\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm,array,longtable}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{abstract}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem*{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}
\newtheorem*{theorem1}{Теорема~$\mathbf1'$}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}
\DeclareMathOperator*{\ulim}{\underline{\lim}}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\wl}{\widetilde l}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}
\newcommand*{\pr}{\texttt{\textvisiblespace}}

\begin{document}
\begin{center}
К.~Ю.~Осипенко\\
\bigskip

СТАНДАРТНАЯ ПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФРЕНЕЛЯ\\
ПРОГРАММА $SFFRCS(C,S,X)$
\end{center}

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. Назначение программы}

Программа служит для вычисления значений интегралов Френеля:
\begin{gather*}
C(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\cos t}{\sqrt t}\,dt,\\
S(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\sin t}{\sqrt t}\,dt.
\end{gather*}

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. Обращение}

Обращение к программе осуществляется с помощью оператора $CALL$:
$$CALL\pr SFFRCS(C,S,X)$$

$C$ --- результат, значение $C(|x|)$,

$S$ --- результат, значение $S(|x|)$,

$X$ --- аргумент $x$.

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. Метод}

Для вычисления интегралов Френеля используется следующий метод \cite{1}

\noindent1. При $0\le x\le8$:
\begin{gather*}
C(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\cos t}{\sqrt t}\,dt=\sqrt{\frac x{2\pi}}\int_0^1\frac{\cos ux}{\sqrt u}\,du,\\
S(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\sin t}{\sqrt t}\,dt=\sqrt{\frac x{2\pi}}\int_0^1\frac{\sin ux}{\sqrt u}\,du.
\end{gather*}
Разлагая $\cos ux$ и $\sin ux$ в ряды по многочленам Чебышева $T_n\left(\dfrac x8\right)$ и интегрируя их, получим:
\begin{gather*}
C(x)\approx\sqrt{\frac x{2\pi}}\biggl[\rho_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\rho_{2n}
T_{2n}\left(\frac x8\right)\biggr],\\
S(x)\approx\sqrt{\frac x{2\pi}}\biggl[2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\rho_{2n+1}
T_{2n+1}\left(\dfrac x8\right)\biggr].
\end{gather*}

\noindent2. При $x\ge8$:
\begin{multline*}
C(x)+iS(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt
-\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt\\
=\frac12(1+i)-\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt,
\end{multline*}
сделаем замену: $t=\dfrac{(u+x)^2}x$, тогда:
$$\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt=\frac{e^{ix}}{\sqrt{2\pi x}}\int_0^\infty2e^{i\left({\textstyle\frac{u^2}x}+2u\right)}\,du.$$
Преобразуем интеграл в правой части этого равенства с помощью замены переменного $u=it$, затем $t=\sqrt8\eta$:
$$\int_0^\infty2e^{i\left({\textstyle\frac{u^2}x}+2u\right)}\,du=i\int_0^\infty2
e^{-i\textstyle\frac{t^2}x}e^{-2t}\,dt=i\int_0^\infty2\sqrt8
e^{-i{\textstyle\frac8x}\eta^2}e^{-2\sqrt8\eta}\,d\eta.$$
Обозначим:
\begin{equation}\label{*}
\begin{gathered}
A\left(\frac8x\right)=\int_0^\infty2\sqrt8e^{-2\sqrt8\eta}\cos\frac8x\eta^2\,d\eta,\\
B\left(\frac8x\right)=\int_0^\infty2\sqrt8e^{-2\sqrt8\eta}\sin\frac8x\eta^2\,d\eta,
\end{gathered}\tag{*}
\end{equation}
тогда
$$C(x)+iS(x)=\frac12(1+i)-\frac{\cos x+i\sin x}{\sqrt{2\pi x}}\left(iA\left(\frac8x\right)
+B\left(\frac8x\right)\right).$$
Таким образом,
\begin{gather*}
C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}A\left(\frac8x\right)-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}B\left(\frac8x\right),\\
S(x)=\frac12-\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}B\left(\frac8x\right)-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}A\left(\frac8x\right).
\end{gather*}
Разлагая $\cos\dfrac8x\eta^2$ и $\sin\dfrac8x\eta^2$ в ряды по многочленам Чебышева $T_n\left(\dfrac8x\right)$ и подставляя полученные ряды в \eqref{*}, имеем:
\begin{gather*}
A\left(\frac8x\right)\approx\gamma_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}
\left(\frac8x\right),\\
B\left(\frac8x\right)\approx2\sum_{n=0}^{12}(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}
\left(\frac8x\right).
\end{gather*}
Значения коэффициентов $\rho_i$ и $\gamma_i$ ($i=0,\ldots,25$) приведены в \cite{1}. Для вычисления линейных комбинаций многочленов Чебышева используется модифицированный алгоритм, предложенный в \cite{2}. 

Алгоритм обеспечивает на машине БЭСМ-6 10 верных значащих цифр.

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. Текст программы}

\newcolumntype{L}{>{\fontsize{9pt}{12pt}$}l<{$}}
\newcolumntype{C}{>{\fontsize{9pt}{12pt}$}c<{$}}
\newcolumntype{R}{>{\fontsize{9pt}{12pt}$}r<{$}}


\tabcolsep=0.05em\begin{longtable}{RCL}
&&SUBROUTINE\ SFFRCS(C,S,X)\\
&&DIMENSION\ A(52),RK(13),RL(13)\\
&&REAL\ X,C,S,Z,H,Y,F,D,E,B,R,T\\
&&INTEGER\ K,L\\
&&DATA\ (A=.1E-10,-.366E-9,.10898E-7,-.267681E-6,.527608E-5,\\
&*&-.81056841E-4,.933990129E-3,-.7651297534E-2,.041140949487,\\
&*&4E-11,-.128E-9,.4206E-8,-.11507E-6,.2562196E-5,\\
&*&-,45321924E-4,.617420236E-3,-.6220184292E-2,.043868192558,\\
&*&-.200717449332,.53866661798,-.799616840492,1.053859157204,\\
&*&.1E-11,-.4E-11,.14E-10,-.54E-10,.239E-9,-.1176E-8,.6545E-8, \\
&*&-.42829E-7,.347441E-6,-.3810219E-5,.66275081E-4,\\
&*&-.2617529549E-2,.994548822473,.2E-11,-.6E-11,.18E-10,\\
&*&-.72E-10,.298E-9,-.1346E-8,.6798E-8,-.39518E-7,.275996E-6,\\
&*&-.2475448E-5,.3202967E-4,-.755202944E-3,.06088192415))\\
&&Z=ABS(X)\\
&&IF\ (Z-8.)\ 1,\ 2, 2\\
1&&H=Z/8.\\
&&K=0\\
&&GOTO\ 3\\
2&&H=8./Z\\
&&K=26\\
3&&L=K+13\\
&&Y=4.*H*H-2.\\
&&RK(1)=A(1+K)\\
&&RK(2)=Y*RK(1)+A(2+K)\\
&&RL(1)=A(1+L)\\
&&RL(2)=Y*RL(1)+A(2+L)\\
&&DO\ 4\ I=3,13\\
&&RK(I)=Y*RK(I-1)-RK(I-2)+A(I+K)\\
&&RL(I)=Y*RL(I-1)-RL(I-2)+A(I+L)\\
4&&CONTINUE\\
&&F=.398942280401\\
&&D=F*RK(13)\\
&&E=F*RL(13)*H\\
&&B=SQRT(Z)\\
&&IF\ (Z-8.)\ 5,\ 6, 6\\
5&&C=D*B\\
&&S=E*B\\
&&GOTO\ 7\\
6&&R=SIN(Z)\\
&&T=COS(Z)\\
&&C=0.5+(D*R-E*T)/B\\
&&S=0.5-(E*R+D*T)/B\\
7&&RETURN\\
&&END
\end{longtable}

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. Тестовые примеры}

$$CALL\pr SFFRCS(C,S,0.4)$$

Результат:
\begin{align*}
C(x)=&0.4966120676\\
S(x)=&0.06651848301
\end{align*}

$$CALL\pr SFFRCS(C,S,13.0)$$

Результат:
\begin{align*}
C(x)=&0.5425104114\\
S(x)=&0.3982677211
\end{align*}

\bigskip

\renewcommand{\refname}{Литература}
\begin{thebibliography}{11}
\selectlanguage{english}
\bibitem{1} N\'emeth~G. Chebyshev expansions for Fresnel integrals. Numer. Math., 1965, 7,\selectlanguage{russian} \No~4, 310--312.
\bibitem{2} Бахвалов~Н.С. Об устойчивом вычислении значений многочленов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, 11, \No~6, I568--1574.

\end{thebibliography}
\end{document}
