\documentclass[12pt,a4paper,oneside,reqno,draft]{amsbook}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage[active]{srcltx}

%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{floatflt}

\tolerance 2630


\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\DeclareMathOperator*{\const}{const}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}}
\newcommand*{\Pc}{\mathcal P}
\newcommand*{\Ac}{\mathcal A}
\newcommand*{\Hc}{\mathcal H}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\ov}{\overline}


\newtheorem{lemma}{Лемма}
%\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]

\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
%\textwidth=160mm
%\usepackage{remreset}
%\makeatletter
%\@removefromreset{section}{chapter}
%\makeatother



\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
%\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0pt}{3.5ex plus 1ex minus .2ex}%
%%{2.3ex plus .2ex}{\S}}
\makeatother
%\renewcommand{\thesection}{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
%\newcounter{section}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{section}.\arabic{theorem}}

\renewcommand*{\thesection}{\S\arabic{section}}
%\renewcommand*{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newcounter{exam}[section]
\renewcommand{\theexam}{\arabic{section}.\arabic{exam}}
\newcommand*{\ex}{\par\refstepcounter{exam}%
{\bf Пример \theexam.}\ }
\renewcommand*{\thefigure}{}


\begin{document}
\renewcommand{\figurename}{}

\bigskip

\begin{center} МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
\vskip20pt
\large

МАТИ --- Российский государственный технологический
университет им. К.Э. Циолковского




\vskip50pt
\rm
Кафедра высшей математики



\vskip70pt
\Large
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

\vskip50pt

\rm Методические указания к практическим занятиям по теме:\\
$\mathrm{MAPLE}^\circledR$ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

\vskip70pt

\begin{flushright}
\begin{tabular}{ll}
Составители: & Агарева О.Ю.\\
& Введенская Е.В.\\
& Осипенко К.Ю.
\end{tabular}
\end{flushright}

\vskip 90pt
Москва  1999 г.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage




\begin{center}
\Large ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

\end{center}

\bigskip
\noindent I.\hspace{3pt} ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MAPLE
\bigskip

Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференцирования функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления простейшей производной следует в командном окне после приглашения Maple ввести команду следующего вида:

\noindent\verb"diff(<функция>,<переменная>);"

\noindent здесь \verb"<функция>" --- выражение, задающее функцию (не обязательно одной переменной), например,

\noindent\verb"x^2+2*x+1"

\noindent\verb"<переменная>" - имя переменной, по которой будет вестись дифференцирование, например,

\noindent\verb"x"

\noindent Примером вычисления производной может служить такая команда:

\noindent\verb"diff(x^2+2*x+1,x);"

Также можно вычислить дифференциал функции, используя следующую команду:

\noindent\verb"D(<функция>);"

\noindent где \verb"<функция>" --- выражение, задающее функцию. Например,

\noindent\verb"D(arcsin(x));"

С помощью команды \verb"diff" можно вычислять производные высших порядков. При этом команда имеет следующий формат:

\noindent\verb"diff(<функция>,<переменная>$<порядок>);"


\noindent где \verb"<порядок>" --- порядок вычисляемой производной.

В решениях некоторых примеров этой главы с помощью MAPLE будут использованы дополнительные команды MAPLE. Кратко опишем их формат и назначение:

\noindent\verb"<переменная>:=convert(<выражение>,polynom);" --- представить \verb"<выражение>" в виде полинома, присвоив значение \verb"<переменной>".

\noindent\verb"factor(<выражение>);" --- разложить \verb"<выражение>" на множители.

\noindent\verb"subs(<old>=<new>,<выражение>);" --- подставить выражение \verb"<new>" на место \verb"<old>" в \verb"<выражении>".

\noindent\verb"<переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>);" --- присвоить \verb"<переменной>" значение выражения \verb"<выр2>", полученное разрешением уравнения \verb"<выр1>(<выр2>)=<значение>".

\noindent\verb"simplify(<выражение>);" --- упростить \verb"<выражение>".

\noindent\verb"taylor(<f(x)>,x=<x0>,<n>+1);" --- разложить функцию $f(x)$ по формуле Тейлора с центром в точке $x0$ до порядка $n$ включительно.

\newpage

\noindent II.\hspace{3pt} ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

\bigskip

{\bfseries\itshape Определение 1.} Производной функции $f(x)$ в точке $x$ называется
\begin{flalign*}
f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&&.
\end{flalign*}

Из определения  следуют правила дифференцирования:
\vskip-12pt

\begin{flalign*}
\quad1.&\ (u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x);&\\
\quad2.&\ (\alpha u(x)'=\alpha u'(x),\mbox{ где }\alpha=\const;&\\
\quad3.&\ (u(x)\cdot v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);&\\
\quad4.&\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)};&\\
\quad5.&\ f(g(x))'=f'(x)g'(x);&\\
\quad6.&\ \left(f^{-1}(x)\right)'=\frac1{f'(y)}\biggl|_{y=f^{-1}(x)},\mbox{ здесь $f^{-1}(x)$ --- функция},&\\
\quad\hphantom{6.}&\mbox{ обратная $f(x)$}&.
\end{flalign*}

На основании определения производной и формул 1) -- 6) вычисляются производные некоторых элементарных функций:

\begin{flalign*}
\quad7.&\ (c)'=0,\mbox{ где }c=\const;&\\
\quad8.&\ \left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1},\ \alpha=\const;&\\
\quad9.&\ \left(a^x\right)'=a^x\ln a\mbox{ при $a>0$, $a\ne1$; в частности, }\left(e^x\right)'=e^x;&\\
\quad10.&\ \left(\log_ax\right)'=\frac1{x\ln a};\mbox{ в частности, }\left(\ln x\right)'=\frac1x;&\\
\quad11.&\ \left(\sin x\right)'=\cos x;&\\
\quad12.&\ \left(\cos x\right)'=-\sin x;&\\
\quad13.&\ \left(\tg x\right)'=\frac1{\cos^2x};&\\
\quad14.&\ \left(\ctg x\right)'=-\frac1{\sin^2x};&\\
\quad15.&\ \left(\arcsin x\right)'=-\left(\arccos x\right)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}};&\\
\quad16.&\ \left(\arctg x\right)'=-\left(\arcctg x\right)'=\frac1{1+x^2};&\\
\quad17.&\ \left(\sh x\right)'=\ch x;&\\
\quad18.&\ \left(\ch x\right)'=\sh x;&\\
\end{flalign*}

\begin{flalign*}
\quad19.&\ \left(\th x\right)'=\frac1{\ch^2x};&\\
\quad20.&\ \left(\cth x\right)'=\frac1{\sh^2x};&\\
\end{flalign*}

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 1.} Доказать, используя лишь определение, что $\left(\ln x\right)'=\dfrac1x,\ x>0$.

\noindent{\bfseries\itshape Доказательство:} $\displaystyle\left(\ln x\right)'=\lim_{\Delta x\to0}
\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}$

\noindent$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\ln\left(\frac{x+\Delta x}{\Delta x}\right)^{\frac1{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\to0}\ln\left(\left(\frac{x+\Delta x}{\Delta x}\right)^{\frac x{\Delta x}}\right)^{\frac1x}=\ln e^{\frac1x}=\frac1x$, что требовалось доказать.

Вынося в последнем равенстве логарифм за знак предела, мы воспользовались непрерывностью функции $\ln x$ при $x>0$. Заметим, что условие $x>0$ гарантирует, что при достаточно малом $|\Delta x|$, $x+\Delta x$ тоже будет $>0$, что необходимо для существования $\ln(x+\Delta x)$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 2.} Вычислить $y'$, если $\displaystyle y=5^{2^{3^x}}$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y'=5^{2^{3^x}}\cdot\ln5\cdot2^{3^x}\cdot\ln2\cdot3^x\cdot\ln3=(\ln2\ln3\ln5)5^{2^{3^x}}2^{3^x}3^x$.

\noindent Здесь использовались формулы 5) и 9).

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">diff(5^(2^(3^x)),x);"\\
\hspace{7pt}\verb"5^(2^(3^x))*2^(3^x)*3^x*ln(3)*ln(2)*ln(5)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent III.\hspace{3pt} ПРИЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

\bigskip

\noindent1.	Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, --- необходимо применять прием логарифмического дифференцирования.

Этот прием основан на соотношении $\left(\ln y(x)\right)'=\dfrac{y'(x)}{y(x)}$ $\Rightarrow$

\noindent$y'(x)=y(x)\left(\ln y(x)\right)'$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 3.} Найти $y'$, где $\displaystyle y=(\ln x)^{\frac1{x^2}}$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle \ln y=\frac1{x^2}\ln\ln x;\ \left(\ln y\right)'=\dfrac{y'}y=-\frac2{x^3}\ln\ln x+\frac1{x^2}\frac1{\ln x}\frac1x$

\noindent$\displaystyle=\frac1{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right);\ y'=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">diff((ln(x))^(1/x^2),x);"\\
\hspace{7pt}\verb"ln(x)^(1/x^2)*(-2*(ln(ln(x))/x^3)+1/(x^3*ln(x)))"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 4.} Вычислить $y'$, если $\displaystyle y=\frac{(x-1)^{\frac12}(x+3)^5(x+2)^7}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)}}$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle \ln y=\frac12\ln(x-1)+5\ln(x+3)+7\ln(x+2)-\frac23\ln(x+1)$

\noindent$\displaystyle-\frac13\ln(x-2)$;


\noindent$\displaystyle\left(\ln y\right)'=\dfrac{y'}y=\frac1{2(x-1)}+\frac5{x+3}+\frac7{x+2}-\frac2{3(x+1)}-\frac1{3(x-2)}$;


\noindent$\displaystyle y'=\frac{(x-1)^{\frac12}(x+3)^5(x+2)^7}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)}}\biggl(\frac1{2(x-1)}+
\frac5{x+3}+\frac7{x+2}-\frac2{3(x+1)}$

\noindent$\displaystyle-\frac1{3(x-2)}\biggr)$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">simplify(diff(((x-"\\
\hspace{7pt}\verb"1)^(1/2)*(x+3)^5*(x+2)^7)/((x+1)^2*(x-2))^"\\
\hspace{7pt}\verb"(1/3),x));"\\
\hspace{7pt}\verb"1/2*(23*x^4+12*x^3-143*x^2-"\\
\hspace{7pt}\verb"16*x+100)*(x+3)^4*(x+2)^6/((x+1)^2*"\\
\hspace{7pt}\verb"(x-2))^(1/3)/(x-2)/(x+1)/(x-1)^(1/2)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent2.	Дифференцирование параметрически заданных функций $y(x)$: $\displaystyle \begin{cases}
&\hspace{-12pt}x=\varphi(t),\\
&\hspace{-12pt}y=\psi(t),\end{cases}$ производится по формуле $\displaystyle y'(x)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 5.} Вычислить $y'(x)$, если $\displaystyle\begin{cases}
&\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\
&\hspace{-12pt}y=b\sin t.\end{cases}$

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y'=\frac{(b\sin t)'}{(a\cos t)'}=-\frac{b\cos t}{a\sin t}=-\frac ba\ctg t$. Заметим, что $y'(x)$ представляет собой, как и $y(x)$,  параметрически заданную функцию: $\displaystyle\begin{cases}
&\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\
&\hspace{-12pt}y'(x)=-\dfrac ba\ctg t.\end{cases}$

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">S:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);"\\
\hspace{7pt}\verb"S:=-b*cos(t)/a/sin(t)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent3.	Производную $y'(x)$ функции $y(x)$, заданной неявно в виде уравнения $F(x,y)=0$, можно вычислить (при условии $F'_y\ne0$), дифференцируя тождество, полученное при подстановке в уравнение его решения $y(x)$: $F(x,y(x))=0$ по $x$. Получим выражение, в которое линейно войдет $y'(x)$. Его можно разрешить относительно $y'(x)$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример 6.} Рассмотрим неявное задание эллипса из примера 5: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$. Найдем $y'(x)$, дифференцируя уравнение эллипса, полагая в нем $x$ независимой переменной, а $y$ --- функцией от $x$; получим $\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2yy'}{b^2}=0\Rightarrow\dfrac{2y}{b^2}y'=-\dfrac{2x}{a^2}\Rightarrow y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$. Заметим, что производная $y'(x)$ выражена не только через $x$, но и через  $y$. Это естественно, так как на эллипсе значению $x\in(-a,a)$ соответствуют $2$ точки с ординатами $y_1=\dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}$ и $y_2=-\dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}$. Производные $2$-х различных функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ в точке $x$, вообще говоря, различны.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">Z:=diff(x^2/a^2+y(x)^2/b^2,x);"\\
\hspace{7pt}\verb"Z:= 2*x/a^2+2*y(x)/b^2*diff(y(x),x)"\\
\verb">Q:=solve(Z=0,diff(y(x),x));"\\
\hspace{7pt}\verb"Q:= -x*b^2/y(x)/a^2"\\
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent IV.\hspace{3pt} СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

\bigskip

Определение производной $n$-го порядка функции $y(x)$ имеет индуктивный характер.

{\bfseries\itshape Определение 2.} Производной порядка $n>1$ функции $y(x)$ называется $y^{(n)}(x)=\left(y^{(n-1)}(x)\right)'$.

Таким образом, $n$-я производная определяется и вычисляется через $(n-1)$-ю, та --- через $(n-2)$-ю, и т.д.

\noindent{\bfseries\itshape Пример 7.} Вычислить производную $n$-го порядка функции $y=\sin2x$.

\bigskip

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{lll}
\hspace{-5pt}{\bfseries\itshape Решение:}&$y'=2\cos2x$;&$y''=-4\sin2x$;\\
&$y'''=-8\cos2x$;&$y^{(4)}=16\sin2x$;\\
&\ldots&\\
&$y^{(n)}=2^n\sin\left(2x+\dfrac\pi2n\right)$.&
\end{tabular}
\end{flushleft}

Последняя формула является предположением, основанным на предыдущих $4$-х строчках. Для $n=1,2,3,4$ она выполняется. Предположим, что ``угаданная'' формула для производной $(n-1)$-го порядка верна. Покажем, что тогда она верна и для $n$-й производной. Пусть $y^{(n-1)}=2^{n-1}\sin\left(2x+\dfrac\pi2(n-1)\right)$. Продифференцируем последнее равенство по $x$:
\begin{multline*}
y^{(n)}=\left(y^{(n-1)}\right)'=2^n\cos\left(2x+\dfrac\pi2-\dfrac\pi2\right)
=\sin\left(2x+\dfrac\pi2n\right),\\
\mbox{т.к. }\cos\left(\alpha-\dfrac\pi2\right)=\sin\alpha.
\end{multline*}

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,200)
\put(70,95){\line(1,0){160}}
\put(150,15){\line(0,1){160}}
\qbezier(150,170)(220,165)(225,95)
\qbezier(225,95)(220,25)(150,20)
\qbezier(150,20)(80,25)(75,95)
\qbezier(75,95)(80,165)(150,170)
{\thicklines
\put(150,95){\line(0,1){67.4}}
\put(150,95){\line(1,0){67.4}}
}
\put(150,95){\line(1,2){33.5}}
\put(150,95){\line(2,-1){67}}
\put(183.7,162.4){\circle*{2}}
\put(217.2,61.3){\circle*{2}}
\multiput(183.1,162.4)(-3,0){12}{\circle*{1}}
\multiput(217.2,61.9)(0,3){12}{\circle*{1}}
\put(160,101){$\cos\left(\alpha-\frac\pi2\right)$}
\put(120,124){$\sin\alpha$}
\put(186,164){$\alpha$}
\put(220,58){$\alpha-\frac\pi2$}
\put(104,-2){$\mbox{\it Рис. к примеру 7}$}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}

Примененный способ доказательства называется методом полной математической индукции. Впрочем, по индукции можно доказать формулу $\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac\pi2\right)$, а затем, применив ее и формулу $y^{(n)}=2^n\sin\left(2x+\dfrac\pi2n\right)$, получить выражение для  $\left(\sin2x\right)^{(n)}$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 8.} Посчитаем $2$-ю производную из примера 3, проиллюстрировав применение логарифмического дифференцирования для нахождения старших производных.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y=(\ln x)^{\frac1{x^2}}$, $\displaystyle y'=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)$.

\noindent Продифференцируем $\displaystyle y'\Rightarrow y''=\frac{\left((\ln x)^{\frac1{x^2}}\right)'x^3-3x^2(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^6}\cdot\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)+\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(-\frac1{x\ln^2x}-\frac2{x\ln x}\right)$

\noindent$\displaystyle=\Biggl(\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^6}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)-\frac3{x^4}(\ln x)^{\frac1{x^2}}\Biggr)\cdot\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)
-\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{x\ln^2x}+\frac2{x\ln x}\right)=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^4}\biggl(\left(\frac1{x^2\ln x}-\frac{2\ln\ln x}{x^2}-3\right)\cdot$

\noindent$\displaystyle\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)-\frac1{\ln^2x}-\frac2{\ln x}\biggr)$. При вычислении $y''$ использовалась уже найденная в примере 3 $\displaystyle y'=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">factor(diff(ln(x)^(1/x^2),x$2));"\\
\hspace{7pt}\verb"ln(x)^(1/x^2)*(4*ln(ln(x))^2*ln(x)^2-"\\
\hspace{7pt}\verb"4*ln(ln(x))*ln(x)+1+6*x^2*ln(ln(x))*ln(x)^2-"\\
\hspace{7pt}\verb"5*x^2*ln(x)-x^2)/"\\
\hspace{7pt}\verb"x^6/ln(x)^2"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\noindent Операция \verb"factor" использована здесь для разложения результата на множители.

\noindent{\bfseries\itshape Пример 9.} Найдем $2$-ю производную $y''$ для верхней и нижней половин эллипса, заданного параметрически, из примера 5: $\displaystyle\begin{cases}
&\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\
&\hspace{-12pt}y=b\sin t,\end{cases}$ $\displaystyle\begin{cases}
&\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\
&\hspace{-12pt}y'(x)=-\dfrac ba\ctg t.\end{cases}$

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y''=\dfrac{\dfrac d{dt}y'(x)}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\dfrac ba\dfrac1{\sin^2t}}{-a\sin t}=-\dfrac b{a^2}\dfrac1{\sin^3t}$. Заметим, что вторая производная, как и первая, задана параметрически: $\displaystyle\begin{cases}
&\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\
&\hspace{-12pt}y''(x)=-\dfrac b{a^2}\dfrac1{\sin^3t}.\end{cases}$

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">diff(S,t)/diff(a*cos(t),t);"\\
\hspace{7pt}\verb"-(b/a+b*cos(t)^2/a/sin(t)^2)/a/sin(t)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\noindent{\small$^*$значение $S$ было присвоено в примере 5}

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 10.} Найдем $y''$ для верхней и нижней половин эллипса, заданного неявно (см. пример 6): $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, $y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} Продифференцируем $y'$ по $x$: $\displaystyle y''=\left(-\dfrac{b^2x}{a^2y}\right)'=-\dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{y-y'x}{y^2}=
-\dfrac{b^2}{a^2y^2}\left(y+\dfrac{b^2x^2}{a^2y}\right)$. Итак, $\displaystyle y''=-\dfrac{b^2}{a^2y^2}\left(y+\dfrac{b^2x^2}{a^2y}\right)$. $2$-я производная неявной функции, как и первая, выражается как через $x$, так и через $y$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">subs(diff(y(x),x)=Q,diff(Q,x));"\\
\hspace{7pt}\verb"-b^2/y(x)/a^2-x^2*b^4/y(x)^3/a^4"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\noindent{\small$^*$значение $Q$ было присвоено в примере 6}

\bigskip

\noindent V.\hspace{3pt} ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

\bigskip

{\bfseries\itshape Определение 3.} Если приращение функции $y=f(x)$: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$, может быть представлено в виде $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\Delta x)$, где $A$ не зависит от $\Delta x$, но зависит, вообще говоря, от $x$, то функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x$. Здесь $o(\Delta x)$ --- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем $\Delta x$, т.е. $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0$.

Можно доказать, что $A=\dfrac{df(x)}{dx}$. Таким образом, существование производной у функции $f(x)$ в точке $x$ эквивалентно ее дифференцируемости в этой точке по определению 3.

{\bfseries\itshape Определение 4.} Главная линейная часть приращения дифференцируемой функции $A\Delta x=f'(x)dx$ называется ее дифференциалом.

Дифференциал $df(x)$ является функцией двух аргументов --- $x$ и $\Delta x$. Рассмотрев функцию $y=x$, убедимся, что $dx\equiv\Delta x$ (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифференциалы старших порядков определяются индуктивно.

{\bfseries\itshape Определение 5.} Дифференциалом $n$-го порядка функции $f(x)$ ($n\ge2$) называется дифференциал от $(n-1)$-го дифференциала этой функции. При этом $d^{(n-1)}f$  считается функцией только $x$ (но не $dx\equiv\Delta x$), т.е. $d^nf=d\left(d^{(n-1)}f\right)=d\left(f^{(n-1)}(x)(dx)^{(n-1)}\right)=f^{(n)}(x)(dx)^n$.

Соотношение $d^{(n-1)}f=f^{(n-1)}(x)(dx)^{(n-1)}$ выполняется, например, для $n-1=1$. Методом индукции из этого следует справедливость аналогичного выражения для $n$-го дифференциала при любом $n\ge2$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример 11.} Вычислить $1$-й и $2$-й дифференциалы функции $y=\sqrt{1-x^2}\arcsin x$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle dy=y'dx=\left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx$

\noindent$=\left(1-\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx$.

\noindent$\displaystyle d^2y=y''(dx)^2=\left(1-\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)'(dx)^2$


\noindent$\displaystyle=-\dfrac{\left(\dfrac x{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin x\right)\sqrt{1-x^2}+
\dfrac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}}(dx)^2$

\noindent$\displaystyle=-\dfrac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x(1-x^2+x^2)}{(1-x^2)^{3/2}}(dx)^2$

\noindent$\displaystyle=-\dfrac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}}(dx)^2.$

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">X:=subs(D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),D(sqrt(1-"\\
\hspace{7pt}\verb"x^2)*arcsin(x)));"\\
\hspace{7pt}\verb"X := -D(x)*x/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)+D(x)"\\
\verb">F:=subs(D(D(x))=0,D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),"\\
\hspace{7pt}\verb"D(X));"\\
\hspace{7pt}\verb"F:=-D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x^2/(1-"\\
\hspace{7pt}\verb"x^2)^(3/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x/(1-x^2)"\\
\verb">simplify(F);"\\
\hspace{7pt}\verb"(x*(1-x^2)^(1/2)+arcsin(x))*D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)/(-"\\
\hspace{7pt}\verb"1+x^2)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent VI.\hspace{3pt} ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

\bigskip

1. Формула Тейлора.

\noindent Приближение функции в окрестности точки $x_0$ многочленом может быть удобно в работе с этой функцией.

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac12f''(x_0)(x-x_0)^2+\ldots$

\noindent$+\dfrac1{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x)$, где остаточный член $R_n(x)$ , например, в форме Лагранжа, имеет вид $\displaystyle R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, где $0<\theta<1$ (вообще говоря, $\theta$ зависит от $x$ и $x_0$).

Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при $x_0=0$) для некоторых элементарных функций:

\begin{flalign*}
\quad1.&\ e^x\approx\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}+R_n.&\\
\quad2.&\ \sin x\approx\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+R_n.&\\
\quad3.&\ \cos x\approx\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+R_n.&\\
\quad4.&\ (1+x)^\alpha\approx1+\sum_{k=1}^n\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdot\ldots\cdot(\alpha-k+1)}{k!}\cdot x^k+R_n.&\\
\quad5.&\ \arctg x\approx\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}+R_n.&\\
\quad6.&\ \ln(1+x)\approx\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{x^k}k+R_n.&
\end{flalign*}

\noindent{\bfseries\itshape Пример 12.} Разложить многочлен $y=x^3+x^2+2x-3$ по степеням $(x+1)$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $y'=3x^2+2x+2$, $y''=6x+2$, $y'''=6$, $y(-1)=-5$, $y'(-1)=3$, $y''(-1)=-4$, $y'''(-1)=6$, $y=-5+3(x+1)-2(x+1)^2+(x+1)^3$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">taylor(x^3+x^2+2*x-3,x=-1,4);"\\
\hspace{7pt}\verb"-5+3*(x+1)-2*(x+1)^2+1*(x+1)^3"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\noindent Формула Тейлора n-го порядка точна для многочлена порядка $n$ ($R_n=0$).

\noindent{\bfseries\itshape Пример 13.} Вычислить приближенно с помощью первого дифференциала $\tg5^\circ$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $5^\circ=\dfrac\pi{36}$, $y=\tg x$, $x_0=0$, $\Delta x=\dfrac\pi{36}$, $\Delta y=\tg\dfrac\pi{36}-\tg0=\tg\dfrac\pi{36}\approx dy=(\tg x)'\cdot\Delta x=\dfrac1{\cos^2x}\biggl|_{x=0}\cdot\dfrac\pi{36}=\dfrac\pi{36}\approx0,087$. Итак, $\tg5^\circ\cong0,087$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">convert(subs(x=(Pi/36),taylor(tan(x),x=0,2)),polynom);"\\
\hspace{7pt}\verb"1/36*Pi"
\end{tabular}
\end{flushleft}

В примере 13 неизвестна точность приближенного вычисления. Покажем, как с помощью формулы Тейлора можно производить вычисления с гарантированной точностью.

\noindent{\bfseries\itshape Пример 14.} Вычислить с точностью $\varepsilon=10^{-5}$ $\sin28^\circ$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $y=\sin x$, $x_0=30^\circ=\dfrac\pi6$, $\Delta x=-2^\circ=\dfrac\pi{90}$,

\noindent$|R_n|=\dfrac{\left|(\sin y)^{(n+1)}\right|}{(n+1)!}\biggl|_{y=x_0+\theta(x-x_0)=x_0+\theta\Delta x}\cdot\left(\dfrac\pi{90}\right)^{n+1}$

\noindent$\le\dfrac1{(n+1)!}\left(\dfrac\pi{90}\right)^{n+1}$.

\noindent$|R_1|\le\dfrac{\pi^2}{90\cdot180}\approx\dfrac9{16200}>10^{-5}$. $|R_2|\le\dfrac{\pi^3}{90^3\cdot6}\approx\dfrac{27}{90^3\cdot6}=\dfrac1{162000}<10^{-5}$. Итак, $n=2$ гарантирует заданную точность.

\noindent$\sin28^\circ\approx\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2\dfrac\pi{90}-
\dfrac14\left(\dfrac\pi{90}\right)^2=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3\pi}{180}-\dfrac{\pi^2}{32400}\cong
\dfrac12-0,03023$
\vskip5pt
\noindent$-0,00030\approx46947$.

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">C:=taylor(sin(x),x=Pi/6,5);"\\
\hspace{7pt}\verb"C:=series(1/2+(1/2*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)-1/4*(x-"\\
\hspace{7pt}\verb"1/6*Pi)^2+(-"\\
\hspace{7pt}\verb"1/12*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)^3+1/48*(x-1/6*Pi)^4+O((x-"\\
\hspace{7pt}\verb"1/6*Pi)^5),x="\\
\hspace{7pt}\verb"-(-1/6*Pi),5)"\\
\verb">V:=subs(x=7/45*Pi,C); convert(evalf(V),polynom);"\\
\hspace{7pt}\verb"V:=1/2-1/180*3^(1/2)*Pi-1/32400*Pi^2+1/8748000*3^(1/2)*"\\
\hspace{7pt}\verb"Pi^3+1/3149280000*Pi^4+O(-1/5904900000*Pi^5)"\\
\hspace{7pt}\verb".4694715632"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

2. Правило Лопиталя. Справедлива теорема:

\noindent{\bfseries\itshape Теорема 1.} Пусть в некоторой окрестности точки $x_0$, кроме, быть может, самой этой точки, $2$ функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, одновременно бесконечно малые или бесконечно большие, дифференцируемы и $\psi'(x)\ne0$. При этом, если $\exists\ \displaystyle
\lim_{x\to x_0}\dfrac{\varphi'(x)}{\psi'(x)}$, то $\exists\ \displaystyle
\lim_{x\to x_0}\dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)}$ и они равны.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 15.} Вычислить $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(\cos x)}{\ln(\cos2x)}$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:}

\noindent$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(\cos x)}{\ln(\cos2x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{
-\dfrac{\sin x}{\cos x}}{-\dfrac{2\sin2x}{\cos2x}}=\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x\cos2x}{\sin2x\cos x}
=\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{\sin2x}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\cos2x}{\cos x}
=\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{2\cos2x}\cdot1=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14.$

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">limit(ln(cos(x))/ln(cos(2*x)),x=0);"\\
\hspace{7pt}\verb"1/4"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 16.} Вычислить $\displaystyle\lim_{x\to1}(2-x)^{\tg\frac{\pi x}2}=A$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:}

\medskip

\noindent$\displaystyle\ln A=\lim_{x\to1}\ln(2-x)^{\tg\frac{\pi x}2}=\lim_{x\to1}\tg\frac{\pi x}2\ln(2-x)=\lim_{x\to1}\dfrac{\sin\dfrac{\pi x}2}{\cos\dfrac{\pi x}2}\ln(2-x)=\lim_{x\to1}\sin\dfrac{\pi x}2\cdot\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(2-x)}{\cos\dfrac{\pi x}2}=
\lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac1{2-x}}{\dfrac\pi2\sin\dfrac{\pi x}2}=\dfrac2\pi\Rightarrow A=e^{\frac2\pi}.$

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">limit((2-x)^tan(Pi*x/2),x=1);"\\
\hspace{7pt}\verb"exp(2/Pi)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 17.} Вычислить $\displaystyle\lim_{x\to0}x\ctg\pi x$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:}

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:}

\medskip

\noindent$\displaystyle\lim_{x\to0}x\ctg\pi x=\lim_{x\to0}\dfrac{\ctg\pi x}{\dfrac1x}=\lim_{x\to0}\dfrac{-\dfrac\pi{\sin^2\pi x}}{-\dfrac1{x^2}}=\lim_{x\to0}\dfrac{\pi x^2}{\sin^2\pi x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\pi^2x^2}{\sin^2\pi x}\cdot\dfrac1\pi=\dfrac1\pi.$

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">limit(x*cot(Pi*x),x=0);"\\
\hspace{7pt}\verb"1/Pi"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\bigskip

3. Рассмотрим некоторые геометрические приложения производной. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$ имеет вид $y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)$. Если $f'(x_0)=\infty$, то уравнение касательной $x=x_0$. Уравнение нормали к графику в этой точке --- $y=y_0-\dfrac1{f'(x_0)}(x-x_0)$. Если $f'(x_0)=0$, то уравнение нормали $x=x_0$.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 18.} Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $x^2+y^2=1$ в точке $M=\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$.

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} Вычислим

\noindent$y'(x):\ 2x+2yy'=0\Rightarrow y'=-\dfrac xy,\ y'(M)=-1;\ y_{\mbox{к}}=\dfrac1{\sqrt2}-\left(x-\dfrac1{\sqrt2}\right)$

\noindent$=\dfrac1{\sqrt2}-x$ --- уравнение касательной; $y_{\mbox{н}}=\dfrac1{\sqrt2}+\left(x-\dfrac1{\sqrt2}\right)=x$ --- уравнение нормали.

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">V:=diff(x^2+y(x)^2,x);"\\
\hspace{7pt}\verb"V:=2*x+2*y(x)*diff(y(x),x)"\\
\verb">W:=solve(V=0,diff(y(x),x));"\\
\hspace{7pt}\verb"W:=-x/y(x)"\\
\verb">subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W);"\\
\hspace{7pt}\verb"-1"
\end{tabular}
\end{flushleft}
Здесь найден только угловой коэффициент касательной.

\bigskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример 19.} Под какими углами пересекаются кривые $y_1=x$ и $y_2=x^3$?

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Решение:} $x=x^3;\ x(x-1)(x+1)=0;\ x_1=0,\ x_2=-1,\ x_3=1.\ y_1'=1,\ y_2'=3x^2.$

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,150)
\put(30,70){\vector(1,0){250}}
\put(150,4){\vector(0,1){146}}
\put(272,62){$x$}
\put(140,144){$y$}
{\thicklines
\qbezier(150,70)(175,68)(190,110)
\qbezier(190,110)(195,120)(199,142)
\put(80,0){\line(1,1){140}}
\qbezier(150,70)(125,72)(110,30)
\qbezier(110,30)(105,20)(101,-2)
}
\put(190,110){\line(2,5){18}}
\put(190,110){\line(-2,-5){16}}
\put(150,110){\line(1,0){90}}
\put(190,110){\circle{2}}
\put(152,60){$0$}
\qbezier(175.8,74.5)(179,74)(179,70)
\qbezier(194,114)(196.5,112.5)(196,110)
\qbezier(194.6,114.6)(197,113)(196.8,110)
\put(180,74){$\alpha$}
\put(198,113){$\alpha_1$}
\put(54,26){$y=y_1(x)$}
\put(103,-3){$y=y_2(x)$}
\put(100,-20){$\mbox{\it Рис. к примеру 7}$}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}

\bigskip

\noindent$1.\ x_1=0,\ y_1'=1,\ y_2'=0,\ \tg\alpha_1=\dfrac{1-0}{1+0}=1,\Rightarrow\alpha_1=\dfrac\pi4.$

\noindent$2.\ x_3=1,\ y_1'=1,\ y_2'=3,\ \tg\alpha_3=\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac12,\Rightarrow\alpha_3=\arctg\dfrac12.$

\noindent3. В силу симметрии кривых $\alpha_3=\alpha_2=\arctg\dfrac12$.

\noindent Здесь использована формула 
$$\tg(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{\tg\alpha_1-\tg\alpha_2}{1+\tg\alpha_1\tg\alpha_2}$$

\noindent(см. Рис.).

\medskip

\noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:}

\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l}
\verb">solve(x=x^3,x);"\\
\hspace{7pt}\verb"0   1   -1"\\
\verb">a:=diff(x,x); b:=diff(x^3,x);"\\
\hspace{7pt}\verb"a:=1"\\
\hspace{7pt}\verb"b:=3*x^2"\\
\verb">arctan(subs(x=0,(a-b)/(1+a*b)));"\\
\hspace{7pt}\verb"1/4*Pi"\\
\verb">arctan(subs(x=1,(b-a)/(1+a*b)));"\\
\hspace{7pt}\verb"arctan(1/2)"\\
\verb">arctan(subs(x=-1,(b-a)/(1+a*b)));"\\
\hspace{7pt}\verb"arctan(1/2)"
\end{tabular}
\end{flushleft}

\newpage

\begin{center}
\Large\sc ОГЛАВЛЕНИЕ
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf Дифференцирование функций одной переменной}\dotfill2

I.\hspace{11pt}Дифференцирование с помощью пакета Maple\dotfill3

II.\hspace{7pt}Определение производной. Правила
 
\noindent\hspace{38pt}дифференцирования. Таблица производных\dotfill4

III.\hspace{3pt}Приемы дифференцирования\dotfill6

IV.\hspace{3pt}Старшие производные функции одной переменной\dotfill8

V.\hspace{7pt}Дифференциалы\dotfill11

VI.\hspace{3pt}Приложения производных и дифференциалов\dotfill12


\newpage

\begin{flushright}
\begin{tabular}{l}
Ольга Юрьевна Агарева\\
Елена Викторовна Введенская\\
Константин Юрьевич Осипенко
\end{tabular}
\end{flushright}
\vskip150pt

\begin{center}
{\Large
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ}
\vskip90pt
Методические указания к практическим занятиям по теме:\\
``MAPLE в курсе математического анализа''

\end{center}

\vskip190pt

\noindent Редактор\hspace{15pt}	М.А. Соколова

\noindent Подписано в печать 21.6.99. Объем 1,5 п.л.

\noindent Тираж 75 экз.  Заказ

\bigskip

\hrule
\bigskip
\noindent Ротапринт МАТИ-РГТУ, Берниковская наб., 14
\bigskip
\hrule


\end{document}




