\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[german,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 5800

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\renewcommand{\bibname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}

\begin{document}

\noindent УДК 517.5

\medskip

\title[ОБ $n$-ПОПЕРЕЧНИКАХ]{ОБ $n$-ПОПЕРЕЧНИКАХ, ОПТИМАЛЬНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ
И ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛОСЕ$^1$}\footnotetext[1]{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований}

\author{К.~Ю.~Осипенко}

\begin{abstract}
Пусть $H_\infty(D_H)$ --- пространство ограниченных аналитических в полосе $D_H:=\{z\in\mathbb C:|\IM z|<H\}$ функций. Через $\widetilde H_\infty(D_H)$ обозначим множество $2\pi$-периодических функций из $H_\infty(D_H)$, а через $\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H)$ --- множество функций из $\widetilde H_\infty(D_H)$, вещественных на вещественной оси. Для линейного нормированного пространства $X$ положим $BX:=\{x\in X:\|x\|\le1\}$. В работе найдены	 точные	значения колмогоровских	 поперечников $d_{2n}(B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H),L_q[0,2\pi])$  при всех $1\le q\le\infty$,  построена оптимальная квадратурная формула на классе $B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H)$, использующая значения функций, заданные с погрешностью, и доказано, что  единственной с точностью до сдвига оптимальной системой узлов является равномерная сетка. Кроме того, решен ряд задач оптимального восстановления функций и их производных на классе $BH_\infty(D_H)$.
\end{abstract}

\maketitle

\section*{Введение}

Пусть $\Omega$ --- некоторая область в комплексной плоскости. Через $H_\infty(\Omega)$ будем обозначать пространство функций, аналитических в $\Omega$ и удовлетворяющих условию
$$\|f\|_{H_\infty(\Omega)}:=\sup_{z\in\Omega}|f(z)|<\infty.$$
Положим
$$D_H:=\{z\in\mathbb C:|\IM z|<H\}.$$
Обозначим через $\widetilde H_\infty(D_H)$ множество $2\pi$-периодических функций из $H_\infty(D_H)$, а через $\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H)$ --- множество функций из $\widetilde H_\infty(D_H)$, вещественных на вещественной оси. Для линейного нормированного пространства $X$ положим $BX:=\{x\in X:\|x\|\le1\}$.

В \S~1 данной работы формулируется общая постановка задачи оптимального восстановления, охватывающая задачи об $n$-поперечниках, оптимальной интерполяции и оптимальной квадратурной формуле. Кроме того, приводится некоторый удобный прием построения оптимальных методов восстановления, основанный на представлении погрешности восстановления в специальном интегральном виде.

В \S~2 находятся точные значения колмогоровских поперечников $d_{2n}(B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H),L_q[0,2\pi])$  при всех $1\le q\le\infty$. В \S~3 найдена оптимальная квадратурная формула  на классе $B\widetilde H_\infty(D_H)$, использующая значения функций, заданные с погрешностью, и доказано, что единственной с точностью до сдвига оптимальной системой узлов является равномерная сетка.

\S~4 посвящен задачам оптимального восстановления функций из классов $B\widetilde H_\infty(D_H)$ и $BH_\infty(D_H)$ по точным значениям. В частности, найден оптимальный метод восстановления функций из класса $BH_\infty(D_H)$ по их значениям в бесконечной равномерной сетке с произвольным шагом и
доказано, что равномерная сетка является наилучшей среди некоторого класса сеток, введенного Сунь Юн-Шеном \cite{1}.

В \S~5 рассмотрена задача об оптимальном восстановлении второй производной функции из класса $BH_\infty(D_H)$ по ее следу на вещественной оси, заданному с погрешностью $\delta$ в равномерной  норме. При этом обнаружен эффект ``переключения'' экстремальной функции, не встречавшийся в аналогичной задаче восстановления первой производной, которая изучалась в работе \cite{2}.

\section{Общая задача оптимального восстановления}

Многие задачи теории приближения могут рассматриваться с единой точки зрения как задачи об оптимальном восстановлении. Приведем одну из возможных постановок общей задачи оптимального восстановления, включающую в себя задачи об $n$-поперечниках, оптимальной интерполяции и оптимальной квадратурной формуле.

Пусть $X$ и $Y$ --- линейные пространства, $Z$ --- линейное нормированное пространство, $W\subset X$ --- некоторое множество и $L\colon W\to Z$ --- однозначное отображение. Рассмотрим задачу оптимального восстановления отображения $L$ по значениям информационного оператора $F\colon W\to Y$, являющегося, вообще говоря, многозначным отображением. Под методами восстановления будем понимать однозначные отображения $\varphi\colon Y\to Z$. Предположим, что нам задан некоторый класс допустимых методов восстановления $\mathcal G$. Положим
\begin{equation}\label{1}
e(L,F,\mathcal G):=\infp_{\varphi\in\mathcal G}\sup_{(x,y)\in\gr F}\|Lx-\varphi y\|,
\end{equation}
где $\gr F:=\{(x,y)\in W\times X:y\in F(x)\}$. Пусть требуется восстановить семейство отображений $\mathcal L$ и при этом имеется возможность выбирать информационный оператор из некоторого множества $\mathcal F$. В этой ситуации положим
\begin{equation}\label{2}
e(\mathcal L,\mathcal F,\mathcal G):=\infp_{F\in\mathcal F}\sup_{L\in\mathcal L}e(L,F,\mathcal G).
\end{equation}

Обозначим через $\mathcal G_n$ ($\mathcal G_n^\lambda$) --- множество всевозможных (линейных                    непрерывных) операторов с областью значений в $n$-мерных линейны подпространствах $Z$. Введем следующие обозначения:
$$d_n(L,F):=e(L,F,\mathcal G_n),\quad\lambda_n(L,F):=e(L,F,\mathcal G_n^\lambda).$$
Если $F^{-1}(0)\ne\emptyset$, то имеет место оценка
$$\lambda_n(L,F)\ge\infp_{\varphi\in\mathcal G^\lambda}\sup_{\substack{(x,y)\in\gr F\\\varphi y=0}}\|Lx\|=:\gamma_n(L,F).$$

Пусть $Y$ --- линейное нормированное пространство и $I\colon W\to Y$ --- линейный оператор. Определим многозначное отображение $I_\delta$ равенством $I_\delta(x):=Ix+\delta BY$, $\delta\ge0$. Тогда, если $F=I_\delta$ и $L=Id$ --- тождественное отображение, получим величины \begin{multline*}
d_n(W,X,I,\delta):=d_n(Id,I_\delta),\quad\lambda_n(W,X,I,\delta):=\lambda_n(Id,I_\delta),\\
d^n(W,X,I,\delta):=\gamma_n(Id,I_\delta),
\end{multline*}
первая из которых была введена Ю.Н.Субботиным \cite{3}. Величины
\begin{multline*}
d_n(W,X):=d^n(W,X,Id,0),\quad\lambda_n(W,X):=\lambda_n(W,X,Id,0),\\
d^n(W,X):=d^n(W,X,Id,0),
\end{multline*}
хорошо известны в теории приближения (см., например, \cite{4,5})  и
называются {\it колмогоровским}, {\it линейным\/} и {\it гельфандовским\/} $n$-поперечниками соответственно.

Обозначим через $\mathcal E$ множество всевозможных методов $\varphi\colon Y\to Z$.
Рассмотрим задачу \eqref{1}, когда $\mathcal G=\mathcal E$, $W$ --- некоторый класс вещественных или комплекснозначных функций, определенных на каком-либо множестве $G$, $L$ --- линейный функционал, а $F=I_\delta$. Величину \eqref{1} будем обозначать в этом случае через $e(L,I,W,\delta)$.

Если $W$ --- выпуклый и уравновешенный класс функций, то (см.~\cite{6}) среди методов, на которых достигается нижняя грань (называемых {\it оптимальными}), существует линейный метод и,  кроме того, справедливо равенство
\begin{equation}\label{3}
e(L,I,W,\delta)=\sup_{\substack{x\in W\\\|Ix\|=0}}|Lx|.
\end{equation}
Функции, на которых достигается верхняя грань, будем  называть {\it экстремальными}.

Пусть $t_1,\ldots,t_n$ --- различные точки из множества $G$. Положим $I_\tau x:=\{x(t_1),\ldots,x(t_n)\}$, где $\tau=(t_1,\ldots,t_n)$. Тогда при $Lx=L_tx:=x(t)$, $t\in G$, получаем задачу об оптимальном восстановлении функции $x$ в точке $t$ на классе $W$ по ее значениям в системе узлов $\tau$, заданным с погрешностью $\delta$ в норме пространства $Y$. Если $E\subset G$ и в задаче \eqref{2} положить
$$\mathcal L=\{\,L_t:t\in E\,\},\quad\mathcal F=\{\,I_\tau+\delta BY:\tau\in E^n\,\},$$
то получим задачу об оптимальном восстановлении значений функции из класса $W$ на множестве $E$.

Если в качестве $L$ рассмотреть интеграл от функции $x\in W$ по некоторому множеству из $G$, то  задача \eqref{1} становится задачей о наилучшем методе интегрирования при фиксированных узлах, а задача \eqref{2} при $\mathcal L=\{L\}$ --- задачей об оптимальном методе интегрирования (или оптимальном выборе узлов).

Можно рассматривать и другие задачи, укладывающиеся в предложенную схему, --- восстановление производных, использование информационного оператора, содержащего другие линейные функционалы,  например, производные или коэффициенты Фурье восстанавливаемой функции. В качестве информационного оператора можно также взять оператор, ставящий в соответствие функции ее след на некотором множестве (не обязательно конечном), заданный с погрешностью $\delta$ в какой-либо норме. Ряд сформулированных задач изучается в данной работе для классов аналитических функций.

Во многих случаях оптимальный метод восстановления удается получить с помощью единого подхода, основанного на представлении погрешности восстановления в специальном интегральном виде. Этот
подход использовался в работах \cite{7,8,9} и \cite{2}.

Пусть $G$ --- некоторое непустое множество, $\Sigma$ --- $\sigma$-алгебра подмножеств $G$ и $\mu$ --- неотрицательная $\sigma$-аддитивная мера на $\Sigma$. Через $L_p(G,\Sigma,\mu)$ (или, короче, $L_p(G,\mu)$) обозначим совокупность всех $\Sigma$-измеримых функций со значениями в $\mathbb R$ или $\mathbb C$, для которых
\begin{align*}
\|x\|_p:=&\biggl(\int_G|x(t)|^p\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|x\|_\infty:=&\vraisup_{t\in G}|x(t)|<\infty,\quad p=\infty.
\end{align*}

В частности, когда $G=\{1,2,\ldots,n\}$ и $\mu(\{j\})=1$, пространство $L_p(G,\mu)$ совпадает  с пространством $l_p^n$, представляющим из себя множество векторов $x=(x_1,\ldots,x_n)$ с нормой
$$\|x\|_p:=\biggl(\sum_{j=1}^n|x_j|^p\biggr)^{1/p},\quad1\le p<\infty,\quad\|x\|_\infty:=\max_j|x_j|,\quad p=\infty.$$

Предположим, что $X_p$ --- некоторое линейное подпространство $L_p(G,\mu)$ (восстановление на подпространствах из $L_p(G,\mu)$ является типичной ситуацией при восстановлении аналитических функций). Рассмотрим задачу о нахождении величины $e(L,I,BX_p,\delta)$.

Положим
$$(x,y):=\int_Gx(t)\ov{y(t)}\,d\mu(t),\quad x_{(p)}(t)=x(t)|x(t)|^{p-2},\quad1\le p<\infty.$$
Через $Y^*$ будем обозначать множество линейных непрерывных функционалов на $Y$.

\begin{theorem}[\!\!\cite{9}]\label{T1}
Пусть $g\in X_p$, $g\ne0$, $g_0:=g/\|g\|_p$, $\|Ig_0\|\le\delta$, $y_0^*\in Y^*$, $\la y_0^*,Ig_0\ra=\delta\|y_0^*\|$ и при всех $\in X_p$ имеет место равенство
$$Lx-\la y_0^*,Ix\ra=\begin{cases}\alpha(x,g_{(p)}),&1\le p<\infty,\\
(x,\varphi g),&p=\infty,\end{cases}$$
где $\alpha>0$, $\varphi\in L_1(G,\mu)$, $\varphi(t)\ge0$ почти всюду и при $p=\infty$ \ $|g(t)|=1$ почти всюду. Тогда $y_0^*$ --- оптимальный метод восстановления, $g_0$ --- экстремальная функция и
$$e(L,I,BX_p,\delta)=Lg_0.$$
\end{theorem}

\section{Точные значения $n$-поперечников}

Положим
$$\Delta_h:=\{\,z\in\mathbb C:\sqrt h<|z|<1/\sqrt h\,\},\quad h\in(0,1).$$
Через $BH_\infty^{\mathbb R}(\Delta_h)$ будем обозначать множество функций из $BH_\infty(\Delta_h)$, вещественных на единичной окружности $S:=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$.   Положим $L_q:=L_q(S,\mu)$, где $d\mu(\ei)=d\theta$. Через $\|\cdot\|_q$ обозначим норму в
пространстве $L_q[0,2\pi]:=L_q([0,2\pi],\mu)$ при $d\mu(t)=dt$.

В работе \cite{10} (см.\ также \cite{11}) было показано, что
\begin{multline}\label{4}
d_{2n}(BH_\infty^{\mathbb R}(\Delta_h),L_q)=\lambda_{2n}(BH_\infty^{\mathbb R}(\Delta_h),L_q)=
d^{2n}(BH_\infty^{\mathbb R}(\Delta_h),L_q)\\
=\inf_{B\in\mathcal B_{2n}}\|B(e^{i\cdot})\|_q,
\end{multline}
где $\mathcal B_{2n}$ --- множество произведений Бляшке с $2n$ нулями, лежащими на единичной окружности.

Напомним, что {\it произведением Бляшке порядка $n$} для области $\Omega\subset\mathcal C$ называется функция вида
$$B(z)=\varepsilon\exp\biggl(-\sum_{j=1}^nP(z,\zeta_j)\biggr),$$
где $\zeta_1,\ldots,\zeta_n$ --- точки из $\Omega$, $|\varepsilon|=1$, $P(z,\zeta):=u(z,\zeta)+iv(z,\zeta)$, $u(z,\zeta)$ --- функция Грина области $\Omega$ с  особенностью в точке $\zeta$, а $v(z,\zeta)$ --- сопряженная к $u(z,\zeta)$ функция (в общем  случае  многозначная).

Функция $F(z,\zeta):=\exp(-P(z,\zeta))$, называемая иногда {\it комплексной функцией Грина}, для кольца $\Delta_h$ представляется через тета-функции (см.~\cite[с.~232]{12})
$$F(z,\zeta)=z^{-\sigma}\frac{H\left(\dfrac K{\pi i}(\ln z-\ln\zeta)\right)}{\Theta\left(\dfrac K{\pi i}(\ln z+\ln\ov\zeta)\right)},$$
где $\sigma:=\ln|\zeta|/\ln h$, $K$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $k$, определяемого из условия
$$\exp(-\pi K'/K)=h,$$
в котором $K'$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $k'=\sqrt{1-k^2}$. Модуль $k$ выражается через $h$ в явном виде (см.~\cite[с.~277]{12}): $k=\kappa(h)$, где
$$\kappa(h):=4h^{1/2}\biggl(\sum_{m=0}^\infty h^{m(m+1)}\biggr)^2\biggl(1+2\sum_{m=1}^\infty h^{m^2}\biggr)^{-2}.$$

Если $\zeta=\ei$, $0\le\theta<2\pi$, а $z=e^{iu}$, то в силу равенства (см.~\cite[с.~277]{12})
$$\frac{H(u)}{\Theta(u)}=\sqrt k\sn(u,k)$$
имеем
$$F(z,\zeta)=\sqrt k\sn\left(\frac K\pi(u-\theta),k\right).$$
В дальнейшем зависимость эллиптических функций от модуля будем отмечать лишь в случае, если он отличен от $k$.

Положим
$$\Lambda_n:=\{\,\theta:\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_n),\quad0\le\theta_1\le\ldots\le\theta_n
<2\pi\,\}.$$
Тогда
\begin{equation}\label{5}
\inf_{B\in\mathcal B_{2n}}\|B(e^{i\cdot})\|_q=\inf_{\theta\in\Lambda_{2n}}\biggl\|
k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(\cdot-\theta_j)\right)\biggr\|_q.
\end{equation}
Для решения последней экстремальной задачи нам потребуется обобщение одного результата А.~Пинкуса.

Обозначим через $S(f)$ число перемен знака кусочно-не\-пре\-рыв\-ной, вещественной и $2\pi$-периодической функции на периоде. Для вещественной, непрерывной и $2\pi$-периодической функции $\mathcal K$ положим
$$(\mathcal K*f)(x):=\int_0^{2\pi}\mathcal K(x-t)f(t)\,dt.$$
Будем говорить, что $\mathcal K\in NCVD$ (\selectlanguage{english}nondegenerate cyclic variation diminishing), \selectlanguage{russian}если $(\mathcal K*f)\le S(f)$ при всех f и
$$\dim\spann\{\mathcal K(x_1-\cdot),\ldots,\mathcal K(x_n-\cdot)\}=n$$
при всех $0\le x_1<\ldots<x_n<2\pi$ и всех $n$. Если при всех $0\le x_1<\ldots<x_{2l+1}<2\pi$,     $0\le y_1<\ldots<y_{2l+1}<2\pi$ выполняется неравенство
$$\varepsilon\det(\mathcal K(x_j-y_m))_{j,m=1}^{2l+1}>0,$$
где $\varepsilon=1$ или $\varepsilon=-1$, то говорят, что $\mathcal K\in SSC_{2l+1}$ (\selectlanguage{english}strictly sign consistent)\selectlanguage{russian}.

Для $\xi\in\Lambda_{2n}$ положим
$$h_\xi(t):=(-1)^{j+1},\quad t\in[\xi_{j-1},\xi_j)),\quad j=1,\ldots,2n+1,$$
где $\xi_0:=0$, $\xi_{2n+1}:=2\pi$. Через $h_n(t)$ обозначим функцию $h_\xi(t)$, когда
$\xi_j=(j-1)\pi/n$, $j=1,\ldots,2n$.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $\mathcal K\in NCVD$ и $\varphi$ --- неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция, определенная на $[0,\|\mathcal K\|]$, такая, что $\varphi'$ положительна и возрастает в интервале $(0,\|\mathcal K\|)$. Тогда при всех $1\le q\le\infty$
$$\inf_{\theta\in\Lambda_{2n}}\|\varphi(|\mathcal K*h_\xi|)\|_q=\|\varphi(|\mathcal K*h_n|)\|_q.$$
Причем, если $\mathcal K\in SSC_{2l+1}$, $l=0,1,\ldots,n$, и для $\xi^*\in\Lambda_{2n}$ достигается инфимум, то $\xi^*_{j+1}-\xi^*_j=\pi/n$, $j=1,\ldots,2n-1$.
\end{theorem}

Эта теорема для $\varphi(x)=x$ была доказана А.~Пинкусом \cite{13} (см. также \cite[с.~174]{4}). В общем случае доказательство проводится по той же схеме.

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $\varphi$ --- функция, определенная на $[0,1]$ и удовлетворяющая условиям теоремы~$\ref{T2}$. Тогда при всех $k\in(0,1)$ и $s\in\mathbb N$
\begin{multline*}
\inf_{\theta\in\Lambda_s}\biggl\|\varphi\biggl(\frac4\pi\arctg\biggl|
k^{s/2}\prod_{j=1}^s\sn\left(\frac K\pi(\cdot-\theta_j)\right)\biggr|\biggr)\biggr\|_q\\
=\begin{cases}\displaystyle\left(\frac{2\pi}\Lambda\int_0^1\frac{\varphi^q\left(\dfrac4\pi\arctg(\sqrt\lambda t)\right)\,dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}\right)^{1/q},&1\le q<\infty,\\
\varphi\left(\dfrac4\pi\arctg\sqrt\lambda\right),&q=\infty,\end{cases}
\end{multline*}
где $\lambda=\kappa(h^s)$, $h=\exp(-\pi K'/K)$, а $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл
первого рода для модуля $\lambda$. Причем, если для $\theta^*\in\Lambda_s$ достигается инфимум, то $\theta^*_{j+1}-\theta^*_j=2\pi/s$, $j=1,\ldots,s-1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Обозначим через $A_H$ класс аналитических в полосе $D_H$ функций, вещественных на  вещественной  оси, $2\pi$-периодических и удовлетворяющих условию
$$|\RE f(z)|\le1,\quad z\in D_H.$$

Функции из класса $A_H$ допускают представление
$$f(z)=\int_0^{2\pi}K_H(z-t)\RE f(t+iH)\,dt,$$
где
$$K_H(z)=\frac1{2\pi}\biggl(1+2\sum_{j=1}^\infty\frac{\cos jz}{\ch jH}\biggr).$$
Известно \cite[с.~128]{4}, что $K_H(t)\in NCVD$ при $t\in[0,2\pi)$. Более того, в
работе \cite{14} было доказано, что $K_H\in SSC_{2l+1}$ при всех $l=0,1,\ldots$.

Рассмотрим сначала случай, когда $s$ --- четное число. Пусть $s=2n$ и $\theta\in\Lambda_{2n}$. Положим
$$f_\theta(z):=\frac4\pi\arctg\biggl[
k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(z-\theta_j)\right)\biggr].$$
Поскольку $\sn(u+2K)=-\sn u$ и $|\sqrt k\sn u|<1$ при $|\IM z|<K'/2$, то $f_\theta\in A_H$ для
$H=\pi K'/(2K)$. Из равенства
\begin{equation}\label{6}
\sqrt k\sn(u+iK'/2)=\frac{(1+k)\sn u+i\cn u\dn u}{1+k\sn^2u}
\end{equation}
вытекает, что при $0\le u\le2K$
$$\sqrt k\sn(u+iK'/2)=\exp(i\omega(u)),$$
где $\omega(u)$ монотонно возрастает от $0$ до $\pi$. Так как для $|z|=1$ и $z\ne\pm i$
$$\RE\left(\frac4\pi\arctg z\right)=\sign\RE z,$$
то при всех $t\in[0,2\pi)$
$$\RE f_\theta(t+iH)=\sign\RE\exp\biggl(i\sum_{j=1}^{2n}\omega_j(t)\biggr),$$
где $\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}\omega_j(t)$ монотонно возрастает от некоторого $\alpha$ до $\alpha+2\pi n$. Отсюда следует существование $\xi\in\Lambda_{2n}$ такого, что
$$f_\theta(z)=\varepsilon(K_H*h_\xi)(z)$$
при $\varepsilon=1$ или $\varepsilon=-1$. Из теоремы~\ref{T2} для $\mathcal K=K_H$ получаем
\begin{equation}\label{7}
\inf_{\theta\in\Lambda_{2n}}\left\|\varphi(|f_\theta(\cdot)|)\right\|_q\ge\inf_{\theta\in
\Lambda_{2n}}\left\|\varphi(|(K_H*h_\xi)(\cdot)|)\right\|_q=
\left\|\varphi(|(K_H*h_n)(\cdot)|)\right\|_q.
\end{equation}

Обозначим через $f_n$ функцию $f_\theta$ при $\theta_j=(j-1)\pi/n$, $j=1,\ldots,2n$. Пользуясь равенствами
$$\sn(u-2K)=-\sn u,\quad\sn(u+v)\sn(u-v)=\frac{\sn^2u-\sn^2v}{1-k^2\sn^2u\sn^2v},$$
а также первым главным преобразованием эллиптических функций $2n$-ой степени (см. \cite{12}), находим
\begin{multline*}
f_n\left(z-\frac\pi{2n}\right)\\=\frac4\pi\arctg\biggl[(-1)^n
k^n\prod_{j=1}^n\sn\left(\frac K\pi z-\frac{2j-1}{2n}K\right)\sn\left(\frac K\pi z+\frac{2j-1}{2n}K\right)\biggr]\\
=\frac4\pi\arctg\left[k^n\prod_{j=1}^n\frac{\sn^2\dfrac{2j-1}{2n}K-\sn^2\dfrac K\pi z}{1-k^2\sn^2\dfrac{2j-1}{2n}K\sn^2\dfrac K\pi z}\right]\\
=\frac4\pi\arctg\left[\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z+\Lambda,\lambda\right)\right],
\end{multline*}
где $\Lambda'/\Lambda=2nK'/K$, $\lambda=\kappa(h^{2n})$. Таким образом,
$$f_n(z)=-\frac4\pi\arctg\left[\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda\right)\right].$$
Поскольку $f_n\in A_H$ и, кроме того, в силу \eqref{6}
$$\RE f_n(t+iH)=-\sign\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda\right)=h_n(t),$$
то $f_n(z)=(K_H*h_n)(z)$. Тем самым, учитывая \eqref{7}, имеем
\begin{multline*}
\inf_{\theta\in\Lambda_{2n}}\left\|\varphi(|f_\theta(\cdot)|)\right\|_q=
\left\|\varphi(|f_n(\cdot)|)\right\|_q\\
=\left\|\varphi\left(\frac4\pi\arctg\sqrt\lambda
\left|\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi\cdot,\lambda\right)\right|\right)\right\|_q.
\end{multline*}
Отсюда непосредственно вытекает утверждение теоремы в рассматриваемом случае, если $q=\infty$. При $1\le q<\infty$ после замен $x=\dfrac{2n\Lambda}\pi z$ и $t=\sn(x,\lambda)$, пользуясь свойствами эллиптического синуса, получаем
\begin{multline*}
\left\|\varphi\left(\frac4\pi\arctg\sqrt\lambda
\left|\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi\cdot,\lambda\right)\right|\right)\right\|_q\\
=\biggl(\frac{2\pi}\Lambda\int_0^\Lambda\varphi^q\left(\frac4\pi\arctg\left(\sqrt\lambda
\sn(x,\lambda)\right)\right)\,dx\biggr)^{1/q}\\
=\left(\frac{2\pi}\Lambda\int_0^1\frac{\varphi^q\left(\dfrac4\pi\arctg\left(\sqrt\lambda
t\right)\right)\,dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}\right)^{1/q}.
\end{multline*}
Если для $\theta\in\Lambda_{2n}$ достигается инфимум в левой части \eqref{7}, то в силу
теоремы~\ref{T2} с точностью до сдвига функция $f_\theta$ совпадает с $K_H*h_n$ и,
следовательно, нули функции $f_\theta$ распределены равномерно с шагом $\pi/n$.

Пусть теперь $s$ --- нечетное число. С помощью преобразования Ландена \cite[с.~283]{12} находим
\begin{equation}\label{8}
\sqrt k\sn\left(\frac{2K}\pi u\right)=-l\sn\left(\frac L\pi u,l\right)\sn\left(\frac L\pi (u-\pi),l\right),
\end{equation}
где
$$l=\frac{2\sqrt k}{1+k},\quad\frac{L'}L=\frac{K'}{2K},$$
а $L$ и $L'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $l$ и $l'=\sqrt{1-l^2}$ соответственно. Из равенства \eqref{8} имеем
$$k^{s/2}\prod_{j=1}^s\sn\left(\frac K\pi(t-\theta_j)\right)=(-1)^sl^s\prod_{j=1}^{2s}\sn\left(\frac L\pi\left(\frac t2-\frac{\theta_j}2\right),l\right),$$
где $\theta_{n+j}=2\pi+\theta_j$, $j=1,\ldots,n$. Теперь утверждение теоремы вытекает из
соответствующего утверждения для четного случая. Теорема доказана.
\end{proof}

Положим
$$J_q(\lambda):=\int_0^1\frac{t^q\,dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}.$$

Из хорошо известных соотношений
\begin{gather*}
\int_0^1x^q(1-x^2)^{-1/2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}2\cdot\frac{\Gamma\left(\dfrac{q+1}2\right)}
{\Gamma\left(\dfrac q2+1\right)},\\
\Lambda=\frac\pi2\biggl(1+2\sum_{m=1}^\infty h_1^{m^2}\biggr)^2,\quad h_1=\exp\left(-\pi\frac{\Lambda'}\Lambda\right)=h^s,
\end{gather*}
следует асимптотическое равенство
\begin{equation}\label{9}
\sqrt\lambda\left(\frac{2\pi}\Lambda J_q(\lambda)\right)^{1/q}=2\left(2\sqrt\pi
\frac{\Gamma\left(\dfrac{q+1}2\right)}
{\Gamma\left(\dfrac q2+1\right)}\right)^{1/q}h^{s/4}+O\left(h^{5s/4}\right).
\end{equation}

С помощью отображения $z=e^{iw}$ можно свести задачу о вычислении
поперечников класса $B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H)$ к соответствующей задаче для  класса $BH_\infty^{\mathbb R}(\Delta_h)$, где $h=e^{-2H}$. Таким образом, из \eqref{4}, \eqref{5}, теоремы~\ref{T3} и \eqref{9} получаем

\begin{theorem}\label{T4}
Для $L_q:=L_q[0,2\pi]$ при всех $n\in\mathbb N$ имеют место равенства
\begin{multline*}
d_{2n}\left(B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H),L_q\right)=\lambda_{2n}\left(B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H),L_q\right)=d^{2n}\left(B\widetilde H_\infty^{\mathbb R}(D_H),L_q\right)\\
=\begin{cases}\sqrt\lambda\left(\dfrac{2\pi}\Lambda J_q(\lambda)\right)^{1/q}=2\left(2\sqrt\pi
\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{q+1}2\right)}
{\Gamma\left(\dfrac q2+1\right)}\right)^{1/q}e^{-Hn}\\
\hspace{172pt}+O\left(e^{-5Hn}\right),\quad1\le q<\infty,\\
\sqrt\lambda,\hspace{252pt}q=\infty,\\
\end{cases}
\end{multline*}
где $\lambda=\kappa\left(e^{-4Hn}\right)$.
\end{theorem}

\section{Оптимальные квадратурные формулы}

Рассмотрим величину $e(L,I_\tau,W,\delta)$, когда $W\subset BH_\infty(\Omega)$,
$$Lx=\int_Gx(t)\,d\mu(t),$$
$G\in\Omega$, $\mu$ --- неотрицательная мера на $G$, $\tau=(t_1,\ldots,t_n)$, $t_j$ ---  различные точки из множества $G$, а $Y=l_p^n$, $1\le p\le\infty$. Положим в этом случае
\begin{equation}\label{10}
e_{np}((W,\delta):=\inf_{t_j\in G}e(L,I_\tau,W,\delta).
\end{equation}
Узлы, на которых достигается нижняя грань, будем называть оптимальными. Таким образом, задача \eqref{10} является задачей о нахождении оптимального метода интегрирования функции $x\in W$,  использующего $n$ приближенных значений $\widetilde x(t_1),\ldots,\widetilde x(t_n)$ таких, что
$$\biggl(\sum_{j=1}^n\widetilde x(t_j)-x(t_j)|^p\biggr)^{1/p}\le\delta\quad\mbox{при}\quad1\le p<\infty$$
или
$$\max_{1\le j\le n}|\widetilde x(t_j)-x(t_j)|\le\delta\quad\mbox{при}\quad p=\infty.$$

Рассмотрим задачу \eqref{10} для $W=B\widetilde H_\infty(D_H)$ и
$$Lx=\int_0^{2\pi}x(t)\,dt.$$

В тривиальном случае, когда $\delta\ge n^{1/p}$ (в дальнейшем все выражения с $p$ при $p=\infty$ понимаются как предельные значения при $p\to\infty$), из равенства \eqref{3}  вытекает, что для любой системы узлов $e(L,I_\tau,B\widetilde H_\infty(D_H),\delta)=2\pi$, $x(t)\equiv1$ --- экстремальная функция, а $Lx\approx0$ --- оптимальный метод (тем самым любой набор узлов оптимальный).

Положим
$$J_q(\lambda,\Delta):=\int_0^1\left(\frac{\lambda t^2+\Delta}{1+\Delta\lambda t^2}\right)^{q/2}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}.$$

\begin{theorem}\label{T5}
Пусть $1\le p\le\infty$ и $0\le\delta<n^{1/p}$. Тогда

$1)$ квадратурная формула
\begin{equation}\label{11}
\int_0^{2\pi}x(t)\,dt\approx\frac{2\pi}n(1-\Delta^2)^{-1}(1-\Lambda^{-1}J_4(\lambda,\Delta))
\sum_{j=0}^{n-1}\widetilde x\left(j\frac{2\pi}n\right),
\end{equation}
в которой $\Delta=\delta n^{-1/p}$, а $\lambda=\kappa(e^{-2Hn})$, является оптимальным методом интегрирования на классе $B\widetilde H_\infty(D_H)$ по значениям, заданным с погрешностью $\delta$ в норме $Y=l_p^n$;

$2)$ имеет место равенство
\begin{multline*}
e_{np}(B\widetilde H_\infty(D_H),\delta)=2\pi\Lambda^{-1}J_2(\lambda,\delta n^{-1/p})
=2\pi\delta n^{-1/p}\\
+4\pi(1-\delta^2n^{-2/p})e^{-Hn}+4\pi\delta(4-3\delta^2n^{-2/p})n^{-1/p}e^{-2Hn}
+O\left(e^{-3Hn}\right);
\end{multline*}

$3)$ узлы $t_j^*=(j-1)\dfrac{2\pi}n$, $j=1,\ldots,n$, --- единственные с точностью до
сдвига оптимальные узлы.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $0\le t_1<\ldots<t_n<2\pi$. Положим для $k$, определенного из условия $\dfrac{\pi K'}{2K}=H$,
$$W(z):=k^{n/2}\prod_{j=1}^n\sn\left(\frac K\pi(z-t_j)\right).$$
Нетрудно убедиться, что $W^2(z)\in B\widetilde H_\infty(D_H)$, причем при всех $s\in\mathbb R$
\ $|W(s\pm iH)|=1$. Для $t\in[0,2\pi)$ и $x\in B\widetilde H_\infty(D_H)$ рассмотрим интеграл
$$Jx:=\frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac K\pi\cdot\frac{W^2(t)(1+\Delta W^2(\xi))^2}
{W^2(\xi)(1+\Delta W^2(t))^2}\ctn\left(\frac K\pi(\xi-t)\right)x(\xi)\,d\xi,$$
где $\ctn z:=\cn z\dn z/\sn z$, а $\Gamma$ --- граница прямоугольника: $-\varepsilon\le\RE z\le2\pi-\varepsilon$, $|\IM z|\le H$, в котором $\varepsilon>0$ выбрано из условия, чтобы
точки $t,t_1,\ldots,t_n$ лежали внутри этого прямоугольника. По теореме о вычетах будем иметь
\begin{equation}\label{12}
Jx=x(t)-\sum_{j=1}^n(a_{j0}(t)x(t_j)+a_{j1}(t)x'(t_j)),
\end{equation}
где
\begin{align*}
a_{j1}(t)=&\frac K\pi\cdot\frac{W^2(t)}
{W'^2(t_j)(1+\Delta W^2(t))^2}\ctn\left(\frac K\pi(t-t_j)\right),\\
a_{j0}(t)=&\frac{K^2}{\pi^2}\cdot\frac{W^2(t)}{W'^2(t_j)(1+\Delta W^2(t))^2}\cdot
\frac{1-k^2\sn^4\left(\dfrac K\pi(t-t_j)\right)}{\sn^2\left(\dfrac K\pi(t-t_j)\right)}\\
&\hspace{236pt}
-\frac{W''(t_j)}{W'(t_j)}a_{j1}(t).
\end{align*}

Рассмотрим при фиксированном $t\in[0,2\pi)$ функцию
$$f(\xi):=\frac K\pi\cdot\frac{W^2(t)}{W^2(\xi)(1+\Delta W^2(t))^2}\ctn\left(\frac K\pi(\xi-t)\right).$$
Функция $f$ является эллиптической функцией с периодами $2\pi$ и $i2\pi K'/K$. С точностью до периодов все полюсы $f$ находятся в точках $t,t_1,\ldots,t_n$ и $t+i\pi K'/K$. Пользуясь тем, что сумма вычетов эллиптической функции относительно всех полюсов, лежащих внутри параллелограмма периодов равна нулю (см.\ \cite[с.~16]{12}), получаем
\begin{equation}\label{13}
(1+\Delta W^2(t))^{-2}-\sum_{j=1}^na_{j0}(t)-W^4(t)(1+\Delta W^2(t))^{-2}=0.
\end{equation}

В силу $2\pi$-периодичности функций $W^2(z)$ и $\ctn\left(\dfrac K\pi z\right)$ в интеграле $Jx$  \ $\Gamma$ можно заменить на $\Gamma_0:=[2\pi+iH,iH]\cup[-iH,2\pi-iH]$. Из свойств эллиптических функций вытекают равенства
$$\ctn\left(\frac K\pi(s\pm iH)\right)=\ctn\left(\frac K\pi s\pm i\frac{K'}2\right)=\mp i(1+k)
\frac{1-k\sn^2\left(\dfrac K\pi s\right)}{1+k\sn^2\left(\dfrac K\pi s\right)}.$$
Тем самым интеграл $Jx$ может быть записан в виде
\begin{equation}\label{14}
Jx=\alpha\int_{\Gamma_1}\ov{g(\xi)}\chi(\xi,t)x(\xi)\,d\mu(\xi),
\end{equation}
где
\begin{gather*}
\alpha:=\frac{K(1+k)W^2(t)}{2\pi^2(1+\Delta W^2(t))^2},\quad g(\xi):=\frac{W^2(\xi)+\Delta}
{1+\Delta W^2(\xi)},\\
\chi(\xi,t):=\frac{(1+\Delta W^2(\xi))(W^2(\xi)+\Delta)}{W^2(\xi)}\cdot
\frac{1-k\sn^2\left(\dfrac K\pi(\RE\xi-t)\right)}{1+k\sn^2\left(\dfrac K\pi(\RE\xi-t)\right)},
\end{gather*}
а $\Gamma_1:=[iH,2\pi+iH]\cup[-iH,2\pi-iH]$ с мерой $d\mu(s\pm iH)=ds$. Поскольку $|W(\xi)|=1$ при $\xi\in\Gamma_1$, то $|g(\xi)|=1$ и $\chi(\xi,t)>0$ при всех $\xi\in\Gamma_1$ и $t\in[0,2\pi)$. Из равенств \eqref{12} и \eqref{14} получаем представление
$$\int_0^{2\pi}x(t)\,dt-\sum_{j=1}^n(A_{j0}x(t_j)+A_{j1}x'(t_j))=\alpha\int_{\Gamma_1}
\ov{g(\xi)}\Psi(\xi)x(\xi)\,d\mu(\xi),$$
в котором
$$\Psi(\xi):=\int_0^{2\pi}\chi(\xi,t)\,dt,\quad A_{jm}:=\int_0^{2\pi}a_{jm}(t)\,dt,\quad m=0,1.$$

Обозначим через $W_0(t)$ функцию $W(t)$ для узлов $t_j^*$ (соответствующую функцию $g$ в этом  случае обозначим через $g_0$). С помощью первого главного преобразования эллиптических функций $n$-ой степени можно показать, что
\begin{equation}\label{15}
W_0(t)=(-1)^{n+1}\sqrt\lambda\sn\left(\frac{n\Lambda}\pi t,\lambda\right),
\end{equation}
где $\lambda=\kappa\left(e^{-2Hn}\right)$. Следовательно, $W_0^2(t+t_j^*)=W_0^2(t)$ и в силу  нечетности $\ctn z$ имеем
\begin{multline*}
\int_0^{2\pi}\frac{W_0^2(t)}{(1+\Delta W_0^2(t))^2}\ctn\left(\frac K\pi(t-t_j^*)\right)\,dt\\
=\int_{-\pi}^\pi\frac{W_0^2(t)}{(1+\Delta W_0^2(t))^2}\ctn\left(\frac K\pi t\right)\,dt=0.
\end{multline*}
Тем самым $A_{j1}=0$, $j=1,\ldots,n$. Используя аналогичные соображения, находим
$$A_{j0}=\frac{K^2}{\pi^2W'^2_0(t_j)}\int_0^{2\pi}\frac{W_0^2(t)}{(1+\Delta W_0^2(t))^2}\cdot
\frac{1-k^2\sn^4\left(\dfrac K\pi t\right)}{\sn^2\left(\dfrac K\pi t\right)}\,dt.$$
Из \eqref{15} можно найти $W'_0(t_j)$ и убедиться, что $A_{10}=\ldots=A_{n0}=:A$.

Для нахождения величины $A$ воспользуемся равенством \eqref{13}, интегрируя которое, получаем
$$nA=\sum_{j=1}^nA_{j0}=\int_0^{2\pi}\frac{1-W_0^4(t)}{(1+\Delta W_0^2(t))^2}\,dt=(1-\Delta^2)^{-1}\int_0^{2\pi}(1-g_0^2(t))\,dt.$$
Делая в последнем интеграле замены переменных $\dfrac{n\Lambda}\pi t=z$, $x=\sn(\lambda,t)$,
находим
$$A=\frac{2\pi}n(1-\Delta^2)^{-1}(1-\Lambda^{-1}J_4(\lambda,\Delta)).$$

Итак, доказано равенство
$$\int_0^{2\pi}x(t)\,dt-A\sum_{j=1}^nx(t_j^*)=\alpha\int_{\Gamma_1}
\ov{g_0(\xi)}\Psi(\xi)x(\xi)\,d\mu(\xi).$$
Положим для $z=(z_1,\ldots,z_n)\in l_p^n$ \ $\displaystyle\la y_0^*,z\ra:=A\sum_{j=1}^nz_j$. Тогда для $\tau^*:=(t_1^*,\ldots,t_n^*)$
$$\la y_0^*,I_{\tau^*}g_0\ra=A\sum_{j=1}^ng_0(t_j^*)=A\delta n^{1-1/p}=\delta\|y_0^*\|.$$
Кроме того, $\|I_{\tau^*}g_0\|_p=\delta$. Применяя теорему~\ref{T1}, получаем, что квадратурная формула \eqref{11} является наилучшим методом интегрирования на классе $B\widetilde H_\infty(D_H)$ по значениям в системе узлов $\tau^*$, заданным с погрешностью $\delta$ в норме $l_p^n$, причем функция $g_0$ экстремальная. Следовательно,
\begin{equation}\label{16}
e_{np}(B\widetilde H_\infty(D_H),\delta)\le\int_0^{2\pi}g_0(t)\,dt.
\end{equation}

С другой стороны, так как для любой системы узлов $\tau$ функция $g\in B\widetilde H_\infty(D_H)$ и $\|I_\tau g\|_p=\delta$, то из равенства \eqref{3} и теоремы~\ref{T3}, положив
$$\varphi(x):=\varphi_1\left(\tg\frac\pi4x\right),\quad\varphi_1(y):=
\frac{y^2+\Delta}{1+\Delta y^2},$$
имеем
\begin{equation}\label{17}
e_{np}(B\widetilde H_\infty(D_H),\delta)\ge\inf_{\tau\in\Lambda_n}\int_0^{2\pi}g(t)\,dt
=\int_0^{2\pi}\varphi_1(|W_0(t)|)\,dt.
\end{equation}
Поскольку $\varphi_1(|W_0(t)|)=g_0(t)$, то из \eqref{16} и \eqref{17} получаем
$$e_{np}(B\widetilde H_\infty(D_H),\delta)=\int_0^{2\pi}g_0(t)\,dt.$$
Выражение для этой величины через функцию $J_2$ получается аналогично нахождению значения $A$, а асимптотическое равенство --- аналогично равенству \eqref{9}.

Утверждение $3$) вытекает из того, что инфимум в \eqref{17} достигается только для системы точек, равномерно распределенных с шагом $2\pi/n$. Теорема доказана.
\end{proof}

Обозначим через $\mbox{\bf Э}_c$ внутренность эллипса с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c>1$. Рассмотрим задачу \eqref{10} для $W=BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c)$ и
$$Lx=\int_{-1}^1x(t)\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}.$$

При $\delta\ge n^{1/p}$ решение этой задачи тривиально и может быть получено из тех же соображений, которые использовались ранее для класса $B\widetilde H_\infty(D_H)$.

\begin{theorem}\label{T6}
Пусть $1\le p\le\infty$ и $0\le\delta<n^{1/p}$. Тогда

$1)$ квадратурная формула
\begin{equation}\label{18}
\int_{-1}^1x(t)\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\approx\frac{\pi}n(1-\Delta^2)^{-1}(1-\Lambda^{-1}J_4
(\lambda,\Delta))
\sum_{j=1}^n\widetilde x\left(\cos\frac{2j-1}{2n}\pi\right),
\end{equation}
в которой $\Delta=\delta n^{-1/p}$, а $\lambda=\kappa(c^{-4n})$, является оптимальным методом интегрирования на классе $BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c)$ по значениям, заданным с погрешностью $\delta$ в норме $Y=l_p^n$;

$2)$ имеет место равенство
\begin{multline*}
e_{np}(BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c),\delta)=\pi\Lambda^{-1}J_2(\lambda,\delta n^{-1/p})
=\pi\delta n^{-1/p}\\
+2\pi(1-\delta^2n^{-2/p})c^{-2n}+2\pi\delta(4-3\delta^2n^{-2/p})n^{-1/p}c^{-4n}
+O\left(c^{-6n}\right);$$
\end{multline*}

$3)$ узлы $\left\{\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi\right\}_{j=1}^n$ являются единственными оптимальными узлами.
\end{theorem}

\begin{proof}
Если $x(t)\in BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c)$, то $x(\cos t)\in B\widetilde H_\infty(D_H)$ при $H=\ln c$. Применяя теорему~\ref{T5}, получим, что погрешность квадратурной формулы \eqref{18}, а следовательно, и оптимального метода интегрирования не превосходит величины
$$\frac12e_{2n,p}(B\widetilde H_\infty(D_H),2^{1/p}\delta)=\frac12e_{n,p}(B\widetilde H_\infty(D_H),\delta)=\pi\Lambda^{-1}J_2(\lambda,\delta n^{-1/p}).$$

Для оценки снизу воспользуемся равенством \eqref{3}. Функция
\begin{equation}\label{19}
z=k\sn^2\left(\dfrac K\pi\arccos t\right)
\end{equation}
конформно отображает область $\mbox{\bf Э}_c$ на единичный диск $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ и
переводит отрезок $[-1,1]$ в отрезок $[0,k]$, где $k$ удовлетворяет равенству $\pi K'/K=2\ln c$. Положив $H_\infty:=H_\infty(D)$, с помощью замены переменной \eqref{19} из \eqref{3} находим
$$e_{np}(BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c),\delta)=\infp_{0\le z_1<\ldots<z_n\le k}\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\\|I_\tau f\|_p\le\delta}}\biggl|\int_0^kf(z)q(z)\,dz\biggr|,$$
где $\tau=(z_1,\ldots,z_n)$, а $q(z)=\dfrac\pi{2K}(z(k-z)(1-kz))^{-1/2}$. Положим
$$W_\tau(z):=\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-z_jz},\quad g_\tau(z):=\varphi_1(W_\tau(z)),$$
где $\varphi_1(y)=(y^2+\Delta)/(1+\Delta y^2)$. Легко видеть, что $g_\tau\in BH_\infty$ и $\|I_\tau g_\tau\|_p=\delta$. Таким образом,
$$e_{np}(BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c),\delta)\ge\inf_{\tau\in[0,k]^n}\int_0^kg_\tau(z)q(z)\,dz.$$
Сделав в последнем интеграле замену $z=k\sn^2\left(\dfrac K\pi t\right)$, получаем неравенство
\begin{equation}\label{20}
e_{np}(BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c),\delta)\ge\inf_{\theta\in\Lambda_n}\int_0^\pi\varphi\left(\frac4\pi
\arctg|f_\theta(t)|\right)\,dt,
\end{equation}
в котором $\varphi$ определено в теореме~\ref{T5}, а
\begin{multline*}
f_\theta(t):=k^n\prod_{j=1}^n\frac{\sn^2\left(\dfrac K\pi t\right)-\sn^2\left(\dfrac K\pi \theta_j\right)}{1-k^2\sn^2\left(\dfrac K\pi \theta_j\right)\sn^2\left(\dfrac K\pi t\right)}\\=k^n\prod_{j=1}^n\sn\left(\frac K\pi(t-\theta_j)\right)\sn\left(\frac K\pi(t+\theta_j)\right).
\end{multline*}
Применяя к правой части неравенства \eqref{20} теорему~\ref{T3}, будем иметь
$$e_{np}(BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c),\delta)\ge\frac12\int_0^\pi\varphi\left(\frac4\pi
\arctg|f_0(t)|\right)\,dt,$$
где через $f_0$ обозначена функция $f$ для $\theta_j=\dfrac{2j-1}{2n}\pi$, $j=1,\ldots,n$.
Нетрудно убедиться (с помощью первого главного преобразования эллиптических функций $2n$-ой степени), что
\begin{multline*}
f_0(t)=(-1)^{n+1}\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi t+\Lambda,\lambda\right),\quad\lambda=\kappa\left(e^{-2n\pi K'/K}\right)\\=\kappa\left(c^{-4n}\right).
\end{multline*}
Тем самым
$$e_{np}(BH_\infty(\mbox{\bf Э}_c),\delta)\ge\pi\Lambda^{-1}J_2(\lambda,\delta n^{-1/p}).$$
Единственность оптимальных узлов следует из единственности равномерной системы узлов с шагом $\pi/n$, симметричной относительно нуля. Теорема доказана.
\end{proof}

\section{Оптимальное восстановление аналитических функций}

Рассмотрим задачу оптимального восстановления функции $x\in W$ по точным значениям в системе узлов $\tau=(t_1,\ldots,t_n)$. Положим
\begin{align}\label{21}
e(t,I_\tau,W):=&e(L_t,I_\tau,W,0)\\
e(E,\mathcal T,W):=&\infp_{\tau\in\mathcal T}\sup_{t\in E}e(t,I_\tau,W),\label{22}
\end{align}
где $E$ --- некоторое множество из области определения функций класса $W$, а $\mathcal T$ ---  заданное множество систем $\tau$. Системы, на которых достигается нижняя грань в \eqref{22}, будем называть {\it оптимальными}.

Пусть $W=B\widetilde H_\infty(D_H)$, $E=[0,2\pi)$ и $\mathcal T=\{\tau=(t_1,\ldots,t_n):0\le t_1<\ldots<t_n<2\pi\}$. Величину \eqref{22} в этом случае обозначим через $e_n(B\widetilde H_\infty(D_H))$.

\begin{theorem}\label{T7}
Имеет место равенство
$$e_{2n}(B\widetilde H_\infty(D_H))=\left(\kappa(e^{-4Hn})\right),$$
причем единственными с точностью до сдвига оптимальными узлами являются узлы $t_j^*=(j-1)\pi/n$, $j=1,\ldots,2n$. Метод
$$x(t)\approx\frac K{2n\Lambda}\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi t,\lambda\right)\sum_{j=0}^{2n-1}(-1)^j\ctn\left(\frac K\pi t-j\frac Kn\right)x\left(j\frac\pi n\right),$$
в котором $k=\kappa(e^{-2H})$, а $\lambda=\kappa(e^{-4Hn})$, является оптимальным методом восстановления на классе $B\widetilde H_\infty(D_H)$ при всех $t\in\mathbb R$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $0\le t_1<\ldots<t_{2n}<2\pi$. Положим
$$W(t):=k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(t-t_j)\right),$$
где $k$ выбрано из условия $\pi K'/K=2H$ (тем самым $k=\kappa(e^{-2H})$). Нетрудно убедиться, что $W\in B\widetilde H_\infty(D_H)$. Рассматривая для $t\in[0,2\pi)$ и $x\in B\widetilde H_\infty(D_H)$ интеграл
$$Jx:=\frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac{KW(t)}{\pi W(\xi)}\ctn\left(\frac K\pi(\xi-t)\right)x(\xi)\,d\xi,$$
аналогично доказательству теоремы~\ref{T5} можно показать, что имеет место равенство
\begin{multline*}
x(t)-\frac K\pi W(t)\sum_{j=1}^{2n}\frac1{W'(t_j)}\ctn\left(\frac K\pi(t-t_j)\right)x(t_j)\\
=\int_{\Gamma_1}\ov{W(\xi)}\varphi_1(\xi)x(\xi)\,d\mu(\xi),
\end{multline*}
где
$$\varphi_1(\xi):=\frac{K(1+k)W^2(t)}{2\pi^2}\cdot
\frac{1-k\sn^2\left(\dfrac K\pi(\RE\xi-t)\right)}{1+k\sn^2\left(\dfrac K\pi(\RE\xi-t)\right)}$$
(за $\Gamma$, $\Gamma_1$ и $\mu$ сохранены те же обозначения, что и в доказательстве теоремы~\ref{T5}). Поскольку $\varphi_1(\xi)>0$ при всех $\xi\in\Gamma_1$, то из теоремы~\ref{T1} следует оптимальность метода восстановления
\begin{equation}\label{23}
x(t)\approx\frac K\pi W(t)\sum_{j=1}^{2n}\frac1{W'(t_j)}\ctn\left(\frac K\pi(t-t_j)\right)x(t_j)
\end{equation}
для любой системы узлов $\tau=(t_1,\ldots,t_{2n})$, а также равенство
$$e(L_t,I_\tau,B\widetilde H_\infty(D_H),0)=|W(t)|.$$
Теперь доказываемое утверждение вытекает из теоремы~\ref{T3} и вида функции $W$ для системы узлов $t_j^*=(j-1)\pi/n$, $j=1,\ldots,2n$, найденного в доказательстве теоремы~\ref{T3}.
\end{proof}

Отметим, что построенный нами оптимальный метод восстановления \eqref{23} может быть также получен из работы \cite{15}, пользуясь связью между классами $B\widetilde H_\infty(D_H)$ и $BH_\infty(\Delta_h)$ при $h=e^{-2H}$.

Рассмотрим задачу \eqref{22}, когда $\tau$ --- бесконечная система узлов. В этом случае для получения интегрального представления, используемого при построении оптимального метода  восстановления, нам потребуется один вспомогательный результат.

Напомним, что {\it бесконечным произведением Бляшке для единичного диска} $D$ называется функция вида
\begin{equation}\label{24}
B(z)=\prod_{n=1}^\infty-\frac{\ov z_n}{|z_n|}\cdot\frac{z-z_n}{1-\ov z_nz},
\end{equation}
где $z_n\in D$ (для $z_n=0$ частное $-\ov z_n/|z_n|$ заменяется на единицу и в соответствии с этим будем считать, что $\sign0=1$). Известно (см., например, \cite[с.~61]{16}), что если $z_n\in D$ удовлетворяют условию Бляшке
$$\sum_{n=1}^\infty(1-|z_n|)<\infty,$$
то произведение \eqref{24} сходится в $D$, $B(z)\in BH_\infty$ и $|B(\ei)|=1$ почти всюду.

Через $H_p$, $1\le p<\infty$, будем обозначать множество аналитических в единичном диске $D$ функций, для которых
$$\|f\|_{H_p}:=\sup_{0<r<1}\biggl(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(\ei)|^p\,d\theta\biggr)^{1/p}
<\infty.$$

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть последовательности $\{z_j\}_{-\infty}^\infty$, $\{\nu_j\}_{-\infty}^\infty$ таковы, что $-1<z_j<z_{j+1}<1$, $\nu_j\in\mathbb N$, $j=0,\pm1,\ldots$,
$$\sum_{j=-\infty}^\infty\nu_j(1-|z_j|)<\infty,$$
и для
$$B(z):=\prod_{j=-\infty}^\infty\biggl(-\sign z_j\frac{z-z_j}{1-z_jz}\biggr)^{\nu_j}$$
существуют такие $\alpha_j\in(z_j,z_{j+1})$, $j=0,\pm1,\ldots$, что
$$|B(\alpha_j)|\ge c>0.$$
Тогда для любой функции $f\in H_p$, $1\le p\le\infty$, имеет место равенство
$$\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{f(z)}{B(z)}\,dz=\sum_{j=-\infty}^\infty\frac{(-\sign z_j)^{\nu_j}}{(\nu_j-1)!}\left[\frac{f(z)(1-z_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)}
\right]_{\big|z=z_j}^{(\nu_j-1)},$$
где
$$\omega_j(z):=\prod_{k\ne j}\biggl(-\sign z_k\frac{z-z_k}{1-z_kz}\biggr)^{\nu_k}.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Поскольку $H_p\subset H_1$ для всех $1<p\le\infty$, то достаточно рассмотреть случай $p=1$. Без  ограничения общности будем считать, что $z_j\ne0$, $j=0,\pm1,\ldots$ (в противном случае с помощью конформного преобразования единичного круга можно прийти к рассматриваемой ситуации). Из неравенства Фейера--Рисса (см. \cite [с.~46]{17})
$$\int_{-1}^1|f(x)|\,dx\le\pi\|f\|_{H_1}$$
и того, что  при всех $x\in(0,1)$
$$\left|\frac{ix-z_j}{1-z_jix}\right|\ge|z_j|,$$
а следовательно, $|B(ix)|\ge|B(0)|$, вытекает существование интегралов
$$I_k:=\frac1{2\pi i}\int_{\partial D_k}\frac{f(z)}{B(z)}\,dz,\quad k=0,1,$$
где $D_k:=\{z\in D:(-1)^k\RE z>0\}$. Таким образом,
$$\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{f(z)}{B(z)}\,dz=I_0+I_1.$$

Пусть для определенности $z_0<0<z_1$. Докажем, что
\begin{equation}\label{25}
I_0=\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{\nu_j}}{(\nu_j-1)!}\left[\frac{f(z)(1-z_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)}
\right]_{\big|z=z_j}^{(\nu_j-1)}
\end{equation}
Зафиксируем произвольное $\varepsilon>0$ и выберем $\varphi\in(0,\pi/2)$ так, чтобы
$$\frac1{2\pi}\int_{-\varphi}^\varphi|f(\ei)|\,d\theta<\varepsilon.$$
Тогда в силу хорошо известного равенства (см., например, \cite[с.~390]{18})
$$\lim_{r\to1}\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r\ei)-f(\ei)|\,d\theta=0$$
существует такое $r_1\in(0,1)$, для которого при всех $r\in(r_1,1)$
$$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r\ei)-f(\ei)|\,d\theta<\varepsilon.$$
Тем самым при всех $r\in(r_1,1)$ имеем
\begin{multline}\label{26}
\frac1{2\pi}\int_{-\varphi}^\varphi|f(r\ei)|\,d\theta\le\frac1{2\pi}\int_{-\varphi}^\varphi
|f(\ei)|\,d\theta\\
+\frac1{2\pi}\int_{-\varphi}^\varphi|f(r\ei)-f(\ei)|\,d\theta<2\varepsilon.
\end{multline}
Из неравенства Фейера--Рисса следует существование $r_2\in(0,1)$, для которого
\begin{equation}\label{27}
\frac1{2\pi}\int_{r_2}^1|f(x\ei)|\,dx<\varepsilon
\end{equation}
при $\theta=\pm\varphi$. Пусть
$$r_0:=\max\{r_1,r_2,(1-\sin\varphi)/(1+\sin\varphi)\},\quad N:=\max\{n:\alpha_n\le r_0\}.$$
Тогда, положив
\begin{align*}
S_n:=&\{\,z\in D:|z|>\alpha_n,\ |\arg z|<\varphi\,\},\quad\Omega_n:=D_0\setminus S_n,\\
\Gamma_n:=&\partial D\cap\partial S_n,\quad\gamma_n:=D\cap\partial S_n,
\end{align*}
будем иметь для всех $n>N$
\begin{multline*}
R_n:=\biggl|I_0-\sum_{j=1}^n\frac{(-1)^{\nu_j}}{(\nu_j-1)!}\left[\frac{f(z)(1-z_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)}
\right]_{\big|z=z_j}^{(\nu_j-1)}\biggr|\\
=\biggl|I_0-\frac1{2\pi i}\int_{\partial\Omega_n}\frac{f(z)}{B(z)}\,dz\biggr|=
\biggl|\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_n}\frac{f(z)}{B(z)}\,dz-\frac1{2\pi i}\int_{\gamma_n}\frac{f(z)}{B(z)}\,dz\biggr|\\
\le\frac1{2\pi}\int_{\Gamma_n}|f(z)|\,|dz|+\frac1{2\pi}\int_{\gamma_n}
\left|\frac{f(z)}{B(z)}\right|\,|dz|<\varepsilon+\frac{b_n}{2\pi}\int_{\gamma_n}|f(z)|\,|dz|,
\end{multline*}
где
$$b_n:=\sup_{z\in\gamma_n}|B(z)|^{-1}.$$
Нетрудно убедиться, что множество точек $z$, для которых
$$\left|\frac{z-z_j}{1-z_jz}\right|<\left|\frac{\alpha_n-z_j}{1-z_j\alpha_n}\right|,$$
при всех $j\ge n+1$ является кругом, лежащим внутри области $S_n$, а при всех $1\le j\le n$ --- кругом, лежащим вне области $S_n$. Отсюда следует, что при всех $z\in\gamma_n$ и $j\ge0$
$$\left|\frac{z-z_j}{1-z_jz}\right|\ge\left|\frac{\alpha_n-z_j}{1-z_j\alpha_n}\right|.$$
Следовательно, для любого $z\in\gamma_n$ имеем
\begin{multline*}
|B(z)|\ge\prod_{j=0}^{-\infty}\left|\frac{z-z_j}{1-z_jz}\right|\prod_{j=1}^\infty
\left|\frac{\alpha_n-z_j}{1-z_j\alpha_n}\right|\ge|B(\alpha_n)|\prod_{j=0}^{-\infty}|z_j|\\
\ge c\prod_{j=0}^{-\infty}|z_j|=:c_1.
\end{multline*}
Таким образом, $b_n\le c_1^{-1}$ и в силу неравенств \eqref{26}, \eqref{27}
\begin{multline*}
R_n<\varepsilon+\frac1{2\pi c_1}\biggl(\int_{-\varphi}^\varphi|f(\alpha_n\ei)|\,d\theta+\int_{r_0}^1|f(x\ei)|\,dx+
\int_{r_0}^1|f(xe^{-i\theta})|\,dx\biggr)\\
<\varepsilon(1+4c_1^{-1}).
\end{multline*}
Тем самым равенство \eqref{25} доказано. Аналогично доказывается равенство
$$I_1=\sum_{j=0}^{-\infty}\frac1{(\nu_j-1)!}\left[\frac{f(z)(1-z_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)}
\right]_{\big|z=z_j}^{(\nu_j-1)}.$$
Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T8}
Пусть система $\{z_j\}_{-\infty}^\infty$ удовлетворяет условию леммы~$\ref{L1}$ при $\nu_j\equiv1$. Тогда для любого $\xi\in D$ метод
$$f(\xi)\approx W(\xi)\sum_{j=-\infty}^\infty\frac1{W'(z_j)(\xi-z_j)}\left(\frac{1-|\xi|^2}{1-\ov\xi z_j}\right)^{(p-2)/p}f(z_j),$$
где
$$W(z):=\prod_{j=-\infty}^\infty-\sign z_j\frac{z-z_j}{1-z_jz},$$
является оптимальным методом восстановления на классе $BH_p$, $1\le p\le\infty$, по информации $I_\tau f:=\{f(z_j)\}_{-\infty}^\infty$, а для его погрешности справедливо равенство
$$e(\xi,I_\tau,BH_p)=\frac{|W(\xi)|}{(1-|\xi|^2)^{1/p}}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Для $\xi\in D$ и $f\in BH_p$ положим
\begin{equation}\label{28}
Jf:=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{W(\xi)}{W(z)(z-\xi)}\left(\frac{1-|\xi|^2}{1-\ov\xi z}\right)^{(p-2)/p}f(z)\,dz.
\end{equation}
Рассмотрим функцию $g(z):=e^{i\arg W(\xi)}W(z)(1-\ov\xi z)^{-2/p}$. Имеем
$$Jf=\frac\alpha{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}|g(\ei)|^{p-2}f(\ei)\,d\theta,\quad1\le p<\infty,$$
где $\alpha:=|W(\xi)|(1-|\xi|^2)^{(p-2)/p}$, и при $p=\infty$
$$Jf=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}\varphi(\ei)f(\ei)\,d\theta,$$
где $\varphi(z):=|W(\xi)|(1-|\xi|^2)/|1-\ov\xi z|^2>0$ при всех $|z|=1$. С другой стороны, применяя к \eqref{28} лемму~\ref{L1}, получаем
$$f(\xi)-W(\xi)\sum_{j=-\infty}^\infty\frac1{W'(z_j)(\xi-z_j)}\left(\frac{1-|\xi|^2}{1-\ov\xi z_j}\right)^{(p-2)/p}f(z_j)=Jf.$$
Остается воспользоваться теоремой~\ref{T1}. Теорема доказана.
\end{proof}

Рассмотрим некоторые конкретные системы узлов. Пусть $k\in(0,1)$,
\begin{equation}\label{29}
a_j:=\th\left(j\frac{\pi K}{K'}\right),\quad j=0,\pm1,\ldots,
\end{equation}
и
$$B_0(z,k):=z\prod_{j=1}^\infty\frac{a_j^2-z^2}{1-a_j^2z^2}.$$
С помощью разложения эллиптических функций в произведения (см. \cite{12}) можно показать, что
$$B_0(z,k)=\sqrt k\sn\left(\frac{2K'}\pi\arth z\right).$$
Положим
\begin{equation}\label{30}
\alpha_j:=\th\left[(2j-1)\frac{\pi K}{2K'}\right],\quad j=0,\pm1,\ldots
\end{equation}
Тогда $B_0(\alpha_j,k)=(-1)^{j+1}\sqrt k$. Следовательно, система $\{a_j\}_{-\infty}^\infty$                                        удовлетворяет условиям леммы~\ref{L1} и к ней применима теорема~\ref{T8}.

При конформном отображении полосы $D_H$ на единичный диск $D$, задаваемом функцией
\begin{equation}\label{31}
z=\th\left(\frac\pi{4H}t\right),
\end{equation}
система узлов $\{jh\}_{-\infty}^\infty$, $h>0$, переходит в систему $\{a_j\}_{-\infty}^\infty$,  если $k$ выбрано из условия $K'/K=4H/h$, т.е. $k=\kappa(\exp(-4\pi H/h))$. Пользуясь конформной эквивалентностью рассматриваемых задач восстановления для классов $BH_\infty(D_H)$ и $BH_\infty$, получаем из теоремы~\ref{T8}

\begin{corollary}\label{C1}
При всех $h>0$ и $t\in\mathbb R$ метод
$$x(t)\approx\frac\pi{K'}\sn\left(\frac{K'}{2H}t\right)\sum_{j=-\infty}^\infty(-1)^j\frac{x(jh)}
{\sh\left[\dfrac\pi{2H}(t-jh)\right]},$$
в котором $k=\kappa(\exp(-4\pi H/h))$, является оптимальным методом восстановления на классе $BH_\infty(D_H)$. Для его погрешности справедливо равенство
$$e(t,I_\tau,BH_\infty(D_H))=\sqrt k\left|\sn\left(\frac{K'}{2H}t\right)\right|.$$
\end{corollary}

Обозначим через $\wt_h$, $h>0$, системы узлов $\{t_j\}_{-\infty}^\infty$, для каждой из которых

$1$) существует $n\in\mathbb N$ такое, что
$$-nh\le t_{-n}<t_{-n+1}<\ldots<t_{n-1}<nh;$$

$2$) $t_{j+2n}=2nh+t_j$ при всех $j\in\mathbb Z$.

\noindent Рассмотрим задачу \eqref{23} для $E=\mathbb R$, $\mathcal T=\wt$ и $W=BH_\infty(D_H)$.

\begin{theorem}\label{T9}
Для всех $h>0$
$$e(\mathbb R,\wt_h,BH_\infty(D_H))=\left(\kappa(\exp(-4\pi H/h))\right)^{1/2},$$
при этом система $\{jh\}_{-\infty}^\infty$ является оптимальной.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $\tau\in\wt_h$ и имеет период $2nh$. Тогда
$$\sup_{t\in\mathbb R}e(t,I_\tau,BH_\infty(D_H))\ge\sup_{t\in[0,2\pi)}e(t,I_{\tau_1},B\widetilde H_\infty(D_{H_1})),$$
где $\tau_1=\left\{j\dfrac\pi n\right\}_{j=0}^{2n-1}$, $H_1=\dfrac{\pi H}{nh}$. Отсюда, учитывая теорему~\ref{T7}, получаем
\begin{multline*}
e(\mathbb R,\wt_h,BH_\infty(D_H))\ge e_{2n}(B\widetilde H_\infty(D_{H_1}))=\left(\kappa(\exp(-4H_1n))\right)^{1/2}\\
=\left(\kappa(\exp(-4\pi H/h))\right)^{1/2}.
\end{multline*}
С другой стороны, из следствия~\ref{C1} для $\tau=\{jh\}_{-\infty}^\infty$ имеем
\begin{multline*}
e(\mathbb R,\wt_h,BH_\infty(D_H))\le\sup_{t\in\mathbb R}e(t,I_\tau,BH_\infty(D_H))\\
=\left(\kappa(\exp(-4\pi H/h))\right)^{1/2}.
\end{multline*}
Теорема доказана.
\end{proof}

Задача \eqref{22} для $\mathcal T=\wt_h$ была поставлена Сунь Юн-Шеном \cite{1}. Им же
\cite{19} доказана оптимальность равномерной сетки для классов функций,
представимых сверткой с ядрами, не повышающими осцилляции. В частности, в \cite{19} доказано равенство
$$e(\mathbb R,\wt_h,Bh_\infty(D_H))=\frac4\pi\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{2m+1}\cdot\frac1{\ch\left[(2m+1)
\dfrac{\pi H}h\right]},$$
где $h_\infty(D_H)$ --- пространство ограниченных гармонических в $D$ функций, и найден оптимальный метод восстановления для оптимальной системы $\{jh\}_{-\infty}^\infty$.

Этот метод (в более простом виде) может быть получен, если с помощью леммы~\ref{L1} перенести  схему построения оптимальных методов восстановления на классах гармонических функций, использующих значения в конечном числе узлов (см. \cite{8}), на случай бесконечных систем. Тогда (во многом аналогично предыдущему) можно доказать, что при всех $t\in\mathbb R$ и $h>0$ метод
$$x(t)\approx\frac\pi{K'}\cdot\frac{\sn\left(\dfrac{K'}{2H}t\right)}{1+k\sn^2
\left(\dfrac{K'}{2H}t\right)}\sum_{j=-\infty}^\infty(-1)^j\frac{x(jh)}
{\sh\left[\dfrac\pi{2H}(t-jh)\right]},$$
в котором $k=\kappa(\exp(-4\pi H/h))$, является оптимальным методом восстановления на классе $Bh_\infty(D_H)$.

\section{Оптимальное восстановление производных}

Пусть $I_E$ --- оператор, сопоставляющий функции $x\in BH_\infty(\Omega)$ ее след на множестве $E\subset\Omega$. Положим для $t\in\Omega$
$$e^{(k)}(t,E,\Omega,\delta):=e(L,I_E,BH_\infty(\Omega),\delta),$$
где $Lx=x^{(k)}(t)$, $k\in\mathbb N$, а $Y=C(E)$. Тем самым рассматривается задача об оптимальном восстановлении производной порядка $k$ функции $x$ из класса $BH_\infty(\Omega)$ по функции $\widetilde x\in C(E)$, удовлетворяющей условию
$$\sup_{t\in E}|\widetilde x(t)-x(t)|\le\delta.$$

Будем считать, что $0<\delta<1$ (при $\delta\ge1$ задача тривиальна). Случай $k=1$ был рассмотрен в работе \cite{2}. Здесь мы рассматриваем восстановление второй производной на классе $BH_\infty(D_H)$ для $E=\mathbb R$. Оказывается, что в отличие от случая $k=1$ при $k=2$ наблюдается эффект ``переключения'', заключающийся в существовании такого $\delta_0\in(0,1)$,  что при $0<\delta\le\delta_0$  и $\delta_0<\delta<1$ экстремальные функции и методы восстановления качественно отличаются.

Положим
$$C(\delta):=\frac83\left[\frac{1-5\delta^4}2\left(\frac{K'}\pi\right)^2-1\right].$$
Через $K$ и $K'$ в дальнейшем обозначаются полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $\delta^2$ и $\sqrt{1-\delta^4}$ соответственно, а все встречающиеся эллиптические функции, если не указана их зависимость от модуля, имеют модуль $\delta^2$. Из монотонного убывания $K'$ при $\delta\in(0,1)$ следует, что уравнение $C(\delta)=0$ имеет единственное  решение $\delta_0\in(0,1)$ (вычисления показывают, что $\delta_0=0,2145\ldots$), причем $C(\delta)>0$ при $\delta\in(0,\delta_0)$ и $C(\delta)<0$ при $\delta\in(\delta_0,1)$.

Рассмотрим функцию
$$F(x):=\frac4{\sh^2\left(\dfrac\pi{K'}x\right)}\left[1-\frac{K'}{2\pi}
\sh\left(\dfrac{2\pi}{K'}x\right)\frac{\cn x(1+\delta^4\sn^2x)}{\sn x\dn x}\right].$$
Пользуясь разложениями
\begin{align*}
\sh x=&x+\frac{x^3}6+O(x^5),\quad\sn x=x-\frac{1+\delta^4}6x^3+O(x^5),\\
\cn x=&1-\frac{x^2}2+O(x^4),\quad\dn x=1-\delta^4\frac{x^2}2+O(x^4),
\end{align*}
получаем
$$F(x)=C(\delta)+O(x^2).$$
Таким образом, при $\delta\in(\delta_0,1)$ \ $F(0)<0$. Поскольку $F(K)=4\sh^{-2}\left(\dfrac{\pi K}{K'}\right)>0$, то при любом $\delta\in(\delta_0,1)$ существует $\gamma\in(0,K)$, для которого $F(\gamma)=0$.

Положим
$$B_1(z,\delta^2):=\prod_{j=1}^\infty\frac{z+\alpha_j^2}{1+\alpha_j^2z},$$
где $\alpha_j$ определены равенством \eqref{30}.

\begin{theorem}\label{T10}
Для всех $t\in\mathbb R$ методы
$$x''(t)\approx-\frac{\pi^2}{16H^2}C(\delta)\widetilde x(t)+\frac{\pi^2}{2H^2}{\sum}'\frac{(-1)^{j+1}}{\sh^2\left(2j\dfrac{\pi K}{K'}\right)}\widetilde x\left(t+j\frac{4HK}{K'}\right)$$
при $0<\delta\le\delta_0$ и
\begin{multline*}
x''(t)\approx\frac{\pi^3}{4H^2K'}\frac{\ch^3\left(\gamma\dfrac\pi{K'}\right)\sn\gamma}
{\th\left(\gamma\dfrac\pi{2K'}\right)\dn^2\gamma}\\
\times{\sum}'\frac{(-1)^{j+1}\sh^2\left(2j\dfrac{\pi K}{K'}\right)}{\sh^2\left((2jK-\gamma)\dfrac\pi{K'}\right)\sh^2\left((2jK+\gamma)
\dfrac\pi{K'}\right)}\widetilde x(t+t_j)
\end{multline*}
при $\delta_0<\delta<1$, где
$$t_j:=\frac{4H}\pi\arth\left[\th\left((2jK-\gamma)\dfrac\pi{K'}\right)
\th\left((2jK+\gamma)\dfrac\pi{K'}\right)\right]^{1/2}\sign j,$$
а ${\sum}'$ --- сумма по всем $j\in\mathbb Z\setminus\{0\}$, являются оптимальными методами
восстановления на классе $BH_\infty(D_H)$ по значениям на $\mathbb R$, заданным с погрешностью $\delta$. Функция $-B_1\left(-\dfrac{\xi^2+a^2}{1+a^2\xi^2},\delta^2\right)$, где
$\xi:=\th\left(\dfrac\pi{4H}(z-t)\right)$,
$$a:=\begin{cases}0,&0<\delta\le\delta_0,\\
\thh\left(\gamma\dfrac\pi{2K'}\right),&\delta_0<\delta<1,
\end{cases}$$
является экстремальной и
$$e''(t,\mathbb R,D_H,\delta)=\begin{cases}\dfrac{K'^2}{4H^2}\delta(1-\delta^4),&0<\delta\le\delta_0,\\[10pt]
\dfrac{\pi K'}{4H^2}\cdot\dfrac{\delta(1-\delta^4)\sn\gamma}{\thh\left(\gamma\dfrac\pi{K'}\right)\dn\gamma},
&\delta_0<\delta<1.\end{cases}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу инвариантности относительно сдвига достаточно доказать утверждение теоремы для $t=0$. С
помощью конформного отображения \eqref{31} рассматриваемая задача восстановления может быть сведена к задаче восстановления значения $\dfrac{\pi^2}{16H^2}f''(0)$ на классе $BH_\infty$ по значениям на множестве $(-1,1)$, заданным с погрешностью $\delta$. Для $f\in H_\infty$ положим
\begin{equation}\label{32}
Jf:=\frac\alpha{2\pi i}\int_{|z|=1}\Psi(z)f(z)\,\frac{dz}{z^3},
\end{equation}
где
\begin{gather*}
\alpha:=\begin{cases}\delta\dfrac{4K'}\pi,&0<\delta\le\delta_0,\\[10pt]
\delta\dfrac{4\sn\gamma}{\sh\left(\gamma\dfrac\pi{K'}\right)\dn^2\gamma},
&\delta_0<\delta<1,\end{cases}\\
\Psi(z):=(1-z^2)^2h_0\left(-\frac{z^2+a^2}{1+a^2z^2},\delta^2\right)
B_2^{-1}\left(-\frac{z^2+a^2}{1+a^2z^2},\delta^2\right),\\
h_0(z,\delta^2):=\prod_{j=1}^\infty\left(\frac{1+\alpha_j^2z}{1+a_j^2z}\right)^2,\quad
B_2(z,\delta^2):=\prod_{j=1}^\infty\frac{z+a_j^2}{1+a_j^2z},
\end{gather*}
а $a_j$ определены равенством \eqref{29}. Пользуясь разложением в произведения эллиптических  функций, можно показать, что имеют место представления
\begin{equation}\label{33}
\begin{aligned}
B_1(z,\delta^2)=&\delta\sn\left(\frac{2K'}\pi\upsilon+K\right),\quad B_2(z,\delta^2)=
\delta\cth\upsilon\sn\left(\frac{2K'}\pi\upsilon\right),\\
h_0(z,\delta^2)=&
\ch^2\upsilon\dn^2\left(\frac{2K'}\pi\upsilon\right),\quad z=-\th^2\upsilon.
\end{aligned}
\end{equation}
Применяя к интегралу \eqref{32} лемму~\ref{L1}, будем иметь
$$Jf=\frac\alpha2(\Psi(0)f''(0)+2\Psi'(0)f'(0))-S(\delta)f,$$
где
\begin{gather*}
S(\delta)f:=-\frac\alpha2\Psi''(0)f(0)+\frac\alpha2{\sum}'\frac{(1-x_j^2)^2(1+a^2x_j^2)^2
h_0(-a_j^2,\delta^2)}{x_j^4(1-a^4)B_2'(-a_j^2,\delta^2)}f(x_j),\\
x_j:=\left(\frac{a_j^2-a^2}{1-a^2a_j^2}\right)^{1/2}\sign j.
\end{gather*}
Легко убедиться, что при $\delta_0<\delta<1$ \ $x_j=\th\left(\dfrac\pi{4H}t_j\right)$, а при $0<\delta\le\delta_0$ \ $x_j=a_j$.

Из представлений \eqref{33} имеем
\begin{gather*}
h_0(-a_j^2,\delta^2)=\frac1{1-a_j^2},\quad B_2'(-a_j^2,\delta^2)=(-1)^{j+1}\delta\frac{K'}\pi\frac1{a_j^2(1-a_j^2)},\\
\Psi(z)=\frac{(1-z^2)(1+a^2z^2)\dn^2\left(\dfrac{2K'}\pi\upsilon\right)\th\upsilon}
{\delta(1-a^2)\sn\left(\dfrac{2K'}\pi\upsilon\right)},\quad\frac{z^2+a^2}{1+a^2z^2}=\th^2\upsilon.
\end{gather*}
Отсюда $\Psi(0)=2\alpha^{-1}$, $\Psi'(0)=0$, $\dfrac\alpha2\Psi''(0)=C(\delta)$ при $0<\delta\le\delta_0$ \vspace{5pt} и $\dfrac\alpha2\Psi''(0)=F(\gamma)=0$ при $\delta_0<\delta<1$. Тем самым имеет место равенство
$$Jf=f''(0)-S(\delta)f.$$
После преобразований для $S(\delta)f$ получаем следующие равенства:
$$S(\delta)f=-C(\delta)f(0)+8{\sum}'\frac{(-1)^{j+1}}{\sh^2\left(2j\dfrac{\pi K}{K'}\right)}f(a_j),$$
если $0<\delta\le\delta_0$ и
\begin{multline*}
S(\delta)f=\frac{4\pi}{K'}\frac{\ch^3\left(\gamma\dfrac\pi{K'}\right)\sn\gamma}
{\th\left(\gamma\dfrac\pi{2K'}\right)\dn^2\gamma}\\
\times{\sum}'\frac{(-1)^{j+1}
\sh^2\left(2j\dfrac{\pi K}{K'}\right)}{\sh^2\left((2jK-\gamma)\dfrac\pi{K'}\right)\sh^2\left((2jK+\gamma)
\dfrac\pi{K'}\right)}f(x_j),
\end{multline*}
если $\delta_0<\delta<1$.

Интеграл \eqref{32} может быть записан в виде
$$Jf=\frac\alpha{2\pi i}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}\varphi(\ei)f(\ei)\,d\theta,$$
где
$$g(z):=-B_1\left(-\frac{z^2+a^2}{1+a^2z^2},\delta^2\right),\quad
\varphi(z):=\frac{\Psi(z)g(z)}{z^2}.$$
Докажем, что $\varphi(\ei)\in L_1[0,2\pi]$ и почти всюду $\varphi(\ei)>0$. В силу легко проверяемого равенства
$$\varphi(z)=\frac{(z^2+a^2)(1+a^2z^2)}{(1-a^2)^2z^2}\varphi_0\left(-\frac{z^2+a^2}{1+a^2z^2}
\right),$$
в котором
$$\varphi_0(z):=\frac{(1+z)^2}z\cdot\frac{B_1(z,\delta^2)h_0(z,\delta^2)}{B_2(z,\delta^2)},$$
достаточно доказать, что этим свойством обладает $\varphi_0$. Из \eqref{33}, используя преобразование Гаусса (см. \cite[с.~283]{12}), находим
\begin{multline*}
\varphi_0(z)=-\frac2{\sh2\upsilon}\frac{\cn\left(\dfrac{2K'}\pi\upsilon\right)
\dn\left(\dfrac{2K'}\pi\upsilon\right)}{\sn\left(\dfrac{2K'}\pi\upsilon\right)}\\
=-\frac{2(1+\delta^2)}{\sh2\upsilon}\frac{\cn\left(\dfrac{4\Lambda'}\pi\upsilon,\lambda\right)}
{\sn\left(\dfrac{4\Lambda'}\pi\upsilon,\lambda\right)}=-i\frac{2(1+\delta^2)}{\sh2\upsilon}
\dn\left(\frac{4\Lambda'}\pi\upsilon+i\Lambda',\lambda\right),
\end{multline*}
где $\lambda=2\delta/(1+\delta^2)$. Пусть $z=\ei$, $\theta\in(-\pi,\pi)$. Тогда $\upsilon$ можно выбрать из условия $\th\upsilon=e^{i(\theta+\pi)/2}$. Отсюда $\upsilon=x+i\pi/4$, где
$x=\dfrac12\log\left|\ctg\dfrac{\theta+\pi}4\right|$. Следовательно,
$$\varphi_0(\ei)=\frac{2(1+\delta^2)}{\ch2x}\dn\left(\frac{4\Lambda'}\pi x,\lambda\right).$$
Из последнего равенства видно, что при $\theta\in(-\pi,\pi)$
$$0<\varphi_0(\ei)\le2(1+\delta^2).$$

Чтобы воспользоваться теоремой~\ref{T1}, остается проверить равенство $S(\delta)g=\delta\|S(\delta)\|$, которое следует из того, что
$$B_1(-a_j^2,\delta^2)=(-1)^j\delta.$$
В силу той же теоремы
$$e''(0,(-1,1),D,\delta)=g''(0).$$
Выражение для $g''(0)$ легко найти, пользуясь представлениями \eqref{33}.

Переходя от класса $BH_\infty$ к классу $BH_\infty(D_H)$, получим, что оптимальный метод восстановления имеет вид
$$x''(0)\approx\frac{\pi^2}{16H^2}S(\delta)\widetilde f,$$
где $\widetilde f(z)=\widetilde x\left(\dfrac{4H}\pi\arth z\right)$, и
$$e''(0,\mathbb R,D_H,\delta)=\frac{\pi^2}{16H^2}e''(0,(-1,1),D,\delta).$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Отметим, что вследствие равенства \eqref{3} нами найдено решение экстремальной задачи
$$\sup_{\substack{\|x\|_{H_\infty(D_H)}\le1\\\|x\|_{C(\mathbb R)}\le\delta}}\|x''\|_{C(\mathbb R)}=e''(0,\mathbb R,D_H,\delta),$$
которую можно рассматривать как колмогоровскую задачу о неравенстве для производных на классе $BH_\infty(D_H)$.

\begin{thebibliography}{11}
\selectlanguage{english}
\bibitem{1} {\it Sun Yongsheng.} On optimal interpolation for differentiable function class (1) // Approxim. Theory and Appl. 1986. V.~2,\selectlanguage{russian} \No~4. P.~49--54.

\bibitem{2} {\it Осипенко К.Ю., Стесин М.И.} Оптимальное восстановление производных ограниченных аналитических и гармонических функций по неточным данным // Матем. заметки. 1993. Т.~53, \No~5. С.~87--97.

\bibitem{3} {\it Субботин Ю.Н.} Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. Т.~145. С.~152--168.
\selectlanguage{english}
\bibitem{4} {\it Pinkus A.} $n$-widths in approximation theory. Berlin: Springer,
    1985.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{5} {\it Тихомиров В.М.} Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.~14. Итоги науки и техн. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. С.~103--260.

\bibitem{6} {\it Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю.} Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Матем. заметки. 1991. Т.~50, \No~6. С.~85--93.

\bibitem{7} {\it Осипенко К.Ю., Стесин М.И.} О задачах восстановления в пространствах Харди и Бергмана // Матем. заметки. 1991. Т.~49, \No~4. С.~95--104.

\bibitem{8} {\it Осипенко К.Ю.} Наилучшие и оптимальные методы восстановления на
    классах гармонических функций // Матем. сб. 1991. Т.~182, \No~5. С.~723--745.

\bibitem{9} {\it Осипенко К.Ю., Стесин М.И.} О некоторых задачах оптимального восстановления аналитических и гармонических функций по неточным данным // Сиб. матем. журн. 1993. Т.~34, \No~3. С.~144--160.
\selectlanguage{german}
\bibitem{10} {\it Wilderotter K.} Optimale Algorithmen zur Approximation analytischer Functionen. Dissertation. Bonn. 1990.
\selectlanguage{english}
\bibitem{11} {\it Fisher S.D., Micchelli C.A.} The $n$-width of sets of analytic
    functions // Duke Math. J. 1980. V.~47,\selectlanguage{russian} \No~4. P.~789--801.

\bibitem{12} {\it Ахиезер Н.И.} Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука,
    1970.\selectlanguage{english}
\bibitem{13} {\it Pinkus A.} On $n$-widths of periodic functions // J. Analyse Math.
    1979. V.~35. P.~209--235.
\selectlanguage{german}
\bibitem{14} {\it Forst W.} \"Uber die Brite von Klassen holomorpher periodisher Funktionen // J. Approx. Theory. 1977. V.~19. P.~325--331.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{15} {\it Овчинцев М.П.} Наилучший метод приближения регулярных ограниченных функций в кольце по их значениям в заданных точках // Изв. ВУЗов. Математика. 1989. \No~5. С.~32--39.

\bibitem{16} {\it Гарнетт Дж.} Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.
\selectlanguage{english}
\bibitem{17} {\it Duren P.L.} Theory of $H^p$ spaces. N.Y.: Acad. Press, 1970.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{18} {\it Голузин Г.М.} Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
\selectlanguage{english}
\bibitem{19} {\it Sun Yongsheng.} Optimal interpolation on a convolution class of
    functions // Chinese Sci Bull. 1989. V.~34,\selectlanguage{russian} \No~14. P.~1148-1152.
\end{thebibliography}

\bigskip

\begin{flushright}
Поступило в редакцию\\
23.II.1993
\end{flushright}
\end{document}
