\documentclass[12pt,oneside,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
%\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 2800
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}}

\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wst}{\widetilde\sigma}
\newcommand*{\wf}{\widehat f}
\newcommand*{\wm}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\LI}{L_2(I)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)}

\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])}
\newcommand*{\mL}{\mathcal L}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\whx}{\widehat x}
\newcommand*{\wI}{\widetilde I}
\newcommand*{\wy}{\widetilde y}
\newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}}
\newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}



\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re}

\begin{document}

\title[Восстановление функций и их производных]{Восстановление функций и их производных по неточно заданному спектру}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, В.~М.~Тихомиров}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No08-01-00450 и
\No10-01-00188)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\address{Московский государственный университет
им.\ М.~В.~Ломоносова}


\begin{abstract}
Изучаются оптимальные методы восстановления функций и их производных из соболевского класса по неточно заданному в среднеквадратичной норме на конечном отрезке преобразованию Фурье. Построено семейство оптимальных методов, в котором каждый метод точен на некотором подпространстве целых функций. Строятся оптимальные методы восстановления для более широких классов функций, представляющих сумму исходного соболевского класса и подпространства целых функций.
\end{abstract}

\maketitle


\section*{Введение}


Работа посвящена вопросам восстановления функций и их производных на
прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразованию
Фурье этих функций. В предположении, что функции принадлежат
некоторому классу, можно поставить задачу о выборе наилучшего
(оптимального) метода восстановления. В \cite{MO1} для функций из
соболевского класса такие методы были найдены. Они устроены так, что
за пределами некоторого отрезка информация о преобразовании Фурье
оказывается лишней, а та информация, которая используется,
определенным образом фильтруется (сглаживается).

В данной работе формулируется результат, из которого вытекает, что, на самом деле, существуют целые
серии оптимальных методов восстановления функций и их производных,
отличающиеся различными способами фильтрации исходной информации.
Каждый из этих методов является точным на некотором подпространстве
целых функций, и в этом смысле среди них есть ``наилучший'', а
именно тот, который точен на наиболее широком из таких
подпространств.

Эти результаты согласуется с практикой: при восстановлении сигнала
по неточной информации о гармониках высокочастотные компоненты
отбрасывают, а остальные тем или иным способом сглаживают (фильтруют),
чтобы нивелировать естественные погрешности измерения.




%Но сглаживать можно разными способами, и более детальное
%исследование исходной задачи показало, что, действительно,
%существуют целые серии оптимальным методов, отличающиеся различными
%способами фильтрации исходной информации. Каждый из этих методов
%является точным на некотором подпространстве целых функций
%экспоненциального типа, и в этом смысле среди них есть
%``наилучший'', а именно тот, который точен на наиболее широком из
%таких подпространств.







%Работа посвящена вопросам оптимального восстановления функций и их
%производных по некоторому набору ``гармоник'', известных с
%погрешностью, и является, в определенном смысле, продолжением работ
%авторов \cite{MO1} и \cite{MO2}. Чтобы пояснить направление этого
%продолжения, приведем один результат из \cite{MO1}. Пусть про
%функцию $x\cd$ из соболевского класса функций $W_2^n(\mathbb R)$
%(совокупность функций $x\cd\in L_2(\mathbb R)$, у которых $(n-1)$-ая
%производная локально абсолютно непрерывна и
%$\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb R)}\le1$) известно ее преобразование
%Фурье $Fx\cd$ на отрезке $\Delta_\sigma=[-\sigma,\sigma]$, где
%$0<\sigma\le\infty$ ($\Delta_\infty=\mathbb R$), в метрике
%$L_2(\Delta_\sigma)$ с точностью до $\delta>0$, т.~е. известна
%функция $y\cd\in L_2(\Delta_\sigma)$ такая, что
%$\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta$. Тогда наилучший (в
%некотором точном и вполне естественном смысле) способ восстановить
%$k$-ую производную ($1\le k\le n-1$) функции $x\cd$ по наблюдению
%$y\cd$ заключается в том, чтобы сопоставить $y\cd$ функцию
%($t\in\mathbb R$)
%$$
%\widehat
%m(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}(i\xi)^k\left(1-\frac{n}{n-k}
%\left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{k}{n-k}}
%\left(\frac{\xi}{\sigma_0}\right)^{2n}\right)^{-1}
%y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi,
%$$
%где $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$ и
%$$
%\ws=\left(\frac{n}{k}\right)^{\frac1{2(n-k)}}
%\left(\frac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac1{2n}}.
%$$
%Отсюда видно, что $\widehat m$ --- линейный оператор, сопоставляющий
%$y\cd$  $k$-ую производную некоторой целой функции экспоненциального
%типа $\sigma_0$. При этом, если $\sigma>\ws$, то информация об
%$y\cd$ за пределами отрезка $[-\ws,\ws]$ оказывается лишней, а та
%информация, которая используется, предварительно ``сглаживается''.
%Этот результат согласуется с практикой: при восстановлении сигнала
%по доступным измерениям гармоникам высокочастотные компоненты
%отбрасывают, а остальные тем или иным способом сглаживают, чтобы
%нивелировать естественные погрешности измерения.

%В данной работе доказывается, что для каждого $0<\sigma\le\infty$
%существует, на самом деле, целый спектр подобных оптимальных методов
%восстановления $k$-ой производной ($0\le k\le n-1$) функции из
%$W_2^n(\mathbb R)$ по информации о ее преобразовании Фурье,
%известном на интервале $\Delta_\sigma$ либо точно, либо с точностью
%до $\delta$ в метрике $L_2(\Delta_\sigma)$. Каждый из этих методов
%оказывается точным на некотором подпространстве целых функций
%экспоненциального типа и существует  ``наилучший'' из таких методов
%в том смысле, что он точен на наиболее широком из таких
%подпространств.

%Аналогичные факты устанавливаются и для периодических функций
%(оптимальные методы точны на соответствующих пространствах
%тригонометрических полиномов).

%Все эти результаты оказываются следствиями более общих утверждений
%об оптимальных методах восстановления на расширенных соболевских
%классах функций (на прямой и окружности).



\section{Постановка задачи}

Пусть $n$ --- натуральное число. Обозначим через $\mathcal
W_2^n(\mathbb R)$ соболевское пространство функций $x\cd\in\Lt$, у
которых $(n-1)$-ая производная локально абсолютно непрерывна и
$x^{(n)}\cd\in\Lt$.

Пусть $\sigma>0$, $\Delta_\sigma=[-\sigma,\sigma]$, $0\le k\le n-1$,
$\delta\ge0$ и $W\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)$ --- некоторый класс функций.
Поставим следующую задачу. Допустим, что про функцию
$x\cd\in W$ известно ее преобразование Фурье $Fx\cd$
на $\Delta_\sigma$  с точностью до $\delta$ в метрике
$L_2(\Delta_\sigma)$, т.~е. известна функция $y\cd\in
L_2(\Delta_\sigma)$ такая, что
$\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta$ (если $\delta=0$, то
$Fx\cd$ на $\Delta_\sigma$ известно точно). Как наилучшим образом
воспользоваться этой информацией, чтобы восстановить саму функцию или
ее $k$-ую производную в метрике $\Lt$?

Введем следующие обозначения. Пусть $I_\sigma\colon\mathcal
W_2^n(\mathbb R)\to L_2(\Delta_\sigma)$ --- отображение,
сопоставляющее $x\cd$ сужение $Fx\cd$ на $\Delta_\sigma$, а
$I_\sigma^\delta\colon\mathcal W_2^n(\mathbb R)\to
L_2(\Delta_\sigma)$ --- многозначное отображение, определенное по
формуле: $I_\sigma^\delta x\cd=\{\,y\cd\in L_2(\Delta_\sigma)\mid
\|I_\sigma x\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta\,\}$
($I_\sigma^0=I_\sigma$). Тогда информация об $x\cd\in W$ заключается в том, что известна функция $y\cd\in I_\sigma^\delta
x\cd$.

Под задачей оптимального восстановления $k$-ой ($0\le k\le n-1$)
производной функции из класса $W$ в метрике $\Lt$ по
указанной информации понимается следующее. Любое отображение
$m\colon L_2(\Delta_\sigma)\to \Lt$ объявляется методом
восстановления. Погрешностью этого метода называем величину
$$
e(D^k,W,I_\sigma^\delta,m)=\sup_{x\cd\in
W, \ y\cd\in I_\sigma^\delta x\cd}
\|x^{(k)}\cd-m(y\cd)\cd\|_{\Lt},
$$
где $D^k$ символизирует оператор $k$-кратного дифференцирования
($D^0$ --- тождественный оператор).


Нас интересует величина
$$
E(D^k,W,I_\sigma^\delta)=\inf_{m\colon
L_2(\Delta_\sigma)\to \Lt} e(D^k,W,I_\sigma^\delta,m),
$$
которую назовем {\it погрешностью оптимального восстановления} и
метод $\widehat m=\widehat m(k,\sigma,\delta)$, на котором нижняя
грань достигается, т.~е. для которого
$$
E(D^k,W,I_\sigma^\delta)=e(D^k,W,I_\sigma^\delta,\widehat m),
$$
называемый {\it оптимальным методом восстановления}.


Задачу нахождения величины $E(D^k,W,I_\sigma^\delta)$
и соответствующего оптимального метода назовем $(D^k,W,I_\sigma^\delta)$-задачей.

Скажем, что метод $m$ {\it точен на
$x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)$}, если $x^{(k)}\cd=m(I_\sigma x\cd)\cd$. Если $L$ --- подмножество $\mathcal W_2^n(\mathbb R)$ и метод
$m$ точен на каждой функции из $L$, то говорим, что метод
$m$ {\it точен на $L$}.

При построении методов приближений часто от методов требуется их
точность на как можно более широком множестве функций (такова
ситуация, например, с квадратурными формулами, где в качестве таких
множеств рассматриваются алгебраические полиномы, а в периодическом
случае --- тригонометрические полиномы).

Приведенный выше подход к определению оптимального метода
восстановления, как наилучшего метода для всех функций из данного
класса, идеологически восходит к работам А.~Н.~Колмогорова 30-х
годов о нахождении наилучших средств приближения для классов
функций. Сама задача оптимального восстановления (но для линейных
функционалов по точной информации и в конечномерной ситуации)
впервые была рассмотрена С.~А.~Смоляком \cite{Sm}. Различным ее
обобщениям посвящена достаточно обширная литература. В монографиях \cite{TW}--\cite{MT2} можно найти множество конкретных результатов и дополнительные ссылки.

Первые результаты, касающиеся оптимального восстановления линейных
операторов по неточной информации, были получены в работе \cite{MM}. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах авторов \cite{MO2} и \cite{O1}, где используются подходы, основанные на методах теории экстремума. Рассмотрение задач оптимального восстановления именно с этих позиций для линейных функционалов впервые было предпринято в \cite{MT}.



\section{Формулировка результатов}

Пусть $\sigma>0$. Обозначим через $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$
подпространство в $\Lt$, образованное сужениями на $\mathbb R$ целых
функций экспоненциального типа $\sigma$. Как хорошо известно,
$x\cd\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ тогда и только тогда,
когда носитель $Fx\cd$ принадлежит отрезку $[-\sigma,\sigma]$. По
определению, $\mathcal B_{0,2}(\mathbb R)=\{0\}$.

Если $x\cd\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$, то
$x^{(m)}\cd\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ для любого
$m\in\mathbb N$ (по неравенству Бернштейна для целых функций
экспоненциального типа), в частности, $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb
R)\subset \mathcal W_2^n(\mathbb R)$.

Рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-ой производной
($0\le k<n$) на соболевском классе
$$
W_2^n(\mathbb R)=\{\,x\cd\in\mathcal W_2^n(\mathbb R)\mid
\|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1\,\}.
$$

Пусть $1\le k<n$ и $\delta\ge0$. Положим
$$
\ws_1=\begin{cases}\left(\dfrac
nk\right)^{\frac1{2(n-k)}}\left(\dfrac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac1{2n}},&
\delta>0,\\[10pt]
+\infty,&\delta=0\end{cases}
$$
и
$$
\ws_2=\begin{cases}\left(\dfrac
{n-k}n\right)^{\frac1{2k}}\left(\dfrac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac1{2n}},&
\delta>0,\\[10pt]
+\infty,&\delta=0.\end{cases}
$$

Величина $\ws_2/\ws_1$ определена при $\delta>0$ и не зависит от
$\delta$. Доопределим ее тем же числом и при $\delta=0$.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $k,n$ --- целые, $0\le k<n$, $\sigma>0$ и $\delta\ge0$.

$1)$ Если $k\ge1$ и $\sigma_0=\min(\sigma,\ws_1)$, то
$$
E(D^k,W_2^n(\mathbb R),I_\sigma^\delta)=\begin{cases}\sigma^k\sqrt{\dfrac{n-k}{2
\pi n}\left(\dfrac kn\right)^{\frac
k{n-k}}\delta^2+\dfrac1{\sigma^{2n}}},&
\sigma\le\ws_1,\\[15pt]
\left(\dfrac\delta{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/n},&\sigma\ge\ws_1,\end{cases}
$$
и для каждого $\sigma'$ такого, что
\begin{equation}\label{si}
0\le\sigma'\le\frac{\ws_2}{\ws_1}\sigma_0
\end{equation}
метод
\begin{multline*}
\widehat m(\sigma,\sigma',
y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma'}(i\xi)^ky(\xi)
e^{i\xi t}\,d\xi\\
+\frac1{2\pi}\int_{\sigma'\le|\xi|\le\sigma_0}(i\xi)^k\left(1+\dfrac
n{n-k} \left(\dfrac nk\right)^{\frac
k{n-k}}\left(\dfrac\xi{\sigma_0}\right)^{2n}
\right)^{-1}y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi
\end{multline*}
является оптимальным в $(D^k,W_2^n(\mathbb
R),I_\sigma^\delta)$-задаче и точным на подпространстве $\mathcal
B_{\sigma',2}(\mathbb R)$.

$2)$ Если $k=0$, то
\begin{equation*}
E(D^0,W_2^n(\mathbb
R),I_{\sigma}^\delta)=\sqrt{\dfrac{\delta^2}{2\pi}+
\dfrac1{\sigma^{2n}}},
\end{equation*}
и для каждого  $\sigma'\ge0$ такого, что $\sigma'\le\sigma$  метод
\begin{multline*}
\widehat
m(\sigma,\sigma',y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma'}y(\xi)e^{i\xi
t}\,d\xi\\
+ \frac1{2\pi}\int_{\sigma'\le|\xi|\le\sigma}\left(1+
\left(\dfrac{\xi}{\sigma}\right)^{2n}\right)^{-1}y(\xi)e^{i\xi
t}\,d\xi
\end{multline*}
является оптимальным в $(D^0,W_2^n(\mathbb
R),I_\sigma^\delta)$-задаче и точным на подпространстве $\mathcal
B_{\sigma',2}(\mathbb R)$.
\end{theorem}

Сделаем несколько замечаний по поводу сформулированной теоремы.

В части $1)$, если $\delta>0$, то, как видно из выражения для
погрешности оптимального восстановления, информация о преобразовании
Фурье (измеренном с точностью $\delta$) за пределами отрезка
$[-\ws_1,\ws_1]$ оказывается лишней, поскольку ее наличие не
уменьшает величину погрешности. Иными словами, объем полезной
информации $\sigma$ и погрешность ее измерения $\delta$ должны быть
связаны соотношением $\sigma\le\ws_1$, т.~е.
$$
\delta^2\sigma^{2n}\le2\pi\left(\frac nk\right)^{\frac n{n-k}}.
$$
При этом, каждый из оптимальных методов, используя информацию только
на отрезке $[-\sigma_0,\sigma_0]$, фильтрует ее на множестве
$\{\,\xi\mid \sigma'\le|\xi|\le\sigma_0\,\}$ и не фильтрует на
$[-\sigma',\sigma']$, если $\sigma'>0$.

Пространство $\mathcal B_{\sigma',2}(\mathbb R)$ при
$\sigma'=(\ws_1/\ws_2)\min(\sigma,\ws_1)$, очевидно, максимально
широкое из тех, на которых оптимальный метод точен.


Если $\delta=0$, то чем больше $\sigma$, тем меньше погрешность
оптимального восстановления, и информация фильтруется на множестве
$\{\,\xi\mid \sigma'\le|\xi|\le\sigma\,\}$ ($\sigma_0=\sigma$) и не
фильтруется на $[-\sigma',\sigma']$, если $\sigma'>0$.

Во второй части теоремы, когда восстанавливается сама функция,
погрешность оптимального восстановления убывает с ростом $\sigma$
независимо от того $\delta>0$ или $\delta=0$. Среди оптимальных
методов есть ``естественный'' (при $\sigma'=\sigma$), сопоставляющий
$y\cd$ функцию, преобразование Фурье которой равно $y\cd$ на
$[-\sigma,\sigma]$ и нулю вне этого отрезка.

Из того, что построенные оптимальные методы точны на подпространствах целых функций вытекает, что эти методы являются оптимальными на более широких классах функций. Точнее, имеет место следующее утверждение: {\it если $\widehat m$ --- оптимальный линейный метод в $(D^k,W_2^n(\mathbb R),I_\sigma^\delta)$-задаче, точный на подпространстве $L\subset
\mathcal W_2^n(\mathbb R)$, то он является оптимальным и в
$(D^k,W_2^n(\mathbb R)+L,I_\sigma^\delta)$-задаче}.

Действительно, пусть $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)+L$,
$x\cd=x_1\cd+x_2\cd$, где $x_1\cd\in W_2^n(\mathbb R)$, $x_2\cd\in
L$ и пусть $y\cd\in L_2(\Delta_\sigma)$ такое, что $\|I_\sigma
x\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta$. Положим $y_1\cd=y\cd-I_\sigma x_2\cd$. Тогда $y_1\cd\in L_2(\Delta_\sigma)$ и
\begin{equation}\label{y1}
\|I_\sigma x_1\cd-y_1\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}=\|I_\sigma x\cd-y\cd\|_{L_2(\Delta_\sigma)}\le\delta.
\end{equation}
Из линейности и точности $\widehat m$ на $L$ следует равенство
\begin{equation}\label{R}
\|x^{(k)}\cd-\widehat m(y\cd)\cd\|_{\Lt}=\|x_1^{(k)}\cd-\widehat
m(y_1\cd)\cd\|_{\Lt}.
\end{equation}
Величина справа в \eqref{R} в силу \eqref{y1} не превосходит $$e(D^k,W_2^n(\mathbb R),I^\delta_\sigma,\widehat m)=E(D^k,W_2^n(\mathbb R),I^\delta_\sigma).$$
Переходя в левой части \eqref{R} к верхней грани по всем указанным
$x\cd$ и $y\cd$, получаем, что
$$e(D^k,W_2^n(\mathbb
R)+L,I_\sigma^\delta,\widehat m)\le E(D^k,W_2^n(\mathbb R),I^\delta_\sigma).$$
Поскольку $W_2^n(\mathbb R)\subset W_2^n(\mathbb R)+L$, имеем
\begin{multline*}
E(D^k,W_2^n(\mathbb R),I^\delta_\sigma)\le E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+L,I^\delta_\sigma)\\
\le e(D^k,W_2^n(\mathbb
R)+L,I_\sigma^\delta,\widehat m)\le E(D^k,W_2^n(\mathbb R),I^\delta_\sigma).
\end{multline*}
Отсюда видно, что $\widehat m$ --- оптимальный метод в
$(D^k,W_2^n(\mathbb R)+L,I_\sigma^\delta)$-задаче и значение погрешности оптимального восстановления в этой задаче совпадает с соответствующим значением для $(D^k,W_2^n(\mathbb R),I_\sigma^\delta)$-задачи.

Таким образом, при $1\le k<n$ для всех $\sigma'$, удовлетворяющих неравенству \eqref{si}, и при $k=0$ для всех $\sigma'\le\sigma$
$$E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma',2}(\mathbb R),I^\delta_\sigma)=E(D^k,W_2^n(\mathbb R),I^\delta_\sigma).$$
В связи с этим естественно поставить более общую задачу о нахождении
оптимального метода в $(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal
B_{\sigma_2,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)$-задаче для любых
$0<\sigma_1\le\infty$ и $0\le\sigma_2<\infty$.

Перед формулировкой соответствующего результата введем некоторые обозначения. Пусть
$1\le k\le n-1$, $\delta>0$ и $\ws_1$, $\ws_2$ --- те же, что и в
теореме \ref{T1}. Положим
\begin{align*}
\Sigma_1&=\left\{\,(\sigma_1,\sigma_2)\in\mathbb R^2\mid 0<\frac {\ws_2}{\ws_1}\sigma_1\le\sigma_2\le\sigma_1\,\right\},\\
\Sigma_2&=\left\{\,(\sigma_1,\sigma_2)\in\mathbb R^2\mid 0\le\sigma_2\le\frac {\ws_2}{\ws_1}\sigma_1,\ 0<\sigma_1\le\ws_1\,\right\},\\
\Sigma_3&=\left\{\,(\sigma_1,\sigma_2)\in\mathbb R^2\mid \sigma_1\ge\ws_1,\ 0\le\sigma_2\le\ws_2\,\right\},\\
\Sigma_4&=\left\{\,(\sigma_1,\sigma_2)\in\mathbb
R^2\mid\ws_2\le\sigma_2\le\frac {\ws_2}{\ws_1}\sigma_1\,\right\}.
\end{align*}
На рисунке эти области выглядят так

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,200)
\put(0,10){\vector(1,0){200}} \put(10,0){\vector(0,1){160}}
\put(188,0){$\sigma_1$} \put(-4,140){$\sigma_2$}
\put(100,10){\line(0,1){60}} \put(100,70){\line(1,0){90}}
\put(180,170){$\sigma_2=\sigma_1$} \put(180,110){$\sigma_2=\dfrac
{\ws_2}{\ws_1}\sigma_1$} \put(82,-2){$\sigma_1=\ws_1$}
\put(170,58){$\sigma_2=\ws_2$} \put(10,10){\line(1,1){170}}
\put(10,10){\line(3,2){180}} \put(135,110){$\Sigma_1$}
\put(70,30){$\Sigma_2$} \put(120,30){$\Sigma_3$}
\put(146,80){$\Sigma_4$}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}

Положим, кроме того,
\begin{equation}\label{lam}
2\pi(\wl_1,\wl_2)=\begin{cases}
(\sigma_2^{2k},\sigma_1^{2(k-n)}),&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_1,\\[15pt]
\left(\dfrac{n-k}n\left(\dfrac kn\right)^{\frac k{n-k}}\sigma_1^{2k},\sigma_1^{2(k-n)}\right),&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_2,\\[15pt]
\left(\dfrac{n-k}n\left(\dfrac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac kn},
\dfrac kn\left(\dfrac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac{2(k-n)}n}\right),
&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_3,\\[15pt]
\left(\sigma_2^{2k},\dfrac kn\left(\dfrac{n-k}n\right)^{\frac{n-k}k}\sigma_2^{2(k-n)}\right),&(\sigma_1,\sigma_2)
\in\Sigma_4,
\end{cases}
\end{equation}
и
$$(\sigma_1',\sigma_2')=\begin{cases}
(\sigma_1,\sigma_2),&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_1,\\[15pt]
\left(\sigma_1,\dfrac{\ws_2}{\ws_1}\sigma_1\right),&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_2,\\[15pt]
(\ws_1,\ws_2),&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_3,\\[15pt]
\left(\dfrac{\ws_1}{\ws_2}\sigma_2,\sigma_2\right),&(\sigma_1,\sigma_2)\in\Sigma_4.
\end{cases}
$$

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $k,n$ --- целые, $0\le k<n$ и $\delta\ge0$.

$1)$ Если $\sigma_2>\sigma_1$, то $E(D^k,W_2^n(\mathbb
R)+\mathcal B_{\sigma_2,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1}^\delta)=\infty$.

$2)$ Если $k\ge1$ и $\delta\ge0$, то для всех $\sigma_1>0$,
$\sigma_2\ge0$ таких, что $\sigma_2\le\sigma_1$
$$E(D^k,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma_2,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1}^\delta)=\sqrt{\wl_1\delta^2+2\pi\wl_2},$$
и при всех $\wst_1\in[\sigma_1',\sigma_1]$ и $\wst_2\in[\sigma_2,\sigma_2']$ методы
\begin{multline*}
\widehat
m_{\wst_1,\wst_2}(\sigma_1,\sigma_2,y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\wst_2}(i\xi)^ky(\xi)e^{i\xi
t}\,d\xi\\+
\frac1{2\pi}\int_{\wst_2\le|\xi|\le\wst_1}(i\xi)^k\frac{\wl_1}{\wl_1+\wl_2\xi^{2n}}
y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi
\end{multline*}
являются оптимальными.

$3)$ Если $k=0$ и $\delta\ge0$, то для всех $\sigma_1>0$,
$\sigma_2\ge0$ таких, что $\sigma_2\le\sigma_1$
\begin{equation*}
E(D^0,W_2^n(\mathbb R)+\mathcal B_{\sigma_2,2}(\mathbb
R),I_{\sigma_1}^\delta)=\sqrt{\dfrac{\delta^2}{2\pi}+
\dfrac1{\sigma_1^{2n}}},
\end{equation*}
и при всех $\wst_2\in[\sigma_2,\sigma_1]$ методы
\begin{multline*}
\widehat
m_{\wst_2}(\sigma_1,\sigma_2,y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\wst_2}y(\xi)e^{i\xi
t}\,d\xi\\+ \frac1{2\pi}\int_{\wst_2\le|\xi|\le\sigma_1}\left(1+
\left(\dfrac{\xi}{\sigma_1}\right)^{2n}\right)^{-1}y(\xi)e^{i\xi
t}\,d\xi
\end{multline*}
являются оптимальными.
\end{theorem}







\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его
прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.

\bibitem{Sm} Смоляк~С.~А. {\it Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них}, Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

\bibitem{TW} Traub J.~F., Wo\'zniakowski H. {\it A General Theory of
Optimal Algorithms}, New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{P} Plaskota~L. {\it Noisy Information and Computational Complexity},
Cambridge University Press, 1996.

\bibitem{Os1} Osipenko~K.~Yu. {\it Optimal Recovery of Analytic Functions},
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000.


\bibitem{MT2} Magaril-Il'yaev~G.~G., Tichomirov~V.~M. {\it Convex
Analysis: Theory and Applications}, Translations of Math.
Monographs, vol. 222, AMS, Providence, RI, 2003.


\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J.
Numer. Anal.}, {\bf16} (1979) 87--105.

\bibitem{MO2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье,
заданным с погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002),
79--100.

\bibitem{O1} Осипенко~К.~Ю., ``Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа для
аналитических функций из пространств Харди--Соболева'', {\it Матем.
сб.}, {\bf197}:3 (2006), 15--34.

\bibitem{MT} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М. ``О неравенствах
для производных колмогоровского типа'' {\it Матем. сб.}, {\bf187}:12
(1997), 73--106.




\end{thebibliography}









\end{document}
