\documentclass[12pt,draft]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 800
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\co}{co}

\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Lia}{L_\infty(\mathbb R_+)}
\newcommand*{\Li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\ld}{L_2(\Sd)}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb R^{d}}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}

\begin{document}
\title[Экстремальные задачи и оптимальное восстановление]{Экстремальные задачи интерполяционного типа и оптимальное восстановление линейных операторов}
\author{К.Ю. Осипенко}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского\\ e-mail: kosipenko@yahoo.com}

\maketitle


\section{Восстановление линейных функционалов}

Одни из первых задач восстановления были задачи интерполяции функции. Пусть известны значения некоторой функции $x\cd$ в системе точек $t_1,\ldots,t_n$ \ $x(t_1),\ldots,x(t_n)$. Как ``восстановить'' значение функции в некоторой точке $\tau$?


Нам хотелось бы по информации $(x(t_1),\ldots,x(t_n))$ указать число, которое можно было бы принять за приближенное значение $x(\tau)$. Это можно сделать различными способами. Например, соединить точки $(t_j,x(t_j))$ ломаной или построить многочлен степени $n-1$, проходящий через эти точки (многочлен Лагранжа). Наконец, можно строить полиномиальные сплайны различных степеней, проходящие через те же точки.

Какой из всех этих методов лучше?

Вместо вычисления значения $x(\tau)$ можно рассматривать вычисление интеграла от этой функции
$$\int_a^bx(t)\,dt$$
по той же информации. Здесь тоже большое количество разнообразных методов: квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и т.д.


Такая же ситуация с численными решениями дифференциальных уравнений и многих других задач вычислительной математики.

В связи с этим возникает много вопросов.

Как разобраться во всем этом множестве методов?

Как их сравнивать и можно ли выбрать лучший?

Как строить новые хорошие методы?

Оценка эффективности того или иного метода требует некоторой дополнительной, априорной информации. Например, если оценивается погрешность интерполяции или вычисления интеграла, то часто в качестве такой априорной информации участвуют оценки максимума модуля какой-либо из производной функции $x\cd$.

Одним из самых распространенных подходов к рассмотренным задачам является следующий: предлагается некоторый метод, а затем исследуется его эффективность с помощью оценки его погрешности при некоторых условиях на функции, с которыми этот метод работает (например, гладкость и ограниченность соответствующих производных).

А.Н. Колмогоровым был инициирован другой подход к подобным задачам.

\section{Колмогоровский подход к задачам восстановления}

Одной из первых задач восстановления, на которой хорошо видна колмогоровская идея, явилась задача о построении наилучшей (или оптимальной) квадратурной формулы.

Пусть дан некоторый класс функций $W$. Требуется вычислить
$$\int_a^bx(t)\,dt,$$
зная значения $x(t_1),\ldots,x(t_n)$.


В качестве методов восстановления значения интеграла рассматриваются всевозможные квадратурные формулы
$$\int_a^bx(t)\,dt\approx\sum_{j=1}^na_jx(t_j).$$

Ставится задача о нахождении наилучшей квадратурной формулы, т.е. формулы, на которой достигалась бы нижняя грань
$$\infp_{a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R}\,\sup_{x\cd\in W}\biggl|\int_a^bx(t)\,dt-\sum_{j=1}^na_jx(t_j)\biggr|.$$

Такого рода постановки впервые стали рассматриваться в работах A. Sard (American J. of Math., 1949) и C.М. Никольского (Успехи матем. наук, 1950).

В 1965 г. С.А. Смоляком была поставлена общая задача оптимального восстановления линейного функционала.

\section{Постановка С.А. Смоляка}

Пусть $X$ --- линейное пространство, $W\subset X$, $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на $X$. Требуется восстановить значения $Lx$, $x\in W$, по значениям $Ix=(l_1x,\ldots,l_nx)$.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные функции
$$m\colon\mathbb R^n\to\mathbb R.$$

Погрешностью данного метода $m$ называется величина
$$e(L,W,I,m)=\sup_{x\in W}|Lx-m(Ix)|.$$

Погрешностью оптимального восстановления называется величина
$$E(L,W,I)=\inf_{m\colon\mathbb R^n\to\mathbb R}e(L,W,I,m).$$

\begin{theorem}[Смоляк, 1965]
Если $W$ --- выпуклое и центрально-симметричное множество, то
среди оптимальных методов имеется линейный, т.е. имеющий вид
$$\widehat m(Ix)=\sum_{j=1}^n\widehat a_jl_jx,$$
и
$$E(L,W,I)=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|.$$
\end{theorem}

\section{Оптимальное восстановление линейных операторов}

Сформулируем общую задачу об оптимальном восстановлении линейного оператора. Пусть $X$ --- линейное пространство, $Y,Z$ --- линейные нормированные пространства, $T\colon X\to Z$, $I\colon X\to Y$ --- линейные операторы. Требуется восстановить значения оператора $T$ на множестве $W\subset X$ по неточной информации о значениях $Ix$.

Считается, что для каждого $x\in W$ нам известен $y\in Y$ такой, что $\|Ix-y\|_Y\le\delta$.

В качестве методов восстановления рассматриваются произвольные отображения
$$m\colon Y\to Z.$$


\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(210,54)
\put(30,30){$X\supset W$}
\put(75,34){\vector(1,0){63}}
\put(143,30){$Z$}
\put(103,42){$T$}
\put(67,25){\vector(1,-1){20}}
\put(100,0){$Y$}
\put(123,4){\vector(1,1){20}}
\put(61,10){$I$}
\put(138,10){$m$}
\end{picture}$$
%\caption{}\label{f5}
\end{figure}

Погрешностью метода $m$ называется величина
$$e(T,W,I,\delta,m)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y\\\|Ix-y\|_Y\le\delta}}\|Tx-m(y)\|_Z.$$


Погрешностью оптимального восстановления называется величина
$$E(T,W,I,\delta)=\inf_{m\colon Y\to Z}e(T,W,I,\delta,m).$$

\begin{lemma}
Если $W$ --- центрально-симметричное множество, то
$$E(T,W,I,\delta)\ge\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix\|_Y\le\delta}}\|Tx\|_Z.$$
\end{lemma}

Довольно часто само множество $W$ задается в виде
$$W=\{\,x\in X:\|T_0x\|_{Z_0}\le\delta_0\,\},$$
где $Z_0$ --- линейное пространство, а $T_0\colon X\to Z_0$ --- некоторый линейный оператор. Поэтому задачи вида
$$\|Tx\|_Z\to\max,\quad\|T_0x\|_{Z_0}\le\delta_0,\quad\|Ix\|_Y\le\delta,\quad x\in X,$$
играют важную роль в задачах восстановления.


Наиболее частая ситуация, когда все три оператора $T$, $T_0$ и $I$ задаются одним оператором, зависящим от некоторого параметра. В этом случае предыдущая экстремальная задача принимает вид
$$\|T_rx\|\to\max,\quad\|T_{r_1}x\|\le\delta_1,\quad\|T_{r_2}x\|\le\delta_2,\quad x\in X.$$

Такого рода задачи называются интерполяционными: известны оценки норм при двух значениях параметра и надо оценить норму при некотором промежуточном значении параметра.

\section{Теорема Адамара о трех кругах и неравенства для производных}

Пусть $f(z)$ --- аналитическая функция в кольце
$$r_1\le|z|\le r_2.$$
Положим
$$M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|.$$

\begin{theorem}[Адамар]
$\log M(r)$ --- выпуклая функция относительно $\log r$.
\end{theorem}

Это утверждение можно сформулировать и в следующем виде: при всех $r_1<r<r_2$ имеет место неравенство
$$M(r)\le M(r_1)^{\frac{\log r_2/r}{\log r_2/r_1}}M(r_2)^{\frac{\log r/r_1}{\log r_2/r_1}}.$$

Теорема Адамара о трех кругах дает оценку значения следующей экстремальной задачи
$$M(r)\to\max,\quad M(r_1)\le\delta_1,\quad M(r_2)\le\delta_2.$$
Точное решение ее (оно дается в терминах эллиптических функций) было найдено Р. Робинсоном в 1943.

В 1913 г. Э.~Ландау рассмотрел подобную задачу. Вместо кругов он рассматривал производные. Для функций $x\cd\in
\Lia$ с локально абсолютно непрерывной первой производной на $\mathbb
R_+$ и таких, что $x''\cd\in\Lia$ он получил точное неравенство
$$\|x'\cd\|_{\Lia}\le2\|x\cd\|_{\Lia}^{1/2}\|x''\cd\|_{\Lia}^{1/2}.$$

В действительности, им была решена следующая экстремальная задача
$$\|x'\cd\|_{\Lia}\to\max,\quad\|x\cd\|_{\Lia}\le\delta_1,\quad\|x''\cd\|_{\Lia}\le \delta_2.$$

Сам Адамар в 1914 г. решил ту же задачу для $\mathbb R$.

В 1939 г. А.Н.~Колмогоров получил общий результат в этом направлении. Он нашел решение экстремальной задачи
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\Li}\to\max,\quad\|x\cd\|_{\Li}\le\delta_1,\quad
\|x^{(r)}\cd\|_{\Li}\le\delta_2.$$

Значение этой задачи
$$\frac{K_{r-k}}{K_r^{1-\frac kr}}\delta_1^{1-
k/r}\delta_2^{k/r},$$
где
$$K_m=\frac4\pi\sum_{s=0}^\infty\frac{(-1)^{s(m+1)}}{(2s+1)^{m+1}}$$
--- константы Фавара.

Экстремальные задачи подобного типа получили название неравенства для производных типа Ландау--Колмогорова.

\section{Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа}

Одним из представителей такого типа неравенств, где удается получить достаточно общий результат, является неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа.

В 1939 г. Харди, Литтлвуд и Полиа доказали, что для всех
целых $0<k<r$ имеет место точное неравенство
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}\le\|x\cd\|_{\lt}^{1-\frac kr}\|x^{(r)}\cd\|_{\lt}^{
\frac kr},$$
справедливое для всех функций $x\cd\in\mathcal W_2^r(\mathbb R)$ (функций $x\cd\in\lt$, у которых $(r-1)$-ая
производная локально абсолютно непрерывна на $\mathbb R$ и $x^{(r)}\cd\in
\lt$).

Этот результат можно сформулировать в том же виде, как и теорему Адамара

\begin{theorem}
$\log\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}$ --- выпуклая функция аргумента $k$.
\end{theorem}

Можно определить дробные производные (например, по Вейлю) и тогда аргумент $k$ станет непрерывной переменной.

Само понятие выпуклости позволяет легко перейти от трех кругов в случае теоремы Адамара или трех производных в случае неравенства Харди--Литтвуда--Полиа к произвольному числу кругов или производных. Чем больше значений выпуклой функции известно, тем точнее ее можно оценить в промежуточной точке.


Пусть $k_1<\ldots<k_n$ и $k_1\le k\le k_n$. Рассмотрим следующую экстремальную задачу
\begin{multline*}
\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}\to\max,\quad\|x^{(k_j)}\cd\|_{\lt}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n,\\
x\cd\in\mathcal W_2^{k_n}(\mathbb R).
\end{multline*}

Рассмотрим в плоскости $(x,y)$ множество точек
$$M=\co\{\,(k_j,\log\delta_j),\ j=1,\ldots,n\,\}.$$
Положим
$$\theta(x)=\min\{\,y:(x,y)\in M\,\}.$$

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(290,230)
\put(2,150){$0$}
\put(0,160){\vector(1,0){300}}
\put(10,25){\vector(0,1){215}}
\put(290,150){$x$}
\put(110,40){$\theta(x)$}
{\thicklines
\put(20,140){\line(1,-2){30}}
\put(50,80){\line(4,-1){60}}
\put(110,65){\line(4,1){60}}
\put(170,80){\line(3,2){90}}
}
\put(20,140){\circle*{2}}
\put(16,166){$k_{j_1}$}
\put(20,160){\line(0,-1){20}}
\put(50,160){\line(0,-1){80}}
\put(46,166){$k_{j_2}$}
\put(50,80){\circle*{2}}
\put(110,65){\circle*{2}}
\put(106,166){$k_{j_3}$}
\put(110,160){\line(0,-1){95}}
\put(166,166){$k_{j_4}$}
\put(170,160){\line(0,-1){80}}
\put(170,80){\circle*{2}}
\put(256,166){$k_{j_5}$}
\put(260,160){\line(0,-1){20}}
\put(260,140){\circle*{2}}
\put(100,150){\circle*{2}}
\put(80,90){\circle*{2}}
\put(140,120){\circle*{2}}
\put(198,148){\circle*{2}}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}

\begin{theorem}
$$\sup_{\substack{x\cd\in\mathcal W_2^{k_n}(\mathbb R)\\\|x^{(k_j)}\cd\|_{\lt}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}=e^{\theta(k)}.$$
\end{theorem}


\section{Оптимальное восстановление производных}

Предположим, что известны функции $y_1\cd,\ldots,y_n\cd\in\lt$, такие, что
$$\|x^{(k_j)}\cd-y_j\cd\|_{\lt}\le\delta_j,\quad j=1,\ldots,n.$$
Требуется как можно точнее восстановить функцию $x^{(k)}\cd$.

Под методами восстановления будем понимать произвольные отображения $m\colon(\lt)^n\to\lt$.



Погрешностью данного метода $m$ будем называть величину
$$e(D^k,K,\delta,m)=\sup_{\substack{x\cd\in\mathcal W_2^{k_n}(\mathbb R)\\\|x^{(k_j)}\cd-y_j\cd\|_{\lt}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|x^{(k)}\cd-m(y)\cd\|_{\lt},$$
здесь $K=(k_1,\ldots,k_n)$, $\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ и $y=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$.

Погрешностью оптимального восстановления назовем величину
$$E(D^k,K,\delta)=\inf_{m\colon(\lt)^n\to\lt}e(D^k,K,\delta,m).$$

Метод, на котором эта нижняя грань достигается, назовем оптимальным.

Обозначим через $k_{j_1},\ldots,k_{j_r}$ точки излома линии $\theta\cd$. Через $Fx\cd$ будем обозначать преобразование Фурье функции $x\cd$.

\begin{theorem}
При всех $k_1\le k\le k_n$
$$E(D^k,K,\delta)=e^{\theta(k)}.$$
Если $k_{j_s}<k<k_{j_{s+1}}$, $1\le s\le r-1$, то метод 
$$\wm(y)\cd=(L_s*y_{j_s})\cd+(R_{s+1}*y_{j_{s+1}})\cd,$$ 
где
\begin{gather*}
FL_s(\tau)=(i\tau)^k\frac{(k_{j_{s+1}}-k)\delta_{j_{s+1}}^2(-i\tau)^{k_{j_s}}}
{(k_{j_{s+1}}-k)\delta_{j_{s+1}}^2\tau^{2k_{j_s}}+
(k-k_{j_s})\delta_{j_s}^2\tau^{2k_{j_{s+1}}}},\\
FR_{s+1}(\tau)=(i\tau)^k\frac{(k-k_{j_s})\delta_{j_s}^2(-i\tau)^{k_{j_{s+1}}}}
{(k_{j_{s+1}}-k)\delta_{j_{s+1}}^2\tau^{2k_{j_s}}+
(k-k_{j_s})\delta_{j_s}^2\tau^{2k_{j_{s+1}}}},
\end{gather*}
является оптимальным. При $k=k_{j_s}$, $1\le s\le r-1$, метод $\wm(y)\cd=y_{j_s}\cd$ --- оптимальный.
\end{theorem}

\section{Теорема Адамара для уравнения теплопроводности}

Рассмотрим обобщенное уравнение теплопроводности в $\mathbb R^d$
\begin{align*}
&u_t+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0,\\
&u_{\big|t=0}=f(x),\quad f\in\ld.
\end{align*}

Оператор $(-\Delta)^{\alpha/2}$ определяется следующим образом
$$(-\Delta)^{\alpha/2}g(x)=F^{-1}(|\xi|^\alpha Fg(\xi))(x),$$
где $F$ --- преобразование Фурье в $\ld$, а $F^{-1}$ --- обратное преобразование Фурье.

Единственным решением этого уравнение является функция
$$u(t,x)=F^{-1}(e^{-|\xi|^\alpha t}Ff(\xi))(x)$$

\begin{theorem}\label{T}
$\log\|u(t,\cdot)\|_{\ld}$ --- выпуклая функция $t$.
\end{theorem}

Иными словами, при всех $\tau$, $0\le t_1<\tau<t_2$
$$\|u(\tau,\cdot)\|_{\ld}\le\|u(t_1,\cdot)\|_{\ld}^{\frac{t_2-\tau}{t_2-t_1}}
\|u(t_2,\cdot)\|_{\ld}^{\frac{\tau-t_1}{t_2-t_1}}.$$

Перейдем теперь к задаче с $n+1$ ``кругом'':
\begin{multline*}
\|u(\tau,\cdot)\|_{\ld}\to\max,\quad\|u(t_j,\cdot)\|_{\ld}\le\delta_j,\quad j=1,2,\ldots,n,\\
f\in\ld.
\end{multline*}

В плоскости $(t,y)$ определим множество
$$M=\co\{\,(t_j,\log\delta_j),\,\,1\le j\le n\,\}+\{\,(t,0)\mid\,\,t\ge0\,\}$$
и
$$\theta(t)=\min\{\,y:(t,y)\in M\,\}.$$

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(290,230)
\put(2,150){$0$}
\put(0,160){\vector(1,0){300}}
\put(10,25){\vector(0,1){215}}
\put(290,150){$t$}
\put(110,40){$\theta(t)$}
{\thicklines
\put(20,140){\line(1,-2){30}}
\put(50,80){\line(4,-1){60}}
\put(110,65){\line(1,0){168}}
}
\put(110,65){\line(4,1){60}}
\put(170,80){\line(3,2){90}}
\put(20,140){\circle*{2}}
\put(16,166){$t_{j_1}$}
\put(20,160){\line(0,-1){20}}
\put(50,160){\line(0,-1){80}}
\put(46,166){$t_{j_2}$}
\put(50,80){\circle*{2}}
\put(110,65){\circle*{2}}
\put(106,166){$t_{j_3}$}
\put(110,160){\line(0,-1){95}}
\put(170,80){\circle*{2}}
\put(260,140){\circle*{2}}
\put(100,150){\circle*{2}}
\put(80,90){\circle*{2}}
\put(140,120){\circle*{2}}
\put(198,148){\circle*{2}}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}

\begin{theorem}
При всех $\tau\ge t_1$
$$\sup_{\substack{f\in\ld\\\|u(t_j,\cdot)\|_{\ld}\le\delta_j,\ j=1,2,\ldots,n}}\|u(\tau,\cdot)\|_{\ld}=e^{\theta(\tau)}.$$
\end{theorem}

Рассмотренная экстремальная задача тесно связана со следующей задачей восстановления. Предположим, что в моменты времени $0\le t_1<\ldots<t_n$ приближенно известны распределение температуры $y_j\cd\in\ld$, $j=1,\ldots,n$. Будем считать, что
$$\|u(t_j,\cdot)-y_j\cd\|_{\ld}\le\delta_j,\quad j=1,\ldots,n.$$

Требуется восстановить распределение температуры в момент $\tau$.

Как и ранее, в качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon(\ld)^n\to\ld$.

Для данного метода $m$ определяется его погрешность
\begin{multline*}
e_\tau(\ld,\delta,m)\\
=\sup_{\substack{f\cd,y_1\cd,\ldots,y_n\cd\in\ld\\
\|u(t_j,\cdot)-y_j\cd\|_{\ld}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}
\|u(\tau,\cdot)-m(y)\cd\|_{\ld},
\end{multline*}

Величина
$$E_\tau(\ld,\delta)=\inf_{m\colon(\ld)^n\to\ld}e_\tau(\ld,\delta,m)$$
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором она достигается, называется оптимальным.


\begin{theorem} 
При всех $\tau\ge t_1$
$$E_\tau(\ld,\delta)=e^{\theta(\tau)}.$$

Пусть $t_{j_1}<\ldots<t_{j_r}$ --- точки излома $\theta\cd$ и $t_{j_s}<\tau<t_{j_{s+1}}$, тогда метод $\wm(y)\cd=(L_s*y_{j_s})\cd+(R_{s+1}*y_{j_{s+1}})\cd$, где
\begin{align*}
FL_s(\xi)&=\frac{(t_{j_{s+1}}-\tau)\delta_{j_{s+1}}^2e^
{|\xi|^\alpha(t_{j_{s+1}}-\tau)}}
{(t_{j_{s+1}}-\tau)\delta_{j_{s+1}}^2e^{|\xi|^\alpha(t_{j_{s+1}}-t_{j_s})}+
(\tau-t_{j_s})\delta_{j_s}^2e^{-|\xi|^\alpha(t_{j_{s+1}}-t_{j_s})}},\\
FR_{s+1}(\xi)&=\frac{(\tau-t_{j_s})\delta_{j_s}^2e^{-|\xi|^\alpha(\tau-t_{j_s})}}
{(t_{j_{s+1}}-\tau)\delta_{j_{s+1}}^2e^{|\xi|^\alpha(t_{j_{s+1}}-t_{j_s})}+
(\tau-t_{j_s})\delta_{j_s}^2e^{-|\xi|^\alpha(t_{j_{s+1}}-t_{j_s})}},
\end{align*}
оптимальный.

Если $\tau>t_{j_r}$, то метод, который сопоставляет $y$ решение уравнения в момент времени $\tau$, совпадающего в момент времени $t_{j_r}$ с $y_{j_r}\cd$, является оптимальным.
\end{theorem}

Сделаем несколько замечаний.

1. Оптимальный метод линеен и использует не более двух приближенных измерений.

2. Для нахождения этих измерений надо среди $t_{j_1}<\ldots<t_{j_r}$ найти ближайшие к $\tau$ точки излома линии $\theta\cd$.

3. В точках, не попадающих на изломы, сделанные измерения могут быть уточнены с помощью построенного оптимального метода.


\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(290,230)
\put(2,150){$0$}
\put(0,160){\vector(1,0){300}}
\put(10,25){\vector(0,1){215}}
\put(290,150){$t$}
\put(110,40){$\theta(t)$}
{\thicklines
\put(20,140){\line(1,-2){30}}
\put(50,80){\line(3,-1){60}}
\put(110,60){\line(5,-1){80}}}
\put(50,160){\line(0,-1){80}}
\put(46,166){$t_{j_s}$}
\put(50,80){\circle*{2}}
\put(110,60){\circle*{2}}
\put(106,166){$t_{j_{s+1}}$}
\put(110,160){\line(0,-1){100}}
\put(170,80){\circle*{2}}
\put(80,160){\line(0,-1){70}}
\put(76,166){$t_j$}
\put(100,150){\circle*{2}}
\put(80,90){\circle*{2}}
\put(140,120){\circle*{2}}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}


Предположим, что для некоторого $t_j$, $t_{j_s}<t_j<t_{j_{s+1}}$ и
$\delta_j>e^{\theta(t_j)}$.


Для измерения $y_j\cd$ имеем
$$\|u(t_j,\cdot)-y_j\cd\|_{\lt}\le\delta_j.$$

А оптимальный метод в точке $t_j$ дает погрешность меньшую, чем $\delta_j$
$$\|u(t_j,\cdot)-\wm(y)\|_{\ld}\le e^{\theta(t_j)}<\delta_j.$$

\section{Схема построения оптимальных методов восстановления}

Для простоты опишем схему получения оптимального метода восстановления для двух измерений в моменты $t_1=0$ и $t_2=T$.

Сначала рассматривается экстремальная задача
\begin{multline*}
\|u(\tau,\cdot)\|^2_{\ld}\to\max,\quad\|u(0,\cdot)\|^2_{\ld}=\|f\|^2_{\ld}
\le\delta_0^2,\\
\|u(T,\cdot)\|^2_{\ld}\le\delta_T^2,\quad f\in\ld.
\end{multline*}

Переходя к преобразованию Фурье и пользуясь теоремой Планшереля, приходим к следующей задаче
\begin{multline*}
\frac1{(2\pi)^d}\id e^{-2|\xi|^\alpha\tau}|Ff(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad
\frac1{(2\pi)^d}\id
|Ff(\xi)|^2\,d\xi\le\delta_0^2,\\
\frac1{(2\pi)^d}\id e^{-2|\xi|^\alpha T}|Ff(\xi)|^2\,d\xi\le\delta_T^2,\quad f\in\ld.
\end{multline*}



В этой задаче нет существования. Мы рассматриваем ее расширение, переходя к мерам:
\begin{multline*}
\id e^{-2|\xi|^\alpha\tau}\,d\mu(\xi)\to\max,\quad
\id\,d\mu(\xi)\le\delta_0^2,\\
\id e^{-2|\xi|^\alpha T}\,d\mu(\xi)\le\delta_T^2,\quad d\mu(\xi)\ge0.
\end{multline*}

Для решения этой задачи рассматривается функция Лагранжа

$$\mL(d\mu,\lambda_0,\lambda_T)=\id\left(-e^{-2|\xi|^\alpha\tau}+\lambda_0+
\lambda_Te^{-2|\xi|^\alpha T}\right)\,d\mu(\xi).$$

Затем ищется мера $d\wmu(\xi)$ и множители Лагранжа $\wl_0,\wl_T$ такие, что
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{d\mu(\xi)\ge0}\mL(d\mu,\wl_0,\wl_T)=\mL(d\wmu,\wl_0,\wl_T),\\
(b)&\quad\wl_0\left(\id\,d\wmu(\xi)-\delta_0^2\right)+\wl_T\left(\id e^{-2|\xi|^\alpha T}\,d\mu(\xi)-\delta_T^2\right)=0.
\end{align*}


Далее, для фиксированных $y_0\cd,y_T\cd\in\ld$ решается экстремальная задача
$$\wl_0\|f\cd-y_0\cd\|^2_{\ld}+\wl_T\|u(T,\cdot)-y_T\cd\|^2_{\ld}\to\min,\quad f\in\ld,$$
где $u(\cdot,\cdot)$ --- решение уравнения теплопроводности с начальным распределением температуры $f\cd$.

Если $\wf\cd$ --- решение этой задачи, то метод
$$\wm(y)\cd=\wu(\tau,\cdot),$$
в котором $\wu(\cdot,\cdot)$ --- решение уравнения теплопроводности с начальным распределением $\wf\cd$, --- оптимальный.

Рассмотрим более внимательно задачу
\begin{multline}\label{in}
\id e^{-2|\xi|^\alpha\tau}\,d\mu(\xi)\to\max,\quad
\id\,d\mu(\xi)\le\delta_0^2,\\
\id e^{-2|\xi|^\alpha T}\,d\mu(\xi)\le\delta_T^2,\quad d\mu(\xi)\ge0.
\end{multline}


Ясно, что для всех $\sigma_0,\sigma_T>0$ значение задачи
\begin{multline}\label{in1}
\id e^{-2|\xi|^\alpha\tau}\,d\mu(\xi)\to\max,\quad
\int_{|\xi|\ge\sigma_0}\,d\mu(\xi)\le\delta_0^2,\\
\int_{|\xi|\le\sigma_T}e^{-2|\xi|^\alpha T}\,d\mu(\xi)\le\delta_T^2,\quad d\mu(\xi)\ge0
\end{multline}
не меньше, чем значение задачи \eqref{in}.

В действительности, существует некоторое множество значений $\sigma_0,\sigma_T>0$, при которых значения этих задач совпадают.

Предположим, что $\delta_T<\delta_0$. Положим
\begin{align*}
\ws_0&=\begin{cases}\left(\dfrac1{2T}\log\left(\left(\dfrac\tau T\right)^{\frac T{T-\tau}}\dfrac{\delta_0^2}{\delta_T^2}\right)\right)^{1/\alpha},&\dfrac{\delta_T^2}
{\delta_0^2}<\left(\dfrac\tau T\right)^{\frac T{T-\tau}},\\
0,&\dfrac{\delta_T^2}
{\delta_0^2}\ge\left(\dfrac\tau T\right)^{\frac T{T-\tau}},\end{cases}\\
\ws_T&=\left(\dfrac1{2T}\log\left(\left(\dfrac T{T-\tau}\right)^{\frac T\tau}\dfrac{\delta_0^2}{\delta_T^2}\right)\right)^{1/\alpha}.
\end{align*}

\begin{theorem}
При всех $0\le\sigma_0\le\ws_0$ и $\sigma_T\ge\ws_T$ значения задач \eqref{in} и \eqref{in1} совпадают.
\end{theorem}

Это приводит к тому, что удается построить целое семейство оптимальных методов восстановления.

\begin{theorem}
При всех $0\le\sigma_0\le\ws_0$ и $\sigma_T\ge\ws_T$
методы 
$$\wm_{\sigma_0,\sigma_T}(y)\cd=(K_0*y_0)\cd+(K_T*y_T)\cd$$ 
оптимальны; здесь
\begin{align*}
FK_0(\xi)&=\begin{cases}0,&0\le|\xi|\le\sigma_0,\\
\dfrac{(T-\tau)\delta_T^2e^{|\xi|^\alpha(T-\tau)}}{(T-\tau)\delta_T^2e^{|\xi|^\alpha T}+
\tau\delta_0^2e^{-|\xi|^\alpha T}},&\sigma_0<|\xi|<\sigma_T,\\
e^{-|\xi|^\alpha\tau},&|\xi|\ge\sigma_T,
\end{cases}\\
FK_T(\xi)&=\begin{cases}e^{|\xi|^\alpha(T-\tau)},&0\le|\xi|\le\sigma_0,\\
\dfrac{\tau\delta_0^2e^{-|\xi|^\alpha\tau}}{(T-\tau)\delta_T^2e^{|\xi|^\alpha T}+
\tau\delta_0^2e^{-|\xi|^\alpha T}},&\sigma_0<|\xi|<\sigma_T,\\
0,&|\xi|\ge\sigma_T.\end{cases}
\end{align*}
\end{theorem}

\end{document}
%\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}

%\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
%\newcommand*{\Dss}{\Delta_{\sigma_1}}
%\newcommand*{\Dst}{\Delta_{\sigma_2}'}
%\newcommand*{\wa}{\widehat\alpha}
%\newcommand*{\wb}{\widetilde b}
%

%
%\newcommand*{\wx}{\widehat x}
%
%\newcommand*{\wy}{\widehat y}
%\newcommand*{\ov}{\overline}
%\newcommand*{\wt}{\widehat\tau}
%\newcommand*{\wv}{\widehat\varphi}
%\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
%\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}

\newcommand*{\tI}{\widetilde I}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\Wrr}{W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\Ld}{L_2(\Ds)}

\newcommand*{\WR}{\mathcal W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\WRR}{W_2^r(\Dst)}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}



\newcommand*{\WP}{\mathcal W_r^n(T)}
\newcommand*{\FF}{\mathcal F_{rp}^n}

\newcommand*{\yj}{Y_j^{(k)}}
\newcommand*{\tx}{\tilde x}
\newcommand*{\Bs}{B_\sigma(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\Bsp}{B_\sigma(\mathbb R^d)^\perp}
\newcommand*{\Ws}{W_{2,\sigma'}^r}
\newcommand*{\lf}{L_2^\psi(\mathbb R^d)}


\newcommand*{\zs}{Z_{skj}}

\newcommand*{\ys}{Y_{skj}}
\newcommand*{\sk}{\sum_{s=1}^\infty\sum_{k=0}^\infty}
\newcommand*{\ja}{\sum_{j=1}^{a_k}}
\newcommand*{\as}{a_{sk}}

\DeclareMathOperator*{\LAC}{LAC}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}

\end{document}