\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
\tolerance 4890
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother
\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother


%\renewcommand{\thesection}{\bf\S\ \arabic{section}}
%\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newcommand{\LLL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\BL}{BL_\infty}
\newcommand{\hhl}{(\F_\infty,L_\infty)}
\newcommand{\hhm}{(W,L_\infty)}
\newcommand{\hh}{h_\infty^\beta}
\newcommand{\HH}{H_\infty^\beta}
\newcommand{\HQ}{H_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\hQ}{h_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcommand{\BO}{\hbox{\boldmath$\Omega$}}
%\newcommand{\at}[2]{{\substack{#1\\#2}}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb R}
\newcommand{\bbbt}{\mathbb T}
\newcommand{\bbbz}{\mathbb Z}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb N}
\newcommand{\bbbc}{\mathbb C}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}

\begin{document}
\noindent УДК 512\\
\noindent\copyright 1991 г.

\bigskip

\title[Восстановление на классах гармонических функций]{Наилучшие и оптимальные методы восстановления на классах гармонических функций}
\author[]{\bf К.~Ю.~Осипенко}
\maketitle

\renewenvironment{abstract}
{\vspace{-4mm}
\list{}{\itemindent\listparindent\leftmargin 2\parindent
\rightmargin\leftmargin}%
\leftmargini 2em
\small\item[]\relax\parindent12pt\leftmarginii3em\hskip\parindent}
{\endlist\vskip12pt plus 3pt minus 2pt}

\begin{abstract}
Рассматриваются задачи наилучшего восстановления функционала $Lu=\lambda_0u(x)+\ldots+\lambda_ku^{(k)}(x)$, $x\in(-1,1)$, в пространстве гармонических функций $h_p$ при $p=\infty,2$ по значениям функций и их производных в точках из интервала $(-1,1)$. В пространстве $h_\infty$ решаются задачи построения наилучших квадратурных формул. Доказано существование оптимальной квадратурной формулы и при некоторых условиях единственность оптимальных узлов.
\end{abstract}


\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\ \arabic{section}. Постановки задач и некоторые общие теоремы о восстановлении}

Для произвольных множеств $A$ и $B$ через $F(A,B)$ обозначим множество всех операторов $f\colon A\to B$. Пусть $X,Y$ --- линейные пространства, а $Z$ --- линейное нормированное пространство. Рассмотрим задачу восстановления оператора $L\in F(W,Z)$, $W\subset X$, по значениям информационного оператора $I\in F(W,Y)$. В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные операторы $S\in F(Y,Z)$.

Погрешностью наилучшего восстановления оператора $L$ называется величина
\begin{equation}\label{1.1}
E(L,I)=\infp_{S\in F(Y,Z)}\sup_{x\in W}\|Lx-SIx\|.
\end{equation}
Метод $S_0$ называется наилучшим, если на нем достигается нижняя грань в \eqref{1.1}, при этом элемент $x_0\in W$ экстремальный, если имеет место равенство
$$\sup_{x\in W}\|Lx-S_0Ix\|=\|Lx_0-S_0Ix_0\|.$$
Многочисленные конкретные примеры рассматриваемой задачи и соответствующие ссылки можно найти в обзорных статьях \cite{1}, \cite{2} и книге \cite{3}.

Если имеются некоторые множества $M\subset F(W,Z)$ и $U\subset F(W,Y)$, то под задачей оптимального восстановления будем понимать задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{1.2}
R(M,U)=\infp_{I\in U}\sup_{L\in M}E(L,I)
\end{equation}
и оператора $I_0$, на котором достигается нижняя грань. Оператор $I_0$ и соответствующий ему наилучший метод будем называть оптимальными.

\begin{theorem}\label{T1.1}
Пусть существуют такие $x_0\in W$ и $S_0\in F(Y,Z)$, что $-x_0\in W$, $L(-x_0)=-Lx_0$, $I(-x_0)=I(x_0)$ и
$$\sup_{x\in W}\|Lx-S_0Ix\|=\|Lx_0\|.$$
Тогда $S_0$ является наилучшим методом восстановления, $x_0$ --- экстремальным элементом, а
\begin{equation}\label{1.3}
E(L,I)=\|Lx_0\|.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Из \eqref{1.1} имеем
\begin{equation}\label{1.4}
E(L,I)\le\sup_{x\in W}\|Lx-S_0Ix\|=\|Lx_0\|.
\end{equation}
Для любого метода $S$ справедливо неравенство
\begin{equation}\label{1.5}
\|Lx_0-SIx_0\|+\|L(-x_0)-SI(-x_0)\|\ge2\|Lx_0\|.
\end{equation}
Отсюда
$$\sup_{x\in W}\|Lx-SIx\|\ge\|Lx_0\|.$$
Тем самым
\begin{equation}\label{1.6}
E(L,I)\ge\|Lx_0\|.
\end{equation}
Из соотношений \eqref{1.4} и \eqref{1.6} следует, что $S_0$ --- наилучший метод восстановления и имеет место равенство \eqref{1.3}.

В силу \eqref{1.4}
$$\|Lx_0-S_0Ix_0\|\le\|Lx_0\|,\quad\|L(-x_0)-S_0I(-x_0)\|\le\|Lx_0\|,$$
что вместе с неравенством \eqref{1.5} для $S=S_0$ дает
$$\|Lx_0-S_0Ix_0\|=\|Lx_0\|.$$
Следовательно, $x_0$ --- экстремальный элемент. Теорема доказана.
\end{proof}

Рассмотрим некоторое множество $\Omega\in\mathbb C$ и положительную меру $\mu$ на нем. Через $L_p(\Omega,\mu)$ обозначим пространство комплекснозначных (или вещественных) функций, для которых
\begin{gather*}
\|f\|_p=\biggl(\int_\Omega|f(z)|^p\,d\mu(z)\biggr)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_\infty=\vraisup_{z\in\Omega}|f(z)|<\infty,\quad p=\infty.
\end{gather*}

Пусть $X_p$ --- некоторое линейное подпространство $L_p(\Omega,\mu)$, а $BX_p=\{f\in X_p:\|f\|_p\le1\}$. Положим в задаче \eqref{1.1} $X=X_p$, $W=BX_p$ и $Z=\mathbb C(\mathbb R)$.

\begin{theorem}\label{T1.2}
Пусть существует $g\in X_p$, $\|g\|_p\ne0$, и $S_0$ такие, что для $g_0=g/\|g\|_p$ \ $L(-g_0)=-Lg_0$, $I(-g_0)=Ig_0$, $S_00=0$ и при всех $f\in BX_p$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{1.7}
Lf-S_0If=\begin{cases}\displaystyle\alpha\int_\Omega\ov{g(z)}|g(z)|^{p-2}f(z)\,d\mu(z),\quad1\le p<\infty,\\[10pt]
\displaystyle\int_\Omega\ov{g(z)}|\varphi(z)|f(z)\,d\mu(z),\quad p=\infty,\end{cases}
\end{equation}
где $\alpha\in\mathbb C\ (\mathbb R)$, $\varphi\in L_1(\Omega,\mu)$, а $|g(z)|=1$ почти всюду, если $p=\infty$. Тогда метод восстановления $S_0$ является наилучшим, $g_0$ --- экстремальная функция, а
$$E(L,I)=|Lg_0|=\begin{cases}|\alpha|\|g\|_p^{p-1},&1\le p<\infty,\\
\|\varphi\|_1,&p=\infty.\end{cases}$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $1\le p<\infty$. Из равенства \eqref{1.7}, пользуясь неравенством Гёльдера, получаем
$$\sup_{f\in BX_p}|Lf-S_0If|\le|\alpha|\|g\|_p^{p-1}=|Lg_0|=|Lg_0-S_0Ig_0|.$$
Отсюда следует, что
\begin{equation}\label{1.8}
\sup_{f\in BX_p}|Lf-S_0If|=|Lg_0|.
\end{equation}
Аналогично доказывается равенство \eqref{1.8} при $p=\infty$. Теперь доказываемое утверждение следует из теоремы~\ref{T1.1}. Теорема доказана.
\end{proof}

Теоремы~\ref{T1.1} и \ref{T1.2} являются обобщениями теоремы~1 из работы \cite{4}.

Из очевидных соотношений
$$\sup_{\substack{f\in BX_p\\If=0}}|Lf|\ge|Lg_0|=E(L,I)=\sup_{f\in BX_p}|Lf-S_0If|\ge\sup_{\substack{f\in BX_p\\If=0}}|Lf|$$
следует, что при выполнении условий теоремы~\ref{T1.2} имеет место равенство
\begin{equation}\label{1.9}
E(L,I)=\sup_{\substack{f\in BX_p\\If=0}}|Lf|.
\end{equation}
Это равенство для выпуклого уравновешенного множества $W$, линейного функционала $L$ и линейного оператора $I$ отмечалось в работе \cite{5}, а ранее при некоторых дополнительных условиях доказывалось многими авторами (см.\ \cite{1,2,3}).

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\ \arabic{section}. Восстановление значений гармонических функций и их
производных}

Пусть $h_p$ --- пространство гармонических в $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ функций, удовлетворяющих условию
\begin{equation}\label{2.1}
\begin{gathered}
\|u\|_{h_p}:=\sup_{0<r<1}\left(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|u(r\ei)|^p\,d\theta\right)^{1/p}<\infty,
\quad1\le p<\infty,\\
\|u\|_{h_\infty}:=\sup_{z\in D}|u(z)|,\quad p=\infty.
\end{gathered}
\end{equation}
Рассматривая вместо гармонических аналитические в $D$ функции, удовлетворяющие условию \eqref{2.1}, получаем пространство Харди $H_p$.

Обозначим через
\begin{equation}\label{2.2}
Z_\nu=\begin{pmatrix}
x_1,\ldots,x_n,x\\
\nu_1,\ldots,\nu_n,l\end{pmatrix}
\end{equation}
систему различных точек $x_j,x\in(-1,1)$ с кратностями $\nu_j,l$. Положим в задаче \eqref{1.1} $W=Bh_p$,
\begin{gather*}
Iu=\left\{u(x_1),\ldots,u^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,u(x),\ldots,u^{(l-1)}(x)\right\},\\
Lu=L_x^\lambda u=\lambda_0u(x)+\ldots+\lambda_ku^{(k)}(x),
\end{gather*}
где $\lambda=(\lambda_0,\ldots,\lambda_k)\in\mathbb R^{k+1}$, $l<k$. Величину $E(L,I)$ обозначим в этом случае через $E_p(x,\lambda,Z_\nu)$.

Введем следующие обозначения:
\begin{gather*}
W(z)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{z-x_j}{1-x_jz}\right)^{\nu_j},\quad
\omega_j(z)=W(z)\left(\frac{1-x_jz}{z-x_j}\right)^{\nu_j},\\ W_0(z)=\left(\frac{z-x}{1-xz}\right)^lW(z),\\
P(\beta,\gamma)=\begin{cases}\dfrac\gamma{1+\sqrt{(\gamma-\beta)^2+1-\beta^2}},&|\beta|<1,\\
\dfrac{\sign\beta}{|\beta|+\sqrt{\beta^2-1}},&|\beta|\ge1,\end{cases}\\ G(\beta)=\begin{cases}1+\beta^2,&|\beta|<1,\\
2|\beta|,&|\beta|\ge1,\end{cases}\\
\beta(x)=\frac{1-x^2}2\left(\frac{W'(x)}{W(x)}\frac{1-W_0^2(x)}{1+W_0^2(x)}+\frac{\lambda_{k-1}}
{k\lambda_k}\right)+\frac{k-1}2x,\\
\gamma(x)=2\beta(x)+(1-x^2)\frac{W_0^2(x)}{1+W_0^2(x)}\left(\frac{W'(x)}{W(x)}-\frac{\lambda_{k-1}}
{k\lambda_k}\right),\\
D_1=\{\,x\in(-1,1):|\beta(x)|<1\,\},\quad D_0=(-1,1)\setminus(D_1\cup\{x_1,\ldots,x_n\}),
\end{gather*}
\begin{gather*}
b=\begin{cases}P(\beta(x),\gamma(x)),&\lambda_k\ne0,\\
0,&\lambda_k=0,\end{cases},\quad a=\frac{x-b}{1-xb},\\
u_x(z)=\begin{cases}1,&x\in D_1,\\
\dfrac{z-a}{1-az},&x\in D_0,\end{cases}\quad W_1(z)=\frac{z-a}{1-az}\frac{W_0(z)}{u_x(z)},\\
\alpha(x)=\begin{cases}\dfrac{k!\lambda_kW(x)}{u_x(x)(1-ax)^2(1-x^2)^{k-3}(1+W_1^2(x))},
&\lambda_k\ne0,\\[10pt]
\dfrac{(k-1)!\lambda_{k-1}W(x)}{(1-x^2)^{k-2}(1+W_1^2(x))},&\lambda_k=0.\end{cases}
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T2.1}
Пусть $l=k-1$, $k\ge1$. Тогда метод
\begin{equation}\label{2.3}
S_0Iu=\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{\nu_j-1}c_{jm}(x)u^{(m)}(x_j)+\sum_{m=0}^{l-1}d_m(x)u^{(m)}(x),
\end{equation}
\begin{multline*}
c_{jm}(x)=-\frac{\alpha(x)}{m!(\nu_j-m-1)!}\\
\times\frac{\partial^{\nu_j-m-1}}{\partial z^{\nu_j-m-1}}\left[\frac{u_x(z)(1-az)^2(1-xz)^{k-3}(1-x_jz)^{\nu_j}}{(z-x)^{k+1}\omega_j(z)}
\right]\bigg|_{z=x_j},
\end{multline*}
\begin{multline*}
d_m(x)=\lambda_m-\frac{\alpha(x)}{m!(k-m)!}\\
\times\frac{\partial^{k-m}}{\partial z^{k-m}}\left[\frac{u_x(z)(1-az)^2(1-xz)^{k-3}}{W(z)}(1+W_1^2(z)\right]\bigg|_{z=x},
\end{multline*}
является наилучшим методом восстановления функционала $L_x^\lambda$ на классе $Bh_\infty$. При этом функция
$$g(z)=\frac4\pi\RE\arctg W_1(z)$$
является экстремальной, а
\begin{equation}\label{2.4}
E_\infty(x,\lambda,Z_\nu)=\begin{cases}\dfrac4\pi\dfrac{k!|\lambda_k|}{(1-x^2)^k}|W(x)|G(\beta(x)),
&k\ge2,\ \lambda_k\ne0,\\[10pt]
\dfrac4\pi\dfrac{(k-1)!|\lambda_{k-1}|}{(1-x^2)^{k-1}}|W(x)|,
&k\ge2,\ \lambda_k=0,\\[10pt]
\dfrac4\pi\left|\lambda_0\arctg W_1(x)+\lambda_1\dfrac{W_1'(x)}{1+W_1^2(x)}\right|,&k=1.\end{cases}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Прежде всего отметим, что при всех $\beta,\gamma\in\mathbb R$ $P(\beta,\gamma)\in[-1,1]$, поэтому $a\in[-1,1]$. Положим
$$Jf=\alpha(x)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(z-a)(1-az)(1+W_1^2(z))}{(z-x)^2(1-xz)^2W_1(z)}f(z)\,dz.$$
С помощью теоремы о вычетах можно убедиться, что для любой функции $f\in H_p$, $1\le p\le\infty$, имеет место равенство
$$L_x^\lambda f-S_0If=Jf.$$
Поскольку $\lambda_j,c_{jm}(x),d_m(x)\in\mathbb R$ и при $z=\ei$ справедливы соотношения
$$\frac{z(z-a)(1-az)}{(z-x)^2(1-xz)^2}\ge0,\quad W_1^{-1}(z)=\ov{W_1(z)},\quad g(z)=\sign\RE W_1(z),$$
то, обозначив через $u=\RE f$, будем иметь
\begin{multline}\label{2.5}
L_x^\lambda u-S_0Iu=\RE Jf\\
=\alpha(x)\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|\frac{z(z-a)(1-az)}{(z-x)^2(1-xz)^2}2\RE W_1(z)\right|g(z)u(z)\,d\theta.
\end{multline}
Если $u\in h_\infty\subset h_2$, то сопряженная функция $v\in h_2$ (см.~\cite[с.~380]{6}) и, следовательно, $u+iv\in H_2$. Таким образом, равенство \eqref{2.5} справедливо при всех $u\in h_\infty$. Так как $g\in h_\infty$, $|g(\ei)|=1$ почти всюду и $Ig=0$, то из теоремы~\ref{T1.2} следует, что метод $S_0$ является наилучшим методом восстановления, функция $g$ --- экстремальной, а
$$E_\infty(x,\lambda,Z_\nu)=|L_x^\lambda g|.$$
Отсюда следует равенство \eqref{2.4} при $k=1$. Пусть $k\ge2$. Тогда
$$L_x^\lambda g=L_x^\lambda f^*=Jf^*,$$
где
$$f^*(z)=\frac4\pi\arctg W_1(z)=\frac4\pi W_1(z)+W_1^3(z)w(z),\quad w\in H_2.$$
Имеем
\begin{multline*}
Jf^*=\frac4\pi\alpha(x)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(z-a)(1-az)}{(z-x)^2(1-xz)^2}\,dz\\
=\frac4\pi\alpha(x)\frac{1+b^2}{(1-x^2)(1-xb)^2}.
\end{multline*}
Принимая во внимание определения величин $\alpha(x)$ $a$ и $b$, получаем равенство \eqref{2.4}. Теорема доказана.
\end{proof}

Положим
$$Z_k(h)=\begin{pmatrix}
-h,&h,&0\\
1,&1,&k-1\end{pmatrix},\ h\in(0,1),\quad e_k=(0,\ldots,0,1,0)\in\mathbb R^{k+1}.$$
Из теоремы~\ref{T2.1} следует, что наилучшим методом восстановления значения $u'(0)$ по информации о значениях в системе $Z_2(h)$ на классе $Bh_\infty$ является метод
\begin{equation}\label{2.6}
u'(0)\approx(1-h^4)\frac{u(h)-u(-h)}{2h},
\end{equation}
а значения $u''(0)$ по информации в системе $Z_3(h)$ --- метод
\begin{equation}\label{2.7}
u''(0)\approx(1-h^4)\frac{u(h)-2u(0)+u(-h)}{h^2},
\end{equation}
При этом
$$E_\infty(0,e_k,Z_k(h))=\frac{4(k-1)}\pi h^2,\quad k=2,3,$$
а функция
$$\frac4\pi\RE\arctg\left[z^{k-1}\frac{z^2-h^2}{1-h^2z^2}\right]$$
является экстремальной. Отметим, что в наилучшем методе \eqref{2.6} не используется значение $u(0)$, а в \eqref{2.7} --- $u'(0)$.

Пусть теперь $\lambda=(0,1)$. Тогда из \eqref{2.4} можно получить, что
$$E_\infty(x,(0,1),Z_\nu)=\frac4\pi\frac{|W'(x)|}{1+W^2(x)}\frac{c^2+1}{2c},$$
где
$$c=\min\left\{1,\frac{|\gamma(x)|}{1+\sqrt{1+\gamma^2(x)W^2(x)}}\right\},\quad\gamma(x)=
\frac{W'(x)}{W(x)}\frac{1-x^2}{1+W^2(x)}.$$
Если $Z_\nu=Z_n^0=\begin{pmatrix}
0\\
n\end{pmatrix}$, $n\ge1$, то
$$\beta(x)=n\frac{1-x^2}{2x}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}},$$
а уравнение $\beta(x)=1$ при $x\in(0,1)$ имеет единственный корень, который обозначим через $r_n$. Нетрудно убедиться, что $c=1$ для $|x|\le r_n$ и $c\in(0,1)$ для $r_n<|x|<1$. Таким образом,
\begin{multline}\label{2.8}
E_\infty(x,(0,1),Z_n^0)\\
=\begin{cases}\dfrac4\pi\dfrac{n|x|^{n-1}}{1+x^{2n}},&|x|\le r_n,\\
\dfrac2{\pi|x|^n}\left[\sqrt{n^2x^{2n-2}+\left(\dfrac{1+x^{2n}}{1-x^{2n}}\right)^2}-
\dfrac{1-x^{2n}}{1-x^2}\right],&|x|>r_n.\end{cases}
\end{multline}

В силу равенства \eqref{1.9}
$$E_\infty(x,(0,1),Z_n^0)=\sup_{\substack{u\in Bh_\infty\\u(0)=\ldots=u^{(n-1)}(0)=0}}|u'(x)|.$$
Поэтому при $n=1$ из \eqref{2.8} имеем
\begin{equation}\label{2.9}
\sup_{\substack{u\in Bh_\infty\\u(0)=0}}|u'(x)|=\begin{cases}\dfrac4{\pi(1+x^2)},&|x|\le r_1,\\
\dfrac2{\pi|x|}\left[\sqrt{1+\left(\dfrac{1+x^2}{1-x^2}\right)^2}-1
\right],&|x|>r_1,\end{cases}
\end{equation}
где $r_1=\dfrac{\sqrt5+1}2-\sqrt{\dfrac{\sqrt5+1}2}$. Равенство \eqref{2.9} является аналогом теоремы Дьедонне \cite{7} для гармонических функций.

\begin{corollary}\label{C2.1}
Пусть $z,z_1\in D$, $Lu=u(z)$, $Iu=u(z_1)$ и $W=Bh_\infty$. Тогда метод
\begin{equation}\label{2.10}
S_0Iu=\frac{1-\rho^2}{1+\rho^2}u(z_1),\quad\rho=\left|\frac{z-z_1}{1-\ov z_1z}\right|
\end{equation}
является наилучшим методом восстановления функционала $L$, а для его погрешности справедливо равенство
\begin{equation}\label{2.11}
E(L,I)=\frac4\pi\arctg\rho.
\end{equation}
\end{corollary}

\begin{proof}
Рассмотрим конформное преобразование единичного круга $D$, переводящее точку $z_1$ в нуль, а $z$ --- в точку $x\in[0,1)$. Для задачи наилучшего восстановления значения $u(x)$ по значению $u(0)$
из теоремы~\ref{T2.1} имеем
$$\infp_S\sup_{u\in Bh_\infty}|u(x)-S(u(0))|=\sup_{u\in Bh_\infty}\left|u(x)-\frac{1-x^2}{1+x^2}u(0)\right|=\frac4\pi\arctg x.$$
Пользуясь инвариантностью рассматриваемой задачи относительно конформного преобразования круга $D$ и учитывая, что псевдогиперболическое расстояние $\rho$ не меняется при этом (т.~е.\ $\rho=x$), получаем утверждение следствия. Следствие доказано.
\end{proof}
Пусть теперь оператор $I$ ставит в соответствие $u\in Bh_\infty$ ее след на интервале $(-1,1)$: $Iu=u_0$, где $u_0$ --- функция, определенная на интервале $(-1,1)$ и совпадающая там с $u$.

\begin{corollary}\label{C2.2}
Метод \eqref{2.10}, в котором
$$z_1=\frac{2\RE z}{1+|z|^2+\sqrt{(1+|z|^2)^2-4(\RE z)^2}},$$
является наилучшим методом восстановления функционала $Lu=u(z)$ для $Iu=u_0$ на классе $Bh_\infty$, а для его погрешности имеет место равенство \eqref{2.11}.
\end{corollary}

\begin{proof}
Рассмотрим функцию
$$v(\xi)=\frac4\pi\RE\arctg\left(i\frac{\xi-z_1}{1-z_1\xi}\right).$$
Легко проверить, что $\RE\dfrac{z-z_1}{1-z_1z}=0$, поэтому $|v(z)|=\dfrac4\pi\arctg\rho$. Таким образом, из следствия~\ref{2.1} имеем
$$\sup_{u\in Bh_\infty}\left|u(z)-\frac{1-\rho^2}{1+\rho^2}u(z_1)\right|=|v(z)|.$$
Поскольку $v\in Bh_\infty$ и $Iv=0$, то, применяя теорему~\ref{T1.1}, получаем утверждение следствия. Следствие доказано.
\end{proof}

Обозначим через $Bh_\infty(G)$ класс функций, гармонических в односвязной и симметричной относительно вещественной оси области $G$, удовлетворяющих условию
$$\sup_{z\in G}|u(z)|\le1.$$
Рассмотрим задачу \eqref{1.2} для $W=Bh_\infty(G)$
\begin{gather*}
M=\{\,L:Lu=u(x),\ x\in[a,b]\,\},\quad[a,b]\subset G,\\
U=\{\,I:Iu=(u(x_1),\ldots,u(x_n)),\ x_j\in\mathbb R\cap G\,\}.
\end{gather*}
Соответствующую величину $R(M,U)$ обозначим в этом случае через $R_n(G,[a,b])$. Тем самым
\begin{equation}\label{2.12}
R_n(G,[a,b])=\infp_{x_j\in\mathbb R\cap G\vphantom{[a,b]}}\sup_{x\in[a,b]}E(L,I).
\end{equation}
Точки, на которых достигается нижняя грань в равенстве \eqref{2.12}, будем называть оптимальными узлами.

\begin{corollary}\label{C2.3}
При всех $k\in(0,1)$ имеют место равенства
\begin{equation}\label{2.13}
R_n(D,[-\sqrt k,\sqrt k])=\frac4\pi\arctg\sqrt\lambda=\frac4\pi h^{n/4}+O(h^{3n/4}),
\end{equation}
где
\begin{multline}\label{2.14}
\sqrt\lambda=k^{n/2}\prod_{j=1}^{[n/2]}\sn^2\left(\frac{2j-1}nK,k\right)\\
=2h^{n/4}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty h^{nm(m+1)}}{\displaystyle1+2\sum_{m=1}^\infty h^{nm^2}},\quad h=e^{-\pi K'/K}.
\end{multline}
Точки
\begin{equation}\label{2.15}
x_j^0=\sqrt k\sn\left[\left(\frac{2j-1}n-1\right)K,k\right],\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
являются оптимальными узлами. Здесь и далее через $K$, $L$ и $\Lambda$ обозначаются полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $k$, $l$ и $\lambda$, а через $K'$, $L'$ и $\Lambda'$ --- для дополнительных модулей.
\end{corollary}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T2.1} для
$$Z_1=\begin{pmatrix}
x_1,\ldots,x_n\\
1,\ldots,1\end{pmatrix}$$
имеем
$$E_\infty(x,1,Z_1)=\frac4\pi\arctg\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{x-x_j}{1-x_jx}\biggr|.$$
Отсюда в силу монотонного возрастания арктангенса
$$R_n(D,[-\sqrt k,\sqrt k])=\frac4\pi\arctg\biggl[\,\infp_{x_j\in(-1,1)\vphantom{[-\sqrt k,\sqrt k]}}\sup_{x\in[-\sqrt k,\sqrt k]}\biggl|\prod_{j=1}^n\frac{x-x_j}{1-x_jx}\biggr|\biggr].$$
Теперь равенства \eqref{2.13} и оптимальность узлов \eqref{2.15} следуют из работы \cite{8}. Следствие доказано.
\end{proof}

Задача \eqref{2.12} является конформно инвариантной. Иными словами, если $\varphi(z)$ --- конформное отображение области $G$ на единичный круг, переводящее точки вещественной оси в точки вещественной оси, а отрезок $[a,b]$ --- в отрезок $[-\sqrt k,\sqrt k]$, то
$$R_n(G,[a,b])=R_n(D,[-\sqrt k,\sqrt k]),$$
причем оптимальными узлами будут точки $z_j=\varphi^{-1}(x_j^0)$, где $x_j^0$ определены равенствами \eqref{2.15}.

Обозначим через $\mbox{Э}_c$ внутренность эллипса с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c$. Функция
\begin{equation}\label{2.16}
z=\sqrt k\sn\left(\frac{2K}\pi\arcsin w,k\right),\quad\frac{K'}\pi=\frac4\pi\ln c,
\end{equation}
конформно отображает область $\mbox{Э}_c$ на единичный круг, при этом отрезок $[-1,1]$ переходит в отрезок $[-\sqrt k,\sqrt k]$, а точки
\begin{equation}\label{2.17}
z_j^0=\cos\frac{2j-1}{2n}\pi,\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
переходят в точки \eqref{2.15}. Таким образом, получаем

\begin{corollary}\label{C2.4}
При всех $c>1$ имеют место равенства
$$R_n(\mbox{Э}_c,[-1,1])=\frac4\pi\arctg\left[c^{-n}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty c^{-4nm(m+1)}}{\displaystyle1+2\sum_{m=1}^\infty c^{-4nm^2}}\right]=\frac4\pi c^{-n}+
O\left(c^{-3n}\right).$$
Точки \eqref{2.17} являются оптимальными узлами.
\end{corollary}

Рассмотрим теперь задачу восстановления на классе $Bh_2$. Положим $\psi_1(z)=W^{-1}(z)$, $\psi_2(z)=(1-xz)^lz^{-1}\psi_1(z)$, $\alpha(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1-l}\alpha_j(z-x)^j$, $\beta(z)=\alpha(z^{-1})z^{k+1-l}$, где при $x=0$ \ $\alpha_0=0$,
\begin{gather*}
\alpha_j=W(0)\biggl[(k+1-j)!\lambda_{k+1-j}-\sum_{m=1}^{j-1}\frac{\alpha_m}{(j-m)!}\psi_1^{(j-m)}(0)
\biggr],\\
j=1,\ldots,\min(k,k+1-l),\\
\alpha_{k+1}:=\frac{W(0)}{1+W^2(0)}\biggl[\lambda_0-\sum_{m=1}^k\frac{\alpha_m}{(k+1-m)!}
\psi_1^{(k+1-m)}(0)\biggr],\quad\mbox{если }l=0,
\end{gather*}
а при $x\ne0$
\begin{gather*}
\alpha_j=\frac{xW(x)}{(1-x^2)^l}\biggl[(k-j)!\lambda_{k-j}-\sum_{m=0}^{j-1}\frac{\alpha_m}{(j-m)!}
\psi_2^{(j-m)}(x)\biggr],\\
j=0,\ldots,k-l,\\
\alpha_{k+1-l}=\frac{(-1)^{k-l}}{x^{k+1-l}(1+x^{2l}W^2(0))}\sum_{j=0}^{k-l}(-1)^jx^ja_j.
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T2.2}
Пусть $Z_\nu$ --- система \eqref{2.2} при $0\le l\le k$. Метод \eqref{2.3}, в котором
\begin{equation}\label{2.18}
\begin{gathered}
c_{jm}(x)=-\frac1{m!(\nu_j-m-1)!}\\
\times\frac{\partial^{\nu_j-m-1}}{\partial z^{\nu_j-m-1}}\left[\frac{\alpha(z)(1-xz)^l(1-x_jz)^{\nu_j}}
{z(z-x)^{k+1}\omega_j(z)}\right]_{\Big|z=x_j},\\
d_m(x)=\lambda_m-\frac1{m!(k-m)!}\frac{\partial^{k-m}}{\partial z^{k-m}}\left[\alpha(z)\psi_2(z)\right]_{|z=x},
\end{gathered}
\end{equation}
является наилучшим методом восстановления функционала $L_x^\lambda$ на классе $Bh_2$. При этом функция
$$g_0(z)=\frac2{\sqrt\varepsilon}\RE\left[W(z)\beta(z)\frac{(z-x)^l}{(1-xz)^{k+1}}\right],$$ где
$$\varepsilon=\begin{cases}\dfrac2{(k-l)!}\dfrac{\partial^{k-l}}{\partial z^{k-l}}\left[\dfrac{\alpha(z)\beta(z)}{z(1-xz)^{k+1-l}}\right]_{\Big|z=x},&x\ne0,\\
2\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1-l}\alpha_j^2,&x=0,\ l\ne0,\\
2\biggl[\displaystyle\sum_{j=1}^k\alpha_j^2+(1+W^2(0))\alpha_{k+1}^2\biggr],&x=l=0,
\end{cases}$$
является экстремальной, а
$$E_2(x,\lambda,Z_\nu)=\sqrt\varepsilon.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
\begin{gather*}
W_0(z)=\left(\frac{z-x}{1-xz}\right)^lW(z),\quad f_0(z)=W_0(z)\frac{\beta(z)}{(1-xz)^{k+1-l}},\\ g(z)=2\RE f_0(z),\quad
Jf=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}g(z)f(z)\,\frac{dz}z.
\end{gather*}
Поскольку при $|z|=1$
$$g(z)=f_0(z)+\ov{f_0(z)}=f_0(z)+\frac{\alpha(z)}{W_0(z)(z-x)^{k+1-l}},$$
то, применяя теорему о вычетах, можно убедиться, что
$$Jf=L_x^\lambda f-S_0If,$$
где $S_0$ --- метод \eqref{2.3} с коэффициентами \eqref{2.18}. Если $u\in h_2$, то $f=u+iv\in H_2$ ($v$ --- сопряженная функция). Поэтому при всех $u\in h_2$  имеют место равенства
\begin{equation}\label{2.19}
L_x^\lambda u-S_0Iu=\RE Jf=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}g(\ei)u(\ei)\,d\theta.
\end{equation}
Так как $g\in h_2$ и $Ig=0$, то из теоремы~\ref{T1.2} следует, что метод $S_0$ является наилучшим методом восстановления, функция $g_0=g/\|g\|_2$ --- экстремальная, а $E_2(x,\lambda,Z_\nu)=|L_x^\lambda g_0|$. В силу равенства \eqref{2.19}
\begin{multline*}
L_x^\lambda g=\|g\|_2^2=2\RE Jf_0\\=2\RE\biggl[\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\left(f_0^2(z)+\frac{\alpha(z)\beta(z)}{[(z-x)(1-xz)]^{k+1-l}}\right)\,\frac{dz}z
\biggr]=\varepsilon.
\end{multline*}
Таким образом,
$$E_2(x,\lambda,Z_\nu)=\frac{L_x^\lambda g}{\|g\|_2}=\sqrt\varepsilon.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{C2.5}
Метод
$$S_0Iu=\frac1{1+W^2(0)}\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(x)}{\omega_j(x_j)}\frac{1-x_j^2}{1-x_jx}
(1+x_j\omega_j^2(0)x)u(x_j)$$
является наилучшим методом восстановления функционала $L_x^1u=u(x)$ на классе $Bh_2$ для системы $Z_1$, функция
$$g_0(z)=\sqrt{\frac2{1+W^2(0)}\frac{1-x^2}{1+x^2W^2(0)}}\RE\left[W(z)
\frac{1+xW^2(0)z}{1-xz}\right]$$
является экстремальной и
$$E_2(x,1,Z_1)=\sqrt{\frac2{1+W^2(0)}\frac{1+x^2W^2(0)}{1-x^2}}|W(x)|.$$
\end{corollary}

Обозначим через $a_2$ пространство гармонических в $D$ функций, удовлетворяющих условию
$$\|u\|=\biggl(\frac1\pi\int_D|u(z)|^2\,d\sigma\biggr)^{1/2}<\infty$$
($\sigma$ --- плоская мера Лебега). При замене гармонических на аналитические в $D$ функции получаем пространство Бергмана $A_2$.

Введем следующие обозначения:
\begin{gather*}
a=\frac{1+xy^{2n+1}}{n((1-y^2)+1-yx},\quad\alpha(x)=\frac{(x-y)^n}{(a+y^{2n})(1-yx)^{n+1}},\\
\psi(z)=\frac{1-yz}{1-xz}(a+xy^{2n}z),\\
\varphi(z)=(n+1)\frac{1-y^2}{(1-yz)^2}\psi(z)+\frac{z-y}{1-yz}\psi'(z).
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T2.3}
Пусть $x,y$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$, а $Iu=(u(y),\ldots,u^{(n-1)}(y))$. Тогда метод
\begin{equation}\label{2.20}
S_0Iu=\sum_{m=0}^{n-1}c_m(x)u^{(m)}(y),
\end{equation}
где
$$c_m(x)=\frac{\alpha(x)}{m!(n-m-1)!}\frac{\partial^{n-m-1}}{\partial z^{n-m-1}}\left[\frac{(1-yz)^{n+1}(az+xy^{2n})}{(x-z)z}\right]_{\big|{z=y}},$$
является наилучшим методом восстановления функционала $Lu=u(x)$ на классе $Ba_2$, функция
\begin{equation}\label{2.21}
g_0(z)=\sqrt{\frac2{(1-yx)(a+y^{2n})\varphi(x)}}\RE\left[\left(\frac{z-y}{1-yz}
\right)^n\varphi(z)\right]
\end{equation}
является экстремальной, а для погрешности наилучшего восстановления справедливо равенство
\begin{equation}\label{2.22}
E(L,I)=\left|\frac{x-y}{1-yx}\right|^n\sqrt{\frac{2\varphi(x)}{(1-yx)(a+y^{2n})}}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Для $f\in H_\infty$ рассмотрим интеграл
\begin{multline*}
Jf=\alpha(x)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\left[\frac{(1-yz)^{n+1}(az+xy^{2n})}{(z-y)^n(z-x)z}\right.\\
\left.+\frac1z\left(\frac{z-y}{1-yz}\right)^n\varphi(z)\right]f(z)\,dz.
\end{multline*}
Пользуясь теоремой о вычетах, можно показать, что
$$Jf=f(x)-S_0If.$$
С другой стороны, по формуле Стокса
\begin{multline*}
Jf=\alpha(x)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\left[\left(\frac{\ov z-y}{1-y\ov z}\right)^{n+1}\psi(\ov z)\right.\\
\left.+\ov z\left(\frac{z-y}{1-yz}\right)^n\varphi(z)\right]f(z)\,dz\\=\alpha(x)\frac1\pi
\int_D\left[\left(\frac{\ov z-y}{1-y\ov z}\right)^n\ov{\varphi(z)}
+\left(\frac{z-y}{1-yz}\right)^n\varphi(z)\right]f(z)\,d\sigma.
\end{multline*}
Тем самым при всех $f\in H_\infty$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{2.23}
f(x)-S_0If=\alpha(x)\frac1\pi\int_Dg(z)f(z)\,d\sigma,
\end{equation}
где
$$g(z)=2\RE\left[\left(\frac{z-y}{1-yz}\right)^n\varphi(z)\right].$$
В силу того, что функции из $H_\infty$ плотны в $A_2$, равенство \eqref{2.23} справедливо для всех $f\in A_2$. Положим $u=\RE f$, из \eqref{2.23} получаем
\begin{equation}\label{2.24}
u(x)-S_0Iu=\alpha(x)\frac1\pi\int_Dg(z)u(z)\,d\sigma.
\end{equation}
Если $u\in a_2$, то аналогично доказательству теоремы~4 при $p=2$ из работы \cite[с.~380]{7} доказывается, что сопряженная функция $v\in a_2$. Тогда $u+iv\in A_2$ и, следовательно, равенство \eqref{2.24} имеет место для всех $u\in a_2$. Поскольку $g\in a_2$ и $Ig=0$, то из теоремы~\ref{T1.2} следует, что метод \eqref{2.20} является наилучшим, а функция $g_0=g/\|g\|$ --- экстремальной. Из равенства \eqref{2.24} при $u=g$ получаем
$$\alpha(x)\|g\|^2=g(x).$$
Таким образом,
$$g_0=\sqrt{\frac{\alpha(x)}{g(x)}}g,\quad E(L,I)=|\alpha(x)|\|g\|=\sqrt{\alpha(x)g(x)}.$$
Подставляя в эти равенства выражения для $\alpha(x)$ и $g(x)$, получим равенства \eqref{2.21} и \eqref{2.22}. Теорема доказана.
\end{proof}

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\ \arabic{section}. Наилучшие квадратурные формулы}

Рассмотрим задачу \eqref{1.1} для $W=BH_\infty(G)$,
\begin{gather}\label{3.1}
Lu=\int_a^bu(x)p(x)\,dx,\\
Iu=\left\{\,u(x_1),\ldots,u^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,u(x_n),\ldots,u^{(\nu_n-1
)}(x_n)\,\right\},\label{3.2}
\end{gather}
где $x_j$ --- различные вещественные точки из области $G$, $(a,b)\subset G$, а $p$ --- неотрицательная и неэквивалентная нулю весовая функция. Соответствующую погрешность наилучшего восстановления (интегрирования) обозначим через $r(G,Z_\nu,p)$, где
\begin{equation}\label{3.3}
Z_\nu=\begin{pmatrix}
x_1,\ldots,x_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix}.
\end{equation}
В случае, когда $\nu_1=\ldots=\nu_n=q$, будем обозначать эту систему через $Z_q$.

\begin{theorem}\label{T3.1}
При четных $\nu_j$, $j=1,\ldots,n$, квадратурная формула
\begin{equation}\label{3.4}
S_0Iu=\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{\nu_j-1}a_{jm}u^{(m)}(x_j),
\end{equation}
где
$$a_{jm}=\int_a^bc_{jm}(x)p(x)\,dx,$$
\begin{multline*}
c_{jm}(x)=\frac{W(x)(1-x^2)}{m!(\nu_j-m-1)!(1+W^2(x)}\\
\times\frac{\partial^{\nu_j-m-1}}{\partial ^{\nu_j-m-1}}\left[\frac{(1-x_jz)^{\nu_j}}{
\omega_j(z)(1-xz)(x-z)}\right]_{\big|z=x_j},
\end{multline*}
является наилучшим методом интегрирования на классе $Bh_\infty$. Для ее погрешности имеет место
равенство
$$r(D,Z_\nu,p)=\frac4\pi\int_a^b\arctg W(x)p(x)\,dx.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T2.1} следует, что при всех $u\in Bh_\infty$ и всех $x\in(-1,1)$ справедливо неравенство
$$\biggl|u(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{\nu_j-1}c_{jm}(x)u^{(m)}(x_j)\biggr|
\le\frac4\pi\arctg W(x).$$
Отсюда
\begin{multline*}
r(D,Z_\nu,p)\le\sup_{u\in Bh_\infty}\biggl|\int_a^bu(x)p(x)\,dx-S_0Iu\biggr|\\
\le\frac4\pi\int_a^b\arctg W(x)p(x)\,dx.
\end{multline*}
С другой стороны, $\dfrac4\pi\arctg W(z)\in Bh_\infty$ и в силу равенства \eqref{1.9}
$$r(D,Z_\nu,p)\ge\frac4\pi\int_a^b\arctg W(x)p(x)\,dx.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Обозначим через $Z_\nu^0$ систему \eqref{3.3} для узлов, определенных равенствами \eqref{2.15}.

\begin{theorem}\label{T3.2}
Пусть $[a,b]=[-\sqrt k,\sqrt k]$, $k\in(0,1)$. Тогда при всех четных $q$ для системы $Z_q^0$ и веса
\begin{equation}\label{3.5}
s(x)=[(k-x^2)(1-kx^2]^{-1/2},
\end{equation}
в квадратурной формуле \eqref{3.4}
\begin{equation}\label{3.6}
a_{j,q-1}=0,\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Эта квадратурная формула является наилучшим методом интегрирования для системы $Z_\nu^0$ на классе $Bh_\infty$ при всех $q-1\le \nu_j\le q$. Имеют место равенства
\begin{equation}\label{3.7}
r(D,Z_\nu^0,s)=\frac{8K}{\pi\Lambda}J_q(\lambda)=\frac{8K}\pi\frac{2^{q/2}(q-1)!!}{(q/2)!}
h^{qn/4}+O\left(h^{qn/4+n}\right),
\end{equation}
где $\lambda$ определено равенствами \eqref{2.14}, а
$$I_q(\lambda)=\int_0^1\frac{\arctan(\lambda^{q/2}x^q)}{\sqrt{(1-x^2)
(1-\lambda^2x^2)}}\,dx.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T3.1} имеем
$$a_{j,q-1}=\frac{[1-(x_j^0)^2]^q}{(q-1)!\omega_j(x_j^0)}A_j,$$
где
$$A_j=\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{W(x)}{1+W^2(x)}\frac{1-x^2}{(1-x_j^0x)(x-x_j^0)}s(x)\,dx.$$
Сделаем замены
\begin{equation}\label{3.8}
t=\frac{x+\sqrt k}{1+\sqrt kx},\quad t_j=\frac{x_j^0+\sqrt k}{1+\sqrt kx_j^0}.
\end{equation}
Получаем
\begin{equation}\label{3.9}
A_j=\frac{(1-\sqrt kt_j)^2}{1-k^2}\int_0^l\frac{\Phi^q(t)}{1+\Phi^{2q}(t)}\frac{1-t^2}{(1-t_jt)(t-t_j)}s_1(t)\,dt,
\end{equation}
где
$$\Phi(t)=\prod_{j=1}^n\frac{t-t_j}{1-t_jt},\quad s_1(t)=[t(l-t)(1-lt)]^{-1/2},\quad l=\frac{2\sqrt k}{1+k}.$$
Пользуясь преобразованием Гаусса эллиптических функций и первым главным преобразованием $2n$-й степени \cite[сс.~134, 136]{9}, можно убедиться, что
\begin{equation}\label{3.10}
\begin{gathered}
t_j=l\sn^2\frac{2j-1}{2n}L,\quad j=1,\ldots,n,\\
\Phi(l\sn^2y)=\sqrt\lambda\sn\left[\left(\frac{2ny}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]
\end{gathered}
\end{equation}
(здесь и далее зависимость эллиптических функций от модуля не отмечается, если он равен $l$). Сделаем в интеграле \eqref{3.9} замену $t=l\sn^2y$. Тогда, положив $f(x)=\lambda^{q/2}x^q(1+\lambda^qx^{2q})^{-1}$, $y_j=\dfrac{2j-1}{2n}L$, будем иметь
\begin{multline*}
A_j=\frac{(1-\sqrt kt_j)^2}{(1-k)\sqrt k}\int_0^L f\left(\sn\left[\left(\frac{2ny}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]\right)\\
\times\frac{1-l^2\sn^4y}{(1-l^2\sn^2y_j\sn^2y)(\sn^2y-\sn^2y_j)}\,dy.
\end{multline*}
Из леммы~2.2 работы \cite{10} следует теперь, что $A_j=0$.

Рассмотрим систему $Z_\nu^0$ при $q-1\le \nu_j\le q$. Имеем
\begin{multline*}
r(D,Z_\nu^0,s)\le\sup_{u\in Bh_\infty}\biggl|\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}u(x)s(x)\,dx-\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{q-2}a_{jm}u^{(m)}(x_j^0)\biggr|\\
=r(D,Z_q^0,s)\le r(D,Z_\nu^0,s).
\end{multline*}
Тем самым
$$r(D,Z_\nu^0,s)=r(D,Z_q^0,s)=\frac4\pi\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\arctg W(x)s(x)\,dx.$$
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся теми же заменами переменных, что и при вычислении $A_j$. Тогда
\begin{multline*}
r(D,Z_\nu^0,s)=\frac{8L}{\pi(1+k)}\int_0^L\arctg\left\{\lambda^{\textstyle\frac q2}\sn^q\left[\left(
\frac{2ny}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]\right\}\,dy\\
=\frac{8K}{\pi}\int_0^1\arctg\left[\lambda^{\textstyle\frac q2}\sn^q(t\Lambda,\lambda)\right]\,dt=
\frac{8K}{\pi\Lambda}J_q(\lambda).
\end{multline*}
В силу равенств
$$J_q(\lambda)=\lambda^{\textstyle\frac q2}\int_0^1\frac{x^q}{\sqrt{1-x^2}}\,dx+O\left(\lambda^{{\textstyle\frac q2}+2}\right),\quad\Lambda=\frac\pi2+O\left(\lambda^2\right),$$
имеем
$$r(D,Z_\nu^0,s)=\frac{8K}\pi\left(\frac\lambda2\right)^{\textstyle\frac q2}\frac{(q-1)!!}{\left(\dfrac q2\right)!}+O\left(\lambda^{{\textstyle\frac q2}+2}\right).$$
Из равенств \eqref{2.14} следует, что
\begin{equation}\label{3.11}
\lambda=4h^{{\textstyle\frac n2}}+O\Bigl(h^{{\textstyle\frac{3n}2}}\Bigr).
\end{equation}
Отсюда вытекают равенства \eqref{3.7}. Теорема доказана.
\end{proof}

Обозначим через $T_\nu$ систему \eqref{3.3} для узлов \eqref{2.17}.

\begin{theorem}\label{T3.3}
Пусть $[a,b]=[-1,1]$, $q$ — четное число и
\begin{equation}\label{3.12}
p_0(t)=(1-t^2)^{-1/2}.
\end{equation}
Тогда при всех $q-1\le\nu_j\le q$ и $c>1$ имеют место равенства
\begin{equation}\label{3.13}
r(\mbox{Э}_c,T_\nu,p_0)=\frac4\Lambda J_q(\lambda)=2^{{\textstyle\frac q2}+2}
\frac{(q-1)!!}{\left(\dfrac q2\right)!}
c^{-qn}+O\left(c^{-(q+4)n}\right),
\end{equation}
где $\lambda$ определяется из равенства
$$\frac{\Lambda'}\Lambda=\frac{4n}\pi\ln c.$$
Для всех $\nu_j\le2$ и $c>1$ квадратурная формула
\begin{equation}\label{3.14}
\int_{-1}^1u(t)\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\approx\pi\frac{1-d_n(c)}n\sum_{j=1}^nu
\left(\cos\frac{2j-1}{2n}\pi\right),
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{3.15}
d_n(c)=\frac{2\lambda^2}\Lambda\int_0^1\frac{x^4\,dx}{(1+\lambda^2x^4)
\sqrt{(1-x^2)(1-\lambda^2x^2)}}=12c^{-4n}+O\left(c^{-8n}\right),
\end{equation}
является наилучшим методом интегрирования на классе\break $Bh_\infty(\mbox{Э}_c)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
С помощью конформного отображения \eqref{2.16}, переводящего внутренность эллипса $\mbox{Э}_c$ на единичный круг, а отрезок $[-1,1]$ в отрезок $[-\sqrt k,\sqrt k]$, задача построения наилучшего метода интегрирования на классе $Bh_\infty(\mbox{Э}_c)$ для системы $T_\nu$ и веса $p_0$ сводится к соответствующей задаче на классе $Bh_\infty$ для системы $Z_\nu^0$ и веса $\dfrac\pi{2K}s$. Тем самым
\begin{equation}\label{3.16}
r(\mbox{Э}_c,T_\nu,p_0)=\frac\pi{2K}r(D,Z_\nu^0,s).
\end{equation}
Из равенств \eqref{2.14} следует, что $\dfrac{\Lambda'}\Lambda=n\dfrac{K'}K$ (см.\ \cite[с.~284]{9}). Следовательно, $h=c^{-4}$. Равенства \eqref{3.13} вытекают теперь из \eqref{3.16} и \eqref{3.7}.

Заметим, что коэффициенты $c_{jm}(x)$ из теоремы~\ref{T3.1} лишь множителем $\left[1+W^2(x)\right]^{-1}$ отличаются от коэффициентов $D_{jm}(x)$, появляющихся в
аналогичной задаче для класса $BH_\infty$ в работе \cite{10}. Поэтому, принимая во внимание \eqref{3.6}, из леммы~2.1 работы \cite{10} для системы $Z_2^0$ получаем равенства
\begin{gather*}
\sum_{j=1}^na_{j0}=\frac\pi{2K}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{1-W^2(x)}{1+W^2(x)}s(x)\,dx,\\ a_{j0}=\frac\pi{2K}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}g_j(x)\frac{1+W(x)}{1+W^2(x)}s(x)\,dx,
\end{gather*}
где
$$g_j(x)=\frac{\varphi_j(x)}{\varphi_j(x_j^0)}\frac{(1-x^2)[1-(x_j^0)^2]}{(1-x_j^0x)^2},\quad
\varphi_j(x)=\prod_{\substack{m=1\\m\ne j}}^n\frac{x-x_m^0}{1-x_m^0x}.$$
Сделав замены \eqref{3.8}, будем иметь
\begin{gather*}
a_{j0}=\frac\pi{2K(1+k)}\int_0^l\frac{\psi_j(t)}{\psi_j(t_j)}\frac{(1-t^2)(1-t_j^2)}{(1-t_jt)^2}
\frac{1+\Phi^2(t)}{1+\Phi^4(t)}s_1(t)\,dt,\\
\psi_j(t)=\prod_{\substack{m=1\\m\ne j}}^n\frac{t-t_m}{1-t_mt}.
\end{gather*}
В силу равенств \eqref{3.10}
$$\psi_j(t_j)=\Phi'(t_j)(1-t_j^2)=(-1)^j\sqrt\lambda\frac{n\Lambda}{lL}\frac{1-t_j^2}{\sn y_j\cn y_j\dn y_j}.$$
Отсюда, произведя замену $t=l\sn^2y$ и обозначив через $f_1(x)=x(1+\lambda x^2)(1+\lambda^2x^4)^{-1}$, получим
\begin{multline*}
a_{j0}=(-1)^{j+1}\frac\pi{n\Lambda}\int_0^Lf_1\left(\sn\left[\left(
\frac{2ny}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]\right)\\
\times\frac{\sn y_j\cn y_j\dn y_j(1-l^2\sn^4y)}{\sn^2y_j-\sn^2y)(1-l^2\sn^2y_j\sn^2y)}\,dy.
\end{multline*}
Из леммы~2.2 работы \cite{10} следует, что $a_{10}=\ldots=a_{n0}$. Таким образом,
$$a_{j0}=\frac1n\frac\pi{2K}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{1-W^2(x)}{1+W^2(x)}s(x)\,dx.$$
Проведя серию замен, используемых в теореме~\ref{T3.2} для вычисления величины $r(D,Z_\nu^0,s)$, находим
$$a_{j0}=\frac\pi{n\Lambda}\int_0^\Lambda\frac{1-\lambda^2\sn^4(t,\lambda)}
{1+\lambda^2\sn^4(t,\lambda)}\,dt=\frac\pi n[1-d_n(c)].$$
Равенство \eqref{3.15} получается из разложения $d_n(c)$ по степеням $\lambda$ и того,
что вследствие равенства \eqref{3.11} $\lambda=4c^{-2n}+O(c^{-6n})$. Теорема доказана.
\end{proof}

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\ \arabic{section}. Оптимальные квадратурные формулы}

Рассмотрим задачу \eqref{1.2} для случая, когда $W=Bh_\infty(G)$, $M$ состоит из одного функционала \eqref{3.1}, a $U$ состоит из операторов вида \eqref{3.2} для фиксированных кратностей $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ и различных вещественных точек $x_1<\ldots<x_n$ из области $G$. Соответствующую величину $R(M,U)$ обозначим в этом случае через $R(G,\nu,p)$, т.~е.
\begin{equation}\label{4.1}
R(G,\nu,p)=\inf_{\alpha<x_1<\ldots<x_n<\beta}r(G,Z_\nu,p),
\end{equation}
где $(\alpha,\beta)=G\cap\mathbb R$. Точки $x_1<\ldots<x_n$, на которых достигается нижняя грань в \eqref{4.1}, назовем оптимальными узлами.

Прежде всего докажем существование оптимальных узлов. Не ограничивая общности можно считать, что $G=D$.

Введем следующие обозначения:
\begin{gather*}
W(x,\ov y)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{x-y_j}{1-y_jx}\right)^{\nu_j},\quad\Phi(x,\ov y)=W(x,\ov y)w(x),\\
\varphi(\ov y)=\frac4\pi\int_a^b\arctg\Phi(x,\ov y)p(x)\,dx,\quad\varphi_j(\ov y)=\frac{\partial\varphi(\ov y)}{\partial y_j};
\end{gather*}
здесь $w(x)$ --- непрерывная, неотрицательная и не равная тождественно нулю на $[a,b]$ функция.

\begin{lemma}\label{L4.1}
Пусть $-1\le a<b\le1$ и $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные натуральные числа. Тогда существует система точек $\ov x=(x_1,\ldots,x_n)$, являющаяся решением задачи
\begin{equation}\label{4.2}
\varphi(\ov y)\to\inf,\quad-1\le y_1\le\ldots\le y_n\le1.
\end{equation}
Причем всякая такая система удовлетворяет неравенствам
\begin{equation}\label{4.3}
a<x_1<\ldots<x_n<b.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Существование решения задачи \eqref{4.2} очевидным образом вытекает из непрерывности функции $\varphi(\ov y)$. Остается доказать, что для любой точки минимума $\ov x=(x_1,\ldots,x_n)$ выполнены неравенства \eqref{4.3}. Докажем, что $x_1>a$. Если $a=-1$, то это следует из
соотношений
$$1=\left|\frac{x-a}{1-ax}\right|>\left|\frac{x-y}{1-yx}\right|,$$
справедливых при всех $x,y\in(-1,1)$. Пусть $-1<x_1=\ldots=x_m\le a$ и $x_m<x_{m+1}$, если $m<n$. Рассмотрим систему $\ov x_\xi:=(\xi,\ldots,\xi,x_{m+1},\ldots,x_n)$ и функцию $\alpha(\xi)=\varphi(\ov x_\xi)$. Поскольку
\begin{multline*}
\alpha'(x_m)=-\frac{4(\nu_1+\ldots+\nu_m)}\pi\int_a^b\frac{\Phi(x,\ov x)}{1+\Phi^2(x,\ov x)}\\
\times\frac{1-x^2}{(1-x_mx)(x-x_m)}p(x)\,dx<0,
\end{multline*}
то существует $\xi\in(x_m,x_{m+1})$ такое, что $\varphi(\ov x_\xi)=\alpha(\xi)<\alpha(x_m)=\varphi(\ov x)$, а это противоречит экстремальности $\ov x$. Аналогично доказывается, что $x_n<b$.

Пусть теперь $x_j=x_{j+1}=\ldots=x_m=c$ и $x_{j-1}<x_j$, если $j>1$, а $x_m<x_{m+1}$, если $m<n$. Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon>0$ систему $\ov x_\varepsilon=(x_1,\ldots,x_{j-1},c_1,c,\ldots,c,c_2,x_{m+1},\ldots,x_n)$, где $c_1=c-\nu_m\varepsilon$, $c_2=c+\nu_j\varepsilon$. Положим $\beta(\varepsilon)=\varphi(\ov x_\varepsilon)$. Имеем
\begin{multline*}
\beta'(\varepsilon)=-\varepsilon\frac{4\nu_j\nu_m(\nu_j+\nu_m)}\pi\int_a^b\frac{\Phi(x,\ov x_\varepsilon)}{1+\Phi^2(x,\ov x_\varepsilon)}\\
\times\frac{1-[2c+(\nu_j-\nu_m)\varepsilon]x+x^2}{(1-c_1x)(x-c_1)(1-c_2x)(x-c_2)}(1-x^2)p(x)\,dx.
\end{multline*}
Отсюда
\begin{multline*}
\beta''(0)=-\frac{4\nu_j\nu_m(\nu_j+\nu_m)}\pi\int_a^b\frac{\Phi(x,\ov x_\varepsilon)}{1+\Phi^2(x,\ov x_\varepsilon)}\\
\times\frac{1-2cx+x^2}{(1-cx)^2(x-c)^2}(1-x^2)p(x)\,dx<0.
\end{multline*}
Таким образом, при достаточно малых $\varepsilon>0$ \ $\varphi(\ov x_\varepsilon)=\beta(\varepsilon)<\beta(0)=\varphi(\ov x)$, что противоречит экстремальности $\ov x$. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T4.1}
Пусть $-1\le a<b\le1$. Для любых кратностей $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_n)$ оптимальные узлы существуют и удовлетворяют условиям \eqref{4.3}. Если $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные натуральные числа, то при всех $\nu_j-1\le\mu_j\le\nu_j$ оптимальные узлы $\ov x=(x_1,\ldots,x_n)$ совпадают с решением экстремальной задачи \eqref{4.2} для $w(x)\equiv1$; при этом квадратурная формула \eqref{3.4} является оптимальным методом интегрирования на классе $Bh_\infty$ для всех $\nu_j-1\le\mu_j\le\nu_j$, а
$$R(D,\mu,p)=\frac4\pi\int_a^b\arctg W(x,\ov x)p(x)\,dx.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Из леммы~\ref{L4.1} следует, что решение задачи \eqref{4.2} существует и всякое решение удовлетворяет условию \eqref{4.3}. Пусть $\ov x=(x_1,\ldots,x_n)$ --- какое-либо из этих решений для $w(x)\equiv1$. Рассмотрим квадратурную формулу \eqref{3.4} для системы \eqref{3.3}. Из теоремы~\ref{T3.1} имеем
\begin{equation}\label{4.4}
a_{j,\nu_j-1}=-\frac{\pi(1-x_j^2)^{\nu_j}}{4\nu_j!\omega_j(x_j)}\varphi_j(\ov x).
\end{equation}
С другой стороны, в силу необходимого условия экстремума
\begin{equation}\label{4.5}
\varphi_j(\ov x)=0
\end{equation}
и, следовательно, $a_{j,\nu_j-1}=0$. Таким образом, при всех $\nu_j-1\le\mu_j\le\nu_j$ справедливы соотношения
\begin{multline*}
r(D,Z_\nu,p)=\sup_{u\in Bh_\infty}\biggl|\int_a^bu(x)p(x)\,dx-\sum_{j=1}^n\sum_{m=0}^{\nu_j-1}a_{jm}(x)u^{(m)}(x_j)
\biggr|\\
\ge r(D,Z_\mu,p)\ge R(D,\mu,p)\ge R(D,\nu,p)=r(D,Z_\nu,p).
\end{multline*}
Отсюда
$$R(D,\mu,p)=r(D,Z_\mu,p)=\frac4\pi\int_a^b\arctg W(x,\ov x)p(x)\,dx.$$
Пусть теперь $\ov x$ --- система оптимальных узлов для кратностей $\mu$. Тогда
$$\inf_{-1\le y_1\le\ldots\le y_n\le1}\varphi(\ov y)=R(D,\mu,p)=r(D,Z_\mu,p)\ge r(D,Z_\nu,p)=\varphi(\ov x).$$
Тем самым $\ov x$ является решением задачи \eqref{4.2}. Теорема доказана.
\end{proof}

Оказывается, что в общем случае оптимальные узлы могут быть неединственными. Рассмотрим в качестве примера случай, когда $n=1$, $\nu_1\le2$ и $[a,b]=[-\sqrt k,\sqrt k]$. Из теоремы~\ref{T4.1} следует, что оптимальные узлы совпадают в этом случае с точками, минимизирующими функцию
$$\varphi(y)=\frac4\pi\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\arctg\left(\frac{x-y}{1-yx}\right)^2p(x)\,dx.$$
Покажем, что при всех $k\in(2-\sqrt3,1]$ существует весовая функция, для которой $\varphi$ имеет более одного минимума.

Положим $p(x)=|x|^\alpha(1+x^4)^2$, $\alpha>0$. Функция $\varphi$ является в данном случае четной, поэтому, если $y=0$ не является минимумом, то минимумов более одного. Имеем
\begin{multline*}
\varphi''(0)=\frac8\pi\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}(1-x^4)(x^4-4x^2+1)|x|^\alpha\,dx\\
=\frac{16k^{\frac{\alpha+1}2}}{\pi(\alpha+1)(\alpha+3)(\alpha+7)(\alpha+9)}[(1-k^2)(1-4k+k^2)
\alpha^3\\
+(19-68k+52k^3-11k^4)\alpha^2+a_1(k)\alpha+a_2(k)].
\end{multline*}
Отсюда видно, что при $k\in(2-\sqrt3,1]$ для достаточно больших $\alpha$ \ $\varphi''(0)<0$ и, следовательно, $y=0$ не является минимумом.

Тем не менее мы докажем, что при некоторых условиях, которые фактически означают достаточную малость отрезка $[a,b]$ (либо достаточно большую область гармоничности при фиксированном отрезке интегрирования), единственность есть.

Будем считать в дальнейшем, что $[a,b]=[-\sqrt k,\sqrt k]$, $k\in(0,1)$. Положим
\begin{gather*}
J(y_1,\ldots,y_n,w,p,k)=\frac{D(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)}
{D(y_1,\ldots,y_n)},\\
\gamma_m(p,k)=\inf_{t_j}\int_{-1}^1\prod_{j=1}^m(t-t_j)^2p^*(\sqrt kt)\,dt,
\end{gather*}
где
$$p^*(\sqrt kt)=p(\sqrt kt)\biggr[\int_{-1}^1p(\sqrt kt)\,dt\biggl]^{-1}.$$

\begin{lemma}\label{L4.2}
Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные натуральные числа, $\displaystyle N=\sum_{j=1}^n\nu_j$, $\displaystyle\nu=\min_{1\le j\le n}\nu_j$ и $0\le w(x)\le1$, $x\in[-\sqrt k,\sqrt k]$. Тогда если выполнено неравенство
\begin{equation}\label{4.6}
N2^{N-1}\gamma_{\frac N2-1}^{-1}(wp,k)k(1-k^2)\le\nu-1-(9\nu-7)k,
\end{equation}
то для всех точек $-\sqrt k<x_1<\ldots<x_n<\sqrt k$, удовлетворяющих равенствам \eqref{4.5}, $J(x_1,\ldots,x_n,w,p,k)>0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Обозначим элементы якобиана $J(x_1,\ldots,x_n,w,p,\break k)$ через $a_{jm}$. Тогда
\begin{multline*}
a_{jj}=\frac{4\nu_j}\pi\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{\Phi(x,\ov x)(1-x^2)}{[1+\Phi^2(x,\ov x)](1-x_jx)^2(x-x_j)^2}\\
\times\left[\nu_j\frac{1-\Phi^2(x,\ov x)}{1+\Phi^2(x,\ov x)}(1-x^2)-1+2x_jx-x^2\right]p(x)\,dx.
\end{multline*}
В силу равенств \eqref{4.5}
\begin{multline*}
a_{jj}=a_{jj}+\frac{2x_j}{1+x_j^2}\varphi_j(\ov x)=\frac{4\nu_j}\pi\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{\Phi(x,\ov x)(1-x^2)}{[1+\Phi^2(x,\ov x)](1-x_jx)^2(x-x_j)^2}\\
\times\left[\nu_j\frac{1-\Phi^2(x,\ov x)}{1+\Phi^2(x,\ov x)}(1-x^2)-\frac{1-x_j^2}{1+x_j^2}(1+x^2)\right]p(x)\,dx.
\end{multline*}
Положим $\lambda=[2\sqrt k/(1+k)]^N$. Из неравенств \eqref{4.6} следует, что $k\le(\nu-1)(9\nu-7)<1/9$. Следовательно, $\lambda<(0,6)^2$. Пользуясь этими неравенствами и тем, что $\Phi(x,\ov x)\le\lambda$ при $x\in[-\sqrt k,\sqrt k]$, получаем
\begin{multline*}
\nu_j\frac{1-\Phi^2(x,\ov x)}{1+\Phi^2(x,\ov x)}(1-x^2)-\frac{1-x_j^2}{1+x_j^2}(1+x^2)\\
\ge\nu\frac{1-\lambda^2}{1+\lambda^2}(1-k)-1-k>\nu\frac{16}{27}-\frac{10}9>0.
\end{multline*}
Отсюда следует утверждение леммы при $n=1$. Пусть теперь $n>1$.
Имеем
\begin{multline*}
a_{jj}>\frac{4\nu_j}\pi\left[\nu\frac{1-\lambda^2}{1+\lambda^2}(1-k)-1-k\right]
\frac{1-k}{(1+k)^{N+2}(1+\lambda^2)}\\
\times\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}(x-x_j)^{\nu_j-2}\prod_{\substack{m=1\\m\ne j}}^n(x-x_m)^{\nu_m}w(x)p(x)\,dx.
\end{multline*}
Сделав замену $x=\sqrt kt$, будем иметь
\begin{multline}\label{4.7}
a_{jj}>\frac{4\nu_j}\pi\left[\nu\frac{1-\lambda^2}{1+\lambda^2}(1-k)-1-k\right]
\frac{k^{\frac{N-1}2}(1-k)}{(1+k)^{N+2}(1+\lambda^2)}\\
\times\gamma_{\frac N2-1}(wp,k)\int_{-1}^1w(\sqrt kt)p(\sqrt kt)\,dt.
\end{multline}
При $m\ne j$
\begin{multline*}
a_{jm}=\frac{4\nu_j\nu_m}\pi\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{1-\Phi^2(x,\ov x)}{[1+\Phi^2(x,\ov x)]^2}\\
\times\frac{\Phi(x,\ov x)(1-x^2)^2}{(1-x_jx)(x-x_j)(1-x_mx)(x-x_m)}p(x)\,dx.
\end{multline*}
Отсюда
\begin{multline*}
a_{jm}=a_{jm}+\frac{\nu_m(1+x_j^2)\varphi_j(\ov x)-\nu_j(1+x_m^2)\varphi_m(\ov x)}
{(x_j-x_m)(1-x_mx_j)}
=-\frac{8\nu_j\nu_m}\pi\\
\times\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\frac{\Phi(x,\ov x)(1-x^2)[x^2+\Phi^2(x,\ov x)]}{[1+\Phi^2(x,\ov x)]^2(1-x_jx)(x-x_j)(1-x_mx)(x-x_m)}p(x)\,dx.
\end{multline*}
Из неравенств
$$\frac1{1-yx}\le\frac1{1-k},\quad\frac{1-x^2}{(1-yx)^2}\le\frac1{1-k},\quad
\frac{x^2+\Phi^2(x,\ov x)}{[1+\Phi^2(x,\ov x)]^2}\le\frac{k+\lambda^2}{(1+\lambda^2)^2},$$
справедливых при всех $x,y\in[-\sqrt k,\sqrt k]$, следует, что
$$|a_{jm}|\le\frac{8\nu_j\nu_m}\pi\left(\frac{2\sqrt k}{1+k}\right)^{N-2}\frac{k+\lambda^2}{(1+\lambda^2)^2(1-k)^2}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}w(x)p(x)\,dx.$$
Тем самым
\begin{multline}\label{4.8}
\sum_{\substack{m=1\\m\ne j}}^n|a_{jm}|<\frac{4\nu_j}\pi N2^{N-1}\frac{k^{\frac{N-1}2}(k+\lambda^2)}{(1+k)^{N-2}(1+\lambda^2)^2(1-k)^2}\\
\times\int_{-1}^1w(\sqrt kt)p(\sqrt kt)\,dt.
\end{multline}
Для положительности якобиана $J(x_1,\ldots,x_n,w,p,k)$ достаточно потребовать выполнения неравенств
$$a_{jj}>\sum_{\substack{m=1\\m\ne j}}^n|a_{jm}|,\quad j=1,\ldots,n$$
(см., например, \cite[с.~415]{11}), которые в силу \eqref{4.7} и \eqref{4.8} будут выполнены,
если
\begin{equation}\label{4.9}
\alpha\frac{k+\lambda^2}{1+\lambda^2}\le\left[\nu\frac{1-\lambda^2}{1+\lambda^2}(1-k)-1-k\right]
\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^4,
\end{equation}
где $\alpha=N2^{N-1}\gamma_{\frac N2-1}^{-1}$. Неравенство \eqref{4.9} эквивалентно неравенству
\begin{equation}\label{4.10}
\alpha k+\frac{\lambda^2(1-k)}{1+\lambda^2}\left[2\nu\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^4+\alpha\right]\le
[\nu-1-k(\nu+1)]\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^4.
\end{equation}
Можно показать, что для $k\in[0,1)$
\begin{equation}\label{4.11}
[\nu-1-k(\nu+1)]\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^4\ge\frac{\nu-1-(9\nu-7)k}{1-k^2}
+\frac{39(\nu-1)k^2}{(1-k)(1+k)^4}.
\end{equation}
Из условия \eqref{4.6} и того, что при $n>1$ \ $N\ge2\nu\ge4$, имеем
$$k\le\frac{\nu-1}{9\nu-7+\alpha(1-k^2)},\quad\lambda^2\le\left(\frac{2\sqrt k}{1+k}\right)^8\le
\frac{2^8k^4}{(1+k)^4}.$$
Пользуясь этими неравенствами, получаем
\begin{multline}\label{4.12}
\frac{\lambda^2(1-k)}{1+\lambda^2}\left[2\nu\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^4+\alpha\right]
\le\lambda^2(2\nu+\alpha)\\
\le\frac{2^8k^2}{(1+k)^4}\frac{(\nu-1)^2(2\nu+\alpha)}{[9\nu-7+
\alpha(1-k^2)]^2}\\
\le\frac{2^8k^2(\nu-1)^2}{(1-k^2)(1+k)^4[9\nu-7+\alpha(1-k^2)]}\le
\frac{39(\nu-1)k^2}{(1-k)(1+k)^4}.
\end{multline}
Справедливость неравенства \eqref{4.10} вытекает теперь из \eqref{4.11}, \eqref{4.12} и
\eqref{4.6}. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T4.2}
Пусть $\mu_1,\ldots,\mu_n$ --- произвольные натуральные числа, $\nu_j=2\left[
\dfrac{\mu_j+1}2\right]$, $\displaystyle N=\sum_{j=1}^n\nu_j$, $\displaystyle\nu=\min_{1\le j\le n}\nu_j$. Тогда при выполнении условия \eqref{4.6} для $w(x)\equiv1$ оптимальные узлы с кратностями $\mu_1,\ldots,\mu_n$ единственны, а необходимым и достаточным условием оптимальности узлов $x_1<\ldots<x_n$ является выполнение для них равенств \eqref{4.5}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T4.1} следует, что достаточно доказать единственность точек $x_1<\ldots<x_n$, удовлетворяющих равенствам \eqref{4.5}. Докажем, что для любой непрерывной функции $0\le w(x)\le1$, не равной тождественно нулю, решение системы \eqref{4.5} при выполнении условия \eqref{4.6} единственно. Для $n=1$ это утверждение следует из того, что по лемме~\ref{L4.2} во всех точках, в которых $\varphi_1(x_1)=0$, $\varphi_1'(x_1)>0$. Предположим, что единственность доказана для $n-1$. Положим
$$w_\xi(x)=\left(\frac{x-\xi}{1-\xi x}\right)^{\nu_n}w(x).$$
При любом $\xi\in[-\sqrt k,\sqrt k]$ справедливы неравенства
$$\int_{-1}^1w_\xi(\sqrt kt)p(\sqrt kt)\,dt\le\left(\frac{2\sqrt k}{1+k}\right)^{\nu_n}\int_{-1}^1w(\sqrt kt)p(\sqrt kt)\,dt,$$
\begin{multline*}
\inf_{t_j}\int_{-1}^1\prod_{j=1}^m(t-t_j)^2w_\xi(\sqrt kt)p(\sqrt kt)\,dt\\
\ge\left(\frac{\sqrt k}{1+k}\right)^{\nu_n}\inf_{t_j}\int_{-1}^1\prod_{j=1}^{m+\textstyle\frac{\nu_n}2}(t-t_j)^2
w(\sqrt kt)p(\sqrt kt)\,dt.
\end{multline*}
Тем самым
\begin{equation}\label{4.13}
\gamma_m(w_\xi p,k)\ge2^{-\nu_n}\gamma_{m+\textstyle\frac{\nu_n}2}(wp,k).
\end{equation}
Пусть $\displaystyle\nu'=\min_{1\le j\le n-1}\nu_j$. Тогда из неравенства \eqref{4.13} и того, что $\nu'\ge\nu$, а $k<1/9$, имеем
\begin{multline*}
(N-\nu_n)2^{N-\nu_n-1}\gamma_{{\textstyle\frac{N-\nu_n}2}-1}^{-1}(w_\xi p,k)k(1-k^2)\\
\le N2^{N-1}\gamma_{{\textstyle\frac N2}-1}^{-1}(wp,k)k(1-k^2)
\le\nu-1-(9\nu-7)k\le\nu'-1-(9\nu'-7)k.
\end{multline*}
Отсюда в силу предположения индукции вытекает, что в задаче с кратностями $\nu_1,\ldots,\nu_{n-1}$ и функцией $w_\xi(x)$ при всех $\xi\in[-\sqrt k,\sqrt k]$ существует единственная система точек $-\sqrt k<x_1(\xi)<\ldots<x_{n-1}(\xi)<\sqrt k$, удовлетворяющая равенствам \eqref{4.5}. Далее, повторяя схему рассуждений из работ \cite{12}, \cite{10}, доказывается существование единственной точки $\xi$ такой, что система $-\sqrt k<x_1(\xi)<\ldots<x_{n-1}(\xi)<\xi<\sqrt k$ удовлетворяет равенствам \eqref{4.5}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T4.3}
Пусть $q$ --- четное число. Тогда при всех
\begin{equation}\label{4.14}
k\le\frac{q-1}{9q-7+nq4^{nq-2}}
\end{equation}
узлы, определенные равенством \eqref{2.15}, являются единственными оптимальными узлами для веса \eqref{3.5} и всех $q-1\le\mu_j\le q$, $j=1,\ldots,n$, на классе $Bh_\infty$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Имеем
$$\int_{-1}^1s(\sqrt kt)\,dt=\frac1{\sqrt k}\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}=
\frac1{\sqrt k}K.$$
Для нормированного веса получаем
$$s^*(\sqrt kt)=\frac1{2K\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}\ge\frac1{2K\sqrt{(1-t^2)}}.$$
Поэтому при $m\ge1$
$$\gamma_m(s,k)\ge\frac1{2K}\inf_{t_j}\int_{-1}^1\prod_{j=1}^m(t-t_j)^2\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)}}=
\frac1{2K}\frac\pi{2^{2m-1}}.$$
С помощью разложения эллиптического интеграла $K$ по степеням модуля $k$ (см.\ \cite[с.~152]{9}) легко получить оценку
$$K\le\frac\pi2(1-k^2)^{-1}.$$
Таким образом, при $m\ge1$
\begin{equation}\label{4.15}
\gamma_m^{-1}(s,k)\le2^{2m-1}(1-k^2)^{-1}.
\end{equation}
Пусть $n>1$. Тогда условие \eqref{4.6} для $w(x)\equiv1$ и $\nu_1=\ldots=\nu_n=q$ с учетом \eqref{4.15} будет выполнено, если
$$nq2^{nq-4}k\le q-1-(9q-7)k,$$
что эквивалентно неравенству \eqref{4.14}. При $n=1$, как следует из доказательства леммы~\ref{L4.2}, условие \eqref{4.6} может быть заменено на менее сильное --- $k<1/9$, которое очевидным образом является следствием \eqref{4.14}. В силу теоремы~\ref{T4.2} остается доказать, что узлы, определенные равенством \eqref{2.15}, удовлетворяют системе \eqref{4.5}. Из равенств \eqref{4.4} и \eqref{3.6} получаем
$$\varphi_j(\ov x)=-\frac{4q!\omega_j(x_j^0)}{\pi[1-(x_j^0)^2]^q}a_{j,q-1}=0.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{C4.1}
Пусть $[a,b]=[-1,1]$, $q$ --- четное число. Тогда для всех
\begin{equation}\label{4.16}
c\ge2\sqrt{\frac{9q-7+nq4^{nq-2}}{q-1}}
\end{equation}
система узлов \eqref{2.17} является единственной оптимальной системой узлов для веса \eqref{3.12} при всех $q-1\le\mu_j\le q$, $j=1,\ldots,n$, на классе $Bh_\infty(\mbox{Э}_c)$. В частности, при
$$c\ge\sqrt{44+n2^{4n-1}}$$
квадратурная формула \eqref{3.14} является оптимальным методом интегрирования для всех $\mu_j\le2$ на классе $Bh_\infty(\mbox{Э}_c)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
С помощью конформного отображения \eqref{2.16} задача нахождения оптимальных узлов для веса \eqref{3.12} на классе $Bh_\infty(\mbox{Э}_c)$ сводится к соответствующей задаче для веса $\dfrac\pi{2K}s$ на классе $Bh_\infty$, решение которой при выполнении условия \eqref{4.14} найдено в теореме~\ref{T4.3}. Из известных в теории эллиптических функций равенств
$$\sqrt k=2h^{\textstyle\frac14}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty h^{m(m+1)}}{\displaystyle1+2\sum_{m=1}^\infty h^{m^2}},\quad h=e^{-\textstyle\frac{\pi K'}K},$$
следует, что $\sqrt k<2h^{1/4}=2c^{-1}$. Тем самым неравенство \eqref{4.14} будет выполнено, если
$$4c^{-2}\le\frac{q-1}{9q-7+nq4^{nq-2}},$$
что эквивалентно \eqref{4.16}. Следствие доказано.
\end{proof}

\renewcommand{\refname}{\bf Список литературы}
\begin{thebibliography}{11}
\selectlanguage{english}
\bibitem{1} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal recovery. Optimal estimation in approximation theory. N. Y.: Plenum Press, 1977. P.~1--54.

\bibitem{2} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on optimal recovery // Lect. Notes Math. 1985. V.~1129. P.~21--93.

\selectlanguage{russian}
\bibitem{3} {\it Трауб~Дж., Вожьняковский~Х.} Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983.

\bibitem{4} {\it Осипенко~К.~Ю., Стесин~М.~И.} О задачах восстановления в пространствах Харди
и Бергмана // Матем. заметки. 1991.

\bibitem{5} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Чан Тхи Ле.} К задаче оптимального восстановления функционалов // УМН. 1987. Т.~42, \No~2. С.~237--238.

\bibitem{6} {\it Голузин~Г.~М.} Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

\selectlanguage{french}
\bibitem{7} {\it Dieudonn\'{e}~J.} Recherches sur quelques problems ralatifs aux polinomes et aux fonctions born\'{e}es d'une variable complexe // Ann. Ecole Norm. sup. 1931. S.~3. V.~48. P.~247--358.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{8} {\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций // Матем.
заметки. 1972. Т.~12, \No~4. С.~465--476.

\bibitem{9} {\it Ахиезер~Н.~И.} Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

\bibitem{10} {\it Осипенко~К.~Ю.} О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах
ограниченных аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.~52, \No~1. С.~79--99.

\bibitem{11} {\it Гантмахер~Ф.~Р.} Теория матриц. М.: Наука, 1967.

\selectlanguage{english}
\bibitem{12} {\it Bojanov~B.~D.} Extremal problems in a set of polinomials with fixed multiplicities of zeros // C.~R.~Acad. Bulgare Sci. 1978. V.~31, \No~4. P.~377--380.
\selectlanguage{russian}
\end{thebibliography}

\bigskip

\bigskip

\noindent Московский авиационный \hfill Поступила в редакцию\\
технологический институт\hfill 19.05.1989

\end{document}
