\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma*}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

\title{О ЗАДАЧАХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ И БЕРГМАНА}


\author{К.~Ю.~Осипенко, М.~И.~Стесин}


\maketitle


{\bf1.} Пусть $\Omega\subset\mathbb C$ --- некоторое множество и $\mu$ --- положительная мера на нем. Через $L_p(\Omega,\mu)$ обозначим пространство комплекснозначных функций, для которых
\begin{gather*}
\|f\|_p=\biggl(\int_\Omega|f(z)|^p\,d\mu(z)\biggr)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_\infty=\vraisup_{z\in\Omega}|f(z)|<\infty,\quad p=\infty.
\end{gather*}
Пусть $X_p$ --- линейное подпространство $L_p(\Omega,\mu)$ и $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы, заданные на $X_p$.

Рассмотрим задачу восстановления функционала $L$ на единичном шаре $BX_p=\{f\in X_p:\|f\|_p\le1\}$ по значениям $l=(l_1,\ldots,l_n)$. Положим
\begin{equation}\label{1}
E(L,l,X_p)=\infp_S\sup_{f\in BX_p}|L(f)-S(l(f))|,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам) $S\colon\mathbb C^n\to\mathbb C$. Наилучшим методом восстановления назовем метод, на котором достигается нижняя грань в равенстве \eqref{1}, а функцию, на которой достигается верхняя грань для наилучшего метода, будем называть экстремальной.

Из работы \cite{1} следует, что в рассматриваемой задаче всегда существует линейный наилучший метод и справедливо равенство
\begin{equation}\label{2}
E(L,l,X_p)=\sup_{\substack{f\in BX_p\\l(f)=0}}|L(f)|.
\end{equation}
Следующая теорема дает возможность в некоторых случаях довольно просто строить линейный наилучший метод и находить его погрешность.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $g\in X_p$, $\|g\|_p\ne0$, $l(g)=0$ и существуют такие $\alpha,c_1,\ldots,c_n\in\mathbb C$, что при всех $f\in X_p$
\begin{equation}\label{3}
L(f)-\sum_{j=1}^nc_jl_j(f)=\begin{cases}\alpha\int\limits_\Omega\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z),
&1\le p<\infty,\\
\alpha\int\limits_\Omega\ov{g(z)}\varphi(z)f(z)\,d\mu(z),&p=\infty,\end{cases}
\end{equation}
где $\varphi\in L_1(\Omega,\mu)$. Пусть, кроме того, при $p=\infty$ \ $|g(z)|=1$ почти всюду. Тогда метод восстановления
$$L(f)\approx\sum_{j=1}^nc_jl_j(f)$$
является наилучшим, функция $f^*=\ei g/\|g\|_p$ --- экстремальная и
$$E(L,l,X_p)=\begin{cases}|\alpha|\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
|\alpha|\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
При $1\le p<\infty$ из \eqref{1}, \eqref{3} и неравенства Гёльдера имеем
\begin{multline*}
E(L,l,X_p)\le\sup_{f\in BX_p}\biggl|L(f)-\sum_{j=1}^nc_jl_j(f)\biggr|\\
=\sup_{f\in BX_p}\biggl|\alpha\int_\Omega\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z)\biggr|\le|\alpha|\|g\|_p^{p-1}.
\end{multline*}
При $p=\infty$ аналогичная оценка дает $E(L,l,X_\infty)\le|\alpha|\|\varphi\|_1$. Для любого метода $S$ справедливо неравенство
$$|L(f^*)-S(0)|+|L(-f^*)-S(0)|\ge2|L(f^*)|.$$
Отсюда, учитывая \eqref{2}, получаем
$$E(L,l,X_p)\ge|L(f^*)|=\begin{cases}|\alpha|\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
|\alpha|\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Заметим, что в случае $n=0$ (т.~е.\ отсутствия функционалов, задающих информацию) теорема~\ref{T1} остается в силе (здесь и далее считается, что в случае, когда верхний предел суммирования меньше нижнего, сумма равна нулю).

{\bf2.} Пусть $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ и $H_p$ --- пространство Харди, т.~е.\ аналитические в $D$ функции, удовлетворяющие условию
$$\|f\|_{H_p}=\sup_{0<r<1}\frac1{2\pi}\biggl(\int_0^{2\pi}|f(r\ei|^p\,d\theta\biggr)^{1/p}<\infty,
\quad1\le p<\infty,$$
или
$$\|f\|_{H_\infty}=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty.$$
Обозначим через $\displaystyle Z_\nu=\begin{pmatrix}
z_1,\ldots,z_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix}$
систему различных точек $z_j\in D$ с кратностями $\nu_j$. Рассмотрим задачу восстановления функционала
$$L_\xi^\lambda(f)=\lambda_0f(\xi)+\ldots+\lambda_kf^{(k)}(\xi),$$
где $\xi\in D$, $\lambda=(\lambda_0,\ldots,\lambda_k)\in\mathbb C^{k+1}$, $\lambda\ne0$, на классе $BH_p$ по информации $l(f)=\{f(z_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(\nu_n-1)}(z_n)\}.$
Положим $\displaystyle Z_n^z=\begin{pmatrix}z\\n\end{pmatrix}$, $e_k=(0,\ldots,1)\in\mathbb C^{k+1}$.

Таким образом, рассматривается случай, когда $\Omega=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$, $d\mu=\dfrac{d\theta}{2\pi}$, $X_p=H_p$, а $L(f)=L_\xi^\lambda(f)$. Величину \eqref{1} обозначим в этом случае через $E(\xi,\lambda,Z_\nu,H_p)$. Отметим, что при $Z_\nu=\emptyset$ из \eqref{2} имеем $\displaystyle E(\xi,\lambda,\emptyset,H_p)=\sup_{f\in BH_p}|L_\xi^\lambda(f)|$.

Некоторые случаи рассматриваемой задачи изучались в работах \cite{1} ($p=\infty$, $\lambda=e_0$), \cite{2} ($p=\infty$, $\lambda=e_1$), \cite{3,4} ($1\le p<\infty$, $\lambda=e_0$), \cite[с.~486, 491]{5}, \cite[с.~176]{6} ($p=1,\infty$, $\xi=0$, $Z_\nu=\emptyset$), \cite{7} ($p=2$,
$\lambda=e_k$, $Z_\nu=Z_n^0$).

Введем следующие обозначения
\begin{gather*}
W(z)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}\right)^{\nu_j},\quad\mbox{при }n=0\ \ W(z)\equiv1,\\
\omega_j(z)=W(z)\left(\frac{1-\ov z_jz}{z-z_j}\right)^{\nu_j},\quad\varepsilon_p=\begin{cases}
1/p,&1\le p<\infty,\\
0,&p=\infty,\end{cases}
\end{gather*}
\begin{multline*}
\beta(\xi)=\lambda_{k-1}\frac{1-|\xi|^2}2W(\xi)\\+k\lambda_k\left[\frac{1-|\xi|^2}2W'(\xi)+
\left(\varepsilon_p+\frac{k-1}2\right)\ov\xi W(\xi)\right],
\end{multline*}
\begin{gather*}
D_1=\{\,\xi\in D:|\beta(\xi)|<(1-\varepsilon_p)k|\lambda_kW(\xi)|\,\},\quad D_0=D\setminus D_1,\\
b=\begin{cases}\dfrac{\beta(\xi)}{(1-\varepsilon_p)k\lambda_kW(\xi)},&\xi\in D_1,\\
\dfrac{k\ov\lambda_k\ov{W(\xi)}e^{i\arg\beta(\xi)}}{|\beta(\xi)|+\sqrt{|\beta(\xi)|^2
-(1-2\varepsilon_p)k^2|\lambda_kW(\xi)|^2}},&\\
&\hspace{-14pt}\xi\in D_0\setminus\{z_1,\ldots,z_n\},\end{cases}\\
a=\frac{\xi-\ov b}{1-\ov\xi\ov b},\quad u_\xi(z)=\begin{cases}1,&\xi\in D_1,\\
\dfrac{z-a}{1-\ov az},&\xi\in D_0\setminus\{z_1,\ldots,z_n\},\end{cases}\\
c(\xi)=\begin{cases}\dfrac{k!\lambda_kW(\xi)}{u_\xi(\xi)},&\lambda_k\ne0,\\
(k-1)!\lambda_{k-1}(1-|\xi|^2)W(\xi),&\lambda_k=0.\end{cases}
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть
$$Z_\nu=\begin{pmatrix}
z_1,&\ldots,&z_n,&\xi\\
\nu_1,&\ldots,&\nu_n,&k-1\end{pmatrix},\quad k\ge1.$$
Тогда метод
\begin{multline*}
\lambda_{k-1}f^{(k-1)}(\xi)+\lambda_kf^{(k)}(\xi)\\
\approx\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{\nu_j-1}c_{jm}(\xi)f^{(m)}(z_j)+\sum_{m=0}^{k-2}c_{n+1,m}
(\xi)f^{(m)}(\xi),
\end{multline*}
где
\begin{multline*}
c_{jm}(\xi)=-\frac{c(\xi)(1-|\xi|^2)^{3-k-4\varepsilon_p}}{m!(\nu_j-m-1)!(1-\ov a\xi)^{2(1-\varepsilon_p)}}\\
\times\frac{\partial^{\nu_j-m-1}}{\partial z^{\nu_j-m-1}}\left[\frac{(1-\ov z_jz)^{\nu_j}
(1-\ov az)^{2(1-\varepsilon_p)}u_\xi(z)}{\omega_j(z)(1-\ov\xi z)^{3-k-4\varepsilon_p}(z-\xi)^{k+1}}\right]\bigg|_{z=z_j},
\end{multline*}
\begin{multline*}
c_{n+1,m}(\xi)=-\frac{c(\ov\xi)(1-|\xi|^2)^{3-k-4\varepsilon_p}}{m!(k-m)!(1-\ov a\xi)^{2(1-\varepsilon_p)}}\\
\times\frac{\partial^{k-m}}{\partial z^{k-m}}\left[\frac{(1-\ov az)^{2(1-\varepsilon_p)}u_\xi(z)}{W(z)(1-\ov\xi z)^{3-k-4\varepsilon_p}}\right]\bigg|_{z=\xi},
\end{multline*}
является наилучшим методом восстановления на классе $BH_p$ при всех $1\le p\le\infty$. При этом функция
\begin{multline*}
f^*(z)=\ei\frac{(1-|\xi|^2)^{\varepsilon_p}|1-\xi b|^{2\varepsilon_p}}{(1+|b|^2)^{\varepsilon_p}}\left(\frac{z-\xi}{1-\ov\xi z}\right)^{k-1}\\
\times\frac{(z-a)W(z)(1-\ov az)^{2\varepsilon_p}}{(1-\ov az)u_\xi(z)(1-\ov\xi z)^{4\varepsilon_p}}
\end{multline*}
является экстремальной, а
$$E(\xi,\lambda,Z_\nu,H_p)=|c(\xi)|\frac{(1+|b|^2)^{1-\varepsilon_p}}{(1-|\xi|^2)
^{k+\varepsilon_p}}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
\begin{gather*}
g(z)=\left(\frac{z-\xi}{1-\ov\xi z}\right)^{k-1}\frac{z-a}{1-\ov az}\,\frac{W(z)(1-\ov az)^{2\varepsilon_p}}{u_\xi(z)(1-\ov\xi
z)^{4\varepsilon_p}},\\
\varphi(z)=\frac{(1-\ov az)^2}{(1-\ov\xi z)^4},\quad\alpha=c(\xi)\frac{(1-|\xi|^2)^{3-k-4\varepsilon_p}}{(1-\ov a\xi)^{2(1-\varepsilon_p)}}.
\end{gather*}
Имеем
\begin{multline*}
\lambda_{k-1}f^{(k-1)}(\xi)+\lambda_kf^{(k)}(\xi)\\
-\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{\nu_j-1}c_{jm}(\xi)f^{(m)}(z_j)+\sum_{m=0}^{k-2}c_{n+1,m}
(\xi)f^{(m)}(\xi)\\
=\frac\alpha{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{u_\xi(z)(1-\ov az)^{2(1-\varepsilon_p)}f(z)}{W(z)(1-\ov\xi z)^{3-k-4\varepsilon_p}(z-\xi)^{k+1}}\,dz\\
=\begin{cases}\alpha\int\limits_0^{2\pi}\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z),
&1\le p<\infty,\\
\alpha\int\limits_0^{2\pi}\ov{g(z)}\varphi(z)f(z)\,d\mu(z),&p=\infty.\end{cases}
\end{multline*}
Из этих же равенств при $f=g$ получаем
$$\|g\|^p_{H_p}=\|\varphi\|_{H_1}=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1-\ov az)(z-a)}{(1-\ov\xi z)^2(z-\xi)^2}\,dz=\frac{1+|b|^2}{(1-|\xi|^2)|1-\xi b|^2}.$$
Записав выражение для $|\alpha|$ в виде
$$|\alpha|=|c(\xi)|\frac{|1-\xi b|^{2(1-\varepsilon_p)}}{(1-|\xi|^2)^{k-1+2\varepsilon_p}},$$
получаем доказываемое утверждение из теоремы~\ref{T1}.
\end{proof}

Отметим, что доказанная теорема дает возможность восстанавливать на классе $BH_p$ линейный функционал $\lambda_0f(\xi)+\lambda_1f'(\xi)$ по информации в произвольной системе точек.

Из теоремы~\ref{T2} следует, что при $|\beta(\xi)|<(1-\varepsilon_p)k|\lambda_kW(\xi)|$ у экстремальной функции кроме нулей в точках заданной системы появляется дополнительный нуль в точке $a$. Назовем кривую
$$\Gamma=\{\,\xi\in D:|\beta(\xi)|=(1-\varepsilon_p))k|\lambda_kW(\xi)|\,\}$$
кривой переключения. В случае, когда одно из множеств $D_0$ или $D_1$ пусто, будем говорить, что переключения нет. Отметим, что переключение отсутствует при $p=1$ или $\lambda_k=0$ (в этих случаях $D_1=\emptyset$). Обозначим через
$$Z_{n,k-1}^{0,\xi}=\begin{pmatrix}
0&\xi\\
n&k-1\end{pmatrix},\quad n\ge0,\quad k\ge1\quad(\xi\ne0\mbox{ при }n\ge1)$$
и рассмотрим задачу восстановления $k$-й производной ($\lambda=e_k$) по информации $Z_{n,k-1}^{0,\xi}$. Легко показать, что здесь для $n\ge1$ переключения есть лишь при $k=1$, $2<p\le\infty$ и $k=2$, $4<p\le\infty$. Для $n=0$ переключения нет в следующих случаях: $p=1$ ($D_1=\emptyset$); $k=1$, $2\le p\le\infty$ ($D_0=\emptyset$); $k=2$, $4<p\le\infty$ ($D_0=\emptyset$), в остальных случаях переключения есть.

Из теоремы~\ref{T2} непосредственно вытекает

\begin{corollary}\label{C1}
При всех $n\ge0$, $k\ge1$ и $1\le p\le\infty$ имеют место равенства
\begin{multline*}
E(\xi,e_k,Z_{n,k-1}^{0,\xi},H_p)\\
=\begin{cases}\dfrac{k!|\xi|^n}{(1-|\xi|^2)^{k+\varepsilon_p}}\left(1+\dfrac{d^2}
{|\xi|^2}\right)^{1-\varepsilon_p},&\xi\in D_1\setminus\{0\},\\
\dfrac{k!|\xi|^{n-1}}{(1-|\xi|^2)^{k+\varepsilon_p}}d\left(1+\dfrac{|\xi|^2}{d^2}\right)^{1-
\varepsilon_p},&\xi\in D_0\setminus\{0\},\end{cases}
\end{multline*}
$$E(0,e_k,Z_{k-1}^0,H_p)=k!;$$
здесь
\begin{gather*}
d=\begin{cases}\dfrac\gamma{1-\varepsilon_p},&\xi\in D_1,\\
\gamma+\sqrt{\gamma^2-(1-2\varepsilon_p)|\xi|^2}&\xi\in D_0,\end{cases}\\
\gamma=n\frac{1-|\xi|^2}2+\left(\varepsilon_p+\frac{k-1}2\right)|\xi|^2.
\end{gather*}
\end{corollary}

Отметим, что при $k=1$ мы получаем восстановление производной по тейлоровской информации $Z_n^0$. Следствие 1 при $k=1$ обобщает результаты, полученные в работах \cite{8} ($p=\infty$, $n=1$) и \cite{2,4} ($p=\infty$, $n\ge1$). Выражение для величины $E(\xi,e_k,Z_n^0,H_2)$ в виде ряда было получено в работе \cite{7}.

{\bf3.} Рассмотрим теперь аналогичные задачи для пространства Бергмана $A_p$, которое определяется как множество аналитических в $D$ функций, удовлетворяющих условию $$\|f\|_{A_p}=\left(\frac1\pi\int_D|f(u)|^p\,d\sigma\right)^{1/p}<\infty,$$
где $d\sigma$ --- плоская мера Лебега. Тем самым $\Omega=D$, $d\mu=(1/\pi)d\sigma$, а $X_p=A_p$.

\begin{theorem}\label{T3}
Метод $\displaystyle f^{(n)}(\xi)\approx\sum_{m=0}^{n-1}c_m(\xi)f^{(m)}(\xi)$, где $$c_m(\xi)=(-1)^{n-m+1}C_n^m\left(\dfrac{\ov\xi}{1-|\xi|^2}\right)^{n-m}
\dfrac{\Gamma(n+4/p)}{\Gamma(m+4/p)},$$
является наилучшим методом восстановления на классе $BA_p$ при всех $1\le p<\infty$ и $\xi\in D$. Функция
$$f^*(u)=\ei\left(n\frac p2+1\right)^{1/p}(1-|\xi|^2)^{2/p}\frac{(u-\xi)^n}{(1-\ov\xi u)^{n+4/p}}$$
является экстремальной, а
$$E(\xi,e_n,Z_n^\xi,A_p)=\frac{n!\left(n\dfrac p2+1\right)^{1/p}}{(1-|\xi|^2)^{n+2/p}}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
\begin{gather*}
g(u)=\frac{(u-\xi)^n}{(1-\ov\xi u)^{n+4/p}},\quad\alpha=\frac{n!\left(n\dfrac p2+1\right)}{(1-|\xi|^2)^{n-2+4/p}},\\
I=\frac{n!}{(1-|\xi|^2)^{n-1+4/p}}\cdot\frac1{2\pi i}\int_{|u|=1}\frac{(1-\ov\xi u)^{n-1+4/p}}{(u-\xi)^{n+1}}f(u)\,du.
\end{gather*}
Для любой функции $f\in H_\infty$ имеем
$$I=f^{(n)}(\xi)-\sum_{m=0}^{n-1}c_m(\xi)f^{(m)}(\xi).$$
С другой стороны, по формуле Стокса (см.\ \cite[с.~78]{9})
\begin{multline}\label{9}
I=\frac{n!}{(1-|\xi|^2)^{n-1+4/p}}\cdot\frac1{2\pi i}\int_{|u|=1}\left|\frac{u-\xi}{1-\ov\xi u}\right|^{n(p-2)}\left(\frac{\ov u-\ov\xi}{1-\xi\ov u}\right)^{n+1}\\
\times\frac{f(u)}{(1-\ov\xi u)^{2(p-2)/p}}\,du=\frac{n!}{(1-|\xi|^2)^{n-1+4/p}}\\
\times\frac1{2\pi i}\int_D\frac\partial{\partial\ov u}\left(\left|\frac{u-\xi}{1-\ov\xi u}\right|^{n(p-2)}\left(\frac{\ov u-\ov\xi}{1-\xi\ov u}\right)^{n+1}\frac{f(u)}{(1-\ov\xi u)^{2(p-2)/p}}\right)\,d\ov u\wedge du\\
=\frac\alpha\pi\int_D\ov{g(u)}|g(u)|^{p-2}f(u)\,d\sigma.
\end{multline}
Таким образом, для любой функции $f\in H_\infty$
\begin{equation}\label{10}
f^{(n)}(\xi)-\sum_{m=0}^{n-1}c_m(\xi)f^{(m)}(\xi)=
\frac\alpha\pi\int_D\ov{g(u)}|g(u)|^{p-2}f(u)\,d\sigma.
\end{equation}
Поскольку функции из $H_\infty$ плотны в $A_p$, то равенство \eqref{10} имеет
место для всех $f\in A_p$. Из равенства \eqref{9} при $f=g$ имеем
\begin{multline*}
\|g\|_{A_p}^p=\frac1{\left(n\dfrac p2+1\right)(1-|\xi|^2)}\int_{|u|=1}\frac{du}{(u-\xi)(1-\ov\xi u)}\\
=\frac1{\left(n\dfrac p2+1\right)(1-|\xi|^2)^2}.
\end{multline*}
Теперь доказываемое утверждение следует из теоремы~\ref{T1}. Теорема доказана.
\end{proof}

В силу того, что $c_0(0)=\ldots=c_{n-1}(0)=0$, из теоремы~\ref{T3} вытекает равенство
$$\sup_{\|f\|_{A_p}\le1}|f^{(n)}(0)|=n!\left(n\dfrac p2+1\right)^{1/p}.$$

\begin{theorem}\label{T4}
Метод $\displaystyle f(\xi)\approx\sum_{m=0}^{n-1}c_m(\xi,z)f^{(m)}(z)$, где
\begin{multline*}
c_m(\xi,z)=\frac{(\xi-z)^n(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{m!(n-m-1)!(1-\ov z\xi)^{n+1}
[\varphi(\xi)]^{(p-2)/p}}\\
\times\frac{\partial^{n-m-1}}{\partial u^{n-m-1}}\left[\frac{(1-\ov z u)^{n+1}(\varphi(u))^{(p-2)/p}}{(\xi-u)(1-\ov\xi u)^{2(p-2)/p}}\right]\bigg|_{u=z},
\end{multline*}
$$\varphi(u)=1+n\frac p2-n\frac p2\frac{u-z}{1-\ov zu}\cdot\frac{\ov\xi-\ov z}{1-z\ov\xi},$$
является наилучшим методом восстановления на классе $BA_p$, $1\le p<\infty$. При этом функция
$$f^*(u)=\ei\frac{(1-|\xi|^2)^{2/p}}{(\varphi(\xi))^{1/p}}\left(\frac{u-z}{1-\ov zu}\right)^n\frac{(\varphi(u))^{2/p}}{(1-\ov\xi u)^{4/p}}$$
является экстремальной, а
$$E(\xi,e_0,Z_n^z,A_p)=\left|\frac{\xi-z}{1-\ov z\xi}\right|^n\frac{(\varphi(\xi))^{1/p}}{(1-|\xi|^2)^{2/p}}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
\begin{gather*}
g(u)=\left(\frac{u-z}{1-\ov zu}\right)^n\frac{(\varphi(u))^{2/p}}{(1-\ov\xi u)^{4/p}},\quad
\alpha=\left(\frac{\xi-z}{1-\ov z\xi}\right)^n\frac{(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}},\\
I=\frac\alpha{1-\ov z\xi}\frac1{2\pi i}\int_{|u|=1}\frac{(1-\ov z u)^{n+1}(\varphi(u))^{(p-2)/p}}{(u-\xi)(u-z)^n(1-\ov\xi u)^{2(p-2)/p}}f(u)\,du.
\end{gather*}
Для $f\in H_\infty$
$$I=f(\xi)-\sum_{m=0}^{n-1}c_m(\xi,z)f^{(m)}(z).$$
С другой стороны, теорема Стокса дает
\begin{multline*}
I=\frac\alpha{1-\ov z\xi}\cdot\frac1{2\pi i}\int_{|u|=1}\left|\frac{u-z}{1-\ov z u}\right|^{n(p-2)}\\
\times\frac{(\ov u-\ov z)^{n+1}(\varphi(u))^{(p-2)/p}}{(1-\xi\ov u)(1-z\ov u)^n(1-\ov\xi u)^{2(p-2)/p}}f(u)\,du\\
=\frac\alpha\pi\int_D\ov{g(u)}|g(u)|^{p-2}f(u)\,d\sigma.
\end{multline*}
Далее повторяются рассуждения, использовавшиеся при доказательстве теоремы~\ref{T3}. Теорема доказана.
\end{proof}

Из теоремы~\ref{T4}, в частности, следует, что
$$E(\xi,e_0,Z_n^0,A_p)=|\xi|^n\frac{\left(1+n\dfrac p2(1-|\xi|^2)\right)^{1/p}}{(1-|\xi|^2)^{2/p}}.$$

Отметим, что при $p=2$ и $z=0$ наилучшим методом восстановления является отрезок ряда Тейлора. Этот же факт имеет место в аналогичной задаче на классе $BH_2$, что отмечалось в работе \cite{4}.

Положим теперь
\begin{gather*}
\beta(\xi)=\lambda_0\frac{1-|\xi|^2}2+\lambda_1\frac2p\ov\xi,\\
D_0=\left\{\,\xi\in D:|\beta(\xi)|\ge\frac{3p-2}{2p}|\lambda_1|\,\right\},\quad D_1=D\setminus D_0.
\end{gather*}
Пусть
\begin{multline*}
\psi(x)=\left(1-\frac p2\right)|\lambda_1|x^3-\left(1-\frac p2\right)|\beta(\xi)|x^2\\
+\left(2+\frac p2-\frac2p\right)|\lambda_1|x-\left(1+\frac p2\right)|\beta(\xi)|.
\end{multline*}
При $\xi\in D_1$ через $b_1(\xi)$ обозначим корень уравнения $\psi(x)=0$, удовлетворяющий условию $0\le b_1(\xi)<1$. Существование такого корня следует из того, что
\begin{align*}
\psi(0)&=-\left(1+\frac p2\right)|\beta(\xi)|\le0,\\
\psi(1)&=\frac{3p-2}{2p}|\lambda_1|-2|\beta(\xi)|>0.
\end{align*}
Можно показать, что такой корень единственен. Положим, кроме того,
\begin{align*}
b&=\begin{cases}2\dfrac{\ov\lambda_1}{\ov{\beta(\xi)}}\left[1+\sqrt{1-\dfrac{2(p-2)}p\left|\dfrac
{\lambda_1}{\beta(\xi)}\right|^2}\right]^{-1},&\xi\in D_0,\\[18pt]
e^{i\arg\beta(\xi)}\cdot b_1(\xi),&\xi\in D_1,\end{cases}\\
a&=\frac{\xi-\ov b}{1-\ov\xi\ov b}.
\end{align*}

\begin{theorem}\label{T5}
При всех $1\le p<\infty$ имеет место равенство
\begin{multline*}
\sup_{\|f\|_{A_p}\le1}|\lambda_0f(\xi)+\lambda_1f'(\xi)|\\
=\begin{cases}\dfrac{|\lambda_0|}{(1-|\xi|^2)^{2/p}},&\hspace{-2pt}\xi\in D_0,\ \lambda_1=0,\\[10pt]
\dfrac{2|\lambda_1|\left(1+\dfrac12|b|^2\right)^{(p-1)/p}}{(1-|\xi|^2)^{(p+2)/p}|b|},&
\hspace{-2pt}\xi\in D_0,\ \lambda_1\ne0,\\[10pt]
\dfrac{|\lambda_1|\left[\left(1-\dfrac p2\right)|b|^4+4|b|^2+1+\dfrac p2\right]^{(p-1)/p}}
{(1-|\xi|^2)^{(p+2)/p}\left[\left(1-\dfrac p2\right)|b|^2+1+\dfrac p2\right]^{(p-2)/p}},&\xi\in D_1.\end{cases}
\end{multline*}
Функция
\begin{multline*}
f^*(u)\\
=\begin{cases}\dfrac{\ei|1-\xi b|^{2/p}(1-|\xi|^2)^{2/p}(1-\ov au)^{2/p}}{
\left(1+\dfrac12|b|^2\right)^{1/p}(1-\ov\xi u)^{6/p}},&\xi\in D_0,\\[30pt]
\dfrac{\ei|1-\xi b|^{4/p}(u-a)(\varphi(u))^{2/p}}
{\left[\left(1-\dfrac p2\right)|b|^4+4|b|^2+1+\dfrac p2\right]^{1/p}(1-\ov au)(1-\ov\xi u)^{4/p}},&\xi\in D_1,\end{cases}
\end{multline*}
где
$$\varphi(u)=\left(1+\dfrac p2\right)(1-|a|^2)+2(\ov\xi-\ov a)\frac{u-a}{1-\ov\xi u},$$
является экстремальной в данной задаче.
\end{theorem}

\begin{proof}
Покажем сначала, что функция $\varphi(u)$ не обращается в нуль при $u\in D$. В силу определения $a$ имеем
$$\varphi(u)=\frac{1-|\xi|^2}{|1-\xi b|^2}\left[\left(1+\frac p2\right)(1-|b|^2)+2|b|^2+2b\frac
{u-\xi}{1-\ov\xi u}\right].$$
Остается заметить, что
$$\left(1+\frac p2\right)(1-|b|^2)+2|b|^2>1+|b|^2>2|b|.$$
Положим при $\xi\in D_1$
\begin{gather*}
g(u)=\frac{u-a}{1-\ov au}\frac{(\varphi(u))^{2/p}}{(1-\ov\xi u)^{4/p}},\quad
\alpha=\frac{\lambda_1(1-|\xi|^2)^{2(p-2)/p}}{(1-\ov a\xi)^2(\varphi(\xi))^{(p-2)/p}},\\
I=\frac\alpha{2\pi i}\int_{|u|=1}\frac{(1-\ov a u)^2(\varphi(u))^{(p-2)/p}}{(u-\xi)^2(1-\ov\xi u)^{2(p-2)/p}}f(u)\,du.
\end{gather*}
Далее доказательство проводится по той же схеме, что и доказательства теорем~\ref{T3} и \ref{T4}.
\end{proof}

В заключение авторы благодарят В.~М.~Тихомирова за внимание к работе и полезные обсуждения.


\bigskip

\noindent МАТИ им.~К.~Э.~Циолковского\hfill Поступило\\
\hphantom a\hfill 06.09.88\\


\bigskip

\renewcommand{\refname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} О с и п е н к о К . Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Математические заметки. 1976. Т.~19, вып.~1. С.~29--40.
\selectlanguage{english}
\bibitem{2} M i c c h e l l i C. A., R i v l i n T. J. A survey of optimal recovery // Optimal estimation in approximation theory. New York: Plenum Press, 1977. P.~1--54.

\bibitem{3} F i s h e r S. D., M i c c h e l l i C. A. The $n$-width of sets of analytic functions // Duke Math. J. 1980. V.~47, \selectlanguage{russian}\No4.\selectlanguage{english} P.789--801.

\bibitem{4} R i v l i n T. J. The optimal recovery of functions // Contemp. Math. 1982. V.~9. P.~121--151.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{5} Г о л у з и н Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

\bibitem{6} Г а р н е т т Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

\bibitem{7} П е в н ы й А. Б. Об оптимальности некоторых онлайновых алгоритмов // Изв. вузов. Математика. 1986. \No~5. С.~43--49.
\selectlanguage{french}
\bibitem{8} D i e u d o n n \'{e} J. Recherches sur quelques problems ralatifs aux polinomes et aux fonctions born\'{e}es d'une variable complexe //Ann. Ecole Norm. sup. 1931. V.~3, N~48. P.~247--358.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{9} Ш а б а т Б. В. Введение в комплексный анализ. II. М.: Наука, 1976.
\end{thebibliography}
\end{document}
