\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
\newtheorem*{lemma*}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem*{corollary*}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

\title{ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ}


\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}


\maketitle


{\bf Введение.} Начиная с середины шестидесятых годов в теории приближений большое внимание уделяется задачам восстановления функционалов на некоторых множествах по заданной информации об элементах этих множеств (например, восстановление интеграла от функции из некоторого функционального класса по ее значениям в конечном числе точек). Одним из важнейших результатов в этом направлении является теорема Смоляка \cite{1}, утверждающая, что при определенных условиях среди оптимальных способов восстановления есть аффинный.

Проблематика восстановления функционалов по неточно заданной информации естественным образом редуцируется к более общей задаче об аппроксимации многозначных отображений однозначными. Здесь также возникает вопрос об условиях существования оптимальных аффинных методов аппроксимации.

В данной работе получены критерии существования оптимального аффинного и линейного методов аппроксимации для задачи приближения многозначных отображений. В качестве следствия устанавливаются аналогичные критерии для задачи восстановления.

Статья состоит из трех разделов. В первом из них содержатся постановки задач и необходимые для дальнейшего определения. Во втором разделе приведены формулировки основных результатов. Третий раздел посвящен доказательствам.

{\bf1. Постановки задач.} Пусть заданы множества $W$, $Y$, метрическое пространство $(Z,\rho)$, отображение $f\colon W\to Z$, многозначное отображение (м.~о.) $F\colon W\to Y$ (т.~е.\ каждому $x\in W$ сопоставляется непустое множество $F(x)\subset Y$) и отображение (метод) $\varphi\colon Y\to Z$. Величину
$$e(f,W,F,\varphi):=\sup_{\substack{x\in W\\y\in F(x)}}\rho(f(x),\varphi(y))$$
назовем погрешностью восстановления отображения $f$ на множестве $W$ по информации $F$ при помощи метода восстановления $\varphi$. Величину
\begin{equation}\label{1}
e(f,W,F):=\inf_\varphi e(f,W,F,\varphi),
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным методам $\varphi\colon Y\to Z$, будем называть оптимальной погрешностью восстановления, а всякий метод, на котором достигается нижняя грань в \eqref{1}, назовем оптимальным.

Многозначность отображения $F$ означает, что информация об элементах $W$ задана, вообще говоря, неточно. Если $F$ --- однозначное отображение, то говорят о задаче восстановления по точным данным. Часто в задачах восстановления по неточным данным рассматривают отображения $F(x)=I(x)+U$, где $I\colon W\to Y$ --- однозначное отображение, a $U$ --- некоторое фиксированное множество. Например, если $Y$ --- нормированное пространство, то, как правило, $U=\{y\in Y|\|y\|\le\delta\}$.

Задача \eqref{1} в различных направлениях исследовалась в работах \cite{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Вопросам, связанным с нахождением оптимальных методов восстановления и оценкам их погрешностей в конкретных ситуациях, посвящено большое количество работ, ссылки на которые можно найти в обзорных статьях \cite{4,6,8}, а также в монографии \cite{5}. В алгебраическом случае (а именно такой случай рассматривается в этой работе) существование среди оптимальных методов линейного в выпуклой уравновешенной задаче доказали R. Scharlach \cite{7}, Г. Г. Магарил-Ильяев и Чан Тхи Ле \cite{10}, а в более общей постановке задачи --- для восстановления многозначного отображения однозначным (см.\ ниже) --- В.~В.~Арестов \cite{11}.

Перейдем теперь к постановке задачи об аппроксимации многозначных отображений однозначными. Пусть заданы непустое множество $\Omega$, метрическое пространство $(Z,\rho)$, м.~о. $\Phi\colon\Omega\to Z$ и отображение $\varphi\colon\Omega\to Z$. Величину
$$E(\Phi,\Omega,\varphi):=\sup_{\substack{y\in\Omega\\z\in\Phi(y)}}\rho(z,\varphi(y))$$
назовем погрешностью аппроксимации м.~о.\ $\Phi$ отображением (методом) $\varphi$. Величину
\begin{equation}\label{2}
E(\Phi,\Omega):=\inf_\varphi E(\Phi,\Omega,\varphi),
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным методам $\varphi\colon\Omega\to Z$, будем называть оптимальной погрешностью аппроксимации, а всякий метод, на котором достигается нижняя грань в \eqref{2}, --- оптимальным.

Легко видеть, что задача \eqref{1} является частным случаем задачи \eqref{2}. Действительно, для любого отображения $\varphi\colon\Omega\to Z$
\begin{equation}\label{3}
e(f,W,F,\varphi)=E(f\circ F^{-1},F(W),\varphi),
\end{equation}
где $F(W)$ --- образ $W$ при отображении $F$ и м.~о. $f\circ F^{-1}\colon F(W)\to Z$
определено естественным образом: $f\circ F^{-1}:=f(F^{-1}(y))$. Следовательно,
\begin{equation}\label{4}
e(f,W,F)=E(f\circ F^{-1},F(W)).
\end{equation}
Связь между задачами восстановления и аппроксимации многозначных отображений ранее была отмечена также в работе \cite{11}.

С задачей об аппроксимации м.~о. $\Phi\colon\Omega\to Z$ свяжем следующую величину
$$R(\Phi,\Omega):=\sup_{y\in\Omega}\infp_{a\in Z}\sup_{z\in\Phi(y)}\rho(z,a),$$
которую назовем радиусом многозначности м.~о. $\Phi$. Соответствующую величину для задачи восстановления (ее обычно называют радиусом информации) обозначим через $r(f,W,F)$, т.~е.
\begin{equation}\label{5}
r(f,W,F):=R(f\circ F^{-1},F(W)).
\end{equation}

\begin{lemma*}
Пусть $\Omega$ --- непустое множество, $(Z,\rho)$ --- метрическое пространство и $\Phi\colon\Omega\to Z$ --- м.~о. Тогда
$$E(\Phi,\Omega)=R(\Phi,\Omega).$$
\end{lemma*}
Частные случаи этого легко проверяемого утверждения имеются во многих работах. В данной формулировке оно содержится в работе \cite{11}.

Приведем еще некоторые определения, которые понадобятся ниже. Пусть $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$, $X$ --- линейное пространство над $K$ и $X'$ --- пространство, алгебраически сопряженное с $X$. Значение линейного функционала $x'\in X'$ на элементе $x\in X$ обозначаем $\la x',x\ra$. Функция $f\colon X\to K$ называется аффинной, если $f(x)=\la x',x\ra+a$ для некоторых $x'\in X'$ и $a\in K$. Совокупность всех таких функций будем обозначать через $\Aff(X)$.

Если $\Omega\subset X$ --- непустое множество, то $\co\Omega$ и $\bco\Omega$ обозначают, соответственно, выпуклую и выпуклую уравновешенную оболочки $\Omega$. Пусть $\Omega\subset X$ --- выпуклое (выпуклое уравновешенное) подмножество и $Y$ --- линейное пространство над $K$. Многозначное отображение $\Phi\colon\Omega\to Y$ называется выпуклым (выпуклым уравновешенным), если его график $\gr(\Phi):=\{(x,y)\in\Omega\times Y|y\in\Phi(x)\}$ --- выпуклое (выпуклое уравновешенное) множество в линейном пространстве $X\times Y$.

Каждому непустому подмножеству $\Omega\subset X$ и м.~о.\ $\Phi\colon\Omega\to Y$ можно сопоставить выпуклое (выпуклое уравновешенное) м.~о.\ $\co\Phi\colon\co\Omega\to Y$ ($\bco\Phi\colon\bco\Omega\to Y$) по правилу
\begin{gather*}
\co\Phi(x):=\{\,y\in Y|(x,y)\in\co\gr(\Phi)\,\}\\
(\bco\Phi(x):=\{\,y\in Y|(x,y)\in\bco\gr(\Phi)\,\}).
\end{gather*}

{\bf2. Формулировка результатов.}
\begin{theorem*}
а$)$ Пусть $Y$ --- вещественное линейное пространство, $\Omega\subset Y$ --- непустое множество и $\Phi\colon\Omega\to\mathbb R$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $\varphi\in\Aff(Y)$ такого, что
\begin{equation}\label{6}
E(\Phi,\Omega,\varphi)=E(\Phi,\Omega),
\end{equation}
необходимо и достаточно, чтобы
\begin{equation}\label{7}
R(\Phi,\Omega)=R(\co\Phi,\co\Omega).
\end{equation}

б$)$ Пусть $Y$ --- линейное пространство над $K$ $($$K=\mathbb R$ или $\mathbb C$$)$, $\Omega\subset Y$ --- непустое множество и $\Phi\colon\Omega\to K$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $y'\in Y'$ такого, что
\begin{equation}\label{8}
E(\Phi,\Omega,y')=E(\Phi,\Omega),
\end{equation}
необходимо и достаточно, чтобы
$$R(\Phi,\Omega)=R(\bco\Phi,\bco\Omega).$$
При этом
\begin{equation}\label{9}
E(\Phi,\Omega)=\sup_{\alpha\in\bco\Phi(0)}|\alpha|.
\end{equation}
\end{theorem*}

\begin{corollary*}
а$)$ Пусть $X,Y$ --- вещественные линейные пространства, $W\subset X$ --- непустое множество, $f\in\Aff(X)$ и $F\colon W\to Y$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $\varphi\in\Aff(Y)$ такого, что
$$e(f,W,F,\varphi)=e(f,W,F),$$
необходимо и достаточно, чтобы
$$r(f,W,F)=r(f,\co W,\co F).$$

б$)$ Пусть $X,Y$ --- линейные пространства над $K$ $($$K=\mathbb R$ или $\mathbb C$$)$, $W\subset X$ --- непустое множество, $x'\in X'$ и $F\colon W\to Y$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $y'\in Y'$ такого, что
$$e(x',W,F,y')=e(x',W,F),$$
необходимо и достаточно, чтобы
$$r(x',W,F)=r(x',\bco W,\bco F).$$

При этом
$$e(x',W,F)=\sup_{x\in(\bco F)^{-1}(0)}|\la x',x\ra|.$$
\end{corollary*}

З а м е ч а н и е. Для комплексного линейного пространства утверждения п.п.\ а) теоремы и следствия не имеют места. Соответствующий пример приведен в конце раздела 3.

{\bf3. Доказательство теоремы.} а) Разобьем доказательство этого пункта на несколько этапов.

1) Покажем, что если $\Omega\subset Y$ --- выпуклое множество и $\Phi\colon\Omega\to\mathbb R$ --- выпуклое м.~о., то существует $\varphi\in\Aff(Y)$, для которого выполнено равенство \eqref{6}. Если $R:=R(\Phi,\Omega)=\infty$, то по лемме $E(\Phi,\Omega)=\infty$ и, следовательно, любой метод оптимален. Если $R=0$, то $\Phi$ --- однозначное отображение. Пусть $\widetilde\Omega:=\Omega-y_0$, где $y_0\in\Omega$ и $\widetilde\Phi(z):=\Phi(z+y_0)-\Phi(y_0)$, $z\in\widetilde\Omega$. Ясно, что $0\in\widetilde\Omega$, $\widetilde\Phi(0)=0$ и, так как $\gr(\Phi)$ — выпуклое множество, то для любых $z_j\in\widetilde\Omega$, $\lambda_j\ge0$ ($j=1,\ldots,n$), $\sum_{j=1}^n\lambda_j=1$, имеем
$$\widetilde\Phi\biggl(\sum_{j=1}^n\lambda_jz_j\biggr)=\sum_{j=1}^n\lambda_j\widetilde\Phi(z_j).$$
Отсюда следует, что $\widetilde\Phi$ по линейности единственным образом продолжается на $\spann\widetilde\Omega$ --- линейную оболочку $\widetilde\Omega$. Обозначим это продолжение через $\Phi'$. Если теперь $y'\in Y'$ --- любое продолжение $\Phi'$ на все $Y$ (как известно, такое $y'$ всегда существует), то $\Phi$ есть сужение на $\Omega$ аффинной функции $\varphi(y)=\la y',y\ra+\Phi(y_0)-\la y',y_0\ra$ и тем самым $E(\Phi,\Omega,\varphi)=0$. Таким образом, \eqref{6} доказано.

Пусть $0<R<\infty$. Рассмотрим выпуклое и уравновешенное множество $W:=\gr(\Phi)-\gr(\Phi)$. Обозначим через $p(u):=\inf\{t>0|u\in tW\}$ его функционал Минковского и покажем, что если $u=(0,\alpha)\in Y\times\mathbb R$, $\alpha>0$, то $p(u)=\alpha(2R)^{-1}$. Легко видеть, что $R$ можно записать в виде
\begin{equation}\label{10}
R=\sup_{y\in\Omega}\frac12\biggl(\sup_{\beta\in\Phi(y)}\beta-\inf_{\beta\in\Phi(y)}\beta\biggr).
\end{equation}
Тем самым для любого $0<\varepsilon<2R$ найдутся $y_\varepsilon\in\Omega$ и $\beta_1,\beta_2\in\Phi(y_\varepsilon)$ такие, что $\beta_1-\beta_2\ge2R-\varepsilon$. Положим $t_0:=\alpha(\beta_1-\beta_2)^{-1}$. Тогда $u:=t_0(0,\beta_1-\beta_2)=t_0((y_\varepsilon,\beta_1)-(y_\varepsilon,\beta_2))\in t_0W$, т.~е. $p(u)\le t_0\le\alpha(2R-\varepsilon)^{-1}$. Таким образом, $p(u)\le\alpha(2R)^{-1}$ в силу произвольности $\varepsilon$. Если $p(u)<\alpha(2R)^{-1}$, то найдется такое $0<t_1<\alpha(2R)^{-1}$, что $(0,\alpha)\in t_1W$. Это означает существование таких $y\in\Omega$ и $\gamma_1,\gamma_2\in\Phi(y)$, для которых $\gamma_1-\gamma_2=t_1^{-1}\alpha>2R$, что противоречит \eqref{10}.

Рассмотрим подпространство $L:=\{u\in Y\times\mathbb R|u=(0,\alpha)\}$ и линейный функционал $u'$ на $L$, определенный равенством $\la u',u\ra:=\alpha(2R)^{-1}$. По доказанному $\la u',u\ra\le p(u)$ для всех $u\in L$. Из теоремы Хана--Банаха следует существование такого функционала $u_1'\in(Y\times\mathbb R)'$ что $\la u_1',u\ra\le p(u)$, $u\in Y\times\mathbb R$, и сужение $u_1'$ на $L$ совпадает с $u'$. Поскольку $u_1'=(y_1',\gamma)$, где $y_1'\in Y'$, $\gamma\in\mathbb R$, и $p(u)\le1$ для $u\in W$, то при всех $y_1,y_2\in\Omega$ и $\beta_1\in\Phi(y_1)$, $\beta_2\in\Phi(y_2)$ имеем
\begin{equation}\label{11}
\la u_1',(y_1-y_2,\beta_1-\beta_2)\ra=\la y_1',y_1-y_2\ra+\gamma(\beta_1-\beta_2)\ra\le1.
\end{equation}
Так как $\la u',u\ra=\alpha(2R)^{-1}$, если $u=(0,\alpha)$, то $\gamma=(2R)^{-1}$. Тогда, полагая $y':=-2Ry_1'$, получаем из \eqref{11}
$$\beta_1-\la y',y_1\ra-R\le\beta_2-\la y',y_2\ra+R.$$
Следовательно, существует такое $a\in\mathbb R$, что при всех $y_1,y_2\in\Omega$ и $\beta_1\in\Phi(y_1)$, $\beta_2\in\Phi(y_2)$
$$\beta_1-\la y',y_1\ra-R\le a\le\beta_2-\la y',y_2\ra+R.$$
Таким образом,
$$\sup_{(y,\beta)\in\gr(\Phi)}|\beta-\la y',y\ra-a|\le R,$$
т.~е. $E(\Phi,\Omega,\varphi)\le R(\Phi,\Omega)$, где $\varphi(y):=\la y',y\ra+a$. Это вместе с леммой доказывает $1)$.

$2)$ Докажем, что в условиях теоремы из \eqref{6} следует \eqref{7}. Проверим сначала, что если $\varphi\in\Aff(Y)$, то
\begin{equation}\label{12}
E(\Phi,\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi).
\end{equation}
Действительно, левая часть в \eqref{12}, очевидно, не больше правой. Обратно, пусть $(y,\beta)\in\gr(\co\Phi)=\co\gr(\Phi)$. Тогда $(y,\beta)=\sum_{j=1}^n\lambda_j(y_j,\beta_j)$, где $\sum_{j=1}^n\lambda_j=1$, $\lambda_j\ge0$ и $(y_j,\beta_j)\in\gr(\Phi)$, $j=1,\ldots,n$. Имеем
\begin{multline*}
|\beta-\varphi(y)|=\biggl|\sum_{j=1}^n\lambda_j\beta_j-\varphi\biggl(\sum_{j=1}^n\lambda_jy_j
\biggr)\biggr|=\biggl|\sum_{j=1}^n\lambda_j(\beta_j-\varphi(y_j))\biggr|\\
\le\max_{1\le j\le n}|\beta_j-\varphi(y_j)|\le E(\Phi,\Omega,\varphi).
\end{multline*}
Следовательно, $E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)\le E(\Phi,\Omega,\varphi)$ и равенство \eqref{12}
доказано.

Пусть справедливо \eqref{6}. Тогда, применяя лемму и \eqref{12}, получаем
\begin{multline*}
R(\co\Phi,\co\Omega)=E(\co\Phi,\co\Omega)\le E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)=E(\Phi,\Omega,\varphi)\\=E(\Phi,\Omega)=R(\Phi,\Omega).
\end{multline*}
Поскольку обратное неравенство $R(\Phi,\Omega)\le R(\co\Phi,\co\Omega)$ очевидно, то  \eqref{7} доказано.

$3)$ Покажем теперь, что из \eqref{7} следует \eqref{6}. Действительно, по доказанному в $1)$ существует $\varphi\in\Aff(Y)$, что
$$E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega).$$
Учитывая это равенство, лемму и равенство \eqref{12}, будем иметь
\begin{multline*}
E(\Phi,\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega)=R(\co\Phi,\co\Omega)\\
=R(\Phi,\Omega)=E(\Phi,\Omega).
\end{multline*}
Тем самым часть a) теоремы доказана.

б) Докажем сначала, что если $\Omega$ --- выпуклое уравновешенное множество и $\Phi\colon\Omega\to K$ --- выпуклое уравновешенное м.~о., то существует $y'\in Y'$, для которого справедливо равенство \eqref{8}. Ясно, что $0\in\Omega$ и $\Phi(0)$ --- выпуклое уравновешенное множество. Следовательно,
\begin{equation}\label{13}
R(\Phi,\Omega)\ge\infp_{a\in K}\sup_{\beta\in\Phi(0)}|\beta-a|=\sup_{\beta\in\Phi(0)}|\beta|=:R_0.
\end{equation}
Если $R_0=\infty$, то из \eqref{13} и леммы вытекает, что $E(\Phi,\Omega)=\infty$, и, стало быть, любой метод оптимален. Если же $R_0=0$, то нетрудно убедиться, что $\Phi$ --- однозначное отображение, и аналогично тому, как это было сделано в части а), проверяется, что $\Phi$ есть сужение на $\Omega$ некоторого линейного функционала $y'\in Y'$. Таким образом, $E(\Phi,\Omega,y')=0$, а следовательно, имеет место \eqref{8}.

Пусть $0<R_0<\infty$. Рассмотрим выпуклое уравновешенное множество $W:=\gr(\Phi)$. Если $p(u)$ --- функционал Минковского этого множества и $u=(0,\alpha)\in Y\times K$, то
\begin{multline*}
p(u)=\inf\{t>0|(0,\alpha)\in tW\}=\inf\{t>0|\alpha t^{-1}\in\Phi(0)\}\\
=|\alpha|\biggl(\sup_{\beta\in\Phi(0)}|\beta|\biggr)^{-1}=|\alpha|R_0^{-1}.
\end{multline*}
Определим на подпространстве $L:=\{u\in Y\times K|u=(0,\alpha)\}$ линейный функционал $u'$ равенством $\la u',u\ra:=\alpha R_0^{-1}$. Тогда $|\la u',u\ra|=p(u)$, $u\in L$, и по теореме Хана--Банаха существует такое его продолжение $u_1'$ на $Y\times K$, что $|\la u_1',u\ra|\le p(u)$ при $u\in Y\times K$. Аналогично доказательству части а) теоремы для любых $y\in\Omega$ и $\beta\in\Phi(y)$ имеем
$$|\la u_1',(y,\beta)\ra|=|\beta R_0^{-1}+\la y_1',y\ra|\le1,$$
где $y_1'\in Y'$. Полагая $y':=-R_0y_1'$, получаем
$$|\beta-\la y',y\ra|\le R_0,$$
т.~е. $E(\Phi,\Omega,y')\le R_0$. Вместе с \eqref{13} и леммой это доказывает справедливость равенств \eqref{8} и \eqref{9} для данного случая. Дальнейший ход доказательства части б) совершенно аналогичен доказательству части а). Теорема доказана.

Для доказательства следствия, учитывая равенства \eqref{3}--\eqref{5}, достаточно доказать, что
\begin{gather*}
\co(f\circ F^{-1})=f\circ(\co F)^{-1},\quad f\in\Aff(X),\\
\bco(x'\circ F^{-1})=x'\circ(\bco F)^{-1},\quad x'\in X',
\end{gather*}
и
$$\co(F(W))=\co F(\co W),\quad\bco(F(W))=\bco F(\bco W).$$
Справедливость этих равенств легко следует непосредственно из определений.

Приведем теперь пример, показывающий, что утверждения пп. а) теоремы и следствия в общем случае не имеют места. Рассмотрим следующую задачу восстановления (которую можно сформулировать и как задачу аппроксимации соответствующего многозначного отображения). Пусть $X=Y=\mathbb C$, $W:=\{z\in\mathbb C|\lambda_1|\RE z|+\lambda_2|\IM z|\le1\}$, $0<\lambda_1<\lambda_2$, $f(z):=z$, $F(z):=\RE z+\delta U$, $U:=[-1,1]$, $0<\delta<\mu/3$, где $\mu:=2\lambda_1/(\lambda_1^2+\lambda_2^2)$. Из леммы и равенств \eqref{4}, \eqref{5} имеем
\begin{multline}\label{14}
e(f,W,F)=r(f,W,F)\ge\infp_{\alpha\in\mathbb C\vphantom{F^{-1}}}\sup_{z\in F^{-1}(0)}|z-\alpha|\\
=\infp_{\alpha\in\mathbb C}\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z-\alpha|=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z|=\lambda_2^{-1}.
\end{multline}
Положим
$$\varphi_0(y):=\begin{cases}0,&|y|\le2\delta,\\
y,&|y|>2\delta.\end{cases}$$
Тогда, если $|y|\le2\delta$, то
$$\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}|z|=\lambda_2^{-1},$$
так как $|\RE z|\le3\delta<\mu$. При $|y|>2\delta$ \ $|\RE z|>\delta$ и, следовательно, $|\IM z|<(1-\lambda_1\delta)\lambda_2^{-1}$, поэтому
$$\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}|z-y|<\sqrt{\delta^2+(1-\lambda_1\delta)^2\lambda_2^{-2}}<\lambda_2^{-1}.$$
Отсюда следует, что $e(f,W,F,\varphi_0)=\lambda_2^{-1}$. Это вместе с соотношениями \eqref{14} дает
$$e(f,W,F)=\lambda_2^{-1}.$$

С другой стороны, для любого аффинного метода $\varphi(y)=c_1y+ic_2u+\alpha$, где $c_1,c_2\in\mathbb R$, $\alpha\in\mathbb C$, имеем
\begin{multline}\label{15}
e(f,W,F,\varphi)=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}|z-\varphi(y)|\\
\ge\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z-\varphi(0)|=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z-\alpha|\ge\lambda_2^{-1}.
\end{multline}
Если $\alpha\ne0$, то последнее неравенство в \eqref{15} строгое и тем самым $e(f,W,F,\varphi)>\lambda_2^{-1}$. Пусть $\alpha=0$. Поскольку
$$e(f,W,F,\varphi)=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}\sqrt{(\RE z-c_1y)^2+(\IM z-c_2y)^2},$$
то, полагая $z=y=\lambda_1^{-1}$, а затем $z=i\lambda_2^{-1}$, $y=\pm\delta$, получаем
\begin{multline*}
e(f,W,F,\varphi)\ge\max\left\{\sqrt{\lambda_1^{-2}(1-c_1)^2+\lambda_1^{-2}c_2^2},\right.\\\left.
\sqrt{\delta^2c_1^2+(\lambda_2^{-1}\pm\delta c_2)^2}\right\}>\lambda_2^{-1}.
\end{multline*}
Таким образом, доказано, что среди оптимальных методов восстановления не существует аффинного.

Отметим, что данная конструкция является модификацией одного примера из \cite{12}.

\bigskip

\noindent Центральный научно-исследовательский \hfill Поступило\\
институт комплексной автоматизации\hfill 12.04.90\\

\smallskip

\noindent Московский авиационный технологический\\
институт им.~К.~Э.~Циолковского


\bigskip

\renewcommand{\refname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} С м о л я к~С.~А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1965.

\bibitem{2} О с и п е н к о К . Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Математические заметки. 1976. Т.~19, вып.~1. С.~29--40.

\bibitem{3} М а р ч у к А. Г., О с и п е н к о К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Математические заметки. 1975. Т.~17, вып.~3. С.~359--368.
\selectlanguage{english}
\bibitem{4} M i c c h e l l i C. A., R i v l i n T. J. A survey of optimal recovery,
Optimal estimation in approximation theory. N. Y.: Plenum Press, 1977. P.~1--54.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{5} T p а у б Дж., В о ж ь н я к о в с к и й X. Общая теория оптимальных
алгоритмов. М.: Мир, 1983.
\selectlanguage{english}
\bibitem{6} M i c c h e l l i C. A., R i v l i n T. J. Lectures on optimal recovery // Lect. Notes Math. 1985. V.~1129. P.~21--93.

\bibitem{7} S c h a r l a c h R . Optimal recovery by linear functionals // J. Appoxim. Theory. 1985. V.~44, N~2. P.~167--172.

\bibitem{8} W o z n i a k o w s k i H . A survey of information-based complexity // J. Complexity. 1985. V.~1. P.~11--44.

\bibitem{9} S u k h a r e v A . G . On the existence of optimal affine methods for approximating linear functionals // J. Complexity. 1986. V.~2. P.~317--322.
\bibitem{10} \selectlanguage{russian}M а г а р и л-И л ь я е в Г . Г., Ч а н Т х и Л е. К задаче оптимального восстановления функционалов // УМН. 1987. Т.~42, \No~2. С.~237--238.

\bibitem{11} А р е с т о в В . В. Наилучшее восстановление операторов и родственные
задачи // Тр. МИАН СССР. Т.~189. М.: Наука, 1989. С.~3--20.
\selectlanguage{english}
\bibitem{12} M e l k m a n A. A., M i c c h e l l i C. A. Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V.~16, N~1. P.~87--105.
\end{thebibliography}
\end{document}
