\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{srctex}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 3150
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\tx}{\widetilde x}
\newcommand*{\wh}{\widehat h}
\newcommand*{\lr}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\Wr}{\mathcal W_2^1(\mathbb R)}
\newcommand*{\wt}{W_2^1(\mathbb R)}
\newcommand*{\Wi}{W_\infty^1([-1,1])}
\newcommand*{\Win}{W_\infty^2([-1,1])}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\Wt}{W_2^2(\mathbb T)}
\newcommand*{\sZ}{\sum\limits_{j\in\mathbb Z}}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\sN}{\sum\limits_{|j|\le N}}
\newcommand*{\lp}{L_2(\mathbb R,t^2)}
\newcommand*{\Wp}{W_2^1(\mathbb R,t^2)}
\newcommand*{\WP}{\mathcal W_2^1(\mathbb R,t^2)}
\newcommand*{\IR}{\int_{\mathbb R}}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}


\begin{document}


\title[Оптимальное восстановление]{Задачи оптимального восстановления в
условиях неопределенности}
\author{Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты №00-15-96109 и №02-01-00386),
программы ``Университеты России" (УР.04.03.013), а также
при поддержке U.S.CRDF--R.F.Ministry of Education Award VZ-0100-0}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\email{georg@magaril.mccme.ru}
\address{``МАТИ" --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\email{konst@osipenko.mccme.ru}

\maketitle

Многие проблемы (в математике, технике, экономике) формулируются (или
могут быть сформулированы) как задачи выбора наилучшего (в том или ином
смысле) способа достижения цели в условиях неполной и/или неточной
информации, т.~е. в условиях неопределенности. Например, простейшая задача
о квадратурах заключается в том, чтобы наилучшим образом приблизить
(восстановить) интеграл от функции по неполной информации о самой функции,
а именно, зная ее значения лишь в конечном наборе точек. Параметры
математических моделей, описывающих реальные физические или
технологические процессы известны, как правило, неточно, скажем,
приближенно известны коэффициенты дифференциального уравнения, а мы хотим
восстановить как можно точнее его решение. Мы наблюдаем на экране значение
непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, а хотим, по возможности
точнее, знать (восстановить) его значение в какой-то промежуточный момент
времени. Список подобных примеров можно продолжать сколь угодно долго.

Приведем общую постановку задачи оптимального восстановления, которая
охватывает значительное число задач, представляющих теоретический и
прикладной интерес. Пусть задано множество (класс) $C$ и отображение
$f\colon C\to Z$, где $(Z, d)$ --- метрическое пространство.
Принадлежность элемента классу $C$ составляет ``глобальную" информацию о
нем. Кроме того, о самом элементе имеется ``локальная" (индивидуальная)
информация, состоящая в том, что известно отображение (вообще говоря,
многозначное, что соответствует информации, заданной неточно) $F\colon
C\to Y$, где $Y$ --- некоторое множество. Отображение $F$ назовем {\it
информационным оператором}. Задача состоит в том, чтобы {\it восстановить
по возможности наилучшим способом значение $f(x)$, $x\in C$, по информации
$y\in F(x)$}. В это вкладывается следующий смысл. Любое отображение
$m\colon F(C)\to Z$ назовем {\it методом восстановления}. Погрешностью
такого метода назовем величину
$$e(f,C,F,m)=\sup_{x\in C,\ y\in F(x)}d(f(x),m(y)),$$
а {\it погрешность оптимального восстановления\/} ($f$ на $C$ по $F$),
которую обозначим $E(f,C,F)$, определим как значение следующей
экстремальной задачи:
\begin{equation}\label{f1}
e(f,C,F,m)\to\inf,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным отображениям 
$$m\colon F(C)\to Z.$$
Метод $\widehat m$, на котором достигается нижняя грань в \eqref{f1},
называется {\it оптимальным методом восстановления}.

В докладе будет рассмотрен ряд примеров, где найден оптимальный метод
восстановления и вычислена погрешность оптимального восстановления. Здесь
же, в качестве иллюстрации, приведем задачу об оптимальном восстановлении
в метрике $L_{2}$ производной функции по ее приближенным коэффициентам
Фурье. Пусть $C$ --- это соболевский класс $\Wt$, т.~е. совокупность
$2\pi$-периодических функций $x\cd$, у которых первая производная $\dot
x\cd$ абсолютно непрерывна и $\|\ddot x\cd\|_{\lt}\le1$. На этом классе
рассмотрим задачу восстановления первой производной функции $x\cd$ по
конечному набору ее коэффициентов Фурье $x_j=\frac1{2\pi}\int_\mathbb
Tx(t)e^{-ijt}\,dt,$ заданным с погрешностью. Точнее говоря, будем
предполагать, что для каждой функции $x\cd\in\Wt$ нам известны числа
$y_j$, $|j|\le N$, такие, что $|x_j-y_j|\le\delta$, $|j|\le N$, $\delta>0$.
Здесь информационным оператором  является многозначное отображение $F^N_
\delta$, ставящее в соответствие каждой функции $x\cd\in\Wt$ множество $F^N
_\delta x\cd=\{y=\{y_j\}_{|j|\le N}: |x_{j}-y_{j}|<\delta\}$.
Задача заключается в нахождении величины
$$E(\dot x\cd,\Wt,F^N_\delta)=\infp_{m\colon\mathbb C^{2N+1}\to\lt}\,\sup_{
\substack{x\cd\in\Wt\\y\in F^N_\delta x\cd}}\|\dot x\cd-m(y)\cd\|_{\lt}$$ и
соответствующего оптимального метода.

\begin{theorem}
Пусть
$$p_0=\max\Bigl\{\,p\in\mathbb Z_+:\delta^2\sum_{|j|\le p}j^4<1,\ 0\le p\le
N\,\Bigr\}.$$ Тогда
$$E(\dot x\cd,\Wt,F^N_\delta)=\frac{\left(1+\delta^2\sum_{|j|\le p_0}\left(j^2(
p_0+1)^2-j^4\right)\right)^{1/2}}{p_0+1},$$ а метод
$$\dot x(t)\approx\sN ij\wx_je^{ijt}=\sum_{|j|\le p_0}ij\left(1-\left(\frac j{p
_0+1}\right)^2\right)y_je^{ijt}$$ является оптимальным.
\end{theorem}

Отметим, что если $p_0<N$, то дальнейшее увеличение числа коэффициентов
Фурье, известных с той же погрешностью, не приводит к уменьшению
погрешности оптимального восстановления.

\end{document}
