\documentclass[12pt,draft]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 800
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\co}{co}

\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Lia}{L_\infty(\mathbb R_+)}
\newcommand*{\Li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\ld}{L_2(\Sd)}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb R^{d}}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}

\newtheorem*{theorem}{Теорема}

\begin{document}

\begin{center}
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ ФУРЬЕ
\end{center}

\medskip

\begin{flushright}
К.Ю.~Осипенко
\end{flushright}

\medskip

\begin{center}
МАТИ-РГТУ им. К.Э.~Циолковского
\end{center}

\medskip

Пусть с фиксированной погрешностью известен конечный набор коэффициентов Фурье некоторой периодической функции. Что можно сказать о самой функции и о ее производных на основании этой информации? Вопрос достаточно естественный и далеко не новый. Как поступают на практике? Высокочастотные коэффициенты Фурье отбрасывают, а остальные фильтруют, т.е. умножают на некоторые сглаживающие коэффициенты. С математической точки зрения эта задача может быть решена с помощью метода регуляризации. Однако при этом возникает ряд вопросов, которые не решаются при использовании этого метода.

Мы будем использовать другой подход. Пользуясь некоторой априорной информацией о принадлежности функции некоторому множеству (классу), мы будем искать в определенном смысле самый лучший метод, перебирая все возможные методы. На первый взгляд эта задача кажется очень сложной --- как же перебрать все методы? Наша цель --- показать, что во многих случаях и, в частности, в задаче восстановления функции по неточно заданным коэффициентам Фурье, такая постановка позволяет дойти до конкретных методов.

Перейдем к точным формулировкам. Положим
$$X_p=\biggl\{\,x=(x_0,x_1,\ldots):\sum_{j=0}^\infty\nu_j|x_j|^p<\infty\,\biggr\},\quad1\le p<\infty,$$
где $x_j\in K$, $K=\mathbb R$ или $K=\mathbb C$, а $\nu_j\ge0$, причем лишь конечное число $\nu_j$ обращается в ноль. Если $\nu_0=\nu_1=\ldots=1$, то соответствующее пространство $X_p$ обычно обозначают через $l_p$, при этом
\begin{equation}\label{1}
\|x\|_p=\biggl(\sum_{j=0}^\infty|x_j|^p\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
Пусть задан оператор $T\colon X_p\to l_p$
$$Tx=(\mu_0x_0,\mu_1x_1,\ldots),$$
где $\mu_j\in K$, а последовательность $|\mu_j|^p/\nu_j$ для достаточно больших $j$ ограничена (из этого условия вытекает, что $Tx\in l_p$ для всех $x\in X_p$).

Рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора $T$ на множестве
$$W_p=\biggl\{\,x\in X_p:\sum_{j=0}^\infty\nu_j|x_j|^p\le1\,\biggr\}$$
по неточно заданным координатам $x_0,\ldots,x_N$. Точнее, предполагается, что для любого $x\in W_p$ известен вектор $y=(y_0,\ldots,y_N)$, $y_j\in K$, $j=0,\ldots,N$, такой, что $\|I^Nx-y\|_{l_p^N}\le\delta$, где $I^Nx=(x_0,\ldots,x_N)$, а $\|\cdot\|_{l_p^N}$  определяется равенством \eqref{1}, в котором суммирование ведется до $N$. По вектору $y$  надо восстановить наиболее точно значение $Tx$.

Под методами восстановления понимаются всевозможные отображения $m\colon K^N\to l_p$. Для данного метода $m$ его погрешностью называется величина
$$e_N(T,W_p,\delta,m)=\sup_{\substack{x\in W_p,\ y\in K^N\\\|I^Nx-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|Tx-m(y)\|_p.$$
Величина
$$E_N(T,W_p,\delta)=\inf_{m\colon K^N\to l_p}e_N(T,W_p,\delta,m)$$
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, --- оптимальным.

Будем предполагать, что $\nu_j>0$ для всех $j\ge N+1$. Положим
\begin{gather*}
A=\sup_{j\ge N+1}\frac{|\mu_j|^p}{\nu_j},\\
M=\co\{(0,0)\cup\{(\nu_j,|\mu_j|^p)\}_{j\in\mathbb N}\}+\{(t,tA)\mid t\ge0\},
\end{gather*}
где $\co\Omega$ --- выпуклая оболочка множества $\Omega$. Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ по правилу: $\theta(t)=\max\{x\mid(t,x)\in M\}$. Ясно, что $\theta\cd$
--- вогнутая ломаная.

\begin{theorem}
При всех $\delta>0$
$$E_N(T,W_p,\delta)=\delta\theta^{1/p}(\delta^{-p}).$$
Пусть $\delta^{-p}$ принадлежит тому промежутку на $\mathbb R_+$, где $\theta\cd$ задается уравнением $\theta(t)=\wl_1+\wl_2t$. Если $\wl_1,\wl_2>0$, то для всех $\alpha_j$, $0\le j\le N$, удовлетворяющих условию
$$\begin{cases}\dfrac{|\mu_j-\alpha_j|^q}
{\nu_j^{q/p}\wl_2^{q/p}}+\dfrac{|\alpha_j|^q}{\wl_1^{q/p}}
\le1,&1<p<\infty,\ 1/p+1/q=1,\\
\dfrac{|\mu_j-\alpha_j|}
{\nu_j\wl_2}\le1,\quad\dfrac{|\alpha_j|}{\wl_1}\le1,&p=1,\end{cases}$$
методы
$$\wm(y)=\sum_{j=0}^N\alpha_jy_je_j,$$
где $\{e_j\}_{j\in\mathbb Z_+}$ --- стандартный базис, являются оптимальными. Если $\wl_1=0$, то $\wm(y)=0$ --- оптимальный метод, а если $\wl_2=0$, то
$$\wm(y)=\sum_{j=0}^N\mu_jy_je_j$$
--- оптимальный метод.
\end{theorem}

Частный случай приведенного здесь результата рассмотрен в работе [1], а его непрерывный аналог, т.е. для функций, заданных на прямой, исследован в [2].

\medskip

1. {\it Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью. // Матем. сб. --- 2002. --- T.~193, вып.3 --- С.79--100.

2. {\it Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных. // Функц. анализ и его прилож. --- 2003. --- Т.~37. --- С. 51--64.


\end{document}
