\documentclass[12pt,oneside,draft,reqno,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1800
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}



\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}}

\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wst}{\widetilde\sigma}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\wL}{\widehat L_2(A)}
\newcommand*{\wLR}{\widehat L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)}

\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\wg}{\widehat \gamma}
\newcommand*{\wv}{\widehat\varphi}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\mes}{mes}
\DeclareMathOperator*{\vraimax}{vraimax}

\begin{document}


\begin{flushleft}
УДК 517.984.64
\end{flushleft}



\title[Точность и оптимальность]{Точность и оптимальность методов восстановления функций по их спектру}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No\No 14-01-00456, 14-01-00744)}

\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова}
\address{Институт проблем передачи информации
им. А.~А.~Харкевича РАН}
\address{Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)}

\begin{abstract}
В работе построены оптимальные методы восстановления функций и их производных из
соболевского класса функций на прямой по точно или приближенному заданному преобразованию
Фурье этих функций на произвольном измеримом множестве, которые точны на некоторых
подпространствах целых функций. Строятся также оптимальные методы восстановления для
более широких классов функций, представляющих сумму исходного соболевского класса и
подпространства целых функций.
\end{abstract}

\maketitle


\section*{Введение}

Вопрос, который авторы первоначально ставили перед собой, заключается в следующем. Можно
ли на данном классе гладких  функций на прямой, про каждую из которых известно (вообще
говоря, приближенно) ее преобразование Фурье на некотором множестве, построить такой
метод восстановления этих функций и/или их производных, который был бы точен на заданном
подпространстве и был бы в некотором смысле наилучшим?

Истоки этой постановки таковы. При построении квадратурных формул  важной характеристикой
является максимальная размерность подпространства алгебраических или тригонометрических
полиномов, на которых эта формула точна. Оптимальными в этом смысле являются квадратуры
Гаусса (см., например, \cite{N}). В 50-х годах прошлого века появилась задача о наилучших
квадратурах на классах функций (квадратуры Колмогорова--Никольского, см. \cite{N1}),
истоки которой восходят к работам А.~Н.~Колмогорова  о нахождении оптиальных методов
приближения классов функций (см. \cite{K}). В статье \cite{N1} Сергей Михайлович так и
пишет: ``В этом параграфе дается решение одной задачи, относящейся к проблеме,
поставленной А.~Н.~Колмогоровым''.

Задача о квадратурах Колмогорова--Никольского послужила отправной точкой для постановки
общей проблемы о нахождении оптимальных методов восстановления линейных функционалов и
операторов на классах элементов по неточной информации о самих элементах. Литература,
посвященная этой тематике достаточно обширна. Укажем здесь лишь работы
\cite{S}--\cite{MT}, которые можно отнести к истоковым для данной проблематики.


Среди оптимальных методов восстановления функций и их производных на соболевском классе
на прямой, как оказалось, есть такие, которые точны на некоторых подпространствах целых
функций экспоненциального типа. Кроме того, подобные методы являются оптимальными и на
более широком классе, чем исходный. А именно, они оптимальны на классе, являющимся суммой
исходного класса и того подпространства, на котором они точны.


В связи с этим возникает общая задача о построении методов, точных на заданном
подпространстве целых функций и оптимальных на сумме соболевского класса с этим
подпространством. В данной работе мы решаем эту задачу, и в качестве следствия находим
оптимальные на соболевском классе методы восстановления функций и их производных, которые
точны на максимально широком подпространстве целых функций. Иначе говоря, мы делаем
попытку совместить два подхода: идущий от Гаусса и основанный на построении методов,
точных на подпространствах и идущий от Колмогрова, который основан на построении методов,
оптимальных на данном классе.

Отметим в конце работы авторов \cite{MO1}--\cite{MOd}, где изучались задачи, близкие к
тем, которые рассматриваются в данной статье.



\section*{Постановки задач и формулировки результатов}

Пусть $F$ --- преобразование Фурье в $\lt$. Если $x\cd\in \lt$, то удобно считать, что
функция $Fx\cd$ определена на $\mathbb R$ с мерой Лебега, деленной на $2\pi$. Норму
$y\cd$ в пространстве суммируемых с квадратом функций на $\mathbb R$ с такой мерой
обозначаем $\|y\cd\|_{\wLR}$, т.~е.
$$\|y\cd\|_{\wLR}=\left(\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}|y(\xi)|^2\,d\xi\right)^{1/2}.$$


Пусть $n$ --- натуральное и $\mathcal W_2^n(\mathbb R)$  ---  соболевское пространство
функций $x\cd\in\Lt$, у которых $(n-1)$-ая производная локально абсолютно непрерывна и
$x^{(n)}\cd\in\Lt$.
%, а через
%$$
%W_2^n(\mathbb R)=\{\,x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)\mid \|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1\,\}
%$$
%обозначим соответствующий соболевский класс.

Пусть, далее, $W$ --- некоторое подмножество (класс) функций из $\mathcal W_2^n(\mathbb
R)$, а $A$ --- некоторое измеримое подмножество прямой. Допустим, что о каждой функции
$x\cd\in W$ известно ее преобразование Фурье на $A$ либо точно, либо приближенно, т.~е.
известна функция $y\cd\in \wLR$ такая, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{\wLR}\le \delta$ для
некоторого $\delta>0$.

По этой информации мы хотим восстановить (по возможности, наилучшим образом) функции
$x\cd\in W$ и их производные до $(n-1)$-го порядка включительно в метрике $\Lt$.


Перед точной постановкой задачи введем следующие обозначения. Пусть $I_A\colon\mathcal
W_2^n(\mathbb R)\to \wL$ --- отображение, сопоставляющее $x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb
R)$ функцию $Fx\cd|_A$ --- сужение $Fx\cd$ на $A$, а $I_A^\delta\colon\mathcal
W_2^n(\mathbb R)\to \wL$
--- многозначное отображение, определенное по формуле:
$$I_A^\delta x\cd=\{\,y\cd\in
\wL : \|I_A x\cd-y\cd\|_{\wL}\le\delta\,\}.$$
Если здесь формально положить $\delta=0$, то
ясно, что $I_A^0=I_A$ и таким образом,  информация о функции $x\cd\in W$ (при точном или
неточном знании ее преобразования Фурье) заключается в том, что известна функция $y\cd\in
I_A^\delta x\cd$, где $\delta\ge0$.

Ясно, что любой метод восстановления $k$-ой ($0\le k\le n-1$) производной функции из
класса $W$ в метрике $\Lt$ по указанной информации, есть некоторое отображение
$\varphi\colon \wL\to \Lt$. Погрешностью этого метода называем величину
$$
e(D^k,W,I_A^\delta,\varphi)=\sup_{x\cd\in W, \ y\cd\in I_A^\delta x\cd}
\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\Lt},
$$
где $D^k$ символизирует оператор $k$-кратного дифференцирования ($D^0$ --- тождественный
оператор).

Под задачей {\it оптимального восстановления} $k$-ой ($0\le k\le n-1$) производной
функции из класса $W$ в метрике $\Lt$ по указанной информации понимается нахождение
величины
$$
E(D^k,W,I_A^\delta)=\inf_{\varphi\colon \wL\to \Lt} e(D^k,W,I_A^\delta,\varphi),
$$
которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и методов $\widehat
\varphi$, на которых нижняя грань достигается, т.~е. для которых
$$
E(D^k,W,I_A^\delta)=e(D^k,W,I_A^\delta,\widehat \varphi).
$$
Эти методы мы называем {\it оптимальными методами восстановления}.


Коротко сформулированную задачу будем называть {\it $(D^k,W,I_A^\delta)$-задачей}.


Помимо оптимальных методов восстановления нас будут интересовать точные методы. Скажем,
что метод $\varphi\colon \wL\to \Lt$ {\it точен на множестве $L\subset \mathcal
W_2^n(\mathbb R)$, если $x^{(k)}\cd=\varphi(I_A x\cd)\cd$ для всех $x\cd\in L$}.
Следующее предложение показывает, что оптимальность и точность метода не независимые
понятия.

\begin{proposition}\label{P}
Если $\widehat \varphi$ --- оптимальный линейный метод в
$(D^k,W,I_A^\delta)$-задаче, точный на множестве $L\subset \mathcal W_2^n(\mathbb R)$, содержащим ноль, то он оптимален и в $(D^k,W+L,I_A^\delta)$-задаче и при этом,
$E(D^k,W,I^\delta_A)=E(D^k,W+L,I^\delta_A)$. Если $\wv$ --- линейный метод с конечной погрешностью в $(D^k,W+L,I_A^\delta)$-задаче, где $L$ --- подпространство $\mathcal W_2^n(\mathbb R)$, то он точен на $L$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Пусть $x\cd\in W+L$, $x\cd=x_1\cd+x_2\cd$, где $x_1\cd\in W$, $x_2\cd\in L$ и пусть
$y\cd\in L_2(A)$ такое, что $\|I_A x\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta$. Положим
$y_1\cd=y\cd-I_A x_2\cd$. Ясно, что  $y_1\cd\in L_2(A)$ и так как $I_A x_1\cd-y_1\cd=I_A
x\cd-y\cd$, то
\begin{equation}\label{y1}
\|I_A x_1\cd-y_1\cd\|_{L_2(A)}\le\delta.
\end{equation}
Из линейности и точности $\widehat \varphi$ на $L$ следует равенство
\begin{equation}\label{R}
\|x^{(k)}\cd-\widehat \varphi(y\cd)\cd\|_{\Lt}=\|x_1^{(k)}\cd-\widehat
\varphi(y_1\cd)\cd\|_{\Lt}.
\end{equation}
Выражение справа в \eqref{R} в силу \eqref{y1} не превосходит величины
$e(D^k,W,I^\delta_A,\widehat \varphi)$, которая равна $E(D^k,W,I^\delta_A)$, так как
метод $\widehat\varphi$ оптимален. Учитывая это обстоятельство и переходя в левой части
\eqref{R} к верхней грани по всем указанным $x\cd$ и $y\cd$, получаем, что
$$e(D^k,W+L,I_A^\delta,\widehat \varphi)\le E(D^k,W,I^\delta_A).
$$
Отсюда и из того, что  $W\subset W+L$  имеем
\begin{multline*}
E(D^k,W,I^\delta_A)\le E(D^k,W+L,I^\delta_A)\\
\le e(D^k,W+L,I_A^\delta,\widehat \varphi)\le E(D^k,W,I^\delta_A).
\end{multline*}
Следовательно,  $\widehat \varphi$ --- оптимальный метод в
$(D^k,W+L,I_\sigma^\delta)$-задаче и $E(D^k,W,I^\delta_A)=E(D^k,W+L,I^\delta_A)$.


Пусть теперь $\wv$ --- линейный метод с конечной погрешностью в
$(D^k,W+L,I_A^\delta)$-задаче, где $L$ --- подпространство $\mathcal W_2^n(\mathbb R)$.
Предположим, что существует элемент $x_0\cd\in L$, для которого
$$\|x_0^{(k)}\cd-\wv(I_Ax_0\cd)\cd\|_{\Lt}=c>0.$$
Тогда $\lambda x_0\cd\in L$ для любого $\lambda>0$. Тем самым
$$e(D^k,W+L,I_A^\delta,\wv)\ge\lambda c,$$
что противоречит конечности погрешности метода $\wv$.
\end{proof}


Из этого предложения вытекает, что если искать просто устроенные методы (например,
линейные), точные на некоторых подпространствах и обладающие к тому же некоторыми
свойствами оптимальности, то вполне естественно ставить задачу о нахождении оптимальных
методов на классах вида $W+L$.

Мы это реализуем для случая, когда $W$ --- соболевский класс функций, т.~е.
$$W_2^n(\mathbb R)=\{\,x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)\mid \|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1\,\},$$
а $L=\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ --- пространство целых функций экспоненциального типа $\sigma$.

Напомним, что если $\sigma>0$, то  $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ --- подпространство
в $\Lt$, образованное сужениями на $\mathbb R$ целых функций экспоненциального типа
$\sigma$. Как хорошо известно, $x\cd\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ тогда и только
тогда, когда носитель $Fx\cd$ принадлежит отрезку $\Delta_\sigma=[-\sigma,\sigma]$. По
определению, $\mathcal B_{0,2}(\mathbb R)=\{0\}$.

Если $x\cd\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$, то $x^{(m)}\cd\in\mathcal
B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ для любого $m\in\mathbb N$ (по неравенству Бернштейна для целых
функций экспоненциального типа), и поэтому, в частности, $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb
R)\subset \mathcal W_2^n(\mathbb R)$.



Перед формулировкой теоремы введем некоторые обозначения. Для измеримого множества $A$ на
прямой положим
$$\gamma_A=\sup\{\,a\ge0:\mes( A\cap[-a,a])=2a\,\}.$$
Пусть $1\le k\le n-1$ и $\delta>0$. Обозначим
$$\wg=\left(\dfrac
nk\right)^{\frac1{2(n-k)}}\delta^{-\frac 1n},\qquad\ws=\left(\dfrac
{n-k}n\right)^{\frac1{2k}}\delta^{-\frac 1n}$$ и рассмотрим следующие четыре области на
плоскости $\mathbb R^2$:


\begin{align*}
\Sigma_1&=\left\{\,(x,y)\in\mathbb R^2 : 0<\frac {\ws}{\wg}\,x\le y
\le x\,\right\},\\
\Sigma_2&=\left\{\,(x,y)\in\mathbb R^2 : 0\le y\le
\frac {\ws}{\wg}\,x,\ 0<x\le\wg\,\right\},\\
Y_3&=\left\{\,(x,y)\in\mathbb R^2 : y\ge\wg,\ 0\le y\le\ws\,\right\},\\
Y_4&=\left\{\,(x,y)\in\mathbb R^2 :\ws\le y\le\frac {\ws}{\wg}\,\delta\,\right\}.
\end{align*}
На рисунке эти области выглядят так

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,200)
\put(0,10){\vector(1,0){200}} \put(10,0){\vector(0,1){160}} \put(188,0){$x$}
\put(-4,140){$y$} \put(100,10){\line(0,1){60}} \put(100,70){\line(1,0){90}}
\put(180,170){$y=x$} \put(180,110){$y=\dfrac {\ws}{\wg}\,x$} \put(82,-2){$x=\wg$}
\put(170,58){$y=\ws$} \put(10,10){\line(1,1){170}} \put(10,10){\line(3,2){180}}
\put(135,110){$\Sigma_1$} \put(70,30){$\Sigma_2$} \put(120,30){$\Sigma_3$}
\put(146,80){$\Sigma_4$}
\end{picture}$$
\caption{}
\end{figure}

Далее, множеству $A$ и числу $\sigma\ge0$ сопоставим пару чисел
$\lambda_1=\lambda_1(A,\sigma)$ и $\lambda_2=\lambda_2(A,\sigma)$ по правилу
\begin{equation}\label{lam}
(\lambda_1,\lambda_2)=\begin{cases}
(\sigma^{2k},\gamma_A^{-2(n-k)}),&(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_1,\\[15pt]
\left(\left(\dfrac{\ws}{\wg}\gamma_A\right)^{2k},
\gamma_A^{-2(n-k)}\right),&(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_2,\\[15pt]
\left(\ws^{2k},\wg^{-2(n-k)}\right),
&(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_3,\\[15pt]
\left(\sigma^{2k},\left(\dfrac{\wg}{\ws}\sigma\right)^{-2(n-k)}
\right),&(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_4,\end{cases}
\end{equation}
а также множество $\Xi(A,\sigma)$ таких измеримых функций $\theta\cd$ на
$A\setminus\Delta_\sigma$, что $|\theta(\xi)|\le1$ для п.~в. $\xi\in
A\setminus\Delta_\sigma$.




\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $0\le k\le n-1$, $A$ --- измеримое подмножество $\mathbb R$, $\delta\ge0$ и
$\sigma\ge0$. Если

$1)$ $\sigma>\gamma_A$ или $\sigma=\gamma_A=0$, то
\begin{equation}\label{Ei}
E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta)=+\infty;
\end{equation}

$2)$  $k\ge1$, $\delta>0$, $\gamma_A>0$ и $\sigma\le\gamma_A$, то
$$E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta)=
\sqrt{\lambda_1\delta^2+\lambda_2}\,,$$ и для каждой функции $\theta\cd\in \Xi(A,\sigma)$
метод
\begin{equation}\label{axi}
\widehat\varphi_\theta(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma(i\xi)^ky(\xi)e^{i\xi
t}\,dt+\frac1{2\pi}\int_{A\setminus\Delta_\sigma}(i\xi)^ka_\theta(\xi) y(\xi)e^{i\xi
t}\,dt,
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{at}
a_\theta(\xi)=\dfrac{\lambda_1+\theta(\xi)|\xi|^{n-k}\sqrt{\lambda_1\lambda_2}
\,\sqrt{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}-\xi^{2k}}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}} \,,
\end{equation}
является оптимальным;

$3)$ $k\ge 1$, $\delta=0$, $\gamma_A>0$ и $\sigma\le\gamma_A$, то
$$E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^0)=\gamma_A^{-(n-k)}
,$$ и для каждой функции $\theta\cd\in \Xi(A,\sigma)$ метод
\begin{multline*}
\widehat\varphi_\theta(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma(i\xi)^k Fx(\xi)e^{i\xi
t}\,dt\\
+\frac1{2\pi}\int_{A\setminus\Delta_\sigma}(i\xi)^k\biggl(1+
\theta(\xi)\left|\frac\xi{\gamma_A}\right|^{n-k}\biggr)Fx(\xi)e^{i\xi t}\,dt;
\end{multline*}
является оптимальным;

$4)$ $k=0$, $\gamma_A>0$ и $\sigma\le\gamma_A$, то
$$E(D^0,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta)=
\sqrt{\delta^2+\gamma_A^{-2n}}\,,$$ и для каждой функции $\theta\cd\in \Xi(A,\sigma)$
метод
%\begin{equation}\label{axi}
$$\widehat\varphi_\theta(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma y(\xi)e^{i\xi
t}\,dt+\frac1{2\pi}\int_{A\setminus\Delta_\sigma}\frac{\gamma_A^{2n}+\theta(\xi)\xi^{2n}}
{\gamma_A^{2n}+\xi^{2n}}y(\xi)e^{i\xi t}\,dt,$$
%\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

Перед доказательством этой теоремы сделаем ряд замечаний.

Множество $A$, на котором задается информация о приближенном преобразовании Фурье может
быть ``достаточно большим'', но среди оптимальных методов \eqref{axi} могут быть такие,
которые не используют всю имеющуюся информацию. Естественно, возникает вопрос об
оптимальных методах, использующих меньше информации. Точнее говоря, насколько можно
уменьшить множество $A$, не увеличивая при этом погрешность оптимального восстановления?
В терминах функции $a_\theta\cd$ (которую мы рассматриваем как сглаживающий множитель) это
означает, что нас интересуют множества, где можно положить $a_\theta\cd=0$.

Нас также интересует вопрос, нельзя ли сглаживающий множитель взять равным единице на
более широком множестве $[-\sigma_0,\sigma_0]$, где $\sigma_0\ge\sigma$. В этом случае
соответствующий оптимальный метод будет точным на более широком пространстве $\mathcal B_{\sigma_0,2}(\mathbb R)$ и, следовательно, в силу предложения~\ref{P} будет оптимальным на более широком классе $W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma_0,2}(\mathbb R)$.

Положим
$$(\sigma_0,\gamma_0)=\begin{cases}
(\sigma,\gamma_A),&(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_1,\\[10pt]
\left(\dfrac{\ws}{\wg}\gamma_A,\gamma_A\right),&(\gamma_A,\sigma)
\in\Sigma_2,\\[10pt]
\left(\ws,\wg\right),&(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_3,\\[10pt]
\left(\sigma,\dfrac{\wg}{\ws}\sigma\right),&(\gamma_A,\sigma)\in
\Sigma_4.\end{cases}$$

Из теоремы~\ref{T2} вытекает

\begin{corollary}\label{Cor1}
Пусть $0\le k\le n-1$, $A$ --- измеримое подмножество $\mathbb R$, $\delta\ge0$, $\gamma_A>0$ и $0\le\sigma\le\gamma_A$. Тогда

$1)$ если $k\ge1$ и $\delta>0$, то для всех $\theta\cd\in \Xi(A,\sigma_0)$ методы
\begin{multline*}
\widehat\varphi_\theta(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma_0}(i\xi)^ky(\xi)e^{i\xi t}\,dt\\
+\frac1{2\pi}\int_{\sigma_0\le|\xi|\le\gamma_0}(i\xi)^ka_\theta(\xi) y(\xi)e^{i\xi t}\,dt,
\end{multline*}
где функции $a_\theta\cd$ определены равенством \eqref{at}, являются оптимальными в
$(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_A^\delta)$-задаче и точными на подпространстве $\mathcal B_{\sigma_0,2}(\mathbb R)$;

$2)$ если $k=0$ или $\delta=0$, то метод
$$\widehat\varphi(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\gamma_A}
(i\xi)^ky(\xi)e^{i\xi t}\,dt$$
являются оптимальным в
$(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_A^\delta)$-задаче и точным на подпространстве $\mathcal B_{\gamma_A,2}(\mathbb R)$.
\end{corollary}

В случае $1)$ переход от точки $(\sigma,\gamma_A)$ к точке $(\sigma_0,\gamma_0)$ для каждой из областей
$\Sigma_j$, $j=1,2,3,4$, схематично изображен на Рис.~\ref{ris2}

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,200)
\put(0,10){\vector(1,0){200}} \put(10,0){\vector(0,1){160}} \put(188,0){$x$}
\put(-4,140){$y$} \put(100,10){\line(0,1){60}} \put(100,70){\line(1,0){90}}
\put(180,170){$y=x$} \put(180,110){$y=\dfrac {\ws}{\wg}\,x$} \put(82,-2){$x=\wg$}
\put(170,58){$y=\ws$} \put(10,10){\line(1,1){170}} \put(10,10){\line(3,2){180}}
\put(135,110){$\Sigma_1$} \put(70,30){$\Sigma_2$} \put(120,30){$\Sigma_3$}
\put(146,80){$\Sigma_4$} \put(120,100){\circle*{3}} \put(55,40){\circle*{3}}
\put(55,20){\vector(0,1){20}} \put(55,20){\circle*{3}} \put(100,70){\circle*{3}}
\put(130,50){\vector(-3,2){30}} \put(130,50){\circle*{3}} \put(100,70){\circle*{3}}
\put(139,96){\circle*{3}} \put(169,96){\vector(-1,0){30}} \put(169,96){\circle*{3}}
\end{picture}$$
\caption{}\label{ris2}
\end{figure}

Отметим вид оптимальных методов в исходной $(D^k,W_2^n(\mathbb R), I_A^\delta)$-задаче, точных на подпространствах
$\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$.

\begin{corollary}\label{Cor2}
Пусть $0\le k\le n-1$, $A$ --- измеримое подмножество $\mathbb R$, $\delta\ge0$ и $\gamma_A>0$. Тогда

$1)$ если $k\ge1$ и $\delta>0$, то для всех $\theta\cd\in \Xi(A,\sigma_0)$ методы
\begin{multline*}
\widehat\varphi_\theta(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le
\widetilde\sigma}(i\xi)^ky(\xi)e^{i\xi t}\,dt\\
+\frac1{2\pi}\int_{\widetilde\sigma\le|\xi|\le
\widetilde\gamma}(i\xi)^ka_\theta(\xi) y(\xi)e^{i\xi t}\,dt,
\end{multline*}
где $\widetilde\gamma=\min(\gamma_A,\widehat\gamma)$, $\widetilde\sigma=\dfrac{\ws}{\wg}\widetilde\gamma$, а функции $a_\theta\cd$ определены равенством \eqref{at}, являются оптимальными в
$(D^k,W_2^n(\mathbb R),I_A^\delta)$-задаче и точными на подпространстве $\mathcal B_{\widetilde\sigma,2}(\mathbb R)$;

$2)$ если $k=0$ или $\delta=0$, то метод
$$\widehat\varphi(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\gamma_A}
(i\xi)^ky(\xi)e^{i\xi t}\,dt$$
являются оптимальным в
$(D^k,W_2^n(\mathbb R),I_A^\delta)$-задаче и точным на подпространстве $\mathcal B_{\gamma_A,2}(\mathbb R)$.
\end{corollary}


\section*{Доказательства}


\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T2}$]
Начнем с оценки снизу величины $E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb
R),I_{A}^\delta)$. Рассмотрим задачу
\begin{multline}\label{1}
\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}\to\max,\quad \|Fx\cd\|_{\widehat L_2(A)}\le\delta,\quad
\|Fx^{(n)}\cd\|_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}\le1,\\
x\cd\in \mathcal W_2^n(\mathbb R),
\end{multline}
где $\Delta_{\sigma}=[-\sigma,\sigma]$. Покажем, что значение этой задачи, т.~е. величина
верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях, не больше
$E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{A}^\delta)$.

Предварительно докажем, что $x\cd\in \mathcal W_2^n(\mathbb R)$ принадлежит
$W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ тогда и только тогда, когда
$\|Fx^{(n)}\cd\|_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}\le 1$. Действительно,
если $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$, то
$x\cd=x_1\cd+x_2\cd$, где $x_1\cd\in W_2^n(\mathbb R)$ и $x_2\cd\in\mathcal
B_{\sigma,2}(\mathbb R)$. По теореме Планшереля (учитывая, что $Fx_2\cd$ сосредоточено на
отрезке $\Delta_{\sigma}$) имеем
\begin{multline*}
\|Fx^{(n)}\cd\|^2_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}=
\|Fx_1^{(n)}\cd\|^2_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}=
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus\Delta_\sigma}\xi^{2n}|Fx_1(\xi)|^2\,d\xi
\\\le\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\xi^{2n}|Fx_1(\xi)|^2\,d\xi=
\|x_1^{(n)}\cd\|^2_{\Lt}\le1.
\end{multline*}

Обратно, пусть функция $x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)$ и $\|Fx^{(n)}\cd\|_{\widehat
L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}\le 1$. Обозначим через $x_2\cd$ функцию из $\Lt$
такую, что $Fx_2\cd=\chi_{\sigma}\cd Fx\cd$, где $\chi_{\sigma}\cd$
--- характеристическая функция отрезка $\Delta_\sigma$. Тогда ясно, что
$x_2\cd\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$. Положим $x_1\cd=x\cd-x_2\cd$. Очевидно, что
$x_1\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)$ и по теореме Планшереля (учитывая, что $Fx_1\cd=0$
на $\Delta_{\sigma}$) будем иметь
\begin{multline*}
\|x_1^{(n)}\cd\|^2_{\Lt}=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R\setminus\Delta_\sigma}\xi^{2n}|Fx_1(\xi)|^2\,d\xi=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R\setminus\Delta_\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\= \|Fx^{(n)}\cd\|^2_{\widehat
L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}\le1,
\end{multline*}
т.~е. $x\cd=x_1\cd+x_2\cd\in W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$.

Учитывая сделанное замечание, перейдем к доказательству того, что $E(D^k,W_2^n(\mathbb
R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{A}^\delta)$ не меньше значения задачи \eqref{1}.
Пусть $x_0\cd$ --- допустимая функция в \eqref{1} (т.~е. $x_0\cd$ удовлетворяет
ограничениям задачи), тогда, очевидно, функция $-x_0\cd$ также допустима, и мы имеем для
любого $\varphi\colon L_2(A)\to\Lt$ ($\varphi(0)\cd$
--- значение отображения $\varphi$ на нулевой функции)
\begin{multline*}
2\|x_0^{(k)}\cd\|_{\Lt}
\le\|x_0^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}+\|-x_0^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}\le\\
\le 2\sup_{\substack{x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)\\\|Fx\cd\|_{\widehat
L_2(A)}\le\delta,\ \|Fx^{(n)}\cd\|_{\widehat L_2(\mathbb
R\setminus\Delta_\sigma)}\le1}}\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}=\\=
2\sup_{\substack{x\cd\in W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb
R)\\\|Fx\cd\|_{\widehat L_2(A)}\le\delta}
}\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}\le\\
\le2\sup_{x\cd\in W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), \ y\cd\in
I_{A}^\delta x\cd }\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\Lt}.
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1}, а справа к нижней
грани по всем методам $\varphi$, получаем требуемое.

Теперь непосредственно приступим к доказательству утверждений теоремы.


$1)$ Пусть сначала $\sigma>\gamma_A$. В силу определения $\gamma_A$, на множестве
$[-\sigma,-\gamma_A]\cup[\gamma_A,\sigma]$ найдется такое подмножество $D$ положительной
меры, что $D\cap A=\emptyset$. Пусть $c>0$ и функция $x_c\cd$ такова, что $Fx_c\cd=c$ на
$D$ и $Fx_c\cd=0$ вне $D$. Ясно, что $x_c\cd$ допустима в задаче \eqref{1} и (по теореме
Планшереля)
$$\|x_c^{(k)}\cd\|^2_{\Lt}=\frac{c^2}{2\pi}\int_D\xi^{2k}\,d\xi.$$
Число $c$ можно взять сколь угодно большим и поэтому равенство \eqref{Ei} доказано.

Предположим, что $\sigma=\gamma_A=0$. В этом случае для любого
$\varepsilon>0$ \ $\mes(A\cap[-\varepsilon,\varepsilon])<2\varepsilon$. Следовательно,
мера множества $\Omega_\varepsilon=\{(\mathbb
R\setminus A)\cap[-\varepsilon,\varepsilon]\}$ положительна. Рассмотрим функцию
$x_\varepsilon\cd$ такую, что
$$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}
\biggl(\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2n}\,d\xi\biggr)^{-1/2},
&\xi\in\Omega_\varepsilon\\
0,&\xi\notin\Omega_\varepsilon.\end{cases}$$ Эта функция допустима в задаче \eqref{1} и
$$\|x_\varepsilon^{(k)}\cd\|^2_{\Lt}=\frac{\int_{\Omega_\varepsilon}
\xi^{2k}\,d\xi}{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2n}\,d\xi}=
\frac{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2n}\xi^{-2(n-k)}\,d\xi}
{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2n}\,d\xi}\ge\varepsilon^{-2(n-k)},$$ откуда, в силу
произвольности $\varepsilon$,  следует, что значение максимизируемого функционала в
\eqref{1} может быть сделано сколь угодно большим.

$2)$ Сначала мы покажем, что в каждой из областей $\Sigma_j$, $j=1,2,3,4$, выполнена оценка
\begin{equation}\label{in}
E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta)\ge
\sqrt{\lambda_1\delta^2+\lambda_2}.
\end{equation}

Пусть $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_1$. Для каждого натурального $m$, в силу определения $\gamma_A$, на множестве
$[-\gamma(A)-1/m, -\gamma(A)]\cup[\gamma(A),\gamma(A)+1/m]$ найдется такое его подмножество $D_m$ положительной меры, что $A\cap D_m=\emptyset$. Пусть $m$ таково, что $1/m<\sigma$. Для каждого такого $m$ рассмотрим функцию
$x_m\cd$, для которой
$$Fx_m(\xi)=\begin{cases}\delta\sqrt{2\pi m},&\sigma-1/m\le\xi<\sigma,\\[10pt]
\sqrt{2\pi}(\gamma_A+1/m)^{-n}(\mes D_m)^{-1/2},& \xi\in D_m,\\[10pt]
0,& \text{в ост. случаях}.
\end{cases}$$
Функции $x_m\cd$ допустимы в задаче \eqref{1}. Действительно, используя теорему
Планшереля и определение $x_m\cd$, имеем
\begin{equation}\label{del}
\|Fx_m\cd\|^2_{\widehat L_2(A)}=\frac 1{2\pi}\int_A|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\frac
1{2\pi}\delta^2 2\pi m \frac 1m=\delta^2
\end{equation}
и
\begin{multline*}
\|Fx_m^{(n)}\cd\|^2_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}=\frac
1{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac
1{2\pi}2\pi(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}\int_{D_m}\xi^{2n}\,d\xi\\\le(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}(\gamma_A+1/m)^{2n}\mes D_m=1.
\end{multline*}

Далее
\begin{multline*}
\|Fx_m^{(k)}\cd\|^2=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\delta^2m\int_{\sigma-1/m}^\sigma\xi^{2k}
\,d\xi\\
+(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}\int_{D_m}\xi^{2k}\,d\xi\ge\delta^2m(\sigma-1/m)^{2k}(1/m)\\
+(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}\gamma^{2k}_A\mes D_m
\\=\delta^2(\sigma-1/m)^{2k}+(\gamma_A+1/m)^{-2n}\gamma^{2k}_A.
\end{multline*}
Выражение справа сходится при $m\to\infty$ к величине $\sigma^{2k}\delta^2+
\gamma_A^{-2(n-k)}=\lambda_1\delta^2+\lambda_2$, которая, очевидно, не больше значения
задачи \eqref{1}. Но по доказанному это значение не больше  $E(D^k,W_2^n(\mathbb
R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta)$ и тем самым неравенство \eqref{in} в
рассматриваемом случае доказано.

Пусть $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_2$. Положим
$$\xi_0=\left(\frac kn\right)^{\frac1{2(n-k)}}\gamma_A.$$
Заметим, что
$$\sigma\le\frac{\ws}{\wg}\gamma_A=\left(\frac{n-k}n\right)^{\frac1{2k}}
\xi_0<\xi_0,\quad\xi_0^{2n}\le\left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}\wg^{2n}=\delta^{-2}.$$
Пусть $m$ таково, что $\sigma<\xi_0-1/m$. Для каждого такого $m$ рассмотрим функцию $x_m\cd$, для которой
$$Fx_m(\xi)=\begin{cases}\delta\sqrt{2\pi m},&\xi_0-1/m\le\xi<\xi_0,\\[10pt]
\dfrac{\sqrt{(1-\delta^2\xi_0^{2n})2\pi}}{(\gamma_A+1/m)^n\sqrt{\mes D_m}},& \xi\in D_m,\\[10pt]
0,& \text{в ост. случаях}.
\end{cases}$$
Равенства \eqref{del} остаются справедливыми. Кроме того,
\begin{multline*}
\|Fx_m^{(n)}\cd\|^2_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}=\frac
1{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\delta^2m
\int_{\xi_0-1/m}^{\xi_0}\xi^{2n}\,d\xi\\+(1-\delta^2\xi_0^{2n})
(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}\int_{D_m}\xi^{2n}\,d\xi\le\delta^2\xi_0^{2n}\\
+(1-\delta^2\xi_0^{2n})(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}(\gamma_A+1/m)^{2n}\mes D_m=1.
\end{multline*}
Тем самым функции $x_m\cd$ допустимы в задаче \eqref{1}.

Далее имеем
\begin{multline*} \|Fx_m^{(k)}\cd\|^2=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb
R}\xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\delta^2m\int_{\xi_0-1/m}^{\xi_0}\xi^{2k}
\,d\xi\\
+(1-\delta^2\xi_0^{2n})(\gamma_A+1/m)^{-2n}(\mes D_m)^{-1}\int_{D_m}\xi^{2k}\,d\xi\\
\ge\delta^2(\xi_0-1/m)^{2k}+(1-\delta^2\xi_0^{2n})(\gamma_A+1/m)^{-2n}\gamma^{2k}_A.
\end{multline*}
Выражение справа сходится при $m\to\infty$ к
$$\delta^2\xi_0^{2k}+(1-\delta^2\xi_0^{2n})\gamma_A^{-2(n-k)}=
\lambda_1\delta^2+\lambda_2.$$ Отсюда, по тем же соображениям, что и выше, следует, что
неравенство \eqref{in} справедливо и в этом случае.

Пусть $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_3$. Положим
$$\xi_1=\delta^{-1/n}.$$
В рассматриваемом случае
$$\gamma_A\ge\wg>\xi_1,\quad\sigma\le\ws<\xi_1.$$
Пусть $m$ таково, что $\sigma<\xi_1-1/m$. Для каждого такого $m$ рассмотрим функцию $x_m\cd$, для которой
$$Fx_m(\xi)=\begin{cases}\delta\sqrt{2\pi m},&\xi_1-1/m\le\xi<\xi_1,\\[10pt]
0,& \text{в ост. случаях}.
\end{cases}$$

Несложно проверить, что функции $x_m\cd$ допустимы в задаче \eqref{1}. Далее
\begin{multline*}
\|Fx_m^{(k)}\cd\|^2=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\\
=\delta^2m\int_{\xi_1-1/m}^{\xi_1}\xi^{2k}\,d\xi\ge\delta^2(\xi_1-1/m)
^{2k}.
\end{multline*}
Выражение справа сходится при $m\to\infty$ к $\delta^2\xi_1^{2k}=
\lambda_1\delta^2+\lambda_2$. Следовательно, в рассматриваемом случае неравенство
\eqref{in} также выполняется.

Наконец, пусть $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_4$. Положим
$$\xi_2=\left(\frac{n-k}{n}\right)^{-\frac1{2k}}\sigma.$$
Очевидно, что $\xi_2>\sigma$. Кроме того,
$$\xi_2\le\left(\frac{n-k}{n}\right)^{-\frac1{2k}}\frac{\ws}{\wg}\gamma_A
=\left(\dfrac kn\right)^{\frac1{2(n-k)}}\gamma_A<\gamma_A.$$
Отметим также, что
$$\xi_2^{-2n}\le\left(\frac{n-k}{n}\right)^{\frac nk}\ws^{-2n}=\delta^2.$$
Пусть $m$ таково, что $1/m<\sigma<\xi_2-1/m$. Для каждого такого $m$ рассмотрим функцию $x_m\cd$, для которой
$$Fx_m(\xi)=\begin{cases}\sqrt{2\pi m(\delta^2-\xi_2^{-2n})},&\sigma-1/m\le\xi<\sigma,\\[10pt]
\xi_2^{-n}\sqrt{2\pi m},& \xi_2-1/m\le\xi\le\xi_2,\\[10pt]
0,& \text{в ост. случаях}.
\end{cases}$$
Тогда
$$\|Fx_m\cd\|^2_{\widehat L_2(A)}=\frac 1{2\pi}\int_A|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\delta^2-\xi_2^{-2n}
+\xi_2^{-2n}=\delta^2,$$
а
\begin{multline*}
\|Fx_m^{(n)}\cd\|^2_{\widehat L_2(\mathbb R\setminus\Delta_\sigma)}=\frac
1{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\\
=\xi_2^{-2n}m\int_{\xi_2-1/m}^{\xi_2}\xi^{2n}\,d\xi\le1.
\end{multline*}
Итак, функции $x_m\cd$ допустимы в задаче \eqref{1}. При этом
\begin{multline*}
\|Fx_m^{(k)}\cd\|^2=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R}\xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi
=m(\delta^2-\xi_2^{-2n})\int_{\sigma-1/m}^{\sigma}\xi^{2k}\,d\xi\\
+\xi_2^{-2n}m
\int_{\xi_2-1/m}^{\xi_2}\xi^{2k}\,d\xi\ge(\delta^2-\xi_2^{-2n})(\sigma-1/m)
^{2k}+\xi_2^{-2n}(\xi_2-1/m)^{2k}.
\end{multline*}
Выражение справа сходится при $m\to\infty$ к
$$(\delta^2-\xi_2^{-2n})\sigma^{2k}+\xi_2^{-2(n-k)}=
\lambda_1\delta^2+\lambda_2.$$
Следовательно, и в этом случае неравенство \eqref{in} выполнено.

Перейдем к оценке сверху величины $E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb
R), I_A^\delta)$ и построению оптимальных методов восстановления.  Такие методы будем
искать среди отображений $\widehat\varphi_a\colon \wL\to \Lt$, которые в образах Фурье
представляются в виде
$$
F\widehat\varphi_a(y\cd)(\xi)=(i\xi)^ka(\xi)y(\xi),\quad \xi\in\mathbb R,
$$
где функция $a\cd\in L_\infty(\mathbb R)$ такова, что $F\widehat\varphi(y\cd)\cd\in\Lt$.

Оценим погрешность такого метода, который, по определению (см. также замечание в начале
доказательства), есть значение следующей задачи
\begin{multline}\label{pog}
\|x^{(k)}\cd-\widehat\varphi_a(y\cd)\cd\|_{\Lt}\to\max,\quad \|Fx\cd-y\cd\|_{\widehat
L_2(A)}\le\delta,\\y\cd\in \widehat L_2(A),\quad \|Fx^{(n)}\cd\|_{\widehat L_2(\mathbb
R\setminus\Delta_\sigma)}\le1,\quad x\cd\in \mathcal W_2^n(\mathbb R).
\end{multline}
Переходя к образам Фурье в максимизируемом функционале, получим по теореме Планшереля,
что квадрат значения задачи \eqref{pog} равен значению такой задачи
\begin{multline}\label{pogf}
\frac 1{2\pi}\int_A|(i\xi)^kFx(\xi)-(i\xi)^ka(\xi)y(\xi)|^2\,d\xi\\+\frac
1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\frac
1{2\pi}\int_A|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2, \\ y\cd\in \widehat L_2(A),
\quad\frac 1{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.
\end{multline}

Заметим, что на допустимых в этой задаче парах $(x\cd,y\cd)$, где $x\cd\in \mathcal
B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ и $y\cd=Fx\cd$, максимизируемый функционал имеет вид
$$
\frac 1{2\pi}\int_{\Delta_\sigma}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2|1-a(\xi)|\,d\xi.
$$
Отсюда следует, что если функция $a\cd$ не равна п.~в. единице на $\Delta_\sigma$, то
поскольку $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ --- линейное пространство, значение задачи
\eqref{pogf} (и тем самым задачи \eqref{pog}) равно бесконечности, т.~е. погрешность
метода с таким $a\cd$ бесконечна, и этот случай нам не интересен.



Пусть  $a\cd\equiv1$ на $A\cap\Delta_\sigma$. Оценим сверху максимизируемый функционал в
\eqref{pogf}, представив его для этого в виде суммы трех слагаемых:
\begin{align*}
I_1=&\frac1{2\pi}\int_{A\cap\Delta_\sigma}|(i\xi)^kFx(\xi)-(i\xi)^k
y(\xi)|^2\,d\xi\\
I_2=&\frac1{2\pi}\int_{A\setminus\Delta_\sigma}|(i\xi)^kFx(\xi)-
(i\xi)^ka(\xi)y(\xi)|^2\,d\xi\\
I_3=&\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi.
\end{align*}

Покажем, что
\begin{equation}\label{e1}
I_1\le\frac{\lambda_1}{2\pi}\int_{A\cap\Delta_\sigma}|Fx(\xi)- y(\xi)|^2\,d\xi
\end{equation}
во всех областях $\Sigma_i$, $i=1,2,3,4$.

Действительно, неравенство
$$
I_1\le\frac{\sigma^{2k}}{2\pi}\int_{A\cap\Delta_\sigma}|Fx(\xi)- y(\xi)|^2\,d\xi
$$
очевидно. Так как $\sigma^{2k}=\lambda_1$ в $\Sigma_1$ и $\Sigma_4$, то для этих областей
\eqref{e1} выполняется. Если $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_2$, то
$$
\lambda_1=\left(\dfrac{\ws}{\wg}\gamma_A\right)^{2k}\ge\sigma^{2k},
$$
а если $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_3$, то
$$\lambda_1=\ws^{2k}\ge\sigma^{2k},$$
так что оценка \eqref{e1} выполняется для всех областей.

Оценим теперь величину $I_2$. Используя неравенство Коши--Буняковского, будем
иметь
\begin{multline}\label{kb}
|(i\xi)^kFx(\xi)-(i\xi)^ka(\xi)y(\xi)|^2\\
=\xi^{2k}|(1-a(\xi))Fx(\xi)+a(\xi)(Fx(\xi)-y(\xi))|^2\\
\le\xi^{2k}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}
{\lambda_2\xi^{2n}}+\frac{|a(\xi)|^2}{\lambda_1}\right)(\lambda_2\xi^{2n}
|Fx(\xi)|^2+\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2).
\end{multline}
Положим
\begin{equation}\label{Sa}
S_a=\vraimax_{\xi\in A\setminus\Delta_\sigma}\xi^{2k}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2}
{\lambda_2\xi^{2n}}+\frac{|a(\xi)|^2}{\lambda_1}\right).
\end{equation}
Тогда интегрируя \eqref{kb}, получаем следующую оценку для величины $I_2$:
\begin{equation}\label{e2}
I_2\le S_a\biggl(\frac 1{2\pi}\int_{A\setminus\Delta_\sigma}(\lambda_2\xi^{2n}
|Fx(\xi)|^2+\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2)\,d\xi\biggr).
\end{equation}


Покажем теперь, что для  $I_3$ справедлива оценка
\begin{equation}\label{e3}
I_3\le\frac{\lambda_2}{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi
\end{equation}
во всех областях $\Sigma_i$, $i=1,2,3,4$.

Действительно, так как $|\xi|>\gamma_A$ для почти всех $\xi\in\mathbb R\setminus A$ (по
определению $\gamma_A$), то
\begin{equation}\label{I3}
I_3=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus
A}\xi^{-2(n-k)}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\frac{\gamma_A^{-2(n-k)}} {2\pi}\int_{\mathbb
R\setminus A}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi.
\end{equation}
Поскольку $\gamma_A^{-2(n-k)}=\lambda_2$ в $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$, то в этих областях
неравенство \eqref{e3} выполняется.  Если $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_3$, то
$$
\lambda_2=\wg^{-2(n-k)}\ge\gamma_A^{-2(n-k)},
$$
а если $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_4$, то $\sigma\le\ws\wg^{-1}\gamma_A$ и поэтому
$$\lambda_2=\left(\dfrac{\wg}{\ws}\sigma\right)^{-2(n-k)}\ge
\gamma_A^{-2(n-k)}.$$ Таким образом, оценка \eqref{e3} справедлива во всех областях.


Если предположить, что функция $a\cd$ такова, что  $S_a\le1$, то  складывая неравенства
\eqref{e1}, \eqref{e2} и \eqref{e3}, получаем  следующую оценку для максимизируемого
функционала в задаче \eqref{pogf}:
\begin{multline*}
\lambda_1\frac1{2\pi}\int_A|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi+\lambda_2\frac1{2\pi}
\int_{A\setminus\Delta_\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\
+\lambda_2\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus
A}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=\lambda_1\frac1{2\pi}\int_A|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\\
+\lambda_2\frac
1{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\lambda_1\delta^2+\lambda_2,
\end{multline*}
которая означает, что
\begin{equation*}
e(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta,\widehat\varphi_a)\le
\sqrt{\lambda_1\delta^2+\lambda_2}.
\end{equation*}
Сравнивая это с оценкой \eqref{in}, получаем, что $\widehat\varphi_a$ --- оптимальный
метод в $(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^\delta)$-задаче.

Покажем теперь, что функции $a\cd$, для которых $S_a\le1$, существуют. Сначала заметим
(``выделяя полный квадрат''), что условие $S_a\le1$ равносильно тому, что для п.~в.
$\xi\in A\setminus\Delta_\sigma$ выполнено неравенство
$$
\left|a(\xi)-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}\right|^2\le
\frac{\xi^{2(n-k)}\lambda_1\lambda_2(\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}-
\xi^{2k})}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}.
$$
Если функция $\xi\mapsto f(\xi)=\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}-\xi^{2k}$ неотрицательна на
$A\setminus\Delta_\sigma$, то такие $a\cd$, очевидно, существуют и описываются равенством \eqref{at}. Проверим
неотрицательность $f\cd$ на $A\setminus\Delta_\sigma$.


Нетрудно убедиться, что минимальное значение этой функции на всей вещественной оси равно
$$C=\lambda_1-\frac{n-k}n\left(\frac k{n\lambda_2}\right)^{\frac k{n-k}}.$$
Покажем, что $C\ge0$  в каждой из областей $\Sigma_j$, $j=1,2,3,4$.

Пусть $(\gamma_A,\sigma)\in\Sigma_1$. Тогда
$$\sigma^{2k}\ge\frac{\ws^{2k}}{\wg^{2k}}\gamma_A^{2k}.$$
В силу определения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ в этой области это неравенство можно переписать в виде
$$\lambda_1\ge\frac{n-k}n\left(\frac kn\right)^{\frac k{n-k}}\lambda_2^{-\frac k{n-k}},$$
откуда следует, что $C\ge0$. С помощью непосредственной подстановки легко убедиться, что $C=0$ для областей $\Sigma_j$, $j=2,3,4$.

$3)$ Аналогично доказательству случая $2)$ для области $\Sigma_1$
получаем оценку снизу
$$E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R), I_A^0)\ge\gamma_A^{-(n-k)}.$$
Для оценки сверху, используя те же соображения, что и при оценке сверху в случае $2)$, приходим к следующей задаче
\begin{multline}\label{pogf1}
\frac 1{2\pi}\int_A|(i\xi)^kFx(\xi)-(i\xi)^ka(\xi)Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+\frac
1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\frac 1{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1.
\end{multline}
Так как $a\cd\equiv1$ на $A\cap\Delta_\sigma$ (в противном случае, как было показано, погрешность метода равна бесконечности), максимизируемый функционал в
\eqref{pogf1}, представляется в виде суммы двух слагаемых:
\begin{align*}
J_1=&\frac1{2\pi}\int_{A\setminus\Delta_\sigma}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2|1-
a(\xi)|^2\,d\xi\\
I_3=&\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi.
\end{align*}
Имеем
$$J_1\le\vraimax_{\xi\in A\setminus\Delta_\sigma}\biggl(\frac{\gamma_A^{2(n-k)}}{\xi^{2(n-k)}}
|1-a(\xi)|^2\biggr)\frac{\gamma_A^{-2(n-k)}}{2\pi}\int_{A\setminus \Delta_\sigma}\xi^{2n}
|Fx(\xi)|^2\,d\xi.$$ Для $I_3$ имеем оценку \eqref{I3}. Поэтому, если для почти всех
$\xi\in A\setminus\Delta_\sigma$ выполняется неравенство
\begin{equation}\label{us}
\frac{\gamma_A^{2(n-k)}}{\xi^{2(n-k)}}|1-a(\xi)|^2\le1,
\end{equation}
то максимизируемый функционал в \eqref{pogf1} оценивается величиной
$$\frac{\gamma_A^{-2(n-k)}}{2\pi}\int_{|\xi|\ge\sigma}\xi^{2n}
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\gamma_A^{-2(n-k)}.$$
Остается заметить, что условие \eqref{us} эквивалентно тому, что
$$a(\xi)=1+\theta(\xi)\left|\frac\xi{\gamma_A}\right|^{n-k}.$$

$4)$ В этом случае доказательство практически дословно повторяет доказательство случая $2)$ для области $\Sigma_1$ (здесь $\lambda_1=1$, а $\lambda_2=\gamma_A^{-2n}$).
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство следствия~$\ref{Cor1}$]
Остановимся лишь на случае $1)$. Условие $S_a\le1$, полученное при доказательстве теоремы~\ref{T2}, означает выполнение
п.~в. неравенства
\begin{equation}\label{ina}
\frac{|1-a(\xi)|^2} {\lambda_2\xi^{2n}}+\frac{|a(\xi)|^2}{\lambda_1}\le\xi^{-2k}.
\end{equation}
Отсюда следует, что для тех $\xi\in A\setminus\Delta_\sigma$, для которых
$|\xi|\ge\lambda_0=\lambda_2^{-\frac1{2(n-k)}}$, можно положить $a(\xi)=0$.

Из того же неравенства \eqref{ina} сразу же вытекает,
что на множестве $\sigma<|\xi|<\sigma_0$, где $\sigma_0=\lambda_1^{\frac1{2k}}$, можно положить сглаживающий множитель $a\cd$ равным единице.
\end{proof}

Следствие \ref{Cor2} вытекает из следствия \ref{Cor1} при $\sigma=0$.




\begin{thebibliography}{11}


\bibitem{N} {\it Никольский~С.~М.} Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.


\bibitem{N1} {\it Никольский~С.~М.} К вопросу об оценках приближений квадратурными
формулами // УМН. 1950. Т.~5.  \No~2. С.~165--177.



\bibitem{K}{\it Kolmogorov~A.~N.} \"Uber die beste Ann\"aherung von
Functionen einer gegebenen Functionenklasse// Ann. of Math. 1936, 37, 107--110. (см.
также Колмогоров~А.~Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С.
186--189.)

\bibitem{S}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965.

\bibitem{Os}{\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций //
Мат. заметки. 1972. Т.~12. \No4. С.~465--476.



\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli and
T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J. Numer. Anal.}, {\bf16}
(1979) 87--105.


\bibitem{TW}{\it Traub J.~F., Wo\'zniakowski H.} A General Theory of
Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin: Springer--Verlag,
1985.

\bibitem{Ar}{\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.


\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.~50. \No6.
С.~85--93.

\bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М.} О неравенствах
для производных колмогоровского типа // Матем. сб. 1997. Т.~187. \No12. C~73--106.






\bibitem{MO1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и
неравенства для производных // Функц. анализ и его прил. 2003. Т.~37. С.~51--64.

\bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил. 2010.
Т.~44. C.~76–-79.

\bibitem{MOd}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа и
восстановление производных по неточной информации // ДАН. 2011. Т. 438. №3. С. 300--302.







\end{thebibliography}














\end{document}
