\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
\tolerance 1890
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother
\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
%\makeatletter
%\@addtoreset{equation}{section}
%\makeatother


%\renewcommand{\thesection}{\bf\S\ \arabic{section}}
%\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
%\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newcommand{\LLL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\BL}{BL_\infty}
\newcommand{\hhl}{(\F_\infty,L_\infty)}
\newcommand{\hhm}{(W,L_\infty)}
\newcommand{\hh}{h_\infty^\beta}
\newcommand{\HH}{H_\infty^\beta}
\newcommand{\HQ}{H_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\hQ}{h_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcommand{\BO}{\hbox{\boldmath$\Omega$}}
%\newcommand{\at}[2]{{\substack{#1\\#2}}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb R}
\newcommand{\bbbt}{\mathbb T}
\newcommand{\bbbz}{\mathbb Z}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb N}
\newcommand{\bbbc}{\mathbb C}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\wa}{\widetilde\alpha}
\newcommand*{\wl}{\widetilde l}
\newcommand*{\wx}{\widetilde x}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\In}{In}

\begin{document}
\begin{flushright}УДК 517.5
\end{flushright}
\bigskip

\title[Наилучшие методы приближения]{Наилучшие методы приближения и порядок информативности систем}
\author[]{\bf К.~Ю.~Осипенко (Москва)}
\maketitle

\setcounter{section}{0}

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\arabic{section}. Наилучшие методы приближения}

Рассмотрим задачу приближения линейного функционала $L$ на некотором множестве $W$ из линейного пространства $X$ по приближенным значениям линейных функционалов $l_1,\ldots,l_n$. Будем считать, что задано множество функционалов $\wl_1,\ldots,\wl_n$ таких, что $\|\wl x-lx\|\le\delta$ при всех $x\in W$, где $\wl x=(\wl_1x,\ldots,\wl_nx)$, $l x=(l_1x,\ldots,l_nx)$, а $\|\cdot\|$ --- какая-либо норма в $\mathbb R^n$. Обозначим множество таких функционалов через $A(l,\delta)$.

В качестве методов приближения будем рассматривать всевозможные функции $T(y)$, $y\in\mathbb R^n$. Погрешностью наилучшего приближения назовем величину
$$r(l,\delta)=\infp_{T\vphantom{\wl}}\sup_{\wl\in A(l,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}|L(x)-T(\wl x)|.$$
Метод $T_0$ будем называть наилучшим, если имеет место равенство
$$\sup_{\wl\in A(l,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}|L(x)-T_0(\wl x)|=r(l,\delta).$$
Из результатов работ \cite{1}, \cite{2} вытекает

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $W$ --- выпуклое, центрально-симметричное подмножество линейного пространства $X$ с центром симметрии $0$. Тогда при
всех $\delta\ge0$:

$1)$ справедливо равенство
$$r(l,\delta)=\sup_{x\in W_\delta}L(x),\mbox{ где }W_\delta=\{x\in W:\|lx\|\le\delta\},$$
причем среди наилучших методов приближения существует линейный, т.~е. имеющий вид
\begin{equation}\label{1}
L(x)\approx\sum_{k=1}^nD_k(\delta)\wl_k(x);
\end{equation}

$2)$ имеет место соотношение
\begin{equation}\label{2}
\sup_{x\in W_\delta}L(x)=\min_{D_k}\biggl\{\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{k=1}^nD_kl_k(x)\biggr|+\delta\|D\|_*\biggr\},
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{3}
\|D\|_*=\sup_{\substack{y\in\mathbb R^n\\\|y\|\le1}}\biggl|\sum_{k=1}^nD_ky_k\biggr|,
\end{equation}
а метод \eqref{1} является наилучшим тогда и только тогда, когда $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ минимизируют правую часть равенства \eqref{2}.
\end{theorem}

Рассмотрим теперь задачу приближения некоторого элемента $y$ из линейного нормированного пространства $X$ по приближенным значениям $x_1,\ldots,x_n\in X$. Зададим в $\mathbb R^n$ норму, удовлетворяющую свойству: $\|a\|\le\|b\|$ при $|a_k|\le|b_k|$, $k=1,\ldots,n$. Будем считать, что известны элементы $\wx_1,\ldots,\wx_n$ такие, что для любого линейного функционала $f\in X^*$, $\|f\|\le1$, справедливо неравенство $\|f\wx-fx\|\le\delta$, где $f\wx=(f(\wx_1),\ldots,f(\wx_n))$, $fx=(f(x_1),\ldots,f(x_n))$. Множество таких элементов $\wx_1,\ldots,\wx_n$ обозначим через $F_1(\delta)$.

Через $F_2(\delta)$ обозначим множество элементов $\wx_1,\ldots,\wx_n$, удовлетворяющих неравенству $\|\rho\|\le\delta$, где $\rho=(\|\wx_1-x_1\|,\ldots,\|\wx_n-x_n\|)$.

Положим
\begin{equation}\label{4}
R_i(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\infp_{D_k\vphantom{\wx_1}}\sup_{\wx_1,\ldots,\wx_n\in F_i(\delta)}\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|,\quad i=1,2.
\end{equation}

В силу очевидного включения $F_2(\delta)\subset F_1(\delta)$ имеем
\begin{equation}\label{5}
R_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)\le R_1(x_1,\ldots,x_n,\delta).
\end{equation}

В действительности в неравенстве \eqref{5} имеет место равенство.

\begin{theorem}\label{T2}
При всех $\delta\ge0$:

$1)$ имеет место равенство
$$R_i(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\sup_{f\in\Phi_\delta}f(y),\quad i=1,2,$$
где $\Phi_\delta=\{f\in X^*:\|f\|\le1,\ \|fx\|\le\delta\}$, $fx=(f(x_1),\ldots,f(x_n))$;

$2)$ справедливо соотношение
\begin{equation}\label{6}
\sup_{f\in\Phi_\delta}f(y)=\min_{D_k}\biggl(\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_kx_k\biggr\|+
\delta\|D\|_*\biggr),
\end{equation}
где $\|D\|_*$ определена равенством \eqref{3}; кроме того, $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ минимизируют правую часть равенства \eqref{4} тогда и только тогда, когда они
минимизируют правую часть равенства \eqref{6}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Докажем, что при всех $D_1,\ldots,D_n$ имеют место равенства
\begin{equation}\label{7}
\sup_{\wx_1,\ldots,\wx_n\in F_i(\delta)}\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|=\sup_{\|\rho\|\le\delta}\sup_{\substack{f\in X^*\\\|f\|\le1}}\biggl|f(y)-\sum_{k=1}^nD_k[f(x_k)+\rho_k]\biggr|\equiv R.
\end{equation}
В силу равенства
$$\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|=\sup_{\substack{f\in X^*\\\|f\|\le1}}\biggl|f(y)-\sum_{k=1}^nD_k[f(x_k)+f(\wx_k-x_k)]\biggr|$$
и включения $F_2(\delta)\subset F_1(\delta)$ имеем
$$\sup_{\wx_1,\ldots,\wx_n\in F_2(\delta)}\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|\le
\sup_{\wx_1,\ldots,\wx_n\in F_1(\delta)}\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|\le R.$$
Таким образом, достаточно доказать неравенство
\begin{equation}\label{8}
R\le\sup_{\wx_1,\ldots,\wx_n\in F_2(\delta)}\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|.
\end{equation}

Для любого $\varepsilon>0$ найдутся $f_\varepsilon\ne0$, $\|f_\varepsilon\|\le1$ и $\rho^\varepsilon=(\rho^\varepsilon_1,\ldots,\rho^\varepsilon_n)$, $\|\rho^\varepsilon\|\le\delta$, такие, что
$$\biggl|f_\varepsilon(y)-\sum_{k=1}^nD_k[f_\varepsilon(x_k)+\rho^\varepsilon_k]\biggr|>
R-\varepsilon.$$
Положим
$$\ov f_\varepsilon=\frac{f_\varepsilon}{\|f_\varepsilon\|}\sign\biggl[f_\varepsilon(y)-
\sum_{k=1}^nD_kf_\varepsilon(x_k)\biggr].$$

Так как $\|\ov f_\varepsilon\|=1$, то найдется такой элемент $\xi_\varepsilon\in X$, $\|\xi_\varepsilon\|\le1$, что $\ov f_\varepsilon(\xi_\varepsilon)>1-\varepsilon$.

Положим $\wx_k^\varepsilon=\ov\rho_k^\varepsilon\xi_\varepsilon+x_k$, где $\displaystyle\ov\rho_k^\varepsilon=-\rho_k^\varepsilon\sign\biggl(\sum_{k=1}^nD_k
\rho_k^\varepsilon\biggr)$. Из неравенств $\|\wx_k^\varepsilon-x_k\|\le|\rho_k^\varepsilon|$, $k=1,\ldots,n$, следует, что $\wx_1^\varepsilon,\ldots,\wx_n^\varepsilon\in F_2(\delta)$. Имеем цепочку соотношений
\begin{multline*}
\sup_{\wx_1,\ldots,\wx_n\in F_2(\delta)}\biggl\|y-\sum_{k=1}^nD_k\wx_k\biggr\|\ge\biggl\|y-
\sum_{k=1}^nD_k\wx_k^\varepsilon\biggr\|\\
\ge\ov f_\varepsilon(y)-\sum_{k=1}^nD_k\left[\ov f_\varepsilon(x_k)+\ov f_\varepsilon(\xi_\varepsilon)\ov\rho^\varepsilon_k\right]=\biggl|\ov f_\varepsilon(y)-\sum_{k=1}^nD_k\ov f_\varepsilon(x_k)\biggr|\\
+\ov f_\varepsilon(\xi_\varepsilon)\biggl|\sum_{k=1}^nD_k\rho_k^\varepsilon\biggr|>
\biggl|f_\varepsilon(y)-\sum_{k=1}^nD_kf_\varepsilon(x_k)\biggr|+
\biggl|\sum_{k=1}^nD_k\rho_k^\varepsilon\biggr|
-\varepsilon\biggl|\sum_{k=1}^nD_k\rho_k^\varepsilon\biggr|\\\ge
\biggl|f_\varepsilon(y)-\sum_{k=1}^nD_k\left[f_\varepsilon(x_k)+\rho_k^\varepsilon\right]\biggr|
-\varepsilon\delta\|D\|_*>R-\varepsilon(1+\delta\|D\|_*).
\end{multline*}
В силу произвольности $\varepsilon>0$ неравенство \eqref{8} доказано, а следовательно, доказаны равенства \eqref{7}.

Таким образом, имеют место равенства
$$R_i(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\infp_{D_k}\sup_{\|\rho\|\le\delta}\sup_{\substack{f\in X^*\\\|f\|\le1}}\biggl|f(y)-\sum_{k=1}^nD_k[f(x_k)+\rho_k]\biggr|,\quad i=1,2.$$
Применяя теорему~\ref{T1} к задаче приближения линейного функционала $L(f)=f(y)$, $f\in X^*$, по приближенным значениям функционалов $l_k(f)=f(x_k)$, $k=1,\ldots,n$, на множестве $B=\{f\in X^*:\|f\|\le1\}$, получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
\end{proof}

Из теорем~\ref{T1}, \ref{T2} при $\delta=0$ вытекают теоремы двойственности, полученные С.~М.~Никольским \cite{3}.

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\arabic{section}. Порядок информативности систем}

Вернемся к задаче приближения линейного функционала $L$ на множестве $W$ из линейного пространства $X$ по приближенным значениям функционалов $l_1,\ldots,l_n$. Можно рассмотреть задачу приближения функционала $L$ по приближенным значениям некоторой подсистемы функционалов $l_\tau=(l_{i_1},\ldots,l_{i_k})$, $\tau=(i_1,\ldots,i_k)$. При этом погрешность наилучшего
приближения естественно определить следующим образом:
$$r(l_\tau,\delta)=\infp_{T\vphantom{\wl}}\sup_{\wl\in A(l,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}|L(x)-T(P_\tau\wl x)|,$$
где нижняя грань берется по всевозможным функциям $T(y)$, $y\in\mathbb R^n$, a $P_\tau\wl x=(\wl_{i_1}(x),\ldots,\wl_{i_k}(x))$. Для погрешности наилучшего приближения по подсистеме $l_\tau$ имеем очевидное неравенство
\begin{equation}\label{9}
r(l_\tau,\delta)\ge r(l,\delta).
\end{equation}

Может оказаться, что некоторые из функционалов $l_1,\ldots,l_n$ не несут полезной информации в том смысле, что для некоторой подсистемы $l_\tau$ выполнено равенство $r(l_\tau,\delta)=r(l,\delta)$. Обозначим множество всех таких подсистем, включая систему $l_1,\ldots,l_n$, через $S(\delta)$. Если имеет место равенство
$$\infp_{c\in\mathbb R}\sup_{x\in W}|L(x)-c|=r(l,\delta),$$
то в множество $S(\delta)$ войдет пустая подсистема, которую обозначим через $l_0$.

Порядком подсистемы назовем число функционалов, входящих в нее. Порядок подсистемы $l_0$ положим равным нулю. Порядком информативности $\In(l_1,\ldots,l_n,\delta)$ данной системы при фиксированном $\delta$ будем называть минимальный порядок подсистем, входящих в множество $S(\delta)$. Полными информативными системами будем называть подсистемы из множества $S(\delta)$, порядок которых равен порядку информативности.

Аналогичные понятия можно ввести для рассмотренной выше задачи приближения элемента $y$ из линейного нормированного пространства $X$ по приближенным значениям элементов $x_1,\ldots,x_n$.

\begin{lemma}\label{L}
В условиях теоремы~$\ref{T1}$ обозначим через $k(\delta)$ минимальное число отличных от нуля при данном $\delta$ коэффициентов $D_j(\delta)$ в линейных наилучших методах приближения $\displaystyle L(x)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)$ функционала $L$ по системе $l_1,\ldots,l_n$. Тогда, если норма в определении множества $A(l,\delta)$ удовлетворяет условию $\|a\|\le\|b\|$ при $|a_k|\le|b_k|$, $k=1,\ldots,n$, то для порядка информативности справедливо равенство $\In(l_1,\ldots,l_n,\delta)=k(\delta)$, а подсистема $l_\tau=(l_{i_1},\ldots,l_{i_{k(\delta)}})$ является полной информативной системой тогда и только тогда, когда существует линейный наилучший метод приближения $\displaystyle L(x)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)$ по системе $l_1,\ldots,l_n$ такой, что $D_j(\delta)=0$, $j\notin\tau$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Определим норму в пространстве $\mathbb R^k$, $k\le n$, следующим образом: $\|a\|^{(k)}=\|b\|$, где
$$b_j=\begin{cases}
a_j,&j\in\tau,\\
0,&j\notin\tau.\end{cases}$$
Положим
$$A(l_\tau,\delta)=\{\wl_\tau:\|\wl_\tau x-l_\tau x\|^{(k)}\le\delta\mbox{ при всех }x\in W\}.$$
В силу свойства нормы в $\mathbb R^n$ справедливо равенство $A(l_\tau,\delta)=P_\tau A(l,\delta)$. Таким образом, вследствие теоремы~\ref{T1} для любой подсистемы $l_\tau$ существует линейный наилучший метод приближения. Пусть $r(l_\tau,\delta)=r(l,\delta)$. Тогда, если $\displaystyle L(x)\approx\sum_{j\in\tau}D_j(\delta)\wl_j(x)$ --- наилучший метод приближения функционала $L$ по подсистеме $l_\tau$, то, положив $D_j(\delta)=0$, будем иметь
\begin{multline*}
\sup_{\wl\in A(l,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|\\
=\sup_{\wl_\tau\in A(l_\tau,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}\biggl|L(x)-\sum_{j\in\tau}D_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|=
r(l_\tau,\delta)=r(l,\delta).
\end{multline*}
Следовательно, существует линейный наилучший метод приближения по системе $l_1,\ldots,l_n$ такой, что $D_j(\delta)=0$, $j\notin\tau$.

Обратно, если $\displaystyle L(x)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)$ является наилучшим методом приближения и $D_j(\delta)=0$, $j\notin\tau$, то справедливо соотношение
\begin{multline*}
r(l_\tau,\delta)\le\sup_{\wl_\tau\in A(l_\tau,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}\biggl|L(x)-\sum_{j\in\tau}D_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|\\
=\sup_{\wl\in A(l,\delta)}\sup_{x\in W\vphantom{\wl}}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|=r(l,\delta).
\end{multline*}
В силу неравенства \eqref{9} имеем: $r(l_\tau,\delta)=r(l,\delta)$. Тем самым равенство $r(l_\tau,\delta)=r(l,\delta)$ имеет место тогда и только тогда, когда существует линейный наилучший метод приближения $\displaystyle L(x)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)$ такой, что $D_j(\delta)=0$, $j\notin\tau$. Лемма доказана.
\end{proof}

Пусть $X$ --- гильбертово пространство. Будем рассматривать задачи нахождения линейного наилучшего метода приближения линейного функционала $L$ на множестве $B=\{x\in X:\|x\|\le1\}$ по приближенным значениям функционалов из множества $A(l,\delta)$, его погрешности и порядка
информативности системы $l_1,\ldots,l_n$. Заметим, что в силу общего вида линейного функционала в гильбертовом пространстве рассматриваемые задачи эквивалентны соответствующим задачам для приближения элемента $y\in X$ по приближенным значениям $x_1,\ldots,x_n$ из множеств $F_1(\delta)$, $F_2(\delta)$ (считается, что нормы в $\mathbb R^n$ при определении множеств $A(l,\delta)$, $F_1(\delta)$, $F_2(\delta)$ совпадают), где
\begin{equation}\label{10}
L(x)=(y,x),\quad l_i(x)=(x_i,x),\quad i=1,\ldots,n.
\end{equation}

\begin{theorem}\label{T3}
Порядок информативности системы $l_1,\ldots,l_n$ $($ко\-то\-рый в соответствии с равенствами \eqref{10} обозначим через $\In(x_1,\ldots,x_n,\delta)$$)$ равен нулю тогда и только тогда, когда $\delta\ge\mu$, где
$$\mu=\begin{cases}0,&y=0,\\
\|C\|/\|y\|,&y\ne0;\end{cases}$$
здесь $C=(C_1,\ldots,C_n)$, а $C_i=(x_i,y)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из определения порядка информативности и из теоремы~\ref{T1} следует, что $\In(x_1,\ldots,x_n,\delta)=0$ тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{11}
\sup_{x\in B_\delta}(y,x)=\|y\|,
\end{equation}
где $B_\delta=\{x\in B:\|lx\|\le\delta\}$, $lx=(l_1(x),\ldots,l_n(x))$. Равенство \eqref{11} выполнено при всех $\delta\ge0$, если $y=0$. Пусть $y\ne0$ и имеет место равенство \eqref{11}.
Очевидно, что множество $B_\delta$ является ограниченным и замкнутым. В силу того, что в гильбертовом пространстве всякое ограниченное замкнутое множество слабо компактно в себе, существует элемент $x_0\in B_\delta$ такой, что $\displaystyle\sup_{x\in B_\delta}(y,x)=(y,x_0)$, т.~е. имеет место равенство $(y,x_0)=\|y\|$. Из того, что $\|x_0\|\le1$, следует равенство $x_0=y/\|y\|$. Отсюда $\delta\ge\|lx_0\|=\|ly\|/\|y\|=\|C\|/\|y\|$. Если $\delta\ge\|C\|/\|y\|$, то $y/\|y\|\in B_\delta$, а значит, имеет место равенство \eqref{11}. Теорема доказана.
\end{proof}

Определим норму в $\mathbb R^n$ следующим образом:
$$\|a\|_p=\biggl(\sum_{i=1}^n|a_i|^p\biggr)^{1/p}\mbox{ при }1\le p<\infty,\quad\|a\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|a_i|.$$
Соответствующую погрешность наилучшего приближения обозначим через $r_p(x_1,\ldots,x_n,\delta)$, где $x_1,\ldots,x_n$ определены равенством \eqref{10}.

\begin{theorem}\label{T4}
Пусть $x_1,\ldots,x_k,x_{k+1},\ldots,x_n$ образуют ортонормированную систему и таковы, что $C_i=(y,x_i)\ne0$, $i=1,\ldots,k$, $C_i=(y,x_i)=0$, $i=k+1,\ldots,n$. Тогда имеет место равенство
$$r_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\begin{cases}\|y\|,&\delta\ge\mu,\\
\sqrt{1-\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}+
\delta\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2},&\\
&\hspace{-16pt}0\le\delta<\mu,\end{cases}$$
где
$$\mu=\begin{cases}0,&y=0,\\
\|y\|^{-1}\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^kC_i^2},&y\ne0.\end{cases}$$
При $\delta=\mu=1$ всякий линейный наилучший метод приближения имеет вид $L(x)\approx\lambda\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i\wl_i(x)$, где $\lambda\in[0,1]$. В противном случае единственным линейным наилучшим методом приближения является метод
\begin{multline*}
L(x)\approx\left(1-\frac\delta\mu\sqrt{\frac{1-\mu^2}{1-\delta^2}}\right)
\sum_{i=1}^kD_i(\delta)\wl_i(x),\\
\mbox{где }D_i(\delta)=\begin{cases}C_i,&0\le\delta<\mu,\\
0,&\delta\ge\mu.\end{cases}
\end{multline*}
Для порядка информативности системы $x_1,\ldots,x_n$ справедливо равенство
$$\In(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\begin{cases}k,&0\le\delta<\mu,\\
0,&\delta\ge\mu,\end{cases}$$
а единственной полной информативной системой при $0\le\delta<\mu$ является система $x_1,\ldots,x_k$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из равенства \eqref{2} имеем: $r_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\displaystyle\min_{D_i}\varphi(D_1,\ldots,D_n)$, где
$$\varphi(D_1,\ldots,D_n)=\sqrt{\|y\|^2-2\sum_{i=1}^nC_iD_i+\sum_{i=1}^nD_i^2}+
\delta\sqrt{\sum_{i=1}^nD_i^2}.$$
Найдя критические точки, легко убедиться, что минимальное значение функция $\varphi(D_1,\ldots,D_n)$ может принимать только в точках $(\lambda D_1,\ldots,\lambda D_n)$, где $\lambda\ge0$. Отсюда следует, что $r_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\displaystyle\min_{\lambda\ge0}\psi(\lambda)$; здесь $\psi(\lambda)=\varphi(\lambda D_1,\ldots,\lambda D_n)$.

Пусть $k=0$; тогда $r_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\|y\|$, и единственной точкой минимума функции $\varphi(D_1,\ldots,D_n)$ является точка $(0,\ldots,0)$. Из теоремы~\ref{T1} и леммы вытекает утверждение теоремы в рассматриваемом случае.

Пусть $k>0$ и $y=\displaystyle\sum_{i=1}^kC_ix_i$. Тогда
$$r_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\|y\|\min_{\lambda\ge0}(|\lambda-1|+\delta\lambda)=\|y\|
\min(1,\delta).$$
Нетрудно видеть, что при $0\le\delta<1$ единственным значением, при котором функция $\psi(\lambda)$, $\lambda\ge0$, принимает минимальное значение, является $\lambda=1$.
Следовательно, единственной точкой минимума функции $\varphi(D_1,\ldots,D_n)$ является точка $(C_1,\ldots,C_n)$. Применяя теорему~\ref{T1} и лемму, получаем утверждение теоремы для данного случая.

Случай, когда $\delta>1$, рассматривается аналогично.

При $\delta=1$ минимум функции $\psi(\lambda)$, $\lambda\ge0$, достигается при всех $\lambda\in[0,1]$. Следовательно, все точки $(\lambda C_1,\ldots,\lambda C_n)$, $\lambda\in[0,1]$, и только они минимизируют функцию $\varphi(D_1,\ldots,D_n)$. Таким образом, всякий линейный наилучший метод приближения имеет вид $L(x)\approx\lambda\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i\wl_i(x)$, где $\lambda\in[0,1]$, а для погрешности наилучшего приближения справедливо равенство $r_2(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\|y\|$.

Пусть теперь $k>0$ и $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^kC_ix_i$. Тогда $\|y\|^2>\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2$ и производная функции $\psi(\lambda)$
$$\psi'(\lambda)=\frac{(\lambda-1)\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}{\sqrt{\|y\|^2-
2\lambda\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i+\lambda^2\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}}+
\delta\sqrt{\sum_{i=1}^kC_i^2}$$
определена при всех $\lambda$. Преобразовывая уравнение $\psi'(\lambda)=0$, получаем
$$\delta\sqrt{\|y\|^2-2\lambda\sum_{i=1}^kC_i+\lambda^2\sum_{i=1}^kC_i^2}=
(1-\lambda)\sqrt{\sum_{i=1}^kC_i^2}.$$

При $\delta\ge1$ это уравнение решений не имеет, а при $\delta<1$ имеет решение $\lambda_0=1-\dfrac\delta\mu\sqrt{\dfrac{1-\mu^2}{1-\delta^2}}$, где $\mu=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}\bigg/\|y\|$. Условие $\lambda_0\ge0$ эквивалентно
условию $\delta\le\mu$. Таким образом, при $\delta\ge\mu$ минимум функции $\psi(\lambda)$, $\lambda\ge0$, достигается в единственной точке $\lambda=0$. При $\delta<\mu$
$$\psi(\lambda_0)=\sqrt{1-\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}+
\delta\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}.$$
Нетрудно убедиться, что при $\delta<\mu$ имеет место неравенство $\psi(\lambda_0)<\psi(0)$. Тем самым доказано, что функция $\psi(\lambda)$, $\lambda\ge0$, достигает минимума при $\delta<\mu$ в единственной точке $\lambda_0$. Применение теоремы~\ref{T1} и леммы завершает доказательство. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T5}
Пусть элементы $x_1,\ldots,x_{k_1},\ldots,x_{k_r+1},\ldots,x_n$ образуют ортонормированную систему и таковы, что $|C_{j_i}|=A_i$, $i=1,\ldots,r+1$, $j_i=k_{i-1}+1,\ldots,k_i$, $k_0=0$, $k_{r+1}=n$, а, кроме того, $A_1>A_2>\ldots>A_r>A_{r+1}=0$. При $k_r=n$ положим $A_{r+1}=0$. Тогда имеет место равенство при $\mu_{l+1}\le\delta<\mu_l$, $l=0,\ldots,r$,
\begin{equation}\label{12}
r_\infty(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\sqrt{1-k_l\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|,
\end{equation}
где $\mu_0=\infty$,
$$\mu_l=\begin{cases}0,&y=0,\\
\dfrac{A_l}{\left(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2+k_lA_l^2\right)^{1/2}},&y\ne0,
\end{cases}\quad l=1,\ldots,r+1.$$
При $\delta=\mu_r=1/\sqrt{k_r}$ всякий линейный наилучший метод приближения имеет вид
$$L(x)\approx\sum_{i=1}^{k_r}\left(C_i-\frac\lambda{\sqrt{k_r}}\sign C_i\right)\wl_i((x),$$
где $\lambda\in[0,A_r\sqrt{k_r}]$. Для порядка информативности имеет место равенство
$\In(x_1,\ldots,x_n,\delta)=k_{r-1}$, а единственной полной информативной системой
является система $x_1,\ldots,x_{k_{r-1}}$. В противном случае при $\mu_{l+1}\le\delta<\mu_l$, $l=0,\ldots,r$, единственным линейным наилучшим методом является метод
\begin{equation}\label{13}
L(x)\approx\sum_{i=1}^{k_l}C_i\left(1-\frac{A_l\delta}{|C_i|\mu_l}\sqrt{
\frac{1-k_l\mu_l^2}{1-k_l\delta^2}}\right)\wl_i((x),
\end{equation}
для порядка информативности справедливо равенство $\In(x_1,\ldots,\linebreak x_n,\delta)=k_l$, а единственной полной информативной системой является система $x_1,\ldots,x_{k_l}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T1} имеем
\begin{multline}\label{14}
r_\infty(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\min_{D_i}\left(\sqrt{\|y\|^2-2\sum_{i=1}^nC_iD_i+
\sum_{i=1}^nD_i^2}\right.\\
\left.+\delta\sqrt{\sum_{i=1}^n|D_i|}\right).
\end{multline}
Отсюда вытекает, что $r_\infty(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\displaystyle\min_{B_i\ge0}
\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, где
$$\varphi(B_1,\ldots,B_n)=\sqrt{\|y\|^2-2\sum_{i=1}^n|C_i|B_i+\sum_{i=1}^nB_i^2}+
\delta\sqrt{\sum_{i=1}^nB_i}.$$
При этом точка $(B_1,\ldots,B_n)$ минимизирует функцию $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, тогда и только тогда, когда точка $(B_1\sign C_1,\ldots,B_n\sign C_n)$ минимизирует правую часть равенства \eqref{14}. Если точка $(B_1,\ldots,\linebreak B_n)$ минимизирует функцию $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, (нетрудно видеть, что такая точка существует) и $B_i>0$ при $i\in\tau=(i_1,\ldots,i_k)$, $i_1<\ldots<i_k$, а $B_i=0$ при $i\notin\tau$, то $\partial\varphi/\partial B_i$ при $i\in\tau$ либо равны нулю, либо не существуют в этой точке. Таким образом, либо
\begin{equation}\label{15}
\frac{-|C_i|+B_i}{\sqrt{\|y\|^2-2\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|B_i+\sum_{i\in\tau}B_i^2}}+
\delta=0,\quad i\in\tau,
\end{equation}
либо
\begin{equation}\label{16}
\|y\|^2-2\sum_{i\in\tau}|C_i|B_i+\sum_{i\in\tau}B_i^2=0.
\end{equation}
Последнее равенство имеет место только в том случае, если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $B_i=|C_i|$, $i\in\tau$, а $\tau=(1,\ldots,k_r)$. Из системы уравнений \eqref{15} получаем, что $B_i=|C_i|-\delta\lambda$, $i\in\tau$, где для $\lambda\ge0$ имеем уравнение
\begin{equation}\label{17}
(1-k\delta^2)\lambda^2=\|y\|^2-\sum_{i\in\tau}C_i^2.
\end{equation}

Рассмотрим следующие три случая.

1. Пусть $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$. Тогда точки, в которых достигается минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, находятся среди точек $(B_1,\ldots,B_n)$ таких, что
\begin{equation}\label{18}
B_i=\begin{cases}
|C_i|-\delta\sqrt{\dfrac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i\in\tau}C_i^2}{1-k\delta^2}},&i\in\tau,\\
0,&i\notin\tau,\end{cases}
\end{equation}
а $(C_{i_1},\ldots,C_{i_k})$ удовлетворяет неравенству
\begin{equation}\label{19}
\min_{i\in\tau}|C_i|>\delta\sqrt{\dfrac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i\in\tau}C_i^2}{1-k\delta^2}}.
\end{equation}
Заметим, что в множество точек, удовлетворяющих условиям \eqref{18}, \eqref{19}, входит точка $(0,\ldots,0)$, которая получается при $\tau=\emptyset$.

2. Пусть $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $\delta\ne1/\sqrt{k_r}$. Тогда точка $(|C_1|,\ldots,|C_n|)$, удовлетворяющая условиям \eqref{18}, \eqref{19}, не является решением системы \eqref{15}, но удовлетворяет равенству \eqref{16}. Тем самым и в этом случае точки, в
которых достигается минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, находятся
среди точек, удовлетворяющих условиям \eqref{18}, \eqref{19}.

3. Пусть $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $\delta=1/\sqrt{k_r}$. Тогда при $\tau=(1,\ldots,k_r)$ уравнению \eqref{17} удовлетворяют всевозможные $\lambda$. Из условия $\lambda\ge0$, а также $B_i=|C_i|-\delta\lambda>0$, $i\in\tau$, имеем $\lambda\in[0,A_r\sqrt{k_r})$. Нетрудно проверить, что при $\lambda\in(0,A_r\sqrt{k_r})$ соответствующие значения $B_i$ удовлетворяют равенствам \eqref{15}, а при $\lambda=0$ выполнено равенство \eqref{16}. Итак, множество точек, среди которых достигается минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, в рассматриваемом случае, это точки, удовлетворяющие условиям \eqref{18}, \eqref{19}, а также точки $(B_1,\ldots,B_n)$, определенные равенствами
$$B_i=\begin{cases}
|C_i|-\delta\lambda,&1\le i\le k_r,\\
0,&k_r<i\le n,\end{cases}\mbox{ при всех }\lambda\in[0,A_r\sqrt{k_r}).$$

Рассмотрим всевозможные подсистемы $(C_{i_1},\ldots,C_{i_k})$, $1\le i_1<\ldots<i_k\le k_r$, удовлетворяющие условию \eqref{19}. Определив $B_i$ равенствами \eqref{18},
получим: $\varphi(B_1,\ldots,B_n)=\psi(|C_{i_1}|,\ldots,|C_{i_k}|)$, где
$$\psi(x_1,\ldots,x_k)=\sqrt{1-k\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^kx_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^kx_i.$$
Нетрудно показать, что если подсистема $(C_{i_1},\ldots,C_{i_k})$ удовлетворяет условию \eqref{19}, а подсистема $(C_{j_1},\ldots,C_{j_k})$ такова, что $|C_{j_s}|\ge|C_{i_s}|$, $s=1,\ldots,k$, то подсистема $(C_{j_1},\ldots,C_{j_k})$ также удовлетворяет условию \eqref{19}, и имеет место неравенство
\begin{equation}\label{20}
\psi(|C_{i_1}|,\ldots,|C_{i_k}|)\ge\psi(|C_{j_1}|,\ldots,|C_{j_k}|).
\end{equation}
Таким образом, минимальное значение функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ по возможным точкам, удовлетворяющим условиям \eqref{18}, \eqref{19} при фиксированном $k$, есть
$$\varphi_k=\sqrt{1-k\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^kC_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^k|C_i|.$$

Предположим, что существует подсистема $(C_1,\ldots,C_{k+1})$, удовлетворяющая условию \eqref{19}. Пусть либо $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_ix_i$, либо если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_ix_i$, то $|C_k|=|C_{k+1}|=A_r$. Докажем, что тогда имеет место неравенство
\begin{multline}\label{21}
\sqrt{1-k\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^kC_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^k|C_i|\\
>\sqrt{1-(k+1)\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^{k+1}|C_i|.
\end{multline}
В силу того, что подсистема $(C_1,\ldots,C_{k+1})$ удовлетворяет условию \eqref{19}, имеем
\begin{equation}\label{22}
|C_{k+1}|>\delta\sqrt{\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2\biggr)\bigg/(1-(k+1)\delta^2)}.
\end{equation}
Если $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_ix_i$, то $\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2>0$ и, следовательно, $1-(k+1)\delta^2>0$. Если же $\|y\|^2=\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2$, то из того, что подсистема $(C_1,\ldots,C_k)$ также удовлетворяет условию \eqref{19}, получаем $A_r>\delta\sqrt{A_r^2/(1-k\delta^2)}$. Следовательно, $1-(k+1)\delta^2>0$. Тем самым доказано, что из неравенства \eqref{22} вытекает
соотношение
$$\left(\sqrt{1-(k+1)\delta^2}|C_{k+1}|-\delta\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2}\right)^2>0.$$
Отсюда следует, что
\begin{multline*}
(1-k\delta^2)\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2+C_{k+1}^2\biggr)>(1-(k+1)\delta^2)
\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2\biggr)\\
+2\delta|C_{k+1}|\sqrt{1-(k+1)\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2}+\delta^2C_{k+1}^2.
\end{multline*}

Извлекая корень из обеих частей полученного неравенства, имеем
$$\sqrt{1-k\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^kC_i^2}>\sqrt{1-(k+1)\delta^2}
\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2}+\delta|C_{k+1}|.$$
Прибавив к обеим частям неравенства величину $\displaystyle\delta\sum_{i=1}^k|C_i|$, получим неравенство \eqref{21}.

Пусть подсистема $(C_1,\ldots,C_k)$ удовлетворяет условию \eqref{19}, т.~е. выполняется неравенство
\begin{equation}\label{23}
|C_k|>\delta\sqrt{\frac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^kC_i^2}{1-k\delta^2}}.
\end{equation}
Докажем, что если $|C_{k+1}|=|C_k|$, то для $C_{k+1}$ верно неравенство
\begin{equation}\label{24}
|C_{k+1}|>\delta\sqrt{\frac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2}{1-(k+1)\delta^2}}.
\end{equation}
Действительно, из неравенства \eqref{23} в силу того, что $C_k^2=C_{k+1}^2$, получаем
$$(1-(k+1)\delta^2)C_{k+1}^2>\delta^2\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2\biggr).$$
Отсюда следует неравенство \eqref{24}.

С другой стороны, докажем, что из неравенства \eqref{24} при $|C_{k+1}|\le|C_k|$ и $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}C_i^2<\|y\|^2$ следует \eqref{23}. Из неравенства \eqref{24} имеем
$$(1-k\delta^2)C_{k+1}^2-\delta^2C_{k+1}^2>\delta^2\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^kC_i^2\biggr)
-\delta^2C_{k+1}^2.$$
Таким образом, вследствие того, что $1-k\delta^2>0$, получаем
$$(1-k\delta^2)C_k^2\ge(1-k\delta^2)C_{k+1}^2>\delta^2\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^kC_i^2\biggr).$$
Отсюда следует \eqref{23}.

Тем самым минимальное значение функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ на точках, удовлетворяющим условиям \eqref{18}, \eqref{19}, есть
\begin{equation}\label{25}
\varphi_{k_l}=\sqrt{1-k_l\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|,
\end{equation}
если $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, и есть $\min(\varphi_{k_l},\varphi_{k_r})$, если точка $(|C_1|,\ldots,|C_n|)$ удовлетворяет условиям \eqref{18}, \eqref{19}; здесь $k_l$, $0\le l\le r$, --- максимальный порядок подсистемы $(C_1,\ldots,C_{k_l})$ такой, что $\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2<\|y\|^2$ и
\begin{equation}\label{26}
|C_{k_l}|>\delta\sqrt{\left(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2\right)\bigg/
(1-k_l\delta^2)}.
\end{equation}
При этом минимум достигается в точке $(|C_1|,\ldots,|C_n|)$ либо в точке $(B_1,\ldots,B_n)$, где
\begin{equation}\label{27}
B_i=\begin{cases}
|C_i|-\delta\sqrt{\left(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2\right)\bigg/
(1-k_l\delta^2)},&1\le i\le k_l,\\
0,&i>k_l.\end{cases}
\end{equation}

Единственность минимизирующей точки вытекает из того, что неравенство \eqref{20} является строгим, если хотя бы одно из неравенств $|C_{j_s}|\ge|C_{i_s}|$, $s=1,\ldots,k$, строгое.

Выясним, при каких $\delta$ имеет место неравенство \eqref{26}. Положим $\mu_0=\infty$,
$$\mu_l=\begin{cases}0,&y=0,\\
A_l{\left(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2+k_lA_l^2\right)^{-1/2}},&y\ne0,
\end{cases}\quad l=1,\ldots,r+1.$$
При $y=0$ утверждение теоремы очевидно; поэтому будем считать, что $y\ne0$. Нетрудно убедиться в справедливости равенств
$$\left(\frac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2}{1-k_l\delta^2}\right)^{1/2}=
\frac{A_l}{\mu_l}\left(\frac{1-k_l\mu_l^2}{1-k_l\delta^2}\right)^{1/2},\quad l=1,\ldots,r.$$
Отсюда следует, что точки, определенные равенством \eqref{27}, а также точка $(|C_1|,\ldots,|C_n|)$ при $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $l=r$ будут иметь вид
$$B_i=\begin{cases}
|C_i|-\dfrac{\delta A_l}{\mu_l}\sqrt{\dfrac{1-k_l\mu_l^2}{1-k_l\delta^2}},&1\le i\le k_l,\\
0,&i>k_l.\end{cases}$$
В силу введенных обозначений неравенство \eqref{26} эквивалентно неравенству $\mu_l>\delta\sqrt{(1-k_l\mu_l^2)/(1-k_l\delta^2)}$, которое имеет место при $\|y\|^2>\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2$, если $\delta<\mu_l$.

Итак, если $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, то при $\mu_{l+1}\le\delta<\mu_l$, $l=0,\ldots,r$, максимальный порядок подсистемы, удовлетворяющей неравенству \eqref{26}, равен $k_l$, a значит, имеют место равенства \eqref{12}, \eqref{13}. Остальные утверждения теоремы в рассматриваемом случае вытекают из леммы.

Пусть $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$. Предположим, что $\mu_{l+1}\le\delta<\mu_l$, $0\le l\le r-1$. Чтобы найти минимальное значение функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, достаточно сравнить значение, определяемое равенством \eqref{25}, со значением $\varphi(|C_1|,\ldots,|C_n|)=\delta\displaystyle\sum_{i=1}^n|C_i|$. Из неравенства
\begin{equation}\label{28}
\sum_{i=k_l+1}^nC_i^2\le A_{l+1}\sum_{i=k_l+1}^n|C_i|
\end{equation}
следует, что
\begin{equation}\label{29}
\delta^2\biggl(\sum_{i=k_l+1}^n|C_i|\biggr)^2\ge\delta^2\biggl(\sum_{i=k_l+1}^nC_i^2\biggr)^2
A_{l+1}^{-2}.
\end{equation}
Вследствие соотношения
\begin{multline*}
\delta\ge\mu_{l+1}=A_{l+1}\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_{l+1}}C_i^2+k_{l+1}A_{l+1}^2
\biggr)^{-1/2}\\
=A_{l+1}\biggl(\sum_{i=k_l+1}^nC_i^2+k_lA_{l+1}^2\biggr)^{-1/2}
\end{multline*}
получаем
\begin{equation}\label{30}
\delta^2\sum_{i=k_l+1}^nC_i^2\ge A_{l+1}^2(1-k_l\delta^2).
\end{equation}
Учитывая неравенство \eqref{29}, будем иметь
$$\delta^2\biggl(\sum_{i=k_l+1}^n|C_i|\biggr)^2\ge(1-k_l\delta^2)\sum_{i=k_l+1}^nC_i^2=
(1-k_l\delta^2)\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2\biggr).$$
Отсюда следует, что
$$\sqrt{1-k_l\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2}+\delta\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\le\delta
\sum_{i=1}^n|C_i|.$$
Последнее неравенство всегда строгое, если $\delta\ne\mu_r$. Действительно, при $\mu_{l+1}\le\delta<\mu_l$, $0\le l\le r-2$, неравенство \eqref{28} строгое, а при $\mu_r\le\delta<\mu_{r-1}$ неравенство \eqref{30} строгое. Итак, если $\mu_{l+1}\le\delta<\mu_l$, $0\le l\le r-1$, $\delta\ne\mu_r$, единственной точкой, минимизирующей функцию $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, является точка, определяемая равенствами \eqref{27}. При $0=\mu_{r+1}\le\delta<\mu_r$ нетрудно показать, что выполняется неравенство
$$\sqrt{1-k_{r-1}\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_{r-1}}C_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^{k_{r-1}}|C_i|>\delta\sum_{i=1}^n|C_i|.$$
Тем самым единственной точкой, в которой достигается минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, в этом случае является точка $(|C_1|,\ldots,|C_n|)$. Применяя теорему~\ref{T1} и лемму, получаем утверждение теоремы в рассматриваемом случае.

Пусть, наконец, $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $\delta=\mu_r$. В силу равенств
$$\delta\left(\frac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_{r-1}}C_i^2}{1-k_{r-1}\delta^2}
\right)^{1/2}=\delta\left(\frac{\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_{r-1}+1}C_i^2}
{1-(k_{r-1}+1)\delta^2}\right)^{1/2}=A_r$$
максимальный порядок подсистемы, удовлетворяющей неравенству \eqref{26}, равен $k_{r-1}$. Следовательно, минимальное значение $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ среди точек, удовлетворяющих условиям \eqref{18}, \eqref{19}, есть
$$\varphi_{k_{r-1}}=\sqrt{1-k_{r-1}\delta^2}\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i=1}^{k_{r-1}}C_i^2}+
\delta\sum_{i=1}^{k_{r-1}}|C_i|,$$
которое достигается в единственной точке $(B_1^*,\ldots,B_n^*)$,
$$B_i^*=\begin{cases}
|C_i|-\delta\sqrt{\left(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{k_{r-1}}C_i^2\right)\bigg/
(1-k_{r-1}\delta^2)},&1\le i\le k_{r-1},\\
0,&i>k_{r-1}.\end{cases}$$

Однако необходимо рассмотреть также значения $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ в точках $(B_1^\lambda,\ldots,B_n^\lambda)$
\begin{equation}\label{31}
B_i^\lambda=\begin{cases}
|C_i|-\delta\lambda,&1\le i\le k_r,\\
0,&i>k_r,\end{cases}
\end{equation}
при всех $\lambda\in[0,A_r\sqrt{k_r})$. Нетрудно проверить, что точка $(B_1^\lambda,\ldots,B_n^\lambda)$ при $\lambda=A_r\sqrt{k_r}$ совпадает с точкой $(B_1^*,\ldots,B_n^*)$ и, кроме того, $\varphi(B_1^\lambda,\ldots,B_n^\lambda)=\dfrac1{\sqrt{k_r}}\displaystyle\sum_{i=1}^nA_i=
\delta\displaystyle\sum_{i=1}^n|C_i|$ при всех $\lambda\in[0,A_r\sqrt{k_r}]$. Таким образом, минимальное значение функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, в этом случае достигается
на точках, определенных равенством \eqref{31}, при всех $\lambda\in[0,A_r\sqrt{k_r}]$, и только на них. Из теоремы~\ref{T1} и леммы вытекает утверждение теоремы в этом случае. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T6}
В условиях теоремы~$\ref{T5}$ имеет место равенство
\begin{multline}\label{32}
r_1(x_1,\ldots,x_n,\delta)\\
=\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{k_l-\delta^2}}{k_l}\sqrt{k_l\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=k_l+1}^nC_i^2
\biggr)-\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\biggr)^2}\\
&\hspace{-148pt}+\dfrac\delta{k_l}\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|,\quad
\mu_{l-1}\le\delta<\mu_l,\ l=1,\ldots,r,\\
\|y\|,&\hspace{-7pt}\mu_r\le\delta<\mu_{r+1},\end{cases}
\end{multline}
где $\mu_{r+1}=\infty$, $\mu_0=0$,
$$\mu_l=\begin{cases}
\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_{l+1})}{\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2
+\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_{l+1})^2\biggr)^{1/2}},&y\ne0,\\
0,&y=0,\end{cases}\ l=1,\ldots,r.$$
При $\delta=\mu_1=1/\sqrt{k_1}$ всякий линейный наилучший метод приближения имеет вид $L(x)\approx D\displaystyle\sum_{i=1}^{k_1}\sign C_i\wl_i(x)+\displaystyle\sum_{i=k_1+1}^{k_2}C_i\wl_i(x)$, где $D\in[A_2,A_1]$. В противном случае при $\mu_{l-1}\le\delta<\mu_l,\ l=1,\ldots,r+1$, единственным линейным наилучшим методом является метод
\begin{equation}\label{33}
L(x)\approx D(\delta)\sum_{i=1}^{k_l}\sign C_i\wl_i(x)+\sum_{i=k_l+1}^{k_r}C_i\wl_i(x),
\end{equation}
где
$$D(\delta)=\begin{cases}
\biggl(\dfrac1{k_l}\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_{l+1}\biggr)\biggl(1-\dfrac\delta{\mu_l}
\sqrt{\dfrac{k_l-\mu_l^2}{k_l-\delta^2}}\biggr)+A_{l+1},\\
&\hspace{-3pt}l\ne r+1,\\
0,&\hspace{-3pt}l=r+1.\end{cases}$$
Для порядка информативности имеет место равенство
$$\In(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\begin{cases}
k_r,&0\le\delta<\mu_r,\\
0,&\delta\ge\mu_r,\end{cases}$$
а единственной полной информативной системой при $0\le\delta<\mu_r$ является система $x_1,\ldots,x_{k_r}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T1} имеем
\begin{multline}\label{34}
r_1(x_1,\ldots,x_n,\delta)\\
=\min_{D_i}\left(\sqrt{\|y\|^2-2\sum_{i=1}^nC_iD_i+\sum_{i=1}^nD_i^2}+\delta\max_{1\le i\le n}|D_i|\right).
\end{multline}
Нетрудно видеть, что $r_1(x_1,\ldots,x_n,\delta)=\displaystyle\min_{B_i\ge0}\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, где
$$\varphi(B_1,\ldots,B_n)=\sqrt{\|y\|^2-2\sum_{i=1}^n|C_i|B_i+\sum_{i=1}^nB_i^2}+\delta\max_{1\le i\le n}B_i.$$
При этом точка $(B_1,\ldots,B_n)$ минимизирует функцию $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, тогда и только тогда, когда точка $(B_1\sign C_1,\ldots,B_n\sign C_n)$ минимизирует правую часть равенства \eqref{34}.

Пусть точка $(B_1,\ldots,B_n)$ минимизирует функцию $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, и $B_i=D_i$, $i\in\tau=(i_1,\ldots,i_k)$, $1\le i_1<\ldots<i_k\le n$, a $B_i<D$, $i\notin\tau$. В силу неравенства
$$\sum_{i\notin\tau}B_i^2-2\sum_{i\notin\tau}|C_i|B_i\ge-\sum_{i\notin\tau}C_i^2,$$
которое обращается в равенство только при $B_i=|C_i|$, $i\notin\tau$, имеем
$$\varphi(B_1,\ldots,B_n)=\psi(D)=\sqrt{\|y\|^2-\sum_{i\notin\tau}C_i^2+kD^2-
2D\sum_{i\in\tau}|C_i|}+\delta D$$
и $|C_i|<D$, $i\notin\tau$. Из того, что точка $D$ является минимумом функции $\psi(D)$, $D\ge0$, следует, что либо
\begin{equation}\label{35}
\psi'(D)=\frac{kD-\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|}{\sqrt{\|y\|^2-\displaystyle
\sum_{i\notin\tau}C_i^2+kD^2-2D\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|}}+\delta=0,
\end{equation}
либо $D=B_1=\ldots=B_n=0$, либо $\|y\|^2-\displaystyle
\sum_{i\notin\tau}C_i^2+kD^2-2D\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|=0$. Последнее равенство, согласно условию $D>\displaystyle\max_{i\notin\tau}|C_i|$, имеет место только, если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, $D=A_1$ и $\tau=(1,\ldots,k_1)$. Из равенства \eqref{35} получаем
\begin{multline}\label{36}
D^2(k^2-k\delta^2)-2D(k-\delta^2)\sum_{i\in\tau}|C_i|-\biggl(\sum_{i\in\tau}|C_i|\biggr)^2\\
=\delta^2\biggl(\|y\|^2-\sum_{i\notin\tau}C_i^2\biggr)=0
\end{multline}
при условии $\displaystyle\max_{i\notin\tau}|C_i|<D\le\dfrac1k\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|$. Можно показать, что уравнение \eqref{36} при $\delta=\sqrt k$ имеет решение только когда $\tau=(1,\ldots,k_1)$. Следовательно, $k=k_1$, а решением является любое $D\in(A_2,A_1]$. Если $\delta\ne\sqrt k$, уравнение \eqref{36} при условии $D\le\dfrac1k\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|$ имеет решение
\begin{equation}\label{37}
D=\frac1k\sum_{i\in\tau}|C_i|-\frac\delta k\sqrt{\frac{k\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i\notin\tau}C_i^2\biggr)-
\biggl(\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|\biggr)^2}{k-\delta^2}}.
\end{equation}
Таким образом, если $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ или $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, но $\delta\ne\sqrt{k_1}$, минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, достигается среди точек $(0,\ldots,0)$, $(B_1,\ldots,B_n)$, где
\begin{equation}\label{38}
B_i=\begin{cases}
D,&i\in\tau,\\
|C_i|,&i\notin\tau,\end{cases}
\end{equation}
a $D$ определяется равенством \eqref{37}. Кроме того, для подсистемы $(C_{i_1},\ldots,C_{i_k})$ выполнено неравенство
\begin{equation}\label{39}
\max_{i\notin\tau}|C_i|<\frac1k\sum_{i\in\tau}|C_i|-\frac\delta k\sqrt{\frac{k\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i\notin\tau}C_i^2\biggr)-
\biggl(\displaystyle\sum_{i\in\tau}|C_i|\biggr)^2}{k-\delta^2}}.
\end{equation}
При $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, $\delta=\sqrt{k_1}$ к рассматриваемым точкам необходимо добавить точки $(B_1,\ldots,B_n)$,
$$B_i=\begin{cases}
D,&i=1,\ldots,k_1,\\
|C_i|,&i=k_1+1,\ldots,n,\end{cases}$$
где $D\in(A_2,A_1]$.

Пусть есть подсистема $(C_{i_1},\ldots,C_{i_k})$, $\tau=(i_1,\ldots,i_k)$, удовлетворяющая условию \eqref{39}. Положим $j=\displaystyle\max_{i\notin\tau}i$. Предположим, что при некотором $s$, $1\le s\le k$, выполнено условие $i_{s-1}<j<i_s$, $i_0=0$. Покажем, что подсистема $(C_{i_1},\ldots,C_{i_{s-1}},x,C_{i_{s+1}},\ldots,C_{i_k})$ при всех $x$, $|C_{i_s}|\le|x|\le|C_j|$, будет удовлетворять неравенству
\begin{equation}\label{40}
|x|<\frac1k\sum_{i\in\tau}|g_i|-\frac\delta k\sqrt{\frac{k\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k\displaystyle\sum_{i\in\tau}g_i^2-
\biggl(\displaystyle\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2}{k-\delta^2}},
\end{equation}
где
$$g_i=\begin{cases}
C_i,&i\ne i_s,\\
x,&i=i_s,\end{cases}\quad i\in\tau.$$
Из неравенства \eqref{39} и того, что $\displaystyle\max_{i\notin\tau}|C_i|=|C_j|$, имеем
$$|C_{i_s}|\le|x|\le|C_j|<\frac1k\sum_{i\in\tau}|C_i|\le\frac1k\sum_{i\in\tau}|g_i|.$$
Отсюда получаем
$$|x|+|C_{i_s}|<\frac1k\biggl(\sum_{i\in\tau}|C_i|+\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr).$$
Из определения $g_i$ следует, что
$$\sum_{i\in\tau}|g_i|-\sum_{i\in\tau}|C_i|=|x|+|C_{i_s}|\ge0.$$
Следовательно, имеет место неравенство
$$k\left(x^2-C_{i_s}^2\right)\le\biggl(\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2-
\biggl(\sum_{i\in\tau}|C_i|\biggr)^2,$$
из которого вытекает, что
$$k\sum_{i\in\tau}g_i^2-\biggl(\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2\le k\sum_{i\in\tau}C_i^2-\biggl(\sum_{i\in\tau}|C_i|\biggr)^2.$$
Учитывая последнее неравенство, получаем
\begin{multline*}
|C_{i_s}|\le|x|\le|C_j|<\frac1k\sum_{i\in\tau}|C_i|\\
-\frac\delta k\sqrt{\frac{k\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k\displaystyle\sum_{i\in\tau}g_i^2-
\biggl(\displaystyle\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2}{k-\delta^2}}\\
\le\frac1k\sum_{i\in\tau}|g_i|-\frac\delta k\sqrt{\frac{k\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k\displaystyle\sum_{i\in\tau}g_i^2-
\biggl(\displaystyle\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2}{k-\delta^2}}.
\end{multline*}

Тем самым неравенство \eqref{40} доказано при всех х, $|C_{i_s}|\le|x|\le|C_j|$. Из неравенства \eqref{40} при $x=C_j$, а также из соотношения $\displaystyle\max_{i\notin\tau'}|C_i|=|C_{i_s}|<|C_j|$, где $\tau'=(i_1,\ldots,i_{s-1},j,i_{s+1},\ldots,i_k)$, вытекает, что подсистема $\tau'$ удовлетворяет условию \eqref{39}.

Подставив значения, определенные равенством \eqref{38}, в функцию $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, для подсистемы $\tau$ получим значение $\alpha(C_{i_s})$, а для $\tau'$ --- значение $\alpha(C_j)$, где
\begin{multline*}
\alpha(x)=\frac{\sqrt{k-\delta^2}}k\sqrt{k\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k\sum_{i\in\tau}g_i^2-\biggl(\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2}\\
+\frac\delta k\sum_{i\in\tau}|g_i|.
\end{multline*}

Докажем, что
\begin{equation}\label{41}
\alpha(C_j)\le\alpha(C_{i_s}).
\end{equation}
Пусть $|C_{i_s}|<|C_j|$, в противном случае неравенство \eqref{41} очевидным образом обращается в равенство. Рассмотрим производную функции $\alpha(x)$ при $|C_j|>|x|>|C_{i_s}|$ (нетрудно показать, что она определена)
\begin{multline*}
\alpha'(x)=\sqrt{k-\delta^2}\left[\frac{|x|-\dfrac1k\displaystyle\sum_{i\in\tau}|g_i|}{\sqrt{k\biggl(\|y\|^2-
\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+k\displaystyle\sum_{i\in\tau}g_i^2-
\biggl(\displaystyle\sum_{i\in\tau}|g_i|\biggr)^2}}\right.\\
\left.+\vphantom{\frac{\displaystyle\sum_{i\in\tau}}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i\in\tau}}}}
\frac\delta{k\sqrt{k-\delta^2}}\right]\sign x.
\end{multline*}
Из неравенства \eqref{40} следует, что $\alpha'(x)\sign x<0$. Отсюда и из непрерывности $\alpha(x)$ вытекает неравенство \eqref{41}.

Тем самым доказано, что минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ среди точек вида \eqref{38} при фиксированном $k$ равен
\begin{multline*}
\varphi_k=\frac{\sqrt{k-\delta^2}}k\sqrt{k\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k\sum_{i=1}^kC_i^2-\biggl(\sum_{i=1}^k|C_i|\biggr)^2}\\
+\frac\delta k\sum_{i=1}^k|C_i|,
\end{multline*}
причем $k\ge k_1$.

Пусть подсистемы $(C_1,\ldots,C_k)$ и $(C_1,\ldots,C_{k+1})$ удовлетворяют условию \eqref{39} и либо $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, либо, если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $k=k_1$ выполнены равенства $|C_{k+1}|=|C_{k+2}|=A_2$. Докажем, что тогда $\varphi_k<\varphi_{k+1}$. Покажем сначала, что $k-\delta^2>0$. Если $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ или $k\ne k_1$ это следует из неравенства
$$k\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+k\sum_{i=1}^kC_i^2-\biggl(\sum_{i=1}^k|C_i|\biggr)^2
>0.$$
В случае, когда $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, $k=k_1$ и $|C_{k+1}|=|C_{k+2}|=A_2$, из условия \eqref{39} для системы $(C_1,\ldots,C_{k+1})$ легко показать, что $k_1-\delta^2>0$. В силу того, что $k-\delta^2>0$, справедливо неравенство
\begin{equation}\label{42}
\left(\sqrt{k-\delta^2}f_k-\delta e_k\right)^2>0,
\end{equation}
где
\begin{gather*}
f_k=\sum_{i=1}^k|C_i|-k|C_{k+1}|,\\
e_k=\sqrt{k\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+k\sum_{i=1}^kC_i^2-
\biggl(\sum_{i=1}^k|C_i|\biggr)^2}.
\end{gather*}
Умножив неравенство \eqref{42} на $k+1$, получим
$$(k+1)\delta^2e_k^2-2\delta(k+1)\sqrt{k-\delta^2}e_kf_k+(k+1)(k-\delta^2)f_k^2>0.$$
Используя очевидные равенства
\begin{gather*}
k(k+1)(k+1-\delta^2)-(k+1)^2(k-\delta^2)=(k+1)\delta^2,\\
k(k+1-\delta^2)-\delta^2=(k+1)(k-\delta^2),
\end{gather*}
последнее неравенство можно записать в виде
\begin{multline}\label{43}
k^2(k+1-\delta^2)\left(\frac{k+1}ke_k^2+\frac1kf_k^2\right)\\
>(k+1)^2(k-\delta^2)e_k^2+2\delta(k+1)\sqrt{k-\delta^2}e_kf_k+\delta^2f_k^2.
\end{multline}

Легко показать справедливость равенства
\begin{equation}\label{44}
e_{k+1}^2=\frac{k+1}ke_k^2+\frac1kf_k^2.
\end{equation}
Таким образом, извлекая корень из обеих частей неравенства \eqref{43}, будем иметь
$$k\sqrt{k+1-\delta^2}e_{k+1}>(k+1)\sqrt{k-\delta^2}e_k+\delta f_k.$$
Отсюда в силу равенства
$$(k+1)\sum_{i=1}^k|C_i|-k\sum_{i=1}^{k+1}|C_i|=f_k$$
получаем
$$k\sqrt{k+1-\delta^2}e_{k+1}+k\delta\sum_{i=1}^{k+1}|C_i|>(k+1)\sqrt{k-\delta^2}e_k+
(k+1)\delta\sum_{i=1}^k|C_i|,$$
и, следовательно, $\varphi_{k+1}>\varphi_k$.

Пусть подсистема $(C_1,\ldots,C_{k+1})$ удовлетворяет условию \eqref{39} и $|C_{k+1}|=|C_{k+2}|$. Докажем, что тогда подсистема $(C_1,\ldots,C_k)$ также удовлетворяет условию \eqref{39}. Для подсистемы $(C_1,\ldots,C_{k+1})$ справедливо неравенство
$$|C_{k+2}|<\frac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}|C_i|-\frac\delta{k+1}\frac{e_{k+1}}
{\sqrt{k+1-\delta^2}}.$$
Отсюда в силу того, что $|C_{k+2}|=|C_{k+1}|$ и $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}|C_i|-(k+1)|C_{k+1}|=f_k$, вытекает неравенство $(k+1-\delta^2)f_k^2>\delta^2e_{k+1}^2$.

Воспользовавшись равенством \eqref{44}, получим
$$(k+1-\delta^2)f_k^2>\delta^2\left(\frac{k+1}ke_k^2+\frac1kf_k^2\right),$$
а следовательно, $(k-\delta^2)f_k^2>\delta^2e_k^2$. Поэтому
\begin{equation}\label{45}
|C_{k+1}|<\frac1k\sum_{i=1}^k|C_i|-\frac\delta k\frac{e_k}{\sqrt{k-\delta^2}},
\end{equation}
т.~е. система $(C_1,\ldots,C_k)$ удовлетворяет условию \eqref{39}.

Пусть подсистема $(C_1,\ldots,C_k)$ удовлетворяет условию \eqref{39} и либо
$y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, либо, если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, то $k>k_1$ Тогда $e_k>0$, а следовательно, $k-\delta^2>0$. Повторяя проведенные рассуждения в обратном порядке, получаем, что из неравенства \eqref{45} следует неравенство
$$|C_{k+1}|<\frac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}|C_i|-\frac\delta{k+1}\frac{e_{k+1}}
{\sqrt{k+1-\delta^2}}.$$
В силу того, что $|C_{k+2}|\le|C_{k+1}|$, система $(C_1,\ldots,C_{k+1})$ также удовлетворяет условию \eqref{39}.

Таким образом, доказано, что минимум функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ среди точек вида \eqref{38} равен $\varphi_{k_l}$, если $y\ne\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, и равен $\min(\varphi_{k_l},\varphi_{k_1})$, если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, $\delta\ne\sqrt{k_1}$; здесь $k_l$, $l=1,\ldots,r$, --- минимальный порядок подсистемы $(C_1,\ldots,C_{k_l})$, удовлетворяющей условию \eqref{39}, и такой, что $k_l>k_1$ при $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$. При этом минимум достигается в точке $(|C_1|,\ldots,|C_n|)$ или в точке $(B_1,\ldots,B_n)$, где
\begin{equation}\label{46}
B_i=\begin{cases}\dfrac1{k_l}\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|&\\
\hspace{38pt}-\dfrac\delta{k_l} \sqrt{\dfrac{k_l\biggl(\|y\|^2-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k_l\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2-
\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\biggr)^2}{k_l-\delta^2}},&\\
&\hspace{-65pt}i=1,\ldots,k_l,\\
|C_i|,&\hspace{-86pt}i=k_l+1,\ldots,n.\end{cases}
\end{equation}
Единственность точки, в которой достигается минимум, вытекает из того,
что неравенство \eqref{41} является строгим, если $|C_{i_s}|<|C_j|$.

Выясним, при каких $\delta$ система $(C_1,\ldots,C_{k_l})$ удовлетворяет условию \eqref{39}. При $r=0$ утверждение теоремы очевидно, поэтому будем считать, что $r>0$. Непосредственным вычислением можно доказать, что имеет место равенство
\begin{multline}\label{47}
\frac1{k_l}\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|-\dfrac\delta{k_l}\sqrt{\dfrac{k_l\biggl(\|y\|^2-
\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+k_l\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2-
\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\biggr)^2}{k_l-\delta^2}}\\
=\biggl(\frac1{k_l}\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_{l+1}\biggr)\biggl(1-\frac\delta{\mu_l}
\sqrt{\frac{k_l-\mu_l^2}{k_l-\delta^2}}\biggr)+A_{l+1},\quad l=1,\ldots,r,
\end{multline}
где $\mu_l$ определены в условии теоремы. Таким образом, из условия \eqref{39} получаем неравенство
$$\biggl(\frac1{k_l}\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_{l+1}\biggr)\biggl(1-\frac\delta{\mu_l}
\sqrt{\frac{k_l-\mu_l^2}{k_l-\delta^2}}\biggr)>0.$$
Отсюда вытекает, что
$$\delta\sqrt{\frac{k_l-\mu_l^2}{k_l-\delta^2}}<\mu_l.$$

Следовательно, при $\mu_l<\sqrt{k_l}$ (а $\mu_l$ при всех $1\le l\le r$ удовлетворяет неравенству $\mu_l\le\sqrt{k_l}$ причем равенство возможно лишь при $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $l=1$) выполнено неравенство $\delta<\mu_l$. Итак, если $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, то при $\mu_{l-1}\le\delta<\mu_l$, $l=1,\ldots,r$, минимальный порядок подсистемы, удовлетворяющей условию \eqref{39}, равен $k_l$, а при $\delta\ge\mu_r$ таких подсистем нет и единственной точкой минимума функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, является точка $(0,\ldots,0)$.

Нетрудно доказать, что
\begin{multline*}
\frac{\sqrt{k-\delta^2}}{k_l}\sqrt{k_l\biggl(\|y\|^2-\sum_{i=1}^nC_i^2\biggr)+
k_l\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2-\biggl(\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\biggr)^2}\\
+\frac\delta{k_l}\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|<\|y\|.
\end{multline*}
Таким образом, преобразуя точку $(B_1,\ldots,B_n)$, определенную равенством \eqref{46}, с помощью равенства \eqref{47}, получаем соотношения \eqref{32}, \eqref{33}.

Пусть $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $\delta\ne\mu_1$. Если $\delta\ne\mu_r$ при $r>1$ и $\delta>\mu_r$ при $r=1$, то в силу равенства $\mu_r=\displaystyle\sum_{i=1}^{k_r}|C_i|/\|y\|$
$$\|y\|\le\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_r}|C_i|}{\|y\|}\le\delta A_1.$$
Последнее неравенство всегда строгое, так как либо $\|y\|^2<\displaystyle\sum_{i=1}^{k_r}|C_i|A_i$ при $r>1$, либо $\delta>\mu_r$ при $r=1$. Отсюда следуют соотношения \eqref{32}, \eqref{33} для этого случая.

Предположим, что $\mu_{l-1}\le\delta<\mu_l$, $l=2,\ldots,r$; тогда минимальный порядок подсистемы, удовлетворяющей условию \eqref{39}, строго больший $k_1$, равен $k_l$. Докажем, что справедливо неравенство
\begin{equation}\label{48}
\frac{\sqrt{k-\delta^2}}{k_l}\sqrt{k_l\biggl(\|y\|^2-\biggl(\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\biggr)^2}
+\frac\delta{k_l}\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|<\delta A_1.
\end{equation}
Из этого неравенства будет следовать утверждение теоремы для случая $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$, $\mu_1<\delta<\mu_r$.

Докажем сначала, что при $y_i\ge0$, $i=1,\ldots,k$, и $\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i^2>0$ имеет место неравенство
\begin{equation}\label{49}
\frac{k\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i^2-\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i\biggr)^2}{
\displaystyle\sum_{i=1}^k(y_i-a)^2}\le\frac{\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i\biggr)^2}
{\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i^2},
\end{equation}
где $a\ge y_i$, $i=1,\ldots,k$. Введем обозначения $\alpha^2=\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i^2$, $\beta=\displaystyle\sum_{i=1}^ky_i$. Из очевидных неравенств
\begin{equation}\label{50}
\alpha^2\le a\beta,\quad\beta^2\le k\alpha^2,\quad\beta\le ak
\end{equation}
следует соотношение $(\alpha\beta-\alpha^2)[k\alpha^2-\beta^2+\beta(ka-\beta)]\ge0$. Отсюда вытекает, что $k\alpha^4-\alpha^2\beta^2\le\beta^2\alpha^2-2a\beta^3+ka^2\beta^2$, и следовательно,
$$\frac{k\alpha^2-\beta^2}{\alpha^2-2a\beta+ka^2}\le\frac{\beta^2}{\alpha^2}.$$
Тем самым равенство \eqref{49} доказано.

Заметим, что если хотя бы два положительных числа из $y_1,\ldots,y_k$ различны, неравенства \eqref{50}, а следовательно, и неравенство \eqref{49} являются строгими.

Положив $y_i=|C_i|-A_l$, $a=A_1-A_l$ и $k=k_l$, от неравенства \eqref{49} придем к неравенству
$$\frac{k_l\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2-\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|
\biggr)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_1)^2}\le\frac{\biggl[\displaystyle
\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_l)\biggr]^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_l)^2}.$$
Вследствие того, что
\begin{equation}\label{51}
\delta\ge\mu_{l-1}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_{l-1}}(|C_i|-A_l)}
{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_{l-1}}(|C_i|-A_l)^2}}=
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_l)}
{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_l)^2}},
\end{equation}
причем при $l=2$ неравенство в соотношении \eqref{51} является строгим, а при $l>2$ хотя бы два положительных числа из $|C_1|-A_l,\ldots,|C_{k_l}|-A_l$ различны, имеем
$$\frac{k_l\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2-\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|
\biggr)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_l}(|C_i|-A_1)^2}<\delta^2.$$
Отсюда следует неравенство
$$(k_l-\delta^2)\biggl[k_l\sum_{i=1}^{k_l}C_i^2-\biggl(\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|\biggr)^2\biggr]
<\delta^2\biggl(\sum_{i=1}^{k_l}|C_i|-k_lA_1\biggr)^2,$$
из которого вытекает \eqref{48}.

Пусть теперь $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $0\le\delta<\mu_1=\sqrt{k_1}$. Соотношения \eqref{32}, \eqref{33} в этом случае следуют из легко доказываемого неравенства
$$\frac{\sqrt{k_2-\delta^2}}{k_2}\sqrt{k_2\sum_{i=1}^{k_2}C_i^2-\biggl(\sum_{i=1}^{k_2}|C_i|
\biggr)^2}+\frac\delta{k_2}\sum_{i=1}^{k_2}|C_i|>\delta A_1.$$

Рассмотрим, наконец, случай, когда $y=\displaystyle\sum_{i=1}^nC_ix_i$ и $\delta=\mu_1=\sqrt{k_1}$. Минимальный порядок подсистемы, удовлетворяющей условию \eqref{39}, равен в этом случае $k_2$. Следовательно, минимальное значение функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$ среди точек вида \eqref{38} есть
$$\frac{\sqrt{k_2-k_1}}{k_2}\sqrt{k_2\sum_{i=1}^{k_2}C_i^2-\biggl(\sum_{i=1}^{k_2}|C_i|
\biggr)^2}+\frac{\sqrt{k_1}}{k_2}\sum_{i=1}^{k_2}|C_i|=\sqrt{k_1}A_1,$$
которое достигается в единственной (среди точек вида \eqref{38}) точке
$$B_i=\begin{cases}
A_2,&1\le i\le k_2,\\
|C_i|,&i>k_2.\end{cases}$$
Однако следует рассмотреть также значения функции в точках, определенных равенствами
\begin{equation}\label{52}
B_i=\begin{cases}
D,&1\le i\le k_1,\\
|C_i|,&i>k_1,\end{cases}
\end{equation}
где $D\in(A_2,A_1]$. Нетрудно проверить, что для всех таких точек $\varphi(B_1,\ldots,B_n)=\sqrt{k_1}A_1$. Таким образом, минимальное значение функции $\varphi(B_1,\ldots,B_n)$, $B_i\ge0$, в этом случае достигается на точках, определенных равенством \eqref{52} при $D\in[A_2,A_1]$, и только на них.

Тем самым соотношения \eqref{32}, \eqref{33} доказаны. Утверждения относительно порядка информативности и полной информативной системы следуют из леммы. Теорема доказана.
\end{proof}

Несколько иные постановки задач, близких к рассматриваемым, приведены в работе \cite{4}.

\begin{flushright}
Поступила в редакцию\\
14/III 1979 г.
\end{flushright}


\renewcommand{\refname}{\bf Литература}
\begin{thebibliography}{11}
\selectlanguage{english}
\bibitem{1} {\bf C.~A.~Micchelli, T.~J.~Rivlin} A survey of optimal recovery, Optimal estimation in approximation theory, Plenum press, New York, 1977, 1--54.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{2} {\bf А.~Г.~Марчук, К.~Ю.~Осипенко} Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек, Матем. заметки, {\bf17}, вып.~{\bf3} 1975, 359--368.

\bibitem{3} {\bf С.~М.~Никольский,} Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем, Изв. АН СССР, серия матем., {\bf10} (1946), 207--256.

\bibitem{4} {\bf В.~Я.~Арсении,} Об оптимальном суммировании рядов Фурье с приближенными коэффициентами, ДАН СССР, {\bf183}, \No~{\bf2} (1968), 257--260.
\end{thebibliography}
\end{document}
