\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\tolerance 1100

\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{cor}{Следствие}
\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{pro}{Предложение}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\spa}{span}

\renewcommand*{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand*{\hi}{H_{\infty,\beta}^r}
\newcommand*{\hir}{H_{\infty,\beta}^{r,\mathbb R}}
\newcommand*{\h}{H_{\infty,\beta}}
\newcommand*{\hrr}{H_\infty^r}
\newcommand*{\hR}{H_\infty^{r,\mathbb R}}
\newcommand*{\hr}{H_{\infty,\beta}^\mathbb R}
\newcommand*{\ef}{\Phi_{n,r}^\beta}
\newcommand*{\vp}{\varphi_{n,r}^\beta}
\newcommand*{\vpo}{\varphi_{n,0}^\beta}
\newcommand*{\ov}{\overline}

\begin{document}
\title[Об оптимальных методах восстановления]{Об оптимальных методах
восстановления в пространствах Харди--Соболева}
\author{К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No99-01-01181 и
\No00--15--96109)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
%\date{}

\begin{abstract}
В работе предложен общий подход к построению оптимальных методов
восстановления линейных функционалов по известному решению двойственной
экстремальной задачи, основанный на некоторой параметризации этого решения.
С помощью предложенного подхода удается решить ряд задач оптимального
восстановления функций на классах Харди--Соболева таких, как восстановление
значений функции по информации о коэффициентах Фурье или о значениях в
некоторой системе узлов в периодическом и непериодическом случаях.
\end{abstract}
\maketitle

\section{Постановка задачи и метод параметризации}

Пусть $W$ --- некоторое множество из линейного пространства $X$. Рассмотрим
задачу оптимального восстановления линейного функционала $L$ на этом
множестве по значениям линейных функционалов $l_1,\ldots,l_n$. Положим для
$x\in W$
$$Ix:=(l_1x,\ldots,l_nx).$$
Оператор $I\colon W\to K^n$, где $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$ в
зависимости от того, вещественное или комплексное линейное пространство
$X$, называется {\it информационным\/} оператором. Величина
$$e(L,W,I):=\infp_{S\colon K^n\to K}\sup_{x\in W}|Lx-S(Ix)|$$
называется {\it погрешностью\/} оптимального восстановления функционала $L$
на множестве $W$. Всякий метод $S_0$, для которого
$$\sup_{x\in W}|Lx-S_0(Ix)|=e(L,W,I),$$
будем называть {\it оптимальным\/} методом восстановления.

С.~А.~Смоляком \cite{Smolyak} было доказано, что в вещественном случае для
выпуклого и центрально-симметричного множества $W$ среди оптимальных
методов восстановления существует линейный и имеет место равенство
\begin{equation}\label{Sm}
e(L,W,I)=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|.
\end{equation}
Аналогичный результат в комплексном случае для выпуклого и уравновешенного
множества $W$ был доказан в работе \cite{Os} (более общие постановки задач
восстановления и соответствующие результаты можно найти в работе \cite{MOs}
и цитируемой там литературе).

Всякий элемент $x_0\in W$, для которого $Ix_0=0$ и
$$|Lx_0|=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|,$$
будем называть {\it экстремальным}. Задача нахождения экстремального
элемента чаще оказывается более простой, чем задача нахождения оптимального
метода восстановления. Цель данной работы --- предложить способ,
позволяющий по экстремальному элементу (при наличии некоторой его
параметризации) получать оптимальный метод восстановления, и построить ряд
оптимальных методов восстановления, используя предложенную схему.

\begin{thm}\label2
Пусть $X$ --- вещественное линейное пространство, $W$ --- выпуклое
центрально-симметричное множество из $X$ и $x_0$ --- экстремальный элемент
в задаче оптимального восстановления линейного функционала $L$ на множестве
$W$ по значениям линейных функционалов $l_1x,\ldots,l_nx$. Предположим, что
при всех $M=(t_1,\ldots,t_{s+n})\in\mathbb R^{n+s}$ из некоторой
окрестности точки $M_0\in\mathbb R^{n+s}$ существуют $x(M)\in X$ такие, что
$x(M_0)=x_0$ и для заданных функций $\psi_1(M),\ldots,\psi_s(M)$ таких, что
$\psi_j(M_0)=0$, $j=1,\ldots,s$, при всех $M$ из окрестности $M_0$,
удовлетворяющих условию $\psi_j(M)=0$, $j=1,\ldots,s$, \ $x(M)\in W$ $($в
случае $s=0$ будем считать, что при всех $M$ из окрестности $M_0$ \ $x(M)
\in W)$. Тогда, если функции $\varphi(M):=Lx(M)$, $\varphi_j(M):=l_jx(M)$,
$j=1,\ldots,n$, и $\psi_j(M)$, $j=1,\ldots,s$, имеют в окрестности $M_0$
непрерывные частные производные по всем аргументам и определитель матрицы
$$J(M)=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_1}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n}{
\partial t_1}&\dfrac{\partial\psi_1}{\partial t_1}&\ldots&\dfrac{\partial
\psi_s}{\partial t_1}\\
\hdotsfor{6}\\
\dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_{n+s}}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n
}{\partial t_{n+s}}&\dfrac{\partial\psi_1}{\partial t_{n+s}}&\ldots&\dfrac{
\partial\psi_s}{\partial t_{n+s}}
\end{pmatrix}$$
отличен от нуля в точке $M_0$, то единственным линейным оптимальным методом
восстановления является метод
$$Lx\approx\sum_{j=1}^nC_jl_jx,$$
где $C_1,\ldots,C_n$ --- решения системы
$$J(M_0)\mathbf C=\grad\varphi_{\big|M_0},$$
в которой $\mathbf C=(C_1,\ldots,C_{n+s})$.
\end{thm}

\begin{proof}
Пусть
$$Lx\approx\sum_{j=1}^nC_jl_jx$$
--- оптимальный метод восстановления. Тогда в силу того, что $x_0$
экстремальный элемент, имеем при всех $x\in W$
$$|Lx-\sum_{j=1}^nC_jl_jx|\le|Lx_0|.$$
Следовательно, при всех $M$ из некоторой окрестности $M_0$ таких, что $\psi
_j(M_0)=0$, $j=1,\ldots,s$, выполнено неравенство
$$|\varphi(M)-\sum_{j=1}^nC_j\varphi_j(M)|\le|\varphi(M_0)|.$$
Поскольку $\varphi_j(M_0)=0$, $j=1,\ldots,n$, то отсюда легко вытекает, что
функция
$$\varphi(M)-\sum_{j=1}^nC_j\varphi_j(M)$$
имеет относительный экстремум в точке $M_0$. Метод Лагранжа приводит к
необходимым условиям
$$\frac{\partial\varphi}{\partial t_m}-\sum_{j=1}^nC_j\frac{\partial\varphi
_j}{\partial t_m}-\sum_{j=1}^sC_{n+j}\frac{\partial\psi_j}{\partial t_m}=0,
\quad m=1,\ldots,n+s,$$
из которых однозначно определяются $C_1,\ldots,C_n$.
\end{proof}

Приведем один простейший пример. Пусть $\mathcal H_\infty^\mathbb R$
пространство функций, аналитических в единичном круге
$$D:=\{\,z\in\mathbb C:|z|<1\,\},$$
ограниченных в нем и вещественных на интервале $(-1,1)$. В качестве
множества $W$ рассмотрим $H_\infty^\mathbb R$ --- множество функций из $
\mathcal H_\infty^\mathbb R$, удовлетворяющих условию
$$\sup_{z\in D}|f(z)|\le1.$$

Для задачи оптимального восстановления функций из $H_\infty^\mathbb R$ в
точке $\tau\in(-1,1)$ по их значениям в нуле двойственная экстремальная
задача \eqref{Sm} решается сразу же с помощью леммы Шварца:
$$\sup_{\substack{f\in H_\infty^\mathbb R\\f(0)=0}}|f(\tau)|=|\tau|.$$
Тем самым функция $f_0(z)=z$ является экстремальной для рассматриваемой
задачи. Положим
$$f_1(z,t)=\frac{z+t}{1+tz}.$$
Легко убедиться, что $f_1(z,t)\in H_\infty^\mathbb R$ при всех $t\in(-1,1)
$. Кроме того, $f_1(z,0)=f_0(z)$ и $f_1(0,t)=t$. Из теоремы~\ref2 получаем,
что единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод
$$f(\tau)\approx\left(\frac{\partial f_1}{\partial t}(0,0)\right)^{-1}\frac{
\partial f_1}{\partial t}(\tau,0)f(0)=(1-\tau^2)f(0).$$
Более общие результаты относительно рассмотренной задачи можно найти в
\cite{Os} и \cite{FM} (они также могут быть получены предлагаемым методом).

\section{Восстановление по коэффициентам Фурье}

Классом Харди--Соболева $\hi$ будем называть множество $2\pi$-периодических
функций, аналитических в полосе $S_\beta:=\{z\in\mathbb C:|\Im z|<\beta\}$
и удовлетворяющих условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, $z\in S_\beta$. Через $\hir$
будем обозначать класс функций из $\hi$, вещественных на вещественной оси.
В случае $r=0$ эти классы будем обозначать через $\h$ и $\hr$,
соответственно.

Положим
\begin{align*}
a_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\cos jx\,dx,\quad j=0,1,\ldots\,\,,\\
b_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\sin jx\,dx,\quad j=1,2,\ldots\,\,,
\end{align*}
где $\mathbb T:=[0,2\pi)$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления
значения $f(\xi)$, $f\in\hi$, $\xi\in\mathbb T$, по значениям
информационного оператора
$$If=(a_0(f),a_1(f),\ldots,a_{n-1}(f),b_1(f),\ldots,b_{n-1}(f)).$$
В силу инвариантности рассматриваемого класса относительно сдвига
погрешность оптимального восстановления не зависит от точки $\xi$. Будем
обозначать ее через $e(\hi,I)$.

Решение исследуемой задачи дается в терминах теории эллиптических функций.
Напомним некоторые определения из этой теории. Полными эллиптическими
интегралами первого рода для модулей $k$ и $k':=\sqrt{1-k^2}$ называются
величины
$$K:=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\quad K':=\int_0^1\frac{dt
}{\sqrt{(1-t^2)(1-k'{}^2t^2)}}.$$
В дальнейшем будем считать, что $k$ выбрано из условия
$$\frac{\pi K'}{2K}=\beta.$$
При этом $k$ определяется равенством (см., например, \cite{Akh})
$$k=4e^{-\beta}\left(\frac{\sum_{m=0}^\infty e^{-2\beta m(m+1)}}{1+2\sum_{m
=1}^\infty e^{-2\beta m^2}}\right)^2.$$
Мы будем использовать стандартные обозначения $\sn(z,k)$, $\cn(z,k)$ и $\dn
(z,k)$ для эллиптических функций Якоби, опуская зависимость их от модуля,
когда последний равен $k$.

Положим
$$\Phi_{n,0}^\beta(z):=\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda
\right),\quad \ef:=D_r*\Phi_{n,0},\quad r\ge1,$$
где $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля
$\lambda$, определяемого равенством
$$\frac{\Lambda'}\Lambda=2n\frac{K'}K=\frac{4\beta n}\pi,$$
$$D_r(t)=2\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos(mt-\pi r/2)}{m^r},\quad r=1,2,\ldots
\,\,,$$
--- ядро Бернулли, а
$$(f*g)(z):=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tf(z-t)g(t)\,dt.$$

Функции $\ef$, введенные в работе \cite{OsCo}, обладают свойствами,
аналогичными свойствам идеальных сплайнов Эйлера (см., например, \cite
[стр.~72]{Kor}). Идеальные сплайны Эйлера являются решениями ряда
классических экстремальных задач на классах Соболева (о точных значениях
поперечников, о неравенстве для производных колмогоровского типа и др.), а
функции $\ef$ оказываются решениями аналогичных задач для аналитических
функций из классов Харди--Соболева. Из работы \cite{OsCo} следует, что
$$\begin{aligned}
\ef(z)&=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{\sin((2m+1)
nz-\pi r/2)}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)},\\
\|\ef\|_\infty&=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1
)^{m(r+1)}}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)},
\end{aligned}\qquad r=0,1,\ldots$$
(через $\|\cdot\|_\infty$ мы обозначаем стандартную норму в $L_\infty(
\mathbb T)$).

В \cite{OsW} было доказано, что
$$e(\hi,I)=\|\ef\|_\infty,$$
а экстремальной функцией для задачи оптимального восстановления значения $f
(0)$ на классе $\hi$ по информационному оператору $I$ является функция
$$\vp(z):=\begin{cases}\ef\left(z+\dfrac\pi{2n}\right),&r=2l,\\
\ef(z),&r=2l+1.\end{cases}$$
Однако вопрос о сам\'ом оптимальном методе восстановления остался открытым.
Пользуясь теоремой~\ref2, мы построим линейный оптимальный метод
восстановления для этой задачи.

Докажем сначала один вспомогательный результат. Положим
$$\ctn z:=\frac{\cn z\dn z}{\sn z}.$$

\begin{lem}\label{l1}
При всех $0\le t_1<\ldots<t_{2n}<2K$ система функций
$$1,\ctn\left(\frac K\pi z-t_1\right),\ldots,\ctn\left(\frac K\pi z-t_{2n}
\right)$$
является чебышевской на множестве $\mathbb T\setminus\{\pi t_1/K,\ldots,\pi
t_{2n}/K\}$.
\end{lem}

\begin{proof}
Предположим, что существуют вещественные числа $C_0,C_1,\ldots,C_{2n}$, не
все равные нулю, для которых функция
$$C_0+\sum_{j=1}^{2n}C_j\ctn\left(\frac K\pi z-t_j\right)$$
имеет $2n+1$ нулей на множестве $\mathbb T\setminus\{\pi t_1/K,\ldots,\pi t
_{2n}/K\}$. Тогда функция
\begin{multline*}
g(z)=C_0\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi z-t_j\right)\\
+\sum_{m=1}^{2n}C_m\cn\left(\frac K\pi z-t_m\right)\dn\left(\frac K\pi z-t_
m\right)\prod_{\substack{j=1\\j\ne m}}^{2n}\sn\left(\frac K\pi z-t_j\right)
\end{multline*}
должна иметь не менее $2n+1$ нулей на $\mathbb T$. Функция $g(z)$ ---
эллиптическая функция с периодами $2\pi$, $2\pi K'/K$. Из теоремы Лиувилля
(см.~\cite[стр.~14]{Akh}) следует, что число нулей $g(z)$ в параллелограмме
периодов, подсчитанное с учетом кратностей, совпадает с числом полюсов.
Число полюсов у функции $g(z)$ в параллелограмме периодов не превосходит
$2n+1$. Поскольку число нулей с учетом кратности $2\pi$-периодической
функции $g(z)$ должно быть четным, то оно не превосходит $2n$, что
противоречит сделанному предположению.
\end{proof}

Положим
$$\sigma(z):=\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda\right)\ctn\frac K\pi z.
$$

\begin{thm}\label F
Для всех $\xi\in\mathbb T$ метод
$$f(\xi)\approx d_0\frac{a_0(f)}2+\sum_{j=1}^{n-1}d_j(a_j(f)\cos j\xi+b_j(f
)\sin j\xi),$$
где
\begin{multline*}
d_j=\frac2{na_j(\sigma)}\sum_{m=1}^n(-1)^{m+1}\ctn\frac{2m-1}{2n}K\cos j
\frac{2m-1}{2n}\pi,\\
j=0,\ldots,n-1,
\end{multline*}
является оптимальным на классе $\h$. При $r\ge1$ для всех $\xi\in\mathbb T$
оптимальным методом на классе $\hi$ является метод
$$f(\xi)\approx\frac{a_0(f)}2+\frac2n\sum_{j=1}^{n-1}\frac{j^rd_{jr}}{a_j(
\sigma)}(a_j(f)\cos j\xi+b_j(f)\sin j\xi),$$
где
$$d_{jr}=\begin{cases}\displaystyle(-1)^{r/2}\sum_{m=1}^n(D_r*\sigma)\biggl(\dfrac{
2m-1}{2n}\pi\biggr)\cos j\dfrac{2m-1}{2n}\pi,&r=2l,\\
\displaystyle(-1)^{(r-1)/2}\sum_{m=1}^{n-1}(D_r*\sigma)\biggl(\dfrac mn\pi
\biggr)\sin j\dfrac mn\pi,&r=2l+1.\end{cases}$$
\end{thm}

\begin{proof}
Рассмотрим сначала задачу об оптимальном восстановлении значения $f(0)$ на
классе $\hir$ по информационному оператору
$$I_0f:=(a_0(f),a_1(f),\ldots,a_{n-1}(f)).$$
Имеем
$$e(\hir,I_0)=\sup_{\substack{f\in\hir\\I_0f=0}}|f(0)|\ge|\vp(0)|.$$
С другой стороны, если $f\in\hir$ и $I_0f=0$, то, положив
$$f_0(z):=\frac{f(z)+f(-z)}2,$$
получаем, что $f_0\in\hir$, $I_0f_0=0$ и, кроме того, поскольку $f_0$
четная функция, $b_m(f)=0$, $m\in\mathbb N$. Следовательно,
$$f(0)=f_0(0)\le\sup_{\substack{f\in\hi\\If=0}}|f(0)|=|\vp(0)|.$$
Тем самым
$$e(\hir,I_0)=|\vp(0)|.$$

С помощью первого главного преобразования эллиптических функций $2n$-й
степени можно показать (см.~\cite{OsIz}), что
$$\vpo(z)=\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z+\Lambda,\lambda\right)
=k^n\prod_{m=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi z-\frac{2m-1}{2n}K\right).$$
Положим для $M=(t_1,\ldots,t_n)$
$$h_M(z):=k^n\prod_{m=1}^n\sn\left(\frac K\pi z-t_m\right)\prod_{m=n+1}^{2n
}\sn\left(\frac K\pi z-\frac{2m-1}{2n}K\right).$$
Тогда при всех $M\in[0,2K)^n$ \ $h_M\in\hr$, а для
$$t_m^0:=\frac{2m-1}{2n}K$$
и $M_0:=(t_1^0,\ldots,t_n^0)$ \ $h_{M_0}=\vpo$.

Пусть $r=0$. Покажем, что определитель матрицы $J(M_0)$, состоящей из
элементов
$$\frac\partial{\partial t_m}a_j(h_M)_{\big|M_0}=a_j\biggl(\frac{\partial
h_M}{\partial t_m}_{\Big|M_0}\biggr),\quad m=1,\ldots,n,\ j=0,\ldots,n-1,$$
отличен от нуля. Если предположить противное, то найдутся вещественные
числа $C_1,\ldots,C_n$, не все равные нулю, такие, что для функции
$$g=\sum_{m=1}^nC_m\frac{\partial h_M}{\partial t_m}_{\Big|M_0}$$
будут выполнены равенства $a_0(g)=\ldots=a_{n-1}(g)=0$. Следовательно, для
четной функции $g_0(z):=g(z)+g(-z)$ будут выполняться равенства
$$a_0(g_0)=a_1(g_0)=b_1(g_0)=\ldots=a_{n-1}(g_0)=b_{n-1}(g_0)=0.$$
Поскольку
$$\frac{\partial h_M}{\partial t_m}(z)=-h_M(z)\ctn\left(\frac K\pi z-t_m
\right),$$
то в силу четности функции $h_{M_0}$ имеем
\begin{multline*}
g_0(z)=-h_{M_0}(z)\sum_{m=1}^nC_m\left(\ctn\left(\frac K\pi z-t_m^0\right)-
\ctn\left(\frac K\pi z+t_m^0\right)\right)\\
=-h_{M_0}(z)\sum_{m=1}^nC_m\left(\ctn\left(\frac K\pi z-t_m^0\right)-\ctn
\left(\frac K\pi z-\tau_m^0\right)\right),
\end{multline*}
где $\tau_m^0=2K-t_m^0$. Положим
$$F:=g_0-C_0h_{M_0},$$
где $C_0=g_0(0)/h_{M_0}(0)$. Для функции $F$ выполняются равенства
$$a_0(F)=a_1(F)=b_1(F)=\ldots=a_{n-1}(F)=b_{n-1}(F)=0.$$ В силу того, что
тригонометрическая система $$1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos(n-1)x,\sin(n-1)x$$
является чебышевской, функция $F$ должна иметь не менее $2n$ перемен знака
на $\mathbb T$ (см.~\cite[стр.~41]{Pi}). Кроме того, функция $F(z)$ в силу
четности имеет нуль при $z=0$ без перемены знака. Тем самым у функции $F$
не менее $2n+1$ различных нулей на $\mathbb T$, что противоречит лемме~\ref
{l1}.

Из теоремы~\ref2 (при $s=0$) вытекает, что для нахождения оптимального
метода остается решить систему
\begin{multline}\label{s0}
\sum_{j=0}^{n-1}C_ja_j\biggl(\frac{\partial h_M}{\partial t_m}_{\Big|M_0}
\biggr)=\frac{\partial h_M(0)}{\partial t_m}_{\Big|M_0}=\sqrt\lambda\ctn
\frac{2m-1}{2n}K,\\
m=1,\ldots,n.
\end{multline}
Имеем
\begin{multline*}
a_j\biggl(\frac{\partial h_M}{\partial
t_m}_{\Big|M_0}\biggr)=-\frac1\pi\int_\mathbb Th_{M_0}(z)\ctn\left(\frac K\pi
z-t_m^0\right)\cos jz\,dz\\
=-\frac1\pi\int_\mathbb Th_{M_0}\left(z+\frac{2m-1}{2n}\pi\right)\ctn
\frac K\pi z\cos j\left(z+\frac{2m-1}{2n}\pi\right)\,dz\\
=(-1)^{m+1}\sqrt\lambda a_j(\sigma)\cos j\frac{2m-1}{2n}\pi.
\end{multline*}
Из того, что определитель системы~\eqref{s0} отличен от нуля, вытекает, что
$a_j(\sigma)\ne0$, $j=0,\ldots,n-1$. Тем самым система~\eqref{s0}
эквивалентна системе
\begin{multline}\label{s01}
\sum_{j=0}^{n-1}C_ja_j(\sigma)\cos j\frac{2m-1}{2n}\pi=(-1)^{m+1}\ctn\frac{
2m-1}{2n}K,\\
m=1,\ldots,n.
\end{multline}
В силу ортогональности системы функций $1,\cos x,\ldots,\cos(n-1)x$ на
сетке $\dfrac{2m-1}{2n}\pi$, $m=1,\ldots,n$, получаем, что $C_0=d_0/2$, $C_
j=d_j$, $j=1,\ldots,n-1$.

Пусть теперь $r\ge1$. Рассмотрим функцию
$$h_{P,r}(z):=\begin{cases}\dfrac{t_0}2+(D_r*h_M)(z),&r=2l,\\
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{t_0}2+(D_r*h_M)\left(z-\dfrac\pi{2n}\right),&r=2l+1,\end{cases}$$
где $P=(t_0,t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb R^{n+1}$. При всех $P$ таких, что
$$\psi(P):=a_0(h_M)=0,$$
$h_{P,r}\in\hir$ и, кроме того, для $P_0:=(0,t_1^0,\ldots,t_n^0)$ \ $h_{P_
0,r}=\vp$. Из теоремы~\ref2 (теперь уже с $s=1$) следует, что для
нахождения оптимального метода восстановления надо решить систему
\begin{equation}\label{s1}
\sum_{j=0}^{n-1}C_j\frac{\partial a_j(h_{P,r})}{\partial t_m}_{\Big|P_0}+C_
n\frac{\partial\psi}{\partial t_m}=\frac{\partial h_{P,r}(0)}{\partial t_m}
_{\Big|P_0},\quad m=0,\ldots,n.
\end{equation}

Имеем (все частные производные вычисляются в точке $P_0$)
\begin{gather*}
\frac{\partial a_0(h_{P,r})}{\partial t_0}=1,\quad\frac{\partial a_j(h_{P,r
})}{\partial t_0}=0,\ j=1,\ldots,n-1,\quad\frac{\partial\psi}{\partial t_0}
=0,\\
\frac{\partial a_0(h_{P,r})}{\partial t_m}=0,\quad\frac{\partial\psi}{
\partial t_m}=(-1)^{m+1}\sqrt\lambda a_0(\sigma),\quad m=1,\ldots,n,
\end{gather*}
\begin{multline*}
\frac{\partial a_j(h_{P,r})}{\partial t_m}=\begin{cases}(-1)^{r/2+m+1}\dfrac{\sqrt
\lambda a_j(\sigma)}{j^r}\cos j\dfrac{2m-1}{2n}\pi,&r=2l,\\
\noalign{\vskip5pt}
(-1)^{r/2+m-1/2}\dfrac{\sqrt\lambda a_j(\sigma)}{j^r}\sin j\dfrac mn\pi,&r=
2l+1,\end{cases}\\
j=1,\ldots,n-1,\ m=1,\ldots,n.
\end{multline*}
При $r=2l$ система~\eqref{s1} принимает вид: $C_0=1/2$,
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^{n-1}(-1)^{r/2}\frac{a_j(\sigma)}{j^r}C_j\cos j\frac{2m-1}{2n}
\pi+a_0(\sigma)C_n\\
=(D_r*\sigma)\biggl(\frac{2m-1}{2n}\pi\biggr),\quad m=1,\ldots,n,
\end{multline*}
и решается аналогично системе~\eqref{s0}.

Если $r=2l+1$, то система~\eqref{s1} сводится к следующей: $C_0=1/2$,
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^{n-1}(-1)^{(r-1)/2}\frac{a_j(\sigma)}{j^r}C_j\sin j\frac mn\pi-a
_0(\sigma)C_n\\
=(D_r*\sigma)\biggl(\frac mn\pi\biggr),\quad m=1,\ldots,n.
\end{multline*}
Пользуясь ортогональностью системы функций $\sin x,\ldots,\sin(n-1)x$ на
сетке $m\pi/n$, $m=1,\ldots,n-1$, получаем решение этой системы.

Докажем, что построенный метод (обозначим его через $S$) является
оптимальным на классе $\hi$. Предположим, что найдется функция $f_0\in\hi$,
для которой
\begin{equation}\label{*}
|f_0(0)-S(I_0f_0)|>e(\hi,I_0).
\end{equation}
Тогда для функции $\ov{f_0(\ov z)}\in\hi$ также выполнено неравенство
\eqref*. Без ограничения общности можно считать, что $f_0(0)-S(I_0f_0)>0$.
Следовательно, для функции
$$g(z):=\frac{f_0(z)+\ov{f_0(\ov z)}}2\in\hir$$
имеем
$$g(0)-S(I_0g)>e(\hi,I_0)\ge e(\hir,I_0),$$
что невозможно в силу оптимальности метода $S$ на классе $\hir$.

Для нахождения оптимального метода восстановления значения $f(\xi)$
достаточно рассмотреть оптимальный метод восстановления в нуле для функции
$F(z)=f(z+\xi)$.
\end{proof}

\begin{cor}
Для всех $\xi\in\mathbb T$ метод
$$f(\xi)\approx\frac1n\sum_{|j|\le n-1}\biggl(\sum_{m=1}^n(-1)^{m+1}\ctn
\frac{2m-1}{2n}K\cos j\frac{2m-1}{2n}\pi\biggr)\frac{e^{ij\xi}}{c_j(\sigma)
}c_j(f)$$
является оптимальным методом восстановления на классе $\h$ по значениям
коэффициентов Фурье
$$c_j(f)=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tf(t)e^{-ijt}\,dt,\quad|j|\le n-1.$$
При $r\ge1$ для всех $\xi\in\mathbb T$ оптимальным методом на классе $\hi$
является метод
$$f(\xi)\approx c_0(f)+\frac1n\sum_{\substack{|j|\le n-1\\j\ne0}}|j|^rd_{|j
|r}\frac{e^{ij\xi}}{c_j(\sigma)}c_j(f).$$
\end{cor}

\section{Восстановление по значениям в точках}

Рассмотрим теперь задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $f
\in\hi$, $\xi\in\mathbb T$, по значениям информационного оператора
$$I_\tau:=(f(\tau_1),\ldots,f(\tau_{2n})),$$
 где $\tau=(\tau_1,\ldots,\tau_{2n})$, $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$.
Будем считать, что $r\ge1$ (при $r=0$ решение рассматриваемой задачи было
получено в \cite{OsW}).

Докажем сначала ряд вспомогательных утверждений.

\begin{lem}\label L
При всех $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$ найдутся такие $0\le\theta_1<
\ldots<\theta_{2n}<2\pi$, что для функции $f_0\in\hi$, имеющей вид
$$f_0=c+D_r*B_0,$$
где $c\in\mathbb R$, а
$$B_0(t)=k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(t-\theta_j)\right),$$
$a_0(B_0)=0$ и $f_0(\tau_1)=\ldots=f_0(\tau_{2n})=0.$
\end{lem}

\begin{proof}
Напомним, что произведением Бляшке порядка $m$ для области $\Omega\subset
\mathbb C$ называется функция вида
$$B(z)=\varepsilon\exp\biggl(-\sum_{j=1}^mP(z,\zeta_j)\biggr),$$
где $\zeta_1,\ldots,\zeta_m$ --- точки из $\Omega$, $|\varepsilon|=1$, $P(z
,\zeta)=u(z,\zeta)+iv(z,\zeta)$, $u(z,\zeta)$ --- функция Грина области $
\Omega$ с особенностью в точке $\zeta$, а $v(z,\zeta)$ --- сопряженная к $u
(z,\zeta)$ функция (в общем случае многозначная). Обозначим через $\mathcal
B_{2n}$ множество однозначных произведений Бляшке в кольце $\Omega_\beta=\{
z\in\mathbb C:e^{-\beta}<|z|<e^\beta\}$ степени не выше $2n$, вещественных
на единичном круге $E=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$. В работе \cite{Wi} с
помощью обобщенной задачи Неванлинны--Пика было построено нечетное и
непрерывное в топологии равномерной сходимости на компактах из $\Omega_
\beta$ отображение $\sigma\colon S^{2n}\to\mathcal B_{2n}$, где
$$S^{2n}=\{\,x=(x_0,\ldots,x_{2n})\in\mathbb R^{2n+1}:\sum_{j=0}^{2n+1}|x_j
|^2=1\,\}.$$

Положим для $x\in S^{2n}$
$$\sigma_0(x)=(a_0(B),f_B(\tau_2)-f_B(\tau_1),\ldots,f_B(\tau_{2n})-f_B(
\tau_1)),$$
где $B(t)=\sigma(x)(e^{it})$, а $f_B=D_r*B$. Тогда отображение $\sigma_0
\colon S^{2n}\to\mathbb R^{2n}$ является нечетным и непрерывным, а
следовательно, по теореме Борсука существует $x_0\in S^{2n}$, для которого
$\sigma_0(x_0)=0$. Тем самым построена функция $\widehat B(t):=\sigma(x_0)(
e^{it})$, для которой $a_0(\widehat B)=0$, и функция $\widehat f:=a+D_r*
\widehat B$, для которой при $a=-(D_r*\widehat B)(\tau_1)$
$$\widehat f(\tau_1)=\ldots=\widehat f(\tau_{2n})=0.$$
Поскольку $\widehat f^{(r)}=\widehat B$, то из теоремы Ролля вытекает, что
$\widehat B$ имеет не менее $2n$ различных нулей на $\mathbb T$, а в силу
того, что $\sigma(x_0)\in\mathcal B_{2n}$, $\widehat B$ имеет ровно $2n$
нулей на $\mathbb T$. Остается заметить, что из вида произведений Бляшке
для кольца с нулями на единичной окружности (см.~\cite{OsIz}) вытекает
равенство
$$\widehat B(t)=\varepsilon B_0(t),$$
где $\varepsilon=1$ или $-1$. Положив $f_0=\varepsilon\widehat f$, получим
утверждение леммы.
\end{proof}

\begin{pro}\label P
Пусть $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$ и $f_0$ --- функция из леммы~$\ref
L$. Тогда для любого $\xi\in\mathbb T$ и любой функции $f\in\hi$ такой, что
$f(\tau_1)=\ldots=f(\tau_{2n})=0$ выполнено неравенство
$$|f(\xi)|\le|f_0(\xi)|.$$
\end{pro}

\begin{proof}
Предположим, что при некотором $\xi\in\mathbb T\setminus\{\tau_1,\ldots,
\tau_{2n}\}$ найдется функция $g\in\hi$, для которой $g(\tau_1)=\ldots=g(
\tau_{2n})=0$ и $|g(\xi)|>|f_0(\xi)|$. Так как для функции $\widehat g(z)=g
(z)\exp(-i\arg g(\xi))$ выполнены те же условия, можно без ограничения
общности считать, что $g(\xi)>0$. Положим
$$g_0(z):=\frac{g(z)+\ov{g(\ov z)}}2.$$
Очевидно, что $g_0\in\hir$ и $g_0(\xi)=g(\xi)$. Рассмотрим функцию
$$F:=f_0-\rho g_0,\quad\rho=\frac{f_0(\xi)}{g_0(\xi)}.$$
Эта функция имеет нули в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n},\xi$.
Следовательно, по теореме Ролля $F^{(r)}$ имеет не менее $2n+1$ нулей на $
\mathbb T$. Отсюда вытекает, что однозначная и аналитическая в кольце $
\Omega_\beta$ функция $F^{(r)}\left(\dfrac1i\ln w\right)$ имеет в этом
кольце не менее $2n+1$ нулей. Поскольку произведение Бляшке на границе $
\Omega_\beta$ удовлетворяет условию
$$\left|B_0\left(\dfrac1i\ln w\right)\right|=1,\quad w\in\partial\Omega_
\beta,$$
а $f^{(r)}_0=B_0$, то при $w\in\partial\Omega_\beta$
\begin{multline*}
\left|f^{(r)}_0\left(\frac1i\ln w\right)-F^{(r)}\left(\frac1i\ln w\right)
\right|=\left|\rho g_0^{(r)}\left(\frac1i\ln w\right)\right|\\
\le|\rho|<1=\left|f^{(r)}_0\left(\frac1i\ln w\right)\right|.
\end{multline*}
Так как у $B_0\left(\dfrac1i\ln w\right)$ ровно $2n$ нулей в области $
\Omega_\beta$, то по теореме Руше точно такое же число нулей должно быть и
у функции $F^{(r)}\left(\dfrac1i\ln w\right)$. Полученное противоречие
завершает доказательство теоремы.
\end{proof}

\begin{thm}\label{SP}
При всех $\xi\in\mathbb T$ метод
$$f(\xi)\approx\sum_{j=1}^{2n}C_j(\xi)f(\tau_j),$$
в котором $C_1(\xi),\ldots,C_{2n}(\xi)$ являются решениями системы
\begin{equation}\label{Sys}
\begin{pmatrix}
1&\ldots&1&0\\
f_1(\tau_1)&\ldots&f_1(\tau_{2n})&a_0(g_1)\\
\hdotsfor4\\
f_{2n}(\tau_1)&\ldots&f_{2n}(\tau_{2n})&a_0(g_{2n})
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_1(\xi)\\
C_2(\xi)\\
\vdots\\
C_{2n+1}(\xi)
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1\\
f_1(\xi)\\
\vdots\\
f_{2n}(\xi)
\end{pmatrix},
\end{equation}
где
$$f_m=(D_r*g_m),\quad g_m(t)=B_0(t)\ctn\left(\frac K\pi(t-\theta_m)\right),
\quad m=1,\ldots,2n,$$
а функция $B_0$ с нулями $\theta_m$ определена в лемме~$\ref L$, является
оптимальным на классе $\hi$. При этом для погрешности оптимального
восстановления имеет место равенство
$$e(\xi,\hi,I_\tau)=|(D_r*B_0)(\xi)-(D_r*B_0)(\tau_1)|.$$
\end{thm}

\begin{proof}
Положим $\theta_0:=-(D_r*B_0)(\tau_1)$ и
$$B_P(t):=k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(t-t_j)\right),\quad f_P:=t
_0+D_r*B_P,$$
где $P=(t_0,t_1,\ldots,t_{2n})$. Тогда при $P=P_0:=(\theta_0,\theta_1,
\ldots,\theta_{2n})$ в силу соотношения двойственности~\eqref{Sm} и
предложения~\ref P функция $f_{P_0}$ является экстремальной в задаче
оптимального восстановления значения $f(\xi)$ на классе $\hi$, а также и на
классе $\hir$. Положим $\tau_0:=\xi$,
$$\varphi_j(P):=f_P(\tau_j),\ j=0,\ldots,2n,\quad\psi(P):=a_0(B_P).$$
Имеем
$$\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_0}=1,\ j=0,\ldots,2n,\quad\frac{
\partial\psi}{\partial t_0}=0,$$
и при всех $m=1,\ldots,2n$
$$\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_m}_{\Big|P_0}=-\frac K\pi f_m(\tau_j),
\quad j=0,\ldots,2n,\quad\frac{\partial\psi}{\partial t_m}_{\Big|P_0}=-
\frac K\pi a_0(g_m).$$
Из теоремы~\ref2 вытекает, что коэффициенты оптимального метода
восстановления определяются из системы~\eqref{Sys} при условии, что
определитель этой системы отличен от нуля. Если предположить противное, то
должны найтись вещественные $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{2n}$, не все
равные нулю, для которых функция
$$g=\alpha_0+D_r*\biggl(\sum_{j=1}^{2n}\alpha_jg_j\biggr)$$
обращается в нуль в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$ и, кроме того,
$$a_0\biggl(\sum_{j=1}^{2n}\alpha_jg_j\biggr)=0.$$
Пусть $\tau_0\in\mathbb T\setminus\{\tau_1,\ldots,\tau_{2n}\}$. Рассмотрим
функцию
$$F:=g-\rho f_{P_0},\quad\rho=\frac{g(\tau_0)}{f_{P_0}(\tau_0)}.$$
Функция $F$ имеет нули в точках $\tau_0,\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$.
Следовательно, по теореме Ролля $F^{(r)}$ имеет не менее $2n+1$ нулей на
$\mathbb T$. Имеем
$$F^{(r)}(t)=\sum_{j=1}^{2n}\alpha_jg_j(t)-\rho B_0(t)=B_0(t)\biggl(\sum_{j
=1}^{2n}\alpha_j\ctn\left(\frac K\pi(t-\theta_j)\right)-\rho\biggr).$$
Из леммы~\ref{l1} вытекает, что $F^{(r)}$ не может иметь более, чем $2n$
нулей на $\mathbb T$. Полученное противоречие доказывает, что определитель
системы~\eqref{Sys} отличен от нуля.

Для доказательства оптимальности построенного метода на классе $\hi$ можно
воспользоваться теми же рассуждениями, которые были проведены в
доказательстве теоремы~\ref F.
\end{proof}

Обозначим матрицу системы~\eqref{Sys} через $A$. Тогда оптимальный метод,
построенный в теореме~\ref{SP}, будет иметь вид
$$f(\xi)\approx(A^{-1}\mathbf G(\xi),\mathbf f)=(\mathbf G(\xi),(A^*)^{-1}
\mathbf f),$$
где $\mathbf G(\xi)=(1,f_1(\xi),\ldots,f_{2n}(\xi))$, $\mathbf f=(f(\tau_1)
,\ldots,f(\tau_{2n}),0)$, а $A^*$ --- матрица, сопряженная к $A$ (здесь $(
\cdot,\cdot)$ --- стандартное скалярное произведение в $\mathbb R^{2n+1}$).
Тем самым оптимальный метод может быть записан в виде
$$f(\xi)\approx d_0+\sum_{m=1}^{2n}d_m(D_r*g_m)(\xi),$$
где $d_0,d_1,\ldots,d_{2n}$ --- решения системы
\begin{equation}\label{Int}
\left\{\begin{aligned}
d_0+\sum_{m=1}^{2n}d_m(D_r*g_m)(\tau_j)&=f(\tau_j),\quad j=1,\ldots,2n,\\
\sum_{m=1}^{2n}d_ma_0(g_m)&=0.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

Пусть $X_{2n}^\theta$ --- множество функций вида
$$c_0+\sum_{n=1}^{2n}c_m(D_r*g_m),$$
где $c_1,\ldots,c_{2n}$ удовлетворяют условию
$$\sum_{n=1}^{2n}c_ma_0(g_m)=0.$$
Тогда, учитывая \eqref{Int}, получаем

\begin{cor}\label{In}
Пусть $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$, а $0\le\theta_1<\ldots<\theta_{2n
}<2\pi$ --- определены леммой~$\ref L$. Тогда функция $g(\xi)\in X_{2n}^
\theta$, интерполирующая $f$ в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$, является
оптимальным методом восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in\mathbb T$, на
классе $\hi$ по значениям в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$.
\end{cor}

Рассмотрим задачу оптимального восстановления для равномерной сетки
$$\tau_m^0:=\frac{m-1}n\pi,\quad m=1,\ldots,2n.$$
Положим
$$t_{mr}:=\begin{cases}\tau_m^0,&r=2l,\\
\tau_m^0+\dfrac\pi{2n},&r=2l+1,\end{cases}\quad m=1,\ldots,2n.$$

\begin{thm}
При всех $\xi\in\mathbb T$ метод
$$f(\xi)\approx\widehat f_1+\frac1{2n}\sum_{m=1}^{2n}\biggl(\sum_{j=2}^{2n}
\frac{\widehat f_j}{\widehat c_j}e^{-i(m-1)(j-1)\pi/n}\biggr)(D_r*\sigma)(
\xi-t_{mr}),$$
где
$$\begin{aligned}
\widehat f_j&=\frac1{2n}\sum_{m=1}^{2n}f(\tau_m^0)e^{i(m-1)(j-1)\pi/n},\\
\widehat c_j&=\frac1{2n}\sum_{m=1}^{2n}(D_r*\sigma)(t_{mr})e^{i(m-1)(j-1)
\pi/n},
\end{aligned}\quad j=1,\ldots,2n,$$
является оптимальным методом восстановления на классе $\hi$, использующим
информацию о значениях функции в равномерной сетке $\tau_m^0$, $m=1,\ldots,
2n$.
\end{thm}

\begin{proof}
Пусть $r=2l$. Тогда $\ef(\tau_m^0)=0$, $m=1,\ldots,2n$. Поскольку
$$\ef=(D_r*\vpo)\left(z-\frac\pi{2n}\right),$$
а
$$\vpo\left(z-\frac\pi{2n}\right)=-k^n\prod_{m=1}^{2n}\sn\left(\frac k\pi(z
-\tau_m^0)\right),$$
то для системы точек $\tau_m^0$ точки $\theta_m$ из леммы~\ref L совпадают
с $\tau_m^0$. Тем самым
$$g_m(z)=(-1)^{m+1}\sqrt\lambda\sigma(z-\tau_m^0).$$
Система \eqref{Int} в рассматриваемом случае будет иметь вид
$$\left\{\begin{aligned}
d_0+\sqrt\lambda\sum_{m=1}^{2n}(-1)^{m+1}d_m(D_r*\sigma)(\tau_j^0-\tau_m^0)
&=f(\tau_j),\quad j=1,\ldots,2n,\\
\sum_{m=1}^{2n}(-1)^{m+1}d_m&=0.
\end{aligned}
\right.$$
Положив $x_0=d_0$, $x_m=\sqrt\lambda(-1)^{m+1}d_m$, $c_m=(D_r*\sigma)(\tau_
m^0)$ и пользуясь периодичностью и четностью функции $D_r*\sigma$, приходим
к системе
$$\begin{pmatrix}
1&c_1&c_2&\ldots&c_{2n}\\
1&c_{2n}&c_1&\ldots&c_{2n-1}\\
\hdotsfor5\\
1&c_2&c_3&\ldots&c_1\\
0&1&1&\ldots&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0\\
x_1\\
\vdots\\
x_{2n-1}\\
x_{2n}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
f(\tau_1^0)\\
f(\tau_2^0)\\
\vdots\\
f(\tau_{2n}^0)\\
0
\end{pmatrix}.$$
Сложив первые $2n$ равенств этой системы и пользуясь последним равенством,
находим, что $x_0=\widehat f_1$. Далее решение легко может быть найдено с
помощью равенства
$$U^*CU=\begin{pmatrix}
\widehat c_1&&&\\
&\widehat c_2&\raisebox{7pt}[0pt][0pt]{\hbox to 0pt{\hphantom{0}$0$\hss}}&\\
&\raisebox{-7pt}[0pt][0pt]{\hbox to 0pt{\hss$0$\hphantom{0}}}&\ddots&\\
&&&\widehat c_{2n}
\end{pmatrix},$$
где
$$U=\left\{\frac1{\sqrt{2n}}e^{i(j-1)(m-1)\pi/n}\right\}_{j,m=1}^{2n},\quad
C=\begin{pmatrix}
c_1&c_2&\ldots&c_{2n}\\
c_{2n}&c_1&\ldots&c_{2n-1}\\
\hdotsfor4\\
c_2&c_3&\ldots&c_1
\end{pmatrix}.$$

Если $r=2l+1$, то
$$\ef\left(\tau_m^0+\frac\pi{2n}\right)=0,\quad m=1,\ldots,2n.$$
Поскольку
$$\ef\left(z+\frac\pi{2n}\right)=(D_r*\vpo)(z),$$
а
$$\vpo(z)=k^n\prod_{m=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi\left(z-\left(\tau_m^0+
\frac\pi{2n}\right)\right)\right),$$
то точки $\theta_m$ из леммы~\ref L совпадают в этом случае с точками $\tau
_m^0+\dfrac\pi{2n}$. Следовательно,
$$g_m(z)=(-1)^m\sqrt\lambda\sigma\left(z-\left(\tau_m^0+\frac\pi{2n}\right)
\right).$$
Далее рассуждения проводятся аналогично четному случаю.
\end{proof}

\section{Непериодический случай}

В непериодическом случае классом Харди--Соболева $\hrr$ будем называть
множество функций, аналитических в единичном круге $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<
1\}$ и удовлетворяющих условию $|f^{(r)}(z)|<1$, $z\in D$. Через $\hR$
обозначим класс функций из $\hrr$, вещественных в интервале $(-1,1)$. При $
r=0$ класс $\hrr$ будем обозначать через $H_\infty$.

Рассмотрим задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in(-1
,1)$, по значениям информационного оператора
$$I_\tau f=(f(\tau_1),\ldots,f(\tau_{n+r})),$$
где $-1<\tau_1<\ldots<\tau_{n+r}<1$. В случае $r=0$ решение рассматриваемой
задачи было получено в работе \cite{Os}, поэтому будем считать, что $r\ge1
$.

Для функций $f$, аналитических в единичном круге, положим
$$(T_rf)(z):=\int_0^z\frac{(z-\zeta)^{r-1}}{(r-1)!}f(\zeta)\,d\zeta.$$
Очевидно, что $(T_rf)^{(r)}=f$, и, следовательно, $T_rf\in\hrr$ при всех
$f\in H_\infty$.

Из работы \cite{Fish} вытекает следующий результат.

\begin{pro}\label{Fi}
При всех $-1<\tau_1<\ldots<\tau_{n+r}<1$ найдутся такие $\tau_1<z_1<\ldots<
z_n<\tau_{n+r}$, что для функции $f_0\in\hrr$, имеющей вид
$$f_0=P_{r-1}+T_rB_0,$$
где $P_{r-1}$ --- полином степени $r-1$, а $B_0$ --- произведение Бляшке
порядка $n$
$$B_0(z)=\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-z_jz},$$
выполняются равенства
$$f_0(\tau_j)=0,\quad j=1,\ldots,n+r.$$
Кроме того, при всех $\xi\in(-1,1)$
\begin{equation}\label{du}
\sup_{\substack{f\in\hrr\\f(\tau_1)=\ldots=f(\tau_{n+r})=0}}|f(\xi)|=|f_0(
\xi)|.
\end{equation}
\end{pro}

Из равенства \eqref{du} сразу следует, что для погрешности оптимального
восстановления значения $f(\xi)$ на классе $\hrr$ справедливо равенство
$$e(\xi,\hrr,I_\tau)=|f_0(\xi)|.$$
Оптимальный метод восстановления и в этом случае может быть получен с
помощью теоремы~\ref2.

\begin{thm}
При всех $\xi\in(-1,1)$ метод
$$f(\xi)\approx\sum_{j=1}^{n+r}C_j(\xi)f(\tau_j),$$
в котором $C_1(\xi),\ldots,C_{n+r}(\xi)$ являются решениями системы
\begin{equation}\label{Sys1}
\begin{pmatrix}
1&\ldots&1\\
\tau_1&\ldots&\tau_{n+r}\\
\hdotsfor3\\
\tau_1^{r-1}&\ldots&\tau_{n+r}^{r-1}\\
(T_rg_1)(\tau_1)&\ldots&(T_rg_1)(\tau_{n+r})\\
\hdotsfor3\\
(T_rg_n)(\tau_1)&\ldots&(T_rg_n)(\tau_{n+r})
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_1(\xi)\\
C_2(\xi)\\
\vdots\\
C_{n+r}(\xi)
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1\\
\xi\\
\vdots\\
\xi^{r-1}\\
(T_rg_1)(\xi)\\
\vdots\\
(T_rg_n)(\xi)
\end{pmatrix},
\end{equation}
где
$$g_m(z)=B_0(z)\frac{1-z^2}{(z-z_m)(1-z_mz)},\quad m=1,\ldots,n,$$
а функция $B_0$ с нулями $z_m$ определена в предложении~$\ref{Fi}$,
является оптимальным на классе $\hrr$.
\end{thm}

\begin{proof}
Для $P=(a_0,a_1,\ldots,a_{r-1},t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb R^{n+r}$ положим
$$f_P(z):=\sum_{j=0}^{r-1}a_jz^j+(T_rB_P)(z),$$
где
$$B_P(z)=\prod_{j=1}^n\frac{z-t_j}{1-t_jz}.$$
Пусть полином $P_{r-1}$ из предложения~\ref{Fi} имеет вид
$$P_{r-1}=\sum_{j=0}^{r-1}a_j^0z^j.$$
Тогда при $P=P_0:=(a_0^0,a_1^0,\ldots,a_{r-1}^0,z_1,\ldots,z_n)$ функция $f
_{P_0}$ является экстремальной в задаче оптимального восстановления
значения $f(\xi)$ на классах $\hrr$ и $\hR$. Положим $\tau_0:=\xi$,
$$\varphi_j(P):=f_P(\tau_j),\quad j=0,\ldots,n+r.$$
Имеем при всех $j=0,\ldots,n+r$
\begin{align*}
\frac{\partial\varphi_j}{\partial a_m}&=\tau_j^m,\quad m=0,\ldots,r-1,\\
\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_m}&=(T_rg_m)(\tau_j),\quad m=1,\ldots,n
+r.
\end{align*}
Для получения оптимального метода на классе $\hR$ остается применить
теорему~\ref2, предварительно проверив, что определитель системы~\eqref
{Sys1} отличен от нуля. Если предположить, что этот определитель равен
нулю, то найдутся $C_1,\ldots,C_{n+r}$, не все равные нулю, такие, что
функция
$$F(z):=\sum_{j=0}^{r-1}C_{j+1}z^j+\sum_{j=1}^nC_{j+r}(Tg_j)(z)$$
обращается в нуль в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{n+r}$. Тогда по теореме
Ролля найдутся точки $\tau_1<\xi_1<\ldots<\xi_n<\tau_{n+r}$, в которых $F^{
(r)}$ обращается в нуль. Тем самым
$$F^{(r)}=\sum_{j=1}^nC_{j+r}g_j(\xi_m)=0,\quad m=1,\ldots,n.$$
В \cite{Bo} было доказано, что система функций
$$\frac1{(z-\xi_m)(1-\xi_mz)},\quad m=1,\ldots,n,$$
является чебышевской на множестве $(-1,1)\setminus\{\xi_1,\ldots,\xi_n\}$.
Следовательно, $g_1,\ldots,g_m$ --- чебышевская система на множестве $(-1,1
)$ и $C_{r+1}=\ldots=C_{n+r}=0$. Отсюда вытекает, что и $C_1=\ldots=C_r=0$.

Доказательство оптимальности построенного метода на классе $\hrr$
проводится по той же схеме, которая использовалась в теореме~\ref F.
\end{proof}

Для фиксированных $-1<z_1<\ldots<z_n<1$ положим
$$X_{n+r}^\mathbf z:=\spa\{1,z,\ldots,z^{r-1},(T_rg_1)(z),\ldots,(T_rg_n)(z
)\}.$$
Аналогично следствию~\ref{In} получаем

\begin{cor}
Пусть $-1<\tau_1<\ldots<\tau_{n+r}<1$, а $\tau_1<z_1<\ldots<z_n<\tau_{n+r}$
--- определены предложением~$\ref{Fi}$. Тогда функция $g(\xi)\in X_{n+r}^
\mathbf z$, интерполирующая $f$ в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{n+r}$,
является оптимальным методом восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in(-1,1
)$, на классе $\hrr$ по значениям в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{n+r}$.
\end{cor}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Smolyak}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

\bibitem{Os}{\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических
функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат.
заметки. 1976. Т.~19. \No1. С.~29--40.

\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.~50
\No6. С.~85--93.

\bibitem{FM}{\it Fisher~S.~D., Micchelli~C.~A.} The $n$-width of sets of
analytic functions // Duke Math. J. 1980. V.~47. \No4. P.~789--801.

\bibitem{Akh}{\it Ахиезер~Н.~И.} Элементы теории эллиптических функций. М.:
Наука, 1970.

\bibitem{OsCo}{\it Osipenko~K.~Yu.} Exact values of $n$-widths of
Hardy-Sobolev classes // Constr. Approx. 1997. V.~13. P.~17--27.

\bibitem{Kor}{\it Корнейчук~Н.~П.} Точные константы в теории приближения.
М.: Наука, 1987.

\bibitem{OsW}{\it Osipenko~K.~Yu., Wilderotter~K.} Optimal information for
approximating periodic functions // Math. Comput. 1997 V.~66. \No220.
P.~1579--1592.

\bibitem{OsIz}{\it Осипенко~К.~Ю.} Об $n$-поперечниках, оптимальных
квадратурных формулах и оптимальном восстановлении функций, аналитических в
полосе // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т.~58. \No4. С.~55--79.

\bibitem{Pi}{\it Pinkus~A.} $n$-Widths in Approximation Theory. Berlin:
Springer-Verlag, 1985.

\bibitem{Wi}{\it Wilderotter~K.} Optimal approximation of periodic analytic
functions with integrable boundary values // J. Approx. Theory. 1996. V.~84.
\No2. P.~236--246.

\bibitem{Fish}{\it Fisher~S.~D.} Envelopes, widths, and Landau problems for
analytic functions // Constr. Approx. 1989. V.~5. \No2. P.~171--187.

\bibitem{Bo}{\it Bojanov~B.~D., Grozev~G.~R.} A note on the optimal
recovery of functions in $H^\infty$ // J. Approx. Theory. 1988. V.~53.
\No1. P.~67--77.

\end{thebibliography}
\end{document}
