\documentclass[12pt,a4paper,reqno,draft]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 2200
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}}

\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wa}{\widetilde a}
\newcommand*{\wL}{\widehat {\mathcal L}}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\Wt}{W_2^n(\mathbb T)}
\newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\WWt}{\mathcal W_2^n(\mathbb T)}

\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widetilde x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wb}{\widetilde b}
\newcommand*{\wnu}{\widehat\nu}
\newcommand*{\wN}{\widehat N_\delta}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\ta}{\widetilde a}
\newcommand*{\tb}{\widetilde b}
\newcommand*{\wha}{\widehat a}
\newcommand*{\whb}{\widehat b}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}





\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\card}{card}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\mes}{mes}

\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.984.64
\end{flushleft}


\title[О наилучшем гармоническом синтезе]{О наилучшем гармоническом синтезе
периодических функций}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No13-01-12447 и \No14-01-92004)}
\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова,
Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского, Южный математический институт Владикавказского научного
центра РАН}

\maketitle

Работа посвящена построению наилучших (оптимальных) методов восстановления функций
по их приближенно заданным коэффициентам Фурье. Такие методы строятся сразу для
целого класса функций, что определят их важную специфику: используются, вообще
говоря, не все доступные для измерения (точного или неточного) коэффициенты Фурье, а
те, которые используются, подвергаются некоторому ``сглаживанию''. Это полностью
согласуется с тем, что происходит в инженерной практике, связанной с цифровой
обработкой сигналов: высокие частоты отбрасываются, а низкие тем или иным способом
фильтруются.

Предлагаемый подход к определению оптимального метода идейно восходит к работам
А.~Н.~Колмогорова о нахождении наилучшего подпространства среди всех подпространств
фиксированной размерности, аппроксимирующего данный класс функций. Этот подход можно
было бы назвать колмогоровской регуляризацией. Он является определенной
альтернативой регуляризации по А.~Н.~Тихонову, где рассматриваются индивидуальные
объекты и при этом не учитывается конкретное значение погрешности измерения (которое
может быть и не близким к нулю) и не обсуждается вопрос о наилучших методах.

Структура статьи следующая. Мы начинаем с рассмотрения одного примера тихоновской
регуляризации в задаче восстановления функции в точке по ее неточно заданным
коэффициентам Фурье. Пример взят из классического университетского учебника по
математическому анализу (\cite{IP}). Затем мы даем свой вариант решения данной
задачи, основанный на колмогоровской регуляризации. После этого приводятся точные
решения ряда задач оптимального восстановления функций и их производных в
среднеквадратической метрике по точно или неточно заданному конечному набору
коэффициентов Фурье. Отметим, что в работах \cite{MO1}--\cite{MS} изучались задачи
близкие к изложенным здесь, а именно, задачи оптимального восстановления функций
(периодических и заданных на $\mathbb R^d$) и операторов от них по неточно заданному
спектру.


%Основная цель работы --- продемонстрировать отмеченный эффект (и ряд других) на
%примерах восстановления периодических функций из классического соболевского класса
%по их неполно и/или неточно заданным коэффициентам Фурье. Точнее говоря, приводятся
%явные выражения для оптимальных методов восстановления, где указаны точные границы,
%за пределами которых информация о коэффициентах Фурье оказывается лишней, а также
%виды фильтров для низких частот.


Библиография: 7 названий.

\vskip7pt

{\bf Ключевые слова:} оптимальное восстановление, периодическая функция,
экстремальная задача, коэффициенты Фурье








\section[Оптимальное восстановление функций]{Об одной задаче восстановление функции
по неточно заданным коэффициентам Фурье}

В \cite{IP} рассматривается следующая задача. Пусть $2\pi$-периодичес\-кая функция
$x\cd$ такова, что ее ряд Фурье
\begin{equation*}
x(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kt+ b_k\sin kt),
\end{equation*}
где
\begin{equation}\label{kf}
\begin{aligned}
a_k= &a_k(x\cd)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)\cos kt\,dt,\quad k=0,1,2,\ldots,\\
b_k= &b_k(x\cd)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)\sin kt\,dt,\quad k=1,2,\ldots,
\end{aligned}
\end{equation}
сходится к $x\cd$ равномерно.

Вместо точных значений коэффициентов Фурье функции $x\cd$ известны их приближенные
значения $\ta_k$, $\tb_k$ такие, что
$$\frac{(a_0-\ta_0)^2}2+\sum_{k=1}^\infty((a_k-\ta_k)^2+(b_k-\tb_k)^2)\le\delta^2,$$
где $\delta>0$. По этой информации требуется восстановить значение функции $x\cd$ в
некоторой точке $\tau$.

Нетрудно доказать, что как бы быстро не сходился исходный ряд к $x(\tau)$ и как бы
не было мало $\delta>0$, можно указать такие числа $\ta_k$, $\tb_k$, что сумма ряда
\begin{equation*}
\frac{\ta_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\ta_k\cos kt+ \tb_k\sin kt)
\end{equation*}
будет отличаться от $x(\tau)$ на любое наперед заданное число или даже расходиться.

Для решения проблемы восстановления функции $x\cd$ в точке $\tau$ предлагается
следующая процедура. В качестве приближенного значения $x(\tau)$ рассматривается ряд
$$\frac{\ta_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac1{1+\alpha k^2}(\ta_k\cos k\tau+\tb_k\sin k\tau),$$
где $\alpha$ того же порядка малости, что и $\delta$ (например, можно положить
$\alpha=\delta)$.

Доказывается, что если $x\cd\in L_2(\mathbb T)$ (здесь и далее под $\mathbb T$
понимается отрезок $[-\pi,\pi]$ с идентифицированными концами) и $x\cd$ непрерывна в
$\tau$, то данный ряд сходится к $x(\tau)$ при $\alpha\to0$.

\vskip15pt

В заключительном замечании авторы учебника пишут: ``{\it ... должны ли мы, желая
получить как можно более точное представление об интересующем нас физическом
процессе, неограниченно совершенствовать точность прибора или путь к этому лежит
через развитие таких математических методов обработки результатов измерений, которые
позволяют при {\bf имеющейся точности} измерения частотных характеристик извлечь
{\bf максимальную} информацию об изучаемом процессе.}'' (Выделено жирным шрифтом нами.)
\vskip15pt

Подход, который мы называем колмогоровской регуляризацией, предполагает наличие
некоторой априорной информации о функции $x\cd$. Но тогда появляется возможность
учитывать имеющуюся фиксированную точность измерения и ставить вопрос о нахождении
наилучшего метода среди всех возможных.

%Действительно, реально погрешность фиксирована ($\delta$ не стремится к нулю). Кроме
%того, нас интересует вопрос существуют ли методы, дающие меньшую погрешность
%приближения? Какой самый лучший метод?

%Мы отвечаем на эти вопросы, предполагая, что приближаемые функции принадлежат
%некоторому классу функций.



Перейдем к точной постановке задачи. Обозначим через $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$
пространство абсолютно непрерывных $2\pi$-периоди\-ческих функций  $x\cd$, у которых
производная $\dot x\cd$ принадлежит $L_2(\mathbb T)$. Норма функции $x\cd$ в
$L_2(\mathbb T)$ определяется так
$$
\|x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}=\left(\frac1{\pi}\int_{-\pi}^\pi|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}.
$$
Если $x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то в каждой
точке $t\in \mathbb T$ функция $x\cd$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к
ней равномерно.

В пространстве $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ рассмотрим класс функций
$$
W_2^1(\mathbb T)=\{\,x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T) : \|\dot x\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}\le1\,\}.
$$

Обозначим через $l_2$ пространство суммируемых с квадратом вещественных
последовательностей со скалярным произведением
$$
\la y,y'\ra=\frac{a_0 a'_0}2+\sum_{k=1}^\infty y_k y'_k,
$$
где $y=(y_0,y_1,\ldots)$,  $y'=(y'_0,y'_1,\ldots)$ и с соответствующей  нормой
$$
\|y\|_{l_2}=\left(\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty y_k^2\right)^{1/2}.
$$
Если функция $x\cd$ принадлежит $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то ее коэффициенты
Фурье принадлежат $l_2$. Пусть $F\colon \mathcal W_2^1(\mathbb T)\to l_2$ ---
преобразование Фурье $x\cd$, т.~е. $Fx\cd=(a_0(x\cd),a_1(x\cd),b_1(x\cd),\dots)$
--- набор коэффициентов Фурье функции $x\cd$.


Предположим, что о каждой функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ нам известны
приближенно ее коэффициенты Фурье, а именно, известен вектор
$$y=(\ta_0,\ta_1,\tb_1\ldots)\in l_2$$ такой, что
$$\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta,$$
где $\delta>0$.


Любой метод восстановления $x(\tau)$ должен сопоставлять вектору (наблюдению) $y$
число, которое, согласно данному методу, есть некоторое приближение к $x(\tau)$.
Таким образом, любой метод
--- это некоторая функция $\varphi\colon l_2\to \mathbb R$. {\it Погрешностью\/}
данного метода назовем величину
$$e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^1(\mathbb T),\ y\in l_2\\
\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(y)|.$$ Нас интересует величина
$$E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=\inf_{\varphi\colon l_2\to\mathbb R}e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi),$$
называемая {\it погрешностью оптимального восстановления\/} и метод
$\widehat\varphi$, на котором достигается нижняя грань, называемый {\it оптимальным
методом восстановления}, т.~е.\ такой метод $\widehat\varphi$, что
$$E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\widehat\varphi).$$

\begin{theorem}\label{T1} Для любого $\delta>0$
$$
E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=(\widehat
a+\delta^2)\biggl(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+\widehat ak^{2})^2}\biggr)^{1/2},
$$
где $\widehat a=\widehat a(\delta)$ --- единственное решение уравнения
\begin{equation*}
\frac{\dfrac12+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}}
{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}}=\delta^2.
\end{equation*}
Метод $\widehat \varphi$, действующий по правилу
$$\widehat\varphi(y)=\frac{\wa_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac1{1+\widehat ak^{2}}(\wa_k\cos k\tau+
\wb_k\sin k\tau),$$ является оптимальным.
\end{theorem}

Как видно из формулировки теоремы, для любого $\delta>0$ метод регуляризации,
предложенный в \cite{IP}, является оптимальным на классе $W_2^1(\mathbb T)$ при
$\alpha=\widehat a(\delta)$. Кроме того, минимальная ошибка оценивания $x(\tau)$
дается величиной $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$, которая стремится к нулю при
$\delta\to0$.

Заметим еще, что информация о функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$, заключающаяся в
том, что известен вектор $y\in l_2$ такой, что $\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta$
равносильна, в силу равенства Парсеваля, тому, что известна функция $y\cd\in
L_2(\mathbb T)$ такая, что $\|x\cd-y\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le\delta$.


\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T1}$]
Покажем сначала, что погрешность оптимального восстановления  $E(W_2^1(\mathbb
T),F,\delta)$ не меньше значения задачи
\begin{equation}\label{i1}
x(\tau)\to\max,\quad x\cd\in W_2^1(\mathbb T),\quad \|Fx\cd\|_{l_2}\le\delta,
\end{equation}
т.~е. величины верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях.

Действительно, пусть $\varphi\colon l_2\to\mathbb R$ --- произвольный метод
восстановления, $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ (тогда и $-x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$) и
$\|Fx\cd\|_{l_2}\le\delta$. Имеем
\begin{multline*}
2x(\tau)\le|x(\tau)-\varphi(0)-(-x(\tau)-\varphi(0))|
\le|x(\tau)-\varphi(0)|\\+|-x(\tau)-\varphi(0)|\le 2\sup_{\substack{x\cd\in
W_2^1(\mathbb
T)\\\|Fx\cd\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(0)|\\\le2\sup_{\substack{x\cd\in
W_2^1(\mathbb T), \ y\in
l_2\\\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(y)|=2e(W_2^1(\mathbb
T),F,\delta,\varphi).
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем указанным $x\cd$, а затем справа по всем
методам $\varphi$, получаем требуемое.

Теперь найдем значение задачи \eqref{i1} (и тем самым получим оценку снизу для
погрешности оптимального восстановления). Для этого удобно переписать задачу в
терминах коэффициентов Фурье. Если  $x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то согласно
равенству Парсеваля
\begin{align*}
&\|x\cd\|_{L_2(\mathbb
T)}^2=\|Fx\cd\|_{l_2}^2=\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2),
\\[8pt]
&\|\dot x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}^2=\|F\dot x\cd\|_{l_2}^2=\sum_{k=1}^\infty
k^{2}(a_k^2+b_k^2),
\end{align*}
где $a_k=a_k(x\cd)$, $k\in \mathbb Z_+$, и $b_k=b_k(x\cd)$, $k\in \mathbb N$, и
тогда задача \eqref{i1} перепишется в виде
\begin{multline}\label{i2}
\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\to\max,\quad
\sum_{k=1}^\infty
k^{2}(a_k^2+b_k^2)\le1,\\\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\le\delta^2.
\end{multline}
Заметим, что эта задача как задача на последовательностях $(a_0,a_1,b_1,\ldots)$
(всюду далее такую последовательность обозначаем $\{a_k, b_k\}$)  из $l_2$, для
которых последовательность $\{ka_k, kb_k\}$ также принадлежат $l_2$ (обозначим
пространство таких последовательностей через $l_2^1$), равносильно задаче \eqref{i1}
в том смысле, что если $\{a_k, b_k\}\in l^1_2$, то существует единственная функция
$x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, для которой $\{a_k, b_k\}$
--- последовательность ее коэффициентов Фурье.
Ограничения в \eqref{i2} переходят в ограничения в \eqref{i1}, $x(\tau)$ --- это
максимизируемый функционал в \eqref{i2}.

Если мы найдем решение задачи \eqref{i2}, то тем самым  найдем и ее значение. Эта
задача является выпуклой. Воспользуемся достаточными условиями существования
решения. Функция Лагранжа задачи \eqref{i2} имеет вид
\begin{multline*}
\LL(\{a_k,b_k\},\lambda_1,\lambda_2)=-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty
(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\\
+\lambda_1\sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2)
+\lambda_2\left(\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\right).
\end{multline*}
Если найдется допустимая в \eqref{i2} (т.~е. удовлетворяющая ограничениям)
последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$ и множители Лагранжа $\wl_1\ge0$, $\wl_2\ge0$
такие, что
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{\{a_k,b_k\}\in l_2^1}\LL(\{a_k,b_k\},\wl_1,\wl_2)=\LL(\{\wha_k,\whb_k\},\wl_1,\wl_2),\\[8pt]
(b)&\quad\wl_1\left(\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\widehat a_k^2+\widehat
b_k^2)-1\!\right)=0, \,\,\,\,
\wl_2\left(\frac{\wha_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)-\delta^2\right)\!=0,
\end{align*}
то $\{\wha_k,\whb_k\}$
--- решение задачи \eqref{i2}.

Проверка этого достаточно проста. Действительно, для любой допустимой
последовательности $\{a_k,b_k\}$, используя условия $(a)$ и $(b)$, будем иметь
\begin{multline*}
-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin
k\tau)\ge-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin
k\tau)\\+\wl_1\left(\sum_{k=1}^\infty
k^{2}(a_k^2+b_k^2)-1\right)+\wl_2\left(\frac{a_0^2}2+
\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)-\delta^2\right)\\=\LL(\{a_k,b_k\},\wl_1,\wl_2)
-\wl_1-\wl_2\delta^2\ge\LL(\{\wha_k,\whb_k\},\wl_1,\wl_2)-\wl_1-\wl_2\delta^2
\\=\frac{\widehat a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (\wha_k\cos k\tau+\whb_k\sin
k\tau)+\wl_1\left(\sum_{k+1}^\infty k^{2} (\widehat a_k^2+\widehat
b_k^2)-1\right)\\+\wl_2\left(\frac{\wha_0^2}2+
\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)-\delta^2\right)=-\frac{\widehat
a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (\wha_k\cos k\tau+\whb_k\sin k\tau),
\end{multline*}
т.~е. $(\{\wha_k,\whb_k\}$
--- решение задачи \eqref{i2}.

Далее рассуждаем эвристически, пытаясь понять, какой вид должна иметь
последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$ и множители Лагранжа $\wl_1\ge0$,
$\wl_2\ge0$, если они удовлетворяют условиям $(a)$ и $(b)$. Функция Лагранжа, как
функция последовательности $\{a_k,b_k\}$ является гладкой и из условия $(a)$
следует, что производная этой функции в точке $\{\wha_k,\whb_k\}$ равна нулю.
Формально вычисляя эту производную, приходим к тому, что для любой
последовательности $\{a_k,b_k\}$ должно выполняться тождество
\begin{multline}\label{id}
-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)
+2\wl_1\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\wha_k a_k+\whb_k b_k)\\
+2\wl_2\left(\frac{\wha_0 a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k a_k+\whb_kb_k)\right)=0.
\end{multline}
Отсюда, беря последовательности вида $(1,0,\ldots),(0,1,0,\ldots),\ldots$, получаем,
что
\begin{equation}\label{abc}
\wha_0=\frac 1{2\wl_2}\,,\quad \wha_k=\frac{\cos k\tau}{2(\wl_1 k^2+\wl_2)}\,,\quad
\whb_k=\frac{\sin k\tau}{2(\wl_1 k^2+\wl_2)}\,,\quad k\in\mathbb N.
\end{equation}
Если считать, что $\wl_1>0$ и $\wl_2>0$, то для выполнения условия $(b)$ необходимо,
чтобы выражения в скобках в этом условии равнялись нулю, т.~е.
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\widehat a_k^2+\widehat b_k^2)=\frac
14\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(\wl_1 k^2+\wl_2)^2}=1
\end{equation*}
и
\begin{equation*}
\frac{\wha_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)=\frac 14\left(\frac
1{2\wl_2^2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(\wl_1 k^2+\wl_2)^2}\right)=\delta^2.
\end{equation*}
Обозначая $a=\wl_1/\wl_2$ и деля второе уравнение на первое, получаем, что
\begin{equation}\label{equ}
\frac{\dfrac12+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}}
{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}}=\delta^2.
\end{equation}

Теперь рассуждаем точно. Выражение в левой части \eqref{equ} определяет функцию $f$
(переменного $a$) на $(0,\infty)$. Покажем, что для любого $\delta>0$ существует
единственное $\widehat a=\widehat a(\delta)>0$ такое, что $f(\widehat a)=\delta^2$.
Для этого сначала докажем, что $\lim_{a\to0}f(a)=0$ и
$\lim_{a\to+\infty}f(a)=+\infty$.

Пусть $\varepsilon>0$  и $n\ge6$ таково, что $1/n<\varepsilon$. Так как, очевидно,
$$\lim_{a\to0}\biggl(\frac12+\sum_{k=1}^n\frac1{(1+ak^{2})^2}\biggr)=\frac12+n<2n+1$$
и
$$\lim_{a\to0}\sum_{k=1}^n\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}=\sum_{k=1}^nk^{2}=
\frac{n(n+1)(2n+1)}6>n(2n+1)\,,$$ то существует такое $a_0>0$, что для всех
$0<a<a_0$ справедливы неравенства
$$
\frac12+\sum_{k=1}^n\frac1{(1+ak^{2})^2}<2n+1,\quad\sum_{k=1}^n\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}
>n(2n+1)\,.
$$
Отсюда следует, что
$$\frac12+\sum_{k=1}^n\frac1{(1+ak^{2})^2}<
\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\,.$$ Далее, ясно, что
$$\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}<\frac1{n^2}\sum_{k=n+1}^\infty
\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}<\frac1{n}\sum_{k=n+1}^\infty
\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\,.$$ Складывая полученные неравенства и затем деля одно
на другое, получаем, что для всех $0<a<a_0$
\begin{equation*}
f(a)=\frac{\dfrac12+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}}
{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}}<\frac1n<\varepsilon\,,
\end{equation*}
т.~е. $\lim_{a\to0}f(a)=0$.

С другой стороны, для любого $a>0$
$$f(a)=\dfrac{\dfrac{a^2}2+
\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac1{(a^{-1}+k^{2})^2}}
{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k^{2}}{(a^{-1}+k^{2})^2}}>
\dfrac{a^2}{2\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac 1{k^{2}}}\,,$$ откуда сразу
следует, что $\lim_{a\to+\infty}f(a)=+\infty$.

Для доказательства единственности покажем, что $f$ строго монотонно возрастает на
$(0,\infty)$. Для этого достаточно показать, что она строго монотонно возрастает на
любом отрезке $[a_0,a_1]$, где $0<a_0<a_1<\infty$. На каждом таком отрезке выполнены
стандартные условия о почленном дифференцировании рядов, входящих в определение $f$,
и мы имеем для $a\in[a_0,a_1]$
$$f'(a)=\frac{2g(a)}
{\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\biggr)^2}\,,$$ где
\begin{multline*}
g(a)=-\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^3}
\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\\
+\biggl(\frac12+\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}\biggr)
\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{4}}{(1+ak^{2})^3}\\
>-\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^3}
\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\\
+\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}
\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{4}}{(1+ak^{2})^3}=-\sum_{j,k=1}^\infty\alpha_{jk}+
\sum_{j,k=1}^\infty\beta_{jk},
\end{multline*}
а
$$\alpha_{jk}=\frac{j^{2}k^{2}}{(1+aj^{2})^3(1+ak^{2})^2}\,,\quad
\beta_{jk}=\frac{k^{4}}{(1+aj^{2})^2(1+ak^{2})^3}\,.$$ Отсюда
\begin{gather*}
-\alpha_{jk}+\beta_{kj}=\frac{j^{2}(j^{2}-k^{2})}{(1+aj^{2})^3(1+ak^{2})^2}\,,
\\-\alpha_{kj}+\beta_{jk}=\frac{k^{2}(k^{2}-j^{2})}{(1+ak^{2})^3(1+aj^{2})^2}
\end{gather*}
и тогда получаем, что
\begin{multline*}
-\alpha_{jk}+\beta_{kj}-\alpha_{kj}+\beta_{jk}\\
= \frac{j^{2}-k^{2}}{(1+aj^{2})^2(1+ak^{2})^2}\left(\frac{j^{2}}{1+aj^{2}}
-\frac{k^{2}}{1+ak^{2}}\right)\\
=\frac{(j^{2}-k^{2})^2} {(1+aj^{2})^3(1+ak^{2})^3}\ge0\,.
\end{multline*}
Тем самым $g(a)>0$ и значит, $f'(a)>0$ для любого $a\in(0,\infty)$. Единственность
доказана.

Пусть $\delta>0$ и $\widehat a=\widehat a(\delta)$ --- единственное решение
уравнения $f(a)=\delta^2$. Полагаем
\begin{equation*}
\wl_2=\wl_2(\widehat a)=\frac 12\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a
k^2)^2}\right)^{1/2},
\end{equation*}
$\wl_1=\wl_1(\widehat a)=\widehat a\,\wl_2$ и пусть с данными $\wl_1$, $\wl_2$ числа
$\wha_0$, $\wha_k$, $\whb_k$, $k\in\mathbb N$, определены формулами \eqref{abc}.

Последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$, как легко видеть, принадлежат $l_2^1$ и
элементарный подсчет показывает, что
\begin{equation}\label{dn}
\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\widehat a_k^2+\widehat b_k^2)=1,
\qquad\frac{\wha_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)=\delta^2,
\end{equation}
так что она  допустима в задаче \eqref{i2}.

Вторая и третья суммы в выражении \eqref{id} являются скалярными произведениями
соответственно последовательностей $\{k\wha_k,k\whb_k\}$, $\{ka_k,kb_k\}$ и
$\{\wha_k,\whb_k\}$, $\{a_k,b_k\}$ и поэтому имеют смысл. Подставляя в \eqref{id}
выражения для $\wl_1$, $\wl_2$ и $\wha_0$, $\wha_k$, $\whb_k$, $k\in\mathbb N$,
после элементарных преобразований видим, что это верное равенство для любой
последовательности $\{a_k,b_k\}\in l^1_2$.
%\begin{multline}\label{idn}
%\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)
%=\widehat a\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{2}}{1+\widehat a k^2}(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\\
%+\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac 1{1+\widehat a k^2}(a_k\cos k\tau+b_k\sin
%k\tau).
%\end{multline}

Пусть функция $\whx\cd\in\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ такова, что $\{\wha_k,\whb_k\}$
--- последовательность ее коэффициентов Фурье. Тогда \eqref{id}, вместе с
равенством Парсеваля, означает,
что для любой функции $x\cd\in\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ справедливо равенство
\begin{equation}\label{idn}
x(\tau)=2\wl_1\la F\dot\whx\cd,F\dot x\cd\ra+2\wl_2\la F\whx\cd,Fx\cd\ra.
\end{equation}
Если подставить сюда вместо $x\cd$ функцию $\whx\cd$, то получим
\begin{equation*}
\whx(\tau)=(\widehat a+\delta^2)\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a
k^2)^2}\right)^{1/2}.
\end{equation*}
Величина слева --- значение максимизируемого функционала в задаче \eqref{i1} на функции $\whx\cd$ и поэтому значение самой задачи не меньше этой величины.

По доказанному, погрешность оптимального восстановления $E(W_2^1(\mathbb
T),F,\delta)$ не меньше значения задачи \eqref{i1} и значит,
\begin{equation}\label{sn}
E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)\ge(\widehat
a+\delta^2)\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a k^2)^2}\right)^{1/2}.
\end{equation}

Заметим, что на самом деле, функция $\whx\cd$ являются решением задачи \eqref{i1},
но нам это не нужно и поэтому на этом не будем останавливаемся.

Оценим теперь сверху величину $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$ и проверим, что метод
$\widehat\varphi$ из формулировки теоремы является оптимальным. Оценим погрешность
этого метода. Пусть $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$, $y=(\wa_0,\wa_1,\wb_1,\ldots)\in
l_2$ и $\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta$. Нетрудно убедиться, что $\widehat
\varphi(y)=2\wl_2\la F\whx\cd,y\ra$. Тогда в силу тождества \eqref{idn}, неравенства
Коши--Буняковского, равенства Парсеваля, равенств \eqref{dn} и условий на $x\cd$ и
$y$ имеем
\begin{multline*}
|x(\tau)-\widehat\varphi(y)|=|2\wl_1\la F\dot\whx\cd,F\dot x\cd\ra+2\wl_2\la
F\whx\cd,Fx\cd-y\ra|\\\le2\wl_1\|F\dot\whx\cd\|_{l_2}\|F\dot
x\cd\|_{l_2}+2\wl_2\|F\whx\cd\|_{l_2}\|Fx\cd-y\|_{l_2}\\\le2\wl_2\widehat
a+2\wl_2\delta^2=(\widehat a+\delta^2)\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat
a k^2)^2}\right)^{1/2}.
\end{multline*}
Отсюда и \eqref{sn} следует оптимальность метода $\widehat \varphi$ и нужное
выражение для величины $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$.
\end{proof}





\section[Восстановление функций]{Оптимальное восстановление функций и их производных
по конечному набору коэффициентов Фурье}

В предыдущем параграфе информация о коэффициентах Фурье состояла в том, что все они
приближенно известны в метрике $l_2$. С практической точки зрения более естественной
представляется ситуация, когда имеется возможность измерить приближенно каждый из
некоторого конечного набора коэффициентов Фурье функции. В данном параграфе
рассматривается именно этот случай, причем восстанавливать функцию и ее производные
мы будем не в точке, а ``целиком'' в метрике $L_2(\mathbb T)$. При этом возникает
интересный эффект, заключающейся в том, что не все приближенно измеренные
коэффициенты Фурье используются в оптимальном методе восстановления. Для того, чтобы
показать, что этот эффект связан не только с наличием погрешности в исходных данных,
мы сначала рассматриваем случай, когда известен конечный набор точно измеренных
коэффициентов Фурье.


\subsection{Восстановление в среднеквадратической метрике по точным
значениям коэффициентов Фурье} Пусть $n$ --- натуральное. Обозначим через $\mathcal
W_2^n(\mathbb T)$ пространство $2\pi$-периодических функций $x\cd$, у которых
$(n-1)$-ая производная абсолютно непрерывна и $x^{(n)}\cd\in L_2(\mathbb T)$.
В пространстве $\mathcal W_2^n(\mathbb T)$ рассмотрим класс функций
$$
W_2^n(\mathbb T)=\{\,x\cd\in \mathcal W_2^n(\mathbb T)\mid
\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1\,\}.
$$


Мы ставим следующую задачу. Пусть $A\subset\mathbb Z_+=\{0,1,2,\ldots\}$ и
$B\subset\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$
--- конечные множества (одно из них может быть пустым) и о каждой функции
$x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ нам известны ее коэффициенты Фурье $\{a_k\}_{k\in A}$ и
$\{b_k\}_{k\in B}$, т.~е. $x\cd$ соответствует набор $F_{A,B}x\cd=(\{a_k\}_{k\in
A},\{b_k\}_{b\in B})$ из $N$ чисел, где $N=\card A+\card B$. Как наилучшим образом
восстановить функции из $W_2^n(\mathbb T)$ и их $r$-ые производные, $1\le r\le n-1$,
в метрике $L_2(\mathbb T)$, используя данную информацию? Поступаем следующим
образом.
Любой метод $\varphi$, призванный восстановить $x^{(r)}\cd$ ($0\le r\le n-1$) по
набору $F_{A,B}x\cd$, сопоставляет этому набору функцию $\varphi(F_{A,B}x\cd)\cd\in
L_2(\mathbb T)$, т.~е. $\varphi$ есть отображение из $\mathbb R^N$ в $L_2(\mathbb
T)$.

Погрешностью метода $\varphi$ назовем величину
\begin{equation*}
e(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\varphi)=\sup_{x\cd\in W_2^n(\mathbb
T)}\|x^{(r)}\cd-\varphi(F_{A,B}x\cd)\cd\|_{L_2(\mathbb T)},
\end{equation*}
($D^r$ символизирует оператор $r$-кратного дифференцирования, $D^0$ ---
тождественный оператор), представляющую собой максимальное на классе $W_2^n(\mathbb
T)$ уклонение функции $x^{(r)}\cd$ от функции, которая ее ``восстанавливает'' согласно
данному методу.

Нас, как и раньше, интересует тот метод, погрешность которого минимальна. Точнее
говоря, нас интересует величина
\begin{equation*}
E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=\inf_{\varphi\colon \mathbb R^N\to L_2(\mathbb
T)}e(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\varphi),
\end{equation*}
которую мы называем {\it погрешностью оптимального восстановления} и те методы, на
которых нижняя грань достигается, т.~е. такие методы $\widehat \varphi$, что
\begin{equation*}
E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=e(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\widehat \varphi).
\end{equation*}
Подобные методы будем называть {\it оптимальными методами восстановления}.

Свяжем со множествами $A$ и $B$ число
\begin{equation*}
k_0=k_0(A,B)=\min\{\min_{\,k\in\mathbb N\setminus A}k, \ \min_{k\in\mathbb
N\setminus B}k\,\}.
\end{equation*}

Обозначим через $\chi_r$ функцию на $\mathbb Z_+$, равную единице в нуле и нулю в
остальных точках.

\begin{theorem}\label{T2} Если $0\notin A$, то
$$E(D^0,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=+\infty.$$

Если $1\le r\le n-1$ или $r=0$ и $0\in A$, то
$$E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=\frac 1{k_0^{n-r}}$$
и для любых наборов чисел $\alpha=\{\alpha_k\}_{k\in A}$ и $\beta=\{\beta_k\}_{k\in B}$ таких, что
$$|\alpha_k-1|\le\left(\frac{k}{k_0}\right)^{n-r},\ k\in A,\qquad
|\beta_k-1|\le\left(\frac{k}{k_0}\right)^{n-r},\ k\in B,$$
метод
\begin{multline*}
\widehat\varphi_{\alpha,\beta}(F_{A,B}x\cd)(t)=\frac{a_0}2\chi_r+\sum_{k\in A\setminus\{0\}}k^r\alpha_ka_k\cos(kt+\pi r/2)\\
+\sum_{k\in B}k^r\beta_kb_k\sin(kt+\pi r/2)
\end{multline*}
является оптимальным.
\end{theorem}

Сделаем несколько замечаний по поводу сформулированной теоремы.

1. Условие $E(D^0,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=+\infty$, если $0\notin A$ означает, что
никаким способом нельзя восстановить функции из класса $W_2^n(\mathbb T)$, и в этом
смысле любой метод оптимален.

2. Все оптимальные методы линейны и существует оптимальный метод, который использует коэффициенты Фурье только с номерами
до $k_0-1$ (нетрудно проверить, что при $k\ge k_0$ коэффициенты $\alpha_k$ и $\beta_k$ можно положить равными нулю). При этом, если $k_0=1$ и $r\ge1$, то оптимальный метод нулевой.

3. Среди оптимальных методов есть ``естественные'', когда $\alpha_k=\beta_k=1$,
т.~е. в ряд Фурье подставляются известные коэффициенты Фурье.

\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T2}$]
Пусть $0\le r\le n-1$. Как и при доказательстве предыдущей теоремы, начнем с оценки
снизу величины $E(D^r,\Wt,F_{A,B})$. Те же, фактически, рассуждения, что и раньше
приводят к соотношению
\begin{equation}\label{lb0}
E(D^r,\Wt,F_{A,B})\ge\sup_{\substack{x\cd\in\Wt\\F_{A,B}x\cd=0}}\|x^{(r)}\cd\|_{\lT}.
\end{equation}

Пусть $r=0$. Если $0\notin A$, то любая функция $x\cd$, являющаяся константой,
удовлетворяет условиям: $x\cd\in \Wt$ и $F_{A,B}x\cd=0$, а величина $\|x\cd\|_{\lT}$
может быть сделана сколь угодно большой. Тогда из \eqref{lb0} следует, что
$E(D^0,\Wt,F_{A,B})=+\infty$.

Пусть теперь $0\in A$. Если $k_0=\min\{\,k\in\mathbb N\setminus A\,\}$, то
рассмотрим функцию $t\mapsto x_0(t)=k_0^{-n}\cos k_0t$. Легко проверить, что
$x_0\cd\in \Wt$, $F_{A,B}x_0\cd=0$ и $\|x_0\cd\|_{\lT}=k_0^{-n}$. Если же
$k_0=\min\{\,k\in\mathbb N\setminus B\,\}$, то надо рассмотреть функцию $t\mapsto
k_0^{-n}\sin k_0t$, которая обладает теми же свойствами. Таким образом, правая часть
\eqref{lb0} не меньше $k_0^{-n}$ и значит,
\begin{equation}\label{sn1}
E(D^0,\Wt,F_{A,B})\ge\frac 1{k_0^{n}}\,.
\end{equation}

Оценим теперь сверху величину $E(D^0,\Wt,F_{A,B})$ и проверим оптимальность методов
$\widehat\varphi_{\alpha,\beta}$ из формулировки теоремы.

Пусть $x\cd\in\Wt$. Используя равенство Парсеваля,
будем иметь
\begin{multline*}
\|x\cd-\varphi_{\alpha,\beta}(F_{A,B}x\cd)\cd\|_{\lT}^2=\sum_{k\in A\setminus\{0\}}(1-\alpha_k)^2a_k^2+\sum_{k\in B}(1-\beta_k)^2b_k^2\\
+\sum_{k\in\mathbb N\setminus A}a_k^2+\sum_{k\in\mathbb N\setminus B}b_k^2\le
\max_{k\in A\setminus\{0\}}\frac{(1-\alpha_k)^2}{k^{2n}}\sum_{k\in A\setminus\{0\}}k^{2n}a_k^2\\+\max_{k\in B}\frac{(1-\beta_k)^2}{k^{2n}}\sum_{k\in B}k^{2n}b_k^2
+\frac1{k_0^{2n}}\sum_{k\in\mathbb N\setminus A}k^{2n}a_k^2+\frac1{k_0^{2n}}\sum_{k\in\mathbb N\setminus B}k^{2n}b_k^2.
\end{multline*}
Учитывая условия на векторы $\alpha$ и $\beta$, получаем, что для любого метода
$\widehat\varphi_{\alpha,\beta}$ с такими наборами $\alpha$ и $\beta$
\begin{equation*}
\|x\cd-\widehat\varphi_{\alpha,\beta}(F_{A,B}x\cd)\cd\|_{\lT}^2\le\frac1{k_0^{2n}}
\sum_{k\in\mathbb N}k^{2n}(a_k^2+b_k^2) \le\frac1{k_0^{2n}}\,,
\end{equation*}
справедливому для всех $x\cd\in\Wt$.  Следовательно,
$$
e(D^0,\Wt,F_{A,B},\widehat\varphi_{\alpha,\beta})\le\frac1{k_0^{n}}\,.
$$
Сравнивая это с оценкой \eqref{sn1}, получаем утверждения теоремы для случая, когда
$r=0$ и $0\in A$.

Пусть теперь $1\le r\le n-1$. Беря те же функции $t\mapsto k_0^{-n}\cos k_0t$ и
$t\mapsto k_0^{-n}\sin k_0t$, что и выше, получаем, что величина справа в
\eqref{lb0} не меньше $k_0^{-(n-r)}$ и значит,
\begin{equation}\label{snr}
E(D^r,\Wt,F_{A,B})\ge\frac 1{k_0^{n-r}}\,.
\end{equation}

Оценка погрешности метода $\widehat \varphi_{\alpha,\beta}$
получается совершенно аналогично тому как это сделано выше для $r=0$.
\end{proof}












%Рассмотрим теперь такую задачу. Пусть имеется возможность измерить любые $N$
%коэффициентов Фурье. Какие коэффициенты лучше всего взять, чтобы погрешность
%оптимального восстановления была минимальной. Из теоремы~\ref{T1} вытекает следующий
%результат.

%\begin{theorem}
%Пусть $N\in\mathbb N$. Тогда
%$$
%\inf_{\card A+\card B\le N}E(W_2^1(\mathbb T),I_{A,B})=\begin{cases}\dfrac 2N\,,&
%\,\,\,\text{N \ четное},\\[12pt]
%\dfrac2{N+1}\,,&\,\,\,\text{N \ нечетное}\,.
%\end{cases}
%$$
%Если $N$ четно, то множества $A_1$ и $B_1$, на которых нижняя грань достигается и
%для которых величина $\card A+\card B$ минимальна,  таковы
%$$
%A_1=\{0,1,\ldots,N/2-1\},\quad B_1=\{1,\ldots,N/2-1\},
%$$
%причем $B_1=\emptyset$, если $N=2$.


%Если $N$ нечетно, то множества $A_2$ и $B_2$, на которых достигается нижняя грань
%имеют вид
%$$
%A_2=\{0,1,\ldots,[N/2]\},\quad B_2=\{1,\ldots,[N/2]\},
%$$
%причем $B_2=\emptyset$, если $N=1$.
%\end{theorem}

%Заметим, что $\card A_1+\card B_1=N-1$.


\subsection[Восстановление функции]{Восстановление в среднеквадратической метрике
по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью} Здесь рассматривается задача
восстановления функции и ее производных на том же классе $\Wt$, с теми же
множествами $A$ и $B$, но вместо точных значений коэффициентов Фурье
$a_k=a_k(x\cd)$, $k\in A$ и $b_k=b_k(x\cd)$, $k\in B$, функции $x\cd\in \Wt$
известны их приближенные значения, т.~е. такие числа $\{\wa_k\}_{k\in A}$ и
$\{\wb_k\}_{k\in B}$, что
\begin{equation*}
|a_k-\wa_k|\le\delta,\,\,\, k\in A,\qquad|b_k-\wb_k|\le\delta,\,\, \,k\in B.
\end{equation*}
Удобно записать это по другому. Обозначим через $l_\infty^N$ пространство $\mathbb
R^N$ с нормой $\|y\|_{\infty}=\max_{0\le j\le N-1}|y_j|$, где
$y=(y_0,y_1,\ldots,y_{N-1})$.

Будем считать, для определенности, что
$$F_{A,B}x\cd=(a_{k_0},a_{k_1},\ldots,a_{k_{N_1}},b_{l_1},\ldots,b_{l_{N_2}}),$$ где
$k_0<\ldots<k_{N_1}$ и $l_1<\ldots<l_{N_2}$, $N_1+1+N_2=N$.
Тогда можно сказать, что нам известен вектор $y=(y_0,\ldots,y_N)$
такой, что $\|F_{A,B}x\cd-y\|_{\infty}\le\delta$.



{\it Погрешностью\/} метода $\varphi\colon \mathbb R^N\to L_2(\mathbb T)$  в
рассматриваемом случае называется величина
$$e(D^r,\Wt,F_{A,B},\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in\Wt,\ y\in l_\infty^N\\
\|F_{A,B}x\cd-y\|_{\infty}\le\delta}}\|x^{(r)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lT}.$$ {\it
Погрешностью оптимального восстановления\/} назовем величину
$$E(D^r,\Wt,F_{A,B},\delta)=\inf_{\varphi\colon l_\infty^N\to\lT}e(D^r,\Wt,F_{A,B},
\delta,\varphi),$$
а метод $\widehat\varphi$, на котором достигается нижняя грань, будем по-прежнему
называть {\it оптимальным методом восстановления}.

Положим
$$
\widehat p=\widehat p(\delta)=\max\biggl\{p\in\mathbb Z_+ :
2\delta^2\sum_{k=0}^pk^{2n}<1\biggr\}
$$
и $p_0=p_0(A,B,\delta)=\min\{\widehat p, \, k_0-1\}$, где $k_0=k_0(A,B)$ определено
перед теоремой \ref{T2}.

Функция $\chi_r$ на $\mathbb Z_+$ также определена перед теоремой \ref{T2}.




\begin{theorem}\label{T3} Если $0\notin
A$, то
$$
E(D^0,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\delta)=+\infty.
$$
Если $1\le r\le n-1$ или $r=0$ и $0\in A$, то
\begin{multline*}
E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\delta)\\=\sqrt{\frac
1{(p_0+1)^{2(n-r)}}+\frac{\delta^2}2\chi_r+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}k^{2r}
\left(1-\left(\frac{k}{p_0+1}\right)^{2(n-r)}\right)}
\end{multline*}
и метод
\begin{multline*}
\widehat\varphi(\{\wa_k\}_{k\in A},\{\wb_k\}_{k\in B})(t)
=\frac{\wa_0}2\chi_r\\
+\sum_{k=1}^{p_0}\left(1-\left(\frac{k}{p_0+1}\right)^{2(n-r)}\right) k^r(\wa_k\cos
(kt+\pi r/2)+\wb_k\sin(kt+\pi r/2))
\end{multline*}
является оптимальным.
\end{theorem}

Важно отметить, что если $\widehat p\le k_0-1$, то коэффициенты Фурье с номерами
большими $\widehat p$ можно отбросить --- оптимальный метод их не использует.

Заметим еще, что при $\delta=0$ формально получается значение погрешности
оптимального восстановления из предыдущей теоремы, так как в этом случае естественно
считать, что $p_0=k_0-1$. Кроме того, при $\delta=0$ получается один из методов,
указанных в теореме \ref{T2}, а именно, когда
$$
\alpha_k=\beta_k=1-\left(\frac{k}{k_0}\right)^{2(n-r)},\quad k=1,\ldots,k_0-1,
$$
а остальные $\alpha_k$ и $\beta_k$ равны нулю.

\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T3}$]
Пусть $0\le r\le n-1$. Пользуясь тем же приемом, что и при доказательстве теоремы
\ref{T1}, нетрудно показать, что справедлива следующая оценка для погрешности
оптимального восстановления
\begin{equation}\label{lb1}
E(D^r,\Wt,F_{A,B},\delta)\ge\sup_{\substack{x\cd\in\Wt\\
\|F_{A,B}x\cd\|_{\infty}\le\delta}}\|x^{(r)}\cd\|_{\lT}.
\end{equation}

%Найдем теперь значение величины справа. Сделаем это для $r=0$, а потом отметим те
%(незначительные) изменения, которые необходимо провести, чтобы получить значение
%этой величины для любого $1\le r\le n-1$.

Пусть $r=0$. Заметим, что если $0\notin A$, то для любой функции $x\cd$, являющейся
константой, выполняются условия $x\cd\in\Wt$ и $\|F_{A,B}x\cd\|_{\infty}\le\delta$
($F_{A,B}x\cd$ --- нулевой вектор) и тем самым правая часть в \eqref{lb1} может быть
сделана сколь угодно большой, т.~е. $E(D^0,\Wt,F_{A,B},\delta)=+\infty$.

Пусть теперь $0\in A$. Найдем значение величины справа в \eqref{lb1}. Рассмотрим для
этого следующую экстремальную задачу
\begin{equation}\label{ex0}
\|x\cd\|_{\lT}\to\max,\quad x\cd\in\Wt,\quad \|F_{A,B}x\cd\|_{\infty}\le\delta.
\end{equation}
Мы найдем  решение этой задачи, а тем самым и найдем значение указанной величины.

Переходя к коэффициентам Фурье, используя равенство Парсеваля, получим, что квадрат
значения задачи \eqref{ex0} равен значению такой задачи
\begin{multline}\label{ex}
\frac{a^2_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\to\max,\quad \sum_{k=1}^\infty
k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\le1,\\a_k^2\le\delta^2,\,\,\, k\in A,\quad
b_k^2\le\delta^2,\,\,\, k\in B,
\end{multline}
где $a_k=a_k(x\cd)$, $k\in\mathbb Z_+$ и $b_k=b_k(x\cd)$, $k\in \mathbb N$, и
$x\cd\in\WWt$.

Заметим, аналогично тому как это было сделано относительно задач \eqref{i1} и
\eqref{i2}, что задача \eqref{ex}, как задача на последовательностях $\{a_k,b_k\}$
из $l_2$ таких, что последовательность $\{k^na_k,k^nb_k\}$ также принадлежит $l_2$
(обозначим множество таких последовательностей через $l_2^n$), равносильна задаче
\eqref{ex0} с заменой $\|x\cd\|_{\lT}$ на $\|x\cd\|^2_{\lT}$.

Задача \eqref{ex} является выпуклой. Ее функция Лагранжа имеет вид
\begin{multline*}
\LL(\{a_k,b_k\},\lambda,\{\lambda_k\}_{k\in A},\{\mu_k\}_{k\in
B})=-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty
(a_k^2+b_k^2)\\
+\lambda\sum_{k=1}^\infty k^{2n}(a_k^2+b_k^2) +\sum_{k\in A}\lambda_k
a_k^2+\sum_{k\in B}\mu_k b_k^2.
\end{multline*}
Если найдется допустимая в задаче \eqref{ex} последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$
и множители Лагранжа $\wl\ge0$, $\wl_k\ge0$, $k\in A$ и $\wmu_k\ge0$, $k\in B$,
такие, что
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{\{a_k,b_k\}\in l_2^n}\LL(\{a_k,b_k\},\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in B})\\
&\hspace{164pt}=\LL(\{\wha_k,\whb_k\},\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in B}),\\[8pt]
(b)&\quad\wl\left(\sum_{k=1}^\infty k^{2n}(\widehat a_k^2+\widehat
b_k^2)-1\right)=0, \quad
\wl_k(\widehat a_k^2-\delta^2)=0,\,\,\,k\in A,\\
&\hspace{222pt}\wmu_k(\widehat b_k^2-\delta^2)=0,\,\,\,k\in B,
\end{align*}
то $\{\wha_k,\whb_k\}$ --- решение задачи \eqref{ex}. Проверка это факта проводится
точно так же, как и в предыдущем параграфе.

%Действительно, для любой допустимой функции $x\cd\in\WWt$, используя последовательно
%условия $(a)$ и $(b)$, будем иметь
%\begin{multline*}
%-\frac{a_0}2-\sum_{k\in\mathbb N} (a_k^2+b_k^2)\ge-\frac{a_0}2-\sum_{k\in\mathbb N}
%(a_k^2+b_k^2)\\+\wl\left(\sum_{k\in\mathbb N}k^{2n}
%(a_k^2+b_k^2)-1\right)+\sum_{k\in A}\wl_k(a_k^2-\delta^2) +\sum_{k\in
%B}\wmu_k(b_k^2-\delta^2)\\=\LL(x\cd,\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in B})
%-\wl-\delta^2\sum_{k\in A}\wl_k -\delta^2\sum_{k\in
%B}\wmu_k\\\ge\LL(\whx\cd,\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in
%B})-\wl-\delta^2\sum_{k\in A}\wl_k -\delta^2\sum_{k\in B}\wmu_k
%\\=-\frac{\widehat a_0}2-\sum_{k\in\mathbb N} (\widehat a_k^2+\widehat
%b_k^2)+\wl\left(\sum_{k\in\mathbb N}k^{2n} (\widehat a_k^2+\widehat
%b_k^2)-1\right)\\+\sum_{k\in A}\wl_k(\widehat a_k^2-\delta^2) +\sum_{k\in
%B}\wmu_k(\widehat b_k^2-\delta^2)=-\frac{\widehat a_0}2-\sum_{k\in\mathbb N}
%(\widehat a_k^2+\widehat b_k^2),
%\end{multline*}
%т.~е. $\whx\cd$ - решение задачи \eqref{ex}.

Предъявим теперь последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$, допустимую в \eqref{ex} и
множители Лагранжа $\wl\ge0$, $\wl_k\ge0$, $k\in A$ и $\wmu_k\ge0$, $k\in B$, такие,
что выполнены условия $(a)$ и $(b)$.


Пусть $p_0=\widehat p<k_0-1$.
Положим $\widehat a_k=\delta$, $k=0,1,\ldots,p_0$, $\widehat b_k=\delta$,
$k=1,\ldots,p_0$, $\widehat a_{p_0+1}=\widehat b_{p_0+1}=\alpha$, где
$$\alpha=\frac{\sqrt{\displaystyle1/2-\delta^2\sum_{k=0}^{p_0}k^{2n}}}{(p_0+1)^n}$$
и $\wha_k=\whb_k=0$, если $k>p_0+1$.


Проверим, что $\alpha\le\delta$. Если это не так, то мы имели бы неравенство
$$1-2\delta^2\sum_{k=0}^{p_0}k^{2n}>2\delta^2(p_0+1)^{2n},$$
или
$$2\delta^2\sum_{k=0}^{p_0+1}k^{2n}<1$$
в противоречие с тем, что $p_0=\widehat p$.

Далее
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty k^{2n}(\widehat a_k^2+\widehat
b_k^2)=2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}+
\frac{\displaystyle1-2\delta^2\sum_{k=0}^{p_0}k^{2n}}{(p_0+1)^{2n}}(p_0+1)^{2n}=1
\end{equation*}
и тем самым $\{\wha_k,\whb_k\}$ --- допустимая последовательность в задаче
\eqref{ex}.

Пусть теперь  $p_0=k_0-1$. Если $k_0=\min_{\,k\in\mathbb N\setminus A}k$
($k_0=\min_{\,k\in\mathbb N\setminus B}k$), то полагаем $\widehat a_k=\delta$,
$k=0,1,\ldots,p_0$, $\widehat b_k=\delta$, $k=1,\ldots,p_0$, $\widehat
a_{p_0+1}=\sqrt{2}\alpha$ ($\widehat b_{p_0+1}=\sqrt{2}\alpha$), а остальные
коэффициенты нулевые.

Эти последовательности допустимы в задача \eqref{ex}. Проверка такая же, как в
предыдущем случае, но в данной ситуации $p_0+1=k_0\notin A$ и поэтому неравенство
$|\sqrt{2}\alpha|\le\delta$ не обязано выполняться.


Положим теперь $\wl=(p_0+1)^{-2n}$, $\wl_0=1/2$, $\wl_k=\wmu_k=1-\wl k^{2n}$,
$k=1,\ldots,p_0$ и $\wl_k=\wmu_k=0$, $k>p_0$. Легко видеть, что все множители
Лагранжа неотрицательны. Проверим выполнимость условия $(a)$. Для всех
последовательностей $\{a_k,b_k\}\in l_2^n$ имеем
%\begin{multline*}
%\LL(x\cd,\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in B})=\sum_{k=1}^{p_0}(-1+\wl
%k^{2n}+\wl_k)a_k^2\\+\sum_{k=1}^{p_0}(-1+\wl
%k^{2n}+\wmu_k)b_k^2+\sum_{k=p_0+1}^\infty(-1+\wl
%k^{2n})(a_k^2+b_k^2)\\=\sum_{k=p_0+1}^\infty(-1+\wl
%k^{2n})(a_k^2+b_k^2)=\sum_{k=p_0+2}^\infty(-1+\wl k^{2n})(a_k^2+b_k^2),
%\end{multline*}
\begin{multline*}
\LL(\{a_k,b_k\},\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in B})=\sum_{k=1}^{p_0}(-1+\wl
k^{2n}+\wl_k)a_k^2\\+\sum_{k=1}^{p_0}(-1+\wl
k^{2n}+\wmu_k)b_k^2+\sum_{k=p_0+1}^\infty(-1+\wl
k^{2n})(a_k^2+b_k^2)\\=\sum_{k=p_0+1}^\infty(-1+\wl
k^{2n})(a_k^2+b_k^2)=\sum_{k=p_0+2}^\infty(-1+\wl k^{2n})(a_k^2+b_k^2).
\end{multline*}
Выражение справа неотрицательно в силу определения $\wl$. С другой стороны,
рассмотренных выше последовательности функций $\{\wha_k,\whb_k\}$,  начиная с номера
$p_0+2$, нулевые и поэтому функция Лагранжа на этих функциях равна нулю. Это
доказывает условие $(a)$.

Справедливость условия $(b)$ проверяется элементарно.

Итак, последовательности $\{\wha_k,\whb_k\}$ являются решениями задачи \eqref{ex}
(для соответствующих случаев) и ее значение для любого из этих случаев таково

\begin{multline*}
\frac{\widehat a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\widehat a_k^2+\widehat
b_k^2)=\frac{\delta^2}2+2\delta^2p_0+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}}{(p_0+1)^{2n}}\\
=\frac{\delta^2}2+\wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}(1-\wl
k^{2n})=\wl+\delta^2\left(\wl_0+2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right).
\end{multline*}



Отсюда и из \eqref{lb1} следует, что
\begin{equation}\label{lb}
E(D^0,\Wt,F_{A,B},\delta)\ge\sqrt{\wl+\delta^2\left(\wl_0+2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right)}\,.
\end{equation}


Займемся теперь оценкой сверху и построение оптимальных методов.  Если метод
$\varphi\colon \mathbb R^{N}\to L_2(\mathbb T)$ оптимален, то это означает, что его
погрешность, т.~е. значение задачи
\begin{multline}\label{met0}
\|x\cd-\varphi(y)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\to\max,\quad
\|F_{A,B}x\cd-y\|_\infty\le\delta, \quad y\in l_\infty^{N},\\x\cd\in W_2^n(\mathbb
T)
\end{multline}
равна $E(D^0,\Wt,F_{A,B},\delta)$.

Каждым наборам $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{p_0})$ и
$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_{p_0})$ сопоставим метод $\varphi_{\alpha,\beta}\colon
\mathbb R^{N}\to L_2(\mathbb T)$, действующий по правилу
\begin{equation*}
\varphi_{\alpha,\beta}(y)(t)=\frac{y_0}2+\sum_{k=1}^{p_0}(\alpha_ky_k\cos
kt+\beta_ky_{N_1+k}\sin kt),
\end{equation*}
где $y=(y_0,y_1,\ldots,y_{N-1})$. Будем искать оптимальные методы  среди методов
именно такого вида (если $p_0=0$, то сумма в определении
метода нулевая).

Переходя к коэффициентам Фурье, квадрат значения задачи \eqref{met0} для метода
$\varphi_{\alpha,\beta}$ равен, согласно равенству Парсеваля,  значению такой задачи
\begin{multline}\label{met1}
\frac{(a_0-y_0)^2}2+\sum_{k=1}^{p_0}((a_k-\alpha_ky_k)^2+(b_k-\beta_k
y_{N_1+k})^2)\\+\sum_{k=p_0+1}^\infty (a_k^2+b_k^2)\to\max,\quad
y=(y_0,\ldots,y_{N-1})\in\mathbb R^{N}, \\ \|F_{A,B}x\cd-y\|_{\infty}\le\delta,\quad
\sum_{k=1}^\infty k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\le1,
\end{multline}
где $\{a_k,b_k\}\in l_2^n$.

Оценим по неравенству Коши--Буняковского слагаемые под знаком первой суммы в
максимизируемом функционале, учитывая, что $\wl>0$ и $\wl_k>0$, $k=1,\ldots,p_0$,
\begin{multline*}
(a_k-\alpha_ky_k)^2=\left(\frac{1-\alpha_k}{\sqrt{\wl} \ k^n}\sqrt{\wl} \
k^na_k+\frac{\alpha_k}{\sqrt{\wl_k}} \sqrt{\wl_k} \ (a_k-y_k)\right)^2\\
\le\left(\frac{(1-\alpha_k)^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\alpha_k^{2}}{\wl_k}\right)\left(\wl k^{2n}a_k^2+
\wl_k(a_k-y_k)^2\right)
\end{multline*}
и аналогично
\begin{equation*}
(b_k-\beta_{k}y_{N_1+k})^2\le\left(\frac{(1-\beta_{k})^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\beta_{k}^2}{\wl_k}\right)\left(\wl k^{2n}b_k^2+ \wl_k
(b_k-y_{N_1+k})^2\right).
\end{equation*}
Складывая полученные оценки и обозначая
\begin{equation*}
S_{\alpha,\beta}=\max_{1\le k\le p_0}\left(\frac{(1-\alpha_k)^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\alpha_k^{2}}{\wl_k},\,\,\,\frac{(1-\beta_{k})^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\beta_{k}^2}{\wl_k}\right),
\end{equation*}
получим, что
\begin{multline*}
\sum_{k=1}^{p_0}((a_k-\alpha_ky_k)^2+(b_k-\beta_{k}y_{N_1+k})^2)\\\le
S_{\alpha,\beta}\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+
\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k((a_k-y_k)^2+(b_k-y_{N_1+k})^2)\right)\\\le
S_{\alpha,\beta}\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right).
\end{multline*}

Далее, если $k\ge p_0+1$, то $k^{-2n}\le (p_0+1)^{-2n}=\wl$ и поэтому
\begin{equation*}
\sum_{p_0+1}^\infty (a_k^2+b_k^2)=\sum_{p_0+1}^\infty\frac
1{k^{2n}}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\le \wl\sum_{p_0+1}^\infty k^{2n}(a_k^2+b_k^2).
\end{equation*}
Если наборы $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $S_{\alpha,\beta}\le1$, то из полученных
оценок вытекает, что максимизируемый функционал в \eqref{met1} не превосходит
величины
\begin{multline*}
\frac{\delta^2}2+\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k+
\wl\sum_{p_0+1}^\infty
k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\\=\frac{\delta^2}2+\wl\sum_{k=1}^{\infty}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+
2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\le\frac{\delta^2}2+
\wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\\=\wl+\delta^2\left(\wl_0+2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right),
\end{multline*}
т.~е.
\begin{equation*}
e(D^0,\Wt,F_{A,B},\delta,\varphi_{\alpha,\beta})
\le\sqrt{\wl+\delta^2\left(\wl_0+2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right)}.
\end{equation*}
Вместе с оценкой \eqref{lb} это означает, что метод $\varphi_{\alpha,\beta}$
оптимален.

Покажем, что наборы $\alpha$ и $\beta$ , для которых $S_{\alpha,\beta}\le1$,
существуют. Для каждого $k=1,\ldots,p_0$ выберем $\alpha_k$ и $\beta_{k}$ так, чтобы
они доставляли минимум выражениям в скобках в определении $S_{\alpha,\beta}$. Легко
подсчитать, что минимум достигается в точках
\begin{equation}\label{ab}
\alpha_k=\beta_{k}=\frac{\wl_k}{\wl_k+\wl
k^{2n}}=1-\left(\frac{k}{p_0+1}\right)^{2n},\quad k=1,\ldots,p_0.
\end{equation}
Тогда для таких $\alpha$ и $\beta$
\begin{equation*}
S_{\alpha,\beta}=\max_{1\le k\le p_0}\frac {1}{\wl_k+\wl k^{2n}}=1\,.
\end{equation*}

Итак, если векторы $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{p_0})$ и
$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_{p_0})$ определены равенством
\eqref{ab}, то соответствующий метод является оптимальным. Это в
точности тот метод, который указан в теореме, если перейти к обозначениям $\wa_k$ и
$\wb_k$. Утверждения теоремы для $r=0$ доказаны.

Если  $1\le r\le n-1$, то схема доказательства та же, что и для случая $r=0$,
поэтому мы ограничимся лишь несколькими короткими замечаниями. Для нахождения
величины справа в \eqref{lb1} рассматриваем аналог задачи \eqref{ex0}, но с
максимизируемым функционалом $\|x^{(r)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}$, квадрат которого в
терминах коэффициентов Фурье имеет вид $\sum_{k\in\mathbb N}k^{2r}(a_k^2+b_k^2)$.
Затем естественным образом определяется функция Лагранжа аналога задачи \eqref{ex}.
Далее пользуемся достаточными условиями минимума, причем соответствующие множители
Лагранжа таковы: $\wl=(p_0+1)^{-2(n-r)}$, $\wl_0=0$ (если $0\in A$),
$\wl_k=\wmu_k=k^{2r}-\wl k^{2n}$, $k=1,\ldots,p_0$ и $\wl_k=\wmu_k=0$, $k>p_0$.
Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и построение оптимальных
методов также проходит по той же схеме, что и выше, и оптимальные методы ищутся
среди методов вида
\begin{equation*}
\varphi_{\alpha,\beta}(y)(t)=\sum_{k=0}^{p_0}k^r(\alpha_ky_k\cos (kt+\pi
r/2)+\beta_ky_{N_1+k}\sin (kt+\pi r/2)).
\end{equation*}
\end{proof}






\begin{thebibliography}{11}



\bibitem{IP}{\it В.~А.~Ильин, Э.~Г.~Позняк} Осноав математического анализа.
Часть II. М.: Наука, 1973.

\bibitem{MO1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью // Матем. сб. 2002. Т.~193, №~3. С.~79--100.

\bibitem{MO2}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и
неравенства для производных // Функ. анализ и его прил. 2003. T.~37. С.~51--64.

\bibitem{MO3}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление значений функций и их производных по неточно заданному преобразованию
Фурье // Матем. сб. 2004. Т.~195, №~10. С.~67--82.

\bibitem{MO4}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил.
2010. Т.~44. C.~76–-79.

\bibitem{MO5} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Как наилучшим
образом восстановить функцию по неточно заданному спектру? // Матем. заметки. 2012.
Т.~92, №~1. С.~59–-67.

\bibitem{MS} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Сивкова~Е.~О.}  Наилучшее восстановление
оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру // Матем. сб. 2012.
Т.~203,  №~4. С.~119-130.


\end{thebibliography}

\end{document}









Для нахождения величины \eqref{lb1} мы рассматриваем соответствующую экстремальную
задачу --- аналог задачи \eqref{ex0}, но с максимизируемым функционалом
$\|x^{(r)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}$. Тогда максимизируемый функционал в аналоге задачи
\eqref{ex} имеет вид $\sum_{k\in\mathbb N}k^{2r}(a_k^2+b_k^2)$. Затем естественным
образом определяется функция Лагранжа аналога задачи \eqref{ex} и также проверяется,
что если найдется допустимая в этой задаче  функция  $\whx\cd\in\WWt$ и множители
Лагранжа $\wl\ge0$, $\wl_k\ge0$, $k\in A$ и $\wmu_k\ge0$, $k\in B$, удовлетворяющие
соответствующим условиям $(a)$ и $(b)$, то $\whx\cd$ --- решение данной задачи.
Далее, в зависимости от соотношения между величинами $\widehat p$ и $k_0$ (которые
не зависят от $r$), рассматриваются те же функции $\whx\cd$, $\whx_A\cd$ и
$\whx_B\cd$, предъявляются следующие множители Лагранжа: $\wl=(p_0+1)^{-2(n-r)}$,
$\wl_0=0$ (если $0\in A$), $\wl_k=\wmu_k=k^{2r}-\wl k^{2n}$, $k=1,\ldots,p_0$ и
$\wl_k=\wmu_k=0$, $k>p_0$ и также проверяется выполнимость условий $(a)$ и $(b)$,
откуда следует, что функции $\whx\cd$, $\whx_A\cd$ и $\whx_B\cd$ --- решения аналога
задачи \eqref{ex}. Тогда ее значение таково
\begin{multline*}
\sum_{k\in\mathbb N}k^{2r}(\widehat a_k^2+\widehat
b_k^2)=2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}k^{2r}+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}}{(p_0+1)^{2n}}(p_0+1)^{2r}\\
=\wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}(k^{2r}-\wl
k^{2n})=\wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k,
\end{multline*}
где $\widehat a_k$ и $\widehat b_k$, $k\in\mathbb N$, --- коэффициенты Фурье любой
из функций $\whx\cd$, $\whx_A\cd$ или $\whx_B\cd$. Отсюда и из \eqref{lb1} следует,
что
\begin{equation}\label{lbb}
E(D^r,\Wt,I_{A,B},\delta)\ge\sqrt{\wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k}\,.
\end{equation}

Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и построение оптимальных
методов также проходит по той же схеме, что и выше. Если метод $\varphi\colon
\mathbb R^{N}\to L_2(\mathbb T)$ оптимален, то это означает, что его погрешность,
т.~е. значение задачи
\begin{multline}\label{met1}
\|x^{(r)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\to\max,\quad
\|I_{A,B}x\cd-y\|_\infty\le\delta, \quad y\in l_\infty^{N},\\x\cd\in W_2^n(\mathbb
T)
\end{multline}
равна $E(D^r,\Wt,I_{A,B},\delta)$.

Каждым наборам $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{p_0})$ и
$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_{p_0})$ сопоставим метод $\varphi_{\alpha,\beta}\colon
\mathbb R^{N}\to L_2(\mathbb T)$, действующий по правилу
\begin{equation*}
\varphi_{\alpha,\beta}(y)(t)=\sum_{k=0}^{p_0}k^r(\alpha_ky_k\cos (kt+\pi
r/2)+\beta_ky_{N_1+k}\sin (kt+\pi r/2)),
\end{equation*}
где $y=(y_1,\ldots,y_{N})$, и оптимальные методы, как и раньше, ищем  среди методов
такого вида.

Переходя к коэффициентам Фурье, квадрат значения задачи \eqref{met} для метода
$\varphi_{\alpha,\beta}$ равен, согласно равенству Парсеваля,  значению такой задачи
\begin{multline}\label{met2}
\sum_{k=1}^{p_0}k^{2r}((a_k-\alpha_ky_k)^2+(b_k-\beta_k
y_{N_1+k})^2)\\+\sum_{k=p_0+1}^\infty k^{2r}(a_k^2+b_k^2)\to\max,\quad
y=(y_1,\ldots,y_{N-1})\in\mathbb R^{N}, \\ \|I_{A,B}x\cd-y\|_{\infty}\le\delta,\quad
\sum_{k=1}^\infty k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\le1, \quad x\cd\in \WWt,
\end{multline}
где, как обычно, $a_k=a_k(x\cd)$ и  $b_k=b_k(x\cd)$, $k\in\mathbb N$.


Оценивая точно также как и раньше по неравенству Коши--Буняковского слагаемые под
знаком первой суммы, затем складывая их, получим
\begin{multline*}
\sum_{k=1}^{p_0}k^{2r}((a_k-\alpha_ky_k)^2+(b_k-\beta_{k}y_{N_1+k})^2)\\\le
S_{\alpha,\beta}\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+2\delta^2
\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right),
\end{multline*}
где
\begin{equation*}
S_{\alpha,\beta}=\max_{1\le k\le p_0}k^{2r}\left(\frac{(1-\alpha_k)^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\alpha_k^{2}}{\wl_k},\,\,\,\frac{(1-\beta_{k})^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\beta_{k}^2}{\wl_k}\right),
\end{equation*}


Далее, если $k\ge p_0+1$, то $k^{-2(n-r)}\le (p_0+1)^{-2(n-r)}=\wl$ и поэтому
\begin{equation*}
\sum_{p_0+1}^\infty k^{2r}(a_k^2+b_k^2)=\sum_{p_0+1}^\infty\frac
1{k^{2(n-r)}}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\le \wl\sum_{p_0+1}^\infty k^{2n}(a_k^2+b_k^2).
\end{equation*}
Если наборы $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $S_{\alpha,\beta}\le1$, то из полученных
оценок вытекает, что максимизируемый функционал в \eqref{met1} не превосходит
величины
\begin{multline*}
\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k+
\wl\sum_{p_0+1}^\infty
k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\\=\wl\sum_{k=1}^{\infty}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+
2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\le \wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k,
\end{multline*}
т.~е.
\begin{equation*}
e(D^r,\Wt,I_{A,B},\delta,\varphi_{\alpha,\beta})
\le\sqrt{\wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k}\,.
\end{equation*}
Вместе с оценкой \eqref{lbb} это означает, что метод $\varphi_{\alpha,\beta}$
оптимален.

Наборы $\alpha$ и $\beta$, для которых $S_{\alpha,\beta}\le1$, существуют. Снова,
для каждого $k=1,\ldots,p_0$ выбирая $\alpha_k$ и $\beta_{k}$, которые  доставляют
минимум $S_{\alpha,\beta}$, т.~е.
\begin{equation}\label{abr}
\alpha_k=\beta_{k}=\frac{\wl_k}{\wl_k+\wl
k^{2n}}=1-\left(\frac{k}{p_0+1}\right)^{2(n-r)},\quad k=1,\ldots,p_0
\end{equation}
получаем, что $S_{\alpha,\beta}=1$  для таких $\alpha$ и $\beta$.

Итак, если векторы $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{p_0})$ и
$\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_{p_0})$ с компонентами как в \eqref{abr}, то
соответствующий метод является оптимальным. Это в точности тот метод, который указан
в теореме, если перейти к обозначениям $\wa_k$ и $\wb_k$.
\end{proof}


\subsection{Восстановление в точке по неточным значениям коэффициентов Фурье}

Обозначим через $W_2^1([0,\pi])$ класс непрерывных функций $x\cd$ на $[0,\pi]$, у
которых производная $\dot x\cd$ кусочно непрерывна и
$$
\frac 2{\pi}\int_0^\pi\dot x^2(t)\,dt\le1.
$$

Продолжим $x\cd\in W_2^1([0,\pi])$ четным образом на $[-\pi,0]$. Полученная функция
будет непрерывной $2\pi$-периодической функцией с кусочно непрерывной производной.
Тогда в  каждой точке $t\in [-\pi,\pi]$ она разлагается в ряд Фурье и тем самым для
всякого $t\in[0,\pi]$ имеем
\begin{equation*}
x(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos kt,
\end{equation*}
где
$$
a_k= a_k(x\cd)=\frac2\pi\int_{0}^\pi x(t)\cos kt\,dt,\quad k=0,1,2,\ldots.
$$

Поскольку производная продолженной функции кусочно непрерывна, то для нее
справедливо равенство Парсеваля (производная нечетна)
\begin{equation*}
\frac2{\pi}\int_{0}^{\pi}\dot x^2(t)\,dt=\sum_{k=1}^\infty {b'_k}^2,
\end{equation*}
где
$$
b'_k=\frac2\pi\int_{0}^\pi \dot x(t)\sin kt\,dt=-\frac{k}{\pi}\int_{-\pi}^\pi
x(t)\cos kt\,dt=-ka_k,\,\,\,k\ge1.
$$

Пусть $A$ --- некоторое конечное подмножество $\mathbb Z_+$, $\tau\in[0,\pi]$ и
$\delta>0$. Задача об оптимальном восстановлении значения функции $x\cd\in
W_2^1([0,\pi])$ в точке $\tau$ по информации о ее коэффициентах Фурье $a_k\in A$,
известных с точностью до $\delta$ сводится, в конечном счете, к следующей задаче
\begin{equation*}
\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty a_k|\cos k\tau|\to\max,\quad |a_k|\le\delta,\,\,\,k\in
A,\quad\sum_{k=1}^\infty k^2a_k^2\le1\,.\eqno(1)
\end{equation*}
Множество $A$ должно содержать ноль, иначе значение задачи бесконечно. Пусть
$(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ --- такая перестановка ненулевых элементов из $A$, что
$$
\frac{|\cos k_1\tau|}{k_1^2}\ge\ldots\ge\frac{|\cos k_n\tau|}{k_n^2}\eqno(2)
$$
и пусть
\begin{multline*}
\widehat r=\widehat r(\delta)=\max\bigg\{\,r\in \mathbb N:
\cos^2k_r\tau\left(1-\delta^2\sum_{j=1}^rk_j^2\right)\\\ge\delta^2k_r^4
\sum_{k\notin A_r}\frac{\cos^2k\tau}{k^2},\quad r\le n\,\bigg\},
\end{multline*}
где $A_r=\{0,k_1,\ldots,k_r\}$. Если множество в фигурных скобках пусто, то полагаем
$\widehat r=0$.

Пусть $\widehat r>0$. Положим
$$
\lambda=\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{k\notin A_{\widehat r}}
\dfrac{\cos^2k\tau}{k^2}}{1-\delta^2\displaystyle \sum_{j=1}^{\widehat
r}k_j^2}\right)^{1/2}.
$$
Определим последовательность $\widehat a_k$ по правилу
$$
\widehat a_k=\begin{cases}\delta,&
k\in A_{\widehat r}\,;\\[5pt]
\dfrac{|\cos k\tau|}{\lambda k^2},& k\notin A_{\widehat r}\,.
\end{cases}
$$
Эта последовательность допустима в задаче $(1)$. Действительно, если $\widehat r<n$,
то должны выполняться неравенства $\widehat a_k\le\delta$, $k=\widehat
r+1,\ldots,n$. Если какое-либо из этих неравенств не выполняется, то $\widehat
a_{\widehat r+1}>\delta$ в силу $(2)$, или равносильно
\begin{equation*}
\cos^2k_{\widehat r+1}\tau\left(1-\delta^2\sum_{j=1}^{\widehat
r}k_j^2\right)-\delta^2k_{\widehat r+1}^4 \sum_{k\notin A_{\widehat
r}}\frac{\cos^2k\tau}{k^2}>0.
\end{equation*}
Но левая часть этого неравенства равна,что элементарно проверяется, такой величине
\begin{equation*}
\cos^2k_{\widehat r+1}\tau\left(1-\delta^2\sum_{j=1}^{\widehat
r+1}k_j^2\right)-\delta^2k_{\widehat r+1}^4 \sum_{k\notin A_{\widehat
r+1}}\frac{\cos^2k\tau}{k^2}
\end{equation*}
и то, что она положительна противоречит определению $\widehat r$. Итак, $\widehat
a_k\le\delta$, $k=\widehat r+1,\ldots,n$.

Далее, непосредственная проверка показывает, что
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty k^2\widehat a_k^2=\delta^2\sum_{j=1}^{\widehat r}k_j^2+\frac
1{\lambda^2}\sum_{k\notin A_{\widehat r}}\frac{\cos^2k\tau}{k^2}=1,
\end{equation*}
т.~е. последовательность $\widehat a_k$ удовлетворяет второму ограничению в $(1)$ и
тем самым допустима в этой задаче.

Для любой последовательности $\{a_k\}$ такой, что $\sum_{k=1}^\infty
k^2a_k^2<\infty$ справедливо тождество
\begin{equation}\label{tozh}
\sum_{k=1}^\infty a_k|\cos k\tau|=\sum_{j=1}^{\widehat
r}\lambda_ja_{k_j}+\lambda\sum_{k=1}^\infty k^2\widehat a_k a_k.
\end{equation}
Действительно,
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^{\widehat r}\lambda_ja_{k_j}+\lambda\sum_{k=1}^\infty k^2\widehat a_k
a_k=\sum_{j=1}^{\widehat r}(|\cos k_j\tau|-\lambda
k_j^2\delta)a_{k_j}\\+\lambda\left(\delta\sum_{j=1}^{\widehat
r}k_j^2a_{k_j}+\sum_{k\notin A_{\widehat r}}k^2\frac{|\cos k\tau|}{\lambda
k^2}a_k\right)=\sum_{k=1}^\infty a_k|\cos k\tau|.
\end{multline*}







%Тогда значение задачи $(1)$ не меньше, чем
%\begin{multline*}
%\frac{\widehat a_0}2+\sum_{k=1}^\infty \widehat a_k\cos
%k\tau=\frac{\delta}2+\delta\sum_{j=1}^{\widehat r}|\cos
%k_j\tau|+\frac1{\lambda}\sum_{k\notin A_{\widehat
%r}}\frac{\cos^2k\tau}{k^2}\\=\frac{\delta}2+\delta\sum_{j=1}^{\widehat r}\left(|\cos
%k_j\tau|-\lambda k_j^2\delta\right)+\lambda\left(\delta^2\sum_{j=1}^{\widehat
%r}k_j^2+\sum_{k\notin A_{\widehat
%r}}k^2\frac{\cos^2k\tau}{\lambda^2k^4}\right)\\=\frac{\delta}2+\delta\sum_{j=1}^{\widehat
%r}\lambda_j+\lambda\sum_{j=1}^\infty k^2\widehat a_k^2=\delta\sum_{j=0}^{\widehat
%r}\lambda_j+\lambda,
%\end{multline*}
%где $\lambda_0=1/2$, а $\lambda_j=|\cos k_j\tau|-\lambda k_j^2\delta$, \
%$j=1,\ldots,\widehat r$.

Отметим, что $\lambda_j\ge0$, \ $j=1,\ldots,\widehat r$. Действительно, согласно
определению $\widehat r$ справедливо соотношение $\cos^2k_{\widehat
r}\tau/k_{\widehat r}^4\delta^2\ge\lambda^2$. Откуда в силу $(2)$ выполняются
неравенства $\cos^2k_j\tau/k_j^4\delta^2\ge\lambda^2$,\ $j=1,\ldots,\widehat r$,
равносильные тому, что $\lambda_j\ge0$, \ $j=1,\ldots,\widehat r$.



Займемся оценкой сверху погрешности оптимального восстановления и построением
оптимального метода.



Если метод $\widehat\varphi$ оптимален, то значение задачи
\begin{multline}\label{met}
|x(\tau)-\widehat \varphi(\{\widetilde a_k\}_{k\in A})|\to\max,\quad |a_k-\widetilde
a_k|\le\delta, \quad k\in A,\\x\cd\in W_2^1([0,\pi])
\end{multline}
равно погрешности оптимального восстановления.

Будем искать оптимальный метод среди методов вида
\begin{equation*}
\varphi_y(\{\widetilde a_k\}_{k\in A})=\frac{y_0\widetilde a_0}2+\sum_{k\in
A}y_k\widetilde a_k,
\end{equation*}
где $y=\{y_k\}_{k\in A}$.

Переходя к коэффициентам Фурье, задача перепишется так
\begin{multline}\label{met1}
\left|\frac{a_0-y_0\widetilde a_0}2+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos k\tau-\sum_{k\in
A}y_k\widetilde a_k\right|\to\max,\quad \{\widetilde a_k\}_{k\in A}\in\mathbb
R^{{\rm card}\, A},\\ |a_k-\widetilde a_k|\le\delta,\quad k\in A,\quad
\sum_{k=1}^\infty k^2 a_k^2\le1.
\end{multline}


Заметим, что если $y_0\ne1$, то значение этой задачи бесконечно. Действительно, для
любого $a_0$ пусть $\widehat a_0$ такое, что $\widehat a_0=a_0+\delta$. Тогда
ограничения задачи выполнены, а величина $a_0-y_0\widetilde
a_0=a_0(1-y_0)-y_0\delta$, за счет выбора $a_0$, может быть сделана сколь угодно
большой. Итак, считаем, что $y_0=1$.





\newpage





\begin{proof}











Оценим по неравенству Коши--Буняковского слагаемые под знаком первой суммы в
максимизируемом функционале, учитывая, что $\wl>0$ и $\wl_k>0$, $k=1,\ldots,p_0$,
\begin{multline*}
(a_k-\alpha_ky_k)^2=\left(\frac{1-\alpha_k}{\sqrt{\wl} \ k^n}\sqrt{\wl} \
k^na_k+\frac{\alpha_k}{\sqrt{\wl_k}} \sqrt{\wl_k} \ (a_k-y_k)\right)^2\\
\le\left(\frac{(1-\alpha_k)^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\alpha_k^{2}}{\wl_k}\right)\left(\wl k^{2n}a_k^2+
\wl_k(a_k-y_k)^2\right)
\end{multline*}
и аналогично
\begin{equation*}
(b_k-\beta_{k}y_{N_1+k})^2\le\left(\frac{(1-\beta_{k})^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\beta_{k}^2}{\wl_k}\right)\left(\wl k^{2n}b_k^2+ \wl_k
(b_k-y_{N_1+k})^2\right).
\end{equation*}
Складывая полученные оценки и обозначая
\begin{equation*}
S_{\alpha,\beta}=\max_{1\le k\le p_0}k^{2r}\left(\frac{(1-\alpha_k)^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\alpha_k^{2}}{\wl_k},\,\,\,\frac{(1-\beta_{k})^2}{\wl
k^{2n}}+\frac{\beta_{k}^2}{\wl_k}\right),
\end{equation*}
получим, что
\begin{multline*}
\sum_{k=1}^{p_0}k^{2r}((a_k-\alpha_ky_k)^2+(b_k-\beta_{k}y_{N_1+k})^2)\\\le
S_{\alpha,\beta}\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+
\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k((a_k-y_k)^2+(b_k-y_{N_1+k})^2)\right)\\\le
S_{\alpha,\beta}\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right).
\end{multline*}

Далее, если $k\ge p_0+1$, то $k^{-2(n-r)}\le (p_0+1)^{-2(n-r)}=\wl$ и поэтому
\begin{equation*}
\sum_{p_0+1}^\infty k^{2r}(a_k^2+b_k^2)=\sum_{p_0+1}^\infty\frac
1{k^{2(n-r)}}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\le \wl\sum_{p_0+1}^\infty k^{2n}(a_k^2+b_k^2).
\end{equation*}
Если наборы $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $S_{\alpha,\beta}\le1$, то из полученных
оценок вытекает, что максимизируемый функционал в \eqref{met1} не превосходит
величины
\begin{multline*}
\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k+
\wl\sum_{p_0+1}^\infty
k^{2n}(a_k^2+b_k^2)\\=\wl\sum_{k=1}^{\infty}k^{2n}(a_k^2+b_k^2)+
2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\le \wl+2\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k,
\end{multline*}
которая совпадает с оценкой снизу для погрешности оптимального восстановления. Это
означает, что метод $\varphi_{\alpha,\beta}$ оптимален.

Покажем, что наборы $\alpha$ и $\beta$ , для которых $S_{\alpha,\beta}\le1$,
существуют. Для каждого $k=1,\ldots,p_0$ выберем $\alpha_k$ и $\beta_{k}$ так, чтобы
они доставляли минимум выражениям в скобках в определении $S_{\alpha,\beta}$. Легко
подсчитать, что минимум достигается в точках
\begin{equation}\label{ab}
\alpha_k=\beta_{k}=\frac{\wl_k}{\wl_k+\wl
k^{2n}}=1-\left(\frac{k}{p_0+1}\right)^{2(n-r)},\quad k=1,\ldots,p_0.
\end{equation}
Тогда для таких $\alpha$ и $\beta$ имеем
\begin{equation*}
S_{\alpha,\beta}=\max_{1\le k\le p_0}\frac {k^{2r}}{\wl_k+\wl k^{2n}}=1\,.
\end{equation*}

Итак, если векторы $\alpha$ и $\beta$ с компонентами из \eqref{ab}, то
$\widehat\varphi_{\alpha,\beta}$ --- оптимальный метод.
\end{proof}








\vskip30pt


Заметим, что если $m_0\ne1$, то значение этой задачи бесконечно. Действительно, для
любого $a_0$ пусть $y_0$ такое, что $y_0=a_0+\delta$. Тогда ограничения по $a_0$ и
$y_0$ выполнены, а величина $(a_0-m_0y_0)^2=((1-m_0)a_0-m_0\delta)^2$, за счет
выбора $a_0$, может быть сделана сколь угодно большой. Итак, считаем, что $m_0=1$.

Пусть $p_0\ge1$. Тогда для $1\le k\le p_0$ имеем по неравенству Коши--Буняковского
(учитывая, что $\wl_k>0$ для таких $k$)
\begin{multline*}
(a_k-m_ky_k)^2=\left(\frac{1-m_k}{\sqrt{\wl} \ k}\sqrt{\wl} \
ka_k+\frac{m_k}{\sqrt{\wl_k/2}} \sqrt{\wl_k/2} \ (a_k-y_k)\right)^2\le\\
\le\left(\frac{(1-m_k)^2}{\wl k^2}+\frac{2m_k^2}{\wl_k}\right)\left(\wl k^2a_k^2+
\frac{\wl_k}2(a_k-y_k)^2\right)
\end{multline*}
и аналогично
\begin{equation*}
(b_k-m_{n+k}y_{n+k})^2\le\left(\frac{(1-m_{n+k})^2}{\wl
k^2}+\frac{2m_{n+k}^2}{\wl_k}\right)\!\!\left(\wl k^2b_k^2+
\frac{\wl_k}2(b_k-y_{n+k})^2\right).
\end{equation*}
Складывая полученные оценки и обозначая
\begin{equation*}
S=\max_{1\le k\le p_0}\left(\frac{(1-m_k)^2}{\wl
k^2}+\frac{2m_k^2}{\wl_k},\,\,\,\frac{(1-m_{n+k})^2}{\wl
k^2}+\frac{2m_{n+k}^2}{\wl_k}\right),
\end{equation*}
получим, что
\begin{multline*}
\sum_{k=1}^{p_0}((a_k-m_ky_k)^2+(b_k-m_{n+k}y_{n+k})^2)\le\\\le
S\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^2(a_k^2+b_k^2)+\frac
12\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k((a_k-y_k)^2+(b_k-y_{n+k})^2)\right)\le\\\le
S\left(\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^2(a_k^2+b_k^2)+\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k\right).
\end{multline*}

Если $p_0<n$, то положим $m_k=m_{n+k}=0$, $k=p_0+1,\ldots,n$. Тогда, учитывая, что
$\wl\ge1/{(p_0+1)^2}$, будем иметь
\begin{equation*}
\sum_{p_0+1}^\infty(a_k^2+b_k^2)=\sum_{p_0+1}^\infty\frac 1{k^2}k^2(a_k^2+b_k^2)\le
\wl\sum_{p_0+1}^\infty k^2(a_k^2+b_k^2).
\end{equation*}

Предположим, что $S\le1$. Из полученных оценок вытекает тогда, что максимизируемый
функционал в \eqref{met1} не превосходит величины
\begin{multline*}
\frac{\delta^2}2+\wl\sum_{k=1}^{p_0}k^2(a_k^2+b_k^2)+\delta^2\sum_{k=1}^{p_0}\wl_k+
\wl\sum_{p_0+1}^\infty k^2(a_k^2+b_k^2)=\\=\wl\sum_{k=1}^{\infty}k^2(a_k^2+b_k^2)+
\delta^2\sum_{k=0}^{p_0}\wl_k\le \wl+\delta^2\sum_{k=0}^{p_0}\wl_k.
\end{multline*}

Итак, если подобрать числа $m_k$ и $m_{n+k}$, $k=1,\ldots,p_0$, так, чтобы $S\le1$,
то учитывая полученную ранее оценку снизу для погрешности оптимального
восстановления, все будет доказано.

Для каждого $k=1,\ldots,p_0$ выберем $m_k$ и $m_{n+k}$ так, чтобы они доставляли
минимум выражениям в скобках в определении $S$. Легко подсчитать, что минимум
достигается в точках
\begin{equation*}
m_k=m_{n+k}=\frac{\wl_k}{\wl_k+2\wl k^2},\quad k=1,\ldots,p_0.
\end{equation*}
Подставляя, получаем, что
\begin{equation*}
S=\max_{1\le k\le p_0}\frac {2}{\wl_k+2\wl k^2}.
\end{equation*}
Но из предыдущего следует, что $f(k)=-2+\wl_k+2\wl k^2\ge0$  для всех
$k=1,\ldots,p_0$, а это равносильно неравенству $S\le1$.





Пользуясь равенством
\begin{equation}\label{sum}
\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,
\end{equation}
легко показать, что
$$\|\whx\cd\|_{\lT}=\frac1{p_0+1}\sqrt{1+\frac{\delta^2}6(p_0+1)(8p_0^2+13p_0+3)}.$$

Займемся теперь оценкой сверху. Для этого начнем с экстремальной задачи
\begin{multline}\label{ex1}
\frac{a_0^2(x)}2+\sum_{k\in\mathbb N}(a_k^2(x)+b_k^2(x))\to\max,\\
\wl\sum_{k\in\mathbb
N}k^2(a_k^2(x)+b_k^2(x))+\wl_0a_0^2(x)+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_ka_k^2(x)
+\wmu_kb_k^2(x))\\
\le\wl+\delta^2\biggl(\wl_0+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_k+\wmu_k)\biggr),\quad x\cd\in\WWt.
\end{multline}
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
\begin{multline*}
\LL_1(x\cd,\nu)=-\frac{a_0^2(x)}2-\sum_{k\in\mathbb N}(a_k^2(x)+b_k^2(x))\\
+\nu\biggl(\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x)+b_k^2(x))
+\wl_0a_0^2(x)+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_ka_k^2(x) +\wmu_kb_k^2(x))\biggr).
\end{multline*}

Здесь так же, как и ранее, в силу теоремы Куна--Таккера, если для допустимого
$\whx\cd\in\WWt$ найдется такой множитель Лагранжа $\wnu\ge0$, что
\begin{align*}
(a_1)&\quad\min_{x\cd\in\WWt}\LL_1(x\cd,\wnu)=\LL_1(\whx\cd,\wnu),\\[8pt]
(b_1)&\quad\wnu\biggl(\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x)+b_k^2(x))
+\wl_0a_0^2(x)+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_ka_k^2(x)
+\wmu_kb_k^2(x))\\
&\hspace{151pt}
-\wl-\delta^2\biggl(\wl_0+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_k+\wmu_k)\biggr)\biggr)=0,
\end{align*}
то $\whx\cd$ --- решение задачи. Положим $\wnu=1$. Тогда
$$\LL_1(x\cd,\wnu)=\LL(x\cd,\wl,\{\wl_k\}_{k\in A},\{\wmu_k\}_{k\in B}).$$
Поэтому для элемента $\whx\cd$, являющегося решением задачи \eqref{ex} (нетрудно
убедиться, что всякий элемент, допустимый в \eqref{ex}, является также допустимым в
\eqref{ex1}), выполнено условие $(a_1)$. Условие $(b_1)$ является следствием условия
$(b)$. Таким образом, доказано, что $x\cd$ является также решением задачи
\eqref{ex1}, т.е. значения задач \eqref{ex} и \eqref{ex1} совпадают.

Пусть $(\{\wa_k\}_{k\in A},\{\wb_k\}_{k\in B})$ --- произвольный вектор из
$l_\infty^N$. Рассмотрим следующую экстремальную задачу
\begin{multline*}
\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x)+b_k^2(x))+\sum_{k\in A}\wl_k(a_k(x)-\wa_k)^2\\
+\sum_{k\in B}\wmu_k(b_k(x)-\wb_k)^2\to\min,\quad x\cd\in\WWt.
\end{multline*}
Легко убедиться, что решением этой задачи является элемент $\wx\cd\in\WWt$,
однозначно определяемый условиями
\begin{equation}\label{cond}
\begin{aligned}
\wl k^2a_k(\wx)+\wl_k(a_k(\wx)-\wa_k)&=0,\quad k\in A,\\
\wl k^2b_k(\wx)+\wmu_k(b_k(\wx)-\wb_k)&=0,\quad k\in B,\\
\wa_k(\wx)=\wb_k(\wx)&=0,\quad k\notin A\cup B.
\end{aligned}
\end{equation}

Из этих условий вытекает, что при всех $x\cd\in\WWt$ справедливо равенство
\begin{multline*}
\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x)+b_k^2(x))+\sum_{k\in A}\wl_k(a_k(x)-\wa_k)^2+\sum_{k\in B}\wmu_k(b_k(x)-\wb_k)^2\\
=\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x-\wx)+b_k^2(x-\wx))+\sum_{k\in A}\wl_ka_k^2(x-\wx)+\sum_{k\in B}\wmu_kb_k^2(x-\wx)\\
+\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(\wx)+b_k^2(\wx))+\sum_{k\in
A}\wl_k(a_k(\wx)-\wa_k)^2+\sum_{k\in B}\wmu_k(b_k(\wx)-\wb_k)^2.
\end{multline*}
Отсюда следует, что при всех $x\cd\in\WWt$ имеет место неравенство
\begin{multline}\label{in}
\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x-\wx)+b_k^2(x-\wx))+\sum_{k\in
A}\wl_ka_k^2(x-\wx)\\+\sum_{k\in B}\wmu_kb_k^2(x-\wx)
\le\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(x)+b_k^2(x))+\sum_{k\in A}\wl_k(a_k(x)-\wa_k)^2\\
+\sum_{k\in B}\wmu_k(b_k(x)-\wb_k)^2.
\end{multline}

Рассмотрим метод
$$\wm((\{\wa_k\}_{k\in A},\{\wb_k\}_{k\in B}))\cd=\wx\cd.$$
Пусть $x\cd\in\Wt$ и $\{\wa_k\}_{k\in A}$, $\{\wb_k\}_{k\in B}$ удовлетворяют
условиям \eqref{ab}. Положим $h\cd=x\cd-\wx\cd$. Тогда из \eqref{in} следует, что
\begin{multline*}
\wl\sum_{k\in\mathbb N}k^2(a_k^2(h)+b_k^2(h))+\sum_{k\in A}\wl_ka_k^2(h)+\sum_{k\in B}\wmu_kb_k^2(h)\\
\le\wl+\delta^2\sum_{k\in A}\wl_k+\delta^2\sum_{k\in B}\wmu_k.
\end{multline*}
С учетом значений $\wl_k$ и $\wmu_k$ это неравенство можно записать в виде
\begin{multline*}
\wl\sum_{k\in\mathbb
N}k^2(a_k^2(h)+b_k^2(h))+\wl_0a_0^2(h)+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_ka_k^2(h)
+\wmu_kb_k^2(h))\\
\le\wl+\delta^2\biggl(\wl_0+\sum_{k=1}^{p_0}(\wl_k+\wmu_k)\biggr).
\end{multline*}
Имеем
$$\|x\cd-\wx\cd\|_{\lT}^2=\frac{a_0^2(h)}2+\sum_{k\in\mathbb N}(a_k^2(h)+b_k^2(h))$$
Так как $\whx\cd$ --- решение экстремальной задачи \eqref{ex1}, то
$$\|x\cd-\wx\cd\|_{\lT}^2\le\|\whx\cd\|_{\lT}^2.$$
Тем самым
$$E(\Wt,I_{A,B}^\delta)\le e(\Wt,I_{A,B}^\delta,\wm)\le\|\whx\cd\|_{\lT}.$$
В силу \eqref{lb}
$$E(\Wt,I_{A,B}^\delta)=e(\Wt,I_{A,B}^\delta,\wm)=\|\whx\cd\|_{\lT}$$
и метод $\wm$ является оптимальным.

Мы доказали следующий результат.

\begin{theorem}
Если $0\notin A$, то $E(\Wt,I_{A,B}^\delta)=\infty$. Если $0\in A$, то
$$E(\Wt,I_{A,B}^\delta)=\frac1{p_0+1}\sqrt{1+\frac{\delta^2}6(p_0+1)(8p_0^2+13p_0+3)},$$
а метод
\begin{multline*}
\wm((\{\wa_k\}_{k\in A},\{\wb_k\}_{k\in B}))(t)=\frac{\wa_0}2\\
+\sum_{k=1}^{p_0}\left(1-\left(\frac k{p_0+1}\right)^2\right)(\wa_k\cos kt+\wb_k\sin
kt)
\end{multline*}
является оптимальным.
\end{theorem}

Здесь в оптимальном методе пришлось отбрасывать часть исходной информации и
сглаживать оставшиеся данные --- умножать их на величины
$$1-\left(\frac k{p_0+1}\right)^2,$$
которые убывают с ростом $k$, т.е. чем больше частота, тем сильнее соответствующую
гармонику надо сглаживать.

Но, может быть, можно было обойтись и без этого, воспользовавшись опять
``естественным'' методом
$$m((\{\wa_k\}_{k\in A},\{\wb_k\}_{k\in B}))(t)=\frac{\wa_0}2+\sum_{k\in A}\wa_k\cos kt+\sum_{k\in B}\wb_k\sin kt?$$
У этого метода на функции $p^{-1}\cos pt\in\Wt$ при
$$p\ge\max_{k\in A\cup B}k$$
и $\wa_k=\delta$, $k\in A$, $\wb_k=\delta$, $k\in B$, квадрат погрешности равен
величине
$$\frac{\delta^2}2+\delta^2(\card A+\card B)+\frac1{p^2},$$
которая неограниченно возрастает при увеличении исходных данных.

Если отбросить лишние данные, но не сглаживать оставшиеся, т.е. воспользоваться
методом
$$m_0((\{\wa_k\}_{k\in A},\{\wb_k\}_{k\in B}))(t)=\frac{\wa_0}2+\sum_{k=1}^{p_0}(\wa_k\cos kt+\wb_k\sin kt),$$
то квадрат погрешности такого метода на функции
$$\frac1{(p_0+1)}\cos(p_0+1)t\in\Wt$$ при $\wa_k=\delta$, $k=0,1,\ldots,p_0$,
$\wb_k=\delta$, $k=1,\ldots,p_0$, $\wa_k=\wb_k=0$, $k>p_0$, равен величине
$$\frac{\delta^2}2+2\delta^2p_0+\frac1{(p_0+1)^2},$$
что больше величины
\begin{equation}\label{xx}
\|\whx\cd\|_{\lT}^2=\frac{\delta^2}2+2\delta^2p_0+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^{p_0}k^2}{(p_0+1)^2}.
\end{equation}
Тем самым метод $m_0$ не является оптимальным.

Положим
$$N_\delta=\max\biggl\{p:2\delta^2\sum_{k=0}^pk^2<1,\ p\ge0\biggr\}.$$
Аналогом теоремы~\ref{T2} является
\begin{theorem}\label{T4}
При всех $N\in\mathbb N$
\begin{multline}
\inf_{\card A+\card B\le2N-1}E(\Wt,I_{A,B}^\delta)\\
=\inf_{\card A+\card B\le2N}E(\Wt,I_{A,B}^\delta)\\
=\frac1{\wN+1}\sqrt{1+\frac{\delta^2}6(\wN+1)(8\wN^2+13\wN+3)},
\end{multline}
где $\wN=\min\{N_\delta,N-1\}$, причем нижняя грань достигается для
$$A=\{0,1,\ldots,\wN\},\quad B=\{1,\ldots,\wN\}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу равенства \eqref{xx} достаточно доказать, что величина
$$2\delta^2p+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^pk^2}{(p+1)^2}$$ уменьшается с ростом $p$ при условии, что $p$
удовлетворяет неравенству
$$2\delta^2\sum_{k=0}^pk^2<1.$$
Действительно, предположим, что
$$2\delta^2\sum_{k=0}^{p+1}k^2<1.$$
Тогда
$$\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^{p+1}k^2}{(p+2)^2}<\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^{p+1}k^2}{(p+1)^2}.$$ Отсюда
$$\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^{p+1}k^2}{(p+2)^2}<-2\delta^2+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^pk^2}{(p+1)^2},$$ и, следовательно,
$$2\delta^2(p+1)+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^{p+1}k^2}{(p+2)^2}<2\delta^2p+\frac{\displaystyle1
-2\delta^2\sum_{k=0}^pk^2}{(p+1)^2}.$$
\end{proof}










\end{document}
