\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 5900
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}}
\newcommand*{\Pc}{\mathcal P}
\newcommand*{\Ac}{\mathcal A}
\newcommand*{\Hc}{\mathcal H}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\begin{document}
\bigskip

\begin{center}\bf \Large Федеральное агентство по образованию
\smallskip
\large

Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
``МАТИ'' - Российский государственный технологический
университет\\
 им. К.Э.Циолковского


\vskip50pt
\rm
Кафедра "Высшая математика"


\vskip 70pt

\bf К.~Ю.~Осипенко

\vskip20pt

Сферические гармоники, собственные функции
оператора Лапласа и задачи восстановления


\vskip 270pt
Москва  2006 г.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage

\section{Однородные многочлены}

{\it Однородным многочленом степени} $k$ в пространстве $\Rd$ называется
многочлен вида
$$P(x)=\sk c_\alpha x^\alpha,$$
где $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ --- мультииндекс, $\alpha_j\in
\mathbb Z_+$, $j=1,\ldots,d$, $|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_d$, $x^
\alpha=x_1^{\alpha_1}\ldots x_d^{\alpha_d}$, $c_\alpha\in\mathbb R$.
Обозначим через $\Pc_k$ множество всех однородных многочленов степени $k$.
Очевидно, что $\Pc_k$ --- линейное пространство.

Положим
$$D^\alpha=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial
x_d^{\alpha_d}}.$$
Если $P\in\Pc_k$, то
$$P(D)=\sk c_\alpha D^\alpha$$
--- дифференциальный оператор. В частности, если
$$P(x)=|x|^2=|x_1|^2+\ldots+|x_d|^2,$$
то $P(D)=\Delta$ --- оператор Лапласа.

Введем в пространстве $\Pc_k$ скалярное произведение, положив
$$\la P,Q\ra=P(D)Q,\quad P,Q\in\Pc_k.$$
Проверим, что введенная операция действительно является скалярным
произведением. Прежде всего заметим, что
$$D^\alpha x^\beta=\begin{cases}0,&\alpha\ne\beta,\\
\alpha!=\alpha_1!\ldots\alpha_d!,&\alpha=\beta.\end{cases}$$
Тем самым $\la P,Q\ra$ принимает скалярные значения. Линейность функции $
\la P,Q\ra$ очевидна, а из равенства
$$D^\alpha x^\beta=D^\beta x^\alpha$$
вытекает коммутативность. Поскольку
$$\la P,P\ra=\sk|c_\alpha|^2\alpha!,$$
то $\la P,P\ra=0$ в том и только в том случае, если $P=0$.

В пространстве $\Pc_k$ одночлены $x^\alpha$, $|\alpha|=k$, образуют
ортогональную систему и, следовательно, являются ортогональным базисом
этого пространства. Число таких одночленов $d_k$ равно числу различных
мультииндексов $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ таких, что $\alpha_1+
\ldots+\alpha_d=k$. Для нахождения этого числа рассмотрим $d+k-1$ урну,
выберем наудачу $d-1$ урну, а в остальные положим по одному шару.
\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,43)
\put(20,20){\circle*{6}}
\put(26,20){$\ldots$}
\put(45,20){\circle*{6}}
\put(65,20){\circle{6}}
\put(85,20){\circle*{6}}
\put(91,20){$\ldots$}
\put(110,20){\circle*{6}}
\put(130,20){\circle{6}}
\put(150,20){\circle*{6}}
\put(156,20){$\ldots\ \ldots$}
\put(195,20){\circle*{6}}
\put(215,20){\circle{6}}
\put(235,20){\circle*{6}}
\put(241,20){$\ldots$}
\put(260,20){\circle*{6}}
\put(62,28){$1$}
\put(127,28){$2$}
\put(202,28){$d-1$}
\put(28,0){$\alpha_1$}
\put(92,0){$\alpha_2$}
\put(166,0){$\ldots$}
\put(242,0){$\alpha_d$}
\end{picture}$$
\caption{}
\end{figure}
Нетрудно убедиться. что число $d_k$ равно числу способов выбора $d-1$ урны
из $k+d-1$ урн, т.е.
$$d_k=C_{d+k-1}^{d-1}=\frac{(d+k-1)!}{(d-1)!k!}.$$

\section{Однородные гармонические многочлены}

{\it Однородными гармоническими многочленами степени} $k$ называются такие
многочлены $P\in\Pc_k$, что $\Delta P=0$. Множество однородных
гармонических многочленов степени $k$ обозначим через $\Ac_k$. Ясно, что $
\Ac_k\subset\Pc_k$.

\begin{theorem}\label{T1}
Всякий многочлен $P\in\Pc_k$ представим в виде
\begin{equation}\label{*}
P(x)=P_0(x)+|x|^2P_1(x)+\ldots+|x|^{2l}P_l(x),
\end{equation}
где $P_j\in\Ac_{k-2j}$, $j=0,\ldots,l$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Будем считать, что $k\ge2$ (при $k=0,1$ \ $\Pc_k=\Ac_k$). Рассмотрим
линейное подпространство
$$|x|^2\Pc_{k-2}=\{\,P\in\Pc_k:P(x)=|x|^2Q(x),\ Q\in\Pc_{k-2}\,\}.$$
Докажем, что его ортогональным дополнением является $\Ac_k$. Пусть $P_1\in
\Pc_k$ и для всех $Q\in\Pc_{k-2}$
\begin{equation}\label{11}
\la R,P_1\ra=0,
\end{equation}
где $R(x)=|x|^2Q(x)$. Но
\begin{equation}\label{1}
\la R,P_1\ra=\Delta Q(D)P_1=Q(D)\Delta P_1=\la Q,\Delta P_1\ra.
\end{equation}
Выберем $Q\in\Pc_{k-2}$ так, чтобы $Q=\Delta P_1$. Из \eqref1 вытекает, что
$$\la\Delta P_1,\Delta P_1\ra=0.$$
Следовательно, $\Delta P_1=0$ и $P_1\in\Ac_k$. Из \eqref1 вытекает также,
что верно и обратное, т.е. если $\Delta P_1=0$, то для всех $Q\in\Pc_{k-2}$
выполняется равенство \eqref{11}. Итак, доказано, что
\begin{equation}\label{dim}
\Pc_k=\Ac_k\oplus|x|^k\Pc_{k-2}.
\end{equation}

Пусть $P\in\Pc_k$. Тогда найдутся такие однородные многочлены $P_0\in\Ac_k$
и $Q_1\in\Pc_{k-2}$, что
$$P(x)=P_0(x)+|x|^2Q_1(x).$$
Если $k\ge4$, то можно в аналогичном виде представить $Q_1$
$$Q_1(x)=P_1(x)+|x|^2Q_2(x),\quad P_1\in\Ac_{k-2},\quad Q_1\in\Pc_{k-4}.$$
Тем самым
$$P(x)=P_0(x)+|x|^2P_1(x)+|x|^4Q_1(x).$$
Продолжая этот процесс, приходим к представлению \eqref*.
\end{proof}

\begin{corollary}
При всех $k\ge2$
\begin{equation}\label{dim1}
a_k=\dim\Ac_k=d_k-d_{k-2}=(d+2k-2)\frac{(d+k-3)!}{(d-2)!k!}.
\end{equation}
\end{corollary}

\begin{proof}
Из \eqref{dim} имеем
$$d_k=\dim\Pc_k=\dim\Ac_k+\dim|x|^k\Pc_{k-2}=\dim\Ac_k+d_{k-2}.$$
Отсюда следует \eqref{dim1}.
\end{proof}

В силу того, что $\Ac_k=\Pc_k$ при $k=0,1$, имеем
$$a_0=\dim\Ac_0=1,\quad a_1=\dim\Ac_1=d.$$

\section{Сферические гармоники}

Множество многочленов из $\Ac_k$, суженное на сферу
$$\Sd=\{\,x\in\Rd:|x|=1\,\}$$
называется {\it сферическими гармониками порядка} $k$ и обозначается через
$\Hc_k$. Рассмотрим сужение $Y$ многочлена $P\in\Ac_k$ (при $x'\in\Sd$ \ $Y
(x')=P(x')$). В силу однородности $P(x)=|x|^kY(x/|x|)$ при $x\ne0$. Тем
самым рассматриваемое сужение является изоморфизмом. Поэтому
$$\dim\Hc_k=\dim\Ac_k=a_k.$$

\begin{theorem}\label{T2}
Множество всех конечных линейных комбинаций из $\cup_{k=0}^\infty\Hc_k$
плотно в $L_2(\Sd)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Так как пространство непрерывных функций плотно в $L_2(\Sd)$, достаточно
доказать, что любая непрерывная функция может быть приближена конечными
линейными комбинациями из $\cup_{k=0}^\infty\Hc_k$. По теореме Вейерштрасса
любая непрерывная функция может быть приближена в норме $L_\infty(\Sd)$ (а
значит, и в норме $L_2(\Sd)$) многочленами, суженными на $\Sd$. В силу
теоремы~\ref{T1} эти сужения являются конечными линейными комбинациями
элементов из $\cup_{k=0}^\infty\Hc_k$.
\end{proof}

\begin{theorem}
Пусть $Y^{(k)}\in\Hc_k$ и $Y^{(l)}\in\Hc_l$. Тогда
$$\int_{\Sd}Y^{(k)}(x')Y^{(l)}(x')dx'=0.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим при $x\ne0$
$$u(x)=|x|^kY^{(k)}\left(\frac x{|x|}\right),\quad v(x)=|x|^lY^{(l)}\left(
\frac x{|x|}\right).$$
Если $x=0$ и $k\ne0$, положим $u(0)=0$. При $k=0$ \ $Y^{(k)}\equiv C$,
поэтому в этом случае полагаем $u(0)=C$. Аналогично доопределяется значение
$v$ в нуле. Вектор $n=(x_1,\ldots,x_d)$ при $x=(x_1,\ldots,x_d)\in\Sd$
является единичным вектором внешней нормали к $\Sd$ в точке $x$. При всех $
x\in\Sd$
\begin{equation}\label{od}
(\grad u(x),n)=\sum_{j=1}^dx_j\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}=ku(x)
\end{equation}
(здесь $(\cdot,\cdot)$ --- стандартное скалярное произведение в $\Rd$).
Аналогично получаем, что для всех $x\in\Sd$
$$(\grad v(x),n)=lv(x).$$
Пользуясь формулой Гаусса
$$\int_{\Sd}(F(x'),n)\,dx'=\int_{\Bd}\Div F(x)\,dx,$$
где
$$\Bd=\{\,x\in\Rd:|x|<1\,\},$$
получаем
\begin{multline*}
(k-l)\int_{\Sd}u(x')v(x')\,dx'\\
=\int_{\Sd}(v(x')\grad u(x')-u(x')\grad v(x'),n)\,dx'\\
=\int_{\Bd}\Div((v(x')\grad u(x')-u(x')\grad v(x'))\,dx\\
=\int_{\Bd}\sum_{j=1}^d\frac\partial{\partial x_j}\left(v(x)\frac{\partial
u(x)}{\partial x_j}-u(x)\frac{\partial v(x)}{\partial x_j}\right)\,dx\\
=\int_{\Bd}(v(x)\Delta u(x)-u(x)\Delta v(x))\,dx=0.
\end{multline*}
Таким образом,
$$\int_{\Sd}Y^{(k)}(x')Y^{(l)}(x')dx'=\int_{\Sd}u(x')v(x')\,dx'=0.$$
\end{proof}

Будем рассматривать $\Hc_k$ как подпространство $L_2(\Sd)$ со скалярным
произведением
$$(f,g)_{L_2(\Sd)}=\int_{\Sd}f(x')g(x')\,dx'.$$
Пусть $Y_1^{(k)},\ldots,Y_{a_k}^{(k)}$ --- ортонормированный базис в $\Hc_k
$. Тогда из теоремы~\ref{T2} вытекает, что система однородных сферических
гармоник $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, является
ортонормированным базисом в $L_2(\Sd)$. Тем самым для любой функции $f\in L
_2(\Sd)$ имеет место равенство
$$f=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)},$$
где
$$c_{kj}=(f,Y_j^{(k)})_{L_2(\Sd)}=\int_{\Sd}f(x')Y_j^{(k)}(x')\,dx'.$$


\section{Зональные гармоники}

Пусть $Y_1^{(k)},\ldots,Y_{a_k}^{(k)}$ --- ортонормированный базис в $\Hc_k
$. Зафиксируем $x'\in\Sd$. Сферическая гармоника
$$Z_{x'}^{(k)}(t')=\sum_{j=1}^{a_k}Y_j^{(k)}(x')Y_j^{(k)}(t')$$
называется {\it зональной гармоникой степени $k$ с полюсом в точке} $x'$.

\begin{lemma}
Для любых $Y\in\Hc_k$
$$Y(x')=(Y,Z_{x'}^{(k)})_{L_2(\Sd)}.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Имеем
$$(Y,Z_{x'}^{(k)})_{L_2(\Sd)}=\sum_{j=1}^{a_k}Y_j^{(k)}(x')(Y,Y_j^{(k)})_{L
_2(\Sd)}=Y(x').$$
\end{proof}

{\it Вращением\/} называется линейное преобразование $\rho\colon\Rd\to\Rd$
такое, что
\begin{enumerate}
\item для всех $x,y\in\Rd$ \ $(\rho x,\rho y)=(x,y)$;
\item $\det\rho=1$.
\end{enumerate}

\begin{lemma}\label{L2}
Если $\rho$ --- вращение, то
$$Z_{\rho x'}^{(k)}(\rho t')=Z_{x'}^{(k)}(t').$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Сделав замену переменных $w'=\rho t'$, для всех $Y\in\Hc_k$ будем иметь
\begin{multline*}
\int_{\Sd}Z_{\rho x'}^{(k)}(\rho t')Y(t')\,dt'=\int_{\Sd}Z_{\rho x'}^{(k)}(
w')Y(\rho^{-1}w')\,dw'\\
=Y(\rho^{-1}(\rho x'))=Y(x')=\int_{\Sd}Z_{x'}^{(k)}(t')Y(t')\,dt'.
\end{multline*}
Отсюда следует, что функции $Z_{\rho x'}^{(k)}(\rho t')$ и $Z_{x'}^{(k)}(t'
)$ совпадают.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L3}
Для всех $x'\in\Sd$
$$\sum_{j=1}^{a_k}|Y_j^{(k)}(x')|^2=\frac{a_k}{\omega_{d-1}},$$
где
$$\omega_{d-1}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$$
--- площадь сферы $\Sd$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $x_1$ и $x_2$ --- произвольные точки на $\Sd$. Существует вращение $
\rho$ такое, что $x_2=\rho x_1$. Тогда из леммы~\ref{L2}
$$Z_{x_2}^{(k)}(x_2)=Z_{\rho x_1}^{(k)}(\rho x_1)=Z_{x_1}^{(k)}(x_1).$$
Следовательно, при всех $x'\in\Sd$
$$Z_{x'}^{(k)}(x')=c.$$
Из определения зональных гармоник
$$\sum_{j=1}^{a_k}|Y_j^{(k)}(x')|^2=Z_{x'}^{(k)}(x')=c.$$
В силу ортонормированности системы $Y_1^{(k)},\ldots,Y_{a_k}^{(k)}$ имеем
$$c\omega_{d-1}=\int_{\Sd}\sum_{j=1}^{a_k}|Y_j^{(k)}(x')|^2\,dx'=a_k.$$
Отсюда
$$c=\frac{a_k}{\omega_{d-1}}.$$
\end{proof}

\section{Задача Дирихле}

Классическая задача Дирихле для единичного шара в $\Rd$ состоит в
нахождении функции, непрерывной при $|x|\le1$ и гармонической при $|x|<1$,
совпадающей на границе с заданной непрерывной функцией $f(x)$. Хорошо
известно, что решение этой задачи существует, единственно и дается {\it
интегралом Пуассона}
$$u(x)=\int_{\Sd}p(s,x)f(s)\,ds,$$
где
$$p(s,x)=\frac1{\omega_{d-1}}\frac{1-|x|^2}{|x-s|^d}$$
--- {\it ядро Пуассона для единичного шара}.

Пусть $f\in L_2(\Sd)$. Рассмотрим следующую задачу Дирихле: найти функцию $
u$, гармоническую внутри единичного шара, для которой
$$\lim_{r\to1-0}\int_{\Sd}|u(rx')-f(x')|^2\,dx'=0.$$

Пусть $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, --- ортонормированный
базис в $L_2(\Sd)$. Тогда
$$f(x')=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(x')$$
и
$$\|f\|_{L_2(\Sd)}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2.$$

Докажем, что функция
\begin{equation}\label{R}
u(x)=\sum_{k=0}^\infty|x|^k\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}\left(\frac x{|
x|}\right)
\end{equation}
(доопределенная в нуле по непрерывности) является решением поставленной
задачи.

Из леммы~\ref{L3} вытекает, что при всех $x$
$$\left|Y_j^{(k)}\left(\frac x{|x|}\right)\right|\le\sqrt{\frac{a_k}{\omega
_{d-1}}}.$$
Тем самым при всех $x$ таких, что $|x|\le r$, $0<r<1$,
$$|x|^k\left|Y_j^{(k)}\left(\frac x{|x|}\right)\right|\le r^k\sqrt{\frac{a_
k}{\omega_{d-1}}}.$$
Из того, что ряд
$$\sum_{k=0}^\infty r^ka_k\sqrt{\frac{a_k}{\omega_{d-1}}}$$
сходится вытекает равномерная сходимость ряда \eqref{R} на множестве $|x|
\le r$ при всех $0<r<1$. Тем самым $u(x)$ --- гармоническая функция при $|x
|<1$.

При всех $0<r<1$
$$u(rx')-f(x')=\sum_{k=0}^\infty(r^k-1)\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(x').
$$
Поэтому
$$a(r)=\|u(rx')-f(x')\|^2_{L_2(\Sd)}=\sum_{k=0}^\infty(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{
a_k}|c_{kj}|^2.$$
Пусть задано $\varepsilon>0$. Выберем $N$ так, чтобы
$$\sum_{k=N}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2<\varepsilon.$$
Тогда
$$a(r)<\sum_{k=0}^N(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2+\varepsilon.$$
Из того, что
$$\lim_{r\to1-0}\sum_{k=0}^N(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2=0,$$
вытекает существование $r_\varepsilon\in(0,1)$ такого, что для всех $r\in(r
_\varepsilon,1)$
$$\sum_{k=0}^N(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2<\varepsilon.$$
Тем самым $a(r)<2\varepsilon$. Отсюда следует, что
$$\lim_{r\to1-0}\|u(rx')-f(x')\|^2_{L_2(\Sd)}=\lim_{r\to1-0}a(r)=0.$$

Докажем единственность решения поставленной задачи Дирихле. Для этого
достаточно доказать, что гармонической внутри единичного шара функция $u$
при выполнении условия
\begin{equation}\label{A}
\lim_{r\to1-0}\|u(rx')\|_{L_2(\Sd)}=0
\end{equation}
тождественно равна нулю.

Если $|x|=r<1$, то
$$p(s,x)\le\frac1{\omega_{d-1}(1-r)^{d-1}}.$$
Зафиксируем $x_0$, $|x_0|=r_0<1$. Функция $u(rx)$ при всех $r<1$ является
гармонической в единичном шаре и непрерывной при $|x|\le r$. Поэтому ее
можно представить в виде
$$u(rx)=\int_{\Sd}p(s,x)u(rs)\,ds.$$
Тем самым
$$u(x_0)=\int_{\Sd}p\left(s,\frac{x_0}r\right)u(rs)\,ds.$$
Отсюда
$$|u(x_0)|\le\frac1{\omega_{d-1}}\left(1-\frac{r_0}r\right)^{1-d}\int_{\Sd}
|u(rs)|\,ds.$$
Для $r$ достаточно близких к единице, пользуясь неравенством
Коши--Буняковского, получаем
$$|u(x_0)|\le\frac2{\sqrt{\omega_{d-1}}(1-r_0)^{d-1}}\|u(rs\|_{L_2(\Sd)}.$$
Из условия \eqref{A} вытекает, что $u(x_0)=0$.


\section{Собственные функции оператора Лапласа--Бельтрами}

{\it Сферический лапласиан\/} или {\it оператор Лапласа--Бельтрами\/} $
\Delta_S$ определяется для функций, заданных на единичной сфере, следующим
образом
$$\Delta_SY(x')=\Delta Y\left(\frac x{|x|}\right)_{\big|x=x'}.$$

\begin{proposition}
Пусть $Y^{(k)}\in\Hc_k$. Тогда
$$\Delta_SY^{(k)}=-\Lambda_kY^{(k)},$$
где
$$\Lambda_k=k(k+d-2).$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Имеем
\begin{multline*}
\Delta_SY^{(k)}=\Delta(|x|^{-k}Y^{(k)}(x))=Y^{(k)}\Delta(|x|^{-k})+|x|^{-k}
\Delta Y^{(k)}\\
+2\sum_{j=1}^d\frac\partial{\partial x_j}|x|^{-k}\frac\partial{\partial x_j
}Y^{(k)}=Y^{(k)}\Delta(|x|^{-k})-\frac{2k}{|x|^{k+2}}\sum_{j=1}^dx_j\frac
\partial{\partial x_j}Y^{(k)}\\
=(\Delta(|x|^{-k})-2k^2|x|^{-k-2})Y^{(k)}.
\end{multline*}
Остается воспользоваться легко проверяемым равенством
$$\Delta(|x|^{-k})=(k^2+2k-dk)|x|^{-k-2}.$$
\end{proof}

Пусть $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, --- ортонормированный
базисом в $L_2(\Sd)$. Для $\alpha>0$ оператор $(-\Delta_S)^{\alpha/2}$
определяется равенством
$$(-\Delta_S)^{\alpha/2}Y=\sum_{k=1}^\infty\Lambda_k^{\alpha/2}\sum_{j=1}^{
a_k}c_{kj}Y_j^{(k)},$$
где
$$Y=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}.$$

Пусть $f\in L_2(\Sd)$. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию $u(x',t)
$, $x'\in\Sd$, удовлетворяющую при $t>0$ уравнению
\begin{equation}\label{Tep}
u_t+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,
\end{equation}
для которой
\begin{equation}\label{cond}
\lim_{t\to0}\int_{\Sd}|u(x',t)-f(x')|^2\,dx'=0.
\end{equation}
Отметим, что при $\alpha=2$ уравнение \eqref{Tep} переходит в уравнение
теплопроводности.

Пусть $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, --- ортонормированный
базис в $L_2(\Sd)$ и
$$f(x')=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(x').$$
Тогда, используя метод Фурье и рассуждения аналогичные тем, которые
приводились для задачи Дирихле, можно показать,
что решением поставленной задачи является функция
$$u(x',t)=\sum_{k=0}^\infty e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}t}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj
}Y_j^{(k)}(x').$$

Пусть теперь заданы две функции $f_0,f_1\in L_2(\Sd)$. Можно рассмотреть
задачу о нахождении функции $u(x',t)$, $x'\in\Sd$, удовлетворяющую при $t>0
$ уравнению
\begin{equation}\label{V}
u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,
\end{equation}
для которой
\begin{align*}
u_{\big|t=0}&=f_0,\\
{u_t}_{\big|t=0}&=f_1.
\end{align*}
Начальные условия здесь также следует понимать в смысле равенства \eqref
{cond}. При $\alpha=2$ уравнение \eqref{V} переходит в волновое уравнение.
Применение метода Фурье дает решение этой задачи в виде
\begin{multline*}
u(x',t)=c_{00}^{(0)}+c_{00}^{(1)}t\\
+\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\left(c_{kj}^{(0)}\cos\Lambda_k^{\alpha/4
}t+\frac{c_{kj}^{(1)}}{\Lambda_k^{\alpha/4}}\sin\Lambda_k^{\alpha/4}t\right
)Y_j^{(k)}(x'),
\end{multline*}
где
$$f_i(x')=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}^{(i)}Y_j^{(k)}(x'),\quad
i=0,1.$$

Рассмотрим еще одну задачу. Пусть $f\in L_2(\Sd)$. Требуется найти решение
уравнения
$$(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=f.$$
Решение этой задачи может быть записано в виде
$$u(x')=\sum_{k=0}^\infty\Lambda_k^{-\alpha/2}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k
)}(x'),$$
где $c_{kj}$ --- коэффициенты Фурье функции $f$.

\section{Собственные функции оператора Лапласа в шаре}

Пусть $Y\in\Ac_k$. Будем искать собственные функции оператора Лапласа в
виде
$$u(x)=F(r)Y(x),\quad r=|x|.$$
Имеем
$$\Delta u=Y\Delta F+2\sum_{j=1}^d\frac{\partial F}{\partial x_j}\frac{
\partial Y}{\partial x_j}.$$
В силу того, что
$$\frac{\partial F}{\partial x_j}=F'(r)\frac{x_j}r,$$
используя однородность $Y$ (см.~\eqref{od}), получаем
$$\Delta u=Y\Delta F+2kY\frac{F'(r)}r.$$
Из того, что функция $u$ должна быть собственной, т.е. при некотором $
\lambda$ должно иметь место равенство
$$\Delta u=-\lambda u,$$
получаем уравнение на $F$
\begin{equation}\label{FF}
\Delta F+2k\frac{F'(r)}r+\lambda F(r)=0.
\end{equation}
Имеем
\begin{multline*}
\Delta F=\sum_{j=1}^d\frac\partial{\partial x_j}\left(F'(r)\frac{x_j}r
\right)=\sum_{j=1}^d\left(\left(\frac{F'(r)}r\right)'\frac{x_j^2}r+\frac{F'
(r)}r\right)\\
=\left(\frac{F'(r)}r\right)'r+\frac drF'(r)=F''(r)+\frac{d-1}rF'(r).
\end{multline*}
Тем самым уравнение \eqref{FF} принимает вид
$$F''(r)+\frac{2k+d-1}rF'(r)+\lambda F(r)=0.$$

Положим
$$F(r)=f(r)r^{-p},\quad p=k+\frac{d-2}2.$$
Тогда для функции $f$ получим уравнение
$$r^2f''(r)+rf'(r)+(\lambda r^2-p^2)f(r)=0.$$
Положив $y(t)=f(t/\sqrt\lambda)$, для функции $y$ получим уравнение
$$t^2y''(t)+ty'(t)+(t^2-p^2)y(t)=0,$$
которое является уравнением Бесселя $p$-го порядка. Пусть $J_p(x)$ ---
функция Бесселя первого рода $p$-го порядка (являющаяся решением этого
уравнения).

Тогда функции
$$\frac{J_p(r)}{r^{d/2-1}}Y(x'),\quad p=k+d/2-1,\quad x'=\frac x
r,$$
где $\mu_s^{(p)}$ --- $s$-й корень функции Бесселя $J_p$, при всех $Y\in\Hc
_k$ являются собственными функциями оператора Лапласа, равными нулю на $\Sd
$, отвечающие собственным значениям $-(\mu_s^{(p)})^2$. Выбрав
ортонормированный базис в $L_2(\Sd)$ \ $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,
\ldots,a_k$, получаем ортогональную систему собственных функций
\begin{multline*}
Z_{ksj}(x)=\frac{J_p(\mu_s^{(p)}r)}{r^{d/2-1}}Y_j^{(k)}(x'),\\
k=0,1,\ldots,\ s=1,2,\ldots,\ j=1,\ldots,a_k.
\end{multline*}
Эта система является базисом в $L_2(\Bd)$. Ее можно ортонормировать,
положив
$$Y_{ksj}(x)=\frac1{\|Z_{ksj}\|_{L_2(\Bd)}}Z_{ksj}(x).$$
Нетрудно убедиться, что
$$\|Z_{ksj}\|_{L_2(\Bd)}^2=\int_0^1J_p^2(\mu_s^{(p)}r)r\,dr.$$

Пусть $f\in L_2(\Bd)$ и
$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x).
$$
Определим оператор $(-\Delta)^{\alpha/2}$ следующим образом:
$$(-\Delta)^{\alpha/2}f=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty(\mu_s^{(p)})^
\alpha\sum_{j=1}^{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x).$$

Рассмотрим ряд задач, аналогичных тем, которые были рассмотрены для
сферического лапласиана.

1. Обобщенная задача Пуассона. Пусть $f\in L_2(\Bd)$. Требуется найти
функцию $u(x)$, удовлетворяющую уравнению
$$(-\Delta)^{\alpha/2}u=f$$
и граничному условию
$$u_{\big|x\in\Sd}=0.$$
Решение этой задачи дается равенством
$$u(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty(\mu_s^{(p)})^{-\alpha}\sum_{j=1}^
{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x),$$
где $c_{ksj}$ --- коэффициенты Фурье функции $f$.

2. Обобщенное уравнение теплопроводности. Пусть $f\in L_2(\Bd)$. Требуется
найти функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую уравнению
$$u_t+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0$$
с начальным условием
$$u_{\big|t=0}=f$$

Решение этой задачи дается равенством
$$u(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty e^{-(\mu_s^{(p)})^\alpha}\sum_{j=
1}^{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x),$$
где $c_{ksj}$ --- коэффициенты Фурье функции $f$.

3. Обобщенное волновое уравнение. Пусть $f_0, f_1\in L_2(\Bd)$. Требуется
найти функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую уравнению
$$u_{tt}+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0$$
с начальными условиями
\begin{align*}
u_{\big|t=0}&=f_0,\\
{u_t}_{\big|t=0}&=f_1,
\end{align*}
и граничным условием
$$u_{\big|x\in\Sd}=0.$$
Решение этой задачи дается равенством
$$u(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\left(c_{ksj}^{(0)
}\cos(\mu_s^{(p)})^{\alpha/2}t+\frac{c_{ksj}^{(1)}}{(\mu_s^{(p)})^{\alpha/2
}}\sin(\mu_s^{(p)})^{\alpha/2}t\right)Y_{ksj}(x),$$
где $c_{ksj}^{(i)}$ --- коэффициенты Фурье функции $f_i$, $i=0,1$.

\section{Задачи восстановления на сфере}

{\it Соболевским классом} $W_2^\alpha(\Sd)$ называется множество функций $f
\in L_2(\Sd)$, для которых
$$\|(-\Delta_S)^{\alpha/2}f\|_{L_2(\Sd)}\le1.$$

\medskip


1. Восстановить решение уравнения
$$(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=f$$
по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функции $f$ на
классе $W_2^\beta(\Sd)$. Более точно, найти величину
$$E_{Np}^{(1)}(\alpha,W_2^\beta(\Sd),\delta)=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L
_2(\Sd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Sd),\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N
}\le\delta}}\|u-\varphi(y)\|_{L_2(\Sd)}$$
и метод, на котором достигается нижняя грань (здесь $I_Nf=\{c_{kj}\}$, $k=0
,1,\ldots,n$, $j=1,\ldots,a_k$, $N=a_0+\ldots+a_n$, $c_{kj}$ ---
коэффициенты Фурье $f$, $p=2,\infty$).
\medskip

2. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
u_t+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\
u_{\big|t=0}=f,
\end{gather*}
в момент времени $\tau$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов
Фурье функции $f$ на классе $W_2^\beta(\Sd)$, т.е. найти величину
\begin{multline*}
E_{Np}^{(2)}(\tau,\alpha,W_2^\beta(\Sd),\delta)\\
=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L_2(\Sd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Sd),
\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(y)\|_{L_
2(\Sd)}
\end{multline*}
и соответствующий оптимальный метод восстановления ($p=2,\infty$).
\medskip

3. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
u_t+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\
u_{\big|t=0}=f,
\end{gather*}
в момент времени $\tau$ по неточно заданным решениям в моменты времени $t=0
$ и $t=T$, т.е. найти величину
\begin{multline*}
E_T^{(3)}(\alpha,L_2(\Sd),\delta_0,\delta_T)\\
=\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f,y_0,y_T\in L_2(\Sd)\\\|f-y_0\|_{L_2(\Sd)}
\le\delta_0\\\|u(\cdot,T)-y_T\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_T}}\|u(\cdot,\tau)-
\varphi(y_0,y_T)\|_{L_2(\Sd)},
\end{multline*}
где $\varphi\colon L_2(\Sd)\times L_2(\Sd)\to L_2(\Sd)$, и соответствующий
оптимальный метод восстановления.

\medskip

4. Восстановления решения задачи
\begin{gather*}
u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\
\begin{aligned}
u_{\big|t=0}&=f_0,\\
{u_t}_{\big|t=0}&=f_1,
\end{aligned}
\end{gather*}
в момент времени $\tau$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов
Фурье функций $f_0$ и $f_1$ на классах $W_2^{\beta_1}(\Sd)$, $W_2^{\beta_2}
(\Sd)$ соответственно, т.е. найти величину
\begin{multline*}
E_{Np}^{(4)}(\tau,\alpha,W_2^{\beta_1}(\Sd),W_2^{\beta_2}(\Sd),\delta_0,
\delta_1)\\
=\inf_{\varphi\colon l_p^N\times l_p^N\to L_2(\Sd)}\sup_{\substack{f_i\in W
_2^{\beta_i}(\Sd),\ y_i\in l_p^N,\ i=1,2\\\|I_Nf_i-y_i\|_{l_p^N}\le\delta_i
,\ i=1,2}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(y_0,y_1)\|_{L_2(\Sd)}
\end{multline*}
и соответствующий оптимальный метод восстановления ($p=2,\infty$). Частные
случаи этой задачи, когда одна из функций $f_0$ или $f_1$ фиксирована, в
частности, равна нулю.

\medskip

5. Аналог постановки в п.3 для задачи
\begin{gather*}
u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\
\begin{aligned}
u_{\big|t=0}&=f_0,\\
{u_t}_{\big|t=0}&=f_1.
\end{aligned}
\end{gather*}
Здесь много вариантов постановок. Например (не самый общий), следующий:
восстановить решение задачи в момент времени $\tau$ по неточно заданным
решениям в моменты времени $t=0$ и $t=T$, если известно, что $f_1=0$, т.е.
найти величину
\begin{multline*}
E_T^{(5)}(\alpha,L_2(\Sd),\delta_0,\delta_T)\\
=\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f_0,y_0,y_T\in L_2(\Sd)\\\|f_0-y_0\|_{L_2(
\Sd)}\le\delta_0\\\|u(\cdot,T)-y_T\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_T}}\|u(\cdot,\tau)
-\varphi(y_0,y_T)\|_{L_2(\Sd)},
\end{multline*}
где $\varphi\colon L_2(\Sd)\times L_2(\Sd)\to L_2(\Sd)$, и соответствующий
оптимальный метод восстановления.

\section{Задачи восстановления в шаре}

{\it Соболевским классом} $W_2^\alpha(\Bd)$ называется множество функций $f
\in L_2(\Bd)$, для которых
$$\|(-\Delta)^{\alpha/2}f\|_{L_2(\Bd)}\le1.$$

\medskip

6. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
\Delta u=0,\\
u_{\big|\Sd}=f
\end{gather*}
по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функции $f$ на
классе $W_2^\beta(\Sd)$. Более точно, найти величину
$$E_{Np}^{(6)}(\alpha,W_2^\beta(\Sd),\delta)=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L
_2(\Bd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Sd),\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N
}\le\delta}}\|u-\varphi(y)\|_{L_2(\Bd)}$$
и метод, на котором достигается нижняя грань ($p=2,\infty$).

\medskip

7. Теорема о трех сферах. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
\Delta u=0,\\
u_{\big|\Sd}=f
\end{gather*}
на сфере радиуса $r$ по неточно заданным решениям на сферах радиусов $r_1$
и $r_2$, $r_1<r<r_2$. Здесь требуется найти величину
\begin{multline*}
E_{r_1,r_2}^{(7)}(r,L_2(\Sd),\delta_1,\delta_2)\\
=\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f,y_1,y_2\in L_2(\Sd)\\\bigl\|u_{\big||x|=r_
i}-y_i\bigr\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_i,\ i=1,2}}\|u_{\big||x|=r}-\varphi(y_1,
y_2)\|_{L_2(\Sd)},
\end{multline*}
где $\varphi\colon L_2(\Sd)\times L_2(\Sd)\to L_2(\Sd)$, и соответствующий
оптимальный метод восстановления.

\medskip

8. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
(-\Delta)^{\alpha/2}u=f,\\
u_{\big|\Sd}=0,
\end{gather*}
по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функции $f$ на
классе $W_2^\beta(\Bd)$. Более точно, найти величину
$$E_{Np}^{(8)}(\alpha,W_2^\beta(\Bd),\delta)=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L
_2(\Bd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Bd),\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N
}\le\delta}}\|u-\varphi(y)\|_{L_2(\Bd)}$$
и метод, на котором достигается нижняя грань (здесь $I_Nf=\{c_{ksj}\}$, $k=
0,1,\ldots,n$, $s=1,\ldots,s_0$, $j=1,\ldots,a_k$, $N=(a_0+\ldots+a_n)s_0$,
$c_{ksj}$ --- коэффициенты Фурье $f$, $p=2,\infty$).

\medskip

9. Теорема о трех сферах для неоднородного уравнения. Восстановить решение
задачи
\begin{gather*}
(-\Delta)^{\alpha/2}u=f,\\
u_{\big|\Sd}=0
\end{gather*}
на сфере радиуса $r$ по неточно заданным решениям на сферах радиусов $r_1$
и $r_2$, $r_1<r<r_2$. Здесь требуется найти величину
\begin{multline*}
E_{r_1,r_2}^{(9)}(r,L_2(\Sd),\delta_1,\delta_2)\\
=\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f\in L_2(\Bd),\ y_1,y_2\in L_2(\Sd)\\\bigl\|
u_{\big||x|=r_i}-y_i\bigr\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_i,\ i=1,2}}\|u_{\big||x|=r}
-\varphi(y_1,y_2)\|_{L_2(\Sd)},
\end{multline*}
где $\varphi\colon L_2(\Sd)\times L_2(\Sd)\to L_2(\Sd)$, и соответствующий
оптимальный метод восстановления.

10. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
u_t+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0,\\
\begin{aligned}
u_{\big|t=0}&=f,\\
u_{\big|\Sd}&=0,
\end{aligned}
\end{gather*}
в момент времени $\tau$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов
Фурье функции $f$ на классе $W_2^\beta(\Bd)$, т.е. найти величину
\begin{multline*}
E_{Np}^{(10)}(\tau,\alpha,W_2^\beta(\Bd),\delta)\\
=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L_2(\Bd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Bd),
\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(y)\|_{L_
2(\Bd)}
\end{multline*}
и соответствующий оптимальный метод восстановления ($p=2,\infty$).

\medskip

11. Восстановить решение задачи
\begin{gather*}
u_t+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0,\\
\begin{aligned}
u_{\big|t=0}&=f,\\
u_{\big|\Sd}&=0,
\end{aligned}
\end{gather*}
в момент времени $\tau$ по неточно заданным решениям в моменты времени $t=0
$ и $t=T$, т.е. найти величину
\begin{multline*}
E_T^{(11)}(\alpha,L_2(\Bd),\delta_0,\delta_T)\\
=\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f,y_0,y_T\in L_2(\Bd)\\\|f-y_0\|_{L_2(\Bd)}
\le\delta_0\\\|u(\cdot,T)-y_T\|_{L_2(\Bd)}\le\delta_T}}\|u(\cdot,\tau)-
\varphi(y_0,y_T)\|_{L_2(\Bd)},
\end{multline*}
где $\varphi\colon L_2(\Bd)\times L_2(\Bd)\to L_2(\Bd)$, и соответствующий
оптимальный метод восстановления.

\medskip

12. Восстановления решения задачи
\begin{gather*}
u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\
\begin{aligned}
u_{\big|t=0}&=f_0,\\
{u_t}_{\big|t=0}&=f_1,\\
u_{\big|\Sd}&=0,
\end{aligned}
\end{gather*}
в момент времени $\tau$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов
Фурье функций $f_0$ и $f_1$ на классах $W_2^{\beta_1}(\Bd)$, $W_2^{\beta_2}
(\Bd)$ соответственно, т.е. найти величину
\begin{multline*}
E_{Np}^{(12)}(\tau,\alpha,W_2^{\beta_1}(\Bd),W_2^{\beta_2}(\Bd),\delta_0,
\delta_1)\\
=\inf_{\varphi\colon l_p^N\times l_p^N\to L_2(\Bd)}\sup_{\substack{f_i\in W
_2^{\beta_i}(\Bd),\ y_i\in l_p^N,\ i=1,2\\\|I_Nf_i-y_i\|_{l_p^N}\le\delta_i
,\ i=1,2}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(y_0,y_1)\|_{L_2(\Bd)}
\end{multline*}
и соответствующий оптимальный метод восстановления ($p=2,\infty$). Частные
случаи этой задачи, когда одна из функций $f_0$ или $f_1$ фиксирована, в
частности, равна нулю.

\medskip

13. Аналог постановки в п.5 для задачи
\begin{gather*}
u_{tt}+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0,\\
\begin{aligned}
u_{\big|t=0}&=f_0,\\
{u_t}_{\big|t=0}&=f_1,\\
u_{\big|\Sd}&=0.
\end{aligned}
\end{gather*}
Один из вариантов (не самый общий) следующий:
восстановить решение задачи в момент времени $\tau$ по неточно заданным
решениям в моменты времени $t=0$ и $t=T$, если известно, что $f_1=0$, т.е.
найти величину
\begin{multline*}
E_T^{(13)}(\alpha,L_2(\Bd),\delta_0,\delta_T)\\
=\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f_0,y_0,y_T\in L_2(\Bd)\\\|f_0-y_0\|_{L_2(
\Bd)}\le\delta_0\\\|u(\cdot,T)-y_T\|_{L_2(\Bd)}\le\delta_T}}\|u(\cdot,\tau)
-\varphi(y_0,y_T)\|_{L_2(\Bd)},
\end{multline*}
где $\varphi\colon L_2(\Bd)\times L_2(\Bd)\to L_2(\Bd)$, и соответствующий
оптимальный метод восстановления.

\section{Дальнейшие задачи}

14. Аналоги задач предыдущего раздела для шарового пояса.

15. Неоднородные эволюционные уравнения.

16. Краевые условия других типов.


\end{document}
