\documentclass[11pt,oneside,reqno,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\textwidth=16cm \oddsidemargin=0mm \textheight=23cm
\topmargin=-0.5cm
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 2900
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}}

\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)}

\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widetilde x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\card}{card}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}

\begin{document}

\baselineskip=9mm

\Large

\begin{flushleft}

УДК 517.51

\end{flushleft}


\title[Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа]{Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа и
восстановление производных по неточной информации}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No10-01-00188 и
\No10-01-90002)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет), Южный математический институт
Владикавказского научного центра РАН}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского, Южный математический институт Владикавказского
научного центра РАН} \maketitle


\begin{abstract}
В работе рассматривается связь неравенства Ха\-рди-Литтлвуда-Полиа с
задачей оптимального восстановления производной по неточной
информации о самой функции и ее старшей производной. Построено
семейство оптимальных методов восстановления.
\end{abstract}

\vskip25pt


\baselineskip=9mm


Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа \cite{hlp} --- это точное
неравенство вида
\begin{equation}\label{1}
\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}\le\|x\cd\|^{1-k/n}_{\Lt}\|x^{(n)}\cd\|^{k/n}_{\Lt},
\end{equation}
справедливое для всех функций $x\cd$ из соболевского пространства $\mathcal W_2^n(\mathbb
R)=\{\,x\cd\in\Lt\mid x^{(n-1)}\cd - \text{лок. абс. непр.}, \,\, x^{(n)}\cd\in\Lt\,\}$,
где $k,n$ --- натуральные и $k<n$.

Точность неравенства \eqref{1} означает, в частности, что для любых
$\delta_1>0$ и $\delta_2>0$ значение задачи
\begin{equation}\label{2}
\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}\to\max,\quad \|x\cd\|_{\Lt}\le\delta_1,\quad
\|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le\delta_2
\end{equation}
равно $\delta_1^{1-k/n}\delta_2^{k/n}$.

Задача \eqref{2} тесно связана с задачей оптимального восстановления
$k$-ой производной функции $x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)$ по
приближенной информации о самой функции и ее $n$-ой производной.
Допустим, что нам известны (мы наблюдаем) функции $y_1\cd\in\Lt$ и
$y_2\cd\in\Lt$ такие, что $\|x\cd-y_1\cd\|_{\Lt}\le\delta_1$ и
$\|x^{(n)}\cd-y_2\cd\|_{\Lt}\le\delta_2$. Задача оптимального
восстановления заключается в нахождении величины
\begin{multline}\label{3}
E(D^k, \mathcal W_2^n(\mathbb
R),\delta_1,\delta_2)=\\\inf_{m}\sup_{\substack{x\cd\in \mathcal
W_2^n(\mathbb R), \ y_i\cd\in \Lt, \ i=1,2
\\\|x\cd-y_1\cd\|_{\Lt}
\le\delta_1, \\ \|x^{(n)}\cd-y_2\cd\|_{\Lt} \le\delta_2}}
\|x^{(k)}\cd-m(y_1\cd,y_2\cd)\cd\|_{\Lt},
\end{multline}
где нижняя грань берется по всем отображениям $m\colon
\Lt\times\Lt\to\Lt$, называемой {\it погрешностью оптимального
восстановления}, и тех $m$, на которых нижняя грань достигается,
называемых {\it оптимальными методами восстановления}.

Оказывается, что погрешность оптимального восстановления совпадает
со значением задачи \eqref{2} и существует целые семейства
оптимальных методов восстановления $k$-ой производной. Точнее
говоря, справедлива следующая

\begin{theorem}
Пусть $k,n$ --- натуральные, $k<n$, $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ и
$$
\lambda_1=\frac{n-k}{n}\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-\frac{2k}n},\qquad
\lambda_2=\frac kn
\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{\frac{2(n-k)}n}.
$$
Тогда
$$
E(D^k, \mathcal W_2^n(\mathbb
R),\delta_1,\delta_2)=\delta_1^{1-\frac kn}\delta_2^{\frac kn},
$$
и если функция $a\cd$ на $\mathbb R$ такова, что для п.~в.
$\xi\in\mathbb R$
\begin{equation}\label{new}
\left|a(\xi)-\frac{\lambda_1(i\xi)^k}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}\right|\le
\frac{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}|\xi|^{n}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}
\sqrt{-\xi^{2k}+\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}},
\end{equation}
то метод $m_{a}\colon \Lt\times\Lt\to\Lt$, определяемый формулой
\begin{equation}\label{m}
m_{a}(y_1\cd,y_2\cd)\cd= \Lambda_1y_1\cd+\Lambda_2y_2\cd,
\end{equation}
где $\Lambda_i\colon\Lt\to\Lt$, $i=1,2$, --- линейные непрерывные
операторы, действия которых в образах Фурье имеют вид:
$F\Lambda_1y_1(\xi)=a(\xi) Fy_1(\xi)$ и
$F\Lambda_2y_2(\xi)=(i\xi)^{-n}((i\xi)^k-a(\xi))F y_2(\xi)$,
является оптимальным.
\end{theorem}

Операторы $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ --- это сверточные операторы,
ядра которых, вообще говоря, обобщенные функции. Выделим одно
двухпараметрическое семейство таких операторов, где ядра --- обычные
функции, имеющие достаточно простое описание.


\begin{corollary}
Пусть $k,n$ --- натуральные, $k<n$, $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ и
$$
\ws_1=\left(1-\frac
kn\right)^{\frac1{2k}}\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-\frac1n},\qquad
\ws_2=\left(\frac
nk\right)^{\frac1{2(n-k)}}\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-\frac1n}.
$$
Тогда для любой пары $(\sigma_1,\sigma_2)\in
[0,\ws_1]\times[\ws_2,\infty]$ метод
$$m_{\sigma_1,\sigma_2}(y_1\cd,y_2\cd)=
(K^1_{\sigma_1,\sigma_2}*y_1)\cd+(K^2_{\sigma_1,\sigma_2}*y_2)\cd
$$
является оптимальным, где ядра $K^1_{\sigma_1,\sigma_2}\cd$ и
$K^2_{\sigma_1,\sigma_2}\cd$ таковы, что их образы Фурье имеют вид
$$FK^1_{\sigma_1,\sigma_2}(\xi)=\begin{cases} (i\xi)^k,&
|\xi|<\sigma_1,\\%[15pt]
(i\xi)^k\left(1+\dfrac k{n-k}
\left(\dfrac{\delta_1}{\delta_2}\right)^2\xi^{2n}\right)^{-1},&\sigma_1\le|\xi|<\sigma_2,
\end{cases}$$
и $FK^1_{\sigma_1,\sigma_2}(\xi)=0$ при $|\xi|\ge\sigma_2$, если
$\sigma_2<\infty$;

$$FK^2_{\sigma_1,\sigma_2}(\xi)=\begin{cases} 0,&
|\xi|<\sigma_1,\\%[15pt]
(i\xi)^{k-n}\left(1+\dfrac {n-k}k
\left(\dfrac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-2}\xi^{-2n}\right)^{-1},&\sigma_1\le|\xi|<\sigma_2,
\end{cases}$$
и $FK^2_{\sigma_1,\sigma_2}(\xi)=(i\xi)^{k-n}$ при
$|\xi|\ge\sigma_2$, если $\sigma_2<\infty$.


\end{corollary}






Отметим, что оптимальный метод восстановления $k$-ой производной
является линейным и заключается в том, что ``наблюдения'' $y_1\cd$ и
$y_2\cd$ надо определенным образом ``сгладить'' (т.~е. свернуть
соответственно с ядрами $K^1_{\sigma_1,\sigma_2}\cd$ и
$K^2_{\sigma_1,\sigma_2}\cd$) и затем сложить.

Близкая по духу задача, связанная с оптимальным восстановлением
функции и ее производных  по неточно заданному спектру самой функции
рассмотрена в работах \cite{MOf} и \cite{MOf1}.


\begin{proof}[Доказательство теоремы]
Покажем сначала, что погрешность оптимального восстановления не
меньше значения задачи \eqref{2}. Действительно, пусть $x\cd$ ---
допустимая функция в \eqref{2}. Тогда, очевидно, функция $-x\cd$
также допустима и мы имеем для любого $m\colon \Lt\times\Lt\to\Lt$
\begin{multline*}
2\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}
\le\|x^{(k)}\cd-m(0)\cd\|_{\Lt}+\|-x^{(k)}\cd-m(0)\cd\|_{\Lt}\le\\
\le 2\sup_{\|x\cd\|_{\Lt}\le\delta,\
\|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1}\|x^{(k)}\cd-m(0)\cd\|_{\Lt}\le\\
\le2\sup_{\substack{y_i\cd\in \Lt, \ \|x\cd-y_i\cd\|_{\Lt}\le\delta_i\\
i=1,2, \
\|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1}}\|x^{(k)}\cd-m(y_1\cd,y_2\cd)\cd\|_{\Lt}.
\end{multline*}
Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{2}, а справа к нижней
грани по всем методам $m$, получаем требуемое.

Поскольку  восстанавливаемый оператор ($k$-ая производная)
инвариантен относительно сдвига, то естественно и оптимальные методы
искать среди таких операторов. Действие оператора, инвариантного
относительно сдвига, из $\Lt$ в $\Lt$ в образах Фурье есть умножение
на функцию из $L_\infty(\mathbb R)$ (см. \cite{H}) и поэтому будем
искать оптимальные методы вида
\begin{equation}\label{t1}
m(y_1\cd,y_2\cd)\cd=\Lambda_1y_1\cd+\Lambda_2 y_2\cd,
\end{equation}
где $F\Lambda_iy_i\cd=a_i\cd Fy_i\cd$, $a_i\cd\in L_{\infty}(\mathbb
R)$, $i=1,2$.

Оптимальность метода $m$, как следует из формулы \eqref{3},
означает, что значение задачи
\begin{multline}\label{4}
\|x^{(k)}\cd-\Lambda_1y_1\cd-\Lambda_2 y_2\cd\|_{L_2(\mathbb
R)}\to\max,\quad
\|x\cd-y_1\cd\|_{\Lt}\le\delta_1,\\\|x^{(n)}\cd-y_2\cd\|_{\Lt}\le\delta_2,\quad
y_i\cd\in \Lt,\quad i=1,2,\\ x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R),
\end{multline}
равно $E(D^k,\mathcal W_2^n(\mathbb R),\delta_1,\delta_2)$.

Метод \eqref{t1} должен быть точен на функциях из $\mathcal
W_2^n(\mathbb R)$, т.~е. должно выполняться тождество
\begin{equation}\label{t2}
x^{(k)}\cd=\Lambda_1x\cd+\Lambda_2
x^{(n)}\cd\quad\forall\,\,x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R),
\end{equation}
так как в противном случае значение задачи \eqref{4} равно
бесконечности. Действительно, если для некоторого $x_0\cd\in\mathcal
W_2^n(\mathbb R)$ равенство \eqref{t2} не выполняется, то полагая в
\eqref{4} $x\cd=Cx_0\cd$, $y_1\cd=Cx_0\cd$ и $y_2\cd=Cx_0^{(n)}\cd$,
за счет выбора $C\in\mathbb R$, максимизируемый функционал можно
сделать сколь угодно большим.





Используя теорему Планшереля, учитывая тождество \eqref{t2} (в
образах Фурье) и обозначая $z_1(\xi)=Fx(\xi)-Fy_1(\xi)$,
$z_2(\xi)=(i\xi)^nFx(\xi)-Fy_2(\xi)$, нетрудно понять, что квадрат
значения задачи \eqref{4} равен значению такой задачи
\begin{multline}\label{5}
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R}|a_1(\xi)z_1(\xi)+a_2(\xi)z_2(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\\
\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R}|z_1(\xi)|^2\,d\xi\le\delta_1^2,\quad\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R}|z_2(\xi)|^2\,d\xi\le\delta_2^2.
\end{multline}
Оценим сверху максимизируемый функционал. Для любых $\lambda_i>0$,
$i=1,2$, и любого $\xi\in\mathbb R$ имеем по неравенству
Коши-Буняковского
\begin{multline*}
|a_1(\xi)z_1(\xi)+a_2(\xi)z_2(\xi)|^2\le\\
\left(\frac{|a_1(\xi)|^2}{\lambda_1}+\frac{|a_2(\xi)|^2}{\lambda_2}\right)
(\lambda_1|z_1(\xi)|^2+\lambda_2|z_2(\xi)|^2).
\end{multline*}
Интегрируя это неравенство (обозначив через $S_{a_1,a_2}\cd$ функцию
в скобках первого сомножителя справа) и учитывая ограничения в
задаче \eqref{5}, получаем, что ее значение не превосходит величины
$$
\|S_{a_1,a_2}\cd\|_{L_\infty(\mathbb
R)}(\lambda_1\delta_1^2+\lambda_2\delta_2^2).
$$

Если подобрать такие $a_i\cd\in L_\infty(\mathbb R)$ и
$\lambda_i>0$, $i=1,2$, что $\|S_{a_1,a_2}\cd\|_{L_\infty(\mathbb
R)}\le1$ и
\begin{equation}\label{g}
\lambda_1\delta_1^2+\lambda_2\delta_2^2=\delta_1^{2(1-\frac
kn)}\delta_2^{2\frac kn},
\end{equation}
то это будет означать (с учетом полученной оценки снизу для $E(D^k,
\mathcal W_2^n(\mathbb R),\delta_1,\delta_2)$), что соответствующий
метод оптимален и
$$E(D^k, \mathcal W_2^n(\mathbb
R),\delta_1,\delta_2)=\delta_1^{1-\frac kn}\delta_2^{\frac kn}.$$

В силу \eqref{t2}, переходя к образам Фурье, получаем, что  функции
$a_1\cd$ и $a_2\cd$ связаны соотношением:
$(i\xi)^k=a_1(\xi)+(i\xi)^na_2(\xi)$ для п.~в. $\xi\in\mathbb R$.
Подставляя в $S_{a_1,a_2}\cd$ вместо функции $a_2\cd$ ее выражение
через $a_1\cd$, будем иметь
$$S_{a_1,a_2}(\xi)=\frac{|a_1(\xi)|^2}{\lambda_1}+
\frac{|(i\xi)^k-a_1(\xi)|^2}{\lambda_2\xi^{2n}}.$$
Тогда условие $\|S_{a_1,a_2}\cd\|_{L_\infty(\mathbb R)}\le1$, как
нетрудно проверить, может быть записано в виде неравенства
\eqref{new} (с $a_1\cd$ вместо $a\cd$). Числа $\lambda_1>0$ и
$\lambda_2>0$ должны быть такими, что (помимо \eqref{g}), выражение
под корнем в правой части \eqref{new} должно быть неотрицательно на
$\mathbb R$. Если из \eqref{g} найти $\lambda_2$ как функцию
$\lambda_1$ и поставить ее в выражение под корнем в \eqref{new}, то
его неотрицательность означает, что для всех $\xi\in\mathbb R$
справедливо неравенство
\begin{equation}\label{kk}
-\xi^{2k}+\lambda_2\left(\xi^{2n}-\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-2}\right)+
\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-2\frac kn}\ge0.
\end{equation}
Очевидно, что функция слева обращается в ноль в точке
$(\delta_1/\delta_2)^{-1/n}$. Для того чтобы неравенство \eqref{kk}
было справедливо, эта точка должна быть точкой минимума данной
функции. Из этого условия легко находится $\lambda_2$. Выражение для $\lambda_1$ следует из \eqref{g}. Таким образом, с найденными $\lambda_1$ и $\lambda_2$ выражение под корнем в \eqref{new} неотрицательно на $\mathbb R$.

Из \eqref{new} нетрудно вывести, что функции $\xi\mapsto a(\xi)$ и
$\xi\mapsto (i\xi)^{-n}((i\xi)^k-a(\xi))$ принадлежат
$L_\infty(\mathbb R)$ и тем самым $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ ---
линейные непрерывные операторы.
\end{proof}


\begin{proof}[Доказательство следствия]
Из теоремы сразу следует, что функция
%Мы хотим выбрать $a_1\cd$ так, чтобы норма функции $S_{a_1,a_2}\cd$
%в $L_\infty(\mathbb R)$ была как можно меньше и поэтому естественно
%в качестве $a_1\cd$ взять такую функцию, что $a_1(\xi)$ доставляет
%минимум функции $u\mapsto
%\lambda_1^{-1}|u|^2+\lambda_2^{-1}\xi^{-2n}|(i\xi)^k-u|^2$, т.~е.
\begin{equation*}\label{l}
a_1(\xi)=\frac{\lambda_1(i\xi)^k}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}
\end{equation*}
определяет оптимальный метод. Положим
$a_2(\xi)=(i\xi)^{-n}((i\xi)^k-a_1(\xi))$.
%Тогда
%\begin{equation*}\label{l}
%S_{a_1,a_2}(\xi)=\frac{\xi^{2k}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}.
%\end{equation*}
%Неравенство $S_{a_1,a_2}(\xi)\le1$ для всех $\xi\in\mathbb R$
%равносильно тому, что функция
%$f(\xi)=-\xi^{2k}+\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}$ неотрицательна на
%$\mathbb R$. Это, в свою очередь, эквивалентно тому, что в точке
%минимума функция $f$ неотрицательна. Элементарный подсчет
%показывает, что в этом случае необходимо
%Можно считать, что здесь и в \eqref{g} равенства и тогда из этих
%соотношений сразу находим, что
%$$
%\lambda_1=\frac{n-k}{n}\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{-\frac{2k}n},\qquad
%\lambda_2=\frac kn
%\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^{\frac{2(n-k)}n}.
%$$
%Таким образом, с данной функцией $a_1\cd$ (которая, очевидно
%принадлежит $L_\infty(\mathbb R)$), с функцией $a_2\cd$, которая
%однозначно определяется по $a_1\cd$ и которая также принадлежит
%$L_\infty(\mathbb R)$), и найденными $\lambda_1$, $i=1,2$, метод
%\eqref{t1} оптимален.
Подставляя выражения для $\lambda_i$, $i=1,2$, в выражения для
$a_1\cd$ и $a_2\cd$, находим, что $a_i\cd=FK^i_{0,\infty}\cd$,
$i=1,2$. Легко видеть, что $a_i\cd\in \Lt$, $i=1,2$, и поэтому метод
\eqref{m} можно записать в виде сверток с ядрами $K^1_{0,\infty}\cd$
и $K^2_{0,\infty}\cd$. Это доказывает следствие для случая
$\sigma_1=0$, $\sigma_2=\infty$.

Пусть $(\sigma_1,\sigma_2)\in (0,\ws_1]\times[\ws_2,\infty)$.
Покажем, что функции $a_i\cd=FK^i_{\sigma_1,\sigma_2}\cd$ с теми же
$\lambda_i$, $i=1,2$, также определяют оптимальный метод.
Действительно, $a_1(\xi)=(i\xi)^k$ на интервале $|\xi|<\sigma_1$ и
значит, $S_{a_1,a_2}(\xi)=|\xi|^{2k}/\lambda_1$. Поскольку
$\sigma_1\le\ws_1$, то элементарно проверяется, что
$S_{a_1,a_2}(\xi)\le1$, если  $|\xi|<\sigma_1$. На промежутке
$\sigma_1\le|\xi|<\sigma_2$ функции $a_i\cd$ являются сужениями
функций $FK^i_{0,\infty}\cd$, $i=1,2$ на этот промежуток и поэтому,
по уже доказанному, $S_{a_1,a_2}(\xi)\le1$, когда
$\sigma_1\le|\xi|<\sigma_2$. Наконец, если $|\xi|\ge\sigma_2$, то
$S_{a_1,a_2}(\xi)=|\xi|^{2(k-n)}/\lambda_2\le1/\ws_2^{2(n-k)}\lambda_2=1$.
\end{proof}




\begin{thebibliography}{25}
\bibitem{hlp}{\it Харди~Г.~Г., Литтльвуд~Д.~Е., Полиа~Г.} Неравенства, М.,
Иностранная литература, 1948.


\bibitem{MOf}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил.
2003. T.~37. С.~51--64.

\bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ
и его прил. 2010. Т.~44. C.~76–-79.

\bibitem{H}{\it Л.~Хермандер}.  Оценки для операторов, инвариантных
относительно сдвига, М., Иностранная литература, 1962.



\end{thebibliography}


\end{document}
