\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 800
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\co}{co}

\newcommand*{\bbbone}{{\mathchoice {\rm 1\mskip-4mu l} {\rm 1\mskip-4mu l}
{\rm 1\mskip-4.5mu l} {\rm 1\mskip-5mu l}}}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^2)}
\newcommand*{\lo}{L_2(\Omega)}
\newcommand*{\Hr}{\mathcal H_2^r(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\hr}{H_2^r(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\Wi}{W_\infty^{\mathcal A}(\mathbb R^d,\gamma)}
\newcommand*{\wa}{\widehat a}
\newcommand*{\wA}{\widehat A}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wxi}{\widehat\xi}
\newcommand*{\sk}{\sum_{k=1}^s}
\newcommand*{\sj}{\sum_{j=1}^N}
\newcommand*{\wta}{\widehat\tau}
\newcommand*{\IR}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\ov}{\overline}


\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wt}{\widehat t}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\Cp}{C_p^n}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}

\title[Оптимальное восстановление]{Оптимальное восстановление производных
на соболевских классах}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No00--15--96109, \No02-01-39012 и
\No02--01--00386), программы ``Университеты России" (УР.04.03.013), а также
при поддержке U.S.\ CRDF -- R.F.\ Ministry of Education Award VZ-010-0.}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}

\maketitle

В данной работе рассматривается задача оптимального восстановления
производных функций из соболевских классов на $\mathbb R^d$ по информации о
преобразовании Фурье самих функций, заданном приближенно. Перед постановкой
задачей приведем некоторые определения. Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,
\alpha_d)\in\mathbb R^d_+$. Для функции $x\cd\in\lt$ через $D^\alpha x\cd$
будем обозначать производную порядка $\alpha$ по Вейлю, определяемую
равенством
$$D^\alpha x(t)=\frac1{(2\pi)^d}\IR(i\tau)^\alpha Fx(\tau)e^{i\la\tau,t\ra}
\,d\tau,$$
где
$$(i\tau)^\alpha=(i\tau_1)^{\alpha_1}\ldots(i\tau_d)^{\alpha_d},\quad\la
\tau,t\ra=\tau_1t_1+\ldots+\tau_dt_d,$$
а $Fx\cd$ --- преобразование Фурье функции $x\cd$. Соболевское пространство
$\Hr$ определяется как совокупность функций $x\cd\in\lt$ таких, что
$$\|x\cd\|_{\Hr}=\left(\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2
\,dt\right)^{1/2}<\infty,$$
где $\|t\|^2=t_1^2+\ldots+t_d^2$. Соответствующим соболевским классом
назовем множество
$$\hr=\{\,x\cd\in\Hr:\|x\cd\|_{\Hr}\le1\,\}.$$

Рассмотрим задачу оптимального восстановления оператора $D^\alpha$ на
классе $\hr$ по преобразованию Фурье функции $x\cd\in\hr$, заданному с
погрешностью $\delta>0$ в $L_2(\mathbb R^d)$-норме. Иными словами, будем
считать, что для каждой функции $x\cd\in\hr$ нам известна функция $y\cd\in
\lt$ такая, что
$$\|Fx\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta,$$
и мы хотим, имея в распоряжении эту функцию $y\cd$, по-возможнос\-ти точнее
приблизить функцию $D^\alpha x\cd$. Точная постановка задачи такова. В
качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные операторы
$\varphi\colon\lt\to\lt$. Погрешностью данного метода $\varphi$ назовем
величину
$$e(D^\alpha,\hr,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in\hr,\ y\in\lt\\\|Fx
\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta}}\|D^\alpha x\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lt}.$$
Нас будет интересовать {\it погрешность оптимального восстановления},
определяемая равенством
\begin{equation}\label{*0}
E(D^\alpha,\hr,\delta)=\infp_{\varphi\colon\lt\to\lt}e(D^\alpha,\hr,\delta,
\varphi),
\end{equation}
а также метод, на котором достигается нижняя грань, называемый {\it
оптимальным методом восстановления}.

Впервые задача оптимального восстановления для функционалов по
конечномерной информации была поставлена С.~А.~Смоляком \cite{Sm}.
Впоследствии эта постановка обобщалась и развивалась в разных направлениях
(см.\ \cite{MR}--\cite{Os}). Подход к задачам восстановления, основанный на
общих принципах теории экстремума, который мы используем и в данной работе,
развивался в работах \cite{MT}--\cite{MO}.

В данной работе мы сначала даем решение задачи \eqref{*0}, а затем
обсуждаем некоторый эффект, связанный с тем, что знание преобразования
Фурье лишь на некотором подмножестве $\mathbb R^d$ обеспечивает ту же
погрешность оптимального восстановления, что и на всем пространстве.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in\mathbb R^d_+$, $\alpha\ne0$, $r
>1$ и
$$\sigma=\sum_{j=1}^d\alpha_j<r.$$
Положим
$$\Delta=\frac\delta{(2\pi)^{d/2}},\quad\Delta_0=\left(\frac{r-\sigma}r
\right)^{r/2},\quad p=\prod_{j=1}^d\alpha_j^{\alpha_j}.$$
Тогда, если $0<\delta<(2\pi)^{d/2}\Delta_0$, то
$$E(D^\alpha,\hr,\delta)=\frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}\Delta^{1-\sigma/
r}\left(1-\Delta^{2/r}\right)^{\sigma/2},$$
а метод
$$D^\alpha x(t)\approx\frac1{(2\pi)^d}\IR\frac{(i\tau)^\alpha y(\tau)e^{i
\la\tau,t\ra}}{1+\dfrac{\sigma\Delta^2}{r(\Delta_0^{2/r}-\Delta^{2/r})}
\left(1+\|\tau\|^2\right)^r}\,d\tau$$
является оптимальным. Если $\delta\ge(2\pi)^{d/2}\Delta_0$, то
$$E(D^\alpha,\hr,\delta)=\frac{\sqrt p}{r^{r/2}}(r-\sigma)^{(r-\sigma)/2},
$$
а $D^\alpha x(t)\approx0$ --- оптимальный метод.
\end{theorem}

\begin{proof}
Нетрудно показать, что имеет место следующая оценка снизу
\begin{equation}\label{*}
E(D^\alpha,\hr,\delta)\ge\sup_{\substack{x\cd\in\hr\\\|Fx\cd\|_{\lt}\le
\delta}}\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}.
\end{equation}
Действительно, для любого метода $\varphi$ при всех $x\cd\in\hr$ таких, что
$\|Fx\cd\|_{\lt}\le\delta$ (учитывая, что $-x\cd\in\hr$), имеем
\begin{multline*}
2\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}\le\|D^\alpha x\cd-\varphi(0)\cd\|_{\lt}\\
+\|-D^\alpha x\cd-\varphi(0)\cd\|_{\lt}\le2e(D^\alpha,\hr,\delta,\varphi).
\end{multline*}
Следовательно, для любого метода $\varphi$
$$e(D^\alpha,\hr,\delta,\varphi)\ge\sup_{\substack{x\cd\in\hr\\\|Fx\cd\|_{
\lt}\le\delta}}\|D^\alpha x\cd\|_{\lt},$$
откуда сразу же вытекает оценка \eqref*.

Экстремальная задача в правой части неравенства \eqref{*} может быть
записана в виде (для удобства мы ищем квадрат значения этой задачи)
\begin{equation}\label{*1}
\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}^2\to\max,\quad\|Fx\cd\|_{\lt}\le\delta,\quad\|x\cd
\|_{\Hr}\le1.
\end{equation}
В силу равенства Парсеваля
$$\|x\cd\|^2_{\lt}=(2\pi)^{-d}\|Fx\cd\|^2_{\lt},$$
полагая
$$u\cd=(2\pi)^{-d}|Fx\cd|^2,$$
задача \eqref{*1} в образах Фурье запишется в виде
\begin{multline}\label{*u}
\IR|t|^{2\alpha}u(t)\,dt\to\max,\quad\IR u(t)\,dt\le\Delta^2,\\
\quad\IR\left(1+\|t\|^2\right)^ru(t)\,dt\le1,\ u(t)\ge0\ \mbox{п.\ в.},
\end{multline}
где $|t|^{2\alpha}=|t_1|^{2\alpha_1}\ldots|t_d|^{2\alpha_d}$. Можно
показать, что в этой задаче нет решения. Поэтому расширим ее, заменяя
функции положительными мерами. Итак, рассмотрим следующую задачу
\begin{multline}\label{dm}
\IR|t|^{2\alpha}\,d\mu(t)\to\max,\quad\IR\,d\mu(t)\le\Delta^2,\\
\quad\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r\,d\mu(t)\le1,\ d\mu(t)\ge0.
\end{multline}
Это выпуклая задача. Ее функция Лагранжа имеет вид
$$\mathcal L(d\mu\cd,\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)=\IR\left(\lambda_0|t|^{
2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r\right)\,d\mu(t).$$
Если $d\wmu\cd$ --- решение задачи \eqref{dm}, то согласно теореме
Куна--Таккера найдутся такие $\wl_0\le0$, $\wl_1,\wl_2\ge0$ , не равные нулю
одновременно, что
\begin{equation}\label{L}
\min_{d\mu(t)\ge0}\mathcal L(d\mu\cd,\wl_0,\wl_1,\wl_2)=\mathcal L(d\wmu\cd
,\wl_0,\wl_1,\wl_2)
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{dn}
\wl_1\left(\IR\,d\wmu(t)-\Delta^2\right)=0,\quad\wl_2\left(\IR\left(1+\|t\|^
2\right)^r\,d\wmu(t)-1\right)=0.
\end{equation}
Кроме того, если для допустимой в \eqref{dm} меры $d\wmu\cd$ выполняются
условия \eqref{L} и \eqref{dn} с $\wl_0<0$ и $\wl_1,\wl_2\ge0$, то $d\wmu
\cd$ --- решение задачи \eqref{dm}. Действительно, для любой допустимой
меры $d\mu\cd$ имеем
\begin{multline*}
\wl_0\IR|t|^{2\alpha}\,d\mu(t)\ge\wl_0\IR|t|^{2\alpha}\,d\mu(t)+\wl_1\left(
\IR\,d\mu(t)-\Delta^2\right)\\
+\wl_2\left(\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r\,d\mu(t)-1\right)\ge\wl_0\IR|t|^{2
\alpha}\,d\wmu(t)\\
+\wl_1\left(\IR\,d\wmu(t)-\Delta^2\right)+\wl_2\left(\IR\left(1+\|t\|^2
\right)^r\,d\wmu(t)-1\right)\\
=\wl_0\IR|t|^{2\alpha}\,d\wmu(t).
\end{multline*}

Предъявим $d\wmu\cd\ge0$ и $\wl_0<0$, $\wl_1,\wl_2\ge0$, для которых будут
справедливы равенства \eqref{L} и \eqref{dn}. Введем следующие обозначения
$A=\min(\Delta^2,\Delta_0^2)$,
$$\wt_j=\sqrt{\frac{A^{-1/r}-1}\sigma}\alpha_j^{1/2},\quad j=1,\ldots,d,
\quad\wt=(\wt_1,\ldots,\wt_d)$$
и положим $\wl_0=-1$,
\begin{align*}
\wl_1&=\frac{p(A^{-1/r}-1)^{\sigma-1}}{\sigma^\sigma}\left(A^{-1/r}\left(
1-\frac\sigma r\right)-1\right),\\
\wl_2&=\frac{p(A^{-1/r}-1)^{\sigma-1}A^
{1-1/r}}{r\sigma^{\sigma-1}}
\end{align*}
и $d\wmu\cd=A\delta(\cdot-\wt)$, где $\delta\cd$ --- дельта-функция в нуле.
Легко видеть, что $\wl_1\ge0$ ($\wl_1=0$, когда $A=\Delta_0^2$) и $\wl_2>0$.
Непосредственная проверка показывает, что мера $d\wmu\cd$ допустима и
справедливы равенства \eqref{dn}.
Для доказательства равенства \eqref{L} достаточно доказать, что функция
$$G(t)=-|t|^{2\alpha}+\wl_1+\wl_2\left(1+\|t\|^2\right)^r$$
неотрицательна и в точке $\wt$ обращается в ноль. Предположим сначала, что
$\alpha_j>0$, $j=1,\ldots,d$. Сделаем замену переменных $\xi_j=2\ln|t_j|$,
$j=1,\ldots,d$, в функции $|t|^{-2\alpha}G(t)$, $|t|>0$. Тогда получим
функцию
$$F(\xi)=-1+e^{-\la\alpha,\xi\ra}\left(\wl_1+\wl_2\left(1+e^{\xi_1}+\ldots+
e^{\xi_d}\right)^r\right),\quad\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d).$$
Нетрудно убедиться, что эта функция выпукла, $F(\wxi)=0$, где $\wxi=(\wxi_1
,\ldots,\xi_d)$, $\wxi_j=2\ln|\wt_j|$, $j=1,\ldots,d$, и, кроме того,
градиент этой функции в точке $\wxi$ равен нулю. Это означает, что $F(\xi)
\ge0$ при всех $\xi\in\mathbb R^d$. Отсюда, возвращаясь к старым
переменным, получаем, что $G(t)\ge0$ для всех $t\in\mathbb R^d$ и $G(\wt)=0
$. Если среди $\alpha_j$ есть нули, то аналогичные рассуждения приводят к
тому же выводу для функции $G\cd$, зависящей лишь от тех переменных, для
которых соответствующие $\alpha_j>0$. Добавляя оставшиеся переменные в
функцию $G\cd$ легко убедиться, что полученная функция по-прежнему
останется неотрицательной, а $G(\wt)=0$. Тем самым имеет место равенство
\eqref{L} и $d\wmu(t)$ --- решение задачи \eqref{dm}. Для ее значения имеем
$$R:=\IR|t|^{2\alpha}\,d\wmu(t)=\begin{cases}\dfrac p{\sigma^\sigma}\Delta^{2(1-
\sigma/r)}\left(1-\Delta^{2/r}\right)^\sigma,&\delta<(2\pi)^{d/2}\Delta_0,
\\[10pt]
\dfrac p{r^r}(r-\sigma)^{r-\sigma},&\delta\ge(2\pi)^{d/2}\Delta_0.\end{cases}
$$
Эта величина дает оценку снизу для значения задачи \eqref{*u}, а,
следовательно, и для квадрата значения задачи \eqref{*1}. Но эта оценка
точна, так как можно выбрать последовательность допустимых в \eqref{*1}
функций $x_n\cd\in\lt$ таких, что $(2\pi)^d|Fx_n\cd|^2\to A\delta(\cdot-\wt
)$ при $n\to\infty$. Итак, получена оценка снизу
$$E(D^\alpha,\hr,\delta)\ge\sqrt R.$$

Для получения оценки сверху рассмотрим экстремальную задачу
\begin{multline}\label{P1}
\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}\to\max,\quad\frac{\wl_1}{(2\pi)^d}\|Fx\cd\|_{\lt}^2
+\wl_2\|x\cd\|_{\Hr}^2\\
\le\wl_1\Delta^2+\wl_2.
\end{multline}
Переходя к образам Фурье, а затем расширяя задачу, переходя к мерам,
получаем следующую задачу (здесь опять для удобства рассматривается квадрат
значения задачи \eqref{P1})
\begin{multline*}
\IR|t|^{2\alpha}\,d\mu(\tau)\to\max,\quad\wl_1\IR\,d\mu(\tau)+\wl_2\IR\left
(1+\|t\|^2\right)^r\,d\mu(t)\\
\le\wl_1\Delta^2+\wl_2.
\end{multline*}
Пользуясь теми же соображениями, которые применялись ранее, нетрудно
показать, что $d\wmu\cd=\wA\delta(\cdot-\wta)$ является решением и этой
задачи. Таким образом, значение задачи \eqref{P1} равно тоже $\sqrt R$.

Рассмотрим следующую экстремальную задачу. Для фиксированной функции $y\cd
\in\lt$ найти
\begin{equation}\label{H}
\min_{x\cd\in\Hr}\left(\frac{\wl_1}{(2\pi)^d}\|Fx\cd-y\cd\|_{\lt}^2+\wl_2\|
x\cd\|_{\Hr}^2\right).
\end{equation}
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция $x_y\cd$
такая, что
$$Fx_y(t)=\frac{\wl_1}{\wl_1+\wl_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}y(t).$$

Введем в линейном пространстве $H=\lt\times\Hr$ полускалярное произведение
$$(z^1,z^2)_H=\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(\wl_1z_1^1(t)\ov{z_1^2(t)}+\wl_2
\left(1+\|t\|^2\right)^rFz_2^1(t)\ov{Fz_2^2(t)}\right)\,dt$$
(здесь $z^1=(z_1^1\cd,z_2^1\cd)$, $z^2=(z_1^2\cd,z_2^2\cd)$) и
соответствующую полунорму обозначим через $\|\cdot\|_H$. Тогда задача
\eqref H может быть записана в следующем виде
\begin{equation}\label{H1}
\|(Fx\cd,x\cd)-(y\cd,0)\|_H^2\to\min,\quad x\cd\in\Hr.
\end{equation}
Поскольку $x_y\cd$ --- решение задачи \eqref{H1}, то для всех $x\cd\in\Hr$
имеет место равенство
$$((Fx_y\cd,x_y\cd)-(y\cd,0),(Fx\cd,x\cd))_H=0.$$
Отсюда следует, что
\begin{multline}\label{In}
\|(Fx\cd,x\cd)-(y\cd,0)\|_H^2=\|(Fx\cd,x\cd)-(Fx_y\cd,x_y\cd)\|_H^2\\
+\|(Fx_y\cd,x_y\cd)-(y\cd,0)\|_H^2.
\end{multline}
Если $x\cd\in\hr$ и $\|Fx\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta$, то из \eqref{In},
положив $h\cd=x\cd-x_y\cd$, получим
$$\|(Fh\cd,h\cd)\|_H^2\le\|(Fx\cd,x\cd)-(y\cd,0)\|_H^2\le\wl_1\Delta^2+\wl_
2.$$
Поэтому для всех $x\cd\in\hr$ таких, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta$,
имеем
\begin{multline*}
\|D^\alpha x\cd-D^\alpha x_y\cd\|_{\lt}=\|D^\alpha h\cd\|_{\lt}\\
\le\sup\biggl\{\,\|D^\alpha x\cd\|_{\lt}^2:\frac{\wl_1}{(2\pi)^d}\|Fx\cd\|_
{\lt}^2+\wl_2\|x\cd\|_{\Hr}^2\\
\le\wl_1\Delta^2+\wl_2\,\biggr\}=\sqrt R.
\end{multline*}

Тем самым доказано, что метод
$$D^\alpha x\cd\approx D^\alpha x_y\cd=\frac1{(2\pi)^d}\IR(i\tau)^\alpha
\frac{\wl_1}{\wl_1+\wl_2\left(1+\|\tau\|^2\right)^r}y(\tau)e^{i\la\tau,t\ra
}\,d\tau,$$
является оптимальным. Остается лишь подставить выражения для $\wl_1$ и $\wl
_2$.
\end{proof}

Предположим теперь, что преобразования Фурье функции известно с ошибкой не
на всем пространстве $\mathbb R^d$, а на некотором измеримом множестве $
\Omega\subset\mathbb R^d$. Тогда соответствующую погрешность оптимального
восстановления определим равенством
$$E(D^\alpha,\hr,\delta,\Omega)=\infp_{\varphi}\sup_{\substack{x\cd\in\hr,\
y\in\lo\\\|Fx\cd-y\cd\|_{\lo}\le\delta}}\|D^\alpha x\cd-\varphi(y)\cd\|_{
\lt},$$
где нижняя грань берется по всем операторам $\varphi\colon\lo\to\lt$.
Нетрудно убедиться, что при $\Omega_1\subset\Omega_2$
$$E(D^\alpha,\hr,\delta,\Omega_1)\ge E(D^\alpha,\hr,\delta,\Omega_2).$$

Оказывается, что существует множество $\Omega_0\subset\mathbb R^d$, для
которого при всех измеримых $\Omega$ таких, что $\Omega_0\subseteq\Omega
\subseteq\mathbb R^d$, имеет место равенство
$$E(D^\alpha,\hr,\delta,\Omega)=E(D^\alpha,\hr,\delta).$$
Иными словами, для максимально точного восстановления производной порядка $
\alpha$ в метрике пространства $\lt$ достаточно знать преобразование Фурье
на множестве $\Omega_0$, а использование приближенной информации о
преобразовании Фурье в более широких областях не приводит к уменьшению
погрешности оптимального восстановления. В одномерном случае этот эффект
был обнаружен в работе \cite{MO}.

Точный результат здесь формулируется следующим образом.

\begin{theorem}
В условиях и обозначениях теоремы~$\ref{T1}$ положим
$$\Omega_0=\biggl\{\,t\in\mathbb R^d:\frac{|t|^{2\alpha}}{\left(1+\|t\|^2
\right)^r}>\frac p{r\sigma^{\sigma-1}}\left(1-\Delta^{2/r}\right)^{\sigma-1
}\Delta^{2(1-\sigma/r)}\,\biggr\}.$$
Тогда для всех измеримых $\Omega$ таких, что $\Omega_0\subseteq\Omega
\subseteq\mathbb R^d$, имеет место равенство
$$E(D^\alpha,\hr,\delta,\Omega)=E(D^\alpha,\hr,\delta),$$
а метод
$$D^\alpha x(t)\approx\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb\Omega}\frac{(i\tau)^
\alpha y(\tau)e^{i\la\tau,t\ra}}{1+\dfrac{\sigma\Delta^2}{r(\Delta_0^{2/r}-
\Delta^{2/r})}\left(1+\|\tau\|^2\right)^r}\,d\tau$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Схема доказательства этой теоремы та же, что и предыдущей. Остановимся лишь
на некоторых отличиях. После перехода к образам Фурье функция Лагранжа
расширенной задачи будет иметь вид (считаем сразу, что $\lambda_0=-1$)
$$\mathcal L(d\mu\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\IR\left(-|t|^{2\alpha}+\lambda_
1\chi_\Omega(t)+\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r\right)\,d\mu(t),$$
где $\chi_\Omega\cd$ --- характеристическая функция множества $\Omega$. В
силу доказанного в теореме~\ref{T1}, определения множества $\Omega_0$ и
того, что $\Omega_0\subseteq\Omega$, имеем
$$-|t|^{2\alpha}+\wl_1\chi_\Omega(t)+\wl_2\left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0$$
при всех $t\in\mathbb R^d$. Далее доказательство оценки снизу проводится
так же, как и в теореме~\ref{T1}.

При оценке сверху надо рассмотреть линейное пространство $H=\lo\times\Hr$.
Полускалярное произведение в нем следует определить равенством
\begin{multline*}
(z^1,z^2)_H=\frac1{(2\pi)^d}\wl_1\int_{\Omega}z_1^1(t)\ov{z_1^2(t)}\,dt\\
+\wl_2\IR\left(1+\|t\|^2\right)^rFz_2^1(t)\ov{Fz_2^2(t)}\,dt.
\end{multline*}
В остальном доказательство то же, что и в теореме~\ref{T1}.
\end{proof}

Рассмотрим теперь несколько примеров для случая $d=2$.

Пусть $\alpha=(1,0)$ и $r=2$. Иными словами, рассматривается задача
восстановления частной производной $x_{t_1}(\cdot,\cdot)$ на классе $H_2^2(
\mathbb R^2)$. Из теорем~1 и 2 получаем, что при $0<\delta<\pi$
$$E(D^{(1,0)},H_2^2(\mathbb R^2),\delta)=\frac1{2\pi}\sqrt{\delta(2\pi-
\delta)},$$
множество насыщения $\Omega_0$ представляет собой два круга с центрами в
точках $\pm\sqrt{\pi/\delta}$ и радиусами $\sqrt{\pi/\delta-1}$, а метод
$$x_{t_1}(t_1,t_2)\approx\frac1{(2\pi)^2}\int_{\Omega_0}\frac{i\tau_1y(\tau
_1,\tau_2)e^{i(\tau_1t_1+\tau_2t_2)}}{1+\dfrac{\delta^2}{4\pi(\pi-\delta)}(
1+\tau_1^2+\tau_2^2)^2}\,d\tau_1d\tau_2$$
является оптимальным.

В случае восстановления смешанной производной $x_{t_1t_2}(\cdot,\cdot)$ на
классе $H_2^4(\mathbb R^2)$ множество насыщения в полярных координатах
будет иметь вид
$$1+\rho^2<\left(\frac\delta{4\pi}\left(1-\sqrt{\frac\delta{2\pi}}\right)
\right)^{-1/4}\rho\sqrt{|\sin2\varphi|}.$$

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Sm} {\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965.

\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli
and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{TW}{\it Трауб~Дж., Вожьняковский Х.} Общая теория оптимальных
алгоритмов. Москва: Мир, 1983. --- 382~с.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin:
Springer--Verlag, 1985.

\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991.
Т.~50. \No6. С.~85--93.

\bibitem{Os} {\it Osipenko K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions,
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000. --- 220~с.

\bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} О неравенствах для
производных колмогоровского типа // Матем. сб. 1997. Т.~188. \No12.
С.~73--106.

\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и
его приложения. Москва: Эдиториал УРСС, 2000. --- 176~с.

\bibitem{MOT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., Тихомиров~В.~М.}
Оптимальное восстановление и теория экстремума // Докл. РАН. 2001. Т.~379.
\No2. С.~161--164.

\bibitem{MO}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил. 2003.

\end{thebibliography}
\end{document}
