov{\psi(\xi)}\ov{Fx(\xi)}}{|\psi(\xi)Fx(\xi)|},&\psi(\xi)Fx(\xi)\ne0,\\
0,&\psi(\xi)Fx(\xi)=0,
\end{cases}$$
то $\wx\cd\in W_p$, $\|F\wx\cd\|_{\Lp}\le\delta$ и
$$\biggl|\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)F\wx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\biggr|=\int_{\mathbb R^d}|\psi(\xi)Fx(\xi)|\,d\xi.$$
Поэтому
\begin{equation}\label{Ein}
E_{p\infty}(\Lambda,D)\ge\frac1{(2\pi)^d}\sup_{\substack{x\cd\in W_p\\\|Fx\cd\|_{\Lp}\le\delta}}\int_{\mathbb R^d}|\psi(\xi)Fx(\xi)|\,d\xi.
\end{equation}

Пусть $1\le p<\infty$. Из \eqref{os} вытекает, что
$$E_{p\infty}(\Lambda,D)\ge E_{p12},$$
где в задаче о нахождении $E_{p12}$ функцию $\varphi\cd$ следует заменить на $(2\pi)^{-d/2}\varphi\cd$, а функцию $\psi\cd$ на $(2\pi)^{-d}\psi\cd$. Применяя теорему~\ref{T3}, получаем
$$E_{p\infty}(\Lambda,D)\ge E_{p12}=\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\wC_p(n,k)I^{1/q_1}\delta^{\gamma_1}.$$
Кроме того, из той же теоремы~\ref{T3} вытекает, что
$$\int_{\mathbb R^d}\left|\frac1{(2\pi)^d}\psi(\xi)Fx(\xi)-m(y)(\xi)\right|\,d\xi\le E_{p12},$$
где
$$m(y)(\xi)=\frac1{(2\pi)^d}\kappa_1\left(\xi_1^{\frac1{n+d(1/2-1/p)}}\xi\right)\psi(\xi)y(\xi).$$
Следовательно,
\begin{multline*}
\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi-\int_{\mathbb R^d}m(y)(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\biggr|\\
\le\int_{\mathbb R^d}\left|\frac1{(2\pi)^d}\psi(\xi)Fx(\xi)-m(y)(\xi)\right|\,d\xi\le E_{p12}
\le E_{p\infty}(\Lambda,D).
\end{multline*}
Отсюда вытекает, что метод $\wm(y)\cd$ является оптимальным, а погрешность оптимального восстановления совпадает с величиной $E_{p12}$.

Теперь рассмотрим случай, когда $p=\infty$. Положим
$$s(\xi)=\begin{cases}\dfrac{\psi(\xi)}{|\psi(\xi)|},&\psi(\xi)\ne0,\\
1,&\psi(\xi)=0.\end{cases}$$
Пусть функция $\wx\cd$ такова, что
$$F\wx(\xi)=\begin{cases}\delta\ov{s(\xi)},&|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2,\\
\dfrac\delta\lambda\dfrac{\ov{\psi(\xi)}}{|\varphi(\xi)|^2},&|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2.
\end{cases}$$
Выберем $\lambda>0$ так, чтобы $\|D\wx\cd\|_{\ld}=1$. Тогда для нахождения $\lambda$ получаем уравнение
$$\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}|\varphi(\xi)|^2\,d\xi
+\frac{\delta^2\lambda^{-2}}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2}\frac{|\psi(\xi)|^2
}{|\varphi(\xi)|^2}\,d\xi=1.$$
Переходя к сферическим координатам, получаем
\begin{multline*}
\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\wva^2(\omega)J(\omega)\,d\omega\int_0^{\Phi_2(\omega)}
\rho^{2n+d-1}\,d\rho\\
+\frac{\delta^2\lambda^{-2}}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\frac{\wps^2(\omega)}{\wva^2(\omega)}
J(\omega)\,d\omega\int_{\Phi_2(\omega)}^{+\infty}\rho^{-2n+2k+d-1}\,d\rho=1,
\end{multline*}
где
$$\Phi_2(\omega)=\left(\frac{\wps(\omega)}{\lambda\wva^2(\omega)}\right)^{\frac1{2n-k}}.$$
Тем самым получаем уравнение
$$\frac{\delta^2}{(2\pi)^d}\lambda^{-\frac{2n+d}{2n-k}}\frac{4n-2k}{(2n+d)(2n-2k-d)}I=1.$$
Отсюда
$$\lambda=\left(\frac{\delta^2(4n-2k)}{(2\pi)^d(2n+d)(2n-2k-d)}I\right)^{\frac{2n-k}{2n+d}}.$$

Из \eqref{Ein} вытекает, что
\begin{multline}\label{pss}
E_{\infty\infty}(\Lambda,D)\ge\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\psi(\xi)||F\wx(\xi)|\,d\xi
=\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}
|\psi(\xi)|\,d\xi\\
+\frac\delta{\lambda(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2}
\frac{|\psi(\xi)|^2}{|\varphi(\xi)|^2}\,d\xi
=\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\wps(\omega)J(\omega)\,d\omega
\int_0^{\Phi_2(\omega)}\rho^{k+d-1}\,d\rho\\
+\frac\delta{\lambda(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\frac{\wps^2(\omega)}{\wva^2(\omega)}J(\omega)
\,d\omega\int_{\Phi_2(\omega)}^{+\infty}\rho^{-2n+2k+d-1}\,d\rho
=\frac{\delta\lambda^{-\frac{k+d}{2n-k}}}{(2\pi)^d(k+d)}I\\+\frac\delta{\lambda(2\pi)^d(2n-2k-d)}
\lambda^{\frac{2n-2k-d}{2n-k}}I
=\frac{\delta(2n-k)\lambda^{-\frac{k+d}{2n-k}}I}{(2\pi)^d(k+d)(2n-2k-d)}=\nu,
\end{multline}
где
$$\nu=\frac{(n+d/2)^{\frac{k+d}{2n+d}}}{k+d}\left(\frac{(2n-k)I}{(2\pi)^d(2n-2k-d)}\right)
^{\frac{2n-k}{2n+d}}\delta^{\frac{2n-2k-d}{2n+d}}.$$

Докажем, что для всех $x\cd\in X_\infty$ выполнено равенство
\begin{multline}\label{Toz}
\Lambda x(t)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\\
+\frac\lambda{\delta(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2Fx(\xi)\ov{F\wx(\xi)}e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi.
\end{multline}
Действительно,
\begin{multline*}
\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\\
+\frac\lambda{\delta(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2Fx(\xi)\ov{F\wx(\xi)}e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\\
=\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\\
+\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}
\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\\
+\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|<\lambda|\varphi(\xi)|^2}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\\
=\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi=\Lambda x(t).
\end{multline*}

Оценим погрешность метода
$$m(y)(t)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2)y(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi.$$
Имеем
\begin{multline*}
|\Lambda x(t)-m(y)(t)|=\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\biggr.\\
\biggl.-\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2)y(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\biggr|\\
\le\biggl|\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}\psi(\xi)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\biggr.\\
\biggl.-\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2)Fx(\xi)e^{i\la t,\xi\ra}\,d\xi\biggr|\\
+\frac1{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}|\psi(\xi)-\lambda s(\xi)|\varphi(\xi)|^2||Fx(\xi)-y(\xi)|\,d\xi.
\end{multline*}
Для $x\cd$ таких, что
$$\|Fx\cd-y\cd\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\le\delta,\quad\frac1{(2\pi)^d}\iRd|\varphi(\xi)|^2|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1,$$
учитывая \eqref{Toz}, получаем
$$|\Lambda x(t)-m(y)(t)|\le\frac\lambda{\delta(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\varphi(\xi)|^2|Fx(\xi)||F\wx(\xi)|\,d\xi+\mu
\le\frac\lambda\delta+\mu,$$
где
$$\mu=\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}(|\psi(\xi)|-
\lambda|\varphi(\xi)|^2)\,d\xi.$$
Выше было вычислено (см. первое слагаемое в оценке \eqref{pss})
$$\frac\delta{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}
|\psi(\xi)|\,d\xi=
\frac{\delta\lambda^{-\frac{k+d}{2n-k}}}{(2\pi)^d(k+d)}I.$$
Далее,
\begin{multline*}
\frac{\delta\lambda}{(2\pi)^d}\int_{|\psi(\xi)|\ge\lambda|\varphi(\xi)|^2}
|\varphi(\xi)|^2\,d\xi
=\frac{\delta\lambda}{(2\pi)^d}\int_{\Pi_{d-1}}\wva^2(\omega)J(\omega)\,d\omega
\int_0^{\Phi_2(\omega)}\rho^{2n+d-1}\,d\rho\\
=\frac{\delta\lambda^{-\frac{k+d}{2n-k}}}{(2\pi)^d(2n+d)}I.
\end{multline*}
Таким образом,
$$\mu=\frac{\delta\lambda^{-\frac{k+d}{2n-k}}(2n-k)}{(2\pi)^d(k+d)(2n+d)}I.$$
Нетрудно убедиться, что $\lambda/\delta+\mu=\nu$, поэтому
$$e_{\infty\infty}(\Lambda,D,m)\le\nu\le E_{\infty\infty}(\Lambda,D).$$
Отсюда вытекает, что $m(y)\cd$ --- оптимальный метод, а погрешность оптимального восстановления равна $\nu$. Несложная проверка показывает, что при $p=\infty$
$$\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\wC_\infty(n,k)I^{1/q_1}\delta^{\gamma_1}=\nu.$$

Вычислим $\xi_1$ при $p=\infty$. Имеем
\begin{equation}\label{xx}
\xi_1=\delta(1-\gamma_1)^{\frac{q_1}2}\left(\frac{
\wC_\infty(n,k)I^{1/q_1}}{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\right)^{q_1/2}=\lambda^{\frac{n+d/2}{2n-k}}.
\end{equation}
Метод $m(y)\cd$ может быть записан в виде
$$m(y)\cd=F^{-1}\left(\left(1-\lambda\frac{|\varphi(\xi)|^2}{|\psi(\xi)|}\right)_+\psi(\xi)
y(\xi)\right)\cd.$$
В силу равенства \eqref{xx}
$$m(y)\cd=F^{-1}\left(\kappa_1\left(\xi_1^{\frac1{n+d/2}}\xi\right)\psi(\xi)y(\xi)\right)\cd
=\wm(y)\cd.$$
\end{proof}

\begin{corollary}\label{S3}
Пусть $k\ge0$, $n>k$, $1\le p\le\infty$, $k+p>1$. Тогда
$$E_{p\infty}\left(\frac{d^k}{dt^k},\frac{d^n}{dt^n}\right)=\frac1{(2\pi)^{(1+\gamma_1)/2}}
\wC_p(n,k)2^{1/q_1}\delta^{\gamma_1},$$
где $\gamma_1$, $q_1$ и $\wC_p(n,k)$ определены равенствами \eqref{g1} при $d=1$. Метод
$$\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\kappa_1\left(\xi_1^{\frac1{n+1/2-1/p}}\xi\right)(i\xi)^ky(\xi)\right)
\cd,$$
где
$$\xi_1=\delta\left(\frac{(1-\gamma_1)^{p-1}}{\gamma_1}\right)^{\frac{q_1}{2p}}\left(\frac{
\wC_p(n,k)2^{1/q_1}}{(2\pi)^{(1+\gamma_1)/2}}\right)^{q_1(1/2-1/p)},$$
является оптимальным.
\end{corollary}

Утверждения следствия~\ref{S3} для $p=1,2,\infty$ были получены в работе \cite{MO3}. Там же рассмотрен случай, когда $p=1$, а $k=0$.

\begin{corollary}\label{SS2}
Пусть $k\ge0$, $n>k+d/2$, $1\le p\le\infty$, $k+p>1$.
Тогда
$$E_{p\infty}((-\Delta)^{k/2},(-\Delta)^{n/2})=\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\wC_p(n,k)I_0^{1/q_1}
\delta^{\gamma_1},$$
где $I_0$ определено равенством \eqref{I0}. Метод
$$\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\kappa_1\left(\xi_1^{\frac1{n+d(1/2-1/p)}}\xi\right)|\xi|^ky(\xi)\right)
\cd,$$
где
$$\xi_1=\delta\left(\frac{(1-\gamma_1)^{p-1}}{\gamma_1}\right)^{\frac{q_1}{2p}}\left(\frac{
\wC_p(n,k)I_0^{1/q_1}}{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\right)^{q_1(1/2-1/p)},$$
является оптимальным.
\end{corollary}

Утверждения следствия~\ref{SS2} для $p=\infty$ были получено в работе \cite{Si2}.

Рассмотрим теперь применение теоремы~\ref{SS1} к операторам $\Lambda=D^\alpha$ и $D=(-\Delta)^{n/2}$.

\begin{corollary}
Пусть $k=\alpha_1+\ldots+\alpha_d>0$, $n>k+d/2$, $1\le p\le\infty$. Тогда
$$E_{p\infty}(D^\alpha,(-\Delta)^{n/2})=\frac1{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\wC_p(n,k)
I^{1/q_1}\delta^{\gamma_1},$$
где
\begin{equation}\label{II1}
I=2\frac{\Gamma((\alpha_1q_1+1)/2)
\ldots\Gamma((\alpha_dq_1+1)/2)}{\Gamma((kq_1+d)/2)}.
\end{equation}
Метод
$$\wm(y)\cd=F^{-1}\left(\kappa_1\left(\xi_1^{\frac1{n+d(1/2-1/p)}}\xi\right)(i\xi)^\alpha y(\xi)\right)\cd,$$
где
$$\xi_1=\delta\gamma_1^{-\frac{q_1}{2p}}(1-\gamma_1)^{\frac{q_1}2(1-1/p)}\left(\frac{
\wC_p(n,k)I^{1/q_1}}{(2\pi)^{d(1+\gamma_1)/2}}\right)^{q_1(1/2-1/p)},$$
является оптимальным.
\end{corollary}

\begin{proof}
Величина $I$ из теоремы~\ref{SS1} в рассматриваемом случае имеет вид
$$I=\int_{\Pi_{d-1}}|\cos\omega_1|^{\alpha_1q_1}\ldots|
\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}|^{\alpha_dq_1}J(\omega)\,d\omega.$$
Учитывая \eqref{II}, получаем равенство \eqref{II1}. Теперь утверждение следствия непосредственно вытекает из теоремы~\ref{SS1}.
\end{proof}

Автор признателен рецензентам за ценные замечания и советы.

%\end{fulltext}

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{N} Никольский~С.~М. ``К вопросу об оценках приближений квадратурными
формулами'', {\it Успехи мат. наук}, {\bf5}:2 (1950), 165--177.

\bibitem{Sm} Смоляк~С.~А. {\it Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них}, Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965.

\bibitem{MOs} Марчук~А.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек'', {\it Мат. заметки}, {\bf17}:3 (1975), 359--368.

\bibitem{MR} Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J. ``A survey of optimal
recovery'', Optimal Estimation in Approximation Theory. New York: Plenum Press, 1977, 1--54.

\bibitem{Sc} Scharlach~R. ``Optimal recovery by linear functionals'', {\it J. Approx. Theory}, {\bf44}:2 (1985), 167--172.

\bibitem{MCh} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Чан Тхи Ле, ``К задаче оптимального восстановления функционалов'', {\it Успехи мат. наук}, {\bf42}:2 (1987), 237--238.

\bibitem{Ar} Арестов~В.~В. ``Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи'', {\it Тр. МИАН СССР}, {\bf189} (1989), 3--20.

\bibitem{MO91} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным'', {\it Мат. заметки}, {\bf50}:6 (1991), 85--93.

\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'',
{\it SIAM J. Numer. Anal.}, {\bf16} (1979), 87--105.

\bibitem{Ta} Тайков Л.~Н. ``Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования'', {\it Матем. заметки}, {\bf4}:2 (1968), 233--238.

\bibitem{Osc} Osipenko~K.~Yu. ``Optimal recovery of operators and multidimensional Carlson type inequalities'', {\it J. Complexity},  {\bf32}:1 (2016), 53--73.

\bibitem{Le} Левин~В.~И. ``Точные константы в неравенствах типа Карлсона'', {\it ДАН}, {\bf59} (1948), 635--638.

\bibitem{Ar21} Арестов~В.~В. ``Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи'', {\it Тр. МИАН СССР}, {\bf138} (1975), 29--42.

\bibitem{Ar2} Арестов~В.~В. ``Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи'', {\it Успехи мат. наук}, {\bf51}:6 (1996), 89--124.


\bibitem{Ar3} Arestov~V.~V. ``On the best approximation of the differentiation operator'', {\it Ural Math. J.}, {\bf1}:1 (2015), 20--29.

\bibitem{Ar4} Арестов~В.~В. ``Наилучшее равномерное приближение оператора дифференцирования ограниченными в пространстве $L_2$ операторами'', {\it Тр. ИММ УрО РАН}, {\bf24}:4 (2018), 34--56.

\bibitem{Ar5} Arestov~V.~V. ``Best approximation of a differentiation operator on the set of smooth functions with exactly or approximately given Fourier transform'', In: Khachay~M., Kochetov~Y., Pardalos~P. (eds) {\it Mathematical Optimization TTheory and Operation Research. MOTOR 2019}. Lecture Notes in Computer Science, Springer (2019), 434--448.

\bibitem{Ar6} Arestov~V.~V. ``Uniform approximation of differentiation operators by bounded linear operators in the space $L_r$'', {\it Analysis Math.}, {\bf46}:3 (2020), 425--445.

\bibitem{NP} Тимошин~О.~А. ``Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках $L$ и $C$ на плоскости'', {\it Матем. заметки}, {\bf36}:3 (1984), 369--375.

\bibitem{NP1} Тимофеев~В.~Г. ``Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных'', {\it Матем. заметки}, {\bf37}:5 (1985), 676--689.

\bibitem{Osn} Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках'', {\it Матем. сб.}, {\bf205}:10 (2014), 77--106.

\bibitem{Bur} Barza~S., Burenkov~V., Pe\v cari\'c~J., Persson~L.-E. ``Sharp multidimentional multiplicative inequalities for weighted $L_p$ spaces with homogeneous weights'', {\it Math. Ineq. Appl.}, {\bf1} (1998), 53--67.

\bibitem{MO} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?'', {\it Матем.
заметки}, {\bf92}:1 (2012), 59--67.

\bibitem{Si} Сивкова~Е.~О. ``Об оптимальном восстановлении лапласиана функции по ее неточно заданному преобразованию Фурье'', {\it Владикавк. матем. журн.}, {\bf14}:4 (2012), 63--72.

\bibitem{Si1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Сивкова~Е.~О. ``Наилучшее восстановление оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру'', {\it Матем.
сб.}, {\bf203}:4 (2012), 119--130.

\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление производных на соболевских классах'', {\it Владикавк. матем. журн.}, {\bf5}:1 (2003), 39--47.

\bibitem{MO2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``О наилучших методах восстановления производных на соболевских классах'', {\it Изв. РАН. Сер. мат.}, {\bf78}:6 (2014), 83--102.

\bibitem{Ha} Харди~Г.~Г., Литтльвуд~Д.~Е., Полиа.~Г. {\it Неравенства}, М.: Иностранная литература, 1948.

\bibitem{MO3} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление значений функций и их производных на прямой по неточно заданному преобразованию Фурье'', {\it Матем.
сб.}, {\bf195}:10 (2004), 67--82.

\bibitem{Si2} Сивкова~Е.~О. ``Наилучшее восстановление лапласиана функции и точные неравенства'', {\it Фундамент. и прикл. матем.}, {\bf18}:5 (2013), 175--185.

\end{thebibliography}
\end{document}

