\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{srctex}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage{srctex}
%\tolerance 900
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\Hr}{H_\infty^r}
\newcommand*{\hr}{H_\infty^1}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\sj}{\sum\limits_{j=1}^n}
\newcommand*{\sk}{\sum\limits_{k=1}^n}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\begin{document}
\title[Оптимальное восстановление]{Оптимальное восстановление аналитических
функций по их значениям в равномерной сетке на окружности}
\author{К.~Ю.~Осипенко}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No02-01-39012 и \No02--01--00386) и
программы ``Университеты России" (УР.04.03.013)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}



\begin{abstract}
В работе строится оптимальный метод восстановления аналитических в
единичном круге функций, первая производная которых ограничена, по
информации о значениях этих функций в равномерной сетке на окружности $|z|=
\rho$, $0<\rho<1$.
\end{abstract}

\maketitle

\bigskip

Обозначим через $\Hr$, $r\in\mathbb Z_+$, множество функций, аналитических
в единичном круге комплексной плоскости $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$,
удовлетворяющих условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, $z\in D$. Под задачей
оптимального восстановления функции $f\in\Hr$ в точке $\xi\in D$ по ее
значениям в системе точек $z_1,\ldots,z_n\in D$ понимается задача о
нахождении величины
\begin{equation}\label{E1}
E(\xi,\Hr,z_1,\ldots,z_n)=\infp_{\varphi\colon\mathbb C^n\to\mathbb C}\sup_
{f\in\Hr}|f(\xi)-\varphi(f(z_1),\ldots,f(z_n))|,
\end{equation}
называемой {\it погрешностью оптимального восстановления}, а также функции
$\varphi$, на которой достигается нижняя грань в \eqref{E1}, называемой
{\it оптимальным методом восстановления}.

При $r=0$ задача \eqref{E1} была поставлена и решена в работах \cite
{Os1,Os2}. Случай $r>0$ является более сложным и здесь известны результаты
лишь при $\xi,z_1,\ldots,z_n\in(-1,1)$ (см.~\cite{Os3}) и $z_1=\ldots=z_n=0$
\cite{CMFT}.

Данная работа посвящена случаю $r=1$, $\xi\in D$ и $z_j=\tau_j=\rho e^{i(j-
1)2\pi/n}$, $j=1,\ldots,n$, $0<\rho<1$. Оптимальный метод восстановления
для этого случая приводился в работе \cite{CMFT} без доказательства (при
этом для его построения эвристически применялся принцип Лагранжа). Здесь
приводится построение оптимального метода восстановления с полным
доказательством, используя метод параметризации экстремальной функции,
предложенный в работе \cite{Os3}.

Начнем с одного простого вспомогательного результата.

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть комплекснозначная функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0\in
\mathbb C$ как функция вещественных переменных $x,y$ $(z=x+iy)$. Тогда если
$|f(z)|$ имеет экстремум в точке $z_0$, то в этой точке выполняется
равенство
$$f\ov{\frac{\partial f}{\partial z}}+\ov f\frac{\partial f}{\partial\ov z}
=0.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $f(z)=u(z)+iv(z)$. Тогда из необходимого условия экстремума вытекает,
что в точке $z_0$
\begin{align*}
u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}&=0,\\
u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}&=0.
\end{align*}
Отсюда
\begin{align*}
\frac12(f+\ov f)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac1{2i}(f-\ov f)\frac{
\partial v}{\partial x}&=0,\\
\frac12(f+\ov f)\frac{\partial u}{\partial y}+\frac1{2i}(f-\ov f)\frac{
\partial v}{\partial y}&=0.
\end{align*}
Умножив второе равенство на $i$ и сложив его с первым, будем иметь
\begin{multline*}
f\left(\frac12\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{
\partial y}\right)-\frac i2\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{
\partial u}{\partial y}\right)\right)\\
+\ov f\left(\frac12\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{
\partial y}\right)+\frac i2\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{
\partial u}{\partial y}\right)\right)=f\ov{\frac{\partial f}{\partial z}}+\ov f\frac{\partial f}{\partial\ov z}
=0.
\end{multline*}
\end{proof}

Из общих результатов о задачах восстановления (см.\ \cite{Os2}, \cite{MOs})
вытекает, что в задаче \eqref{E1} существует линейный оптимальный метод
восстановления
\begin{equation}\label{Met}
f(\xi)\approx\sj C_jf(z_j),
\end{equation}
а для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
\begin{equation}\label{E2}
E(\xi,\Hr,z_1,\ldots,z_n)=\sup_{\substack{f\in\Hr\\f(z_1)=\ldots=f(z_n)=0}}
|f(\xi)|.
\end{equation}

\begin{theorem}
Пусть $\xi\in D$, $0<\rho<1$, $\xi_j=e^{i(j-1)2\pi/n}$ и $\tau_j=\rho\xi_j
$, $j=1,\ldots,n$. Тогда
\begin{equation}\label{E3}
E(\xi,\hr,\tau_1,\ldots,\tau_n)=\frac{|\xi^n-\rho^n|}n,
\end{equation}
а единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод
$$f(\xi)\approx\frac1n\sj\left(\sum_{k=0}^{n-1}b_k\xi_j^{-k}\right)f(\tau_j
),$$
где $b_0=1$,
\begin{gather}\label{bk}
b_k=\frac{\rho^n(q_k\ov\xi^{n-k}-\xi^{n+k})+\xi^k(r_k-q_k|\xi|^{2(n-k)})}{
\rho^k(r_k-\rho^{2n})},\\
q_k=\frac{n+k}{n-k},\quad r_k=\frac{(2n-k)(n+k)}{k(n-k)},\quad k=1,\ldots,n
-1.\notag
\end{gather}
\end{theorem}

\begin{proof}
Напомним, что произведением Бляшке порядка $n$ называется функция вида
$$B(z)=\lambda\prod_{j=1}^n\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},$$
где $|\lambda|=1$, а $|\alpha_j|<1$, $j=1,\ldots,n$. В работе \cite{HN}
было доказано, что если функция $f_0$ такова, что $f_0(z_1)=\ldots=f_0(z_n)
=0$ и $f_0'$ --- произведение Бляшке порядка $n-1$, то она является
экстремальной в задаче \eqref{E2} при $r=1$. Отсюда вытекает, что для $r=1$
и $z_j=\tau_j$, $j=1,\ldots,n$, экстремальной функцией в задаче \eqref{E2}
является функция
$$f_0(z)=\frac{z^n-\rho^n}n.$$
Тем самым доказано равенство \eqref{E3}.

Займемся теперь построением оптимального метода. Положим $B_0(z)\equiv1$ и
$$B_k(z)=\frac{zB_{k-1}(z)+\varepsilon_k}{1+\ov\varepsilon_kzB_{k-1}(z)},
\quad k=1,\ldots,n-1,$$
где $|\varepsilon_k|<1$, $k=1,\ldots,n-1$. Легко убедиться, что
$B_{n-1}\in H_\infty$. Для $P=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,
\varepsilon_{n-1})\in D^n$ рассмотрим функцию
$$f_P(z)=\varepsilon_0+\int_0^zB_{n-1}(z)\,dz.$$
Очевидно, что $f_P\in\hr$ и $f_{P_0}=f_0$, где $P_0=(-\rho^n/n,0,\ldots,0)
$. Пусть метод \eqref{Met} является оптимальным в задаче \eqref{E1} при $r=
1$. Тогда при всех $P\in D^n$ имеет место неравенство
$$\biggl|f_P(\xi)-\sj C_jf_P(\tau_j)\biggr|\le|f_{P_0}(\xi)|.$$
Следовательно, модуль функции
$$g(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1})=f_P(\xi)-\sj C_jf
_P(\tau_j)$$
в точке $P_0$ достигает своего максимума. Из леммы~\ref{L1} вытекает, что в
точке $P_0$ должны выполняться равенства
\begin{equation}\label{gj}
g\ov{\frac{\partial g}{\partial\varepsilon_j}}+\ov g\frac{\partial g}{
\partial\ov\varepsilon_j}=0,\quad j=0,1,\ldots,n-1.
\end{equation}
В силу того, что
$$\frac{\partial B_{n-1}}{\partial\varepsilon_j}_{\Big|P=P_0}=z^{n-j-1}
\frac{\partial B_j}{\partial\varepsilon_j}_{\Big|P=P_0}=z^{n-j-1},\quad j=1
,\ldots,n-1,$$
имеем
$$\frac{\partial f_P}{\partial\varepsilon_j}_{\Big|P=P_0}=\frac{z^{n-j}}{n-
j},\quad j=1,\ldots,n-1,\quad\frac{\partial f_P}{\partial\varepsilon_0}=1.
$$
Аналогичные вычисления дают
$$\frac{\partial f_P}{\partial\ov\varepsilon_j}_{\Big|P=P_0}=-\frac{z^{n+j}
}{n+j},\quad j=1,\ldots,n-1,\quad\frac{\partial f_P}{\partial\ov\varepsilon
_0}=0.$$
Тем самым
\begin{align*}
\frac{\partial g}{\partial\varepsilon_j}_{\Big|P=P_0}&=\frac1{n-j}\biggl(
\xi^{n-j}-\sk C_k\tau_k^{n-j}\biggr),\\
\frac{\partial g}{\partial\ov\varepsilon_j}_{\Big|P=P_0}&=\frac1{n+j}\biggl
(\xi^{n+j}-\sk C_k\tau_k^{n+j}\biggr),\quad j=1,\ldots,n-1,
\end{align*}
и, кроме того,
$$\frac{\partial g}{\partial\varepsilon_0}=1-\sj C_j,\quad\frac{\partial g}
{\partial\ov\varepsilon_0}=0.$$
Учитывая, что $\tau_k^n=\rho^n$, $k=1,\ldots,n$, из уравнения \eqref{gj}
будем иметь
\begin{multline}\label{**}
\frac{\xi^n-\rho^n}{n-j}\biggl(\ov\xi^{n-j}-\rho^{n-j}\sk\ov C_k\ov\xi_k^{-
j}\biggr)\\
-\frac{\ov\xi^n-\rho^n}{n+j}\biggl(\xi^{n+j}-\rho^{n+j}\sk C_k\xi_k^j\biggr
)=0,\quad j=1,\ldots,n-1,
\end{multline}
и
$$\sj C_j=1.$$
Положим
\begin{equation}\label{defb}
b_j=\sk C_k\xi_k^j.
\end{equation}
Тогда
$$\sk\ov C_k\ov\xi_k^{-j}=\sk\ov C_k\ov\xi_k^{n-j}=\ov b_{n-j}.$$
Положив $\alpha=\arg(\xi^n-\rho^n)$, равенство \eqref{**} можно переписать
в виде
$$\frac{e^{2i\alpha}}{n-j}\left(\ov\xi^{n-j}-\rho^{n-j}b_{n-j}\right)=\frac
1{n+j}\left(\xi^{n+j}-\rho^{n+j}b_j\right),\quad j=1,\ldots,n-1.$$
Введя обозначения
$$p_j=e^{2i\alpha}\frac{n+j}{n-j}\rho^{-2j},\quad\tau=\frac\xi\rho,$$
получаем систему
$$b_j-p_j\ov b_{n-j}=\tau^{n+j}-p_j\ov\tau^{n-j},\quad j=1,\ldots,n-1.$$
Взяв из этой системы равенство, сопряженное к равенству, получаемому при $j
=n-k$, и равенство при $j=k$, будем иметь
\begin{align*}
-\ov p_kb_k+\ov b_{n-k}&=\ov\tau^{2n-k}-\ov p_{n-k}\tau^k,\\
b_k-p_k\ov b_{n-k}&=\tau^{n+k}-p_k\ov\tau^{n-k},\quad k=1,\ldots,n-1.
\end{align*}
Отсюда
$$b_k=\frac{p_k\ov\tau^{n-k}(\ov\tau^n-1)+\tau^k(\tau^n-p_k\ov p_{n-k})}{1-
p_k\ov p_{n-k}}.$$
Это выражение для $b_k$ легко привести к виду \eqref{bk}. Из равенств
\eqref{defb} и того, что $b_0=1$, получаем
$$C_j=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}b_k\xi_j^{-k}.$$
\end{proof}

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Os1}{\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических
функций // Мат. заметки. 1972. Т.~12, \No4. С.~465--476.

\bibitem{Os2}{\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических
функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат.
заметки. 1976. Т.~19, \No1. С.~29--40.

\bibitem{Os3}{\it Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальных методах восстановления в
пространствах Харди--Соболева // Мат. сб. 2001. Т.~192. С.~67--86.

\bibitem{CMFT}{\it Magaril-Il'yaev~G.G, Osipenko K.Yu., Tikhomirov V.M.}
Optimal recovery and extremum theory // CMFT. 2002. V.~2. \No1. (в печати).

\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991.
Т.~50. \No6. С.~85--93.

\bibitem{HN}{\it Horwitz, A., Newman, D.~J.,} An extremal problem for
analytic functions with prescribed zeros and $r$th derivative in $H^\infty$
// Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V.~295. \No2. P.~699--713.

\end{thebibliography}

\end{document}
