\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 5800

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\renewcommand{\bibname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}

\begin{document}

\noindent УДК 517.53

\noindent К.~Ю.~Осипенко

\noindent(Россия, Москва, Московский авиационный технологический институт им. К.~Э.~ Циолковского)

\medskip

\title{ОПТИМАЛЬНАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА НА КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ}

\maketitle

Обозначим через $\widetilde A_H$ множество $2\pi$-периодических функций, аналитически продолжаемых в полосу $|\IM z|<H$ и удовлетворяющих в ней условию $|f(z)|\le1$. Рассматривается задача построения оптимальной квадратурной формулы на классе $\widetilde A_H$, использующей приближенные значения функций. 

Положим
$$e_{nq}(\widetilde A_H,\delta):=\infp_{\substack{t_j\in[0,2\pi)\vphantom{\widetilde A_H}\\a_j\in\mathbb C}}\sup_{f\in\widetilde A_H}\sup_{\substack{y\in l_q^n\vphantom{\widetilde A_H}\\\|If-y\|_q\le\delta}}\biggl|\int_0^{2\pi}f(t)\,dt-\sum_{j=1}^na_jy_j\biggr|,$$
где $If=(f(t_1),\ldots,f(t_n))$. Квадратурную формулу, на которой достигается нижняя грань, будем называть оптимальной, а соответствующие ей узлы --- оптимальными узлами.

\begin{theorem}\label{T5}
Пусть $1\le p\le\infty$ и $0\le\delta<n^{1/q}$. Тогда

$1)$ квадратурная формула
\begin{equation}\label{11}
\int_0^{2\pi}f(t)\,dt\approx\frac{2\pi}n(1-\Delta^2)^{-1}(1-\Lambda^{-1}J_4(\lambda,\Delta))
\sum_{j=0}^{n-1}\widetilde f\left(j\frac{2\pi}n\right),
\end{equation}
в которой $\Delta=\delta n^{-1/q}$, 
\begin{gather*}
\lambda:=4e^{-Hn}\biggl(\sum_{m=0}^\infty e^{-2Hnm(m+1)}\biggr)^2\biggl(1+2\sum_{m=0}^\infty e^{-2Hnm^2}\biggr)^{-2},\\
J_r(\lambda,\Delta):=\int_0^1\left(\frac{\lambda t^2+\Delta}{1+\Delta\lambda t^2}\right)^{r/2}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}},
\end{gather*}
является оптимальной;

$2)$ имеет место равенство
\begin{multline*}
e_{nq}(\widetilde A_H,\delta)=2\pi\Lambda^{-1}J_2(\lambda,\delta n^{-1/q})
=2\pi\delta n^{-1/q}\\
+4\pi(1-\delta^2n^{-2/q})e^{-Hn}+4\pi\delta(4-3\delta^2n^{-2/q})n^{-1/q}e^{-2Hn}
+O\left(e^{-3Hn}\right);$$
\end{multline*}

$3)$ узлы $t_j^*=(j-1)\dfrac{2\pi}n$, $j=1,\ldots,n$, --- единственные с точностью до
сдвига оптимальные узлы.
\end{theorem}
\thispagestyle{empty}
\end{document}
