\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}

\begin{document}
\pagestyle{plain}

\title{О ПРОИЗВЕДЕНИЯХ БЛЯШКЕ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ}


\author{К.~Ю.~Осипенко}


\maketitle

Положим
$$B(x,\ov x)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{x-x_j}{1-x_jx}\right)^{\nu_j},$$
где $\ov x=(x_1,\ldots,x_n)$, $x_j\in(-1,1)$, a $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- натуральные числа. Функция $B(x,\ov x)$ называется произведением Бляшке с вещественными нулями $x_j$ кратности $\nu_j$. Пусть $s(x)$ --- неотрицательная весовая функция, непрерывная в интервале $(a,b)$ и отличная от тождественного нуля. Положим
$$\varphi(\ov x)=\int_a^b|B(x,\ov x)|^qs(x)\,dx,$$
где $-1\le a<b\le1$, a $1\le q<\infty$. Рассмотрим экстремальные задачи:
\begin{gather}\label{1}
\varphi(\ov x)\to\inf,\quad-1<x_1<\ldots<x_n<1,\\
\max_{x\in[a,b]}|B(x,\ov x)s(x)|\to\inf,\quad-1<x_1<\ldots<x_n<1;\label{2}
\end{gather}
в последнем случае считается, что функция $s(x)$ непрерывна на $[a,b]$.

Задачи подобного типа возникают при решении задач оптимальной интерполяции \cite{1,2,3,4}, экстраполяции \cite{5}, нахождении оптимальных квадратурных формул \cite{6,7} и поперечников \cite{8} на классах ограниченных аналитических в единичном круге функций. Результаты, касающиеся задачи \eqref{2} при $s(x)=1$, можно найти в работах \cite{1,2,3,4,5}.

Здесь мы рассмотрим задачу \eqref{1}.

\begin{theorem}\label{T1}
При любом $1\le q<\infty$ существует система точек $\ov z=(z_1,\ldots,z_n)$, на которой достигается нижняя грань в задаче \eqref{1}, причем любая такая система удовлетворяет неравенствам $a<z_1<\ldots<z_n<b$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Будем использовать схему, применяемую в аналогичной теореме для многочленов, из работы \cite{9}.
Нетрудно показать, что функция $\varphi(\ov x)$ непрерывна при $-1\le x_1\le\ldots\le x_n\le1$.
Поэтому существует система точек $\ov z=(z_1,\ldots,z_n)$ из этой области, на которой достигается нижняя грань в задаче \eqref{1}. При $\xi=\pm1$
$$1=\left|\frac{x-\xi}{1-\xi x}\right|>\left|\frac{x-x_1}{1-x_1x}\right|$$
для любых $x,x_1\in(-1,1)$. Отсюда следует, что $-1<z_1$, a $z_n<1$. Более того, можно показать, что $a<z_1$, $z_n<b$. Действительно, пусть $-1<a_1=z_1=\ldots=z_m$ и $z_m<z_{m+1}$, если $m<n$. Рассмотрим функцию
$$\alpha(y)=\int_a^b\left|\frac{x-y}{1-yx}\right|^{\nu q}\prod_{j=m+1}^n\left|\frac{x-z_j}{1-z_jx}\right|^{\nu_jq}s(x)\,dx,$$
где $\nu=\nu_1+\ldots+\nu_m$. Поскольку $\alpha(a_1)=\varphi(\ov z)$, а при $a_1\le a$
\begin{multline*}
\alpha'(a_1)=-\nu q\int_a^b\left|\frac{x-a_1}{1-a_1x}\right|^{\nu q-1}\frac{1-x^2}{(1-a_1x)^2}\\
\times\sign(x-a_1)\prod_{j=m+1}^n\left|\frac{x-z_j}{1-z_jx}\right|^{\nu_jq}s(x)\,dx<0,
\end{multline*}
то при положительных значениях $y-a_1$, достаточно близких к нулю, $\alpha(y)<\alpha(a_1)$, что противоречит экстремальности $\ov z$. Аналогично доказывается, что $z_n<b$.

Докажем теперь справедливость неравенств $z_1<\ldots<z_n$. Предположим, что $z_j=z_{j+1}=\ldots=z_m=c$ и $z_{j-1}<z_j$ при $j>1$, а $z_m<z_{m+1}$ при $m<n$. Положим
\begin{gather*}
\Phi(x)=\left(\frac{1-cx}{x-c}\right)^{\nu_j+\nu_m}B(x,\ov z),\\
\psi(\varepsilon)=\int_a^b\left|\frac{x-c_1}{1-c_1x}\right|^{q\nu_j}
\left|\frac{x-c_2}{1-c_2x}\right|^{q\nu_m}|\Phi(x)|^qs(x)\,dx,
\end{gather*}
где $c_1=c-\nu_m\varepsilon$, $c_2=c+\nu_j\varepsilon$. Имеем
\begin{multline*}
\psi'(\varepsilon)=-\varepsilon q\nu_j\nu_m(\nu_j+\nu_m)\int_a^b
\frac{(1-x^2)[1-(c_1+c_2)x+x^2]}{(x-c_1)(x-c_2)(1-c_1x)(1-c_2x)}\\
\times\left|\frac{x-c_1}{1-c_1x}\right|^{q\nu_j}
\left|\frac{x-c_2}{1-c_2x}\right|^{q\nu_m}|\Phi(x)|^qs(x)\,dx.
\end{multline*}
Отсюда $\psi'(0)=0$ и
\begin{multline*}
\psi''(0)=-\varepsilon q\nu_j\nu_m(\nu_j+\nu_m)\int_a^b
\frac{(1-x^2)(1-2cx+x^2)}{(x-c)^2(1-cx)^2}\\
\times\left|\frac{x-c}{1-cx}\right|^{q(\nu_j+\nu_m)}|\Phi(x)|^qs(x)\,dx<0.
\end{multline*}
Тем самым при достаточно малых положительных $\varepsilon$ \ $\psi(\varepsilon)<\psi(0)=\varphi(\ov z)$, т.~е. $\varphi(\ov z_\varepsilon)<\varphi(\ov z)$, где $\ov z_\varepsilon=(z_1,\ldots,z_{j-1},c_1,c,\ldots,c,c_2,z_{m+1},\ldots,\break z_n)$, что противоречит экстремальности $\ov z$. Теорема доказана.
\end{proof}

Пусть $-1<a<b<1$. Тогда с помощью конформного преобразования единичного круга задача \eqref{1} может быть сведена к аналогичной задаче на симметричном отрезке
$$\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}|B(z,\ov z)|^qs_1(z)\,dz\to\inf,\quad-\sqrt k<z_1<\ldots<z_n<\sqrt k.$$
Сделав замену $z=\sqrt kt$, получим эквивалентную задачу:
\begin{equation}\label{3}
F(\ov t)\to\inf,\quad-1<t_1<\ldots<t_n<1,
\end{equation}
в которой
\begin{gather*}
F(\ov t)=\int_{-1}^1|Q(t,\ov t,k)|^qp(t)\,dt,\\
Q(t,\ov t,k)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{t-t_j}{1-kt_jt}\right)^{\nu_j},
\end{gather*}
a $p\in W$, где через $W$ обозначен класс неотрицательных весовых функций, непрерывных в интервале $(-1,1)$ и отличных от тождественного нуля.

Отметим, что задача \eqref{3} может рассматриваться как обобщение задачи о наименее уклоняющихся от нуля многочленах с фиксированными кратностями нулей (случай, когда $k=0$), рассмотренной в работе \cite{9}. Оказывается, что задача \eqref{3} (следовательно, и задача \eqref{1}) может иметь неединственное решение. Тем не менее, мы покажем, что при достаточно малых $k$ единственность есть.

Введем следующие обозначения:
\begin{gather*}
r=q\min_{1\le j\le n}\nu_j,\quad N=\sum_{j=1}^n\nu_j.\\
\varphi_j(\ov t)=\frac{\partial F(\ov t)}{\partial t_j}\\
=-q\nu_j\int_{-1}^1|Q(t,\ov t,k)|^q\frac{1-kt^2}{(t-t_j)(1-kt_jt)}p(t)\,dt,\quad(j=1,\ldots,n),\\
I(\ov t,p,k)=D(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)/D(t_1,\ldots,t_n),\\
\gamma_m(p,q)=\inf_{t_j}\int_{-1}^1\biggl|\prod_{j=1}^m(t-t_j)\biggr|^qp^*(t)\,dt,
\end{gather*}
где $p^*$ --- нормированный вес:
$$p^*(t)=p(t)\bigg/\int_{-1}^1p(t)\,dt.$$

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть $1<r<\infty$ и $p\in W$. Если выполнено условие
\begin{equation}\label{4}
k\le\frac{[r-1-(r+1)k](1-k)^4\gamma_N(p,q)}{(1+k)^4qN2^{qN+1}},
\end{equation}
то для любой системы точек $-1<u_1<\ldots<u_n<1$, удовлетворяющей необходимым условиям экстремума
\begin{equation}\label{5}
\varphi_j(\ov u)=0\quad(j=1,\ldots,n),
\end{equation}
выполняется неравенство $I(\ov u,p,k)>0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Обозначим элементы якобиана $I(\ov u,p,k)$ через $a_{jl}$. Имеем
\begin{multline*}
a_{jj}=\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_j}_{\big|\ov t=\ov u}=q\nu_j\int_{-1}^1|Q(t,\ov u,k)|^q\\
\times\frac{[q\nu_j(1-kt^2)-1+2ku_jt-kt^2](1-kt^2)}{(t-u_j)^2(1-ku_jt)^2}p(t)\,dt.
\end{multline*}
В силу равенств \eqref{5}
\begin{multline*}
a_{jj}=a_{jj}+\frac{2ku_j}{1+ku_j^2}\varphi_j(\ov u)\\
=q\nu_j\int_{-1}^1|Q(t,\ov u,k)|^q\frac{1-kt^2}{(t-u_j)^2(1-ku_jt)^2}\biggl[
q\nu_j(1-kt^2)\\
-\frac{1-ku_j^2}{1+ku_j^2}(1+kt^2)\biggr]p(t)\,dt\ge q\nu_j[r-1-(r+1)k]\int_{-1}^1|Q(t,\ov u,k)|^q\\
\times\frac{1-kt^2}{(t-u_j)^2(1-ku_jt)^2}p(t)\,dt.
\end{multline*}
Из условия \eqref{4} вытекает, что $r-1-(r+1)k>0$. Отсюда следует утверждение леммы при $n=1$. Пусть $n>1$. Тогда
\begin{multline}\label{6}
a_{jj}>q\nu_j\frac{[r-1-(r+1)k](1-k)}{(1+k)^{qN+2}}\\
\times\int_{-1}^1|t-u_j|^{q\nu_j-2}\prod_{m\ne j}|t-u_m|^{q\nu_m}p(t)\,dt\\
>q\nu_j\frac{[r-1-(r+1)k](1-k)}{4(1+k)^{qN+2}}\gamma_N(p,q)\int_{-1}^1p(t)\,dt.
\end{multline}
При $l\ne j$
\begin{multline*}
a_{jl}=\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_l}_{\big|\ov t=\ov u}\\
=q^2\nu_j\nu_l\int_{-1}^1|Q(t,\ov u,k)|^q\frac{(1-kt^2)^2p(t)}{(t-u_j)(1-ku_jt)
(t-u_l)(1-ku_lt)}\,dt.
\end{multline*}
В силу равенств \eqref{5}
\begin{multline*}
a_{jl}=a_{jl}+q\frac{\nu_l(1+ku_j^2)\varphi_j(\ov u)-\nu_j(1+ku_l^2)\varphi_l(\ov u)}{(u_j-u_l)(1-ku_lu_j)}\\
=-2kq^2\nu_j\nu_l\int_{-1}^1|Q(t,\ov u,k)|^q\frac{t^2(1-kt^2)p(t)}{(t-u_j)(1-ku_jt)(t-u_l)(1-ku_lt)}\,dt.
\end{multline*}
Нетрудно убедиться, что при всех $u,t\in[-1,1]$
$$\left|\frac{t-u}{1-kut}\right|\le\frac2{1+k},\quad\frac{1-kt^2}{(1-kut)^2}\le\frac1{1-k},
\quad\frac1{1-kut}\le\frac1{1-k}.$$
Таким образом,
$$|a_{jl}|\le kq^2\nu_j\nu_l(1-k)^{-3}(1+k)^{2-qN}2^{qN-1}\int_{-1}^1p(t)\,dt.$$
Отсюда
\begin{equation}\label{7}
\sum_{l\ne j}|a_{jm}|\le kq^2\nu_jN(1-k)^{-3}(1+k)^{2-qN}2^{qN-1}\int_{-1}^1p(t)\,dt.
\end{equation}
Для положительности якобиана $I(\ov u,p,k)$ достаточно выполнения неравенств $\displaystyle a_{jj}>\sum_{l\ne j}|a_{jl}|$ ($j=1,\ldots,n$) (см., например, \cite[с.~415]{10}). Поэтому, учитывая \eqref{6} и \eqref{7}, достаточно доказать, что
$$\frac{[r-1-(r+1)k](1-k)}{4(1+k)^2}\gamma_N(p,q)\ge kqN\frac{(1+k)^22^{qN-1}}{(1-k)^3}.$$
Последнее неравенство эквивалентно неравенству \eqref{4}. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L2}
При $n=1$ и $1<r<\infty$ задача \eqref{3} имеет единственное решение для любой функции $p\in W$ тогда и только тогда, когда $0<k\le(r-1)/(r+1)$.
\end{lemma}

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $1<r<\infty$ и $p\in W$. Если выполнено условие \eqref{4}, то существует единственная система точек $-1<u_1<\ldots<u_n<1$, удовлетворяющая равенствам \eqref{5}.
\end{theorem}

Доказательства леммы~\ref{L2} и теоремы~\ref{T2} аналогичны доказательствам леммы 3.2 и теоремы 3.2 из \cite{7}.

Заметим, что условие \eqref{4} выполнено, если
\begin{equation}\label{8}
k\le\frac{r-1}{9r-7+qN2^{qN+1}\gamma_N^{-1}(p,q)}.
\end{equation}
Действительно, функция $f(k)=[r-1-(r+1)k](1-k)^4(1+k)^{-4}$ на отрезке $[0,(r-1)/(r+1)]$ выпукла вниз, а $f'(0)=7-9r$, следовательно, $f(k)\ge r-1-(9r-7)k$ на этом отрезке. Таким образом, если выполнено неравенство
$$k\le\frac{[r-1-(9r-7)k]\gamma_N(p,q)}{qN2^{qN+1}},$$
которое эквивалентно \eqref{8}, то имеет место неравенство \eqref{4}.

Обозначим через $K$, $L$ и $\Lambda_n$ полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $k$, $l$ и $\lambda_n$, соответственно.

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $\nu_1=\ldots=\nu_n=1$. Системы точек
\begin{align*}
\ov u_1&=\left\{\sn\left[\left(\frac{2j-1}n-1\right)K,k\right]\right\}_{j=1}^n,\\
\ov u_2&=\left\{\sn\left[\left(\frac{2j}{n+1}-1\right)K,k\right]\right\}_{j=1}^n.
\end{align*}
для весов
$$p_1(t)=\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\quad p_2(t)=p_1(t)\left(\frac{1-t^2}{1-k^2t^2}\right)^{q/2},$$
соответственно, при любых $1\le q<\infty$ и $0\le k<1$ удовлетворяют равенствам \eqref{5}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
$$t(x)=\left(\frac2{1+k}x-1\right)\left(1-\frac{2k}{1+k}x\right)^{-1}.$$
Сделав замену $t=t(x)$, получим
$$\varphi_j(\ov u_r)=\frac1{2(1-k)}\left(1-\frac{2k}{1+k}x_{rj}\right)^2
\left(\frac2{1+k}\right)^{q(n+r+1)}A_{rj}\quad(r=1,2),$$
где $t(x_{rj})=u_{rj}$,
\begin{gather}\label{9}
A_{rj}=\int_0^1\prod_{m=1}^n\left|\frac{x-x_{rm}}{1-l^2x_{rm}x}\right|^q\frac{1-l^2x^2}
{(x-x_{rj})(1-l^2x_{rj}x)}s_r(x)\,dx,\\
s_1(x)=\frac1{\sqrt{x(1-x)(1-l^2x)}},\quad s_2(x)=s_1(x)\left[\frac{x(1-x)}{1-l^2x}\right]^{q/2},\notag\\
l=\frac{2\sqrt k}{1+k}.\notag
\end{gather}
С помощью преобразования Гаусса эллиптических функций (см., например, \cite[с.~134]{11}) можно показать, что
$$x_{1j}=\sn^2\left(\frac{2j-1}{2n}L,l\right),\quad x_{2j}=\sn^2\left(\frac j{n+1}L,l\right)
\quad(j=1,\ldots,n).$$
Сделаем в интегралах \eqref{9} замену $x=\sn^2(y,l)$. В силу первого главного преобразования $2n$-й и $2(n+1)$-й степеней \cite[с.~136, 284]{11} имеем
$$\prod_{m=1}^n\frac{x_{1m}-\sn^2(y,l)}{1-l^2x_{1m}\sn^2(y,l)}=c_n(l)
\sn\left[\left(\frac{2ny}L+1\right)\Lambda_n,\lambda_n\right],$$
\begin{multline*}
\prod_{m=1}^n\frac{x_{2m}-\sn^2(y,l)}{1-l^2x_{2m}\sn^2(y,l)}\\
=c_{n+1}(l)\sn\left[\frac{2(n+1)y}L\Lambda_{n+1},\lambda_{n+1}\right]
\frac{\dn(y,l)}{\sn(y,l)\cn(y,l)},
\end{multline*}
где
$$c_n(l)=\prod_{m=1}^n\sn^2\left(\frac{2j-1}{2n}L,l\right),\quad\lambda_n=l^{2n}c_n^2(l).$$
Таким образом,
\begin{multline*}
A_{1j}=2c_n^q(l)\int_0^L\left|\sn\left[\left(\frac{2ny}L+1\right)\Lambda_n,\lambda_n\right]
\right|^q\\
\times\frac{1-l^2\sn^4(y,l)}
{[\sn^2(y,l)-x_{1j}][1-l^2x_{1j}\sn^2(y,l)]}\,dy,
\end{multline*}
\begin{multline*}
A_{2j}=2c_{n+1}^q(l)\int_0^L\left|\sn\left[\frac{2(n+1)y}L\Lambda_{n+1},\lambda_{n+1}\right]
\right|^q\\
\times\frac{1-l^2\sn^4(y,l)}
{[\sn^2(y,l)-x_{2j}][1-l^2x_{2j}\sn^2(y,l)]}\,dy.
\end{multline*}
Из леммы 2.2 работы \cite{7} следует, что $A_{1j}=A_{2j}=0$ $(j=1,\ldots,n)$. Теорема доказана.
\end{proof}

При всех $x\in(-1,1)$ и $z_j\in\mathbb C$ справедливо неравенство
$$\left|\frac{x-z_j}{1-\ov z_jx}\right|\ge\left|\frac{x-z_j^*}{1-z_j^*x}\right|,$$
где $z_j^*=\min(1,|\RE z_j|)\sign\RE z_j$, которое является строгим при $z_j\ne z_j^*$. Отсюда следует, что при $\nu_1=\ldots=\nu_n=\nu$ задача \eqref{1} эквивалентна задаче
$$\int_a^b\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{x-z_j}{1-\ov z_jx}\biggr|^{\nu q}s(x)\,dx\to\inf,\quad z_j\in\mathbb C,$$
a задача \eqref{3} --- задаче
$$\int_{-1}^1\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{t-t_j}{1-k\ov t_jt}\biggr|^{\nu q}p(t)\,dt\to\inf,\quad t_j\in\mathbb C.$$

Если $k=0$, то $K=\pi/2$, $\sn(x,0)=\sin x$, а системы точек $\ov u_1$, $\ov u_2$ совпадают с нулями многочленов Чебышева
\begin{align*}
T_n(t)&=\frac1{2^{n-1}}\cos(n\arccos t),\\
U_n(t)&=\frac1{2^n}\frac{\sin[(n+1)\arccos t]}{\sqrt{1-t^2}},
\end{align*}
соответственно. Из теорем~\ref{T2} и \ref{T3} в этом случае следует (см.\ также \cite[с.~292]{12}), что
\begin{multline}\label{10}
\inf_{t_j\in\mathbb C}\int_{-1}^1\biggl|\prod_{j=1}^n(t-t_j)\biggr|^q\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\
=\int_{-1}^1|T_n(t)|^q\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\sqrt\pi\Gamma((q+1)/2)}
{2^{(n-1)q}\Gamma(q/2+1)},
\end{multline}
\begin{multline*}
\inf_{t_j\in\mathbb C}\int_{-1}^1\biggl|\prod_{j=1}^n(t-t_j)\biggr|^q(1-t^2)^{(q-1)/2}\,dt\\
=\int_{-1}^1|U_n(t)|^q(1-t^2)^{(q-1)/2}\,dt=\frac{\sqrt\pi\Gamma((q+1)/2)}
{2^{nq}\Gamma(q/2+1)}.
\end{multline*}

\begin{theorem}\label{T4}
Пусть $\nu_1=\ldots=\nu_n=1$, $1<q<\infty$. Тогда при
\begin{equation}\label{11}
0\le k\le\frac{(q-1)\Gamma((q+1)/2)}{(9q-7)\Gamma((q+1)/2)+2\sqrt\pi q\Gamma( q/2+1)n2^{q(2n-2+r)}}
\end{equation}
имеют место равенства
\begin{multline}\label{12}
\inf_{t_j\in\mathbb C}\int_{-1}^1\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{t-t_j}{1-k\ov t_jt}\biggr|^qp_r(t)\,dt=\int_{-1}^1\left|Q(t,\ov u_r,k)\right|^qp_r(t)\,dt\\
=\frac{2d^q_{n+r-1}(k)K}{\Lambda_{n+r-1}}I_q(\lambda_{n+r-1})\quad(r=1,2),
\end{multline}
где
\begin{gather*}
d_m(k)=\prod_{j=1}^{[m/2]}\sn^2\left(\frac{2j-1}mK,k\right),\quad I_q(\lambda)=\int_0^1\frac{x^q\,dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\lambda^2x^2)}},\\
\lambda_m=k^md_m^2(k).
\end{gather*}
Системы точек $\ov u_1$ и $\ov u_2$ единственные, на которых достигается нижняя грань в равенствах \eqref{12}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Имеем
$$\int_{-1}^1p_2(t)\,dt\le\int_{-1}^1p_1(t)\,dt=2K,$$
кроме того, $p_1(t)\ge(1-t^2)^{-1/2}$, $p_2(t)\ge(1-t^2)^{(q-1)/2}$. Учитывая
равенства \eqref{10}, получаем
$$\gamma(p_r,q)\ge\frac{\sqrt\pi\Gamma((q+1)/2)}{2^{(n-2+r)q}\Gamma(q/2+1)}\frac1{2K}
\quad(r=1,2).$$
В работе \cite{7} было показано, что $K\le\pi(1-k^2)^{-1}/2$, поэтому неравенство \eqref{4} будет выполнено для веса $p_r$, если
$$k\le\frac{\Gamma((q+1)/2)}{2\sqrt\pi q\Gamma( q/2+1)n2^{q(2n-2+r)}}g(k),$$
где $g(k)=[q-1-(q+1)k](1-k)^5(1+k)^{-3}$. Поскольку функция $g(k)$ выпукла вверх при $k\in[0,(q-1)/(q+1)]$ и $g'(0)=7-9q$, то $g(k)\ge q-1-(9q-7)k$ на этом отрезке.
Таким образом, неравенство \eqref{4} выполнено, если
$$k\le\frac{[q-1-(9q-7)k]\Gamma((q+1)/2)}{2\sqrt\pi q\Gamma( q/2+1)n2^{q(2n-2+r)}},$$
что равносильно неравенству \eqref{11}. Из теорем~\ref{T2} и \ref{T3} вытекает теперь, что при выполнении условий \eqref{11}
\begin{multline}\label{13}
\inf_{t_j\in\mathbb C}\int_{-1}^1\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{t-t_j}{1-k\ov t_jt}\biggr|^qp_r(t)\,dt=\int_{-1}^1\left|Q(t,\ov u_r,k)\right|^qp_r(t)\,dt\\(r=1,2),
\end{multline}
причем системы $\ov u_1$ и $\ov u_2$ единственные, для которых справедливы эти равенства. Для вычисления значений интегралов, стоящих в правых частях равенств \eqref{13}, воспользуемся заменой $t=\sn(u,k)$, а также первым главным преобразованием $n$-й и $(n+1)$-й степеней. Получаем
\begin{multline*}
\int_{-1}^1\left|Q(t,\ov u_r,k)\right|^qp_r(t)\,dt=\frac{2d^q_{n+r-1}(k)K}{\Lambda_{n+r-1}}\int_0^{\Lambda_{n+r-1}}
\sn^q(x,\lambda_{n+r-1})\,dx\\
=\frac{2d^q_{n+r-1}(k)K}{\Lambda_{n+r-1}}I_q(\lambda_{n+r-1})\quad(r=1,2).
\end{multline*}
Теорема доказана.
\end{proof}

Рациональные функции $Q(t,\ov u_r,k)$ при $\nu_1=\ldots=\nu_n=1$ могут рассматриваться как обобщение многочленов Чебышева, так как
$$Q(t,\ov u_1,0)=T_n(t),\quad Q(t,\ov u_2,0)=U_n(t).$$

Возвращаясь к задаче о минимизации произведений Бляшке, из теоремы~\ref{T4} с помощью замены $t=z\sqrt k$ получаем

\begin{corollary}\label{C1}
Пусть $\nu_1=\ldots=\nu_n=1$, $1<q<\infty$. Тогда при выполнении условий \eqref{11} имеют место равенства
\begin{multline}\label{14}
\inf_{z_j\in\mathbb C}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}\biggr|^qs_r(z)\,dz=\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\left|B(z,Z_r)\right|^qs_r(z)\,dz\\
=\frac{2\lambda^q_{n+r-1}K}{k^{(r-1)q/2}\Lambda_{n+r-1}}I_q(\lambda_{n+r-1})\quad(r=1,2),
\end{multline}
где
\begin{gather*}
Z_1=\left\{\sqrt k\sn\left[\left(\frac{2j-1}n-1\right)K,k\right]\right\}_{j=1}^n,\\
Z_2=\left\{\sqrt k\sn\left[\left(\frac{2j}{n+1}-1\right)K,k\right]\right\}_{j=1}^n,\\
s_1(z)=\frac1{\sqrt{(k-z^2)(1-kz^2)}},\quad s_2(z)=s_1(z)\left(\frac{k-z^2}{k-k^2z^2}\right)^{q/2}.
\end{gather*}
Системы точек $Z_1$ и $Z_2$ единственные, на которых достигается нижняя грань в равенствах \eqref{14}.
\end{corollary}

Случай равных кратностей $\nu_1=\ldots=\nu_n=\nu$ сводится к случаю $\nu_1=\ldots=\nu_n=1$ заменой $q$ на $\nu q$.

Отметим, что системы точек $\ov u_1$ и $\ov u_2$ удовлетворяют необходимым условиям экстремальности для соответствующих весов при всех $k\in[0,1)$, поэтому интересен следующий вопрос: остаются ли равенства \eqref{12} и \eqref{14} справедливыми для всех $k\in[0,1)$?

З а м е ч а н и е \ п р и \ к о р р е к т у р е. Теорема~\ref{T1} для $s(x)=1$ независимо доказана в \cite{13}, вышедшей после сдачи статьи в редакцию.

\bigskip

\noindent Московский авиационный технологический\hfill Поступило\\
институт им. К.~Э.~Циолковского\hfill 16.09.1987\\
\hphantom{институт им. К.~Э.~Циолковског} \hfill Переработанный вариант\\
\hphantom{институт им. К.~Э.~Циолковског} \hfill 10.08.1989

\bigskip

\renewcommand{\refname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} О с и п е н к о К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Математические заметки. 1972. Т.~12, вып.~4. С.~465--476.

\bibitem{2} О с и п е н к о К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Математические заметки. 1976. Т.~19, вып.~1. С.~29--40.
\selectlanguage{english}
\bibitem{3} B o j a n o v B. Comparison theorems in optimal recovery // Optimal algorithms. Sofia, 1986. P.~15--50.

\bibitem{4} B o j a n o v B. D., G r o z e v G. R. A note on the optimal recovery
of functions in $H^\infty$ // J. Approxim. Theory. 1978. V.~53, N~1. P.~67--77.

\bibitem{5} O s i p e n k o K. Yu. On optimal extrapolation and interpolation of fuzzy analytic functions // Anal. Math. 1987. V.~13, N~1. P.~199--210.

\bibitem{6} B o j a n o v B. D. On the existence of optimal quadrature formulae for smooth functions // Calcolo. 1979. V.~16, N~1. P.~61--70.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{7} О с и п е н к о К. Ю. О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т.~52, \No~1. С.~79--99.
\selectlanguage{english}
\bibitem{8} F i s h e r S. D., M i c c h e 1 1 i i C. A. The $n$-width of sets of analytic
functions //Duke Math. J. 1980. V.~47, N~4. P.~789--801.

\bibitem{9} B o j a n o v B. D. Extremal problems in a set of polynomials with fixed multiplicities of zeros // C. R. Acad. Bulgare Sci. 1978. V.~31, N~4. P.~377--380.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{10} Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

\bibitem{11} А х и е з е р Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

\bibitem{12} А х и е з е р Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.
\selectlanguage{english}
\bibitem{13} U l u c h e v R. An extremal problem in the set of Blashke products with fixed multiplicities of the zeros // \selectlanguage{russian}Сердика Бълг. Мат. Спис. 1988. V.~14, N~1. P.~98--101.
\end{thebibliography}


\end{document}
