\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1000
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Wp}{W_2^r}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\Ls}{L_2(\Ds)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\WR}{W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\ir}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wm}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wM}{\widehat m}
\newcommand*{\Wi}{W_{2\infty}^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\LD}{L_2(D)}
\newcommand*{\LT}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\lp}{l_p^{2N+1}}
\newcommand*{\lt}{l_2^{2N+1}}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}

\begin{document}
\begin{flushleft}
Владикавказский математический журнал\\
Апрель-июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2\\

\bigskip

ГЕОРГИЮ ГЕОРГИЕВИЧУ МАГАРИЛ-ИЛЬЯЕВУ 60 ЛЕТ
\end{flushleft}

\bigskip

В этом году исполнилось 60 лет нашему другу Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву. Пользуясь случаем, мы хотим сказать несколько слов о нем, как о математике и человеке. В ранние годы математика не была в числе его интересов, он поступил в Московский институт нефтехимической и газовой промышленности и, окончив его, стал работать в научно-исследовательском институте. Осознав необходимость дополнительных знаний по математике, он стал посещать лекции в Московском университете (многие из которых читали выдающиеся математики) и семинар В. М. Тихомирова по теории приближений и экстремальным задачам. И лекции, и участие в работе семинара оказали сильное воздействие на Георгия Георгиевича. В 1970 году он поступил на вечернее отделение мех-мата МГУ, окончил его с отличием и с тех пор математика стала его основной профессией. В настоящее время Г. Г. Магарил-Ильяев профессор кафедры высшей математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики и по совместительству профессор кафедры общих проблем управления Московского университета и заведующий отделом выпуклого анализа Института прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН. Он активно работающий математик, им опубликовано более 90 научных работ, среди которых две монографии.

Научные интересы Георгия Георгиевича связаны с функциональным анализом, теорией приближений и теорией экстремальных задач. Расскажем здесь о нескольких направлениях его творчества.

1. {\it Вложение функциональных классов.} Общая задача о вложении классов диффиренцируемых функций на $\mathbb R^n$ может быть описана так: про обобщенную функцию $x\cd$ на $\mathbb R^n$ известно, что она имеет набор гладкостей $\{(\alpha^i=(\alpha_1^i,\ldots,\alpha_n^i),p_i=(p_1^i,\ldots,p_n^i))\}_{i=1}^N$, т.е. $\alpha^i$-ая производная принадлежит пространству $L_{p^i}(\mathbb R^n)$, $1\le i\le N$. Спрашивается, как описать совокупность {\it всех\/} гладкостей, которыми обладает функция $x\cd$? Г.~Г.~Магарил-Ильяев для случая , когда $1<p_k^i<\infty$ по набору $\{(\alpha^i,p^i))\}_{i=1}^N$ построил полиэдр в $\mathbb R^{2n}$, точки которого и только они являются точками гладкости функции $x\cd$. Этот результат обобщает ряд известных утверждений о вложении классов гладких функций на $\mathbb R^n$.

2. {\it Неравенства для производных колмогоровского типа.} Эта тематика, берущая начало от исследований Э.~Ландау, Г.~Харди, Д.~Литтлвуда, Г.~Пойф, А.~Н.~Колмогорова и др., имеет разнообразные приложения в анализе. Г.~Г.~Магарил-Ильяеву принадлежит заметная доля среди точно решенных задач о подобных неравенствах. Особенностью его подхода явилось использование общих методов теории экстремума и теории двойственности в выпуклом анализе. В работе, совместной с А.~П.~Буслаевым и В.~М.~Тихомировым доказана весьма нестандартная теорема существования решения в задаче о неравенствах для производных колмогоровского типа.

Эти два круга вопросов легли в основу кандидатской диссертации Г.~Г.~Магарил-Ильяева, защищенной в1980 году под руководством В.~М.~Тихомирова.

В основе докторской диссертации была разработка нового направления в теории аппроксимации, которое можно озаглавить так:

3. {\it Наилучшие приближения некомпактных классов функций.} Развивая идеи К.~Шеннона и А.~Н.~Колмогорова о средней $\varepsilon$-энтропии (на единицу времени) для стохастических и детерминированных процессов на прямой, Г.~Г.~Магарил-Ильяев ввел понятия средней размерности пространства и оператора среднего ранга, что позволило ему определить средний поперечник по Колмогорову и средний линейный поперечник --- аналоги $n$-поперечника по Колмогорову и линейного $n$-поперечника. В итоге была построена теория средних поперечников функциональных классов, где возможно количественное сравнение приближения некомпактных классов различными бесконечномерными подпространствами. В ряде важных случаев были найдены точные значения средних поперечников и описаны экстремальные подпространства и операторы.

В последние годы Г.~Г.~Магарил-Ильяев уделяет значительное внимание теме

4. {\it Оптимальное восстановление линейных функционалов и операторов.} Концепция оптимального восстановления охватывает, в принципе, всю проблематику теории приближений. Задачи оптимального восстановления линейных функционалов и операторов оказываются тесно связанными с задачами о наилучшем приближении индивидуальных элементов и классов функций фиксированными средствами или методами аппроксимации, с задачами о неравенствах для производных и т.п. Г.~Г.~Магарил-Ильяев в достаточно общей ситуации получил принципиальный результат о том, что оптимальный метод восстановления линейного функционала является множителем Лагранжа для некоторой выпуклой задачи, для которой задача оптимального восстановления является двойственной.

На основе общих принципов теории экстремума и выпуклой двойственности Г.~Г.~Магарил-Ильяев и К.~Ю.~Осипенко получили в последние годы ряд точных результатов о восстановлении линейных функционалов и операторов на различных классах гладких и аналитических функций. Найдены, в частности, явные выражения для оптимальных методов восстановления функций и их производных в различных метриках по неполной и неточной информации о спектре функции. Эти результаты имеют важное прикладное значение (указаны, например, точные границы на спектр, знание которого за пределами этих границ не приводит к уменьшению погрешности). Получены новые точные неравенства для производных колмогоровского типа, где норма промежуточной производной оценивается через норму преобразования Фурье функции и норму старшей производной.

5. {\it Экстремальные задачи и выпуклый анализ.} На протяжении примерно последних двадцати лет Георгием Георгиевичем совместно с В.~М.~Тихомировым продумывались многие задачи теории приближений (критерии элементов наилучших приближений, неравенства для производных полиномов и гладких функций, восстановление функционалов и операторов и т.д.) с точки зрения общих принципов теории экстремума и выпуклого анализа. Как определенный итог этих исследований были написаны книги: Г.~Г.~Магарил-Ильяев, В.~М.~Тихомиров ``Выпуклый анализ и его приложения''. Москва, УРСС, вышедшая двумя изданиями (2000 и 2003 г.г.) и G.~G.~Magaril-Il'yaev, V.~M.~Tikhomirov ``Convex Analysis: Theory and Applications''. Translations of Math. Monographs, vol.~222, AMS, Providence, RI, 2003.

В заключение скажем несколько слов о личных качествах Георгия Георгиевича. Все, кто с ним общался, знают, что он общителен, остроумен и доброжелателен. Научные и человеческие контакты с ним отличаются особой атмосферой, сочетающей серьезность обсуждения с шуткой. Порой напряженные моменты споров и дискуссий он умело может разрядить, рассказав веселую историю или анекдот. Георгий Георгиевич с большой самоотдачей и добротой относится к своим коллегам, ученикам и студентам. Мы хотим пожелать ему творческих успехов, здоровья и благополучия.

\bigskip

\begin{flushright}
\it А.~В.~Арутюнов, А.~П.~Буслаев, Э.~М.~Галеев,\\
М.~Л.~Гольдман, В.~Б.~Демидович, А.~Г.~Кусраев,\\
С.~С.~Кутателадзе, К.~Ю.~Осипенко, В.~М.~Тихомиров.
\end{flushright}







\end{document}
