\documentclass[12pt,oneside,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1800
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

%\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}}
\newcommand*{\W}{F_p^n}
\newcommand*{\WW}{\mathcal W_p^n}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wv}{\widehat v}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wss}{\widehat s}
\newcommand*{\wst}{\widetilde\sigma}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\Ls}{L_2(\Ds)}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
%\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\wa}{\widehat a}
\newcommand*{\ox}{I^Nx}

\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\iT}{\int_T}
\newcommand*{\iTn}{\int_{T_0}}
\newcommand*{\iTnn}{\int_{T_1}}
\newcommand*{\iD}{\int_{\Ds}}
\newcommand*{\iRp}{\int_{\mathbb R_+}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\lr}{L_r(T,\mu)}
\newcommand*{\lp}{L_p(T,\mu)}
\newcommand*{\Lp}{L_p(\mathbb R)}
\newcommand*{\Lps}{L_p(\Ds)}
\newcommand*{\lpj}{L_{p_j}(T_j,\mu)}
\newcommand*{\lpn}{L_p(T_0,\mu)}
\newcommand*{\lqq}{L_q(T,\mu)}

\DeclareMathOperator*{\co}{co}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\card}{card}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}

\begin{document}

\title[Оптимальное восстановление в неевклидовых метриках]{Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках}
\author{К.~Ю.~Осипенко}
\begin{abstract}
В работе рассматриваются задачи восстановления операторов по неточно заданной информации в неевклидовых метриках. Доказан ряд общих теорем, которые применяются к задачам восстановления функций и их производных по неточно заданному преобразованию Фурье. В некоторых случаях находится семейство оптимальных методов, из которого выбираются методы, использующие минимальный объем исходной информации.
\end{abstract}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (грант \No13-01-12447)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН}
\maketitle

\section*{Введение}

Общая задача оптимального восстановления линейного оператора $\Lambda$, действующего из линейного пространства $X$ в линейное нормированное пространство $Z$, на множестве $W\subset X$ по неточно заданным значениям другого линейного оператора $I\colon X\to Y$, где $Y$ --- линейное нормированное пространство, может быть сформулирована, как задача о нахождении при фиксированном $\delta\ge0$, характеризующем погрешность задания исходной информации, величины
\begin{equation}\label{E}
E(\Lambda,W,I,\delta)=\inf_{m\colon Y\to Z}\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y\\\|Ix-y\|_Y\le\delta}}\|\Lambda x-m(y)\|_Z,
\end{equation}
называемой {\it погрешностью оптимального восстановления\/}, а также отображения (метода), на котором достигается нижняя грань в \eqref{E}, называемым {\it оптимальным методом восстановления\/}.

В простейшем случае, когда $\Lambda$ --- линейный функционал, $Y$ --- конечномерное пространство и $\delta=0$, эта задача была поставлена С.~А.~Смоляком \cite{Sm}. Им же было доказано, что для выпуклого и центрально-симметричного множества $W$ среди оптимальных методов восстановления существует линейный. Этот результат и сама постановка задачи, опубликованные лишь в диссертации, не были широко доступны. Внимание к ним привлек Н.~C.~Бахвалов \cite{Ba}, который инициировал дальнейшие исследования в этом направлении, в результате чего были получены некоторые оптимальные методы восстановления для конкретных задач, а также обобщена исходная постановка на комплексный случай и случай задания исходной информации с погрешностью (см. \cite{O}--\cite{O1}).

В дальнейшем обобщением исходной постановки было посвящено много работ (см. \cite{MR}--\cite{MT2}, а также бибиблиографию в этих работах). Окончательный, в определенном смысле, результат для линейных функционалов, а именно, необходимые и достаточные условия
существования оптимального линейного метода, был получен в работе \cite{MO}.

Довольно часто рассматривается ситуация, когда само множество $W$, на котором восстанавливается оператор $\Lambda$ также задается некоторым линейным оператором
$$W=\{\,x\in X:\|I_1x\|_{Y_1}\le\delta_1\,\},$$
где $I_1\colon X\to Y_1$, а $Y_1$ --- линейное нормированное пространство.
Общий результат, касающийся существования линейного оптимального метода для случая, когда $Y$, $Y_1$ и $Z$ --- гильбертовы пространства, был доказан в работе \cite{MM} и там же получены первые конкретные результаты о
восстановлении линейных операторов. Дальнейшее развитие эта тематика
получила в работах \cite{MO1}--\cite{O2}, где использовались подходы, основанные на общих принципах теории экстремума. Однако во всех этих работах существенно использовалась евклидовость рассматриваемых пространств.

Настоящая работа посвящена задачам восстановления линейных операторов в неевклидовом случае. Первый пример (и единственный до недавнего времени) построения оптимального метода восстановления для такой ситуации был приведен в работе \cite[теорема 12]{MR} (далее, мы подробнее разберем этот пример и как следствие общих результатов получим для него целое семейство оптимальных методов). Другой пример построения оптимального метода в неевклидовом случае был получен в работе \cite{MO3}. В данной работе делается попытка получения ряда общих результатов о восстановлении линейных операторов в неевклидовом случае.

\section{Общая постановка}

Пусть $T$ --- некоторое непустое множество, $\Sigma$ --- $\sigma$-алгебра подмножеств $T$ и $\mu$ --- неотрицательная $\sigma$-аддитивная мера на $\Sigma$. Через $L_p(T,\Sigma,\mu)$ (или короче $\lp$) обозначается совокупность всех $\Sigma$-измеримых функций со значениями в $\mathbb R$ или $\mathbb C$, для которых
%\begin{align*}
$$\|x\cd\|_{\lp}=\begin{cases}\displaystyle\biggl(\int_T|x(t)|^p\,d\mu\biggr)^{1/p}
<\infty,&1\le p<\infty,\\[10pt]
\displaystyle\vraisup_{t\in T}|x(t)|<\infty,&p=\infty.\end{cases}$$
%\end{align*}

Положим
\begin{gather*}
\mathcal W=\{\,x\cd\in\lp:\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}<\infty\,\},\\
W=\{\,x\cd\in\mathcal W:\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}\le1\,\},
\end{gather*}
где $1\le p,r\le\infty$, а $\varphi\cd$ --- некоторая функция на $T$.

Рассмотрим задачу восстановления оператора $\Lambda\colon\mathcal W\to L_q(T,\mu)$, $1\le q\le\infty$, задаваемого равенством $\Lambda x\cd=\psi\cd x\cd$, где $\psi\cd$ --- некоторая функция на $T$, на классе $W$ по функции $x\cd\in W$, известной с погрешностью на некотором подмножестве $T$ (несложно написать условия на функции $\varphi\cd$ и $\psi\cd$, при которых оператор $\Lambda$ будет отображать пространство $\mathcal W$ в $L_q(T,\mu)$, но мы не будем на этом останавливаться, считая, что соответствующие условия выполнены).

Предполагается, что для каждой функции $x\cd\in W$ известна функция $y\cd\in\lpn$, $T_0\subset T$, такая, что $\|x\cd-y\cd\|_{\lpn}\le\delta$, $\delta\ge0$. Требуется по функции $y\cd$ восстановить $\Lambda x\cd$. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon\lpn\to\lqq$. Погрешностью метода $m$ называется величина
$$e_{pqr}(m)=\sup_{\substack{x\cd\in W,\ y\cd\in\lpn\\\|x\cd-y\cd\|_{\lpn}\le\delta}}\|\Lambda x\cd-m(y)\cd\|_{\lqq}.$$


Величина
%\begin{equation}\label{pqr}
$$E_{pqr}=\inf_{m\colon\lpn\to\lqq}e_{pqr}(m)$$
%\end{equation}
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным.

Легко убедиться, что имеет место неравенство
\begin{equation}\label{lb}
E_{pqr}\ge\sup_{\substack{x\cd\in W\\\|x\cd\|_{\lpn}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}.
\end{equation}
Действительно, пусть $x\cd\in W$, $\|x\cd\|_{\lpn}\le\delta$, а $m\colon\lpn\to\lqq$ --- произвольный метод восстановления. Тогда в силу того, что $x\cd\in W$ и $-x\cd\in W$ имеем
\begin{multline*}
2\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}\le\|\Lambda x\cd-m(0)\cd\|_{\lqq}\\
+\|-\Lambda x\cd-m(0)\cd\|_{\lqq}\le2e(p,q,r,m).
\end{multline*}
Отсюда следует, что для любого метода $m$
$$e_{pqr}(m)\ge\sup_{\substack{x\cd\in W\\\|x\cd\|_{\lpn}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}.$$
Переходя к нижней грани в левой части по всем методам, получаем нужное неравенство.

Для оценки снизу погрешности оптимального восстановления, вытекающей из неравенства \eqref{lb}, будет решаться экстремальная задача, возникающая в правой части этого неравенства. Приведем один простой результат (близкий к достаточным условиям в теореме Куна--Таккера), используемый для решения соответствующих экстремальных задач.

Пусть $f_j\colon A\to\mathbb R$, $j=0,1,\ldots,n$, --- функции, определенные на некотором множестве $A$. Рассмотрим экстремальную задачу
\begin{equation}\label{ex0}
f_0(x)\to\max,\quad f_j(x)\le0,\quad j=1,\ldots,n,\quad x\in A,
\end{equation}
и ее функцию Лагранжа
$$\mL(x,\lambda)=-f_0(x)+\sum_{j=1}^n\lambda_jf_j(x),\quad
\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть существуют $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, и допустимый в задаче \eqref{ex0} элемент $\wx\in A$, для которых
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{x\in A}\mL(x,\wl)=\mL(\wx,\wl),\quad\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_n),\\
(b)&\quad\sum_{j=1}^n\wl_jf_j(\wx)=0.
\end{align*}
Тогда $\wx$ --- экстремальный элемент в задаче \eqref{ex0}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Для любого допустимого в задаче \eqref{ex0} элемента $x\in A$ имеем
$$-f_0(x)\ge\mL(x,\wl)\ge\mL(\wx,\wl)=f_0(\wx).$$
\end{proof}


\section{Случай $r=q$}


Рассмотрим случай, когда $1\le q<p<\infty$, $r=q$. Будем использовать следующее обозначение
$$a_+=\begin{cases}a,&a\ge0,\\
0,&a<0.\end{cases}$$

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $1\le q<p<\infty$ и $\delta>0$. Предположим, что $\wl_2>0$ удовлетворяет условию
\begin{multline}\label{aaa}
\biggl(\iTn\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}\\
=\delta\biggl(\iTn|\varphi(t)|^q\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\right)_+^{\frac q{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/q}>0
\end{multline}
$($от функций $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ будем требовать, чтобы указанные интегралы существовали$)$ и для почти всех $t\notin T_0$ \ $|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\le0$. Тогда
$$E_{pqq}=\left(\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2\right)^{1/q},$$
где
%\begin{equation}\label{lam}
$$\wl_1=\frac qp\delta^{q-p}\biggl(\iTn\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q
\right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p},$$
%\end{equation}
а метод
\begin{equation}\label{met}
\wm(y)(t)=\begin{cases}\psi(t)\left(1-\wl_2\dfrac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q}
\right)_+ y(t),&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0,\end{cases}
\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
1. Оценка снизу. Экстремальная задача в правой части \eqref{lb} (для удобства записи мы возводим ее в $q$-ую степень) имеет вид
\begin{multline}\label{ex}
\iT|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\quad\iTn|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Напишем функцию Лагранжа для этой задачи
$$\mL(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L(x(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$
где
$$L(x,\lambda_1,\lambda_2)=\begin{cases}-|\psi(t)x|^q+\lambda_1|x|^p+\lambda_2
|\varphi(t)x|^q,&t\in T_0,\\
-|\psi(t)x|^q+\lambda_2|\varphi(t)x|^q,&t\notin T_0.\end{cases}$$
Положим
$$\wx(t)=\begin{cases}\left(\dfrac q{p\wl_1}\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q
\right)_+\right)^{\frac1{p-q}},&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0.\end{cases}$$
Нетрудно убедиться, что при всех $x\cd$
$$L(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge L(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$
Тем самым
$$\mL(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge\mL(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$

Из определения $\wl_1$ и $\wl_2$ вытекает справедливость равенств
\begin{equation}\label{nez}
\begin{aligned}
\iTn|\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)&=1.
\end{aligned}
\end{equation}
В силу леммы~\ref{L1} $\wx\cd$ является решением задачи \eqref{ex}. Тем самым значение этой задачи
$$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t).$$
Интегрируя по $T$ равенство
$$-q|\psi(t)\wx(t)|^q+
p\wl_1|\wx(t)|^p+q\wl_2|\varphi(t)\wx(t)|^q=0,$$
которое очевидным образом следует из определения $\wx\cd$, получаем
$$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2.$$
Из \eqref{lb} вытекает, что
$$E_{pqq}\ge\left(\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2\right)^{1/q}.$$

2. Оценка сверху.
Положим
%\begin{equation}\label{meta}
$$\alpha(t)=\begin{cases}\left(1-\lambda_2\dfrac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q}
\right)_+ ,&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0,\end{cases}$$
%\end{equation}
Для оценки погрешности метода \eqref{met} надо найти значение следующей экстремальной задачи
\begin{multline}\label{e21}
\iTn|\psi(t)|^q|x(t)-\alpha(t)y(t)|^q\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\\
\iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^q
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Задача \eqref{e21}, положив $z\cd=x\cd-y\cd$, переписывается в виде
\begin{multline}\label{e31}
\iTn|\psi(t)|^q|(1-\alpha(t))x(t)+\alpha(t)z(t)|^q\,d\mu(t)\\
+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\\
\iTn|z(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)|^q|x(t)|^q
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Значение этой задачи очевидно совпадает со значением задачи
\begin{multline}\label{uv}
\iT|\psi(t)|^q((1-\alpha(t))v(t)+\alpha(t)u(t))^q\,d\mu(t)\to\max,\\
\iTn u^p(t)\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)|^qv^q(t)\,d\mu(t)\le1,\\ u(t),v(t)\ge0,\ \mbox{для почти всех }t\in T.
\end{multline}

Выпишем функцию Лагранжа для этой задачи
$$\mL_1(u\cd,v\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L_1(u(t),v(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$
где
$$L_1(u,v,\lambda_1,\lambda_2)=\begin{cases}-|\psi(t)|^q((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^q&\\
\hspace{105pt}+\lambda_1u^p+\lambda_2|\varphi(t)|^qv^q,&t\in T_0,\\
-|\psi(t)|^qv^q+\lambda_2|\varphi(t)|^qv^q,&
t\notin T_0.\end{cases}$$
Положим $\lambda_1=\wl_1$, $\lambda_2=\wl_2$. Тогда при $\alpha(t)>0$
$$\frac{\partial L_1}{\partial v}=q\wl_2|\psi(t)|^q(v^{q-1}-((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^{q-1}).$$
Следовательно, при $\alpha(t)>0$ и любом фиксированном $u>0$ функция $L_1(u,v,\wl_1,\wl_2)$ при $v\in(0,+\infty)$ достигает минимума для $v=u$. Если же $\alpha(t)=0$, то $L_1(u,v,\wl_1,\wl_2)\ge0$. Таким образом, имеем для всех $u(t),v(t)\ge0$
\begin{multline*}
\mL_1(u\cd,v\cd,\wl_1,\wl_2)\ge\iTn L_1(u\cd,u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\=\iTn L(u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\ge\iTn L(\wx\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\
=\mL_1(\wx\cd,\wx\cd,\wl_1,\wl_2).
\end{multline*}
Учитывая \eqref{nez}, получаем, что функции $\wu\cd=\wv\cd=\wx\cd$ являются решением задачи \eqref{uv}. Следовательно,
$$e^q_{pqq}(\wm)=\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\frac pq \wl_1\delta^p+\wl_2\le E^q_{pqq}.$$
Отсюда вытекает оптимальность метода $\wm$ и выражение для погрешности оптимального восстановления.
\end{proof}

\section{Случай $q=p$}

Рассмотрим случай, когда $1\le p<r<\infty$, $q=p$ и $T_0=T$.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $1\le p<r<\infty$ и $\delta>0$. Предположим, что $\wl_1>0$ удовлетворяет условию
\begin{multline}\label{bbb}
\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}\\
=\delta\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac r{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/r}>0
\end{multline}
$($от функций $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ будем требовать, чтобы указанные интегралы существовали$)$. Тогда
$$E_{ppr}=\left(\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\right)^{1/p},$$
где
%\begin{equation}\label{lam}
$$\wl_2=\frac pr\delta^{p-r}\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{r-p}p},$$
%\end{equation}
а метод
\begin{equation}\label{met1}
\wm(y)(t)=\psi(t)\alpha(t)y(t),
\end{equation}
где
$$\alpha(t)=1-\left(1-\dfrac{\lambda_0}{|\psi(t)|^p}\right)_+.$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Схема доказательства здесь во многом аналогична доказательству предыдущей теоремы.

1. Оценка снизу. Экстремальная задача в правой части \eqref{lb} (для удобства записи мы возводим ее в $p$-ую степень) имеет вид
\begin{multline}\label{ex1}
\iT|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\quad\iT|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)x(t)|^r\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Напишем функцию Лагранжа для этой задачи
$$\mL(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L(x(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$
где
$$L(x,\lambda_1,\lambda_2)=-|\psi(t)x|^p+\lambda_1|x|^p+\lambda_2
|\varphi(t)x|^r.$$
Положим
$$\wx(t)=\left(\dfrac{ p\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+}{r\wl_2|\varphi(t)|^r}\right)^{\frac1{r-p}}.$$
Нетрудно убедиться, что при всех $x\cd$
$$L(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge L(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$
Тем самым
$$\mL(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge\mL(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$
В силу определения $\wl_1$ и $\wl_2$ справедливы равенства
\begin{equation}\label{nez1}
\begin{aligned}
\iT|\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)\wx(t)|^r\,d\mu(t)&=1.
\end{aligned}
\end{equation}
В силу леммы~\ref{L1} $\wx\cd$ является решением задачи \eqref{ex1}. Тем самым значение этой задачи
$$\iT|\psi(t)\wx(t)|^p\,d\mu(t).$$
Интегрируя по $T$ равенство
$$-p|\psi(t)\wx(t)|^q+
p\wl_1|\wx(t)|^p+r\wl_2|\varphi(t)\wx(t)|^r=0,$$
которое очевидным образом следует из определения $\wx\cd$, получаем
$$\iT|\psi(t)\wx(t)|^p\,d\mu(t)=\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2.$$
Из \eqref{lb} вытекает, что
$$E_{ppr}\ge\left(\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\right)^{1/p}.$$

2. Оценка сверху. Для оценки погрешности метода \eqref{met1} надо найти значение следующей экстремальной задачи
\begin{multline}\label{e22}
\iT|\psi(t)|^p|x(t)-\alpha(t)y(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\
\iT|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^r
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Задача \eqref{e22}, положив $z\cd=x\cd-y\cd$, переписывается в виде
\begin{multline}\label{e32}
\iT|\psi(t)|^p|(1-\alpha(t))x(t)+\alpha(t)z(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\
\iT|z(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^r
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Значение этой задачи совпадает со значением задачи
\begin{multline}\label{uv2}
\iT|\psi(t)|^p((1-\alpha(t))v(t)+\alpha(t)u(t))^p\,d\mu(t)\to\max,\\
\iT u^p(t)\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)|^rv^r(t)\,d\mu(t)\le1,\\ u(t),v(t)\ge0,\ \mbox{для почти всех }t\in T.
\end{multline}

Выпишем функцию Лагранжа для этой задачи
$$\mL_1(u\cd,v\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L_1(u(t),v(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$
где
$$L_1(u,v,\lambda_1,\lambda_2)=-|\psi(t)|^p((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^p+\lambda_1u^p
+\lambda_2|\varphi(t)|^rv^r.$$
Положим $\lambda_1=\wl_1$, $\lambda_2=\wl_2$. Тогда при $|\psi(t)|^p>\wl_1$
$$\frac{\partial L_1}{\partial u}=p\wl_1(u^{p-1}-((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^{p-1}).$$
Следовательно, при $|\psi(t)|^p>\wl_1$ и любом фиксированном $v>0$ функция $L_1(u,v,\wl_1,\wl_2)$ при $u\in(0,+\infty)$ достигает минимума для $u=v$. Если же $|\psi(t)|^p\le\wl_1$, то $\alpha(t)=1$ и $L_1(u,v)\ge0$. Положим
$T_1=\{t\in T:|\psi(t)|^p>\wl_1\}$. Тогда для всех $u(t),v(t)\ge0$
\begin{multline*}
\mL_1(u\cd,v\cd,\wl_1,\wl_2)\ge\iTnn L_1(u\cd,u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\=\iTnn L(u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\ge\iTnn L(\wx\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\
=\mL_1(\wx\cd,\wx\cd,\wl_1,\wl_2).
\end{multline*}
Учитывая \eqref{nez1}, получаем, что функции $\wu\cd=\wv\cd=\wx\cd$ являются решением задачи \eqref{uv2}. Следовательно,
$$e^p_{ppr}(\wm)=\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\le E^p_{ppr}.$$
Отсюда вытекает оптимальность метода $\wm$ и выражение для погрешности оптимального восстановления.
\end{proof}


\section{Случай $r=p$}


Рассмотрим случай, когда $1\le q<p=r<\infty$. Обозначим через $\chi_0\cd$ характеристическую функцию множества $T_0$
$$\chi_0(t)=\begin{cases}1,&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0.\end{cases}$$

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $1\le q<p<\infty$ и $\delta>0$. Предположим, что $\wl_2>0$ удовлетворяет условию
\begin{multline}\label{aaa3}
\iTn\left(\frac{|\psi(t)|^q}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\\
=\delta^p\iT|\varphi(t)|^p\left(\frac{|\psi(t)|^q}{\chi_0(t)+\wl_2
|\varphi(t)|^p}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)>0
\end{multline}
$($от функций $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ будем требовать, чтобы указанные интегралы существовали$)$.
Тогда
$$E_{pqp}=\left(\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2\right)^{1/q},$$
где
%\begin{equation}\label{lam}
$$\lambda_1=\delta^{q-p}\left(\iTn\left(\frac{|\psi(t)|^q}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}
\right)^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\right)^{\frac{p-q}p},$$
%\end{equation}
а метод
%\begin{equation}\label{met}
$$\wm(y)(t)=\begin{cases}\dfrac{\psi(t)}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}y(t),&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0,\end{cases}$$
%\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
1. Оценка снизу. Экстремальная задача в правой части \eqref{lb} (как и в предыдущих случаях, для удобства мы возводим ее в $q$-ую степень) имеет вид
\begin{multline}\label{ex2}
\iT|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\quad\iTn|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Положим
$$\wx(t)=\wl_1^{-\frac1{p-q}}\left(\frac{|\psi(t)|^q}{\chi_0(t)
+\wl_2|\varphi(t)|^p}\right)^{\frac1{p-q}}.$$
В силу определения $\wl_1$ и $\wl_2$ нетрудно убедиться, что для $\wx\cd$ справедливы равенства
\begin{align*}
\iTn|\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=1.
\end{align*}
Следовательно, $\wx\cd$ является допустимой функцией в задаче \eqref{ex2}. Тем самым значение этой задачи не менее, чем
$$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t).$$
Интегрируя по $T$ равенство
$$|\psi(t)\wx(t)|^q=\wl_1|\wx(t)|^p\chi_0(t)+\wl_1\wl_2|\varphi(t)\wx(t)|^p,$$
которое очевидным образом следует из определения $\wx\cd$, получаем
$$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2.$$
Из \eqref{lb} вытекает, что
$$E_{pqp}\ge\left(\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2\right)^{1/q}.$$

2. Оценка сверху. Будем искать оптимальный метод восстановления в виде
%\begin{equation}\label{meta}
$$\wm(y)\cd=\alpha\cd y\cd.$$
%\end{equation}
Для оценки погрешности такого метода надо найти значение следующей экстремальной задачи

\begin{multline}\label{e2}
\iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)y(t)|^q\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\\
\iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^p
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}

По неравенству Гельдера имеем
\begin{multline}\label{hh}
|(\psi(t)-\alpha(t))x(t)+\alpha(t)(x(t)-y(t))|^q\\
\le h(t)\left(\wl_2|\varphi(t)x(t)|^p+|x(t)-y(t)|^p\right)^{q/p},\\
h(t)=\left(\frac{|\psi(t)-\alpha(t)|^{p'}}{\wl_2^{p'/p}|\varphi(t)|^{p'}}+
|\alpha(t)|^{p'}
\right)^{q/p'},\quad
\frac1p+\frac1{p'}=1.
\end{multline}
Следовательно, значение задачи \eqref{e2} оценивается величиной
\begin{equation}\label{int}
\iT f(t)g(t)\,d\mu(t),
\end{equation}
где
\begin{align*}
f(t)&=\begin{cases}h(t),&t\in T_0,\\[15pt]
\dfrac{|\psi(t)|^q}{\wl_2^{q/p}|\varphi(t)|^q},&t\in T\setminus T_0,\end{cases}\\ g(t)&=\begin{cases}\left(\wl_2|\varphi(t)x(t)|^p+|z(t)|^p\right)^{q/p},&t\in T_0,\\[10pt]
\wl_2^{q/p}|\varphi(t)x(t)|^q,&t\in T\setminus T_0,\end{cases}.
\end{align*}
Положим
$$\alpha(t)=\frac{\psi(t)}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}.$$
Тогда
$$f(t)=\frac{|\psi(t)|^q}{(\chi_0(t)+\wl_2|\varphi(t)|^p)^{q/p}}.$$
Применяя к \eqref{int} неравенство Гельдера, получаем оценку
$$\left(\iT|f(t)|^{s'}\,d\mu(t)\right)^{1/s'}\left(\iT|g(t)|^s\,d\mu(t)\right)^{1/s},$$
где $1/s+1/s'=1$. Взяв $s=p/q$, будем иметь для этой оценки
\begin{multline*}
\left(\iT|f(t)|^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\right)^{\frac{p-q}p}\left(\iT|g(t)|^{p/q}\,d\mu(t)\right)^{q/p}\\
\le(\delta^p+\wl_2)^{q/p}\biggl(\iT\frac{|\psi(t)|^{\frac{qp}{p-q}}}
{(\chi_0(t)+\wl_2|\varphi(t)|^p)^{\frac q{p-q}}}
\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p}\\
=(\wl_1\delta^p+\wl_1\lambda_2)^{q/p}
\biggl(\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p}=\wl_1\delta^p+\wl_1
\wl_2.
\end{multline*}
Отсюда
$$e^q_{pqp}(\wm)\le\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2\le E^q_{pqp}.$$
\end{proof}

\section{Случай $r=q=p$}


Рассмотрим случай, когда $1\le p<\infty$, $r=q=p$.

\begin{theorem}\label{T4}
Пусть $1\le p<\infty$. Предположим, что существуют такие $\lambda_1,\lambda_2\ge0$, что значение экстремальной задачи
\begin{multline}\label{aaa4}
\iT|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\quad\iTn|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\
\iT|\varphi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le1,
\end{multline}
не меньше, чем $\lambda_1\delta^p+\lambda_2$, и при почти всех $t\in T$ выполнено неравенство
\begin{equation}\label{inp}
-|\psi(t)|^p+\lambda_1\chi_0(t)+\lambda_2|\varphi(t)|^p\ge0,
\end{equation}
где $\chi_0\cd$ --- характеристическая функция множества $T_0$.
Тогда
$$E_{ppp}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p},$$
а все методы
\begin{equation}\label{metp}
\wm(y)\cd=\begin{cases}\alpha\cd y\cd,&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0,\end{cases}
\end{equation}
в которых $\alpha\cd$ почти для всех $t\in T_0$ при $\delta>0$, $\lambda_1,\lambda_2>0$, удовлетворяют условию
\begin{equation}\label{condp}
\begin{cases}\dfrac{|\psi(t)-\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_2^{p'/p}
|\varphi(t)|^{p'}}+
\dfrac{|\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}}\le1,&1<p<\infty,\ 1/p+1/p'=1,\\[14pt]
\dfrac{|\psi(t)-\alpha(t)|}{\lambda_2|\varphi(t)|}\le1,\quad\dfrac{|\alpha(t)|}
{\lambda_1}\le1,&p=1,\end{cases}
\end{equation}
а при $1\le p<\infty$, $\delta=0$, --- условию
\begin{equation}\label{cond10}
|\psi(t)-\alpha(t)|\le\lambda_2^{1/p}|\varphi(t)|,
\end{equation}
являются оптимальными. При $\lambda_1=0$ метод $\wm(y)\cd=0$ --- оптимальный, а при $\lambda_2=0$ метод \eqref{metp} с $\alpha\cd=\psi\cd$ --- оптимальный.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из условия теоремы и неравенства \eqref{lb}
вытекает, что
$$E_{ppp}\ge(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$
Пусть $\delta>0$ и $\lambda_1\lambda_2>0$. Для оценки методов вида \eqref{metp} рассмотрим экстремальную задачу
\begin{multline}\label{e2p}
\iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)y(t)|^p\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\
\iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^p
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline}
Аналогично \eqref{hh} имеем
\begin{multline*}%\label{hh}
|(\psi(t)-\alpha(t)x(t)+\alpha(t)(x(t)-y(t))|^p\\
\le h_p(t)\left(\lambda_2|\varphi(t)x(t)|^p+\lambda_1|x(t)-y(t)|^p\right),
\end{multline*}
где
$$h_p(t)=\begin{cases}\left(\dfrac{|\psi(t)-\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_2^{p'/p}|
\varphi(t)|^{p'}}+\dfrac{|\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}}
\right)^{p/p'},&1<p<\infty,\\[15pt]
\max\left\{\dfrac{|\psi(t)-\alpha(t)|}{\lambda_2|\varphi(t)|},\dfrac{|\alpha(t)|}
{\lambda_1}\right\},&p=1.\end{cases}$$

Следовательно, положив
$$S(\alpha\cd)=\vraisup_{t\in T_0}h_p(t),$$
и учитывая, что по условию теоремы $S(\alpha\cd)\le1$, а также то, что при $t\in T\setminus T_0$ неравенство \eqref{inp} имеет вид $|\psi(t)|^p\le\lambda_2|\varphi(t)|^p$, получаем
\begin{multline*}
\iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)y(t)|^p\,d\mu(t)
+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\\
\le S(\alpha\cd)\iTn\left(\lambda_2|\varphi(t)x(t)|^p+
\lambda_1|x(t)-y(t)|^p\right)\,d\mu(t)\\
+\lambda_2\int_{T\setminus T_0}|\varphi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le\lambda_1\delta^p+\lambda_2.
\end{multline*}
Отсюда
$$e_{ppp}(\wm)\le(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}\le E_{ppp}.$$
Остается показать, что множество $\alpha\cd$, удовлетворяющих условиям \eqref{condp} не пусто. Положим
\begin{equation}\label{opt}
\widehat\alpha(t)=\frac{\lambda_1\psi(t)}{\lambda_1+\lambda_2|\varphi(t)|^p}.
\end{equation}
Тогда
$$S(\widehat\alpha)(t)=\vraisup_{t\in T_0}\left(\frac{|\psi(t)|^p}{\lambda_1+
\lambda_2|\varphi(t)|^p}\right).$$
Из неравенства \eqref{inp} вытекает, что $S(\widehat\alpha)(t)\le1$.

При $\delta=0$ следует оценить значение экстремальной задачи
\begin{multline*}%\label{e2p}
\iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)x(t)|^p\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\
\iT|\varphi(t)x(t)|^p
\,d\mu(t)\le1.
\end{multline*}
В силу условия \eqref{cond10} Имеем
$$|\psi(t)x(t)-\alpha(t)x(t)|^p\le\lambda_2|\varphi(t)x(t)|^p.$$
Учитывая, что $|\psi(t)|^p\le\lambda_2|\varphi(t)|^p$ при $t\in T\setminus T_0$, получаем
$$\iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)x(t)|^p\,d\mu(t)
+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le\lambda_2.$$

Если $\lambda_1=0$, то $|\psi(t)|^p\le\lambda_2|\varphi(t)|^p$ для почти всех $t\in T$, и для метода $\wm(y)\cd=0$ имеем
$$\iT|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le\lambda_2.$$
Если $\lambda_2=0$, то $|\psi(t)|^p\le\lambda_1$ для почти всех $t\in T_0$ и $\psi(t)=0$ для почти всех $t\in T\setminus T_0$. Поэтому
\begin{multline*}
\iTn|\psi(t)x(t)-\psi(t)y(t)|^p\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\\
\le\lambda_1\iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\lambda_1\delta^p.
\end{multline*}
\end{proof}

Действие получаемых оптимальных методов можно представить как действие восстанавливаемого оператора, умноженное на некоторую функцию, которую можно трактовать как фильтр или сглаживающий множитель. Например, для \eqref{opt} метод имеет вид
%\begin{equation}\label{metp}
$$\wm(y)(t)=\begin{cases}\dfrac{\lambda_1\psi(t)}{\lambda_1+\lambda_2|\varphi(t)|^p} y(t),&t\in T_0,\\
0,&t\notin T_0,\end{cases}$$
%\end{equation}
и в качестве такого фильтра выступает функция
$$\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2|\varphi(t)|^p}.$$
Нас будет интересовать множества, для которых можно обойтись без фильтрования, т.е. положить этот множитель равным $1$. И, кроме того, мы будем интересоваться насколько можно уменьшить исходное множество, на котором задается неточная информация о функции, не увеличивая погрешность оптимального восстановления. Иными словами, мы хотим найти множества, на которых можно положить $\alpha(t)=\psi(t)$ и $\alpha(t)=0$.


Положим
$$T^0=\{\,t\in T_0:|\psi(t)|\le\lambda_2^{1/p}|\varphi(t)|\,\},\quad T^1=\{\,t\in T_0:|\psi(t)|\le\lambda_1^{1/p}\,\}.$$

\begin{corollary}\label{K1}
При $\delta>0$, $\lambda_1,\lambda_2>0$, методы
$$\wm(y)(t)=\begin{cases}\psi(t)y(t),&t\in T^1,\\
\alpha(t)y(t),&t\in T_0\setminus(T^1\cup T^0),\\
0,&t\in T^0\cup(T\setminus T_0),\end{cases}$$
где $\alpha\cd$ удовлетворяют условиям \eqref{condp} являются оптимальными. При $\delta=0$ методы
$$\wm(y)(t)=\begin{cases}\psi(t)y(t),&t\in T_0\setminus T^0,\\
0,&t\in T^0\cup(T\setminus T_0),\end{cases}$$
являются оптимальными.
\end{corollary}

Из следствия~\ref{K1} вытекает, что существуют оптимальные методы, которые используют неточно заданную информацию только на множестве $T_0\setminus T^0$. Иными словами, информация на множестве $T^0$ оказывается лишней в том смысле, что не уменьшает погрешность оптимального восстановления.

\section{Оптимальное восстановление функций по неточно заданному преобразованию Фурье}

Пусть $S$ --- пространство Шварца быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на $\mathbb R$, $S'$ --- соответствующее пространство обобщенных функций, $F\colon S'\to S'$ --- преобразование Фурье. Обозначим через $\mathcal F_p$ пространство обобщенных функций из $S'$, для которых
$$\|x\cd\|_p=\begin{cases}\displaystyle\left(\iR|Fx(\xi)|^p\,d\xi\right)^{1/p}
<\infty,&1\le p<\infty,\\
\displaystyle\vraisup_{\xi\in\mathbb R}|Fx(\xi)|,&p=\infty.\end{cases}$$
Положим
\begin{gather*}
\mathcal F_p^n=\{\,x\cd\in S':\|x^{(n)}\cd\|_p<\infty\,\},\\
F_p^n=\{\,x\in\mathcal F^n_p:\|x^{(n)}\cd\|_p\le1\,\}.
\end{gather*}

Допустим, что для функции $x\cd\in F_r^n\cap\mathcal F_p$ известно на интервале $\Ds=(-\sigma,\sigma)$, $0<\sigma\le\infty$, ее преобразование Фурье с точностью до $\delta\ge0$ в метрике $\Lps$, т.~е. известна функция $y\cd\in\Lps$ такая, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lps}\le\delta$. Как наилучшим образом воспользоваться этой информацией, чтобы для $0\le k<n$ восстановить $k$-ую производную функции в метрике $\mathcal F_q$? Под методами восстановления здесь понимаются всевозможные отображения $m\colon\Lps\to\mathcal F_q$. Погрешностью метода называется величина
$$e_{pqr}(m)=\sup_{\substack{x\cd\in F_r^n\cap\mathcal F_p,\ y\cd\in\Lps\\\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lps}\le\delta}}\|x^{(k)}\cd-m(y)\cd\|_p.$$
Погрешность оптимального восстановления определяется следующим образом
$$E_{pqr}=\inf_{m\colon\Lps\to\mathcal F_q}e_{pqr}(m),$$
а метод, на котором эта нижняя грань достигается, называется оптимальным.


Легко понять, что эта задача является частным случаем общей задачи, рассмотренной выше, в которой $T=\mathbb R$, $T_0=\Ds$, $\psi(\xi)=(i\xi)^k$, $\varphi(\xi)=(i\xi)^n$. Применим полученные общие результаты к рассматриваемой задаче.

Начнем со случая $1\le r=q<p<\infty$ и $\delta>0$. Положим
$$B=B\left(\frac{k+1/q-1/p}{(n-k)(1-q/p)},\frac{2-q/p}{1-q/p}\right),$$
где $B(\cdot,\cdot)$ --- $B$-функция Эйлера, и
$$\ws_\delta=\left(\left(\frac q{2B}\right)^{1/q-1/p}\frac{(n-k)^{2/q-1/p}}{\delta(k+1/q-1/p)^{1/q}}\right)
^{\frac1{n+1/q-1/p}}.$$

\begin{theorem}
Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $1\le q<p<\infty$, $\delta>0$ и $\sigma\ge\ws_\delta$.
Тогда
$$E_{pqq}=\left(\frac{n+1/q-1/p}{k+1/q-1/p}\right)^{\frac1q}\ws_\delta^{-(n-k)},$$
а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^k\left(1-\left(|\xi|/\ws_\delta
\right)^{q(n-k)}\right)y(\xi),&|\xi|<\ws_\delta,\\
0,&|\xi|\ge\ws_\delta,\end{cases}$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}

Рассмотрим уравнение \eqref{aaa}, в котором положим $\wl_2=s^{-q(n-k)}$, где параметр $s\le\sigma$ определим позже. Имеем
\begin{multline*}%\label{aaa}
\biggl(\int_{-s}^s\left(|\xi|^{kq}-\frac{|\xi|^{nq}}{s^{q(n-k)}}\right)^
{\frac p{p-q}}\,d\xi\biggr)^{1/p}\\
=\delta\biggl(\int_{-s}^s|\xi|^{nq}\left(|\xi|^{kq}-\frac{|\xi|^{nq}}
{s^{q(n-k)}}\right)^{\frac q{p-q}}\,d\xi\biggr)^{1/q}.
\end{multline*}
Сделав замену $\xi=su$, получим уравнение
\begin{multline*}%\label{aaa}
2^{\frac1p}s^{\frac1p}\biggl(\int_0^1u^{\frac{kpq}{p-q}}\left(1-u^{q(n-k)}\right)^
{\frac p{p-q}}\,du\biggr)^{1/p}\\
=2^{\frac1q}s^{\frac1q+n}\biggl(\int_0^1u^{nq+\frac{kq^2}{p-q}}\left(1-u^{q(n-k)}
\right)^{\frac q{p-q}}\,du\biggr)^{1/q}.
\end{multline*}
Чтобы перейти к $B$-функциям, сделаем замену $t=u^{(n-k)q}$. Получаем
\begin{multline*}%\label{aaa}
\left(\frac{2s}{q(n-k)}\right)^{\frac1p}B^{1/p}\left(\frac{k+1/q-1/p}{(n-k)(1-q/p)},
\frac{2-q/p}{1-q/p}\right)\\
=\delta s^n\left(\frac{2s}{q(n-k)}\right)^{\frac1q}B^{1/q}\left(\frac{k+1/q-1/p}
{(n-k)(1-q/p)}+1,\frac{2-q/p}{1-q/p}-1\right).
\end{multline*}
Пользуясь известным равенством
$$B(a+1,b-1)=\frac a{b-1}B(a,b),$$
находим, что $s=\ws_\delta$. Далее применяем теорему~\ref{T1}.
\end{proof}

Отметим, что случай, когда $\sigma<\ws_\delta$, требует более тонкого исследования. При $q=2$ оно было проведено в работе \cite{MO3}, в которой также содержится утверждение доказанной теоремы для $q=2$.

Пусть теперь $1\le p=q<r<\infty$, $1\le k<n$, $\sigma=+\infty$ и $\delta>0$. Положим
$$\wss_\delta=\left(\left(\frac {2B_1}p\right)^{1/p-1/r}\frac{(n-k-1/p+1/r)^{1/p}}{\delta k^{2/p-1/r}}\right)
^{\frac1{n-1/p+1/r}},$$
где
$$B_1=B\left(\frac{n-k-1/p+1/r}{k(1-p/r)},\frac{2-p/r}{1-p/r}\right).$$

\begin{theorem}
Пусть $k,n\in\mathbb N$, $1\le k<n$, $1\le p<r<\infty$, $\sigma=+\infty$ и $\delta>0$.
Тогда
$$E_{ppr}=\left(\frac{n-1/p+1/r}{n-k-1/p+1/r}\right)^{\frac1p}\wss_\delta^k\delta,$$
а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^ky(\xi),&|\xi|<\wss_\delta,\\
(i\xi)^k\left(\wss_\delta/|\xi|\right)^{kp}y(\xi),&|\xi|\ge\wss_\delta,
\end{cases}$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим уравнение \eqref{bbb}, в котором положим $\wl_1=s^{kp}$, где параметр $s$ определим позже. Имеем
\begin{multline*}%\label{aaa}
\biggl(\int_{|\xi|\ge s}|\xi|^{\frac{npr}{p-r}}\left(|\xi|^{kp}-s^{kp}\right)^
{\frac p{r-p}}\,d\xi\biggr)^{1/p}\\
=\delta\biggl(\int_{|\xi|\ge s}|\xi|^{\frac{npr}{p-r}}\left(|\xi|^{kp}-s^{kp}\right)^
{\frac r{r-p}}\,d\xi\biggr)^{1/r}.
\end{multline*}
Сделав замену $\xi=s/u$, получим уравнение
\begin{multline*}%\label{aaa}
2^{\frac1p}s^{\frac1p}\biggl(\int_0^1u^{\frac{pr(n-k)}{r-p}+kp-2}\left(1-u^{kp}\right)^
{\frac p{r-p}}\,du\biggr)^{1/p}\\
=2^{\frac1r}s^{\frac1r+n}\biggl(\int_0^1u^{\frac{pr(n-k)}{r-p}-2}\left(1-u^{kp}\right)^
{\frac r{r-p}}\,du\biggr)^{1/r}.
\end{multline*}
Чтобы перейти к $B$-функциям, сделаем замену $t=u^{kp}$. Получаем
\begin{multline*}%\label{aaa}
\left(\frac{2s}{kp}\right)^{\frac1p}B^{1/p}
\left(\frac{n-k-1/p+1/r}{k(1-p/r)}+1,\frac{2-p/r}{1-p/r}-1\right)\\
=\delta s^n\left(\frac{2s}{kp}\right)^{\frac1r}B^{1/r}
\left(\frac{n-k-1/p+1/r}{k(1-p/r)},\frac{2-p/r}{1-p/r}\right).
\end{multline*}
Отсюда $s=\wss_\delta$. Остается воспользоваться теоремой~\ref{T2}.
\end{proof}


Рассмотрим случай, когда $1\le q<p=r<\infty$.
\begin{theorem}
Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $1\le q<p<\infty$, $\sigma<+\infty$, $\delta>0$ и $\wa$ удовлетворяет равенству
\begin{multline*}%\label{aaa}
\int_0^\sigma(1-\delta^p\xi^{np})\left(\frac{\xi^{kq}}{\wa+\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi\\
=\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}.
\end{multline*}
Тогда
$$E_{pqp}=\biggl(2\int_0^\sigma\frac{\xi^{\frac{kpq}{p-q}}}{(1+\wa\xi^{np})^{\frac p{p-q}}}\,dt\biggr)^{1/q-1/p}(\wa+\delta^{-p})^{1/q}\delta,$$
а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\begin{cases}\dfrac{\wa(i\xi)^k}{\wa+|\xi|^{np}}y(\xi),&|\xi|<\sigma,\\
0,&|\xi|\ge\sigma,
\end{cases}$$
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Уравнение \eqref{aaa3} для рассматриваемого случая будет иметь вид
\begin{multline*}%\label{aaa}
\int_0^\sigma\left(\frac{\xi^{kq}}{1+\wl_2\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi
=\delta^p\int_0^\sigma\xi^{np}\left(\frac{\xi^{kq}}{1+\wl_2\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi\\
+\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\wl_2^{\frac p{p-q}}\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}.
\end{multline*}
Положив $a=\wl_2^{-1}$, получим уравнение $f(a)=0$, где
\begin{multline*}%\label{aaa}
f(a)=\int_0^\sigma(1-\delta^p\xi^{np})\left(\frac{\xi^{kq}}{a+\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi\\
-\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}.
\end{multline*}

Нетрудно убедиться, что $f(a)\to+\infty$ при $a\to0$ и
$$f(a)\to-\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}$$
при $a\to+\infty$. В силу непрерывности функции $\cd$ существует значение $\wa>0$, для которого $f(\wa)=0$. Далее применяется теорема~\ref{T3}.
\end{proof}

При $\sigma=+\infty$ можно явно решить уравнение \eqref{aaa3}. В этом случае имеет место следующее утверждение.

\begin{theorem}
Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $1\le q<p<\infty$, $\delta>0$ и $\sigma=+\infty$. Тогда
$$E_{pqp}=\left(\frac n{n-K}\right)^{1/q}\left(\frac{2B_2}{np}\right)^{1/q-1/p}\left(\frac{n-K}K\right)^{\frac K{np}}\delta^{1-K/n},$$
где
$$K=k+\frac1q-\frac1p,\quad B_2=B\left(\frac{\dfrac Knq/p}{1-q/p},\frac{1-\dfrac Knq/p}{1-q/p}\right),$$
а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\frac{(i\xi)^k}{1+\dfrac K{n-K}\delta^p|\xi|^{np}}y(\xi),$$
является оптимальным.
\end{theorem}

Рассмотрим, наконец, случай, когда $1<p=q=r<\infty$. В случае, когда $\sigma=+\infty$, а $\delta=0$, задача восстановления становится тривиальной, т.к. известна вся информация о функции. Поэтому этот случай в дальнейшем исключен из рассмотрения. Положим при $k\ge1$
\begin{gather*}
\ws=\begin{cases}\left(\dfrac nk\right)^{\frac1{p(n-k)}}\delta^{-1/n},&\delta>0,\\[10pt]
+\infty,&\delta=0,\end{cases}\\
\lambda_1=\begin{cases}\dfrac{n-k}n\delta^{-pk/n},&\sigma\ge\ws,\\
\sigma^{kp}\left(\dfrac kn\right)^{\frac k{n-k}}\dfrac{n-k}n,&\sigma<\ws\end{cases}\quad\lambda_2=
\begin{cases}\dfrac kn\delta^{p(n-k)/n},&\sigma\ge\ws,\\[10pt]
\sigma^{-p(n-k)},&\sigma<\ws.\end{cases}
\end{gather*}
При $k=0$ положим $\lambda_1=1$,
$$\lambda_2=\begin{cases}\sigma^{-pn},&\sigma<+\infty,\\
0,&\sigma=+\infty\end{cases}.$$

\begin{theorem}
Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k<n$ и $1\le p<\infty$. Тогда
$$E_{ppp}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$
При этом методы $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\begin{cases}\alpha(\xi)y(\xi),&|\xi|<\sigma,\\
0,&|\xi|\ge\sigma,
\end{cases}$$
а $\alpha\cd$ почти для всех $\xi\in \Delta_\sigma$ при $\delta>0$, $\lambda_2>0$, удовлетворяют условию
\begin{equation}\label{condp1}
\begin{cases}\dfrac{|(i\xi)^k-\alpha(\xi)|^{p'}}{\lambda_2^{p'/p}
|\xi|^{p'n}}+
\dfrac{|\alpha(\xi)|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}}\le1,&1<p<\infty,\ 1/p+1/p'=1,\\[14pt]
\dfrac{|(i\xi)^k-\alpha(\xi)|}{\lambda_2|\xi|^n}\le1,\quad\dfrac{|\alpha(\xi)|}
{\lambda_1}\le1,&p=1,\end{cases}
\end{equation}
а при $1\le p<\infty$, $\delta=0$, --- условию
%\begin{equation}\label{cond101}
$$|(i\xi)^k-\alpha(\xi)|\le\lambda_2^{1/p}|\xi|^n,$$
%\end{equation}
являются оптимальными. При $\lambda_2=0$ метод $\wm(y)\cd=F^{-1}y\cd$ --- оптимальный.
\end{theorem}

\begin{proof}
Экстремальная задача \eqref{aaa4} имеет в этом случае вид
\begin{multline}\label{aaa5}
\iR|\xi|^{kp}|Fx(\xi)|^p\,d\xi\to\max,\quad\iD|Fx(\xi)|^p\,d\xi\le\delta^p,\\
\iR|\xi|^{np}|Fx(\xi)|^p\,d\xi\le1.
\end{multline}

Зададим в плоскости $(u,v)$ кривую $v=u^{k/n}$ в параметрическом виде
\begin{equation}\label{uv3}
\begin{cases}u=|\xi|^{np},&\\
v=|\xi|^{kp},\end{cases}\quad\xi\in\mathbb R.
\end{equation}
Пусть $k\ge1$, $\delta>0$. Касательная к этой кривой в точке $u=\delta^{-p}$ имеет вид $v=\lambda_1+\lambda_2u$, где
$$\lambda_1=\frac{n-k}n\delta^{-pk/n},\quad\lambda_2=\frac kn\delta^{p(n-k)/n}.$$
В силу вогнутости кривой \eqref{uv3} для всех $\xi\in\mathbb R$
$$-|\xi|^{kp}+\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{np}\ge0.$$
Если $\sigma\ge\ws$, то для всех $\xi\in\mathbb R$
\begin{equation}\label{ab}
-|\xi|^{kp}+\lambda_1\chi_\sigma(\xi)+\lambda_2|\xi|^{np}\ge0,
\end{equation}
где $\chi_\sigma\cd$ --- характеристическая функция $\Delta_\sigma$.

Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon>0$ функцию $x_\varepsilon\cd$ такую, что
$$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}\delta/\varepsilon^{1/p},&\xi\in\left(\delta^{-1/n}
-\varepsilon,\delta^{-1/n}\right),\\
0,&\xi\notin\left(\delta^{-1/n}
-\varepsilon,\delta^{-1/n}\right).\end{cases}$$
Тогда
%\begin{equation}\label{xe}
$$\iD|Fx_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p,$$
%\end{equation}
а
$$\iR|\xi|^{np}|Fx_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}{\varepsilon}
\int_{\delta^{-1/n}
-\varepsilon}^{\delta^{-1/n}}\xi^{np}\,d\xi\le1.$$
Таким образом, функция $x_\varepsilon\cd$ является допустимой в \eqref{aaa5} и, следовательно,
$$E^p_{ppp}\ge\iR|\xi|^{kp}|Fx_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}{\varepsilon}
\int_{\delta^{-1/n}
-\varepsilon}^{\delta^{-1/n}}\xi^{kp}\,d\xi.$$
Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем
$$E_{ppp}\ge\delta^{1-k/n}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$

Если $k\ge1$, $\delta\ge0$ и $\sigma<\ws$, проведем касательную к кривой \eqref{uv3} в точке
$$u=\sigma^{np}\left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}.$$
Она будет иметь вид $v=\lambda_1+\lambda_2v$, где
$$\lambda_1=\sigma^{kp}\left(\frac kn\right)^{\frac k{n-k}}\frac{n-k}n,\quad\lambda_2=\sigma^{-p(n-k)}.$$
В силу вогнутости кривой \eqref{uv3} и того, что при $|\xi|>\sigma$ \ $\lambda_2|\xi|^{pn}>\lambda_2|\xi|^{pk}$, неравенство \eqref{ab} (с новыми $\lambda_1$ и $\lambda_2$) выполнено. Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ функцию $x_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\cd$ такую, что
$$Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)=\begin{cases}\delta/\varepsilon_1^{1/p},
&\xi\in(\xi_0,\xi_0+\varepsilon_1),\\
c^{1/p},&\xi\in(\sigma,\sigma+\varepsilon_2),\\
0,&\xi\notin(\xi_0,\xi_0+\varepsilon_1)\cup(\sigma,\sigma+\varepsilon_2),\end{cases}$$
где
$$\xi_0=\sigma\left(\frac kn\right)^{\frac1{p(n-k)}},$$
а число $c$ определим позже. Тогда
$$\iD|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p,$$
а
$$\iR|\xi|^{np}|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}
{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+\varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi+
c\int_\sigma^{\sigma+\varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi.$$
При $\varepsilon_1\to0$ и $\delta>0$
$$\frac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+
\varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi\to\delta^p\xi_0^{np}=\delta^p\sigma^{np}
\left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}<\delta^p\ws^{np}
\left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}=1.$$
Поэтому при $\delta\ge0$, положив
$$c=\frac{1-\dfrac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+
\varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi}{\int_\sigma^{\sigma+
\varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi},$$
получим, что
$$\iR|\xi|^{np}|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=1.$$
Тем самым функция $x_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\cd$ является допустимой в \eqref{aaa5} и, следовательно,
\begin{multline*}
E^p_{ppp}\ge\iR|\xi|^{kp}|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=
\frac{\delta^p}
{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+\varepsilon_1}\xi^{kp}\,d\xi\\
+\left(1-\dfrac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+
\varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi\right)\frac{\int_\sigma^{\sigma+
\varepsilon_2}\xi^{kp}\,d\xi}{\int_\sigma^{\sigma+
\varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi}.
\end{multline*}
Устремляя $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ к нулю, получаем
$$E_{ppp}\ge(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$

Пусть $k=0$ и $\sigma<+\infty$. Тогда $\lambda_1=1$, $\lambda_2=\sigma^{-pn}$. Легко проверить, что неравенство \eqref{ab} выполняется и в этом случае. Рассмотрев ту же функцию $x_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ (c $\xi_0=0$), несложно показать, что она допустима в задаче \eqref{aaa5}. Поэтому
\begin{multline*}
E^p_{ppp}\ge\iR|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=
\delta^p+\left(1-\dfrac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_0^{\varepsilon_1}\xi^{np}\,
d\xi\right)\frac{\varepsilon_2}{\int_\sigma^{\sigma+
\varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi}.
\end{multline*}
Устремляя $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ к нулю, получаем
$$E_{ppp}\ge(\delta^p+\sigma^{-pn})^{1/p}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$

Остается рассмотреть случай, когда $k=0$, и $\sigma=+\infty$. Тогда $\lambda_1=1$, $\lambda_2=0$. Неравенство \eqref{ab} очевидным образом выполнено. Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon>0$ функцию $x_\varepsilon\cd$ такую, что
$$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}\delta/\varepsilon^{1/p},&\xi\in(0,
\varepsilon),\\
0,&\xi\notin(0,
\varepsilon).\end{cases}$$
Тогда
$$\iR|Fx_{\varepsilon}(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p,$$
а
$$\iR|\xi|^{np}|Fx_{\varepsilon}(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}\varepsilon\int_0^
\varepsilon\xi^{np}\,d\xi\to0$$
при $\varepsilon\to0$. Тем самым для достаточно малых $\varepsilon>0$ функция $x_\varepsilon\cd$ допустима в задаче \eqref{aaa5}. Поэтому
$$E^p_{ppp}\ge\iR|Fx_{\varepsilon}(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p=
\lambda_1\delta^p+\lambda_2.$$

Теперь утверждение доказываемой теоремы вытекает из теоремы~\ref{T4}.
\end{proof}

Аналогично следствию~\ref{K1} получаем

\begin{corollary}
При $k\ge1$, $\delta>0$, методы
$\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^ky(\xi),&|\xi|\le\theta\sigma_0,\\
(i\xi)^k\alpha(\xi)y(\xi),&\theta\sigma_0<|\xi|<\sigma_0,\\
0,&|\xi|\ge\sigma_0,
\end{cases}$$
$$\theta=\left(\frac{n-k}n\right)^{\frac1{kp}}
\left(\frac kn\right)^{\frac1{p(n-k)}},\quad\sigma_0=\min\{\sigma,\ws\},$$
а $\alpha\cd$ удовлетворяют условиям \eqref{condp1} являются оптимальными. При $\delta=0$ или $k=0$ метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где
$$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^ky(\xi),&|\xi|\le\sigma,\\
0,&|\xi|\ge\sigma,
\end{cases}$$
--- оптимальный.
\end{corollary}

При $p=2$ соответствующая задача о восстановлении производной на соболевском классе $W_2^n=F_2^n$ исследовалась в работе \cite{MO2} (см. также \cite{MO4}).

\section{Дискретный случай}

Если $T=\mathbb N$ и $\mu(\{j\})=1$, то соответствующее пространство $\lp$, $1\le p<\infty$,  совпадает с пространством $l_p$, представляющим из себя совокупность векторов $x=(x_1,x_2,\ldots)$ таких, что
$$\|x\|_{l_p}=\biggl(\sum_{j=1}^\infty|x_j|^p\biggr)^{1/p}<\infty.$$
Положим
\begin{gather*}
\mathcal W_p=\biggl\{\,x\in l_p :\sum_{j=1}^\infty|\nu_jx_j|^p<\infty\,\biggr\},\\ W_p=\biggl\{\,x\in\mathcal W_p :\sum_{j=1}^\infty|\nu_jx_j|^p\le1\,\biggr\}.
\end{gather*}
Пусть задан оператор $\Lambda\colon\mathcal W_p\to l_p$
$$\Lambda x=(\mu_0x_0,\mu_1x_1,\ldots),$$
где последовательность $|\mu_j|/|\nu_j|$ для достаточно больших $j$ ограничена (из этого условия вытекает, что $\Lambda x\in l_p$ для всех $x\in\mathcal W_p$).

Рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора $T$ на множестве $W_p$ по неточно заданным координатам $x_1,\ldots,x_N$. Точнее, предполагается,
что для любого $x\in W_p$ известен вектор $y=(y_1,\ldots,y_N)$,
$j=1,\ldots,N$, такой, что $\|\ox-y\|_{l_p^N}\le\delta$, где $\ox=(x_1,\ldots,x_N)$,а
$$\|x\|_{l_p^N}=\biggl(\sum_{j=1}^N|x_j|^p\biggr)^{1/p}.$$
По вектору $y$ надо восстановить наиболее точно значение $\Lambda x$.

Под методами восстановления здесь понимаются всевозможные отображения $m\colon l_p^N\to l_p$. В соответствии с общей постановкой погрешностью метода называется величина
$$e_p(m)=\sup_{\substack{x\in W_p,\ y\in l_p^N\\\|\ox-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|\Lambda x-m(y)\|_{l_p}.$$
Погрешность оптимального восстановления определяется следующим образом
$$E_p=\inf_{m\colon l_p^N\to l_p}e_p(m),$$
а метод, на котором эта нижняя грань достигается, называется оптимальным.

Будем предполагать, что $\nu_j\ne0$ для всех $j\ge N+1$. Положим
\begin{gather*}
\lambda=\sup_{j\ge N+1}\frac{|\mu_j|^p}{|\nu_j|^p},\\
M=\co\{(0,0)\cup\{(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p)\}_{j\in\mathbb N}\}+\{(t,t\lambda)\mid t\ge0\},
\end{gather*}
где $\co\Omega$ --- выпуклая оболочка множества $\Omega$. Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ по правилу: $\theta(t)=\max\{x\mid(t,x)\in M\}$. Ясно, что $\theta\cd$
--- вогнутая ломаная (см. рис.~\ref{ris}).

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(350,200)
\put(0,10){\vector(1,0){300}}
\put(10,0){\vector(0,1){200}}
\put(0,192){$x$}
\put(294,0){$t$}
\put(10,10){\line(1,3){20}}
\put(30,70){\circle*{4}}
\put(30,70){\line(1,2){20}}
\put(50,110){\circle*{4}}
\put(50,110){\line(1,1){40}}
\put(90,150){\circle*{4}}
\put(90,150){\line(3,1){60}}
\put(150,170){\circle*{4}}
\put(150,170){\line(6,1){100}}
%\put(10,10){\line(1,1){170}}
\put(10,10){\line(6,1){260}}
\put(30,10){\circle*{2}}
\put(15,-2){$|\nu_{s_1}|^p$}
\put(42,-2){$|\nu_{s_2}|^p$}
\put(50,10){\circle*{2}}
\put(90,10){\circle*{2}}
\put(81,-2){$|\nu_{s_3}|^p$}
\put(150,10){\circle*{2}}
\put(140,-2){$|\nu_{s_4}|^p$}
\put(190,40){\circle{4}}
\put(182,-2){$|\nu_q|^p$}
\put(190,10){\circle*{2}}
%\put(70,100){$D_1$}
\put(120,100){\circle*{4}}
\put(96,120){\circle*{4}}
\put(35,50){\circle*{4}}
\put(60,40){\circle*{4}}
\put(140,160){\circle*{4}}
\put(190,170){\circle*{4}}
\put(180,70){\circle*{4}}
\put(180,70){\circle*{4}}
\put(100,15){\circle{4}}
\put(130,25){\circle{4}}
\put(200,15){\circle{4}}
\put(260,40){\circle{4}}
\put(230,142){\circle*{4}}
\put(120,170){$\theta(t)$}
\put(240,140){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j\le N$}
\put(230,122){\circle{4}}
\put(240,120){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j>N$}
\put(78,15){\circle*{4}}
\put(156,25){\circle*{4}}
\multiput(30,10)(0,4){16}{\circle*{1}}
\multiput(50,10)(0,4){26}{\circle*{1}}
\multiput(90,10)(0,4){36}{\circle*{1}}
\multiput(150,10)(0,4){40}{\circle*{1}}
\multiput(190,10)(0,4){8}{\circle*{1}}
%\put(60,120){\circle*{4}}
\put(55,63){\circle*{4}}
\end{picture}$$
\caption{}\label{ris}
\end{figure}

\begin{theorem}\label{T10}
При всех $\delta>0$
$$E_p=\delta\theta^{1/p}(\delta^{-p}).$$
Пусть $\delta>0$ и $\delta^{-p}$ принадлежит тому промежутку на $\mathbb R_+$, где $\theta\cd$ задается уравнением $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$. Если $\lambda_1,\lambda_2>0$, то для всех $\alpha_j$, $1\le j\le N$, удовлетворяющих условию
\begin{equation}\label{bi}
\begin{cases}\dfrac{|\mu_j-\alpha_j|^{p'}}
{|\nu_j|^{p'}\lambda_2^{p'/p}}+\dfrac{|\alpha_j|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}}
\le1,&1<p<\infty,\ 1/p+1/p'=1,\\
\dfrac{|\mu_j-\alpha_j|}
{|\nu_j|\lambda_2}\le1,\quad\dfrac{|\alpha_j|}{\lambda_1}\le1,&p=1,\end{cases}
\end{equation}
методы
\begin{equation}\label{metd}
\wm(y)=(\alpha_1y_1,\ldots,\alpha_Ny_N,0,\ldots)
\end{equation}
являются оптимальными. Если $\lambda_1=0$, то $\wm(y)=0$ --- оптимальный метод, а если $\lambda_2=0$, то
$$\wm(y)=(y_1,\ldots,y_N,0,\ldots)$$
--- оптимальный метод. Если $\delta=0$, то $E_p=\lambda^{1/p}$ и все методы \eqref{metd}, в которых
$$|\mu_j-\alpha_j|\le|\nu_j|\lambda^{1/p},$$
являются оптимальными.
\end{theorem}

\begin{proof}
Экстремальная задача \eqref{aaa4} в рассматриваемом случае имеет вид
\begin{equation}\label{p1}
\sum_{j=1}^\infty|\mu_jx_j|^p\to\max,\quad\sum_{j=1}^N|x_j|^p\le\delta^p,\quad
\sum_{j=1}^\infty|\nu_jx_j|^p\le1.
\end{equation}
В силу определения множества $M$ и функции $\theta\cd$, если на каком-нибудь из промежутков ломаная $\theta\cd$ задается уравнением $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$, то $\lambda_1\ge0$, $0\le\lambda_2\le\lambda$ и при всех $j\in\mathbb N$ выполнено неравенство
$$-|\mu_j|^p+\lambda_1\chi_j+\lambda_2|\nu_j|^p\ge0,$$
где
$$\chi_j=\begin{cases}1,&1\le j\le N,\\
0,&j>N.\end{cases}$$
Пусть $0<|\nu_{s_1}|^p<\ldots<|\nu_{s_k}|^p$ --- аргументы точек излома ломаной $\theta\cd$. Предположим, что $|\nu_{s_{l-1}}|\le\delta^{-1}<|\nu_{s_l}|$ при некотором $l$, $1<l\le k$, а функция $\theta\cd$ при $|\nu_{s_{l-1}}|^p\le t\le|\nu_{s_l}|^p$ имеет вид $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$. Положим $\wx_j=0$, $j\ne s_{l-1},s_l$,
$$\wx_{s_{l-1}}=\left(\frac{\delta^p|\nu_{s_l}|^p-1}{|\nu_{s_l}|^p-|\nu_{s_{l-1}}|^p}
\right)^{1/p}
,\quad
\wx_{s_l}=\left(\frac{1-\delta^p|\nu_{s_{l-1}}|^p}{|\nu_{s_l}|^p-|\nu_{s_{l-1}}|^p}
\right)^{1/p}.$$
В силу того, что
\begin{align*}
|\wx_{s_{l-1}}|^p+|\wx_{s_l}|^p&=\delta^p,\\
|\nu_{s_{l-1}}\wx_{s_{l-1}}|^p+|\nu_{s_l}\wx_{s_l}|^p&=1,
\end{align*}
$\wx=(\wx_1,\wx_2,\ldots)$ является допустимым элементом в задаче \eqref{p1}. Тем самым значение этой задачи оценивается снизу величиной
\begin{equation}\label{ep}
|\mu_{s_{l-1}}|^p|\wx_{s_{l-1}}|^p+|\mu_{s_l}|^p|\wx_{s_l}|^p=
\lambda_1\delta^p+\lambda_2.
\end{equation}

Предположим теперь, что $\delta^{-1}<\nu_{s_1}$. Если существует $\nu_j=0$, $j\in\mathbb N$, то, выбрав $s_0$ из условия $\theta(0)=|\mu_{s_0}|^p$, $\nu_{s_0}=0$, те же рассуждения, что и выше, проведенные для $l=1$,  доказывают равенство \eqref{ep}, где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ таковы, что функция $\theta\cd$ на отрезке $[0,|\nu_{s_1}|^p]$ имеет вид $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$. Если $\nu_j>0$ при всех $j\in\mathbb N$, то $\lambda_1=0$ и $\theta(t)=\lambda_2t$ при $t\in[0,|\nu_{s_1}|^p]$. Тогда положим $\wx_j=0$, $j\ne s_1$, а $\wx_{s_1}=1/\nu_{s_1}$. Нетрудно убедиться, что $\wx$ является допустимым элементом в задаче \eqref{p1}. Следовательно, ее значение оценивается снизу величиной
$$|\mu_{s_1}|^p|\wx_{s_1}|^p=\lambda_2.$$

Пусть теперь $\delta\le|\nu_{s_k}|^{-1}$, а $\theta\cd$ на промежутке $[|\nu_{s_k}|^p,+\infty)$ имеет вид $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$. Ясно, что $\lambda_2=\lambda$, т.к. $|\nu_{s_k}|^p$ --- последняя точка излома $\theta\cd$. Из определения $\lambda$ вытекает, что для любого $\varepsilon>0$ существует $s_{k+1}\ge N+1$ такое, что
\begin{equation}\label{AA}
\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}>\lambda-\varepsilon.
\end{equation}
Положим $\wx_j=0$, $j\ne s_k,s_{k+1}$, а $\wx_{s_k}$ и $\wx_{s_{k+1}}$ выберем так, чтобы удовлетворялись равенства
\begin{align*}
|\wx_{s_k}|^p&=\delta^p,\\
|\nu_{s_k}\wx_{s_k}|^p+|\nu_{s_{k+1}}\wx_{s_{k+1}}|^p&=1.
\end{align*}
Очевидно, что $\wx$ является допустимым элементом в задаче \eqref{p1}. Следовательно, ее значение оценивается снизу величиной
\begin{multline*}
|\mu_{s_k}|^p|\wx_{s_k}|^p+|\mu_{s_{k+1}}|^p|\wx_{s_{k+1}}|^p=\lambda_1\delta^p+
\lambda_2-\left(\lambda-\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}\right)(1-
\delta^p|\nu_{s_k}|^p)\\
\ge\lambda_1\delta^p+
\lambda_2-\varepsilon(1-\delta^p|\nu_{s_k}|^p).
\end{multline*}
В силу произвольности $\varepsilon>0$ получаем, что значение задачи \eqref{p1} оценивается снизу величиной $\lambda_1\delta^p+\lambda_2$.

Предположим теперь, что изломов нет. Тогда $\theta\cd$ является прямой $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$ на $\mathbb R_+$. Очевидно, что в этом случае $\lambda_2=\lambda$. Для построения вектора $\wx$ рассмотрим два случая. Пусть сначала существует $s_0$ такое, что $\nu_{s_0}=0$ и $\theta(0)=|\mu_{s_0}|^p$. Тогда положим $\wx_j=0$, $j\ne s_0,s_{k+1}$, а $\wx_{s_0}$ и $\wx_{s_{k+1}}$ выберем так, чтобы удовлетворялись равенства
\begin{align*}
|\wx_{s_0}|^p&=\delta^p,\\
|\nu_{s_{k+1}}\wx_{s_{k+1}}|^p&=1
\end{align*}
(здесь $s_{k+1}$ то же, что и в \eqref{AA}). Тогда значение задачи \eqref{p1} оценивается снизу величиной
\begin{multline*}
|\mu_{s_0}|^p|\wx_{s_0}|^p+|\mu_{s_{k+1}}|^p|\wx_{s_{k+1}}|^p
=\\
\lambda_1\delta^p+\lambda_2-\left(\lambda-\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}
\right)>\lambda_1\delta^p+\lambda_2-\varepsilon.
\end{multline*}
Если же $\theta(0)=0$ (в этом случае $\lambda_1=0$), положим $\wx_j=0$, $j\ne s_{k+1}$, а $\wx_{s_{k+1}}=1/\nu_{s_{k+1}}$. Тогда значение оценивается величиной
$$|\mu_{s_{k+1}}|^p|\wx_{s_{k+1}}|^p=\lambda_2+
\left(\lambda-\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}\right)>\lambda_2-\varepsilon.$$
Следовательно, из-за произвольности $\varepsilon>0$ и в том, и в другом случаях получается оценка $\lambda_1\delta^p+\lambda_2$.

Применение теоремы~\ref{T4} завершает доказательство.
\end{proof}

Отметим, что в точках излома ломаной $\theta\cd$ \ $(|\nu_{s_l}|^p,|\mu_{s_l}|^p)$, $l=1,\ldots,k$, существует много опорных прямых к множеству $M$. Можно показать, что при $\delta=|\nu_{s_l}|^{-1}$ для всякой такой опорной прямой $\lambda_1+\lambda_2t$, для которой $\lambda_1,\lambda_2>0$, все методы \eqref{metd}, в которых $\alpha_j$, $j=1,\ldots,N$, удовлетворяют условию \eqref{bi} являются оптимальными.

\begin{corollary}\label{SS}
Пусть $\delta^{-p}$ принадлежит промежутку $\mathbb R_+$, на котором $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$, и $\lambda_1,\lambda_2>0$. Положим
$$D=\left\{\,j:|\mu_j|^p>|\nu_j|^p\lambda_2,\ 1\le j\le N\,\right\},\quad D_0=\{\,j\in D:|\mu_j|^p\le\lambda_1\,\}.$$
Тогда методы
$$\{\wm(y)\}_j=\begin{cases}\mu_jy_j,&j\in D_0,\\
\alpha_jy_j,&j\in D\setminus D_0,\\
0,&\mathbb N\setminus D,\end{cases}$$
где $\alpha_j$ удовлетворяют условиям \eqref{bi}, являются оптимальными.
\end{corollary}

Из следствия \ref{SS} вытекает, что полезная информация о неточно заданном векторе $x$ содержат координаты $x$, номера которых входят в множество $D$. При этом для номеров из множества $D_0$ можно применять метод, который действует на координаты так же, как и восстанавливаемый оператор. Вид множеств $D$ и $D_0$ показан на рис.~\ref{ris2}.

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(350,200)
\put(0,10){\vector(1,0){300}}
\put(10,0){\vector(0,1){200}}
\put(0,192){$x$}
\put(294,0){$t$}
\put(10,10){\line(1,3){20}}
\put(30,70){\circle*{4}}
\put(30,70){\line(1,2){20}}
\put(50,110){\circle*{4}}
\put(10,70){\line(1,1){100}}
\put(10,70){\line(1,0){60}}
\put(90,150){\circle*{4}}
\put(90,150){\line(3,1){60}}
\put(150,170){\circle*{4}}
\put(150,170){\line(6,1){100}}
\put(10,10){\line(1,1){170}}
\put(10,10){\line(6,1){260}}
\put(30,10){\circle*{2}}
\put(13,-2){$|\nu_{s_1}|^p$}
\put(40,-2){$|\nu_{s_2}|^p$}
\put(50,10){\circle*{2}}
\put(90,10){\circle*{2}}
\put(83,-2){$|\nu_{s_3}|^p$}
\put(150,10){\circle*{2}}
\put(140,-2){$|\nu_{s_4}|^p$}
\put(190,40){\circle{4}}
\put(182,-2){$|\nu_q|^p$}
\put(190,10){\circle*{2}}
\put(70,100){$D$}
\put(36,54){$D_0$}
\put(55,63){\circle*{4}}
\put(120,100){\circle*{4}}
\put(96,120){\circle*{4}}
\put(35,50){\circle*{4}}
\put(60,40){\circle*{4}}
\put(140,160){\circle*{4}}
\put(190,170){\circle*{4}}
\put(180,70){\circle*{4}}
\put(180,70){\circle*{4}}
\put(100,15){\circle{4}}
\put(130,25){\circle{4}}
\put(200,15){\circle{4}}
\put(260,40){\circle{4}}
\put(230,142){\circle*{4}}
\put(120,170){$\theta(t)$}
\put(240,140){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j\le N$}
\put(230,122){\circle{4}}
\put(240,120){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j>N$}
\put(78,15){\circle*{4}}
\put(156,25){\circle*{4}}
\multiput(30,10)(0,4){16}{\circle*{1}}
\multiput(50,10)(0,4){26}{\circle*{1}}
\multiput(90,10)(0,4){36}{\circle*{1}}
\multiput(150,10)(0,4){40}{\circle*{1}}
\multiput(190,10)(0,4){8}{\circle*{1}}
%\put(60,120){\circle*{4}}
\put(66,-2){$\delta^{-p}$}
\end{picture}$$
\caption{ }\label{ris2}
\end{figure}



Решение рассмотренной задачи восстановления в евклидовом случае при некоторых дополнительных условиях на $\mu_j$ и $\nu_j$ было получено в работе \cite{MO1}, а в более общей ситуации, но снова в рамках евклидового случая в работе \cite{VO} (и в том, и в другом случаях без получения семейства методов).

Применим теперь полученные в теореме~\ref{T10} результаты к примеру из работы \cite[теорема 12]{MR}. В этом примере $\mu_j=1$, $j\in\mathbb N$ (в действительности, в \cite{MR} рассматривались последовательности на $\mathbb Z$, но это не является существенным). Положим
$$B=\min_{1\le j\le N}|\nu_j|,\quad A=\inf_{j>N}|\nu_j|,\quad C=\frac BA$$
(будем считать, что $A>0$, т.к. в противном случае $E_p=+\infty$). Для введенной ранее величины $\lambda$ имеем $\lambda=1/A^p$.

Из теоремы~\ref{T10} получаем

\begin{theorem}
\

$1$. При $\delta=0$ \ $E_p=1/A$ и все методы \eqref{metd}, в которых
$$|1-\alpha_j|\le|\nu_j|/A,\quad j=1,\ldots,N,$$
являются оптимальными.

$2$. При $C=0$ \ $\theta(t)=1+t/A^p$, $E_p=(\delta^p+A^{-p})^{1/p}$ и все методы \eqref{metd}, в которых
%\begin{equation}\label{bi}
$$\begin{cases}\dfrac{A^{p'}}
{|\nu_j|^{p'}}|1-\alpha_j|^{p'}+|\alpha_j|^{p'}\le1,&1<p<\infty,\ 1/p+1/p'=1,\\
|1-\alpha_j|\le|\nu_j|/A,\quad|\alpha_j|\le1,&p=1,\end{cases}$$
%\end{equation}
являются оптимальными.

$3$. При $0<C<1$ и $\delta^{-1}\ge B$ \ $\theta(t)=1-C^p+t/A^p$, $$E_p=(\delta^p(1-C^p)+A^{-p})^{1/p}$$
и все методы \eqref{metd}, в которых
\begin{equation}\label{las}
\begin{cases}\dfrac{A^{p'}}
{|\nu_j|^{p'}}|1-\alpha_j|^{p'}+\dfrac{|\alpha_j|^{p'}}{(1-C^p)^{p'/p}}\le1,&1<p<\infty,\ 1/p+1/p'=1,\\
|1-\alpha_j|\le|\nu_j|/A,\quad|\alpha_j|\le(1-C),&p=1,\end{cases}
\end{equation}
являются оптимальными.

$4$. При $C\ge1$ \ $\theta(t)=t/A^p$, $E_p=1/A$, а при $0<C<1$ и $\delta^{-1}\le B$ \ $\theta(t)=t/B^p$, $E_p=1/B$ и метод $\wm(y)=0$ является оптимальным.
\end{theorem}

В \cite{MR} найдены следующие значения коэффициентов $\alpha_j$: $1,2$. $\alpha_j=1$; $3$. $\alpha_j=1-C^p$; $4$. $\alpha_j=0$.

Выясним теперь при каких $j$ можно положить $\alpha_j=0$ и $\alpha_j=1$. Положим
$$N_1=\{\,j\in\{1,\ldots,N\}:|\nu_j|<A\,\}.$$

\begin{corollary}
$1$. При $\delta=0$ или $C=0$ метод \eqref{metd}, в котором
$$\alpha_j=\begin{cases}1,&j\in N_1,\\
0,&j\notin N_1,\end{cases}$$
--- оптимальный.

$2$. При $0<C<1$ и $\delta^{-1}\ge B$ все методы \eqref{metd} в которых при $j\in N_1$ \ $\alpha_j$ удовлетворяют условию \eqref{las}, а при $j\notin N_1$ \ $\alpha_j=0$, являются оптимальными.
\end{corollary}

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Sm} Смоляк~С.~А. {\it Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них\/}, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

\bibitem{Ba} Бахвалов~Н.~С. ``Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций'', {\it ЖВМ и МФ\/}, {\bf11}:4 (1971), 1014--1018.

\bibitem{O} Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальная интерполяция аналитических функций'', {\it
Матем. заметки}, {\bf12}:4 (1972), 465--476.

\bibitem{MarO} Марчук~А.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Наилучшее приближение функций,
заданных с погрешностью в конечном числе точек'', {\it Матем.
заметки}, {\bf17}:3 (1975), 359--368.

\bibitem{O1} Осипенко~К.~Ю. ``Наилучшее приближение аналитических
функций по информации об их значениях в конечном числе точек'', {\it
Матем. заметки}, {\bf19}:1 (1976), 29--40.

\bibitem{MR} Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J. ``A survey of optimal
recovery''. In: Optimal Estimation in Approximation Theory
(C.~A.~Micchelli and T.~J.~Rivlin, eds.). Plenum Press, New York,
1977, 1--54.

\bibitem{Ar} Арестов~В.~В. ``Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи'', {\it Тр. Мат. ин-та АН СССР}, {\bf189} (1989),
3--20.

\bibitem{MO} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным'', {\it Матем.
заметки}, {\bf50}:6 (1991), 85--93.

\bibitem{TW} Traub J.~F., Wo\'zniakowski H. {\it A General Theory of
Optimal Algorithms}, New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{P} Plaskota~L. {\it Noisy Information and Computational Complexity},
Cambridge University Press, 1996.

\bibitem{Os1} Osipenko~K.~Yu. {\it Optimal Recovery of Analytic Functions},
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000.


\bibitem{MT1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М. {\it Выпуклый анализ и
его приложения}, М.: Эдиториал УРСС, 2003.

\bibitem{MT2} Magaril-Il'yaev~G.~G., Tichomirov~V.~M. {\it Convex
Analysis: Theory and Applications}, Translations of Math.
Monographs, vol. 222, AMS, Providence, RI, 2003.

\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J.
Numer. Anal.}, {\bf16} (1979) 87--105.

\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье,
заданным с погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002),
79--100.

\bibitem{MO2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его
прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.

\bibitem{O2} Осипенко~К.~Ю., ``Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа для
аналитических функций из пространств Харди--Соболева'', {\it Матем.
сб.}, {\bf197}:3 (2006), 15--34.

\bibitem{MO3} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?'', {\it Матем.
заметки}, {\bf92}:1 (2012), 59--67.

\bibitem{MO4} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа и восстановление производных по неточной информации'', {\it Докл. РАН}, {\bf 438}:3 (2011), 300--302.

\bibitem{VO} Выск~Н.~Д., Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным'', {\it Матем. заметки}, {\bf81}:6 (2007), 803--815.

\end{thebibliography}
\end{document} 