\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

\title{ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ}


\author{К.Ю.~Осипенко, М.И.~Стесин}


\maketitle

Обозначим через $C(\Omega)$ линейное пространство непрерывных функций (комплексных или вещественных), определенных на $\Omega\subset\mathbb C$ и удовлетворяющих условию
$$\|f\|_\Omega=\sup_{z\in\Omega}|f(z)|<\infty,$$
Пусть $X$ --- некоторое подпространство на $C(\Omega)$ и $BX=\{f\in X:\|f\|_\Omega\le1\}$, $L$ --- линейный функционал на $X$ и $M\subset\Omega$. Рассмотрим задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{1}
E(L,M,\delta,X)=\infp_S\sup_{\substack{f\in BX\\\|f-\widetilde f\|_M\le\delta}}|Lf-S\widetilde f|,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам) $S:C(M)\to\mathbb C(\mathbb R)$. Метод $S_0$ назовем оптимальным, если на нем достигается нижняя грань в \eqref{1}. Если $S_0$ --- оптимальный метод, то функция $f_0$, для которой
$$\sup_{\|f-\widetilde f\|_M\le\delta}|Lf_0-S_0\widetilde f|=E(L,M,\delta,X)$$
называется экстремальной.

Задача \eqref{1}, называемая задачей об оптимальном восстановлении функционала L по неточным данным (или по информации, заданной с погрешностью), была поставлена в работе \cite{1} (см. также \cite{2}--\cite{5} и обширную библиографию, представленную в этих работах).

В данной работе рассматривается задача \eqref{1}, когда $X$ --- подпространство аналитических или гармонических в $\Omega$ функций (эти подпространства обозначаются через $H_\infty(\Omega)$ и $h_\infty(\Omega)$, соответственно), $Lf=f'(x)$, $x\in\Omega$. Будем обозначать величину \eqref{1} в этом случае через $E_1(x,M,\delta,X)$. Аналогичные задачи для классов гладких функций рассматривались в работах \cite{3}, \cite{6}.

\medskip

{\bf1. Предварительные сведения.} Хорошо известно (см. \cite{1}--\cite{5}), что
в задаче \eqref{1} среди оптимальных методов существует линейный (т. е. метод,
являющийся линейным функционалом на $C(M)$) и справедливо равенство
$$E(L,M,\delta,X)=\sup_{\substack{f\in BX\\\|f\|_M\le\delta}}|Lf|.$$

В тех случаях, когда удается построить метод, погрешность которого допускает интегральное представление определенного вида, можно доказать оптимальность такого метода. А именно, имеет место следующий результат (мы формулируем частный случай теоремы~2 из \cite{7}).

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $\Omega=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$, $M\subset\Omega$, $X$ --- подпространство функций из $C(\Omega)$, имеющих почти всюду граничные значения, $f_0\in BX$, $|f_0(\ei)|=1$ почти всюду, $\|f_0\|_M\le\delta$, $S_0$ --- линейный функционал на $C(M)$, $S_0f_0=\delta\|S_0\|$, $\varphi(\ei)\in L_1(0,2\pi)$ и при всех $f\in X$ справедливо равенство
$$Lf-S_0f=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{f_0(\ei)}|\varphi(\ei)|f(\ei)\,d\theta.$$
Тогда $S_0$ --- оптимальный метод, $f_0$ --- экстремальная функция и
$$E(L,M,\delta,X)=Lf_0=\int_0^{2\pi}|\varphi(\ei)|\,d\theta+\delta\|S_0\|.$$
\end{theorem}

Положим $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$, $H_\infty=H_\infty(D)$, $h_\infty=h_\infty(D)$. Через $H_2$
обозначим пространство аналитических в $D$ функций, удовлетворяющих условию
$$\|f\|_{H_2}=\sup_{0<r<1}\biggl(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(\ei)|^2\,d\theta\biggr)^{1/2}
<\infty.$$
Соответствующее пространство гармонических функций обозначим через $h_2$.

Напомним, что бесконечным произведением Бляшке называется функция вида
\begin{equation}\label{2}
B(z)=\prod_{n=1}^\infty-\frac{\ov z_n}{|z_n|}\cdot\frac{z-z_n}{1-\ov z_nz},
\end{equation}
где $z_n\in D$ (для $z_n=0$ частное $-\ov z_n/|z_n|$ заменяется на единицу). Известно (см., например, \cite[с.~61]{8}), что если $z_n\in D$ удовлетворяют условию Бляшке $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(1-|z_n|)<\infty$, то произведение \eqref{2} сходится в $D$, $B(z)\in BH_\infty$ и $|B(\ei)|=1$ почти всюду.

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть $z_n\in(0,1)$ удовлетворяют условию Бляшке, $z_1<z_2<\ldots<z_n<\ldots$,
$$B(z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{z_n^2-z^2}{1-z_n^2z^2}$$
и существуют такие $a_n\in(z_n,z_{n+1})$, что $|B(a_n)|\ge c>0$. Тогда при всех $f\in H_2$ имеет место равенство
$$\frac1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)\,dz}{B(z)z^2}=\frac{f'(0)}{B(0)}+\sum_{n=1}^\infty\frac{f(z_n)-f(-z_n)}{B'(z_n)z_n^2}.
$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Положим $D_n^j=\{z\in\mathbb C:|z-(-1)^j|\le1-a_n\}$, $j=1,2$, $D_n=D\setminus(D_n^1\cup
D_n^2)$, $\Gamma_n=\partial D\cap D_n$, $\gamma_n=\partial D_n\cap D$. По теореме о вычетах и в силу нечетности $B'(z)$ имеем
\begin{multline*}
r_n=\biggl|\frac1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)\,dz}{B(z)z^2}-\frac{f'(0)}{B(0)}-\sum_{j=1}^n\frac{f(z_j)-f(-z_j)}{B'(z_j)z_j^2}
\biggr|\\
=\biggl|\frac1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)\,dz}{B(z)z^2}-\frac1{2\pi i}\int_{\partial D_n}\frac{f(z)\,dz}{B(z)z^2}\biggr|\\
=\biggl|\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_n}\frac{f(z)\,dz}{B(z)z^2}-\frac1{2\pi i}\int_{\gamma_n}\frac{f(z)\,dz}{B(z)z^2}\biggr|\\
\le\frac1{2\pi}\int_{\Gamma_n}|f(z)|\,|dz|+\frac1{2\pi}\frac{b_n}{a_n^2}
\int_{\gamma_n}|f(z)|\,|dz|,
\end{multline*}
где $\displaystyle b_n=\sup_{z\in\gamma_n}|B(z)|^{-1}$. Нетрудно убедиться, что множество точек $z$, для которых
$$\left|\frac{z-z_j}{1-z_jz}\right|<\left|\frac{a_n-z_j}{1-z_ja_n}\right|,$$
при всех $j\ge n+1$ является кругом, лежащим внутри $D_n^2$, а при всех $j\le n$ --- кругом, лежащим вне $D_n^2$. Отсюда следует, что при всех $z\in\gamma_n\cap D_n^2$ и любом $j$
$$\left|\frac{z-z_j}{1-z_jz}\right|\ge\left|\frac{a_n-z_j}{1-z_ja_n}\right|.$$
Аналогично доказывается справедливость при всех $j$ и $z\in\gamma_n\cap D_n^2$ неравенств
$$\left|\frac{z+z_j}{1+z_jz}\right|\ge\left|\frac{a_n+z_j}{1+z_ja_n}\right|.$$
Следовательно, при всех $z\in\gamma_n\cap D_n^2$ \ $|B(z)|\ge|B(a_n)|\ge c$. В силу четности $B(z)$ это неравенство справедливо при всех $z\in\gamma_n$ Таким образом, $b_n\le c^{-1}$.

Из неравенства Коши--Буняковского имеем
$$\int_{\Gamma_n}|f(z)|\,|dz|\le\sqrt{|\Gamma_n|}\biggl(\int_{\Gamma_n}|f(z)|^2\,|dz|\biggr)^{1/2}
\le\sqrt{2\pi|\Gamma_n|}\|f\|_{H_2}.$$
Тем самым
$$r_n\le\sqrt{\frac{|\Gamma_n|}{2\pi}}\|f\|_{H_2}+\frac1{2\pi ca_n^2}\int_{\gamma_n}|f(z)|\,|dz|.$$
Поскольку $z_n$ удовлетворяет условию Бляшке, то $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$, и следовательно, $|\Gamma_n|\to0$ при $n\to\infty$. Остается показать, что
$$\int_{\gamma_n}|f(z)|\,|dz|\to0$$
при $n\to\infty$. Это легко сделать, пользуясь известной оценкой
$$|f(z)|\le\|f\|_{H_2}(1-|z|^2)^{-1/2}.$$
Лемма доказана.
\end{proof}

Пусть $0<\delta<1$. Обозначим через $K$ и $K'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $k=\delta^2$ и $r'=\sqrt{1-\delta^4}$, соответственно. Положим
$$\alpha_n=\th\left[(2n-1)\frac{\pi K}{2K'}\right],\quad n=1,2,\ldots\,\,,$$
и рассмотрим произведение Бляшке
$$B_0(z,\delta)=\prod_{n=1}^\infty\frac{\alpha_n^2+z}{1+\alpha_n^2z}.$$
Эта функция является экстремальной в задаче Мию о нахождении величины
$$\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\\|f\|_(-1,0)}}|f(z_0)|$$
для $z_0\in(0,1)$ и была найдена Хейнсом в работе \cite{9} (см. также \cite{10}). Она
может быть выражена через эллиптические функции в следующем виде
\begin{equation}\label{3}
B_0(z,\delta)=\delta\sn\left(\frac2\pi K'v+K,\delta^2\right),\quad z=-\th^2v.
\end{equation}

Положим
$$B_2(z,\delta)=B_0(-z^2,\delta)=\prod_{n=1}^\infty\frac{\alpha_n^2-z^2}{1-\alpha_n^2z^2}.$$
Из представления~\eqref{3} имеем
\begin{equation}\label{4}
B_2(z,\delta)=\delta\sn\left(\frac2\pi K'\arth z+K,\delta^2\right).
\end{equation}
Отметим, что при всех $z\in(-1,1)$ \ $|B_0(z,\delta)|\le\delta$ и для $\beta_n=\th\left(n\dfrac{\pi K}{K'}\right)$, $n=0,1,\ldots$, справедливы равенства
\begin{equation}\label{5}
B_2(\pm\beta_n,\delta)=(-1)^n\delta.
\end{equation}

Рассмотрим также функцию
$$B_1(z,\delta)=B_2\left(\frac{z-\alpha_1}{1-\alpha_1z},\delta\right).$$
Нетрудно убедиться, что
\begin{equation}\label{6}
B_1(z,\delta)=z\prod_{n=1}^\infty\frac{\beta_n^2-z^2}{1-\beta_n^2z^2}=\delta\sn\left(\frac2\pi K'\arth z,\delta^2\right).
\end{equation}

Положим
$$h_0(z,\delta)=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{1-\beta_n^2z^2}{1-\alpha_n^2z^2}\right)^2.$$
Поскольку
$$\alpha_n=\frac{1-h^{2n-1}}{1+h^{2n-1}},\quad\beta_n=\frac{1-h^{2n}}{1+h^{2n}},$$
где $h=e^{-\frac{\pi K}{K'}}$, то, пользуясь известными формулами из теории эллиптических функций (см., например, \cite{11}), получаем
\begin{multline*}
h_0(z,\delta)=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{1+h^{2n-1}}{1+h^{2n}}\right)^4
\left(\frac{1+2h^{2n}\cos2\pi v+h^{4n}}{1+2h^{2n-1}\cos2\pi v+h^{4n-2}}\right)^2\\
=\frac{\cn^2(2K'v,k')}{\dn^2(2K'v,k')\cos^2\pi v},
\end{multline*}
где $\cos2\pi v=(1+z^2)(1-z^2)^{-1}$. В силу того, что $v=\left(\dfrac i\pi\right)\arth z$ и
$$\cn(iu,k')=\frac1{\cn(u,k)},\quad\dn(iu,k')=\frac{\dn(u,k)}{\cn(u,k)}$$
(см.~\cite[с.~133]{11}), имеем
\begin{equation}\label{7}
h_0(z,\delta)=\frac{1-z^2}{\dn^2\left(\dfrac2\pi K'\arth z,\delta^2\right)}.
\end{equation}
Положим
$$\varphi(z,\delta)=\frac{B_1(z,\delta)h_0(z,\delta)}{zB_2(z,\delta)}.$$

\begin{lemma}\label{L2}
При всех $0<\delta<1$ и $\theta\in(0,\pi)\cup(\pi,2\pi)$
\begin{equation}\label{8}
\frac{2|\sin\theta|}{1+\delta^2}\le\varphi(\ei,\delta)\le\frac{2|\sin\theta|}{1-\delta^2}.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Из \eqref{4}, \eqref{6}, \eqref{7}, положив $u=\dfrac2\pi K'\arth z$ и пользуясь преобразованием Гаусса (см.~\cite[с.~134]{11}), имеем
\begin{multline*}
\varphi(z,\delta)=\frac{1-z^2}z\frac{\sn(u,\delta^2)}{\sn(u+K,\delta^2)\dn^2(u,\delta^2)}
=\frac{1-z^2}z\frac{\sn(u,\delta^2)}{\cn(u,\delta^2)\dn(u,\delta^2)}\\
=\frac{1-z^2}z\frac1{1+\delta^2}\frac{\sn[(1+\delta^2)u,\lambda]}{\cn[(1+\delta^2)u,\lambda]},
\end{multline*}
где $\lambda=2\delta(1+\delta^2)^{-1}$. Обозначим через $L'$ полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $\lambda'=\sqrt{1-\lambda^2}$. Тогда $K'=\dfrac2{1+\delta^2}L'$ и $u=\dfrac{4L'}{\pi(1+\delta^2)}\arth z$. Тем самым
\begin{multline*}
\varphi(z,\delta)=\frac{1-z^2}z\frac1{1+\delta^2}\frac{\sn\left(\dfrac{4L'}\pi\arth z,\lambda\right)}{\cn\left(\dfrac{4L'}\pi\arth z,\lambda\right)}\\
=-\frac{1-z^2}z\frac i{(1+\delta^2)\dn\left(\dfrac{4L'}\pi\arth z+iL',\lambda\right)},
\end{multline*}
Положим теперь $z=\ei$, $\theta\in(0,\pi)\cup(\pi,2\pi)$. Тогда $\arth z=x+i\dfrac\pi4\sign\sin\theta$, где $x=\dfrac12\ln\Bigl|\ctg\dfrac\theta2\Bigr|$. Следовательно,
\begin{multline*}
\varphi(\ei,\delta)=-\frac{2\sin\theta}{(1+\delta^2)\dn\left[\dfrac{4L'}\pi x+iL'(1+
\sign\sin\theta),\lambda\right]}\\
=\frac{2|\sin\theta|}{(1+\delta^2)\dn\left(\dfrac{4L'}\pi x,\lambda\right)}.
\end{multline*}
В силу того, что для всех $x\in\mathbb R$ справедливы неравенства
$$1\ge\dn\left(\dfrac{4L'}\pi x,\lambda\right)\ge\lambda'=\frac{1-\delta^2}{1+\delta^2},$$
получаем неравенство \eqref{8}. Лемма доказана.
\end{proof}

\medskip

{\bf2. Основные результаты.} Рассмотрим задачу \eqref{1} для $X=H_\infty$, $Lf=f'(x)$, $x\in(-1,1)$ и $M=(-1,1)$.

\begin{theorem}\label{T2}
При всех $0<\delta<1$ и $x\in(-1,1)$ метод
$$f'(x)\approx S_0(x,\delta)\widetilde f=\frac{2\pi}{K'(1-\delta^4)(1-x^2)}\sum_{n=-\infty}^
\infty\frac{(-1)^{n+1}}{\sh^2\left[(2n-1)\dfrac{\pi K}{K'}\right]}\widetilde f(z_n),$$
где
$$z_n=\frac{\th\left[(2n-1)\dfrac{\pi K}{K'}\right]+x}{1+x\th\left[(2n-1)\dfrac{\pi K}{K'}\right]},$$
является оптимальным на классе $BH_\infty$, функция $B_1\left(\dfrac{z-x}{1-xz},\delta\right)$ --- экстремальная и
$$E_1(x,(-1,1),\delta,H_\infty)=\frac{2\delta K'}{\pi(1-x^2)}=\frac
4{\pi(1-x^2)}\delta\ln\frac2\delta+O\left(\delta^5\ln\frac2\delta\right).$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Для $f\in H_\infty$ положим
$$\mathcal If=\frac\delta{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{h_0(z,\delta)f(z)}{B_2(z,\delta)z^2}\,dz.$$
Так как $H_\infty\subset H_2$, то из равенства \eqref{5} следует, что к этому интегралу
применима формула, полученная в лемме~\ref{L1}. Имеем
$$\mathcal If=f'(0)+\sum_{n=1}^\infty\delta\frac{f(\alpha_n)-f(-\alpha_n)}{B'(\alpha_n,\delta)\alpha_n^2}
h_0(\alpha_n,\delta).$$
Используя равенства \eqref{4} и \eqref{7}, получаем
$$B'_2(\alpha_n,\delta)=\delta(-1)^n\frac{2K'}{\pi(1-\alpha_n^2)},\quad h_0(\alpha_n,\delta)=\frac{1-\alpha_n^2}{1-\delta^4}.$$
Тем самым
\begin{multline*}
\mathcal If=f'(0)-\frac{2\pi}{K'(1-\delta^4)}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}
\frac{f(\alpha_n)-f(-\alpha_n)}{\sh^2\left[(2n-1)\dfrac{\pi K}{K'}\right]}\\=f'(0)-S_0(0,\delta)f.
\end{multline*}
С другой стороны, нетрудно убедиться, что
$$\mathcal If=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{B_1(\ei,\delta)}\psi(\ei)f(\ei)\,d\theta,$$
где $\psi(\ei)=\delta\varphi(\ei,\delta)$. Из леммы~\ref{L2} \ $\psi(\ei)>0$ почти всюду и $\psi(\ei)\in L_1(0,2\pi)$. Поскольку $B_1(\cdot,\delta)\in BH_\infty$, $\|B_1(\cdot,\delta)\|_{(-1,1)}=\delta$ и
$$S_0(0,\delta)B_1(z,\delta)=\delta\frac{2\pi}{K'(1-\delta^4)}\sum_{n=-\infty}^
\infty\frac1{\sh^2\left[(2n-1)\dfrac{\pi K}{K'}\right]}=\delta\|S_0\|,$$
то, применяя теорему~\ref{T1}, учитывая равенства
$$B_1'(0,\delta)=\frac2\pi\delta K',\quad K'=\ln\frac4k+O\left(k^2\ln\frac4k\right),$$
получаем утверждение теоремы для $x=0$. Если $x\in(-1,1)$, то с помощью конформного преобразования единичного круга $w(z)=(z+x)(1+xz)^{-1}$ и рассмотрения функций $g(z)=f(w(z))$, для которых $g'(0)=(1-x^2)f'(x)$, получаем утверждение теоремы в общем случае. Теорема
доказана.
\end{proof}

Положим $D_H=\{z\in\mathbb C:|\IM z|<H/2\}$. Тогда с помощью конформного отображения этой полосы на единичный круг $w(z)=\th\dfrac{\pi z}{2H}$ из теоремы~\ref{T2} получаем

\begin{corollary}\label{C1}
При всех $0<\delta<1$ и $x\in\mathbb R$ метод
\begin{multline*}
f'(x)\approx S_0^H(x,\delta)\widetilde f=\frac{\pi^2}{HK'(1-\delta^4)}\\
\times\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{\sh^2\left[(2n-1)\dfrac{\pi K}{K'}
\right]}\widetilde f\left(x+(2n-1)\frac{HK}{K'}\right)
\end{multline*}
является оптимальным на классе $BH_\infty(D_H)$, $\delta\sn\left[\dfrac{K'}H(z-x),\delta^2\right]$ --- экстремальная функция и
$$E_1(x,\mathbb R,\delta,H_\infty(D_H))=\frac{\delta K'}H=\frac2H
\delta\ln\frac2\delta+O\left(\delta^5\ln\frac2\delta\right).$$
\end{corollary}

Пусть теперь $X=h_\infty$, $Lu=u'(x)$, $x\in(-1,1)$ и $M=(-1,1)$\break $\biggl($ для $u(z)\in h_\infty$ через $u'(x)$ обозначается $\dfrac{\partial u(z)}{\partial x}\bigg|_{z=x}\biggr)$.

\begin{theorem}\label{T3}
При всех $0<\delta<1$ и $x\in(-1,1)$ метод
$$u'(x)\approx\cos^{-2}\frac\pi4\delta S_0\left(x,\tg\frac\pi4\delta\right)\widetilde u $$
является оптимальным на классе $Bh_\infty$, функция
$$\frac4\pi\RE\arctg B_1\left(\dfrac{z-x}{1-xz},\tg\frac\pi4\delta\right)$$
--- экстремальная и
\begin{multline*}
E_1(x,(-1,1),\delta,h_\infty)=\frac{8\tg\dfrac\pi4\delta}{\pi^2(1-x^2)}K_0'\\
=\frac4{\pi(1-x^2)}\delta\ln\frac8{\pi\delta}+O\left(\delta^3\ln\frac8{\pi\delta}\right),
\end{multline*}
где $K_0'$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $k_0=\sqrt{1-\tg^4\dfrac\pi4\delta}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Для $f\in H_2$ положим
$$\mathcal If=\frac\Delta{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{h_0(z,\Delta)(1+B_1^2(z,\Delta))}{B_2(z,\Delta)z^2}f(z)\,dz,$$
где $\Delta=\tg\dfrac\pi4\delta$. Аналогично рассуждениям, приведенным в доказательстве теоремы~\ref{T2}, получаем
\begin{equation}\label{9}
\mathcal If=f'(0)-(1+\Delta^2)S_0(0,\Delta)f.
\end{equation}
С другой стороны,
$$\mathcal If=\frac\Delta{2\pi i}\int_{\partial D}2[\RE B_1(z,\Delta)]\varphi(z,\Delta)f(z)\,\frac{dz}z.$$
Рассмотрим гармоническую в $D$ функцию
$$u_1(z,\Delta)=\dfrac4\pi\RE\arctg B_1(z,\Delta).$$
В силу того, что $u_1(\ei,\Delta)=\sign\RE\arctg B_1(\ei,\Delta)$ при $\theta\in(0,\pi)\cup(\pi,2\pi)$, имеем
\begin{equation}\label{10}
\mathcal If=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_1(\ei,\Delta)\psi_1(\ei)f(\ei)\,d\theta,
\end{equation}
где $\psi_1(z)=2\Delta|\RE B_1(z,\Delta)|\varphi(z,\Delta)$. Из леммы~\ref{L2} следует, что $\psi_1(\ei)>0$ почти всюду и $\psi_1(\ei)\in L_1(0,2\pi)$. Взяв вещественные части от равенств \eqref{9}, \eqref{10} и обозначив через $u=\RE f$, получаем
\begin{equation}\label{11}
u'(0)-(1+\Delta^2)S_0(0,\Delta)u=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_1(\ei,\Delta)\psi_1(\ei)u(\ei)
\,d\theta.
\end{equation}
Если $u\in h_\infty\subset h_2$, то сопряженная функция $v\in h_2$ (см.~\cite[с.~380]{12})
и, следовательно, $u+iv\in H_2$. Тем самым равенство \eqref{11} справедливо для всех $u\in h_\infty$. Для применения теоремы~\ref{T1} остается заметить, что $S_0(0,\Delta)u_1=\delta\|S_0(0,\Delta)\|$, так как $u_1(\alpha_n,\Delta)=(-1)^{n+1}\delta$. Таким образом, при $x=0$ метод
$$(1+\Delta^2)S_0(0,\Delta)=\cos^{-2}\frac\pi4\delta S_0\left(x,\tg\frac\pi4\delta\right)$$
является оптимальным, функция $u_1(z,\Delta)$ --- экстремальная и
$$E_1(0,(-1,1),\delta,h_\infty)=\frac{\partial u_1(z,\Delta)}{\partial x}\bigg|_{z=0}=
\frac{8\Delta}{\pi^2}K_0'.$$
Переход к произвольному $x\in(-1,1)$ осуществляется аналогично соответствующему переходу в доказательстве теоремы~\ref{T2}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{corollary}
При всех $0<\delta<1$ и $x\in\mathbb R$ метод
$$u'(x)\approx\cos^{-2}\frac\pi4\delta S_0^H\left(x,\tg\frac\pi4\delta\right)\widetilde u $$
является оптимальным на классе $Bh_\infty(D_H)$, функция
$$\frac4\pi\RE\arctg\left[\tg\frac\pi4\delta\sn\left(\frac{K_0'}H(z-x),\tg^2\frac\pi4\delta\right)
\right]$$
--- экстремальная и
$$E_1(x,\mathbb R,\delta,h_\infty(D_H))=\frac{4\tg\dfrac\pi4\delta}{\pi H}K_0'
=\frac2H\delta\ln\frac8{\pi\delta}+O\left(\delta^3\ln\frac8{\pi\delta}\right),$$
\end{corollary}

\noindent Московский авиационный технологический \hfill Поступило\\
институт им. К.Э.Циолковского\hfill 18.05.90\\
Всесоюзный научно-исследовательский\\
институт электроэнергетики

\bigskip

\renewcommand{\refname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} {\sc Марчук А.Г., Осипенко К.Ю.} Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Математические заметки. 1975. Т.~17. \No3. С.~359--368.
\selectlanguage{english}
\bibitem{2} {\sc Micchelli C.A., Rivlin T.J.} A survey of optimal recovery // Optimal estimation in approximation theory. Plenum Press, 1977. P.~1--53.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{3} {\sc Габушин В.Н.} Оптимальные методы вычисления значений оператора $Ux$, если $x$ задано с погрешносью. Дифференцирование функций, определенных с ошибкой // Труды МИАН СССР. 1980. Т.~145. С.~63--78.
\selectlanguage{english}
\bibitem{4} {\sc Micchelli C.A., Rivlin T.J.} Lectures on optimal recovery // Lect. Notes Math. 1985. V.~1129. P.~21-93.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{5} {\sc Арестов В.В.} Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Труды МИАН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.
\selectlanguage{english}
\bibitem{6} {\sc Micchelli C.A.} On an optimal method for the numerical differentiation of
smooth functions // J. Approx. Theory 1976. V.~18. P.~189--204.

\bibitem{7} {\sc Osipenko K.Yu., Stesin M.I.} On some problems of optimal recovery of analytic and harmonic functions from inaccurate data. // USSR Academy of Sciences. Scientific Council for Cibernetics. Preprint. Moscow. 1990.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{8} {\sc Гарнетт Дж.} Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.
\selectlanguage{english}
\bibitem{9} {\sc Heins M.} The problem of Milloux for functions analytic thronghout the interior
of the unit circle // Amer. Journ. Math. 1945. V.~67.\selectlanguage{russian} \No2. P.~212--234.

\bibitem{10} {\sc Хавинсон С.Я.} Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области // УМН. 1963. Т.~18. \No2. С.~25--98.

\bibitem{11} {\sc Ахиезер Н.И.} Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

\bibitem{12} {\sc Голузин Г.М.} Геометрическая теория функций комплексного переменного.
М.: Наука, 1966.
\end{thebibliography}
\end{document}
