\documentclass[12pt,oneside,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\tolerance 1800
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wss}{\widehat s}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}


\title[Оптимальный гармонический синтез]{Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No08-01-00450 и
\No09-01-90360)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}

\maketitle

Работа посвящена построению семейства оптимальных методов
восстановления производных функций  по неточно заданному на конечном
отрезке преобразованию Фурье этих функций. Точная постановка задачи такова. Пусть $n\in\mathbb N$, $W_2^n(\mathbb R)$ --- соболевский класс функций $x\cd\in\Lt$, у которых $(n-1)$-ая производная локально абсолютно
непрерывна и $\|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1$. Пусть далее $\sigma>0$,
$\Delta_\sigma=[-\sigma,\sigma]$, $1\le k<n$ и $\delta>0$.
Допустим, что известно преобразование Фурье $Fx\cd$ функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$, заданное на $\Delta_\sigma$ с точностью до
$\delta$ в метрике $L_2(\Delta_\sigma)$, т.~е. известна функция
$y\cd\in L_2(\Delta_\sigma)$ такая, что
$\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta$. Как наилучшим
образом воспользоваться этой информацией, чтобы восстановить  ее
$k$-ую производную в метрике $\Lt$?


В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные
отображения $\varphi\colon L_2(\Delta_\sigma)\to \Lt$. Погрешностью
метода $\varphi$ называется величина
$$e(\varphi)=\sup_{\substack {x\cd\in W_2^n(\mathbb R),\
y\in
L_2(\Delta_\sigma)\\\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta}}
\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\Lt}.$$

Нас интересует величина
$$E=\inf_{m\colon L_2(\Delta_\sigma)\to \Lt}e(\varphi),$$
которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и
метод, на котором достигается нижняя грань, называемый {\it
оптимальным методом восстановления}.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $k,n$ --- целые, $1\le k<n$, $\sigma>0$, $\delta>0$,
$$\ws=\left(\dfrac
nk\right)^{\frac1{2(n-k)}}\left(\dfrac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac1{2n}}$$
и $\sigma_0=\min\{\sigma,\ws\}$. Тогда
\begin{equation}\label{e1}
E=\sigma_0^k\sqrt{\dfrac{n-k}{2 \pi n}\left(\dfrac kn\right)^{\frac
k{n-k}}\delta^2+\sigma_0^{2(k-n)}}.
\end{equation}
Для всех ограниченных функций  $m\cd$ таких, что
\begin{equation}\label{ea}
|m(\xi)-(i\xi)^k\alpha(\xi)|\le|\xi|^k\sqrt{\alpha^2(\xi)+\alpha(\xi)
\left(\left(\frac\xi{\sigma_0}\right)^{2(n-k)}-1\right)},
\end{equation}
где
$$\alpha(\xi)=\left(1+\dfrac
n{n-k} \left(\dfrac nk\right)^{\frac
k{n-k}}\left(\dfrac\xi{\sigma_0}\right)^{2n} \right)^{-1},$$
методы
\begin{equation}\label{am}
\varphi(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{\Ds}m(\xi)y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi
\end{equation}
являются оптимальными.
\end{theorem}
\begin{corollary}
При всех
$$0\le\sigma'\le\left(\frac{n-k}n\right)^{\frac1{2k}}
\left(\frac kn\right)^{\frac1{2(n-k)}}\sigma_0,$$ 
методы
\begin{equation}\label{var}
\varphi(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma'}(i\xi)^ky(\xi)
e^{i\xi t}\,d\xi\\
+\frac1{2\pi}\int_{\sigma'\le|\xi|\le\sigma_0}(i\xi)^k\alpha(\xi)
y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi
\end{equation}
являются оптимальными.
\end{corollary}

Оптимальные методы \eqref{var} характеризуются тем, что на промежутке $\sigma'\le|\xi|\le\sigma_0$ неточные исходные данные ``фильтруются'' с помощью функции $\alpha\cd$, а на промежутке $|\xi|\le\sigma'$ фильтрации не происходит.

\begin{proof}[Доказательство теоремы]
Несложная оценка показывает, что $E^2$ не меньше значения следующей
задачи
$$
\|x^{(k)}\cd\|^2_{\Lt}\to\max,\quad
\|Fx\cd\|^2_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta^2,\quad
\|x^{(n)}\cd\|^2_{\Lt}\le1,
$$
или в образах Фурье
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\iR\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,
\quad\int_{\Delta_\sigma}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\\
\frac1{2\pi}\iR\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.
\end{multline*}
У этой задачи нет решения, но, тем не менее, ее значение можно найти
(используя соображения двойственности, поскольку относительно
переменной $|Fx\cd|^2$ это задача линейного программирования, см.
\cite{MT1}) и оно равно квадрату величины, стоящей в правой части
\eqref{e1}, что дает оценку снизу величины $E$.

Если $\varphi$ --- некоторый метод, то величина $e^2(\varphi)$
равна, по определению, значению задачи
\begin{multline}\label{tt}
\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|^2_{\Lt}\to\max,\quad
\|Fx\cd-y\cd\|^2_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta^2,\\ y\cd\in
L_2(\Delta_\sigma),\quad \|x^{(n)}\cd\|^2_{\Lt}\le1.
\end{multline}
Покажем, что если метод $\varphi$ в образах Фурье есть умножение на
ограниченную функцию $m\cd$, удовлетворяющую условию \eqref{ea}, то
значение задачи \eqref{tt} не превосходит $E^2$ и тем самым
$\varphi$ --- оптимальный метод.

Итак, пусть $\varphi$ --- метод указанного вида. Тогда в образах
Фурье задача \eqref{tt}, обозначая
$h=(2\pi)^{-1}\int_{|t|>\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2 \,d\xi$,
$z(\xi)=Fx(\xi)-y(\xi)$ и $b(\xi)=(i\xi)^k-m(\xi)$ и учитывая, что
$$\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le
\sigma^{2(k-n)}\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi
=h\sigma^{2(k-n)},$$
может быть переписана в виде
\begin{multline}\label{e3}
\frac1{2\pi}\int_{\Ds}|m(\xi)z(\xi)+b(\xi)Fx(\xi)|^2\,d\xi+
h\sigma^{2(k-n)}\to\max,\\
\int_{\Ds}|z(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\quad\frac1{2\pi}\int_{\Ds}\xi^{2n}
|Fx(\xi)|^2\,d\xi+h\le1.
\end{multline}

Из неравенства Коши--Буняковского $|m(\xi)z(\xi)+b(\xi)Fx(\xi)|^2
\le(s^{-1}|a(\xi)|^2+2\pi\xi^{-2n}|b(\xi)|^2
)(s|z(\xi)|^2+(2\pi)^{-1}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2)$, справедливого для
любого $s>0$, вытекает, что значение задачи \eqref{e3} оценивается
величиной
\begin{equation}\label{e4}
\max_{h\in[0,1]}\left(A_s(s\delta^2+1-h)+h\sigma^{2(k-n)}\right)=
A_ss\delta^2+\max(A_s,\sigma^{2(k-n)})
\end{equation}
где
\begin{multline*}
A_s=A_s(m\cd)=\frac1{2\pi}\sup_{\xi\in\Delta_\sigma}
\left(\frac{|m(\xi)|^2}s+\frac{2\pi}{\xi^{2n}}
|b(\xi)|^2\right)=\\=\frac1{2\pi}\sup_{\xi\in\Ds}\left(\frac{\xi^{2n}+2\pi
s}{s\xi^{2n}} \left|m(\xi)-\frac{2\pi s(i\xi)^k}{\xi^{2n}+2\pi
s}\right|^2+ \frac{2\pi\xi^{2k}}{\xi^{2n}+2\pi s}\right).
\end{multline*}

Если $m(\xi)=\widehat m(\xi)=2\pi s(i\xi)^k/(\xi^{2n}+2\pi s)$, то
легко найти, что
$$
A_s(\widehat m\cd)=\begin{cases}\dfrac kn\left(\dfrac{n-k}{2\pi ks}\right)^{1-k/n},&s\le\dfrac{n-k}{2\pi k}\sigma^{2n},\\
\dfrac{\sigma^{2k}}{\sigma^{2n}+2\pi s},&s>\dfrac{n-k}{2\pi
k}\sigma^{2n}.\end{cases}
$$
Отсюда и \eqref{e4}, обозначая через $\widehat\varphi$ метод,
соответствующий функции $\widehat m\cd$, получаем, что для всех
$s>0$
$$e^2(\widehat \varphi)\le\begin{cases}A_s(\widehat m\cd)(s\delta^2+1),&s\le\dfrac{n-k}{2\pi k}\left(\dfrac kn\right)^{\frac n{n-k}}\sigma^{2n},\\
A_s(\widehat m\cd)s\delta^2+\sigma^{2(n-k)},&s>\dfrac{n-k}{2\pi
k}\left(\dfrac kn\right)^{\frac n{n-k}}\sigma^{2n}.\end{cases}$$
Минимум величины справа по $s$ совпадает с квадратом величины,
стоящей в правой части \eqref{e1} и достигается в точке
$$\wss=\dfrac{n-k}{2\pi k}\left(\dfrac kn\right)^{\frac n{n-k}}\sigma_0^{2n}.$$
При этом, $A_{\wss}(\widehat m\cd)=\sigma_0^{2(k-n)}$. Таким
образом, если ограниченная функция $m\cd$ такова, что выполняется
равенство $A_{\wss}( m\cd)=\sigma_0^{2(k-n)}$, то соответствующий
метод оптимален. Но это равенство, как нетрудно проверить,
равносильно условию \eqref{ea}.
\end{proof}

Следствие непосредственно вытекает из доказанной теоремы.


Первые результаты, касающиеся оптимального восстановления линейных
операторов по неточной информации, были получены в работе \cite{MM}.
Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах авторов
\cite{MO2}, \cite{MO1} и \cite{Vl}.

Авторы благодарны рецензенту за полезные замечания.





\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A., ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J.
Numer. Anal.}, {\bf16} (1979) 87--105.

\bibitem{MO2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье,
заданным с погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002),
79--100.


\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его
прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.


\bibitem{Vl} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление операторов по неточной информации'', Математический
форум. Т. 2. Исследования по выпуклому анализу. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ
РАН, 2009, 158--192.

\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и его
приложения. Эдиториал УРСС, М., 2003 (2-ое изд).

\end{thebibliography}










\end{document}
