\documentclass[12pt,oneside,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\DeclareMathOperator{\co}{co}

\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}

\oddsidemargin=-4.8mm
\textwidth=18cm
\voffset=-2.2cm
\textheight=25cm
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\begin{document}
\title[]{Восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No07-01-90102, \No06-01-00530)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}\email{magaril@mirea.ru}
\address{``МАТИ'' --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского}\email{kosipenko@yahoo.com}
\maketitle

Рассматривается задача об оптимальном восстановлении температуры
бесконечного стержня в момент времени $\tau$ по ее приближенным
измерениям в моменты $t_1,\ldots,t_n$.

Приведем точную постановку. Распространение тепла в бесконечном
стержне (т.~е. на прямой $\mathbb R$) описывается уравнением
\begin{equation}\label{t}
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}
\end{equation}
с заданным начальным распределением температуры
\begin{equation}\label{N}
u(0,x)=u_0(x).
\end{equation}
Мы предполагаем, что $u_0\cd\in \Lt$.  Единственным решением задачи
\eqref{t}--\eqref{N} при $t>0$ является интеграл Пуассона
$$u(t,x)=u(t,x;u_0\cd)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{\mathbb
R}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4t}}u_0(\xi)\,d\xi$$
и при этом $u(t,\cdot)\to u_0\cd$ при $t\to0$ в метрике $\Lt$.

Пусть в моменты времени $0\le t_1<\ldots<t_n$ приближенно
известны распределения температур $u(t_1,\cdot),\ldots,u(t_n,\cdot)$, т.~е. известны функции $y_i\cd\in \Lt$ такие, что $\|u(t_i,\cdot)-y_i(\cdot)\|_{\Lt}\le\delta_i$, где $\delta_i>0$, $i=1,\ldots,n$. Любое отображение $m\colon (\Lt)^n=L_2(\mathbb R)\times\ldots\times L_2(\mathbb R)\to L_2(\mathbb R)$ объявляется методом восстановления(температуры в $\Lt$ в момент времени $\tau$ по данной информации). {\it Погрешность метода\/} $m$ определяется равенством
$$e(\tau,\delta,m)=\sup_{\substack{u_0\cd,y_1\cd,\ldots,y_n\cd\in L_2(\mathbb R)\\\|u(t_i,\cdot)-y_i\cd\|_{L_2(\mathbb R)}\le\delta_i,\
i=1,\ldots,n}}\|u(\tau,\cdot)-m(y)\cd\|_{L_2(\mathbb R)},$$
где $y=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$, а $\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$.
Нас интересует величина
$$E(\tau,\delta)=\infp_m e(\tau,\delta,m),$$
где нижняя грань берется по всем методам $m\colon (\Lt)^n\to
L_2(\mathbb R)$), которую назовем {\it погрешностью оптимального
восстановления}, и метод $\widehat m$, на котором нижняя грань
достигается, называемый {\it оптимальным методом восстановления}
(температуры в $\Lt$ в момент времени $\tau$ по данной информации).

Отметим, что такой подход к определению оптимального метода
идеологически восходит к работам А.~Н.~Колмогорова тридцатых годов
прошлого века, посвященных нахождению наилучшего средства
приближения сразу для всех функций из данного класса.

Перед формулировкой теоремы сделаем некоторые построения. На
плоскости с координатами $(t,x)$ обозначим $M=\co\{(t_j,\ln(1/\delta_j)),\ 1\le j\le n\}+\{(t,0)\mid t\ge0\}$, где $\co A$ --- выпуклая
оболочка множества $A$. Пусть функция $\theta\cd$ на $[0,\infty)$
определена равенством: $\theta(t)= \max\{x\mid (t,x)\in M\}$
(причем $\theta(t)=+\infty$, если $(t,x)\ne M$ ни для какого $x$).
Ясно, что $\theta\cd$ --- ломаная на $[t_1,\infty)$. Пусть
$t_{s_1}<\ldots<t_{s_k}$ --- ее точки излома ($s_1=1$), которые, очевидно,
являются подмножеством точек $\{t_1,\ldots, t_n\}$ (если $\theta\cd$ --- прямая, то считаем, что излом только один в точке $t_1$, т.~е. $k=1$).

\begin{theorem} 
При всех $\tau>t_1$
$$E(\tau,\delta)=e^{-\theta(\tau)}.$$
Если $\tau\in(t_{s_j},t_{s_{j+1}})$ для некоторого $1\le j\le k-1$, то
$$\widehat m(y)\cd=u(\tau,\cdot;K\cd*(\lambda_1u(t_{s_j},\cdot;y_{s_j}\cd)+
\lambda_2u(t_{s_j+1},\cdot;y_{s_j+1}\cd))),$$
--- оптимальный метод, где
$$\lambda_1=\frac{t_{s_{j+1}}-\tau}{t_{s_{j+1}}-t_{s_{j}}}
\left(\frac{\delta_{s_{j+1}}}{\delta_{s_{j}}}\right)^{\frac{2(\tau-t_{s_{j}})}
{t_{s_{j+1}}-t_{s_{j}}}},\quad\lambda_2=\frac{\tau-t_{s_{j}}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_{j}}}
\left(\frac{\delta_{s_{j+1}}}{\delta_{s_{j}}}\right)^{\frac{2(t_{s_{j}+1}-\tau) }{t_{s_{j+1}}-t_{s_{j}}}},$$
$K\cd\in\Lt$ и преобразование Фурье функции $K\cd$ имеет вид
$$FK(\xi)=\frac1{\lambda_1e^{-2\xi^2 t_{s_j}}+\lambda_2e^{-2\xi^2
t_{s_{j+1}}}}.$$
Если $\tau>t_{s_k}$, то
$$\widehat m(y)(x)=\frac1{2\sqrt{\pi(\tau-t_{s_k})}}\int_{\mathbb
R}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4(\tau-t_{s_k})}}y_{s_k}(\xi)\,d\xi$$
--- оптимальный метод.
\end{theorem}

Из выражения для оптимального метода видно, что при $\tau\in(t_{s_j},t_{s_{j+1}})$ из всего наблюдаемого набора функций $y_1\cd,\ldots,y_n\cd$ используются только две (и выбор их зависит от величин погрешности $\delta_i$). Далее происходит их некоторое усреднение и сглаживание (свертка с ядром $K\cd$) и полученная таким образом функция воспринимается как первоначальное распределение температур.

Рассматриваемая задача является частным случаем общей задачи об оптимальном восстановлении линейного оператора по неточной информации, которая изучалась в работах \cite{MM}--\cite{MO2}. 

\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{MM} A.~A.~Melkman and C.~A.~Micchelli, ``Optimal estimation of
linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data", {\it SIAM J. Numer. Anal.}, {\bf16} (1979), 87--105.

\bibitem{MO1}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002), 79--100.

\bibitem{MO2}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.


\end{thebibliography}


\end{document}
