\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1550
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\ls}{L_\infty(\Delta_\sigma)}
\newcommand*{\Ht}{\mathcal H_2^\beta}
\newcommand*{\Hr}{\mathcal H_2^{r,\beta}}
\newcommand*{\Hi}{\mathcal H_{2,\infty}^{r,\beta}}
\newcommand*{\Hd}{\mathcal H_2}
\newcommand*{\hr}{H_2^{r,\beta}}
\newcommand*{\hi}{H_{2,\infty}^{r,\beta}}

\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wy}{\widehat y}
\newcommand*{\wv}{\varphi_0}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\Ld}{L_\infty(\Ds)}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wg}{\widehat g}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wa}{\widehat a}
\newcommand*{\wt}{t_0}
\newcommand*{\Kk}{\mathcal K_{k,\delta}^{r,\beta}}
\newcommand*{\K}{\mathcal K_{\delta_1,\delta_2}^{\rho,\beta}}
\newcommand*{\Kr}{\mathcal K_{\rho,\delta_1,\delta_2}}
\newcommand*{\Ir}{I_{r,\beta}}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.5
\end{flushleft} 

\title[Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа] {Неравенство
Харди--Литтлвуда--Полиа для аналитических функций из пространств
Харди--Соболева}
\author{К.~Ю.~Осипенко}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No05-01-00275, \No05-01-00261) и
программы ``Университеты России" (УР.03.01.130, УР.04.02.536)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}

\begin{abstract}
В работе найден экстремум нормы $k$-ой производной функции комплексного
переменного, аналитической в полосе, в метрике $\lt$ при ограничении на
норму самой функции в $\lt$ и норму ее $n$-ой производной в метрике
пространства Харди--Соболева. Изучается также тесно связанная с этой
задачей задача об оптимальном восстановлении $k$-ой производной функции из
класса Харди--Соболева по неточно заданному следу этой функции на
вещественной оси. Получен оптимальный метод восстановления.
\end{abstract}

\maketitle

\section{Постановки задач}

В монографии \cite{HLP} Харди, Литтлвуд и Полиа доказали, что для всех
целых $0<k<r$ имеет место точное неравенство
\begin{equation}\label{HL}
\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}\le\|x\cd\|_{\lt}^{1-\frac kr}\|x^{(r)}\cd\|_{\lt}^{
\frac kr},
\end{equation}
справедливое для всех функций $x\cd\in\lt$, у которых $(r-1)$-ая
производная локально абсолютно непрерывна на $\mathbb R$ и $x^{(r)}\cd\in
\lt$. Неравенства типа \eqref{HL} носят название {\it неравенств
Ландау--Колмогорова}: Ландау \cite{La} первый получил ряд точных
результатов в подобных неравенствах, а Колмогоров \cite{Ko} в 1939 г.\
получил один из самых ярких результатов в данной проблематике (им была
найдена точная константа в неравенстве, подобном \eqref{HL}, когда все
нормы задаются в пространстве $L_\infty(\mathbb R)$). Более подробные
сведения о неравенствах типа Ландау--Колмогорова для вещественных функций
можно найти в работах \cite{MT} и \cite{KMT}.

Надо отметить, что уже в работе Колмогорова \cite{Ko} был проявлен интерес
к неравенствам такого вида для аналитических функций. Аналог неравенства
Колмогорова для функций, аналитических в полосе $S_\beta=\{z\in\mathbb C:|
\IM z|<\beta\}$, был получен в \cite{Os}. В настоящей работе получен аналог
неравенства Харди--Литлвуда-Полиа для функций, аналитических в полосе
$S_\beta$, а также рассмотрен ряд задач оптимального восстановления, тесно
связанных с этим неравенством. Неравенства для производных функций,
аналитических в полосе $S_\beta$, интересны еще и тем, что при предельном
переходе, когда $\beta\to0$, получаются точные неравенства для
вещественного случая.

Перейдем к точной постановке задачи. {\it Пространством Харди\/} $\Ht$
называется множество функций $f\cd$, аналитических в полосе $S_\beta$, для
которых
$$\|f\cd\|_{\Ht}=\biggl(\sup_{0\le\eta<\beta}\frac12\int_{\mathbb R}(|f(t+i\eta)|^
2+|f(t-i\eta)|^2)\,dt\biggr)^{1/2}<\infty.$$
Через $\Hr$ ({\it пространство Харди--Соболева}) будем обозначать множество
аналитических в полосе $S_\beta$ функций, для которых $f^{(r)}\cd\in\Ht$.

Под точным неравенством Харди--Литтлвуда--Полиа для функций из $\Hr$ будем
понимать задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{HHLP}
\sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f\cd
\|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\lt}
\end{equation}
для любых $\gamma_1,\gamma_2>0$. Мы будем рассматривать более общую задачу
(об оптимальном восстановлении $k$-ой производной функции $f\cd\in\Hr$ в
метрике $\lt$ по неточным значением самой функции $f\cd$ на $\mathbb R$),
при решении которой будет найдена величина \eqref{HHLP}.

Обозначим через $\hr$ множество функций $f\cd\in\Hr$, для которых $\|f^{(r)
}\cd\|_{\Ht}\le1$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-ой
производной функции $f\cd\in\hr\cap\lt$ по ее следу на $\mathbb R$,
заданному с погрешностью в метрике $\lt$, т.е.\ считается, что вместо следа
на $\mathbb R$ функции $f\cd$ известна функция $y\cd\in\lt$ такая, что
$$\|f\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta.$$
Требуется по функции $y\cd$ восстановить на $\mathbb R$ наилучшим образом
функцию $f^{(k)}\cd$.

В качестве {\it методов восстановления\/} будут рассматриваться
произвольные операторы $\varphi\colon\lt\to\lt$. Для данного метода
восстановления $\varphi$ его {\it погрешностью\/} назовем величину
$$e_k(\hr,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\hr\cap\lt,\ y\cd\in\lt\\
\|f\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta}}\|f^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lt}.$$
{\it Погрешностью оптимального восстановления\/} называется величина
$$E_k(\hr,\delta)=\inf_{\varphi\colon\lt\to\lt}e_k(\hr,\delta,\varphi),$$
а {\it оптимальным методом восстановления\/} --- метод, на котором
достигается нижняя грань.

Рассмотрим еще одну экстремальную задачу --- об оценке $\lt$-нормы функции
$f\cd\in\Ht$ на прямой $\IM z=\rho$, $-\beta<\rho<\beta$, через ее $\lt
$-нормы граничных значений на прямых $\IM z=\pm\beta$ (хорошо известно, что
у функций из $\Ht$ почти всюду существуют граничные значения на прямых $\IM
z=\pm\beta$, являющиеся функциями из $\lt$). Тем самым речь идет об
экстремальной задаче
\begin{multline}\label{TC}
\|f(\cdot+i\rho)\|_{\lt}\to\max,\quad\|f(\cdot-i\beta)\|_{\lt}\le\delta_1,
\\
\|f(\cdot+i\beta)\|_{\lt}\le\delta_2.
\end{multline}
Результат подобного типа, когда нормы берутся в пространствах $L_\infty(
\mathbb R)$, а функции являются аналитическими и ограниченными в полосе,
известен как теорема о трех прямых (см., например, \cite{St}).
Соответствующий результат для круга --- теорема Адамара о трех кругах
\cite{G}.

Свяжем с экстремальной задачей \eqref{TC} задачу об оптимальном
восстановлении функции $f\cd\in\Ht$ на прямой $\IM z=\rho$ по ее
приближенным граничным значениям на прямых $\IM z=\pm\beta$. Более точно,
будем считать, что для каждой функции $f\cd\in\Ht$ известны функции $y_1\cd
,y_2\cd\in\lt$ такие, что
$$\|f(\cdot-i\beta)-y_1\cd\|_{\lt}\le\delta_1,\quad\|f(\cdot+i\beta)-y_2\cd
\|_{\lt}\le\delta_2.$$
Требуется по функциям $y_1\cd,y_2\cd$ восстановить функцию $f(\cdot+i\rho)
$.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные операторы $
\varphi\colon\lt\times\lt\to\lt$. Для данного метода $\varphi$ его
погрешность определяется равенством
$$e_\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\Ht,\ y_1\cd
,y_2\cd\in\lt\\\|f(\cdot+i\beta)-y_1\cd\|_{\lt}\le\delta_1\\\|f(\cdot-i
\beta)-y_2\cd\|_{\lt}\le\delta_2}}\|f(\cdot+i\rho)-\varphi(y_1,y_2)\cd\|_{
\lt}.$$
Погрешностью оптимального восстановления называется величина
$$E_\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2)=\inf_{\varphi\colon\lt\times\lt\to\lt}e_
\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2,\varphi).$$

\section{Основные результаты}

Пусть $r\in\mathbb N$ и $\beta$ --- положительное вещественное число.
Функция $t^r\sqrt{\ch2\beta t}$ монотонно возрастает при $t\in\mathbb R_+$
от $0$ до $+\infty$. Поэтому для любого $x\in\mathbb R_+$ существует
единственное решение уравнения
$$t^r\sqrt{\ch 2\beta t}=x,$$
принадлежащее интервалу $[0,+\infty)$. Обозначим его через $\mu_{r\beta}(x)
$.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $r,k\in\mathbb N$ и $k\le r$. При всех $\gamma_1,\gamma_2>0$ имеет
место равенство
$$\sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f
\cd\|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\lt}=\gamma_2\mu_{r\beta}^k\left(
\frac{\gamma_1}{\gamma_2}\right).$$
\end{theorem}

Иными словами, теорема~\ref{T1} утверждает, что для всех функций из
пространства $\Hr$, отличных от тождественного нуля, имеет место точное
неравенство
$$\|f^{(k)}\cd\|_{\lt}\le\|f\cd\|_{\lt}\mu_{r\beta}^k\left(\frac{\|f^{(r)}
\cd\|_{\Ht}}{\|f\cd\|_{\lt}}\right).$$

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $r,k\in\mathbb N$, $k\le r$ и $\delta>0$. Тогда для погрешности
оптимального восстановления $k$-ой производной имеет место равенство
$$E_k(\hr,\delta)=\delta\mu_{r\beta}^k(\delta^{-1}),$$
а метод
$$\wv(y)\cd=(\Kk*y)\cd,$$
где
\begin{multline}\label{K}
\Kk(x)\\
=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(it)^k\left(1+\frac{k\delta^2t^{2r}\ch2\beta t
}{r-k+\beta\mu_{r\beta}(\delta^{-1})\thh(2\beta\mu_{r\beta}(\delta^{-1}))}
\right)^{-1}e^{ixt}\,dt,
\end{multline}
является оптимальным методом восстановления.
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{T3}
При всех $-\beta<\rho<\beta$  и $\delta_1,\delta_2>0$ имеют место
равенства
$$E_\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2)=\sup_{\substack{f\cd\in\Ht\\\|f(\cdot-i
\beta)\|_{\lt}\le\delta_1\\\|f(\cdot+i\beta)\|_{\lt}\le\delta_2}}\|f(\cdot+
i\rho)\|_{\lt}=\delta_1^{\frac{\beta-\rho}{2\beta}}\delta_2^{\frac{\beta+
\rho}{2\beta}},$$
а метод
\begin{multline*}
\wv(y_1,y_2)(x)=\delta_2^2(\beta-\rho)(\K*y_1)(x-i(\beta-\rho))\\
+\delta_1^2(\beta+\rho)(\K*y_2)(x+i(\beta+\rho)),
\end{multline*}
где
\begin{equation}\label{KK}
\K(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\frac{e^{ixt}}{\delta_2^2(\beta-\rho)e^
{2\beta t}+\delta_1^2(\beta+\rho)e^{-2\beta t}}\,dt,
\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

Из теоремы~\ref{T3}, в частности, вытекает, что при $-\beta<\rho<\beta$ для
всех $f\cd\in\Ht$ имеет место точное неравенство
$$\|f(\cdot+i\rho)\|_{\lt}\le\|f(\cdot-i\beta)\|^{\frac{\beta-\rho}{2\beta}
}_{\lt}\|f(\cdot+i\beta)\|^{\frac{\rho+\beta}{2\beta}}_{\lt}.$$

\section{Доказательства}

Для доказательства теорем~\ref{T1} и \ref{T2} нам потребуется один общий
результат об оптимальном восстановлении линейных операторов, основанный на
методе, разработанном в \cite{MO1}, \cite{MO2}. Начнем с постановки
некоторой общей задачи об оптимальном восстановлении.

Пусть $X$ --- линейное пространство, $Y_1,\ldots,Y_p$ --- линейные
пространства с полускалярными произведениями $(\cdot,\cdot)_{Y_j}$, $j=1,
\ldots,p$, и соответствующими полунормами $\|\cdot\|_{Y_j}$, $j=1,\ldots,p
$, $Y_s=L_\infty(\Delta_s)$, $\Delta_s\subseteq\mathbb R$, $s=p+1,\ldots,m
$, $I_j\colon X\to Y_j$, $j=1,\ldots,m$, --- линейные операторы, а $Z$ ---
линейное нормированное пространство. Рассмотрим задачу оптимального
восстановления оператора $T\colon X\to Z$ на множестве
$$W=\{\,x\in X:\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,l,\ 0\le l\le p\,\}$$
по значениям операторов $I_{l+1},\ldots,I_m$, заданным с погрешностью (при
$l=0$ полагаем $W=X$). Будем считать, что для каждого $x\in W$ нам известен
вектор $y=(y_{l+1},\ldots,y_p,y_{p+1}\cd,\ldots,y_m\cd)\in Y_{l+1}\times
\ldots\times Y_m$ такой, что $\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=l+1,\ldots
,p$, и $|I_sx(t)-y_s(t)|\le\delta_s(t)$ для почти всех $t\in\Delta_s$, $s=p
+1,\ldots,m$ (в дальнейшем для функций из $L_\infty(\Delta_s)$ не будем
отмечать каждый раз, что неравенства понимаются выполненными почти всюду на
$\Delta_s$).

В качестве {\it методов восстановления\/} оператора $T$ рассматриваются
всевозможные операторы $\varphi\colon Y_{l+1}\times\ldots\times Y_m\to Z$.
{\it Погрешностью восстановления\/} для данного метода $\varphi$ называется
величина
$$e(T,W,I,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y_{l+1}\times\ldots
\times Y_m\\\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=l+1,\ldots,p\\|I_sx(t)-y_s(t)
|\le\delta_s(t),\ s=p+1,\ldots,m}}\|Tx-\varphi(y)\|_Z$$
(здесь $I=(I_{l+1},\ldots,I_m)$, $\delta=(\delta_{l+1},\ldots,\delta_p,
\delta_{p+1}\cd,\ldots,\delta_m\cd)$).
{\it Погрешностью оптимального восстановления\/} называется величина
$$E(T,W,I,\delta)=\infp_{\varphi\colon Y_{l+1}\times\ldots\times Y_m\to Z}e
(T,W,I,\delta,\varphi),$$
а метод, на котором достигается нижняя грань называется {\it оптимальным}.

С поставленной задачей восстановления тесно связана экстремальная задача
\begin{multline}\label{OT2}
\|Tx\|_Z^2\to\max,\quad\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2,\ j=1,\ldots,p,\quad |
I_sx(t)|^2\le\delta_s^2(t),\\
s=p+1,\ldots,m.
\end{multline}
Обозначим через $\mathcal L(x,\lambda)$ функцию Лагранжа для этой
экстремальной задачи
$$\mathcal L(x,\lambda)=-\|Tx\|^2_Z+\sum_{j=1}^p\lambda_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+
\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\lambda_s(t)|I_sx(t)|^2\,dt,$$
где $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_p,\lambda_{p+1}\cd,\ldots\lambda_m
\cd)$, $\lambda_j\ge0$, $j=1,\ldots,p$, а $\lambda_s\cd$ --- измеримые
неотрицательные функции на $\Delta_s$, $s=p+1,\ldots,m$.

\begin{theorem}\label{TOT}
Пусть существуют измеримые неотрицательные на $\Delta_s$ функции $\wl_s\cd
$, $s=p+1,\ldots,m$ и $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,p$, такие, что для $\wl=(\wl
_1,\ldots,\wl_p,\wl_{p+1}\cd,\ldots\wl_m\cd)$
\begin{align*}
(a)&\quad\mathcal L(x,\wl)\ge0\quad\forall x\in X.\\
\intertext{Пусть, кроме того, существует такая последовательность $\{x_n\}$
допустимых элементов в \eqref{OT2}, что выполнены условия:}
(b)&\quad\lim_{n\to\infty}\mathcal L(x_n,\wl)=0,\\
(c)&\quad\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{j=1}^p\wl_j\left(\|I_jx_n\|_{Y_j}^2-
\delta_j^2\right)\right.\\
&\hskip9em\left.+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\left(|I_sx_n(t)|^2-
\delta_s^2(t)\right)\,dt\right)=0.
\end{align*}
Тогда значение экстремальной задачи \eqref{OT2} равно
$$\sum_{j=1}^p\wl_j\delta_j^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\delta_s
^2(t)\,dt.$$
Если при этом для всех $y=(y_{l+1},\ldots,y_p,y_{p+1}\cd,\ldots,y_m\cd)\in
Y_{l+1}\times\ldots\times Y_m$ существует $x_y$ --- решение экстремальной
задачи
\begin{multline}\label{ext}
\sum_{j=1}^l\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{j=l+1}^p\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\\
+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)-y_s(t)|^2\,dt\to\min,\quad x
\in X,
\end{multline}
то
\begin{equation}\label{Omet}
\wv(y)=Tx_y
\end{equation}
--- оптимальный метод восстановления и
\begin{equation}\label{er}
E(T,W,I,\delta)=\sqrt{\sum_{j=1}^p\wl_j\delta_j^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{
\Delta_s}\wl_s(t)\delta_s^2(t)\,dt}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Покажем, что значения задачи \eqref{OT2} и задачи
\begin{equation}\label{OT3}
\|Tx\|_Z^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^p\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{s=p+1}^m\int
_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)|^2\,dt\le S,
\end{equation}
где
$$S=\sum_{j=1}^p\wl_j\delta_j^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)
\delta_s^2(t)\,dt,$$
совпадают и равны $S$.
Действительно, для любого допустимого в \eqref{OT2} или в \eqref{OT3}
элемента $x\in X$ имеем с учетом $(a)$
\begin{multline*}
-\|Tx\|^2_Z\ge-\|Tx\|^2_Z+\sum_{j=1}^p\wl_j\left(\|I_jx\|_{Y_j}^2-\delta_j^
2\right)\\
+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\left(|I_sx(t)|^2-\delta_s^2(t)\right
)\,dt\ge-S.
\end{multline*}
С другой стороны, используя последовательно $(c)$ и $(b)$, получаем, что
\begin{multline*}
-\lim_{n\to\infty}\|Tx_n\|^2=\lim_{n\to\infty}\left(\vphantom{\int_{\Delta_
s}}-\|Tx_n\|^2_Z+\sum_{j=1}^p\wl_j\left(\|I_jx_n\|_{Y_j}^2-\delta_j^2\right
)\right.\\
\left.+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\left(|I_sx_n(t)|^2-\delta_s^2(
t)\right)\,dt\right)=-S,
\end{multline*}
т.~е. $S$ --- значение задач \eqref{OT2} и \eqref{OT3}.

Оценка снизу. Для любого метода $\varphi$ при всех $x\in W$ таких, что $\|I
_jx\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=l+1,\ldots,p$ и $|I_sx(t)|\le\delta_s(t)$, $s=p
+1,\ldots,m$, имеем
$$2\|Tx\|_Z\le\|Tx-\varphi(0)\|_Z+\|T(-x)-\varphi(0)\|_Z\le2e(T,W,I,\delta,
\varphi).$$
Следовательно, для любого метода $\varphi$
$$e(T,W,I,\delta,\varphi)\ge\sup_{\substack{x\in W\\\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta
_j,\ j=l+1,\ldots,p\\|I_sx(t)|\le\delta_s(t),\ s=p+1,\ldots,m}}\|Tx\|_Z\\
=\sqrt S.$$
Таким образом,
\begin{equation}\label{LB}
E(T,W,I,\delta)\ge\sqrt S.
\end{equation}

Оценка сверху. Рассмотрим линейное пространство $E=Y_1\times\ldots\times Y_
m$ с полускалярным произведением
$$(y^1,y^2)_E=\sum_{j=1}^p\wl_j(y^1_j,y^2_j)_{Y_j}+\sum_{s=p+1}^m\int_{
\Delta_j}\wl_s(t)y^1_j(t)\ov{y^2_j(t)}\,dt.$$
Тогда экстремальная задача \eqref{ext} может быть переписана в виде
$$\|\wI x-\wy\|_E^2\to\min,\quad x\in X,$$
где $\wI=(I_1,\ldots,I_m)$, а $\wy=(0,\ldots,0,y_{l+1},\ldots,y_p,y_{p+1}
\cd,\ldots,y_m\cd)$. Если $x_y$ --- решение этой задачи, то нетрудно
показать, что для всех $x\in X$ выполняется равенство
$$(\wI x_y-\wy,\wI x)_E=0.$$
Отсюда следует, что
\begin{equation}\label{Pi}
\|\wI x-\wy\|_E^2=\|\wI x-\wI x_y\|_E^2+\|\wI x_y-\wy\|_E^2.
\end{equation}
Если $x\in W$, а $\wy$ таков, что $\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=l+1,
\ldots,p$, $|I_sx(t)-y_s(t)|\le\delta_s(t)$ почти всюду на $\Delta_s$, $s=p
+1,\ldots,m$, то из \eqref{Pi} вытекает, что
\begin{multline*}
\|\wI x-\wI x_y\|_E^2\le\|\wI x-\wy\|_E^2=\sum_{j=1}^l\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2
+\sum_{j=l+1}^p\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\\
+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)-y_s(t)|^2\,dt\le S.
\end{multline*}
Полагая $z=x-x_y$, приходим к неравенству
$$\sum_{j=1}^p\wl_j\|I_jz\|_{Y_j}^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I
_sz(t)|^2\,dt\le S.$$
Тем самым для метода \eqref{Omet} имеем
\begin{multline*}
\|Tx-\wv(y)\|_Z=\|Tz\|_Z\\
\le\sup\biggl\{\|Tx\|_Z:\sum_{j=1}^p\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{s=p+1}^m
\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)|^2\,dt\le S\,\biggr\}\\
=\sqrt S.
\end{multline*}
Учитывая \eqref{LB}, получаем равенство \eqref{er} и оптимальность метода
\eqref{Omet}.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T1}$]
Рассмотрим экстремальную задачу
\begin{equation}\label{exH}
\|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}\le\gamma_1^2,
\quad\|f\cd\|^2_{\lt}\le\gamma_2^2.
\end{equation}
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}+\lambda_1\|f
^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\lambda_2\|f\cd\|^2_{\lt}.$$
По основной теореме о представлении функций из пространств $\mathcal H_2$
над трубчатыми областями (см.~\cite{St}) следует, что $f\cd\in\Ht
$ в том и только в том случае, если она имеет вид
\begin{equation}\label{St}
f(z)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\wf(t)e^{izt}\,dt,
\end{equation}
где $\wf\cd$ --- функция, удовлетворяющая условию
$$\sup_{|y|<\beta}\int_{\mathbb R}|\wf(t)|^2e^{-2yt}\,dt<\infty$$
($\wf\cd$ --- преобразование Фурье функции $f(x)$, $x\in\mathbb R$). Из
теоремы Планшереля вытекает тогда, что
$$\|f\cd\|^2_{\Ht}=\frac1{2\pi}\sup_{0\le y<\beta}\int_{\mathbb R}|\wf(t)|^
2\ch2yt\,dt=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\wf(t)|^2\ch2\beta t\,dt.$$
Переходя к образам Фурье и обозначая $(2\pi)^{-1}|\wf\cd|^2=u\cd$, будем
иметь
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}+\lambda_1t^
{2r}\ch2\beta t+\lambda_2)u(t)\,dt.$$

Положим
$$\alpha(t)=-1+\lambda_1t^{2(r-k)}\ch2\beta t+\lambda_2t^{-2k}.$$
Нетрудно убедиться, что $\alpha(t)$ --- выпуклая функция при $t>0$.
Поэтому если в некоторой точке $\wt>0$ выполняются равенства
\begin{equation}\label{Al}
\alpha(\wt)=\alpha'(\wt)=0,
\end{equation}
то $\alpha(t)\ge0$ при всех $t\ge0$. Пусть $\wt$ --- положительное решение
уравнения
\begin{equation}\label{Eq}
\gamma_2^2t^{2r}\ch2\beta t=\gamma_1^2,
\end{equation}
т.~е.\ $\wt=\mu_{r\beta}(\gamma_1/\gamma_2)$. Выберем $\wl_1$ и $\wl_2$
так, чтобы выполнялись равенства \eqref{Al}. Имеем
\begin{align*}
\wl_1&=\frac{k\wt^{2(k-r)}}{r\ch2\beta\wt+\wt\beta\sh2\beta\wt},\\
\wl_2&=\frac{(r-k)\wt^{2k}\ch2\beta\wt+\wt^{2k+1}\beta\sh2\beta\wt}{r\ch2
\beta\wt+\wt\beta\sh2\beta\wt}.
\end{align*}
Таким образом, для так выбранных $\wl_1$ и $\wl_2$ для всех $t\in\mathbb R$
$$-t^{2k}+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t+\wl_2\ge0.$$
Следовательно, для всех $f\cd\in\Hr\cap\lt$
$$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$

Положим для достаточно больших $n$ (таких, что $\wt-1/n>0$)
$$u_n(t)=\begin{cases}\gamma_2^2n,&t\in(\wt-1/n,\wt),\\
0,&t\notin(\wt-1/n,\wt).\end{cases}$$
Обозначим через $f_n\cd$ последовательность функций, получаемую по формуле
\eqref{St} для $\wf\cd=\sqrt{2\pi u_n\cd}$.
Имеем
$$\|f_n\cd\|^2_{\lt}=\|u_n\cd\|^2_{\lt}=\gamma_2^2,$$
а
$$\|f_n^{(r)}\cd\|^2_{\lt}=\gamma_2^2n\int_{\wt-1/n}^{\wt}t^{2r}\ch2\beta t
\,dt\le\gamma_2^2\wt^{2r}\ch2\beta\wt=\gamma_1^2,$$
т.~e.\ функции $f_n\cd$ являются допустимыми в задаче \eqref{exH}.
Нетрудно убедиться, что
\begin{gather}\label{LL}
\lim_{n\to\infty}\mathcal L(f_n\cd,\wl_1,\wl_2)=0,\\
\label{LLL}
\lim_{n\to\infty}\|f_n^{(r)}\cd\|^2_{\lt}=\gamma_1^2.
\end{gather}
Из теоремы~\ref{TOT} следует, что значение экстремальной задачи \eqref{exH}
равно
$$\wl_1\gamma_1^2+\wl_2\gamma_2^2=\gamma_2^2\mu^{2k}_{r\beta}\left(\frac{
\gamma_1}{\gamma_2}\right).$$
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T2}$]
Положим $\gamma_1=1$, $\gamma_2=\delta$ и для соответствующих $\wl_1$, $\wl
_2$ при некотором $y\cd\in\lt$ рассмотрим экстремальную задачу
$$\wl_1\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\wl_2\|f\cd-y\cd\|^2_{\lt}\to\min,\quad f\cd
\in\Hr\cap\lt.$$
Переходя к образам Фурье, можем записать эту задача в виде
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(\wl_1t^{2r}|\wf(t)|^2\ch2\beta t+\wl_2|\wf\cd-
\wy\cd|^2)\,dt\to\min,\\
f\cd\in\Hr\cap\lt.
\end{multline*}
Легко показать, что решением этой задачи является функция
$$\wf_y(t)=\frac{\wl_2}{\wl_2+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t}\wy(t).$$
Из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что метод
$$\wv(y)\cd=f_y^{(k)}\cd$$
является оптимальным. Так как преобразование Фурье функции $f_y^{(k)}\cd$
равно
$$(it)^k\frac{\wl_2}{\wl_2+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t}\wy(t),$$
то ее можно записать в виде свертки функции $y\cd$ и функции $\Kk\cd$,
определенной равенством \eqref K.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T3}$]
Перейдем для удобства к квадратам в экстремальной задаче \eqref{TC}
\begin{multline}\label{TC2}
\|f(\cdot+i\rho)\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|f(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}\le\delta
^2_1,
\\\|f(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}\le\delta^2_2.
\end{multline}
и запишем соответствующую функцию Лагранжа
\begin{multline*}
\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f(\cdot+i\rho)\|^2_{\lt}+\lambda_1
\|f(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}\\
+\lambda_2\|f(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}.
\end{multline*}
В силу представления \eqref{St}, переходя к образам Фурье, по теореме
Планшереля будем иметь
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(-e^{
-2\rho t}+\lambda_1e^{2\beta t}+\lambda_2e^{-2\beta t})|\wf(t)|^2\,dt.$$
Нетрудно убедиться, что функция
$$\gamma(t)=-1+\lambda_1e^{2(\beta+\rho)t}+\lambda_2e^{-2(\beta-\rho)t}$$
является выпуклой на $\mathbb R$. Поэтому если для некоторой точки $\wt\in
\mathbb R$
\begin{equation}\label{ga}
\gamma(\wt)=\gamma'(\wt)=0,
\end{equation}
то $\gamma(t)\ge0$ для всех $t\in\mathbb R$. Положим
$$\wt=\frac{\ln\delta_1-\ln\delta_2}{2\beta}$$
и выберем $\wl_1$ и $\wl_2$ из условия \eqref{ga}. Имеем
$$\wl_1=\frac{\beta-\rho}{2\beta}e^{-2(\beta+\rho)\wt},\quad\wl_2=\frac{
\beta+\rho}{2\beta}e^{2(\beta-\rho)\wt}.$$
Тем самым для всех $f\cd\in\Ht$
$$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$
Обозначим для достаточно больших $n$ через $f_n\cd$ последовательность
функций, получаемую по формуле \eqref{St} для
$$\wf_n(t)=\begin{cases} A_n,&t\in(\wt-1/n,\wt+1/n),\\
0,&t\notin(\wt-1/n,\wt+1/n),\end{cases}$$
где
$$A_n=n\sqrt{\frac{\pi\delta_1\delta_2}{n+1}}.$$
Непосредственные вычисления показывают, что
\begin{align*}
\|f_n(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}&=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\wf_n(t)|^2e^{2
\beta t}\,dt=\delta_1^2\frac n{n+1}\frac{\sh2\beta/n}{2\beta/n},\\
\|f_n(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}&=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\wf_n(t)|^2e^{-
2\beta t}\,dt=\delta_2^2\frac n{n+1}\frac{\sh2\beta/n}{2\beta/n}.
\end{align*}
В силу того, что при достаточно больших $n$
$$\frac{\sh2\beta/n}{2\beta/n}<1+1/n,$$
последовательность $\wf_n\cd$ является при достаточно больших $n$
допустимой в задаче~\eqref{TC2}, а кроме того,
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\|f_n(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}&=\delta_1^2,\\
\lim_{n\to\infty}\|f_n(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}&=\delta_2^2.
\end{align*}
Нетрудно убедиться, что
$$\lim_{n\to\infty}\mathcal L(f_n\cd,\wl_1,\wl_2)=0.$$
Тем самым из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что значение экстремальной
задачи~\eqref{TC2} равно
$$\wl_1\delta_1^2+\wl_2\delta_2^2=\delta_1^{\frac{\beta-\rho}\beta}\delta_2
^{\frac{\beta+\rho}\beta}.$$

Рассмотрим теперь экстремальную задачу
$$\wl_1\|f(\cdot-i\beta)-y_1\cd\|^2_{\lt}+\wl_2\|f(\cdot+i\beta)-y_2\cd\|^2_{
\lt}\to\min,\quad f\cd\in\Ht.$$
Переходя к образам Фурье и пользуясь равенством \eqref{St}, перепишем эту задачу в виде
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\left(\wl_1|\wf(t)e^{\beta t}-\wy_1(t)|^2+\wl_2
|\wf(t)e^{-\beta t}-\wy_2(t)|^2\right)\,dt\to\min,\\
f\cd\in\Ht.
\end{multline*}
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция $f_{y_1,y_2}
\cd$ такая, что
$$\wf_{y_1,y_2}(t)=\frac{\wl_1e^{\beta t}\wy_1(t)+\wl_2e^{-\beta t}\wy_2(t)
}{\wl_1e^{2\beta t}+\wl_2e^{-2\beta t}}.$$
Из теоремы~\ref{TOT} следует, что метод
$$\wv(y_1,y_2)\cd=f_{y_1,y_2}(\cdot+i\rho)$$
является оптимальным. Имеем
\begin{multline*}
\wv(y_1,y_2)(x)\\
=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\frac{\delta_2^2(\beta-\rho)e^{\beta t}y_1(t)+
\delta_1^2(\beta+\rho)e^{-\beta t}y_2(t)}{\delta_2^2(\beta-\rho)e^{2\beta t
}+\delta_1^2(\beta+\rho)e^{-2\beta t}}e^{i(x+i\rho)t}\,dt\\
=\delta_2^2(\beta-\rho)(\K*y_1)(x-i(\beta-\rho))+\delta_1^2(\beta+\rho)(\K*
y_2)(x+i(\beta+\rho)),
\end{multline*}
где ядро $\K\cd$ определено равенством \eqref{KK}.
\end{proof}

\section{Дальнейшие результаты}

\subsection{Восстановление $k$-ой производной на всей полосе.}
Неравенства для производных аналитических функций и связанные с ними задачи
восстановления являются в определенном смысле промежуточным случаем между
одномерными и многомерными задачами. Однако уже здесь имеется некоторое
многообразие, связанное, в частности, с тем, что оптимальное восстановление
может быть рассмотрено на различных областях (впрочем как и задание
исходной информации о функции). В качестве примера рассмотрим задачу
оптимального восстановления $k$-ой производной функции $f\cd\in\hr\cap\lt$
на всей полосе $S_\beta$ по ее следу на $\mathbb R$, заданному с
погрешностью в метрике $\lt$.

В качестве методов восстановления будут рассматриваться произвольные
операторы $\varphi\colon\lt\to\Ht$. Для данного метода восстановления
$\varphi$ его погрешностью назовем величину
$$e_k(\hr,\delta,S_\beta,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\hr\cap\lt,\ y\cd
\in\lt\\\|f\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta}}\|f^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\Ht}.$$
Погрешностью оптимального восстановления назовем величину
$$E_k(\hr,\delta,S_\beta)=\inf_{\varphi\colon\lt\to\Ht}e_k(\hr,\delta,S_
\beta,\varphi),$$
а оптимальным методом восстановления --- метод, на котором достигается
нижняя грань.

Соответствующая задача о точном неравенстве будет иметь вид
\begin{equation}\label{HHLP1}
\sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f\cd
\|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\Ht}
\end{equation}
где $\gamma_1,\gamma_2>0$.

\begin{theorem}\label{TD1}
Пусть $r,k\in\mathbb N$, $k<r$ и $\gamma_1,\gamma_2,\delta>0$. Тогда
\begin{gather*}
\sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f\cd
\|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\Ht}=\gamma_1\mu_{r\beta}^{k-r}\left(
\frac{\gamma_1}{\gamma_2}\right),\\
E_k(\hr,\delta,S_\beta)=\mu_{r\beta}^{k-r}(\delta^{-1}),
\end{gather*}
а метод
$$\wv(y)\cd=(\mathcal M_{k,\delta}^{r,\beta}*y)\cd,$$
где
\begin{multline}\label{M}
\mathcal M_{k,\delta}^{r,\beta}(x)\\
=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(it)^k\left(1+\frac{\delta^2t_0^{2(r-k)}}{r-k}
(k+\beta t_0\thh(2\beta t_0))t^{2r}\ch2\beta t\right)^{-1}e^{ixt}\,dt,
\end{multline}
$$t_0=\mu_{r\beta}(\delta^{-1}),$$
является оптимальным методом восстановления.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим экстремальную задачу
\begin{equation}\label{exH1}
\|f^{(k)}\cd\|^2_{\Ht}\to\max,\quad\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}\le\gamma_1^2,
\quad\|f\cd\|^2_{\lt}\le\gamma_2^2.
\end{equation}
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
\begin{equation}\label{La}
\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f^{(k)}\cd\|^2_{\Ht}+\lambda_1\|f^{
(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\lambda_2\|f\cd\|^2_{\lt}.
\end{equation}
Переходя к образам Фурье (пользуясь теоремой Планшереля и представлением
\eqref{St}), имеем
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}\ch2\beta t+
\lambda_1t^{2r}\ch2\beta t+\lambda_2)u(t)\,dt,$$
где $u\cd=(2\pi)^{-1}|\wf\cd|^2$.

Положим
$$\omega(t)=-1+\lambda_1t^{2(r-k)}+\lambda_2t^{-2k}\ch^{-1}2\beta t.$$
Нетрудно показать, что $\omega(t)$ --- выпуклая функция при $t>0$. Поэтому
если в некоторой точке $\wt>0$ выполняются равенства
\begin{equation}\label{Al1}
\omega(\wt)=\omega'(\wt)=0,
\end{equation}
то $\omega(t)\ge0$ при всех $t\ge0$. Пусть $\wt$ --- положительное решение
уравнения \eqref{Eq}, т.~е.\ $\wt=\mu_{r\beta}(\gamma_1/\gamma_2)$. Выберем
$\wl_1$ и $\wl_2$ так, чтобы выполнялись равенства \eqref{Al1}. Имеем
\begin{align*}
\wl_1&=\frac{k\ch2\beta\wt+\wt\beta\sh2\beta\wt}{\wt^{2(r-k)}(k\ch2\beta\wt
+\wt\beta\sh2\beta\wt)+(r-k)\ch2\beta\wt},\\
\wl_2&=\frac{(r-k)\wt^{2k}\ch^22\beta\wt}{\wt^{2(r-k)}(k\ch2\beta\wt+\wt
\beta\sh2\beta\wt)+(r-k)\ch2\beta\wt}.
\end{align*}
Таким образом, для так выбранных $\wl_1$ и $\wl_2$ для всех $t\in\mathbb R$
$$-t^{2k}\ch2\beta t+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t+\wl_2\ge0.$$
Следовательно, для всех $f\cd\in\Hr\cap\lt$
$$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$
Функции $f_n\cd$, определенные в доказательстве теоремы~\ref{T1}, являются
допустимыми и в задаче \eqref{exH1}. Из равенства \eqref{LLL} и равенства
\eqref{LL}, выполненого для функции Лагранжа \eqref{La}, следует, что
значение экстремальной задачи \eqref{exH1} равно
$$\wl_1\gamma_1^2+\wl_2\gamma_2^2=\gamma_1\mu_{r\beta}^{2(k-r)}\left(\frac
{\gamma_1}{\gamma_2}\right).$$

Погрешность оптимального восстановления и оптимальный метод находятся по
той же схеме, которая применялась в доказательстве теоремы~\ref{T1}.
\end{proof}

В частности, из теоремы~\ref{TD1} следует, что для всех функций из
пространства $\Hr$, отличных от тождественного нуля, имеет место точное
неравенство
$$\|f^{(k)}\cd\|_{\Ht}\le\|f^{(r)}\cd\|_{\lt}\mu_{r\beta}^{k-r}\left(\frac{
\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}}{\|f\cd\|_{\lt}}\right).$$

\subsection{Восстановление $k$-ой производной по неточно заданному
преобразованию Фурье.}
Обозначим через $\Hi$ множество функций $f\cd\in\Hr\cap\lt$, для которых $
\wf\cd\in\li$ (через $\wf\cd$ по-прежнему обозначаем преобразование Фурье
функции $f(x)$, $x\in\mathbb R$). Через $\hi$ обозначим множество функций $
\Hi\cap\hr$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-ой
производной функции $f\cd\in\hi$ по ее преобразованию Фурье $\wf\cd$,
заданному с погрешностью в метрике $\ls$, где $\Delta_\sigma=(-\sigma,
\sigma)$, $0<\sigma\le\infty$, т.е.\ считается, что вместо функции $\wf\cd$
известна функция $y\cd\in\ls$ такая, что
$$\|\wf\cd-y\cd\|_{\ls}\le\delta.$$
Требуется по функции $y\cd$ восстановить на $\mathbb R$ наилучшим образом
функцию $f^{(k)}\cd$.

В соответствии с общей постановкой задачи восстановления операторов
погрешностью метода восстановления $\varphi\colon\ls\to\lt$ является
величина
$$e_k(\hi,\delta,\sigma,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\hi,\ y\cd\in\ls\\
\|f\cd-y\cd\|_{\ls}\le\delta}}\|f^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lt},$$
погрешностью оптимального восстановления --- величина
$$E_k(\hi,\delta,\sigma)=\inf_{\varphi\colon\ls\to\lt}e_k(\hi,\delta,
\sigma,\varphi),$$
а оптимальным методом восстановления --- метод, на котором достигается эта
нижняя грань.

Положим
$$\Ir(\sigma)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^{\sigma}t^{2r}\ch2\beta t\,dt.$$
Из монотонного возрастания функции $\Ir(\sigma)$, $\sigma\in(0,+\infty)$, и
того, что $\Ir(0)=0$, а $\Ir(\sigma)\to+\infty$ при $\sigma\to+\infty$,
следует, что при всех $\delta>0$ существует и единственно такое
$\ws\in(0,+\infty)$, для которого
\begin{equation}\label{Si}
\Ir(\ws)=\delta^{-2}.
\end{equation}

\begin{theorem}\label{TD2}
Пусть $r,k\in\mathbb N$, $k\le r$, $\delta>0$, а $\ws$ определено
равенством \eqref{Si}. Тогда
$$E_k(\hi,\delta,\sigma)\\
=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{\sigma^{-2(r-k)}}{\ch2\beta\sigma}\biggl(1-\delta^2\Ir(
\sigma)\biggr)+\dfrac{\delta^2\sigma^{2k+1}}{\pi(2k+1)}},&\sigma<\ws,
\\[15pt]
\dfrac{\delta\ws^{k+1/2}}{\sqrt{\pi(2k+1)}},&\sigma\ge\ws,\end{cases},$$
а метод
$$\wv(y)\cd=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}(i\tau)^k\biggl(1-\left(
\frac\tau{\sigma_0}\right)^{2(r-k)}\frac{\ch2\beta t}{\ch2\beta\sigma_0}
\biggr)y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau,$$
где $\sigma_0=\min\{\sigma,\ws\}$, является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим экстремальную задачу
\begin{equation}\label{exH2}
\|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}\le1,\quad\|\wf\cd
\|^2_{\ls}\le\delta^2.
\end{equation}
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2\cd)=-\|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}+\lambda_1
\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\int_{\Delta_\sigma}\lambda_2(t)|\wf(t)|^2\,dt.$$
Переходя к образам Фурье и обозначая $(2\pi)^{-1}|\wf\cd|^2=u\cd$, имеем
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2\cd)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}+\lambda_
1t^{2r}\ch2\beta t)u(t)\,dt+2\pi\int_{\Delta_\sigma}\lambda_2(t)u(t)\,dt.$$
Положим $\wl_1=\sigma_0^{-2(r-k)}\ch^{-1}2\beta\sigma_0$ и
$$\wl_2(t)=\begin{cases}(2\pi)^{-1}\left(t^{2k}-\wl_1t^{2r}\ch2\beta t\right),&|t|
<\sigma_0,\\[10pt]
0,&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$
Тогда при всех $f\cd\in\Hi$
$$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2\cd)=\int_{|t|\ge\sigma_0}\left(-t^{2k}+\wl_1t
^{2r}\ch2\beta t\right)u(t)\,dt\ge0.$$

Если $\sigma\ge\ws$, то, обозначив через $g\cd$ обратное преобразование
Фурье функции, совпадающей с $\delta$ в интервале $(-\ws,\ws)$ и равной
нулю вне него, легко проверить, что условия $(b)$ и $(c)$ теоремы~\ref{TOT}
выполнены для постоянной последовательности $f_n\cd=g\cd$.

Если $\sigma<\ws$, положим
$$\gamma=1-\delta^2\Ir(\sigma).$$
Рассмотрим последовательность функций
$$u_n(t)=\begin{cases}\dfrac{\delta^2}{2\pi},&|t|<\sigma,\\[5pt]
\dfrac{n\gamma}{2(\sigma+1/n)^{2r}\ch2\beta(\sigma+1/n)},&\sigma\le|t|\le
\sigma+1/n,\\
0,&|t|>\sigma+1/n\end{cases}$$
(через $g_n\cd$ будем обозначать обратные преобразования Фурье функций $
\sqrt{2\pi u_n\cd}$). Нетрудно убедиться, что
$$\lim_{n\to\infty}\mathcal L(g_n\cd,\wl_1,\wl_2\cd)=0.$$
Кроме того,
\begin{multline}\label{Lim}
\|g_n^{(r)}\cd\|_{\Ht}^2=\int_{\mathbb R}t^{2r}u_n(t)\ch2\beta t\,dt\\
=1-\gamma+\dfrac{n\gamma}{(\sigma+1/n)^{2r}\ch2\beta(\sigma+1/n)}\int_
\sigma^{\sigma+1/n}t^{2r}\ch2\beta t\,dt<1,
\end{multline}
т.\ е.\ функции $g_n\cd$ являются допустимыми в задаче \eqref{exH2}. Из
\eqref{Lim} вытекает также, что
$$\lim_{n\to\infty}\|g_n^{(r)}\cd\|_{\Ht}=1.$$

Задача \eqref{ext} имеет здесь вид
$$\wl_1\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}+\int_{\Ds}\wl_2(t)|\wf(t)-y(t)|^2\,dt\to\min,
\quad f\cd\in\Hi.$$
Переходя к образам Фурье, ее можно записать в виде
\begin{multline*}
\frac{\wl_1}{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2r}|\wf(t)|^2\ch2\beta t\,dt+\int_{\Ds
}\wl_2(t)|\wf(t)-y(t)|^2\,dt\to\min,\\
f\cd\in\Hi.
\end{multline*}
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция $f_y\cd$
такая, что
$$\wf_y(t)=\begin{cases}\dfrac{2\pi\wl_2(t)}{2\pi\wl_2(t)+\wl_2t^{2r}\ch2\beta t}y
(t),&|t|<\sigma_0,\\[15pt]
0,&|t|\ge\sigma_0,\end{cases}$$
т.\ е.\
$$\wf_y(t)=\begin{cases}\left(1-\left(\dfrac t{\sigma_0}\right)^{2(r-k)}\dfrac{\ch
2\beta t}{\ch2\beta\sigma_0}\right)y(t),&|t|<\sigma_0,\\[15pt]
0,&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$
Из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что метод
$$\wv(y)\cd=f_y^{(k)}\cd$$
является оптимальным, а для его погрешности справедливо равенство
$$E_k(\hi,\delta,\sigma)=\sqrt{\wl_1+\delta^2\int_{\Delta_\sigma}\wl_2(t)\,d
t}.$$
Подставляя выражения для $\wl_1$ и $\wl_2\cd$, получаем утверждение
теоремы.
\end{proof}

Из теоремы~\ref{TD2} вытекает, что при фиксированном  $\delta$, начиная с $
\ws$, дальнейшее увеличение интервала, на котором известно преобразование
Фурье функции из класса $\hi$, заданное с погрешностью $\delta$ в
равномерной метрике, не ведет к уменьшению погрешности восстановления.
Иными словами, при нарушении соотношения
\begin{equation}\label{pn}
\frac{\delta^2}{2\pi}\int_{-\sigma}^{\sigma}t^{2r}\ch2\beta t\,dt\le1,
\end{equation}
связывающего погрешность исходных данных с величиной интервала, на котором
эти данные измеряются, получаемая информация оказывается уже избыточной.

\subsection{Теорема о трех окружностях.}
Обозначим через $\Hd$ множество функций $f\cd$, аналитических в единичном
круге $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$, для которых
$$\sup_{0<r<1}\int_{\mathbb T}|f(re^{it})|^2\,dt<\infty.$$
Рассмотрим аналог теоремы о трех прямых (теорема~\ref{T3}) для функций из $
\Hd$. Нас будет интересовать экстремальная задача о нахождении величины
$$\sup_{\substack{f\cd\in\Hd\\\|f(r_1e^{i\cdot})\|_{\lT}\le\delta_1\\\|f(r_
2e^{i\cdot})\|_{\lT}\le\delta_2}}\|f(\rho e^{i\cdot})\|_{\lT},$$
где $0<r_1<\rho<r_2\le1$. Свяжем эту задачу с задачей восстановления
функции $f\cd\in\Hd$ на окружности $|z|=\rho$ по приближенным значениям
этой функции на окружностях $|z|=r_1$ и $|z|=r_2$. Будем считать, что для
каждой функции $f\cd\in\Hd$ известны функции $y_1\cd,y_2\cd\in\lT$ такие,
что
$$\|f(r_je^{i\cdot})-y_j\cd\|_{\lT}\le\delta_j,\quad j=1,2.$$
Требуется по функциям $y_1\cd,y_2\cd$ наилучшим образом восстановить
функцию $f(\rho e^{i\cdot})$.

Погрешностью метода восстановления $\varphi\colon\lT\times\lT\to\lT$
назовем величину
$$e_\rho(\Hd,\delta_1,\delta_2,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\Hd,\ y_1\cd
,y_2\cd\in\lT\\\|f(r_je^{i\cdot})-y_j\cd\|_{\lT}\le\delta_j,\ j=1,2}}\|f(
\rho e^{i\cdot})-\varphi(y_1,y_2)\cd\|_{\lT}.$$
Погрешностью оптимального восстановления называется величина
$$E_\rho(\Hd,\delta_1,\delta_2)=\inf_{\varphi\colon\lT\times\lT\to\lT}e_
\rho(\Hd,\delta_1,\delta_2,\varphi),$$
а оптимальным методом --- метод, на котором эта нижняя грань достигается.

\begin{theorem}\label{TD3}
Пусть $0<r_1<\rho<r_2\le1$ и $\delta_1,\delta_2>0$. Положим
\begin{gather}
\Delta_s=[(r_1/r_2)^{s+1},(r_1/r_2)^s),\quad s=0,1,\ldots\,\,,\notag\\
\mu_{s1}=\frac{r_2^2-\rho^2}{r_1^{2s}},\quad\mu_{s2}=\frac{\rho^2-r_1^2}{r_
2^{2s}}.\label{mu}
\end{gather}
Тогда
\begin{multline*}
E_\rho(\Hd,\delta_1,\delta_2)=\sup_{\substack{f\cd\in\Hd\\\|f(r_1e^{i\cdot}
)\|_{\lT}\le\delta_1\\\|f(r_2e^{i\cdot})\|_{\lT}\le\delta_2}}\|f(\rho e^{i
\cdot})\|_{\lT}\\
=\begin{cases}\dfrac{\rho^s}{\sqrt{r_2^2-r_1^2}}\sqrt{\delta_1^2\mu_{s1}+\delta_2^
2\mu_{s2}}&\delta_1/\delta_2\in\Delta_s,\ s=0,1,\ldots\,\,,\\[12pt]
\delta_2,&\delta_1\ge\delta_2.\end{cases}
\end{multline*}
При $\delta_1/\delta_2\in\Delta_s$, $s=0,1,\ldots\,\,$, метод
$$\wv(y_1,y_2)\cd=\mu_{s1}\Kr(\rho r_1e^{i\cdot})*y_1\cd+\mu_{s2}\Kr(\rho r
_2e^{i\cdot})*y_2\cd,$$
где
\begin{equation}\label{KK3}
\Kr(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\mu_{s1}r_1^{2k}+\mu_{s2}r_2^{2k}},
\end{equation}
является оптимальным. Если $\delta_1\ge\delta_2$, то метод
$$\wv(y_1,y_2)(t)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}\frac{r_2}{r_2-\rho e^{ik(t-u
)}}y_2(u)\,du$$
--- оптимальный.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим экстремальную задачу
\begin{equation}\label{EO}
\|f(\rho e^{i\cdot})\|^2_{\lT}\to\max,\quad\|f(r_je^{i\cdot}\|^2_{\lT}\le
\delta^2_j,\quad j=1,2,
\end{equation}
и запишем соответствующую функцию Лагранжа
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f(\rho e^{i\cdot})\|^2_{\lT}+
\lambda_1\|f(r_1e^{i\cdot})\|^2_{\lT}
+\lambda_2\|f(r_2e^{i\cdot})\|^2_{\lT}.$$
Для функции $f\cd\in\Hd$, имеющий вид
$$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k,$$
при всех $0<r\le1$ справедливо равенство
$$\|f(re^{i\cdot})\|_{\lT}^2=\sum_{k=0}^\infty|a_k|^2r^{2k}.$$
Поэтому функция Лагранжа может быть записана в виде
$$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\sum_{k=0}^\infty(-\rho^{2k}+\lambda
_1r_1^{2k}+\lambda_2r_2^{2k})|a_k|^2.$$
Функция
$$\alpha(x)=-1+\lambda_1\left(\frac{r_1}\rho\right)^{2x}+\lambda_2\left(
\frac{r_2}\rho\right)^{2x}$$
является выпуклой при всех $\lambda_1,\lambda_2\ge0$. Следовательно, если
при некотором $s$
\begin{equation}\label{as}
\alpha(s)=\alpha(s+1)=0,
\end{equation}
то $\alpha(x)\ge0$ при всех $x\in[0,s]\cup[s+1,+\infty)$. Тем самым, если
выбрать $\wl_1$ и $\wl_2$ из условия \eqref{as}, то при всех $k\in\mathbb Z
_+$
$$-\rho^{2k}+\wl_1r_1^{2k}+\wl_2r_2^{2k}=\rho^{2k}\alpha(k)\ge0.$$
Для $\wl_1$ и $\wl_2$ имеем
$$\wl_1=\frac{\rho^{2s}}{r_2^2-r_1^2}\mu_{s1},\quad\wl_2=\frac{\rho^{2s}}{r
_2^2-r_1^2}\mu_{s2},$$
где $\mu_{s1}$ и $\mu_{s2}$ определены равенством \eqref{mu}. Таким
образом, для всех $f\cd\in\Hd$
$$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$

Пусть $\delta_1/\delta_2\in\Delta_s$. Положим
$$g(z)=\wa_sz^s+\wa_{s+1}z^{s+1},$$
где
$$\wa_s=\left(\frac{\delta_1^2r_2^{2s+2}-\delta_2^2r_1^{2s+2}}{(r_1r_2)^{2s
}(r_2^2-r_1^2)}\right)^{1/2},\quad\wa_{s+1}=\left(\frac{\delta_2^2r_1^{2s}-
\delta_1^2r_2^{2s}}{(r_1r_2)^{2s}(r_2^2-r_1^2)}\right)^{1/2}.$$
Легко проверить, что
$$\|g(r_1e^{i\cdot})\|_{\lT}=\delta_1,\quad\|g(r_2e^{i\cdot})\|_{\lT}=
\delta_2,$$
а $\mathcal L(g\cd,\wl_1,\wl_2)=0$. Из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что
значение экстремальной задачи \eqref{EO} равно
$$\wl_1\delta_1^2+\wl_2\delta_2^2=\frac{\rho^{2s}}{r_2^2-r_1^2}(\delta_1^2\mu_{
s1}+\delta_2^2\mu_{s2}).$$

Экстремальная задача \eqref{ext} имеет здесь вид
$$\|f(r_1e^{i\cdot})-y_1\cd\|_{\lT}^2+\|f(r_2e^{i\cdot})-y_2\cd\|_{\lT}^2
\to\min,\quad f\cd\in\Hd.$$
Нетрудно убедиться, что ее решением является функция
$$f_{y_1,y_2}(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\wl_1r_1^k(y_1)_k+\wl_2r_2^k(y_2)_k
}{\wl_1r_1^{2k}+\wl_2r_2^{2k}}z^k,$$
где $(y_1)_k,(y_2)_k$, $k=0,1,\ldots\,\,$, --- коэффициенты Фурье функции $
y_1\cd$ и $y_2\cd$ соответственно. Из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что
метод
\begin{multline*}
\wv(y_1,y_2)\cd=f_{y_1,y_2}(\rho e^{i\cdot})\\
=\mu_{s1}\Kr(\rho r_1e^{i\cdot})*y_1\cd+\mu_{s2}\Kr(\rho r_2e^{i\cdot})*y_2
\cd
\end{multline*}
является оптимальным.

При $\delta_1\ge\delta_2$ положим $\wl_1=0$, $\wl_2=1$, $g\cd=\delta_2$. В
остальном этот случай рассматривается аналогично предыдущему.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{HLP}Г.~Г.~Харди, Дж.~Е.~Литтлвуд, Г.~Полиа, {\it Неравенства}, ИЛ, М., 1948.

\bibitem{La}E.~Landau, ``Ungleichungen f\"ur zweimal differenzierbar
Funktionen'', {\it Proc. London Math. Soc.}, {\bf13} (1913), 43--49.

\bibitem{Ko}А.~Н.~Колмогоров, ``О неравенствах между верхними гранями
последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале'', {\it Ибранные труды. Математика и механика}, Наука, М., 1985, 252--261.

\bibitem{MT}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, В.~М.~Тихомиров, ``О неравенствах для
производных колмогоровского типа'', {\it Матем. сб.}, {\bf188}:12 (1997), 73--106.

\bibitem{KMT}A.~S.~Kochurov, G.~G.~Magaril-Il'yaev, V.~M.~Tikhomirov, ``Inequalities for derivatives on a line and a half-line and problems of
recovery'', {\it East J. Approx.}, {\bf10}:1--2 (2004), 231--260.

\bibitem{Os}К.~Ю.~Осипенко, ``Неравенства для производных аналитических
в полосе функций'', {\it Матем. заметки}, {\bf56}:4 (1994), 114--122.

\bibitem{St}И.~Стейн, Г.~Вейс, {\it Введение в гармонический анализ на
евклидовых пространствах}, Мир, М., 1974.

\bibitem{G}Г.~М.~Голузин, {\it Геометрическая теория функций комплексного
переменного}, Наука, М., 1966.

\bibitem{MO1}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002), 79--100.

\bibitem{MO2}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.

\end{thebibliography}
\end{document}
