\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1000
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Wp}{W_2^r}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\Ls}{L_2(\Ds)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\WR}{W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\ir}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wm}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wM}{\widehat m}
\newcommand*{\Wi}{W_{2\infty}^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\LD}{L_2(D)}
\newcommand*{\LT}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\lp}{l_p^{2N+1}}
\newcommand*{\lt}{l_2^{2N+1}}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}

\begin{document}
\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}

\title[О восстановлении решения задачи Дирихле]{О восстановлении
решения задачи Дирихле по неточным исходным данным}
\author{К.~Ю.~Осипенко}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No02-01-00386 и \No02--01--39012),
программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской
Федерации (грант НШ-304.2003.1) и программы ``Университеты России"
(УР.04.03.067)}

\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}

\begin{abstract}
В работе исследуется задача оптимального восстановления решения задачи
Дирихле для единичного круга, когда информация о граничной функции задана в
виде конечного набора ее коэффициентов Фурье, вычисленных с фиксированной
погрешностью в средне квадратичной или равномерной метрике.
\end{abstract}

\maketitle

Большинство конкретных результатов, касающихся задач оптимального
восстановления, получено для восстановления линейных функционалов --- это,
например, задачи оптимального восстановления значений функций, их
производных или интегралов от них (общую постановку задач оптимального
восстановления и соответствующие результаты для конкретных задач можно
найти в \cite{MR}-\cite{Os} и цитируемой там литературе). Оптимальное
восстановление операторов изучено значительно меньше. Отметим в связи с
этим работы \cite{MM}-\cite{MO4}. В данной работе используется метод,
предложенный в работе \cite{MO2}. Этот метод уже применялся к оптимальному
восстановлению решения уравнения с частными производными (см.~\cite{MOT}),
а именно, к задаче оптимального восстановления решения уравнения
теплопроводности по неточной информации о начальной температуре. Подобным
образом могут исследоваться многие краевые задачи математической физики. В
данной работе мы рассматриваем одну из таких задач --- задачу Дирихле.

Рассмотрим задачу Дирихле в единичном круге $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^
2<1\}$
\begin{equation}\label{*}
\begin{gathered}
\Delta u=0,\\
u(\cos t,\sin t)=f(t).
\end{gathered}
\end{equation}
Хорошо известно, что решение этой задачи дается равенством
$$u(\rho\cos t,\rho\sin t)=\frac{a_0(f)}2+\sum_{k=1}^\infty\rho^k(a_k(f)
\cos kt+b_k(f)\sin kt),$$ где $a_k(f)$ и $b_k(f)$ --- коэффициенты Фурье
функции $f$. Нас будет интересовать вопрос как наилучшим образом
восстановить решение задачи \eqref*, если вычислено лишь конечное число
коэффициентов Фурье $a_0(f),a_1 (f),\ldots,a_N(f),b_1(f),\ldots,b_N(f)$ и
вычисления проведены с некоторой погрешностью.

Для корректной постановки этой задачи необходимо иметь априорную информацию
о том, какой может быть исходная функция $f$. Положим
$$\mathcal W_2^r=\{\,f:f^{(r-1)}\text{ --- абс. непр. на }\mathbb T,\ \|f^{
(r)}\|_{\LT}<\infty\,\},$$ где $\mathbb T$ --- отрезок $[-\pi,\pi]$ с
идентифицированными концами, а
$$\|g\|_{\LT}=\left(\frac1\pi\int_{\mathbb T}|g(t)|^2\,dt\right)^{1/2}.$$
Мы будем предполагать, что
$$f\in\Wp=\{\,f\in\mathcal W_2^r:\|f^{(r)}\|_{\LT}\le1\,\}.$$

Уточним, что понимается под погрешностью вычисления коэффициентов Фурье. Мы
считаем, что для любой функции $f\in\Wp$ нам известен вектор $a=(a_0,a_1,
\ldots,a_N,b_1,\ldots,b_N)$ такой, что
$$\|a^N(f)-a\|_{\lp}\le\delta,$$
где $a^N(f)=(a_0(f),a_1(f),\ldots,a_N(f),b_1(f),\ldots,b_N(f))$, а
$$\|c\|_{\lp}=\begin{cases}\displaystyle\biggl(\sum_{k=-N}^N|c_k|^p\biggr)^{1/p},
&1\le p<\infty,\\
\displaystyle\max_{|k|\le N}|c_k|,&p=\infty,\end{cases}\quad
c=(c_{-N},\ldots ,c_N).$$

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные
операторы $\varphi\colon\mathbb R^{2N+1}\to\LD$, где
$$\|u\|_{\LD}=\left(\frac1\pi\int\!\!\int_D|u(x,y)|^2\,dxdy\right)^{1/2}.$$
Погрешностью восстановления для данного метода $\varphi$ назовем величину
$$e_{N,p}(\Wp,\delta,\varphi)=\sup_{f\in\Wp}\sup_{\substack{a\in\mathbb R^{
2N+1}\\\|a^N(f)-a\|_{\lp}\le\delta}}\|u-\varphi(a)\|_{\LD}.$$ Погрешностью
оптимального восстановления называется величина
$$E_{N,p}(\Wp,\delta)=\inf_{\varphi\colon\mathbb R^{2N+1}\to\LD}e_{N,p}(\Wp
,\delta,\varphi).$$ Метод, на котором достигается нижняя грань называется
оптимальным.

Начнем со случая $p=2$.

\begin{theorem}
При всех $\delta>0$
$$E_{N,2}(\Wp,\delta)=\sqrt{\frac{\delta^2}4+\frac1{2(N+2)(N+1)^{2r}}}\,,$$
а метод
\begin{multline}\label{met}
\widehat\varphi(a)(\rho\cos t,\rho\sin t)=\frac{a_0}2\\
+\sum_{k=1}^N\rho^k\left(1+\frac{2k^{2r}}{(N+2)(N+1)^{2r}}\right)^{-1}(a_k
\cos kt+b_k\sin kt)
\end{multline}
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из общих результатов о задачах восстановления (см., например, лемму~1 из
работы \cite{MO2}) вытекает следующая оценка снизу
\begin{equation}\label{**}
E_{N,2}(\Wp,\delta)\ge\sup_{\substack{f\in\Wp\\\|a^N(f)\|_{\lt}\le\delta}}
\|u\|_{\LD}.
\end{equation}
Экстремальная задача, стоящая в правой части неравенства \eqref{**}, может
быть переписана в виде (для удобства мы переходим к квадрату ее значения)
\begin{multline}\label{***}
\frac{a_0^2(f)}4+\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k^2(f)+b_k^2(f)}{k+1}\to
\max,\\
a_0^2(f)+\sum_{k=1}^N(a_k^2(f)+b_k^2(f))\le\delta^2,\quad\sum_{k=1}^\infty(
a_k^2(f)+b_k^2(f))k^{2r}\le1.
\end{multline}
Положим $u_0=a_0^2(f)$, $u_k=a_k^2(f)+b_k^2(f)$. Тогда задача \eqref{***}
примет вид
\begin{equation}\label{4}
\frac{u_0}4+\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{u_k}{k+1}\to\max,\quad\sum_{k=0}^
Nu_k\le\delta^2,\quad\sum_{k=1}^\infty u_kk^{2r}\le1,\quad u_k\ge0.
\end{equation}

Для решения этой задачи рассмотрим ее функцию Лагранжа
\begin{multline*}
\mathcal L(\{u_k\}_0^\infty,\lambda_1,\lambda_2)=\left(-\frac14+\lambda_1
\right)u_0\\
+\sum_{k=1}^\infty\left(-\frac1{2k+2}+\lambda_1\chi_k+\lambda_2k^{2r}\right
)u_k,
\end{multline*}
где
$$\chi_k=\begin{cases}1,&1\le k\le N,\\
0,&k>N.\end{cases}$$ Нетрудно проверить, что если существует допустимая в
\eqref4 последовательность $\{\wu_k\}_0^\infty$ и такие $\wl_1,\wl_2\ge0$,
что
\begin{equation}\label{a}
\min_{u_k\ge0}\mathcal L(\{u_k\}_0^\infty,\wl_1,\wl_2)=\mathcal L(\{\wu_k\}
_0^\infty,\wl_1,\wl_2)
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{b}
\wl_1\biggl(\sum_{k=0}^N\wu_k-\delta^2\biggr)+\wl_2\biggl(\sum_{k=1}^\infty
\wu_kk^{2r}-1\biggr)=0,
\end{equation}
то $\{\wu_k\}_0^\infty$ --- решение задачи \eqref4.

Положим
\begin{gather*}
\wu_0=\delta^2,\quad\wu_{N+1}=\frac1{(N+1)^{2r}},\quad\wu_k=0,\ k\ne0,N+1,
\\
\wl_1=\frac14,\quad\wl_2=\frac1{2(N+2)(N+1)^{2r}}.
\end{gather*}
Легко проверить, что для так определенных $\{\wu_k\}_0^\infty$ и $\wl_1,\wl
_2$ выполнены равенства \eqref{a} и \eqref{b}. Следовательно, решение
задачи \eqref4 есть величина
$$\frac{\delta^2}4+\frac1{2(N+2)(N+1)^{2r}}.$$

Отметим, что из тех же соображений вытекает, что $\{\wu_k\}_0^\infty$ ---
решение задачи
\begin{multline*}
\frac{u_0}4+\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{u_k}{k+1}\to\max,\quad\wl_1\sum_{
k=0}^Nu_k+\wl_2\sum_{k=1}^\infty u_kk^{2r}\le\wl_1\delta^2+\wl_2,\\
u_k\ge0.
\end{multline*}

Займемся теперь построением оптимального метода восстановления. При
фиксированном $a=(a_0,a_1,\ldots,a_N,b_1,\ldots,b_N)\in\mathbb R^{2N+1}$
рассмотрим следующую экстремальную задачу
\begin{equation}\label{m1}
\wl_1\|a^N(f)-a\|_{l_2^{2N+1}}^2+\wl_2\|f^{(r)}\|_{\LT}^2\to\min,\quad f\in
\mathcal W_2^r.
\end{equation}
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция
$$\wf(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^N\frac{\wl_1}{\wl_1+\wl_2k^{2r}}(a_k\cos kt
+b_k\sin kt).$$ Из того, что $\wf$ --- решение задачи \eqref{m1}, вытекает
справедливость при всех $f\in\mathcal W_2^r$ равенства (которое может быть
проверено и непосредственно)
\begin{multline*}
\wl_1\|a^N(f)-a^N(\wf)\|_{l_2^{2N+1}}^2+\wl_2\|f^{(r)}-\wf^{(r)}\|_{\LT}^2+
\wl_1\|a^N(\wf)-a\|_{l_2^{2N+1}}^2\\
+\wl_2\|\wf^{(r)}\|_{\LT}^2=\wl_1\|a^N(f)-a\|_{l_2^{2N+1}}^2+\wl_2\|f^{(r)}
\|_{\LT}^2.
\end{multline*}
Если $f\in\Wp$ и $\|a^N(f)-a\|_{l_2^{2N+1}}\le\delta$, то из этого
равенства, положив $g=f-\wf$, получаем
\begin{multline*}
\wl_1\|a^N(g)\|_{l_2^{2N+1}}^2+\wl_2\|g^{(r)}\|_{\LT}^2\le\wl_1\|a^N(f)-a\|
_{l_2^{2N+1}}^2+\wl_2\|f^{(r)}\|_{\LT}^2\\
\le\wl_1\delta^2+\wl_2.
\end{multline*}
Оценим погрешность метода \eqref{met}. Имеем
\begin{multline*}
\|u-\widehat\varphi(a)\|_{\LD}^2=\frac{a_0^2(g)}4+\frac12\sum_{k=1}^\infty
\frac{a_k^2(g)+b_k^2(g)}{k+1}\\
\le\sup\biggl\{\,\frac{u_0}4+\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac{u_k}{k+1}:\wl_1
\sum_{k=0}^Nu_k+\wl_2\sum_{k=1}^\infty u_kk^{2r}\le\wl_1\delta^2+\wl_2,\\
u_k\ge0\,\biggr\}.
\end{multline*}
Так как значение последней задачи совпадает со значением задачи \eqref4, то
полученная оценка сверху для погрешности оптимального восстановления
совпадает с оценкой снизу и метод \eqref{met} является оптимальным.
Подставляя в него выражения для $\wl_1$ и $\wl_2$, получаем утверждение
теоремы.
\end{proof}

Рассмотрим теперь случай $p=\infty$.

\begin{theorem}\label{T2}
Положим
$$m=\max\Bigl\{\,n\in\mathbb Z_+:\delta^2\sum_{|k|\le n}k^{2r}<1,\ 0\le n
\le N\,\Bigr\}.$$ Тогда
$$E_{N,\infty}(\Wp,\delta)=\sqrt{\frac{\delta^2}4+\delta^2\sum_{k=1}^m\frac
{\alpha_k}{k+1}+\frac1{2(m+1)(m+1)^{2r}}}\,,$$ где
$$\alpha_k=1-\frac{k+1}{m+2}\left(\frac k{m+1}\right)^{2r},\quad k=1,\ldots
,m,$$ а метод
\begin{equation}\label{me}
\widehat\varphi(a)(\rho\cos t,\rho\sin t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^N\alpha_k
\rho^k(a_k\cos kt+b_k\sin kt)
\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Аналогично неравенству \eqref{**} имеем
$$E_{N,\infty}(\Wp,\delta)\ge\sup_{\substack{f\in\Wp\\\|a^N(f)\|_{l_\infty^
{2N+1}}\le\delta}}\|u\|_{\LD}.$$ Экстремальная задача, стоящая в правой
части этого неравенства может быть переписана в виде (здесь для удобства мы
также переходим к квадрату ее значения)
\begin{multline}\label{11}
\frac{u_0}4+\frac12\sum_{|k|\ge1}\frac{u_k}{|k|+1}\to\max,\quad0\le u_k\le
\delta^2,\ k=-N,\ldots,N,\\
\sum_{|k|\ge1}u_kk^{2r}\le1,
\end{multline}
где $u_k=a_k^2(f)$, $k=0,1,\ldots$, и $u_{-k}=b_k^2(f)$, $k=1,2,\ldots\,$.
Рассмотрим функцию Лагранжа этой задачи
\begin{multline*}
\mathcal L(\{u_k\}_0^\infty,\lambda)=\left(-\frac14+\lambda_0\right)u_0+
\sum_{|k|\ge1}\left(-\frac1{2(|k|+1)}+\lambda_{N+1}k^{2r}\right)u_k\\
+\sum_{|k|=1}^N\lambda_ku_k,
\end{multline*}
$\lambda=(\lambda_{-N},\ldots,\lambda_N,\lambda_{N+1})$. Для решения задачи
\eqref{11} достаточно найти допустимую в \eqref{11} последовательность $\{
\wu_k\}_0^\infty$ и такой вектор $\wl$ с неотрицательными компонентами, что
\begin{equation}\label{a1}
\min_{u_k\ge0}\mathcal L(\{u_k\}_0^\infty,\wl)=\mathcal L(\{\wu_k\}_0^
\infty,\wl)
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{b1}
\sum_{k=-N}^N\wl_k(\wu_k-\delta^2)+\wl_{N+1}\biggl(\sum_{|k|\ge1}\wu_kk^{2r
}-1\biggr)=0.
\end{equation}
При этом $\{\wu_k\}_0^\infty$ --- решение задачи \eqref{11}.

Положим
\begin{align*}
\wl_0=\frac14,\quad\wl_{N+1}=\frac1{2(m+2)(m+1)^{2r}},\\
\wl_k=\begin{cases} \dfrac1{2(|k|+1)}-\wl_{N+1}k^{2r},&1\le|k|\le m,\\[10pt]
0,&m+1\le|k|\le N.\end{cases}
\end{align*}
Последовательность $\{\wu_k\}_0^\infty$ определим равенством
$$\wu_k=\begin{cases}\delta^2,&|k|\le m,\\
\dfrac{1-\delta^2\sum_{|k|=1}^mk^{2r}}{2(m+1)^{2r}},&|k|=m+1,\\
0,&|k|>m+1.\end{cases}$$ Из определения $m$ следует, что
$\{\wu_k\}_0^\infty$
--- допустима. Кроме того, при всех $u_k\ge0$
\begin{multline*}
\mathcal L(\{u_k\}_0^\infty,\wl)=\sum_{|k|\ge m+2}\left(-\frac1{2(|k|+1)}+
\wl_{N+1}k^{2r}\right)u_k\ge0\\
=\mathcal L(\{\wu_k\}_0^\infty,\wl).
\end{multline*}
Тем самым условие \eqref{a1} выполнено. Легко убедиться, что условие \eqref
{b1} тоже выполнено. Следовательно, $\{\wu_k\}_0^\infty$ --- решение задачи
\eqref{11}. Отсюда
\begin{multline*}
E_{N,\infty}(\Wp,\delta)\ge\sqrt{\frac{u_0}4+\frac12\sum_{|k|\ge1}\frac{\wu
_k}{|k|+1}}\\
=\sqrt{\frac{\delta^2}4+\delta^2\sum_{k=1}^m\frac{\alpha_k}{k+1}+\frac1{2(m
+1)(m+1)^{2r}}}\,.
\end{multline*}

Отметим, что из тех же соображений, которые были использованы выше,
вытекает, что $\{\wu_k\}_0^\infty$ --- решение задачи
\begin{multline*}
\frac{u_0}4+\frac12\sum_{|k|\ge1}\frac{u_k}{|k|+1}\to\max,\quad\sum_{k=-N}^
N\wl_ku_k+\wl_{N+1}\sum_{|k|\ge1}u_kk^{2r}\\
\le\delta^2\sum_{k=-N}^N\wl_k+\wl_{N+1},\ u_k\ge0.
\end{multline*}
Займемся теперь построением оптимального метода восстановления. При
фиксированном $a=(a_0,a_1,\ldots,a_N,b_1,\ldots,b_N)\in\mathbb R^{2N+1}$
рассмотрим следующую экстремальную задачу
\begin{multline}\label{m11}
\wl_0|a_0(f)-a_0|^2+\sum_{k=1}^N(\wl_k|a_k(f)-a_k|^2+\wl_{-k}|b_k(f)-b_k|^2
)\\
+\wl_{N+1}\|f^{(r)}\|_{\LT}^2\to\min,\quad f\in\mathcal W_2^r.
\end{multline}
Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция
$$\wf(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^m\frac{\wl_k}{\wl_k+\wl_{N+1}k^{2r}}(a_k
\cos kt+b_k\sin kt).$$ Из того, что $\wf$ --- решение задачи \eqref{m11},
вытекает справедливость при всех $f\in\mathcal W_2^r$ равенства (оно может
быть проверено и непосредственно)
\begin{multline}\label{Pi}
\wl_0|a_0(f)-a_0(\wf)|^2+\sum_{k=1}^N(\wl_k|a_k(f)-a_k(\wf)|^2+\wl_{-k}|b_k
(f)-b_k(\wf)|^2)\\
+\wl_{N+1}\|f^{(r)}-\wf^{(r)}\|_{\LT}^2+\wl_0|a_0(\wf)-a_0|^2\\
+\sum_{k=1}^N(
\wl_k|a_k(\wf)-a_k|^2+\wl_{-k}|b_k(\wf)-b_k|^2)+\wl_{N+1}\|\wf^{(r)}\|_{\LT
}^2\\
=\wl_0|a_0(f)-a_0|^2+\sum_{k=1}^N(\wl_k|a_k(f)-a_k|^2+\wl_{-k}|b_k(f)-b_k|^
2)\\
+\wl_{N+1}\|f^{(r)}\|_{\LT}.
\end{multline}
Если $f\in\Wp$ и $|a_k(f)-a_k|\le\delta$, $k=0,1,\ldots,N$, $|b_k(f)-b_k|
\le\delta$, $k=1,\ldots,N$, то из равенства \eqref{Pi}, положив $g=f-\wf$,
получаем
\begin{multline*}
\wl_0|a_0(g)|^2+\sum_{k=1}^N(\wl_k|a_k(g)|^2+\wl_{-k}|b_k(g)|^2)+\wl_{N+1}
\|g^{(r)}\|_{\LT}^2\\
\le\wl_0|a_0(f)-a_0|^2+\sum_{k=1}^N(\wl_k|a_k(f)-a_k|^2+\wl_{-k}|b_k(f)-b_k
|^2)\\
+\wl_{N+1}\|f^{(r)}\|_{\LT}\le\delta^2\sum_{k=-N}^N\wl_k+\wl_{N+1}.
\end{multline*}
Оценим погрешность метода \eqref{me}. Имеем
\begin{multline*}
\|u-\widehat\varphi(a)\|_{\LD}^2=\frac{a_0^2(g)}4+\frac12\sum_{|k|\ge1}
\frac{a_k^2(g)+b_k^2(g)}{|k|+1}\\
\le\sup\biggl\{\,\frac{u_0}4+\frac12\sum_{|k|\ge1}\frac{u_k}{|k|+1}:\sum_{k
=-N}^N\wl_ku_k+\wl_{N+1}\sum_{|k|\ge1}^\infty u_kk^{2r}\\
\le\delta^2\sum_{k=-N}^N\wl_k+\wl_{N+1},\ u_k\ge0\,\biggr\}.
\end{multline*}
Так как значение последней задачи совпадает со значением задачи \eqref
{11}, то полученная оценка сверху для погрешности оптимального
восстановления совпадает с оценкой снизу и метод \eqref{me} является
оптимальным. Подставляя в него выражения для $\wl_{-N},\ldots,\wl_N,\wl_{N+
1}$, получаем утверждение теоремы.
\end{proof}

Пусть фиксирована погрешность $\delta>0$ вычисления коэффициентов Фурье
граничной функции $f$ в задаче Дирихле. Положим
$$N_\delta=\max\Bigl\{\,n\in\mathbb Z_+:\delta^2\sum_{|k|\le n}k^{2r}<1\,
\Bigr\}.$$ Из теоремы~\ref{T2} вытекает, что для максимально точного
восстановления решения задачи Дирихле по приближенным значениям
коэффициентов Фурье функции $f$ требуется знание $2N_\delta+1$ первых
коэффициентов Фурье. Вычисление следующих коэффициентов Фурье (при условии,
что они вычисляются с той же погрешностью) не приводит к уменьшению
погрешности оптимального восстановления.

Аналогичный эффект насыщения наблюдается в задачах оптимального
восстановления производных по неточным коэффициентам Фурье (см.\ \cite
{MO2}) и при оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности
по неточной информации о начальной температуре (см.\ \cite{MOT}).

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery // In: Optimal Estimation in Approximation Theory / Eds.\
C.~A.~Micchelli and T.~J.~Rivlin.---New York: Plenum Press,
1977.---P.~1--54.

\bibitem{TW}{\it Трауб~Дж., Вожьняковский Х.} Общая теория оптимальных
алгоритмов.---М: Мир, 1983.--- 382~с.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery.---Berlin: Springer--Verlag, 1985.---P.~21--93. (Lecture Notes in
Math.; V.~1129.)

\bibitem{MO1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат.
заметки.---1991.---Т.~50, \No6.---С.~85--93.

\bibitem{Os} {\it Osipenko~K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic
Functions.---Huntington, New York: Nova Science Publ., 2000.--- 220~p.

\bibitem{MM} {\it Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A.} Optimal estimation of
linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer.
Anal.---1979.---V.~16, \No1.---P.~87--105.

\bibitem{MO2} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью // Матем. сб.---2002.---Т.~193, \No3.---С.~79--100.

\bibitem{MO3} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных // Функ. анал. и его
прил.---2003.---Т.~37, \No3.---С.~51--64.

\bibitem{MO4} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление производных на соболевских классах // Владикавк. мат.
журн.---2003.---Т.~5, \No1.---С.~39--47.

\bibitem{MOT} {\it Magaril-Il'yaev~G.~G., Osipenko~K.~Yu.,
Tikhomirov~V.~M.} On optimal recovery of heat equation solutions // In:
Approximation Theory / Eds.\ D.~K.~Dimitrov, G. Nikolov, and
R.~Uluchev.---Sofia: Marin Drinov Academic Publishing House, 2004.
---P.~163--175.
\end{thebibliography}

\end{document}
