\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}

\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother

\tolerance 800

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator*{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}

\begin{document}


\title[]{О НАИЛУЧШИХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА КЛАССАХ ОГРАНИЧЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ}

\maketitle

\centerline{К.~Ю.~Осипенко (Москва)}

\bigskip

Пусть $\mbox{Э}_c$ --- эллипс с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c$. Обозначим через $A_c$ класс аналитических в эллипсе $\mbox{Э}_c$ и ограниченных там по модулю единицей функций. Рассматривается задача приближенного вычисления интеграла
$$I(f)=\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx,$$
где $p(x)$ --- некоторый неотрицательный вес, по значениям функции $f\in A_c$ в некоторой фиксированной системе
$$X=\begin{pmatrix}
x_1,\ldots,x_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix}$$
узлов $x_1,\ldots,x_n$ на отрезке $[-1,1]$ с кратностями $\nu_1,\ldots,\nu_n$. Обозначим через
$\displaystyle N=\sum_{j=1}^N\nu_j$. Погрешностью наилучшего метода приближения называется величина
\begin{multline}\label{1}
r(c,p,X)=\infp_S\sup_{f\in A_c}\left|I(f)\right.\\\left.-S(f(x_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,f(x_n),\ldots,
f^{(\nu_n-1)}(x_n)\right|,
\end{multline}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам)
$S\colon\mathbb C^N\to\mathbb C$. Метод $S_0$, на котором достигается нижняя грань в равенстве \eqref{1}, называется наилучшим. Для случая, когда $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные, строится наилучший метод. 

При $p(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$, $x_j=\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi$, $\nu_1=\ldots=\nu_n=1$, наилучшим методом является квадратурная формула
$$I(f)\approx\pi\frac{1-d_n(c)}n\sum_{j=1}^nf(x_j),$$
где $d_n(c)$ выражается через эллиптические функции, а для ее погрешности справедливо равенство
$$r(c,p,X)=2\pi c^{-2n}+O\left(c^{-6n}\right).$$


\renewcommand{\refname}{Литература}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} Осипенко~К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек. --- Мат. заметки, 1976, 19, \No~1, с.29--40.
\selectlanguage{english}
\bibitem{2} Bojanov~B.D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions. --- Zast. Math., 1974, v.~14, p.~441--447.

\end{thebibliography}
\end{document}
