\documentclass[12pt,a4paper,draft]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\tolerance 4050
\newcommand{\T}{\mathcal T}

\DeclareMathOperator{\spa}{span}
\DeclareMathOperator{\Four}{Four}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\Tay}{Tay}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\ov}{\overline}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
%\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{theorem}}
\newtheorem*{corollary*}{Следствие}
\newtheorem*{lemma*}{Лемма}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcounter{tth}
\newcounter{def}
\def\tintif#1#2#3[#4]{\trivlist\item[\hspace{\labelsep}#1#2%
]%
\hspace{-\labelsep}\ \bf(#4).\hspace{\labelsep}#3\ignorespaces}

\newenvironment{ttheorem}{\tintif{\bf}{Теорема\addtocounter{tth}{1}\
\arabic{tth}}{\it}}{\endtrivlist}
\newenvironment{definition}{\tintif{\bf}{Определение\addtocounter{def}{1}\
\arabic{def}}{\rm}}
{\endtrivlist}

\begin{document}
\title[Оптимальное восстановление и теория экстремума]{Оптимальное
восстановление\\ и теория экстремума}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, В.~М.~Тихомиров}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты 99-01-01181 и 00--15--96109),
INTAS-97-1050, Research Grant 12513 of the Royal Swedish Acad. of Sci.}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\address{Московский государственный университет им.\ М.~В.~Ломоносова}

\begin{abstract}
В работе с общих позиций теории экстремума рассматриваются проблемы
восстановления линейных функционалов на классах гладких и аналитических
функций.
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{subsection}{-1}
\subsection{Постановка задачи о восстановлении линейных функционалов.}

Пусть в линейном пространстве $X$ над $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$ задано
множество (класс) $C\subset X$ и линейный функционал $x'$ на $X$. Будем
считать, что о каждом элементе $x\in C$ мы располагаем информацией $y=Fx$,
где $F\colon C\to Y$ --- линейный оператор из $X$ в другое линейное
пространство $Y$. Задача состоит в том, чтобы восстановить наилучшим
образом значение линейного функционала $x'$ на классе $C$ по информации,
задаваемой оператором $F$. В это вкладывается следующий смысл. Методом
восстановления будем называть любую функцию $\varphi\colon F(C)\to K$.
Погрешностью такого метода называется величина
$$e(x',C,F,\varphi)=\sup_{x\in C}|\la x',x\ra-\varphi(Fx)|,$$
где $\la x',x\ra$ --- значение функционала $x'$ на элементе $x$.
Погрешностью оптимального восстановления ($x'$ на $C$ по $F$) называется
величина
\begin{equation}\label{1}
E(x',C,F)=\inf_{\varphi}e(x',C,F,\varphi),
\end{equation}
где нижняя грань берется по всем функциям (методам) $\varphi\colon F(C)\to
K$. Метод $\widehat\varphi$, на котором достигается нижняя грань в \eqref1,
называется оптимальным методом восстановления.

В работе исследуются задачи восстановления значений функций на классах
Соболева $W_p^K(\mathbb T)$ и Харди--Соболева $W^rH_p(D)$ по коэффициентам
Фурье, Тейлора и значениям в других точках с общих позиций теории
экстремальных задач.

\subsection{Принцип Лагранжа для задач оптимального восстановления.}

Решения упомянутых задач, равно как и многих других задач об оптимальном
восстановлении линейных функционалов, базируются на связи исходной задачи
\eqref1 со следующей выпуклой экстремальной задачей:
\begin{equation}\label{2}
\RE\la x',x\ra\to\max,\quad Fx=0,\quad x\in C.
\end{equation}
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид:
$$\mathcal L(x,\lambda,\lambda_0)=\lambda_0\RE\la x',x\ra+\RE\la\lambda,Fx
\ra,$$
где $\lambda_0\le0$ и $\lambda\in Y'$ ($Y'$ --- алгебраически сопряженное к
$Y$) --- множители Лагранжа. Принцип Лагранжа для выпуклых задач состоит в
том, что если $\widehat x$ --- решение задачи, то найдутся множители
Лагранжа (не равные нулю одновременно) такие, что функция Лагранжа
достигает минимума в точке $\widehat x$ на множестве тех ограничений,
которые в нее не включены (в данном случае на $C$). Этот факт является
центральным утверждением следующей теоремы (см. \cite{MT}).

\begin{ttheorem}[Принцип Лагранжа для задач восстановления]\label{T1}
Пусть $X$ и $Y$ линейные пространства над $\mathbb R$ или $\mathbb C$, $C$
--- выпуклое уравновешенное подмножество $X$ и $F\colon X\to Y$ ---
линейный оператор. Тогда для того чтобы допустимая в $\eqref2$ точка $
\widehat x$ была решением этой задачи необходимо и достаточно, чтобы
нашелся такой множитель Лагранжа $\widehat\lambda\in Y'$, что
\begin{equation}\label{PL}
\min_{x\in C}\mathcal L(x,\widehat\lambda,-1)=\mathcal L(\widehat x,
\widehat\lambda,-1).
\end{equation}
При этом $\widehat\lambda$ --- оптимальный метод восстановления в $\eqref1
$ и $E(x',C,F)=\RE\la x',\widehat x\ra$.
\end{ttheorem}

Доказательство всех приводимых ниже результатов опирается на
сформулированный принцип. Используя равенство \eqref{PL} как необходимое
условие, мы находим соответствующие $\widehat x$ и $\widehat\lambda$, а
затем, пользуясь достаточностью этого соотношения или непосредственной
проверкой, убеждаемся, что $\widehat x$ --- решение задачи \eqref2, a $
\widehat\lambda$ --- оптимальный (причем линейный) метод восстановления.

\subsection{Оптимальное восстановление значений функций из обобщенных
соболевских классов по коэффициентам Фурье.}

Пусть $1\le p\le\infty$, функция $K(\cdot)\in L_{p'}(\mathbb T)$ ($1/p+1/p'
=1$, $\mathbb T$ --- окружность, реализованная как $[-\pi,\pi]$ с
идентифицированными концами) и $\alpha_k,\beta_k$ --- коэффициенты Фурье
функции $K(\cdot)$. Предположим, что $\alpha_k^2+\beta_k^2\ne0$ ($\beta_0=0
$) за исключением конечного (возможно пустого) множества $Q\subset\mathbb Z
_+$. Обозначим $\T_Q=\spa\{\cos k\cdot,\sin k\cdot\}_{k\in Q}$ и положим
\begin{multline*}
\mathcal W_p^K(\mathbb T,Q)=\Bigl\{\,x(\cdot)\bigm|x(\cdot)=y(\cdot)+\frac1
\pi\int_{\mathbb T}K(\cdot-t)u(t)\,dt,\ y(\cdot)\in\T_Q,\\
u(\cdot)\in\T_Q^{\perp},\ u(\cdot)\in L_p(\mathbb T)\,\Bigr\},
\end{multline*}
где $\T_Q^{\perp}$ --- аннулятор $\T_Q$.

Обобщенным соболевским классом $W_p^K(\mathbb T,Q)$ назовем множество тех
функций из $\mathcal W_p^K(\mathbb T,Q)$, для которых $\|u(\cdot)\|_{L_p(
\mathbb T)}\le1$. Если $Q=\{0\}$ и $K(\cdot)=B_r(\cdot)$, где $B_r(\cdot)=
\sum_{k\in\mathbb N}k^{-r}\cos(kt-\pi r/2)$ (ядро Бернулли), то $W_p^{B_r}(
\mathbb T,\{0\})$ совпадает с соболевским классом $W_p^r(\mathbb T)$.

Поставим задачу о восстановлении функции $x(\cdot)$ в точке $\theta\in
\mathbb T$ на классе $W_p^K(\mathbb T,Q)$ по значениям ее коэффициентов
Фурье $\{(a_k,b_k)\}_{k=0}^{n-1}$ ($b_0=0$). Через $\Four_n$ обозначим
отображение $x(\cdot)\mapsto(a_0,\ldots,a_{n-1},b_1,\ldots,b_{n-1})$. Будем
считать, что $Q\subset\{0,1,\ldots,n-1\}$, т.к.\ в противном случае
погрешность оптимального восстановления равна $+\infty$ и тем самым любой
метод оптимален.

\begin{ttheorem}[об оптимальном восстановлении по коэффициентам
Фурье]\label{T2}
Пусть $1<p\le\infty$ и
$$\widehat p(t)=A_0/2+\sum_{k=1}^{n-1}(A_k\cos kt+B_k\sin kt)$$
--- полином наилучшего приближения функции $K(\cdot)$ подпространством $\T_
{n-1}$ тригонометрических полиномов в метрике $L_{p'}(\mathbb T)$. Тогда
метод
$$x(\theta)\approx\widehat\mu_0 a_0+\sum_{k=1}^{n-1}(\widehat\mu_k(\theta)a
_k+\widehat\nu_k(\theta)b_k),$$
где $\widehat\mu_0=1/2$, если $0\in Q$, и $\widehat\mu_0=A_0/(2\alpha_0)$,
если $0\notin Q$; $\widehat\mu_k(\theta)=\cos k\theta$, $\widehat\nu_k(
\theta)=\sin k\theta$, если $k\in Q\setminus\{0\}$, и
\begin{align*}
\widehat\mu_k(\theta)&=\frac{(\alpha_k A_k+\beta_k B_k)\cos k\theta+(\alpha
_kB_k-\beta_kA_k)\sin k\theta}{\alpha_k^2+\beta_k^2},\\
\widehat\nu_k(\theta)&=\frac{(\beta_k A_k-\alpha_k B_k)\cos k\theta+(\alpha
_kA_k+\beta_kB_k)\sin k\theta}{\alpha_k^2+\beta_k^2},
\end{align*}
если $k\in\{1,\ldots,n-1\}\setminus Q$, является оптимальным методом
восстановления $x(\theta)$ на $W_p^K(\mathbb T,Q)$ по коэффициентам Фурье $
\{(a_k,b_k)\}_{k=0}^{n-1}$.

При этом
$$E(x(\theta),W_p^K(\mathbb T,Q),\Four_n)=\frac1\pi\|K(\cdot)-\widehat p(
\cdot)\|_{L_{p'}(\mathbb T)}.$$
\end{ttheorem}

Скажем, что функция $K(\cdot)\in L_1(\mathbb T)$ обладает {\it $\gamma
$-свойством Фавара\/} (при данном $n\in\mathbb N$), если найдется такой
полином $\widehat q(\cdot)\in\T_{n-1}$ и $\gamma\in[0,\pi/n)$, что функция
$(K(t)-\widehat q(t))\sin n(t+\gamma)$ неотрицательна или неположительна
для п.в. $t\in\mathbb T$. Нетрудно убедиться, что в этом случае $\widehat q
(\cdot)$ --- полином наилучшего приближения для $K(\cdot)$ в $L_1(\mathbb T
)$ и имеет место равенство
$$\|K(\cdot)-\widehat q(\cdot)\|_{L_1(\mathbb T)}=\left|\int_{\mathbb T}K(t
)\sign\sin n(t+\gamma)\,dt\right|.$$
Если $K(\cdot)$ непрерывно, то $\widehat q(\cdot)$ находится как
полином, интерполирующий $K(\cdot)$ в нулях $\sin n(\cdot+\gamma)$, и тем
самым из теоремы~\ref{T2} определяется оптимальный метод восстановления и
его погрешность.

Среди ядер, удовлетворяющих $\gamma$-свойству Фавара, выделяется класс
ядер, не повышающих осцилляции.

Примером ядер такого вида может служить ядро
$$K_\beta(t)=\frac12+\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos mt}{\ch m\beta}.$$
Класс $W_\infty^{K_\beta}(\mathbb T,\emptyset)$ совпадает с классом $h_{
\infty,\beta}$, являющимся множеством вещественных $2\pi$-периодических
функций $f(\cdot)$, аналитически продолжаемых в полосу $S_\beta=\{z\in
\mathbb C\mid|\IM z|<\beta\}$ и удовлетворяющих в ней условию $|\RE f(z)|
\le1$.

Пусть $P(D)$ --- дифференциальный полином с постоянными вещественными
коэффициентами степени $r$
$$P(D)=D^r+a_{r-1}D^{r-1}+\ldots+a_0,\quad D=\frac d{dt}.$$
Через $h_{\infty,\beta}^P$ обозначим класс вещественных $2\pi
$-периодических функций $f(\cdot)$, аналитически продолжаемых в полосу $S_
\beta$ и удовлетворяющих в ней условию $|\RE(P(D)f)(z)|\le1$. Тогда $h_{
\infty,\beta}^P=W_\infty^{K_{P,\beta}}(\mathbb T,Q)$, где $K_{P,\beta}(
\cdot)=(K_P*K_\beta)(\cdot)$,
$$K_P(t)=\frac12\sum_{\substack{m\in\mathbb Z\\P(im)\ne0}}\frac{e^{imt}}{P(
im)},\quad Q=\{\,m\in\mathbb Z_+:P(im)=0\,\}.$$

Положим
$$h_n(t)=\sign\sin nt,\quad \delta=\pi/h(P(\cdot)),$$
где $h(P(\cdot))$ --- максимум мнимой части нулей полинома $P(\cdot)$.

\begin{lemma*}
Ядро $K_{P,\beta}(\cdot)$ при
$n>\max\{\sup_{j\in Q}j,\,2\pi/\delta\}$ обладает $\gamma$-свойством Фавара
для $\gamma$, определяемого из условия
$$(K_{P,\beta}*h_n)(\gamma)=-\|(K_{P,\beta}*h_n)(\cdot)\|_{L_\infty(\mathbb
T)}.$$
\end{lemma*}

Эта лемма вместе с теоремой~2 позволяет выписать формулы для оптимального
метода восстановления значений функций из классов $h_{\infty,\beta}^P$ по
коэффициентам Фурье.

\subsection{Восстановление значений функций на классах Харди.}

Пространством Харди $\mathcal H_p(D)$, $1\le p\le\infty$, называется
множество аналитических в единичном диске $D=\{z\in\mathbb C\mid|z|<1\}$
функций $f(\cdot)$, для которых
$$\|f(\cdot)\|_{\mathcal H_p(D)}=\begin{cases}\displaystyle\sup_{0<r<1}\left(\frac
1{2\pi}\int_\mathbb T|f(re^{it})|^p\,dt\right)^{1/p}<\infty,&1\le p<\infty,
\\
\noalign{\vspace{5pt}}
\displaystyle\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty,&p=\infty.\end{cases}$$
Классом Харди назовем следующее множество
$$H_p(D)=\{f(\cdot)\in\mathcal H_p(D)\mid\|f(\cdot)\|_{\mathcal H_p(D)}\le1
\}.$$

\setcounter{theorem}{2}
\begin{theorem}
Пусть $1\le p\le\infty$, $C=H_p(D)$, $\tau,z_1,\ldots,z_n\in D$, $k_1,
\ldots,k_n\in\mathbb N$,
$$Ff(\cdot)=\left(f(z_1),\ldots,f^{(k_1-1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(k
_n-1)}(z_n)\right).$$
Тогда метод
$$f(\tau)\approx\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{k_j-1}\widehat\mu_{jk}f^{(k)}(z_j),
$$
где
\begin{gather*}
\widehat\mu_{jk}=\frac{B(\tau)(1-|\tau|^2)^{(p-2)/p}}{k!(k_j-k-1)!}\left(
\frac{(1-\ov z_jz)^{k_j}}{\omega_j(z)(\tau-z)(1-\ov\tau z)^{(p-2)/p}}\right
)^{(k_j-k-1)}_{\Big|z=z_j},\\
B(z)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}\right)^{k_j},\quad\omega_j
(z)=\prod_{\substack{m=1\\m\ne j}}^n\left(\frac{z-z_m}{1-\ov z_mz}\right)^{
k_m},
\end{gather*}
является оптимальным на классе $H_p(D)$ по информации $Ff(\cdot)$.

При этом
$$E(f(\tau),H_p(D),F)=\frac{|B(\tau)|}{(1-|\tau|^2)^{1/p}}.$$
\end{theorem}

\begin{corollary*}
При $p=\infty$ и
\begin{gather*}
Ff(\cdot)=\Tay_nf(\cdot)=(f(0),f'(0),\ldots,f^{(n-1)}(0))\\
E(f(\tau),H_\infty(D),\Tay_n)=\frac{|\tau|^n}{(1-|\tau|^2)^{1/p}},
\end{gather*}
а оптимальный метод восстановления доставляет формула
$$f(\tau)\approx\sum_{j=0}^{n-1}\tau^j(1-|\tau|^{2(n-j)})\frac{f^{(j)}(0)}{
j!}.$$
\end{corollary*}

Оптимальность приведенных методов иным путем была доказана в работах \cite
{Os1}, \cite{Os2} ($p=\infty$) и \cite{FM} ($1\le p<\infty$).

\subsection{Восстановление значений функций на классах Харди--Соболева.}

Обозначим через $W^rH_\infty(D)$ класс Харди--Соболева --- множество
аналитических в $D$ функций, для которых $|f^{(r)}(z)|\le1$, $z\in D$.

\begin{theorem}
Пусть $r\in\mathbb Z_+$, $n\in\mathbb N$ и $\tau\in D$. Тогда метод
\begin{multline*}
f(\tau)\approx\sum_{k=0}^{r-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\tau^k\\
+\sum_{k=r}^{n+r-1}\left(1-\frac{k!}{(k-r)!}\frac{(2n+r-k)!}{(2n+2r-k)!}|
\tau|^{2(n+r-k)}\right)\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\tau^k
\end{multline*}
является оптимальным на классе $W^rH_\infty(D)$ по информации
$\Tay_{n+r}f(\cdot)=(f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0))$.
При этом
$$E(f(\tau),W^rH_\infty,\Tay_{n+r})=\frac{n!}{(n+r)!}|\tau|^{n+r}.$$
\end{theorem}

\subsection{Восстановление по значениям в равномерной сетке на окружности
на классе $W^1H_\infty(D)$.}

\begin{theorem}
Пусть $0<\rho<1$ и $\tau\in(-1,1)$. Тогда метод
$$f(\tau)\approx\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}\widehat\mu_jf(\rho e^{ij2\pi/n}),$$
где
\begin{gather*}
\widehat\mu_j=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\alpha^{n-k}(1-q_k\alpha^n\rho^{2n})-p_k
\alpha^k\rho^{2k}(1-\alpha^n)}{1-q_k\rho^{2n}}e^{ikj2\pi/n},\\
\alpha=\frac\tau\rho,\quad p_k=\frac{n-k}{n+k},\quad q_k=\frac k{2n-k}p_k,
\end{gather*}
является оптимальным на классе $W^1H_\infty(D)$ и для его погрешности имеет
место равенство
$$E(f(\tau),W^1H_\infty,F)=\frac{|\tau^n-\rho^n|}n.$$
\end{theorem}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{MT}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и
его приложения. Москва: Эдиториал УРСС, 2000.

\bibitem{Os1}{\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических
функций // Мат. заметки. 1972. Т.~12, 4. С.~465--476.

\bibitem{Os2}{\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических
функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат.
заметки. 1976. Т.~19, 1. С.~29--40.

\bibitem{FM}{\it Fisher, S.~D., Micchelli, C.~A.} The $n$-width of sets of
analytic functions // Duke Math. J. 1980. V.~47. 4. P.~789--801.

\end{thebibliography}

\end{document}
